陕西省榆林市定边县第四中学高二数学上学期竞赛试题 文

2023-2024学年陕西省榆林市高二上册10月期中考试数学（理）模拟试题一、单选题1．设命题2:,21p x Z x x ∃∈≥+，则p 的否定为（）A ．2,21x Z x x ∀∉<+B ．2,21x Z x x ∀∈<+C ．2,21x Z x x ∃∉<+D ．2,2x Z x x∃∈<【正确答案】B【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】命题2:,21p x Z x x ∃∈≥+，则p 的否定为.2,21x Z x x ∀∈<+故选：B全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．2．已知x ，y 的取值如下表所示：x 0134y2.24.34.86.7若y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则=a （）A ．2.2B ．2.9C ．2.8D ．2.6【正确答案】D【分析】利用平均数可得样本的中心点为()2,4.5，将中心点对应的值代入题目中的等式即可求出a 的值.【详解】由表格，得()1013424x =+++=，()12.2 4.3 4.8 6.7 4.54y =+++=，线性回归直线过样本中心点()2,4.5，所以4.50.952a =⨯+，所以 2.6a =.故选：D3．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可【详解】①“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.故选：C此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题4．点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离为2，则=a （）A ．112-B ．11124-或C ．14D ．124-或【正确答案】B【分析】根据抛物线的准线方程的公式结合抛物线的开口分类讨论求解.【详解】由题可得抛物线方程为:21x y a =，所以12p a=，若0a >，则抛物线开口向上，准线为124p y a=-=-，所以点(1,1)M 到准线的距离为1124a +=解得14，若a<0，则抛物线开口向下，准线为124p y a=-=-，所以点(1,1)M 到准线的距离为1124a +=解得14a =（舍）或112a =-，故选:B.5．某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团．已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑a b c 剪纸x y z其中x：y：z＝5：3：2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35．为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个容量为50的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽取的人数为（）A．4B．6C．9D．10【正确答案】B【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.【详解】因为“泥塑”社团的人数占总人数的3 5，所以“剪纸”社团的人数占总人数的25，人数为28003205⨯=．因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为3353210 yx y z==++++，所以“剪纸”社团中高二年级人数为3 3209610⨯=．以从“剪纸”社团的高二年级学生中抽取的人数为501 9696=680016⨯=⨯．故选：B.6．执行如下所示的程序框图，则输出的a=（）A．2B．1C．-1D．12【正确答案】D【分析】由初始条件进入循环体，求出每一次a 的值，可以发现规律，最后求出答案.【详解】11,2n a ==；2,1n a ==-；3,2n a ==；14,2n a ==；…，a 的值构成以3为周期的数列，因为202036731=⨯+，所以当2020n =时，12a =.故选：D本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.7．已知命题p ：x ∀∈R ，23x x <；命题q ：x ∃∈R ，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q∧⌝D ．p q⌝∧⌝【正确答案】B【详解】0x =可知:命题p ：x ∀∈R ，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．命题的真假判断．8．已知12F F ，分别是双曲线E :2222100x ya b a b -=>>（，）的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，1MF 与x 轴垂直，21s 13in MF F =∠，则双曲线E 的离心率为（）A ．32BCD ．2【正确答案】B【分析】根据直角三角形边与角的关系可得213MF MF =，再利用双曲线的定义可求出12,3MF a MF a ==，利用勾股定理即可求解.【详解】在直角三角形12MF F 中，12121sin 3MF MF F MF ∠==,所以213MF MF =，根据双曲线的定义可知21122MF MF MF a -==，所以12,3MF a MF a ==，所以在直角三角形12MF F 中由勾股定理得22249a c a +=，则222c a=，所以c e a ==故选:B.9．已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则||||AC BD +的最小值为（）A ．32B ．2C ．3D ．5【正确答案】B【分析】根据抛物线的定义可得2AC BD AB +=-，直线与抛物线联立求出焦点弦长，讨论最值求解.【详解】因为抛物线为24y x =，所以2p =，焦点(1,0)F 设()()1122,,,A x y B x y ，根据抛物线的定义可得122p p AC x AF +=+=，222p pBD x BF +=+=，所以AC BD p AF BF ++=+，所以2AC BD AF BF +=+-,即2AC BD AB +=-因为过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，所以直线的斜率不等于0，设为1x my =+，联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，所以124y y m +=，212121211()242x x my my m y y m +=+++=++=+，所以212124422p p AB AF BF x x x x p m =+=+++=++=+，所以当且仅当0m =时AB 有最小值为4，则2AC BD AB +=-有最小值为2.故选:B.10．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）F 为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的距离）距离地面n 千米，并且F ，A ，B 在同一条直线上，地球的半径为R 千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（）千米A ．2mnB ()()m R n R ++C ．mn D ．()()m R n R ++【正确答案】D【分析】根据题设条件可求椭圆的长半轴长和焦距的关系式，从而可求短半轴长.【详解】由题设条件可得FB n R =+，FA R m =+，设椭圆的半长轴长为a ，半焦距为c ，则a c n R +=+，a c R m -=+，故短半轴长为()()22b a c m R n R =-++，所以短轴长为()()2m R n R ++故选：D.11．设e 是椭圆2214x yk+=的离心率，且1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围是（）A ．()0,3B ．1633,⎛⎫⎪⎝⎭C ．()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．16,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】对k 分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数k 的取值范围.【详解】由椭圆方程2214x y k+=，当04k <<时，24a =，2b k =，24c k =-，所以22244c ke a -==，由1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得03k <<，当4k >时，2a k =，24b =，24c k =-，所以2224c k e a k-==，由1,12e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得163k >，故实数k 的取值范围为()160,3,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：C.本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于基础题.12．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点，1F 、2F 为其左、右焦点，O 为坐标原点．过点P 向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M 、N ，则下列所述错误的是（）A ．PM PN ⋅为定值B ．O 、P 、M 、N 四点一定共圆C ．12PF PF ⋅的最小值为2b -D ．存在点P 满足P 、M 、1F 三点共线时，P 、N 、2F 三点也共线【正确答案】D【分析】对于A ，设()00,P x y ，表示出||||PM PN ，，即可判断A ；对于B ，由题目可得，M ，N 两点在以OP 为直径的圆上，故可判断B ；对于C ，由双曲线的对称性可知2212||PF PF PO c ⋅=- ，由22||PO a ≥ ，故可判断C ；对于D ，利用双曲线的对称性，不妨设直线1F N 垂直一条渐近线，垂足为N ；直线2F M 垂直另一条渐近线且交双曲线于点P ，易知直线1F N 与直线2F M 的交点始终落在y 轴上，可判断D.【详解】解：设()00,P x y ，点()00,P x y 到渐近线by x a =的距离为PM =同理||PN =22220022b x a y PM PN a b-⋅=+，∵2200221x y a b-=，即22222200b x a y a b -=，∴2222a b PM PN a b ⋅=+（定值），故A 正确；∵90OMP ONP ∠=∠= ，∴OMP 和ONP △均为直角三角形，M ，N 两点在以OP 为直径的圆上，故B 正确；由双曲线的对称性可知()()222212111PF PF PO OF PO OF PO OF PO c ⋅=+⋅-=-=- ，其中222c a b =+，∵22PO a ≥ ∴22212PF PF a c b ≥--⋅= 成立，故C 正确；如图利用双曲线的对称性，不妨设直线1F N 垂直一条渐近线，垂足为N ；直线2F M 垂直另一条渐近线且交双曲线于点P ，易知直线1F N 与直线2F M 的交点始终落在y 轴上，故D 不正确.故选：D.二、填空题13．双曲线2212x y -=的渐近线方程为_________.【正确答案】2y x =±【分析】由双曲线方程得1a b =，再计算渐近线方程.【详解】由2212x y -=，得1a b ==，故渐近线方程为y x x ==，故y x =14．下列命题正确的是_________.（填入序号）①若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则()()p q ⌝∨⌝为真命题.②命题“若a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>”及它的逆命题均为真命题.③命题“若20x x +=，则0x =或=1x -”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”.【正确答案】①③【分析】通过命题的性质一一判定即可.【详解】对于①：命题p 为假命题，命题q 是真命题，则命题p ⌝为真命题，命题q ⌝为假命题，对于()()p q ⌝∨⌝有真为真，则()()p q ⌝∨⌝为真命题；对于②：命题“若a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>”中，当a 与b的夹角为锐角，则cos ,0a b > ，则cos ,0a b a b a b ⋅=⋅> ，则原命题为真命题，它的逆命题“若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角”中，当0a b ⋅>，则cos ,0a b a b a b ⋅=⋅> ，则cos ,0a b >，则a 与b的夹角为锐角或0，则它的逆命题为假命题；对于③：对于命题“若20x x +=，则0x =或=1x -”，它的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”；综上所述：①③正确，故①③.15．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()297ax f xx =+-，若“[)01x f x a ∃∈+∞<+，，（）”是假命题，则实数a 的取值范围为________.【正确答案】8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】先利用()y f x =是定义在R 上的奇函数求出x≥0函数的解析式,再根据“[)0()1x f x a ∃∈+∞<+，，”是假命题，可得该命题的否定是真命题，即()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，利用基本不等式求出()f x 的最小值,解不等式求出a 的范围.【详解】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x =时,()0f x =；当0x >时,则0x -<,所以2()97a f x x x-=--+.所以()()297a f x f x x x=--=+-.因为()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，所以当0x =时,01a ≥+成立,所以1a ≤-；当0x >时,2971a x a x +-≥+成立,只需要2min 971a x a x ⎛⎫+-≥+ ⎪⎝⎭,因为297767a x a x +-≥-=-，所以671a a -≥+,解得：85a ≥或87a ≤-；综上所述.87a ≤-故a 的取值范围为8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.三、双空题16．椭圆22110036x y +=上一点P 满足到左焦点1F 的距离为8，则点P 到右焦点的距离为________，12F PF ∆的面积是________【正确答案】12【分析】由椭圆定义可知122PF PF a +=，可得212PF =；结合余弦定理算得12os 14c P F F =-∠，再结合面积公式求解.【详解】由22110036x y +=，则10,6,8a b c ===，1216F F =故12220PF PF a +==，且18PF =，则212PF =；22212121212641442561cos 228124PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯,12sin 4F F P ==∠，12Δ181224F PF S =⨯⨯⨯=故12，四、解答题17．在①A B ⋂=∅；②“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B B ⋃=这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{|},111|3{}A x a x a B x x =-≤≤=≤≤-+.(1)当2a =时，求A ∪B ；(2)若_______，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1){|13}B x x A -≤≤⋃=(2)答案见解析【分析】（1）由并集运算求解即可；（2）选①：由交集运算的结果列出不等式，得出实数a 的取值范围.选②：由A 是B 的真子集，结合包含关系得出实数a 的取值范围.选③：由A B ⊆，结合包含关系得出实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，集合1313{|},{|}A x x B x x =≤≤=≤≤-，所以{|13}B x x A -≤≤⋃=.（2）若选择①A B ⋂=∅，因为11{|}A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，又{|13}B x x =-≤≤，所以13a ->或11a +<-，解得4a >或2a <-，所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞ .若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则,A B A B ⊆≠，因为11{|}A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，又{|13}B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+<⎩或1113a a ->-⎧⎨+≤⎩解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2.若选择③A B B ⋃=，则A B ⊆，因为11{|}A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，又{|13}B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2.18．已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.（2）命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）1m ≥-；（2）[4,2]-.【分析】（1）B A ⊆，分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论求解即可；（2）由x A ∃∈，使得x B ∈，可知B 为非空集合且A B ⋂≠∅，然后求解A B ⋂=∅的情况，求出m 的范围后再求其补集可得答案【详解】解：（1）①当B 为空集时，121,2m m m +<->成立.②当B 不是空集时，∵B A ⊆，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，∴12m -≤≤综上①②，1m ≥-.（2）x A ∃∈，使得x B ∈，∴B 为非空集合且,121,2A B m m m ≠∅+≥-≤ .当A B ⋂=∅时2142m m -≥⎧⎨≤⎩，无解或132m m +<-⎧⎨≤⎩，4m <-，∴,[4,2]A B m ≠∅∈- .19．下表是某高校2017年至2021年的毕业生中，从事大学生村官工作的人数：年份20172018201920202021年份代码x12345y （单位：人）24478经过相关系数的计算和绘制散点图分析，我们发现y 与x 的线性相关程度很高．(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程ˆˆˆybx a =+；(2)根据所得的经验回归方程，预测该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数．参考公式：()()()1122211ˆn niii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay b x =-⋅．【正确答案】(1)ˆ 1.50.5yx =+(2)11人【分析】（1）利用最小二乘法计算可得经验回归方程；（2）将7x =代入经验回归方程即可求得所求预估值.【详解】（1）由表格数据知：1234535x ++++==，2447855y ++++==，512812284090iii x y==++++=∑，521149162555i i x ==++++=∑，90535ˆ 1.55559b-⨯⨯∴==-⨯，ˆ5 1.530.5a∴=-⨯=，y ∴关于x 的经验回归方程为.ˆ 1.50.5y x =+（2）2023年对应的7x =，则ˆ 1.570.511y=⨯+=，即该校2023年的毕业生中，去从事大学生村官工作的人数约为11人.20．2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计样本数据的中位数；(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[]200,280的学生中抽取6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记“抽取的3人中恰有2人的观赛时长在[)200,240”为事件A ，求()P A ．【正确答案】(1)0.004a =，中位数为160；(2)35【分析】（1）先利用频率的和为1求出a ，利用频率分布直方图计算得观看时长在160分钟以下的样本所占比例为0.5，即可得到中位数；（2）利用分层抽样确定[)200,240，[]240,280应抽取的人数，对6人进行编号，用列举法写出任取3人的所有基本事件，得出事件A 的基本事件，计数后计算概率【详解】（1）由题意得400.00050.002220.0060.0065)1(a ⨯+⨯+++=,解得0.004a =，由频率分布直方图可知,观看时长在160分钟以下的样本所占比例为()400.00050.0020.0040.0060.5⨯+++=，所以样本数据的中位数为160；（2）由题意，观看时长在[)200,240，[]240,280对应的频率分别为0.004400.16⨯=和0.002400.08⨯=，所以采用分层随机抽样的方式在这两个区间中应分别抽取4人和2人，设观看时长在[)200,240的4人为,,,A B C D ，观看时长在[]240,280的2人为,E F ，从中抽取3人的基本事件有：,,,,,,,ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ,,,,,,ADE ADF AEF BCD BCE BCF ,,,,,,BDE BDF BEF CDE CDF CEF DEF 共20个，其中事件A 的基本事件有,,,,ABE ABF ACE ACF ,,,,ADE ADF BCE BCF ,,,BDE BDF CDE CDF 共12个，所求概率为()123205P A ==21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【正确答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得20025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥=，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的斜率为k ，则22229525⎛⎫==-⎪⎝⎭y k x x x ．令11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭t t x ，则2292255=-+k t t 的对称轴为59t =，所以21110,933≤≤-≤≤k k ．故直线OQ 斜率的最大值为13．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ．因为(1,0),9= F PQ QF ，所以()24,49(1,)--=--x t y t x y ．于是249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩，所以21049104x t y t⎧=+⎨=⎩则直线OQ的斜率为244194934==≤++y t x t t t ．当且仅当94t t=，即32t =时等号成立，所以直线OQ 斜率的最大值为13．【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率关于y 的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到点Q 的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ 的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率k 的平方关于x 的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线OQ 斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，离心率为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【正确答案】（1）22194x y +=；（2）220013x y +=.【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出c 的值，然后根据离心率求出a 的值，最后根据a 、b 、c 三者的关系求出b 的值，从而确定椭圆C 的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点P 所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为1k 、2k ，并由两条切线的垂直关系得到121k k =-，并设从点()00,P x y 所引的直线方程为()00y k x x y =-+，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用0∆=得到有关k 的一元二次方程，最后利用121k k =-以及韦达定理得到点P 的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P 的坐标，并验证点P 是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P 的轨迹方程.（1）由题意知33a a =⇒=，且有2b =，因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=；（2）①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时，分别设为1k 、2k ，则121k k =-，将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=，()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=--⨯+--=⎣⎦⎣⎦，化简得()2200940y kx k ---=，即()()22200009240x k kx y y --+-=，则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k kx y y --+-=的两根，则201220419y k k x -==--，化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P 的坐标为()3,2±±，此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述，点P 的轨迹方程为2213x y +=.本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.。

考试说明：时间分钟，满分1分。

知识结构：一、古文阅读1--4题19分；现代文阅读（25分）；三、—18题（30分）；四、语言运用—22题（12分；、名句默写（4分）；、作文（0分） 阅读下面一段文字，完成1--4题。

（19分，1—3题每小题3分。

） 孙权，字仲谋。

兄策既定诸郡，时权年十五，以为阳羡长。

郡察孝廉，州举茂才。

(建安)五年,策薨，以事授权，权哭未及息，策长史张昭谓权曰：“孝廉，此宁哭时邪? 且周公立法而伯禽不师，非欲违父，时不得行也。

况今奸宄竞逐，豺狼满道，乃欲哀亲戚，顾礼制，是犹开门而揖盗，未可以为仁也。

”乃改易权服，扶令上马，使出巡军。

是时，惟有会稽、吴郡、丹杨、豫章、庐陵，然深险之地犹未尽从，而天下英豪布在州郡，宾旅寄寓之士以安危去就为意，未有君臣之固。

张昭、周瑜等谓权可与共成大业，故委心而服事焉。

曹公表权为讨虏将军，领会稽太守，屯吴，使丞之郡行文书事。

待张昭以师傅之礼，而周瑜、程普、吕范等为将率。

招延俊秀，聘求名士，鲁肃、诸葛瑾等始为宾客。

分部诸将，镇抚山越，讨不从命。

建安十三年）荆州牧刘表死，鲁肃乞奉命吊表二子，且以观变。

肃未到，而曹公已临其境，表子琮举众以降。

刘欲南济江，肃与相见，因传权旨，为陈成败。

备进住夏口，使诸葛亮诣权，权遣周瑜、程普等行。

是时曹公新得表众，形势甚盛。

诸议者皆望风畏惧，多劝权迎之。

惟瑜、肃执拒之议，意与权同。

瑜、普为左右督，各领万人，与备俱进，遇于赤壁，大破曹公军。

公烧其余船引退，士卒饥疫，死者大半。

备、瑜等复追至南郡。

十六年，权徙治秣陵。

明年，城石头，改秣陵为建业。

闻曹公将来侵，作濡须坞。

十八年正月，曹公攻濡须，权与相拒月余。

曹公望权军，叹其齐肃，乃退。

(《三国志·吴主传》) 注：周公立法而伯禽不师：周公制定的礼法制度，他的儿子、受封于鲁国的伯禽却没有遵守。

按照古人的解释，伯禽在服丧期间，徐戎（周代居住在今徐州一代的少数民族）作乱，伯禽就停止服丧而率兵讨伐，平定了徐戎。

高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

陕西省定边县第四中学2020学年高二数学上学期第一次月考试题 文（无答案）（考试范围：数列、解三角形。

考试时间：100分钟 。

满分：150分。

）一、选择题（本题共10小題，每道题5分，共50分）1. 在等差数列{}n a 中，已知13,2321=+=a a a ，则公差d 等于（ ）A 、2B 、3C 、4D 、52. 设等比数列{}n a 的公比2=q ， 前n 项和为{}n S ，则=24a s （ ）A ． 2B ．4C ．215D ．2173. 等差数列{}n a 中,已知29,12,5523==+=n a a a a ,则n 为 （ ）A ．13B ．14C ．15D ．164. 等比数列66,33,++a a a ．．．．．．的第四项等于（ ）A ．24B ．12C ．0D ．-245. 设等比数列{}n a 各项均为正数，且187465=+a a a a ，则=+++1032313log ...log log a a a （ ）A ．12B ．10C ．8D ．5log 23+6. 在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a,b,c,已知b=2，οο15,30==C B ，则a=（ ） A. 22 B. 32 C. 26- D.47. 在锐角ABC ∆中,角A,B 所对的边长分别为a,b ．若b B a 3sin 2=则，角A 为（ ） A ．12π B ．6π C ．4πD ． 3π8. 在△ABC 中,角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若ac b c a 3222=-+,则角B 的值为( ) A. 6π B. 3π C. 6π或65π D. 3π或32π9. 已知数列{}n a 满足34,0321-==++a a a n n 则{}n a 的前10项和为 （ ）A ．)31(610---B ．)31(9110--C ．)31(310--D ．)31(310-+ 10. 数列{}n a 满足n n a a a 11,2111-==+，则2010a 等于（ ）A 、21B 、-1C 、2D 、3二、选择题（本题共5小題，每道题5分，共25分）11. 在等差数列{}n a 中,若304321=+++a a a a ,则=+32a a ___________ 12. 在等差数列{}n a 中，4,771-=-=a a 则数列{}n a 的前 项和最小．13. 若数列{an}满足关系a1＝3，an ＋1＝an ＋n ，则该数列的通项公式为________．14. 在等差数列}{n a 中，前n 项和n S ，若1010=S ，3020=S ，则30S ＝15. 观察下列等式:照此规律, 第n 个等式可为_ __三、解答题（本题共6小題，每道题5分，共25分）16．（12分）已知等差数列{an}满足：a4＝6，a6＝10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}的各项均为正数，Tn 为其前n 项和，若b1＝1，b3＝a3，求Tn.17.(12分) 在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B 及S ABC ∆18（12分）有四个数和为21，前3个数为等比数列，后3个数为等差数列和为12，求这四个数。

2021-2022学年陕西省榆林市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500 名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（ ） A ．总体 B ．个体 C ．样本 D ．样本容量【答案】C【分析】由样本的概念即知.【详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本. 2．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥ D ．x R ∀∈，2210x x -+<【答案】C【详解】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，故命题20",210"x R x x ∃∈-+<的否定是“2,210x R x x ∀∈-+≥”.本题选择C 选项.3．已知双曲线的焦点在y 轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为（ ） A ．225x -216y ＝1B ．216x -225y ＝1C ．225y -216x ＝1D ．216y -225x ＝1【答案】D【分析】根据双曲线的性质求解即可.【详解】双曲线的焦点在y 轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a ＝4，b ＝5，所以双曲线方程为：216y -225x ＝1.故选：D.4．已知命题p ：∀x ＞2，x 2＞2x ，命题q ：∃x 0∈R ，ln （x 02+1）＜0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p ∧()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．p ∧qD ．p ∨q【答案】B【分析】取x ＝4，得出命题p 是假命题，由对数的运算得出命题q 是假命题，再判断选项.【详解】命题p ：∀x ＞2，x 2＞2x ，是假命题，例如取x ＝4，则42＝24； 命题q ：∃x 0∈R ，ln （x 02+1）＜0，是假命题，∵∀x ∈R ，ln （x 2+1）≥0. 则下列命题是真命题的是()p q ∨⌝. 故选：B.5．已知函数()2x f x =，在[1,9]上随机取一个实数0x ，则使得()0 8f x ≤成立的概率为（ ）A ．18B ．14C ．13D ．23【答案】B【分析】首先求不等式的解集，再根据区间长度，求几何概型的概率.【详解】由()08f x ≤，得028x ≤，解得03x ≤，∴在区间[1,9]上随机取一实数0x ，则实数0x 满足不等式()08f x ≤的概率为311914P -==-． 故选：B6．下列函数求导运算正确的个数为（ ）①()333log e xx '=；②()e e x x '=；③1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；④()e e 1x xx '⋅=+.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断． 【详解】解：①()33ln 3x x '=，故错误；②()e e x x '=，故正确； ③211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⋅⎝⎭，故错误；④()e e e x x x x x '⋅=+⋅，故错误. 所以求导运算正确的个数为1. 故选：A.7．设抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线l 与y 轴的交点为M ，P 是C 上一点，若5PF =，则PM =（ ）A B ．5C ．D 【答案】D【分析】求出抛物线的准线方程，可得出点M 的坐标，利用抛物线的定义可求得点P 的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】易知抛物线的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-，可得准线与y 轴的交点()0,1M -，设点(),P m n ，由抛物线的性质，15PF n =+=，可得4n =，所以，2416m n ==，解得4m =±，即点()4,4P ±，所以PM =故选：D.8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（ ） A ．甲与丙是互斥事件 B ．乙与丙是对立事件 C ．甲与丁是对立事件 D ．丙与丁是互斥事件【答案】D【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．【详解】当第一次取出1，第二次取出4时，甲丙同时发生，不互斥不对立； 第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立，当第一次取出1，第二次取出3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立，两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立． 故选：D ．9．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）A ．得分在[40,60)之间的共有40人B ．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5C ．这100名参赛者得分的中位数为65D ．可求得0.005a = 【答案】C【分析】根据给定的频率分布直方图，结合直方图的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】由频率分布直方图，可得A 中，得分在[40,60)之间共有[1(0.030.020.01)10]10040-++⨯⨯=人，所以A 正确；B 中，从100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)中的概率为(0.030.02)100.5+⨯=，所以B 正确；D 中，由频率分布直方图的性质，可得(0.010.0350.030 2.0200.010)101a +++++⨯=， 解得0.005a =，所以D 正确.C 中，前2个小矩形面积之和为0.4，前3个小矩形面积之和为0.7，所以中位数在[60，70]，这100名参赛者得分的中位数为0.50.4601063.30.3-+⨯≈，所以C 不正确； 故选：C.10．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()'f x ，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f 【答案】D【详解】()()2,10,10x x x f x --'->则()0f x '>函数()f x 增；()()21,10,10x x x f x -<--<'则()0f x '<函数()f x 减；()()12,10,10x x x f x <<--'则()0f x '<函数()f x 减；()()2,10,10x x x f x >-<-<'则()0f x '>函数()f x 增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，D 为y 轴上一点，12DF F △为正三角形，若1DF ，2DF 的中点恰好在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．31-B ．23-C ．21-D ．22-【答案】A【解析】根据题意得1122DF F F c ==，取线段1DF 的中点M ，则根据题意得1MF c =，23MF c =，根据椭圆的定义可知3c c a +=，然后解出离心率e 的值.【详解】因为12DF F △为正三角形，所以1122DF F F c ==，取线段1DF 的中点M ，连结2MF ，则21MF DF ⊥，所以1232MF MF c c a +=+=，得23131ca ，所以椭圆C 的离心率31e =-. 故选：A.【点睛】求解离心率及其范围的问题时，解题的关键在于画出图形，根据题目中的几何条件列出关于a ，b ，c 的齐次式，然后得到关于离心率e 的方程或不等式求解．二、多选题12．有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+（1i =1，2，…，n ），c 为非零常数，则下列说法错误．．的是（ ） A ．两组样本数据的样本平均数相同 B ．两组样本数据的样本众数不同 C ．两组样本数据的样本标准差相同 D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】AB【分析】根据平均数和标准差的性质以及众数和极差的概念可得答案.【详解】设样本数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的样本平均数为x ，样本众数为m ，样本标准差为s ，根据平均数和标准差的性质可知，样本数据1y ，2y ，3y ，…，n y 的样本平均数为x c +，样本标准差为s ，根据众数的概念可知，样本数据1y ，2y ，3y ，…，n y 的样本众数为m c +， 根据极差的概念可知两组样本数据的样本极差相同. 所以两组样本数据的标准差和极差相同，平均数和众数不同. 故选：AB 三、填空题13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高二被抽取的人数为__. 【答案】30【分析】利用分层抽样可求得n 的值，再利用分层抽样可求得高二被抽取的人数. 【详解】高一年级抽取的人数为：2400903624002000n⨯=++人，则1600n =，则高二被抽取的人数20009030240020001600⨯=++，故答案为：30.14．已知双曲线2221(0)x y a a-=>两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是___________.【答案】y x =. 【分析】根据条件求出c ，进而根据222c a b =+求出a ，最后写出渐近线方程.【详解】因为双曲线2221(0)x y a a-=>两焦点之间的距离为4，所以24c =，解得2c =，所以2214c a =+=，3a =，双曲线的渐近线方程是33y x =±. 故答案为：33y x =±. 15．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 __.【答案】5【分析】明确程序运行的顺序，写出每次循环的m ,n 的值，直到判断符合条件时结束，即可得到结果.【详解】第一次循环，m ＝3，n ＝2； 第二次循环，m ＝6，n ＝3； 第三次循环，m ＝9，n ＝4；第四次循环，m ＝12，n ＝5，此时m +n ＞15，跳出循环， 故答案为：5.16．已知函数()()2e ln f x xf x +'=，则f （e ）＝__. 【答案】1-【分析】由导数得出()1e ef '=-，再求()e f .【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=， ∴()()12e f x f x''=+， ()()1e 2e ef f ''∴=+，解得()1e ef '=-，()2ln exf x x ∴=-+， ()e 211f ∴=-+=-，故答案为：1-. 四、解答题17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤5}，集合B ＝{x |2-a ≤x ≤1+2a }，其中a ∈R . (1)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围； (2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求a 的取值范围. 【答案】(1)()2,+∞ (2)(],1-∞【分析】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，可得A B ⊆，从而可得关于a 的不等式组，解不等式组可得答案；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，可得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可 (1)由题意得到A ＝[1，5]，由“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件可得A ⊆B ，则21125a a -≤⎧⎨+>⎩，解得2a >，故实数a 的取值范围是()2,+∞. (2)由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件可得B ⊆A ， 当B =∅时，2-a ＞1+2a ，即a ＜13时，满足题意，当B ≠∅时，即a ≥13时，则12125a a ≤-⎧⎨+≤⎩，解得13≤a ≤1.综上a ≤1，故实数a 的取值范围是(],1-∞.18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表: 零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时) 2.5344.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图.（2）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，试预测加工10个零件需要多少小时?（注：1221ni ii nii x y n x yb n xx--=-=-=-∑∑，a y b x --=-）【答案】（1）见解析；（2）0.7 1.05y x ∧=+，预测加工10个零件大约需要8.05小时 【分析】（1）由题意描点作出散点图；（2）根据题中的公式分别求ˆb 和ˆa ，即得0.7 1.05y x ∧=+，令10x =代入求出ˆy的值即可. 【详解】（1）散点图（2）23453.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==，412 2.533445 4.552.5i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42149162554i i x ==+++=∑∴252.54 3.5 3.50.7544 3.5b ∧-⨯⨯==-⨯， 3.50.7 3.5 1.05a ∧=-⨯=， ∴回归直线方程：0.7 1.05y x ∧=+， 令10x =，得ˆ0.710 1.058.05y=⨯+=， ∴预测加工10个零件大约需要8.05小时.【点睛】本题主要考查了散点图，利用最小二乘法求线性回归方程，考查了学生的基本作图能力和运算求解能力.19．已知函数()214ln f x x x =+-．（1）求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 在[]1,3上的最大值与最小值．【答案】（1）250x y +-=；（2）最大值与最小值分别为3与54ln2-． 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率即可求出结果； （2）利用导数研究函数的单调性，进而结合函数的单调性即可求出最值.【详解】（1）因为()214ln ,0f x x x x =+->，所以()42f x x '=-所以()()13,12f f '==-．所以()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为32(1)y x -=--，即250x y +-=． （2）由（1）知()()[]2242,1,3x f x x x x-'=-=∈ 令()0f x '>，则23x <≤；令()0f x '<，则12x ≤<．所以()f x 在[]1,2上单调递减，在(]2,3上单调递增．所以()()min 254ln2f x f ==- 又()()()()13,374ln3,134ln310()f f f f =-==--≥，所以()max 3f x =． 所以()f x 在[]1,3上的最大值与最小值分别为3与54ln2-．20．2020年10月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智､以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远､掷实心球､一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分，某校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其一分（1）若每分钟跳绳成绩不足18分，则认为该学生跳绳成绩不及格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格的人数为多少？（2）该学校决定由这次跳绳测试一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生组成“小小教练员"团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中选派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率【答案】（1）14人；（2）35. 【分析】（1）根据频率直方表区间成绩及其对应的频率，即可求每分钟跳绳成绩不足18分的人数.（2）由表格数据求出一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生共6人，列举出六人中选两人参加比赛的所有情况、小明和小华至少有一个被选派的情况，由古典概型的概率求法即可得小明和小华至少有一人被选派的概率.【详解】（1）由表可知，每分钟跳绳成绩不足18分，即为成绩是16分或17分， ∴在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格人数为：1000.051000.0914(⨯+⨯=人) （2）一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生频率为0.06，其人数为：1000.066⨯=(人)，记小明为m ，小华为h ，其余四人为a b c d ,,,，则在这六人中选两人参加比赛的所有情况为：()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,a b a c a d a m a h b c b d ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,b m b h c d c m c h d m d h m h 共15种，其中小明和小华至少有一个被选派的情况有：()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,a m a h b m b h c m c h d m ，()(),,,d h m h 共9种，∴小明和小华至少有一人被选派的概率为：93155P ==. 21．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与椭圆M ：2243x y +＝1的右焦点重合. (1)求抛物线C 的方程；(2)直线y ＝x +m 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当m 为何值时，OA OB ⋅＝0.【答案】(1)y 2＝4x(2)m ＝﹣4或m ＝0【分析】（1）由椭圆的右焦点得出p 的值，进而得出抛物线C 的方程；（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理结合数量积公式证明即可.(1) 由题意，椭圆2243x y +＝1的右焦点为（1，0），抛物线y 2＝2px 的焦点为（2p ，0），所以12p =，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ； (2)因为直线y ＝x +m 与抛物线C 交于A ，B 两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组24y x m y x=+⎧⎨=⎩，可得x 2+2（m ﹣2）x +m 2＝0， 由Δ＝4（m ﹣2）2﹣4m 2＞0，解得m ＜1，所以x 1+x 2＝﹣2m +4，x 1x 2＝m 2，又因为0OA OB ⋅=，又OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，y 2），可得OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（x 1+m ）（x 2+m ）＝2x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2＝m 2+4m ＝0， 解得m ＝﹣4＜1或m ＝0＜1，故m ＝﹣4或m ＝0.22．已知函数()()()1e 0x f x ax a =+≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若2a =，当0x >时，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)(,-∞.【分析】（1）求得()()1e x f x ax a '=++，分0a >、0a <两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）利用参变量分离法可得出()21e x x k x +≤对任意的0x >恒成立，构造函数()()21e x x g x x+=，其中0x >，利用导数求出函数()g x 在()0,∞+上的最小值，由此可求得实数k 的取值范围.(1)解：函数()()()1e 0x f x ax a =+≠的定义域为R ，()()1e x f x ax a '=++.因为0a ≠，由()0f x '=，可得1a x a +=-. ①当0a >时，由()0f x '<可得1a x a +<-，由()0f x '>可得1a x a+>-. 此时，函数()f x 的单调递减区间为1,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；②当0a <时，由()0f x '<可得1a x a +>-，由()0f x '>可得1a x a+<-， 此时，函数()f x 的单调递增区间为1,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为1,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； 当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为1,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2)解：当2a =且0x >时，由()()21e xf x x kx =+≥，可得()21e x x k x +≤，令()()21e x x g x x +=，其中0x >，()()()()22221e 23e 21e x x x x x x x x g x x x +-+-+'==. 当102x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当12x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，则()min 12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭k ∴≤。

2017-2018学年陕西省榆林市定边县高二（上）期末数学试卷（理科）一、（选择题）1．（3分）在△ABC中，A=45°，B=60°，a=，则b=（）A．B．2C．D．22．（3分）命题“∃x0∈R，x2+x+2＜0”的否定是（）A．∃x0∈R，x2+x+2≥0 B．∀x∈R，x2+x+2≥0C．∀x∈R，x2+x+2＜0 D．∀x∈R，x2+x+2＞03．（3分）已知数列{an }中，an﹣an﹣1=2（n≥2），且a1=1，则此数列的第10项是（）A．18 B．19 C．20 D．214．（3分）已知函数f（x）=，则f′（）=（）A．﹣B．﹣C．﹣8 D．﹣165．（3分）设a，b∈R，则“a＞b是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．7．（3分）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x8．（3分）设函数f（x）在x=1处存在导数，则=（）A．B．3f'（1）C．f'（1）D．f'（3）9．（3分）下列命题中真命题的个数是（）①∀x∈R，x4＞x2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．310．（3分）若双曲线以y=±2x为渐近线，且过A（1，2），则双曲线的方程为（）A．﹣x2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．812．（3分）已知集合A={x∈R|2x﹣5≥0}，集合B={x∈R|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．B．{x|1＜x＜3} C．D．二、填空题13．（3分）若f（x）=sinxcosx，f'（0）= ．14．（3分）若x＞0，则的最小值为．15．（3分）已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则a= ．16．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为．三、解答题17．求下列椭圆的标准方程：（1）．（2）已知椭圆的焦点F1，F2分别为（﹣4，0），（4，0），且椭圆上的动点P到两焦点F1，F2的距离之和等于10．18．求下列函数的导数：（1）y=x2（lnx+sinx）；（2）（3）（4）y=2 x5+3 x4﹣4 x3+7．19．求下列函数在给定点处的切线方程（1）已知曲线y=x3+3x2+6x﹣10，（﹣1，﹣14）（2）已知曲线，（1，0）（3）已知曲线，（1，1）20．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4，焦点在x轴上（2）焦点坐标为（0，10），（0，﹣10），双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16（3）焦点为（0，﹣5），（0，5），经过点（，2）21．等差数列{an }的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．（1）求通项公式{an}．（2）求前n项和Sn ，并求S3．2017-2018学年陕西省榆林市定边县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、（选择题）1．（3分）在△ABC中，A=45°，B=60°，a=，则b=（）A．B．2C．D．2【解答】解：∵，A=45°，B=60°，a=，∴由正弦定理可得：b===．故选：C．2．（3分）命题“∃x0∈R，x2+x+2＜0”的否定是（）A．∃x0∈R，x2+x+2≥0 B．∀x∈R，x2+x+2≥0C．∀x∈R，x2+x+2＜0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x2+x+2＜0”的否定是∀x∈R，x2+x+2≥0．故选：B．3．（3分）已知数列{an }中，an﹣an﹣1=2（n≥2），且a1=1，则此数列的第10项是（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵an ﹣an﹣1=2，且a1=1，∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为an=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴a10=19故选B4．（3分）已知函数f（x）=，则f′（）=（）A．﹣B．﹣C．﹣8 D．﹣16【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣2x﹣3=﹣，则f′（）=﹣=﹣16，故选：D5．（3分）设a，b∈R，则“a＞b是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但不成立，反之若b＞0，a＜0时，满足，但a＞b不成立，即“a＞b是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．6．（3分）下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．【解答】解：的焦点坐标在y轴上，短半轴长为1，短轴才为2；所以A正确；选项B、D，焦点坐标在x轴上，不正确；选项C，短轴长为4，不正确；故选：A．7．（3分）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x【解答】解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即y=3x﹣1，故选A．8．（3分）设函数f（x）在x=1处存在导数，则=（）A．B．3f'（1）C．f'（1）D．f'（3）【解答】解：∵函数f（x）在x=1处存在导数，∴==f′（1）．故选：A．9．（3分）下列命题中真命题的个数是（）①∀x∈R，x4＞x2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的，故选B．10．（3分）若双曲线以y=±2x为渐近线，且过A（1，2），则双曲线的方程为（）A．﹣x2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，双曲线以y=±2x为渐近线，设双曲线的方程为﹣x2=t，又由双曲线经过点A（1，2），则有﹣1=t，解可得t=4，则双曲线的方程为﹣=1；故选：D．11．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D12．（3分）已知集合A={x∈R|2x﹣5≥0}，集合B={x∈R|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B=（）A．B．{x|1＜x＜3} C．D．【解答】解：∵集合A={x∈R|2x﹣5≥0}={x|x}，集合B={x∈R|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|}．故选：C．二、填空题13．（3分）若f（x）=sinxcosx，f'（0）= 1 ．【解答】解：函数导数f′（x）=cosxcosx﹣sinxsinx=cos2x﹣sin2x=cos2x，则f′（0）=cos0=1，故答案为：114．（3分）若x＞0，则的最小值为10 ．【解答】解：∵x＞0，则=10，当且仅当x=5时取等号．故答案为：10．15．（3分）已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则a= ±．【解答】解：由抛物线y2=8x，得2p=8，=2，其焦点坐标为F（2，0）．因为椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，所以椭圆的右焦点为F（2，0）．则椭圆是焦点在x轴上的椭圆，由a2=b2+c2=2+22=6，得a=±．故答案为：±．16．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为12 ．【解答】12解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（4，4）．此时z的最大值为z=2×4+4=4+8=12，故答案为：12．三、解答题17．求下列椭圆的标准方程：（1）．（2）已知椭圆的焦点F1，F2分别为（﹣4，0），（4，0），且椭圆上的动点P到两焦点F1，F2的距离之和等于10．【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆中a=6，e==，则有c=4，则b2=a2﹣c2=36﹣16=20，当椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为+=1，当椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为+=1，（2）椭圆的焦点F1，F2分别为（﹣4，0），（4，0），则c=4，椭圆上的动点P到两焦点F1，F2的距离之和等于10，则2a=10，即a=5，则b2=a2﹣c2=9，又由椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为+=1．18．求下列函数的导数：（1）y=x2（lnx+sinx）；（2）（3）（4）y=2 x5+3 x4﹣4 x3+7．【解答】解：（1）函数的导数y′=2x（lnx+sinx）+x2（+cosx）=2xlnx+2xsinx）+x+x2cosx；（2）y′==，（3）y′=（）lnx+=，（4）y′=10 x4+12 x3﹣12 x2．19．求下列函数在给定点处的切线方程（1）已知曲线y=x3+3x2+6x﹣10，（﹣1，﹣14）（2）已知曲线，（1，0）（3）已知曲线，（1，1）【解答】解：（1）y′=3x2+6x+6，=3﹣6+6=3，故y′|x=﹣1故切线方程是：y+14=3（x+1），即3x﹣y﹣11=0；（2）y′（x）=1+，=2，故y′|x=1故切线方程是：y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0；（3）y′==，=1，故y′|x=1故切线方程是：y﹣1=（x﹣1），即x﹣y=0．20．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4，焦点在x轴上（2）焦点坐标为（0，10），（0，﹣10），双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16（3）焦点为（0，﹣5），（0，5），经过点（，2）【解答】解：（1）∵a=3，b=4，焦点在x轴上，∴双曲线的标准方程﹣=1，（2）∵焦点坐标为（0，10），（0，﹣10），∴焦点在y轴上，且c=10，∵双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16，∴2a=16，∴a=8，∴b2=c2﹣a2=100﹣64=36，∴双曲线的标准方程﹣=1，（3）根据题意，双曲线的焦点为（0，﹣5），（0，5），则其焦点在y轴上，且c=5，又由双曲线经过点（，2），∴﹣=1，又b2+a2=25，解得a2=9，b2=16，则双曲线的标准方程为﹣=121．等差数列{an }的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．（1）求通项公式{an}．（2）求前n项和Sn ，并求S3．【解答】解：（1）设等差数列{an }的公差为d．∵a10=30，a20=50．∴a1+9d=30，a1+19d=50，解得a1=12，d=2．∴an=12+2（n﹣1）=2n+10．（2）由（1）可得{an }前n项和Sn==11n+n2．S3=11×3+32=42．。

陕西省榆林市定边县第四中学2013-2014学年高二数学上学期竞赛试题 文时间：120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）1、已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则7a 的值等于 ( ) A ．1B ．14C ．15D ．162、∆ABC 中，AB 45A =︒，C =75︒则BC= ( )A ．3- BC ．2D ．3、若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有 ( ) ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b aa b+>A.1个B.2个C.3个D.4个4、已知等差数列{}n a 中，前n 项和为S n ，若3a +9a =6，则S 11= ( )A ．12B ．33C ．66D ．995、对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题中①ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，c >d ， 则a c b d +>+；③若a >b ，c >d ，则ac bd >；④a >b ，则1a >1b其中正确的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、已知等比数列{}n a ，若1a +2a =20，3a +4a =80，则5a +6a 等于( ) A ．480B ．320C ．240D ．1207、在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()cos cos sin a C c A B +=，则角B 的值为 ( ) A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π 8、已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) A ． (],1-∞- B ．()(),01,-∞+∞U C ． [)3,+∞ D ．(][),13,-∞-+∞U9、下列函数中，最小值为4的是（ ）A ．xx y 4+=B ．)0(sin 4sin π<<+=x xx yC ．x x e e y -+=4 D ．12122+++=x x y10、数列{}n a 满足a 1=1，()1122n nn a a n a --=≥+，则使得12009k a >的最大正整数k 为( )A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在题后的横线上) 11、在ABC ∆中，045,B c b ===A ＝_____________。

定边四中2019—2019学年第一学期高2019届第三次周考数学试题（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合}11{≤<-=x x A ，}0{2≥-=x x x B ，则=B A ( )A ．)1,0(B ． ]0,1(-C ．[)1,0D ． }1{]0,1( -2. 设复数z 满足i zi 263+-=，则z =( )A ．3104B ． 10C ．310D ． 3102 3. 若,0log 2<a 1)21(>b ，则 ( )A ．0,1>>b aB ． 0,1<>b aC ．0,10><<b aD ． 0,10<<<b a4. 若角α的终边经过点)54,53(-P 则ααtan cos 的值是（ ） A ．54- B ． 54 C ．53- D ．53 5. 若向量)5,2(),1,1(==b a ，),3(x c =满足30)8(=⋅-c b a ，则=x （ ）A ．6B ． 5C ．4D ．36. 如右图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，4,2111==AA B A ,则该几何体的表面积为（ ）A ．36+B ． 324+C ．3224+D ．327．函数x x x f 2cos 2sin )(-=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为（ ） A ．-1 B ．22- C ．0 D ．22 8. 等比数列}{n a 的前n 项和n S ，已知212,S S ,33S 成等差数列，则}{n a 的公比q 为（ ）A ．2B ． 3C ．21 D ．31 9. 函数x x f 2log )(+=π的零点所在区间为（ ）A ．]81,0(B ． ]41,81[C ．]21,41[D ．]1,21[10.四边形A B C D 是边长为1的菱形， 120=∠ABC ，E 是BC 的中点,则=⋅AE AD ( )A ．2B ． 1C ．21 D ．31 11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只要将f (x)的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度 12.设函数x x x f sin )(=在0x x =处取得极值，则)2cos 1)(1(020x x ++的值为（ ）A ． 1B ． 1-C ． 2-D ．2 二、填空题（本大题共4小题，满分20分）13.已知,51)45tan(=-πα则____tan =α 14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+05032052x y x y x ，则y x z +=的最大值为_____15.在ABC ∆中，三边长6,5,7===AC BC AB ,则BC AB ⋅等于_____。