多目标线性规划图解法满意解条件

确定获利最大的生产方案。
这是一个单目标规划问题，用线性规划表 示如下
max Z 8 x1 10 x2 2 x1 x2 11 s.t. x1 2 x2 10 x , x 0 1 2
最优方案为
x1 4, x2 3
*
*
实际上工厂在作决策时要考虑到市场等一系列其 他条件。 （1）根据市场信息产品 A销量有下降的趋势，故 考虑产品 A的产量应尽量不大于 B。 （2）超过计划供应的原材料时，需要高价采购， 这就使成本增加，所以原材料有严格限制。 （3）应该尽可能的充分利用设备台时，但尽量 不加班。 （4）应尽可能达到并超过计划利润指标 56元。
优先因子： 目标的重要程度 首先达到的目标赋予优先因子 P1，次位的目 标赋于优先因子 P2,…,并规定 Pk>>Pk+1 k=1,…,K ，的重要程度 j
决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑： P1:产品 B的产量应尽量不低于产品 A的产量； l P2:尽量充分利用设备有效台时，不宜加班； l P3:利润额应尽量不小于 56元。
决策者在原材料供应受严格限制
录音机 资源1：加工 （第一工厂） 2小时 资源2 ：装配试验 （第二工厂） 2.5小时 20元/台 利润 1,500 台 预计销量 8元 月储存成本 第一工厂 2400 18元
收音机 4小时 1.5小时 23元/台 1,000 台 15元
该公司依下列次序为目标的优先 次序，以实现次月的生产与销售目标。 P1 厂内的储存成本不宜超过 23,000 元； P2 录音机销售量应完成 1,500 台； P3 第一，二两工厂的设备应全力运转， 避免有空闲时间，两厂的单位运转成本当作 它们间的权系数。
这个问题的目标规划模型为： min Ζ=P1d3++P2d4 ¯ +P3(6d1 ¯ +5d2 ¯) +P 4d11++P5d5 s.t 2x 1+4x2+d1 ¯ -d1+=2400 2.5x 1+1.5x 2+d2 ¯ -d2+=2800 8x 1+15x 2+d3 ¯ -d3+=23000 x 1 +d 4 ¯ -d4+=1500 x 2 +d5 ¯ -d5+=1000 P3 第一，二两工厂的设备应全力运转 d 1++d11 ¯ -d11+=30 避免有空闲时间，两厂的单位运转成本当 ， P4录音机销售量应完成 第一个工厂的超时作业时间全月份不宜 x 1,x2≥0,d i ¯,di+≥0 (i=1,2,3,4,5,11) P1 23,000 P2 厂内的储存成本不宜超过 1,500 台；元； P5 30 收音机销售量应完成 1,000 台； 作它们间的权系数。 超出 小时；

10.3 目的规划法
10.3 目的规划法
10.3 目的规划法
本题可以用改进的单纯形法求解和图解法求解。
(1) 用改进的单纯型法求解 从纯技术角度讲，目的规划和多目标线性规划的区别仅 仅在于：目的规划中对各个目标函数与目的值之差（偏差）
规定了优先级，而在一般的多目标规划中没有这种规定。
10.3 目的规划法
10.1 引言
2. 获取决策人偏好信息方式的分类
求解多目标决策问题的关键在于获取决策人的偏好信息 即偏好结构。按照Chankong(1983)的意见，从决策人那里诱 导出与偏好有关的信息可以分成对话式和非对话式两类。
非对话式的方法要求 无论是在进行系统分析之前还是之后一次性地从决策人那里
听取必要的偏好信息，利用价值或效用函数的数学规划方法、 目的规划法、代理值权衡法等等都是非对话式方法的例子；
决策理论与方法
6
2、最佳调和解
根 据 决 策 人 的 偏 好 结 构 ，从 可 行 域 或 非 劣 解集中选出的决策人最满意的解叫最佳调和解 ，也 有 文 献 称 之 为 选 好 解 、 偏 爱 解 或 偏 好 解 。
如 何 从 可 行 域 或 非 劣 解 集中 获 得 最 佳 调 和 解？ 这是本节的一个重点
10.2 事先索取偏好的方法
1. 特定的偏好函数规划方法
10.2 事先索取偏好的方法
若价值函数或效用函数是单调的，则非劣性应该是可行 域X中的最佳调和解的必要性质。
这一定理表明，在一定条件下求下式 的最优解时，只需要在非劣解中搜索。
10.2 事先索取偏好的方法
2. 求解两个目标问题的Geoffrion方法（降维）
对话式方法则要求分析人员在问题求解的过程中与决策人灵活

OR2
运筹学——目标规划
5.2目标规划的图解法
n 图解法的基本步骤：
n （1）先作硬约束与决策变量的非负约束， 同一般线性规划作图法。
n （2）作目标约束，此时，先让di- -di+＝ 0，然后标出di- 及di+的增加方向（实际上
是目标值减少与增加的方向）。
n （3）按优先级的次序，逐级让目标规划 的目标函数中极小化偏差变量取0，从而 逐步缩小可行域，最后找出问题的解。
此问题即为多目标决策问题，目标规划就是解这类 问题的方法。
A
B
限量
原材料（kg)
2
1
11
设备（台时）
1
2
10
单位利润
8
10
•minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3-
OR2
运筹学——目标规划
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比）
1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。
OR2
运筹学——目标规划
n 例4：
OR2
运筹学——目标规划
5.3 目标规划的单纯形解法
n 考虑目标规划数学模型的一些特点，作以下规定：
n 1）因目标函数为求最小化，所以要求
n 2）因非基变量检验数中含有不同等级的
优先因子，即
，因
p1≫p2≫…≫pk；从每个检验数的整体看： 检验数的正、负首先决定于p1的系数a1j的 正负，若a1j＝0， 则此检验数的正、负就决定于p2的系数 a2j的正负，依次类推。
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3-

max(min)Z f1( x1, x2,, xn )
i ( x1, x2,, xn ) gi (i 1,2,, m)
f
min j
fj
f
max j
(
j
2,3,,
k)
方法四 目标达到法 首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
f1( X )
min
F
(
x
)
min
f2
(X
)
fk
(
X
)
1
(
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描 写为如下形式：
max(min)
f1
(
X
)
Z F ( X ) max(min) f2 ( X )
max(min) fk ( X )
1( X )
g1
s.t.
(
X
)
2(X
)
G
g2
m ( X )
gm
式中： X [ x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
∴ d＋× d－ ＝0 成立。
2、目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题 有了新的限制，既目标约束。
目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起 作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或 不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对 约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
目标规划的图解法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较

O
50
E 500/11;500/11 ; d1 d1 d2 d2 0 D 360/7;360/7 ; d1 d1 d2 0,d2 92/7
C 100 l2
150
d
2
d
2
l4
x1 l1
小结
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 一 问题的提出 二 目标规划的基本概念
1 决策变量与偏差变量 ２ 目标约束与绝对约束 ３ 目标规划的目标函数达成函数 ４ 优先因子与权系数
x1
2 x2
d3d3 6
x1,x2
0,di,di
0,(i
1,2,3) x2
l2
(l1)
(l2)
考虑P2 级目标，由于直线 交，所以在R1 内无法使
dl22与(Rl031不)因相此
在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级
目标完全满足．这样R2 就缩为一点，
因为在R1中，使 达到d 最小的为A点，
所以：x* = (10 ,0),
关于最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点;
使单个目标达到最优值最大值或最小值 而目标规划是在
可行域内;首先寻找到一个使P1级目标均满足的区域R1; 然后再在R1中寻找一个使P2级目标均满足或尽最大可能 满足的区域R2R1;再在R2中寻找一个满足P3的各目标的 区 域 R3R2R1;…; 如 此 下 去 ; 直 到 寻 找 到 一 个 区 域 RkRk1…R1;满足Pk级的各目标;这个Rk即为所求的解 域;如果某一个Ri 1 i k已退化为一点;则计算终止;这一 点即为满意解;它只能满足P1;…;Pi 级目标;而无法进一步 改进;当然;此时或许有低于Pi级目标被满足;这纯属巧合
2x1 1.5x2 180

解 作图3-3：
(l1 ) (l 2 ) (l3 )
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2 x2
d2
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 ) 最后考虑P3 级，此时 要求目标越小越好， 由图3-2可知R3 为四 按优先级高低，首先 边形CDEF 区域， 考虑P1 级目标，要求 目标越小越好，就在 绝约束的可行解域 △OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1来自Bl3l4
d1
l2
C
d3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 0 1 2 1 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 再考虑 P2 级目标， 6 x 8 x d d 48 1 2 3 3 x , x 0, d , d要求目标越小越 ( i 1, 2, 3) i i 0, 1 2 好，因而解空间 x2 R2为△OCD 区域
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 )
解
将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变 量（即 x , x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时 直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图 32．
Min Z Pd 1 1 P 2d2 P 3d3
(l1 )
考虑P2 级目标，由于直线 l2 与R1不相 ( l3 ) 交，所以在R1 内无法使 d 2 0 因此 在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级 目标完全满足．这样R2 就缩为一点， d 因为在R1中，使 达到最小的为 A点， 所以：x* = (10 ,0), d

σmn+2m
（二）、单纯形法的计算步骤
1、建立初始单纯形表。
一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏 差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级从 左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部 。
2、检验是否为满意解。判别准则如下： ⑴.首先检查αk (k=1.2…K)是否全部为零？如果全部为 零，则表示目标均已全部达到，获得满意解，停止计 算转到第6步；否则转入⑵。
1×60＝60
1×58.3＝58.3 < 100 由上可知：若A、B的计划产量为60件和58.3件时，
所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此
解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A、B产
品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％
（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，
2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产
量不超过 60 件和 100 件；
3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型，并用图解法求解。
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，
模型如下：
min
Z
P1
d
1
P2
(
2
.5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
d
2
d
2
)
P3
d
3
d
1
⑴
x1 x1
x2
d
1
d
1
0
2 x2
d
2
d
2
10
d
1
8
x

决策变量与偏差变量决策变量与偏差变量决策变量也称控制变量用x表示第i个目标的实际值超出超出目标值表示第i个目标的实际值恰好等于恰好等于目表示第i个目标的实际值未达到未达到目标值通过确定各目标的目标值目标值引入偏差变量把目目标函数转化成约束方程标函数转化成约束方程从而并入原约束条件中我们称这类具有机动余地的约束具有机动余地的约束为目标约束目标约束
( 可取一确定的非负实数)，
j j
目标规划的数学模型
M inZ P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 ) M in Z P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 )
70 x1
x1
1
2
0
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
4
5000 250
s
.t.
9
.2
x1
甲厂 乙厂 存贮费 利润
A药 2h 2.5h 8元 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每1月2×258天×25=2400 7台，每天16h，每7月×2156×天25=2800
成本 18元 15元
该公司依下列次序为目标的优先次序，以实现 次月的生产与销售目标，试确定A、B药生产多少，使目标达到最好。 P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，模型如下：
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3

11x1 2x2 25 (resource2) x1, x2 0
假定重新确定这个问题的目标为：
P1: z的值应不低于1900; P2: 资源1必须全部利用. 将该问题转化为目标规划问题, 列出数学模型.
2019/5/23
3
根据题意, 以优先因子为序, 列出对应关系 优先因子
P1 : 100x1 50x2 1900 P2 : 10x1 16x2 200 约束转化：引入偏差变量
例 用图解法求如下目标规划问题
min
z

P1d1

P2
(d
2

d
2
)

P3d
3
s.t. 2x1 x2 11
x1 x2 d1 d1 0
x1
2x 2

d
2

d
2

10
8x1
10x2

d
3

d
3

56
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i

0, i
(1)
x1
2x2

d
2

d
2

4
x1
2x2

d
3

d
3

8
x1 ,x2 ,di ,di 0,i 1,2,3
min
z
P1d
3

P2d
2

P3 (d1

d
1
)
(2)
s.t.
6 x1 2 x2 d1 d1 24

目标规划
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
（二）、目标规划的基本概念
例题4—1
线性规划模型为：
maxZ = 8x1 + 10 x2 2x1 + x2 ≤11 ①
x1 +2x2 ≤10 ②
x1, x2≥0 X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出，约束条件是必须严 格满足的等式或不等式，是绝对化的“硬约 束”，此种问题若要求太多时，很容易相互矛 盾，得不到可行解。如根据市场情况再加以下 要求：
目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d
＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到 目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。
权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的 重要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）

x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1

工序
产品 A 工时定额
B
生产能力
加工
10
9
210
装配
5
6
120
毛利（元/件）
400
500
23
工厂领导提出下列目标：
（1）每个作业班的毛利不少于9800元；
（2）充分利用两个工序的工时，且已知加工工时费是装配 工时费的二倍；
（3） 尽量减少加班。
问：该工厂应如何生产，才能使这些目标依序实现？试建
立其数学模型。
8
初始单纯形表
min
Z
P1d1
P2
d
2
P3
(d
3
d
3
)
s.t.
3x1 x2
d1 d1 60
x1
x2
2x3
d
2
d
2
10
x1
x2
x3
d
3
d
3
20
xi
0;
d
i
0;
d
i
0(i
1,2,3)
min z1 d1 60 3x1 x2 d1 min z2 d2 min z3 d3 d3 20 x1 x2 x3 2d3
建立模型的电 子表格模型
4x1+3x2+ d3--d3+ =30
20
优化 目标1
P1： minZ1=d1-
优化 目标2
minZ2= d2++d2-
21
优化 目标3
P3： minZ3=d3-
此表也即为最优表，最优解为 x1 4.8, x2 4.8, d2 2, d3 3.6 ：
目标的达到情况：
Z

二、目标规划模型的建立
1、目标函数的期望值 首先要对每一个目标确定一个希望达到的期望值 ei(i=1,2, …,n) 。根据历史资料、市场需求或上级部门的布 置等来确定。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 4
2、正负偏差变量 每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的 期望值之间就有正的或负的偏差。 正偏差变量 di+ 表示第i个目标超过期望值的数值；负偏 差变量di- 表示第i个目标未达到期望值的数值。 同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没 有达到期望值，所以在di+ 和di- 中至少有一个必须为零。 di+ ×di-=0 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方 n 程。 c x d d E * 原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束 (软约束) ，原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 7
5、建立目标规划模型的基本步骤： 1）按生产和工作要求确定各个目标及其优先等级和期望 值； 2）设立决策变量，建立各个约束条件方程； 3）对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束条件 ，并入已有的约束条件； 4）如果各约束条件之间有矛盾，也可适当引入偏差变量 ； 5）根据各目标的优先等级和权系数写出达成函数。 P110-113 例3.1 ,P117 例3.4 【课堂作业】： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每 种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如下表所示。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 3
第一节
目标规划模型
一、目标规划模型的基本思想
P110 例3.1 目标规划的基本思想： 对每一个目标函数引进一个期望值（理想值），但由于 种种条件的限制，这些期望值往往并不都能达到，从而我 们对每个目标引进正、负偏差变量，然后将所有的目标函 数并入原来的约束条件，组成新的约束条件。在这组新的 约束条件下，寻找使各种目标偏差达到最小的方案。

多目标决策问题
多目标规划的矩阵表示： 多目标规划的矩阵表示：
max Z = CX
AX ≤ b
X ≥0
z1 z 其中： 其中： Z = 2 M zm
C = (cij )m×n c11 c = 21 M c m1 c12 c 22 cm 2 L c1n L c2n M L c mn
目标规划的数学模型---相关概念
1、设 x1 , x 2 为决策变量，此外，引进正负偏差变 量 d i+ d i−
d i+ 表示： 决策值超过目标值的部分。 正偏差变量
负偏差变量 d i−表示： 决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值又同时未达到目标值， 即恒有 d + × d − = 0
例：LP----目标规划：加入正负偏差变量
目标规划的数学模型---相关概念
3、优先因子（优先等级）与权系数 依据达到目标的主次或轻重缓急而存在的系数（权）。
要求第一个达到的目标赋予优先因子P1，次位目标P2 …… 并规定PK > PK+1……，表示更大的优先权。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，此时可 以分别赋予它们不同的权系数 wi
+ i
目标规划的一般数学模型—p103
− + min z = ∑ Pl ∑ ( wlk d k− + wlk d k+ ) l =1 k =1 L K
式中，
− + wlk , wlk 为权系数
n c kj x j + d k− − d k+ = g k , k = 1K K ∑ j =1 n a x ≤ (=, ≥)b , i = 1L m i ∑ ij j j =1 x j ≥ 0, j = 1L n − + d k , d k ≥ 0, k = 1L K

1
例题1 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品 都要消耗A，B，C三种不同的资源。每件产品对资源的单位 消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和 所造成的单位污染如下表。假定产品能全部销售出去，问每 期怎样安排生产，才能使利润和产值都最大，且造成的污染 最小？
甲
资源A单位消耗
max( f3 ( X )) 3x1 2x2
9x1 4x2 240 4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1, x2 0
望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f2 (X ) 400x1 600x2 20000
f3 (X ) 3x1 2x2 90
由主要目标法化为单目标问题max f1( X ) 70x1 120x2
用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x2 26.25, f1(x) 4025, f2 (x) 20750, f3 (x) 90
400x1 600x2 20000 3x1 2x2 90 9x1 4x2 240 4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1, x2 0
aij
f1
f2
f3
f4
f5
f6
A1
1
1
67
50.5 34
50.5
A2
100
100
1
100
1
1
A3
1
42.25 100
1
67
100
A4
40.6 25.75 67
25.75 100
1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3), 则

在一个规划问题中，决策者在要求达到这些目标时， 是有轻重缓急的，称这些目标是属于不同层次的优先等 级。优先等级层次的高低可分别通过优先因子P1，P2，… 表示，并规定Pk ＞＞Pk＋1，符号“＞＞”表示“远大 于”，表示Pk与Pk＋1，不是同一各级别的量，即Pk与Pk＋1 有更大的优先权。
对属于同一层次优先等级的不同目标，按其重要程度 可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个具体数字， 乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
规划模型：
max Z 6 x1 8 x 2
5 x1 10 x 2 60 s.t. 4 x1 4 x 2 40
x1
,
x2
0
解得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，
利润为 zmax 64元。
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如果工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实 际情况，考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元。
负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，是
软约束。
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①目标函数变为目标约束
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和偏差 变量后可变换为目标约束。
比如：计划利润不少于48元。
6x1 8x2
6x18x2dd48
这样就将目标函数则转化为目标约束。
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②绝对约束变为目标约束
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况 之一，对应每种要求，可分别构造目标函数：
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构造目标函数的方法
x1x2dd0
• 如希望产品Ⅰ 产量恰好等于产品Ⅱ的产量 ，即正、 负偏变量都要尽可能地小，这时目标函数是：

例5.2 在例5.1中，若提出下列要求： 第1级目标：产品B产量不低于产品A的 产量； 第2级目标：充分利用设备台时，但不加 班； 第3级目标：利润不小于30。 试建立目标规划模型。
问题的数学模型为：
min z P1 d1 P2 (d 2 d 2 ) P3 d 3
由于决策值不能既达不到目标值又超过目标值，故
d d 0, d 0, d 0




产品
例5.1中产品利润的目标 值36，
资源
原料 设备台时
决策值 4 x1 3x2，
引入 d 3 , d 3 划为：
3 3
产品 A B 2 3 3 2
资源 量 24 26


单位产品 的利润
1 1
2
3
4
解：作图如下 在满足前两个目标下, 只能在HE连线上
x2 50
C
d 3 , d4 取值范围
40
D
30
d1
d
1
x1 24 d3 d3 d4
Q
当 d 3 0, d 4 4 当d4 0, d 3 4
H E
20
d4
3、求满足最高优先等级目标的解； 4、转到下一个优先等级的目标，在不破 坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该 优先等级目标的解； 5、重复4，直到所有优先等级的目标都已 审查完毕为止； 6、确定最优解和满意解。
例5.3 用图解法求解目标规划问题
min Z P d P2 ( d d ) P3 d x1 x2 d1 d1 0 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x1 10 x2 d 3 d 3 56 2 x x 11 1 2 x1 2 0, d , d 0 ( j 1,2,3) j j

P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
间，两厂的单位运转成本当作它们的权系数．
A药 甲厂 2h 乙厂 2.5h 存贮费 8元 利润 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每月25天 7台，每天16h，每月25天
例4:已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30x1 12x2 （利润）
2 x1 x2 140 (甲 资 源)
x1
60 (乙 x1 2 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现 有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元； 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产 量不超过 60 件和 100 件； 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。 试建立目标规划模型，并用图解法求解。
(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
(x ,x ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . , . ) ( . , . )
其中： , i ( i , , , )
这种满足所有目标要求的情况，即：mizn0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
作图： x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d
1
BA
d
2
d
2
C
d
4
⑷
d
4
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4