数学悖论在中小学数学教学中的价值初探

科技资讯 SC I EN C E &TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N 科 技 教 育数学美的描述固然重要,但更重要的是如何在课堂上展现数学美,使学生能够欣赏数学的美学价值,并将数学教学中的美学教育分为四个层次:美观,美好,美妙,完美。

数学悖论作为数学发展的原始推动力之一,不仅在数学、数学史、逻辑学等研究上占有极其重要的地位,在中小学教育中若能有效利用,将对数学教育尤其是数学美育起到不可小觑的作用。

第一阶段:初识数学悖论,外观形式上的数学美。

数学悖论中的美不仅仅体现在几何中,在代数学、概率论与数理统计、集合论、微积分等中都有很多。

例2:任意两个不相等的数相等。

证明:设a、b为互不相同的两个数,设c为他们的平均数,即a+b=2c,用(a-b)乘以两边得:(a+b)(a-b)=2c(a-b),展开a2-b2=2ac-2bc,移项得:a2-2ac=b2-2bc,两边同加c2,a2-2ac+c2=b2-2bc+c2,配方得(a-c)2=(b-c)2,两边开方得:a-c=b-c,因此a=b。

多么神奇！任意两个不相等的数可以相等,那我们数学的研究基础在何处？研究价值又在何处？如此这样的悖论又何止千万,在教学中若能有效利用,学生定会对相应知识有更深刻的认识。

第二阶段:再看数学悖论,本质才是内在美。

数学上的许多东西,只有认识到它的正确性,理解了它内在数学价值,也就是它的“内秀”才能感到其美好。

例3:“0与i谁大谁小？”我们知道,对于任意两个不同的数a和b,或a>b或b>a,两者不能同时成立,并且:若a>b,b>c,则a>c;若a>b,则a+c>b+c;若a>b,c> 0,ac>bc。

在引入复数概念后许多同学会引起0与i谁大谁小的讨论,根据上述基本性质我们对0与i进行如下探讨。

(1)若i>0,则i2>0×i两边同时乘以-1可得(-1)2>0×(-1),即1>0;另一方面,对以上结果两边同时加1,有-1+1>0+1,即0>1。

“悖论”对教学设计的启示所谓“悖论”，在我看来就是相互对立的观点，事物正因为有了对立面，方才显得别具张力。

帕克．帕尔默在《教学勇气》中提到的六条悖论，初次看到，就觉得眼前豁然亮堂起来。

在教学设计时，如果能考虑到这些相互矛盾的层面，也许我们的教学会显得更为“润泽”。

上次，在一位读友的文章中读到“润泽的教室”一词，突然有些许感动，“润泽”太让人有亲切感了！如果我们的教学能达到润泽的境界，那会是怎样的一幅景象呢？这真值得憧憬！第一，这个空间应该既是有界限又是开放的。

帕尔默说：“没有界限的空间不是空间，只是一种无序的空旷，在这种空旷里就不容易出现真正的学习。

”是啊！没有界限的空间不叫空间，那是一种空洞。

在真正的学习空间里，教师要利用自身学识和学科魅力来吸引学生。

界限具有指向性，使我们研究问题时，不至于成为迷途的羔羊，而开放则让我们处理问题更灵活，更具活力。

在教学中，我们可根据教学内容出示一些开放题，这可以激发学生解题的兴趣，培养孩子的发散思维，但是这样的开放必须有一个度，老师心中必须有这个概念，否则就会出现“覆水难收”现象了。

第二，这个空间应该既令人愉快又紧张的气氛。

开放的学习环境中，学生会同时具有解放的自由和迷失的恐惧，这是一对矛盾体。

怎样克服教育探险中的危险呢？帕尔默认为，学习空间要既开放又吸引人，既自由又安全，而且可信赖。

我在想，当学生在知识的领域探险时，越是深入到知识的本质中去，越能感到成功的体验，何来风险呢？是思考后无法求解的困惑吗？“心求通而未解”，这是否是一种危险的求知境地呢？第三，这个空间应该既鼓励个人表达意见，也欢迎团体的意见。

只有当每个人都能发表自己的观点时，真正的学习才会产生。

在课堂上，教师要真诚地倾听每个学生的发言，同时，也要引导学生倾听其他学生的发言，在大家都畅所欲言的基础上，教师再进行提炼，形成团体的意见。

也就是说，团体意见是在充分尊重每个成员意见的基础上产生的，当然，团体意见也需要教师的正确指引。

数学悖论论文一、教学中的常见问题1、学习兴趣不足在当今中小学数学教学中，学习兴趣不足的问题日益突出。

这一问题主要表现在学生对数学学科缺乏热情，学习积极性不高，课堂参与度低等方面。

导致这一现象的原因有以下几点：（1）教学内容与实际生活脱节：许多数学教学内容未能紧密结合学生的生活实际，使得学生难以体会到数学学习的实用价值。

（2）教学方式单一：部分教师在教学过程中，过于依赖讲授法，忽视学生的主体地位，缺乏启发性和趣味性。

（3）评价体系不合理：过于强调考试成绩，忽视学生的个体差异，使得部分学生产生挫败感，进而对数学学习失去兴趣。

2、重结果记忆，轻思维发展在数学教学中，部分教师过于关注学生的成绩，导致教学过程中重视结果记忆，轻视思维发展。

这种现象表现在以下方面：（1）课堂教学中，教师过于强调公式、定理的背诵，忽视学生对知识形成过程的理解。

（2）课后作业和考试中，题目过于注重计算和解答，缺乏对思维能力的考查。

（3）学生为了应对考试，过于依赖题海战术，缺乏对数学知识体系的深入理解和思考。

3、对概念的理解不够深入在数学学习中，概念的理解是基础。

然而，在实际教学中，部分学生对概念的理解不够深入，主要表现在以下方面：（1）对概念的定义模糊：学生未能准确把握概念的内涵和外延，导致在解决问题时出现偏差。

（2）对概念之间的关系不清：学生在学习过程中，未能充分理解各个概念之间的联系，使得知识体系不够完善。

（3）缺乏对概念内涵的挖掘：学生在学习过程中，未能深入探讨概念的内涵，导致在解决实际问题时难以运用所学知识。

二、教学实践与思考1、梳理脉络，全面理解教材（1）从培养目标出发，理解课程核心素养的发展体系为了解决教学中存在的问题，教师应当首先从培养目标出发，深入理解课程核心素养的发展体系。

这意味着教师需要把握数学学科的核心素养，如逻辑推理、数学建模、直观想象等，并将这些素养融入到教学设计中。

具体做法包括：- 设计教学活动时，充分考虑核心素养的培养，将知识点与核心素养紧密结合，让学生在掌握知识的同时，提升综合能力。

浅谈有效辩论在小学数学课堂中的作用在小学数学课堂中，有效的辩论是一种非常重要的教学方法，它可以帮助学生更好地理解数学概念、提高数学思维能力，同时也可以培养学生的逻辑思维和口头表达能力。

本文将从有效辩论在小学数学课堂中的作用、如何进行有效的数学辩论以及如何引导学生参与数学辩论这三个方面进行探讨。

我们来谈谈有效辩论在小学数学课堂中的作用。

数学是一门需要逻辑思维和严密推理的学科，而有效的辩论正是培养学生逻辑思维的最佳途径之一。

通过参与辩论，学生需要思考问题、搜集相关信息、分析问题、提出自己的观点并支持自己的观点，这个过程不仅可以帮助学生深入理解数学知识，还可以提高学生的逻辑思维能力。

通过和同学们展开辩论，学生还可以学会倾听和尊重他人的观点，培养学生的合作意识和团队精神。

如何进行有效的数学辩论也是非常重要的。

老师需要在课堂上明确辩论的目的和规则，让学生知道辩论并不是为了争个输赢，而是为了深入探讨问题，从而加深对数学知识的理解。

老师需要精心设计辩论的话题，确保话题有足够的深度和难度，可以引发学生的思考和讨论。

老师还要创设一个宽松、和谐的氛围，让学生在辩论中敢于表达自己的观点，不害怕犯错。

老师应该在辩论结束之后，对学生进行总结和点评，夸奖他们的优点，指出他们的不足，并给予建设性的意见，以便学生在下一次的辩论中改进。

我们来讨论如何引导学生参与数学辩论。

老师可以在课堂上设计一些争议性的数学问题，然后让学生以小组形式展开辩论。

这样的做法可以让学生积极参与到辩论中来，充分发挥他们的想象和创造力。

老师可以通过提问的方式引导学生思考，激发学生的好奇心和求知欲，从而促进他们参与到辩论中来。

老师还可以邀请一些学生代表来进行辩论，这样不仅可以培养学生的表达能力，还可以提高学生的竞争意识和团队协作能力。

关于数学悖论的探讨摘要：中西方哲学界和数学界对悖论问题的研究已经持续了长达几十年，这个问题牵涉到逻辑和哲学。

具体说来,它还同多种数理逻辑上的实际问题有关。

因此,，对于悖论的研究不仅有着哲学上的意义，对于数学逻辑的养成以及解决实际问题上也有着深远的意义。

许多悖论到如今依旧没有在这篇论文中我希望通过阐述几个世界上较为知名的悖论，并且通过自己的分析得出结论来谈一谈我对悖论的理解。

关键字：悖论罗素悖论说谎者悖论芝诺悖论逻辑正文：一．悖论的基本概念悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。

悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确。

悖论的成因极为复杂且深刻，但深入研究有助于数学、逻辑学、语义学、形而上学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。

其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托尔悖论等等。

悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。

在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。

二．悖论的主要形式悖论的主要形式有以下三种。

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。

三．悖论的分类悖论可大致分为三类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论。

时间悖论通常是指因时间旅行或穿梭时空而导致的逻辑上可以推导出互相矛盾的结论，同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。

逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式A又可以证明A的否定元A',则我们说在这个公理系统中含有一个悖论，因为这时A和A'在系统中是可证等价的。

统计悖论可追溯到18世纪，它是一个非传递关系的典型，这种关系是在人们作两两对比选择时可能产生的。

人们也许已经很熟悉传递关系的概念。

首先,悖论是人们对客观事物的认识。

希帕索斯悖论来源于对直角三角形的认识;贝克莱悖论是人们对有限和无限、存在和非存在两种对立概念认识的深化;罗素悖论是人们对集合集合内部矛盾的认识。

因此,悖论决不是脱离客观实际的凭空想象,也不是客观事物的规律性在人脑中简单地移植,而是由主客体多次反复作用,认识达到高一级阶段主客体作用的结果。

当人们试图以原有的理论和方法及逻辑去解释一些新的现象和规律时,就产生了认识和客体之间的冲突。

数学悖论在中小学数学教学中的价值初探摘要：本文主要通过举例论证的方式提出：数学悖论有利于培养学生思维的发散性、批判性和独创性，可以有效地培养和发展中小学生的数学创新能力。

关键词：数学悖论；数学教学；数学创新能力；创新思维中图分类号：g633.6 文献标识码：b 文章编号：1006-5962（2013）01-0136-01传统的数学教学理论一般都认为，数学教学应该尽可能地避免出现差异或者谬误，尤其是要避免出现悖论，因此，在这种”正确的”教学理论指导下的教学实践就是”正确的”的”数学结论”（包括事实、命题、法则、规律、推理和证明等）的展示、表演与习得、操练与熟悉。

但是，即使是算术的教学，在这种教学理论的指导下，大多数学生最多也只能获得一些”死”的概念符号和计算程序，而无法获得真正的数感。

正因为如此，笔者认为，数学发展史上的诸多悖论，如果能够结合学校数学课程，并加以合理的处理，它们就可以成为数学课堂教学中的”本原性”问题；与此同时，在数学课堂教学实践中也涌现出许许多多的”原发性”的数学（悖论），它们也是数学”本原性”问题，所有这些悖论，如果能够适当地加以运用和捕捉，都会起到意想不到的教育教学效果。

1 数学悖论有利于培养中小学生思维的发散性数学悖论不是初等数学内容的简单叠加，它是对中小学生所掌握的知识从非逻辑的角度、不同方面进行非本质的变异，突出本质特征而形成的新的问题，这种问题及其设立的问题情境与解题者的认知结构之间存在着一定的距离，这就要求学生思维品质具有很强的变通性，能够随着问题而不断变化。

要解决数学悖论中的问题，并不需要学生将命题的条件和结论进行多次分解与组合，也不需要对已掌握的定理与公式进行正向和逆向的转换运用，更不需要灵活处理图形中的几何元素和位置关系等信息，但需要学生运用非常规的思维方式从不同角度，不同侧面找出悖论的成因并寻求正确的解决方案，因此，整个探求问题解决的过程就是思维变通性的训练过程。

浅谈数学悖论悖论是创新思维的一种体现。

悖论在整个数学发展史中，起到了着不可磨灭的作用，它的作用主要表现在检验，完善某一理论体系，推动了数学的发展，引发了三次数学危机。

在数学与人类文明课堂上，老师就通过阿基里斯追龟的悖论故事讲述了三次数学危机。

通过进一步的阅读，我得知第一次数学危机是“毕达哥托斯悖论”。

早在古希腊时期，著名哲学家和数学家毕达哥拉斯就提出了一切的现象均可表示为整数或整数之比的形式。

但与此同时，希帕索斯发现了一些直角三角形的斜边不能表示为整数或整数之比的情形，例如直角边长均为1的直角三角形就是如此.这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条, 导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机，因而使得数学家们正式研究了无理数，给出了无理数的严格定理，引出了无理数和实数的概念，并建立了完整的实数理论。

第二次是“贝克莱悖论”。

贝克莱提出无穷小是否为零的问题，从而引出了极限理论——穷小是以零为极限但永远不为零的变量。

第三次是“罗素悖论”。

这一问题虽然促进了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生，但仍未能从根本上得到解决。

由此可见，数学悖论是指引我们前进的一盏明灯，数学史上的这三次危机不仅对整个数学的发展,而且对现代数学也起着非常重要的作用。

由于每次危机的提出都使数学家们有了新思想的产生，从而形成了数学理论的严谨性。

对数学悖论的认识实际上是对数学这一科学在历史局限性上的认识，而解决数学悖论的过程则是发展和超越历史局限性的过程。

从数学历史上来看，数学悖论不仅仅只是趣味数学的一个分支，每一次悖论的发现都是与数学发展密切相关的，不仅仅推动了数学的发展，更推动了逻辑的演变。

数学悖论的定义是由很多种说法，而我的理解为：在表面上看起来能自圆其说的命题或理论体系，但在逻辑上可以推出互相矛盾的2个结论。

用更简单的说法就是：以一个被认为是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论，既为非B；反之，若以非B为前提，亦可推得B。

浅谈有效辩论在小学数学课堂中的作用1. 引言1.1 背景介绍随着教育理念的更新和科技的不断发展，有效辩论在小学数学课堂中逐渐被引入并得到了认可。

通过辩论，学生不仅可以在思维上得到训练，还可以培养自信心和表达能力，同时也可以增强他们在数学领域的兴趣和动力。

探讨有效辩论在小学数学课堂中的作用，对于提升教学效果，激发学生学习兴趣，培养学生综合素质具有重要的意义。

在这样的背景下，我们有必要深入研究和探讨有效辩论在小学数学课堂中的实践效果及其意义。

1.2 问题提出在小学数学课堂中，学生们常常面临着理解困难、思维不活跃、学习兴趣不高等问题。

针对这些问题，我们不得不反思当前教学方法的有效性以及课堂上的互动情况。

在这种情况下，一个值得思考的问题是：如何激发学生们对数学的学习兴趣和思考能力？如何让他们在学习数学的过程中更加主动地参与和思考？如何培养他们的逻辑思维和解决问题的能力？这些问题的提出正是为了寻找一种能够有效地帮助学生提高数学学习能力的方法。

有效辩论在小学数学课堂中的应用，或许能够为我们解决以上问题提供一种新思路。

通过让学生们在辩论中讨论数学问题、提出自己的看法并与他人交流，可以促进他们的思维活跃和逻辑能力的培养，从而提高他们学习数学的兴趣和效果。

问题的提出不仅是对当前教学状况的反思，更是对如何引入有效辩论这种教学方法的探讨和探寻。

【问题提出】所涉及的议题旨在启发我们对小学数学课堂有效辩论的意义和作用进行更深入的思考。

1.3 目的意义在小学数学课堂中引入有效辩论的目的意义主要体现在以下几个方面：一、培养学生的逻辑思维能力。

通过辩论的方式，学生需要思考问题、提出论据、展开论证，推理出结论，这样可以锻炼学生的逻辑思维能力，提高他们的思辨能力和分析问题的能力。

二、增强学生的表达能力和沟通能力。

在辩论过程中，学生需要清晰明了地表达自己的观点，与他人进行有效的互动和交流。

这能够培养学生的口头表达能力和论证能力，提高他们的沟通技巧。

小学数学知识中的“悖论”作者：施书架来源：《神州·上旬刊》2019年第09期摘要：本文通过运用小学数学知识，解释学生在学习中或者网络上遇到的一些所謂的“数学悖论”问题，例如经典的“阿基里斯追龟问题”，网络上流行的“1=2”，“1元=1分”等问题。

关键词：小学数学;悖论;解释悖论是指自相矛盾的命题，这个命题中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。

（1）一、阿基里斯追龟问题悖论自古就有，下面举一个大家耳熟能详的悖论——“阿基里斯追龟”，它是古希腊哲学家芝诺提出的，内容如下：“阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。

在他和乌龟的竞赛中，他的速度是乌龟的十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他永远也不可能追上乌龟。

”“什么？阿基里斯永远也追不上乌龟？怎么可能，芝诺这个家伙的数学肯定是体育老师教的吧！”这可能是我们第一次看到这个问题的反应，我们肯定会想：这种问题小学生都会做，芝诺的结论肯定是荒谬的。

那么接下来我们就试着把这个问题改造成一道小学数学里的题目吧。

因为这个芝诺悖论的实质是说：如果慢跑者在快跑者前面一段距离开始跑，那么无论快跑者跑得有多快，都无法追上前面的慢跑者。

于是我们可以把它改编成一道不失其本质的小学数学问题：“甲乙赛跑，甲每秒钟跑1米，乙每秒钟跑2米。

如果甲在乙前面100米处开始跑，那么乙能不能追上甲？如果能，需要多长时间？”这道题对小学生来说都太简单了，答案肯定是“能”。

多长时间能追上呢？100÷（2-1）=100（秒），所以在他们开跑100秒后乙追上甲。

所谓“我不同意你的观点，但我誓死捍卫你说话的权利”，虽然我们感觉芝诺的结论不值一驳，但我们也给他一个机会看看这个诡辩派是怎么说的吧！为了方便理解，我们就利用上面这道题的数据，将芝诺的意思阐述如下：因为甲在乙前面100米，所以乙要追上甲就必须先跑到100米这个地方，需要100÷2=50秒的时间，而此时甲已经前进了50米;于是乙又要向前跑50米需要25秒的时间，那么同时甲还会前进25米;当乙再花秒跑到甲刚才的位置的时候，甲又前进了一段距离到达了新的位置;再接下来的一次，乙需要花秒的时间到达甲刚才的位置……过程依此反复进行，虽然乙离甲的距离越来越接近，但是乙永远也追上甲。

本科毕业论文文献综述题目数学中悖论问题的研究系别********专业********班级****************姓名*************学号***********************一、前言本次论文是为了让我们更清楚地理解数学的神奇有趣，为我们开拓眼界。

让我们在本论文的引导下畅游在快乐的数学世界，与数学成为朋友。

数学广泛应用在各科和生活中，时代的发展使得思维方式深刻的变化。

也给传统的机械，死板的思维方式带来了挑战。

随着我们学习的迅速深入，思维方式的改变将迫在眉睫，数学的更抽象化，以及灵活性的加深，并逐步挑战着我们的思维。

数学的扩展，以及悖论的研究是深入学习化学，物理、生物、地理的基础，是提高逻辑能力，提高严密推理的必要手段。

二、正文（一）悖论问题的相关理解百度百科中有提到“悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。

在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。

悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。

那么命题B就是一个悖论。

当然非B也是一个悖论。

我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题。

”其中还提到“悖论(paradox)来自希腊语‘para+dokein’，意思是‘多想一想’。

这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。

悖论是自相矛盾的命题。

即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。

”（二）悖论问题的类型张红主编的《数学简史》中有介绍到芝诺著名的四个悖论。