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《圆》第一节垂直于弦的直径导学案1主编人：占利华主审人：班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技能】1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题3了解拱高、弦心距等概念【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法【情感、态度与价值观】在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的新意识，良好的运用数学【重点】垂径定理及其推论【难点】垂径定理及其推论学习过程:一、自主学习（一）复习巩固判断：1、直径是弦，弦是直径。
（）2、半圆是弧，弧是半圆。
（）3、周长相等的两个圆是等圆。
（）4、长度相等的两条弧是等弧。
（）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。
（）6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。
（）7、请在图上画出弦CD，直径AB.并说明___________________________叫做弦；_________________________________ 叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：___ _ 半圆：_________________________ 优弧：________________ _ 表示方法：__劣弧：______________________________ _,表示方法：______9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _.10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________（二）自主探究请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：相等的弧：表达式： 下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中∴Rt △OAM ≌Rt △OBM( ) ∴AM=∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称 ∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．∴ ， ，表达式：（三）、归纳总结：1．圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理推论 ． （四）自我尝试：1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？D AA2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？注：在半径r,弦a ，弦心距d,拱高h 四个量中，任意知道其中的 个量中，利用 定理，就可以求出其余的量。
本课课时安排数：总课时数：第二十四章圆24. 1. 1 圆（1）学习目标1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．学习重难点重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．学习过程一、激趣定标1、阅读课本第二十四章圆的引言2、板书课题，展示目标二、自学互动（适时点拨）互动1自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做____，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做____．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为____的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的____叫做弦，经过圆心的弦叫做____；圆上任意两点间的部分叫做____；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半____，大于半圆的弧叫做____，小于半圆的弧叫做____．互动21．以点A为圆心，可以画____个圆；以已知线段AB的长为半径可以画____个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画____个圆．师点拨：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以___为圆心，____为半径的圆．三、测评训练1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是____．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是____．3．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是___cm或___ cm．4．如图，图中有____条直径，____条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有____条，劣弧有____条．5、同步练习册对应的练习题四、小结学生总结本堂课的收获与困惑．1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．本课课时安排数：总课时数：24.1.1圆（2）学习目标：1、初步了解圆的意义，初步理解并掌握圆的相关概念、圆的记法以及弦、弧、圆心角等概念；2会用圆规画图，并进一步感知圆是由圆心和半径确定的──圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小．学习重、难点重点：圆的意义，弦和弧的概念、弧的表示方法；难点：对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解。
CB O DBAC ED O O B A M N O CB A D24.1.1 圆学习目标： 1、了解圆的基本概念，并能准确地表示出来；2、理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等；学习过程：2、①在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O ，另一个端点A 所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做 ，线段OA 叫做 。
②用集合的观点叙述以O 为圆心，r 为半径的圆，可以说成是的点的集合。
③连接圆上任意两点的 叫做弦，经过圆心的弦叫做 ；圆上任意两点 叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做 ，大于 的弧叫做优弧，小于 的弧叫做劣弧。
二、自主学习： 1、以点A 为圆心，可以画 个圆；以已知线段AB 的长为半径可以画 个圆；以点A 为圆心，AB 的长为半径，可以画 个圆。
2、到定点O 的距离为5的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆。
3、⊙O 的半径为2cm ，则它的弦长d 的取值范围是 。
4、⊙O 中若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是 。
5、如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上.在图中画出以这4点为端点的各条弦.这样的弦共有多少条？6、(1)在图中，画出⊙O 的两条直径;(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明理由.三、巩固练习：1、过圆上一点可以作圆的最长弦有( )条. A. 1 B. 2 C. 3 D.无数条2、一点和⊙O 上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,则这个圆的半径是______cm.3、图中有____条直径,____条非直径的弦,圆中以A 为一个端点的优弧有____条,劣弧有____条.4、如图, ⊙O 中,点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一直线上，图中弦的条数为_____。
第5题 第6题5、如图，CD 为⊙O 的直径,∠EOD=72°,AE 交⊙O 于B,且AB=OC,求∠A 的度数。
（1）24.1.1圆的基本元素学案四、知识应用应用圆的最基本性质解决下列问题1，如图—4 ，已知C 点距离A点3cm, C 点距离B点2cm, 试确定C 点位置A B图--42，如图—5 ，点D、E分别为⊙O半径OB、OA的中点，求证：BE=AD图—53，如图—6，CD是⊙O的直径，∠DOE=84°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数图—6（2）-- （3）24.1.2垂直于弦的直径1(示范) 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。
（1）求证：AC ＝BD 。
（2）若AB=16，CD=12，大圆半径R=10，求小圆的半径r 解：（1）证明：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ， 则AE ＝BE ，CE ＝DE 。
AE －CE ＝BE －DE 。
所以，AC ＝BD(2) 连接OA 、OCAE=AB/2=8，OC=R=10，OE ⊥AB∴OE=6=== ∴r====2，（认真电子阅读课本87页关于86页赵州桥问题的解答，然后完成下列问题。
）如图，AB 是⊙O的直径，且AB⊥弦CD于点E，（1）若AB=8，OE=2，求CD 的长；（2）若⊙O 的半径是5，CD=8，求AE的长；（3）若CD=6，BE=1，求⊙O 的半径B3，已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BDB 4，用尺规将弧AB四等分，并确定圆心的位置B5．（易错题）在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB•与CD之间距离．解：如图所示，过O作OM⊥AB，∵AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．由垂径定理得BM=12AB=12×40=20cm，∴=15cm．同理可求，所以MN=OM-ON=15-7=8cm．以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上．（4）24.1.3 弧、弦、圆心角学案一、几组概念比较三、圆心角定理应用（证弧相等，证圆心角相等，证弦相等） 1 如图—1 在⊙O 中，AB=AC ，∠ACB=60°， 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.2， 如图--2，在⊙O 中，AB AC ，∠B=70°， 则∠C=______，∠A=______．图—23、如图6，（1）若AD=BC ，那么比较弧AB 与弧CD 的大小。
24章圆的教案篇一：新人教版数学第24章圆教案24．1圆第一课时教学内容1．圆的有关概念．2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．重难点、关键1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）1．举出生活中的圆三、四个．2．你能讲出形成圆的方法有多少种？老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出：在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，?另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点o叫做圆心，线段oa叫做半径．以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”．学生四人一组讨论下面的两个问题：问题1：图上各点到定点（圆心o）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名学生并点评总结．（1）图上各点到定点（圆心o）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为o，半径为r的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r的点组成的图形．同时，我们又把①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段ac，aB；②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段aB；ac”ac”或③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以a、c为端点的弧记作?，读作“圆弧??叫做劣弧．aBc叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示）?ac或Bc“弧ac”．大于半圆的弧（如图所示?④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（学生活动）请同学们回答下面两个问题．1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？?你能找到多少条对称轴？2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，?我能找到无数多条直径．3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，aB是⊙o的一条弦，作直径cd，使cd⊥aB，垂足为m．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是cd．，??，即直径cd平分弦aB，并且平分?ac?Bc（2）am=Bm，?ad?BdaB 及?adB．下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径cd、弦aB且cd⊥aB垂足为m，??.ac?Bc求证：am=Bm，?ad?Bd分析：要证am=Bm，只要证am、Bm构成的两个三角形全等．因此，只要连结oa、?oB或ac、Bc即可．证明：如图，连结oa、oB，则oa=oB在Rt△oam和Rt△oBm中oaoBomom∴Rt△oam≌Rt△oBm∴am=Bm∴点a和点B关于cd对称∵⊙o关于直径cd对称重合，??重合．ac与Bc∴当圆沿着直线cd对折时，点a与点B重合，?ad与Bd?，??ac?Bc∴?ad?Bd（本题的证明作为课后练习），点o是cd?的圆心，?其中cd=600m，E例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中cd上一点，且oE⊥cd，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．为cd解：如图，连接oc设弯路的半径为R，则oF=（R-90）m∵oE⊥cd11∴cF=cd=×600=300（m）22根据勾股定理，得：oc=cF+oF即R2=3002+（R-90）2解得R=545∴这段弯路的半径为545m．三、巩固练习教材P86练习P88练习．22四、应用拓展例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽aB=?60m，水面到拱顶距离cd=18m，当洪水泛滥时，水面宽mn=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．解：不需要采取紧急措施设oa=R，在Rt△aoc中，ac=30，cd=18R2=302+（R-18）2R2=900+R2-36R+324解得R=34（m）B连接om，设dE=x，在Rt△moE中，mE=16342=162+（34-x）2162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4，x2=64（不合设）∴dE=4 ∴不需采取紧急措施．五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆的有关概念；2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．3．垂径定理及其推论以及它们的应用．六、布置作业1．教材P94复习巩固1、2、3．2．车轮为什么是圆的呢？3．垂径定理推论的证明．24.1圆(第2课时)教学内容1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．重难点、关键1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．a2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．教学过程一、复习引入B（学生活动）请同学们完成下题．已知△oaB，如图所示，作出绕o点旋转30°、45°、60°的图形．老师点评：绕o点旋转，o点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BoB′=30°．二、探索新知如图所示，∠aoB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙o中，分别作相等的圆心角∠aoB?和∠a?′oB?′将圆心角∠aoB绕圆心o旋转到∠a′oB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？B'因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？?请同学们现在动手作一作．（学生活动）老师点评：如图1，在⊙o和⊙o′中，?分别作相等的圆心角∠aoB和∠a′o′B′得到如图2，滚动一个圆，使o与o′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得oa与o′a′重合．'Ba'(1)(2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？我能发现：?aB=?a'B'，aB=a/B/．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，?这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下．请三位同学到黑板板书，老师点评．例1．如图，在⊙o中，aB、cd是两条弦，oE⊥aB，oF⊥cd，垂足分别为EF．（1）如果∠aoB=∠cod，那么oE与oF的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？aB与cd的大小有什么关系？?为什么？∠aB与cd（2）如果oE=oF，那么?aoB与∠cod呢？d三、巩固练习教材P89练习1教材P90练习2．四、应用拓展例2．如图3和图4，mn是⊙o的直径，弦aB、cd?相交于mn?上的一点P，?∠aPm=∠cPm．（1）由以上条件，你认为aB和cd大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙o的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．解：（1）aB=cd理由：过o作oE、oF分别垂直于aB、cd，垂足分别为E、F∵∠aPm=∠cPm∴∠1=∠2oE=oF连结od、oB且oB=od∴Rt△oFd≌Rt△oEB∴dF=BE根据垂径定理可得：aB=cd（2）作oE⊥aB，oF⊥cd，垂足为E、F∵∠aPm=∠cPn且oP=oP，∠PEo=∠PFo=90°∴Rt△oPE≌Rt△oPF∴oE=oF连接oa、oB、oc、od易证Rt△oBE≌Rt△odF，Rt△oaE≌Rt△ocF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴aB=cdP五、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，?那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．六、布置作业1．教材P94-95复习巩固4、5、6、7、8．24.1圆(第3课时)教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入篇二：第24章圆教案第二十四章圆第1页第二十四章圆第2页第二十四章圆第3页第二十四章圆第4页第二十四章圆第5页。
章复习第24章圆（学案）一、圆的有关概念及性质1、圆的有关概念⑴圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O________，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．注：①圆的另一种定义：圆是到______的距离等于______的点的集合；②圆心确定________，半径确定________．⑵弦、直径、弧、圆心角、圆周角的概念：①弦：连接___________的线段叫做弦；②直径：________________叫做直径；③弧：________________________叫做圆弧，简称弧；④圆心角：圆心角是____________的角；⑤圆周角：顶点________，并且两边______________的角叫做圆周角．如下图，第______个图中的APB是圆周角，第______个图中的APB不是圆周角．注：①弦是线段，直径是____________，弧是曲线；②大于半圆的弧叫做____（用三个点表示)，小于半圆的弧叫做____；③半圆也是____，它既不是____弧，也不是____弧；④等弧只能出现在____或____中．2、圆的有关性质⑴圆是________图形，________________________都是它的对称轴，圆也是____________，________是圆心．⑵垂径定理①垂直于弦的直径________，并且________________；②平分弦（不是直径）的直径________，并且平分________________.注：如图，①AC CB=；②AD DB=；③AE=BE；④AB⊥CD；⑤CD是直径，五个条件中，具备了任意两个，则另三个作为结论都成立（注意③⑤作为条件时，应限制AB不为直径,为啥？________________________）．⑶弧、弦、圆心角之间的关系：①在同圆或等圆中，________________所对的相等，所对的也相等；②同圆或等圆中，两________、两________、两________中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．⑷圆周角定理及推论：①圆周角定理：在同圆或等圆中，________________圆周角相等，都等于________________．②圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角________，90°的圆周角________________．注：定理中的圆周角、圆心角是________或________所对的角.二、与圆有关的位置关系1、点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，如右图，则有： ①点P 在圆外⇔________； ②点P 在圆上⇔________； ③点P 在圆内⇔________. 2、直线和圆的位置关系⑴直线和圆的三种位置关系： 如图(1)，直线和圆有两个公共点，我们说这条直线和圆____，这条直线叫做圆的____，如图(2)，直线和圆有一个公共点，我们说这条直线和圆____，这条直线叫做圆的____，这个点叫做____.如图(3)，直线和圆没有公共点，我们说这条直线和圆____．注：直线l 和⊙0相交⇔____；直线l 和⊙0切⇔____：直线l 和⊙0相离⇔____． ⑵切线的判定和性质：①切线的判定定理：经过__________并且___________的直线是圆的切线. ②切线的性质定理：圆的切线____________________.注：一条直线若满足：①经过圆心；②垂直于切线；③经过切点这三个条件中任何两个，则必具备另两个.⑶切线长的概念及切线长定理：①切线长的概念：经过圆外一点作圆的____，这点和____之间的________，叫做这点到圆的切线长；②切线长定理：从圆外一点可以引圆的____条切线，它们的________相等，这一点和圆心的连线____________________．3、圆和圆的位置关系⑴圆和圆有五种位置关系，如下图：OdPr OOOddd r r r lll注：①____与____统称相离，____、____统称切；②________是内含的一种特殊情况。
第24章圆复习学案一、复习目标：1、理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征。
2、了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
3、了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
4、了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积。
5、结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。
二、本章知识结构框图三、知识点、方法与有关习题24.1 圆（一）圆及有关概念。
【圆的两个定义、弦、弧（分类）、等圆、等弧、弓形等】（二）垂径定理：一条直线满足①②③ＦＯ Ｅ Ｈ④ ⑤ ，则“知二证三”。
温馨提示：1、常做的辅助线为 、 。
2、经常用到的小Rt △的三边分别为 。
3、在同圆或等圆中，①半径②弦心距③弦④弓高这个四个条件，则 。
例1：如图，在半径为5cm 的⊙O 中，连接圆心O 和弦AB 的中点C ，且OC 为3cm ，则弦AB 的长是 ，若延长OC 与⊙O 交于点D ，则CD 的长为 。
例2：圆的半径为13cm ，两弦AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ，求两弦AB 、CD 的距离？例3：一支考古队发现了一个残破的古代圆盘碎片，如图所示，考古学家测量了弦AB ＝300 mm ，圆弧的高为90 mm ，于是得到了这个古圆盘的半径，从而确定了它的圆心，终于使这个古圆盘得以复原，请问你知道考古学家是怎样得出它的半径的吗？【练习】1、（2010 北京）如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连结OC ，若OC=5，CD=8，则AE= 。
备课时间：2014年8月20日主备人：赵秀荣审核人：九年级数学组第二十四章圆单元要点分析教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．教学目标1．知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．教学重点1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线L 和圆相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r 及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d 与r 1和r 2之间的关系：外离⇔d>r 1+r 2；外切⇔d=r 1+r 2；相交⇔│r 2-r 1│<d<r 1+r 2；内切⇔d=│r 1-r 2│；内含⇔d<│r 2-r 1│．11．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．12．n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形=2360n R π及其运用这两个公式进行计算．13．圆锥的侧面积和全面积的计算．教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．4．点与圆的位置关系的应用．5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用．8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ的关系的应用．11．n 的圆心角所对的弧长L=180n R π及S 扇形＝2360n R π的公式的应用． 12．圆锥侧面展开图的理解．教学关键1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、•性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．单元课时划分本单元教学时间约需15课时，具体分配如下：24．1 圆 6课时24．2 与圆有关的位置关系 5课时24．3 正多边形和圆 2课时24．4 弧长和扇形面积 2课时小结与复习 3课时第1课时 24.1.1 圆［学习目标］（学什么！）1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念，能够从图形中识别；（学习重点）2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、 “等弧与长度相等的弧”等模糊概念；（学习难点）3．能应用圆的有关概念解决问题.［学法指导］（怎么学！）通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题．［学习流程］一、导学自习（教材P78-79）（一）知识链接1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？ 2．结合教材图24.1-1，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？（二）自主学习1．理解圆的定义：（阅读教材图24.1-2和图24.1-3，并自己动手画圆）（1）描述性定义：______________________________________________________________________。
人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆教案【教学目标】知识与技能：1．认识圆，理解圆的本质属性；2．认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系；3．利用圆的有关概念进行简单的证明和计算．过程与方法：掌握点和圆的三种位置关系．使学生会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系．情感态度与价值观：初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上．使学生真正体验到数学知识来源于实践，反过来指导实践这一理论．【教学重点】1．与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系；2．点和圆的三种位置关系．【教学难点】理解圆的本质属性，用集合的观点定义圆．【教学过程设计】一、情境导入在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？二、新知探究知识点：圆的有关概念【类型一】圆的有关概念的理解例1直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．故选C.方法总结：对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．【类型二】点和圆的三种位置关系若设圆O的半径为r，点O到圆心的距离为d，当点与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．这时板书下列关系式：点在圆内⇔d＜r点在圆上⇔d＝r点在圆外⇔d＞r这时教师讲清“⇔”符号的组哟用和圆的表示方法.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．接下来为了巩固定义，师生共同分析例1．例2求证矩形四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．解析：∵AC＝BD ∴21AC＝21BD即OA＝OC＝OB＝OD∴A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．方法总结：求证矩形四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上，对于这个问题不是教师讲怎么做，而是引导学生分析这个命题的题设和结论，然后启发学生思考分析这一问题的证明思路．【类型三】圆中有关线段的证明例3如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.解析：先挖掘隐含的“同圆的半径相等”、“公共角”两个条件，再探求证明△AOD≌△BOC的第三个条件，从而可证出△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等得出结论．证明：∵OA、OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∵点C、D分别为OA、OB的中点，....OBAC∴OC ＝12OA ，OD ＝12OB ，∴OC ＝OD .又∵∠O ＝∠O ，∴△AOD ≌△BOC (SAS)，∴BC ＝AD .方法总结：“同圆的半径相等”、“公共角”、“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解．【类型四】圆中有关角的计算例3 CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E .已知AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．解析：要求∠AOC 的度数，由图可知∠AOC ＝∠C ＋∠E ，故只需求出∠C 的度数，而由AB ＝2DE 知DE 与⊙O 的半径相等，从而想到连接OD 构造等腰△ODE 和等腰△OCD .解：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，OC ，OD 是⊙O 的半径，AB ＝2DE ，∴OD ＝DE ，∴∠DOE ＝∠E ＝18°，∴∠ODC ＝∠DOE ＋∠E ＝36°.∵OC ＝OD ，∴∠C ＝∠ODC ＝36°，∠AOC ＝∠C ＋∠E ＝36°＋18°＝54°.三、教学小结1.圆的两种定义：动态：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．静态：圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形．2.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径：经过圆心的弦叫做直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A 、B 为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示）叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.1 圆1.圆有关概念的认识2.点和圆的三种位置关系3.圆中有关线段的证明4.圆中有关角的计算【课堂检测】1．圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做，线段OA叫做．以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”决定圆的位置，决定圆的大小。
第24章圆复习学案一、复习目标：1、理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征。
2、了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
3、了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
4、了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积。
5、结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。
二、本章知识结构框图三、知识点、方法与有关习题24.1 圆（一）圆及有关概念。
【圆的两个定义、弦、弧（分类）、等圆、等弧、弓形等】（二）垂径定理：一条直线满足①②③ＦＯＥＨ④ ⑤ ，则“知二证三”。
温馨提示：1、常做的辅助线为 、 。
2、经常用到的小Rt △的三边分别为 。
3、在同圆或等圆中，①半径②弦心距③弦④弓高这个四个条件，则 。
例1：如图，在半径为5cm 的⊙O 中，连接圆心O 和弦AB 的中点C ，且OC 为3cm ，则弦AB 的长是 ，若延长OC 与⊙O 交于点D ，则CD 的长为 。
例2：圆的半径为13cm ，两弦AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ，求两弦AB 、CD 的距离？例3：一支考古队发现了一个残破的古代圆盘碎片，如图所示，考古学家测量了弦AB ＝300 mm ，圆弧的高为90 mm ，于是得到了这个古圆盘的半径，从而确定了它的圆心，终于使这个古圆盘得以复原，请问你知道考古学家是怎样得出它的半径的吗？【练习】1、（2010 北京）如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连结OC ，若OC=5，CD=8，则AE= 。
１QP第二十四章圆 24.1.1 《圆》学案学习目标:1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；2.理解圆及其相关概念，理解点与圆的位置关系．学习重点：与圆相关概念 学习难点：对圆的概念的理解 学习过程:（一）复习巩固1、举出生活中的圆的例子2、圆既是 对称图形，又是 对称图形。
3、圆的周长公式C= ______________________ 圆的面积公式S= _____________________________(二)新知导学1．圆的运动定义：把线段OP 的一个端点O ，使线段OP 绕着点O 在 旋转 ， 另一端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做 ，线段OP 叫做 .以O 为圆心的圆记作 .2圆的集合定义：圆是到 的点的集合. 3．点与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ . 【合作探究】1.如图，已知：点P 、Q ，且PQ=4cm.（1）画出下列图形：①到点P 的距离等于2cm 的点的集合；②到点Q 的距离等于3cm 的点的集合； (2)在所画图中，到点P 的距离等于2cm ；且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？ 请在图中将它们画出来.(3)在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ；且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎样的图形？把它画出来. 【自我检测】 一、填空题1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆.2.正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上.3.矩形ABCD 边AB=6cm,AD=8cm ，(1)若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A______，点C 在⊙A_______，点D 在⊙A________，AC 与BD 的交点O 在⊙A_________；(2)若作⊙A ，使B 、C 、D 三点至少有一个点在⊙A 内，至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_______.4.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是 二、解答题２A5.如图，已知在⊿ABC 中，∠ACB=900,AC=12,AB=13,CD ⊥AB,以C 为圆心，5为半径作⊙C ，试判断A,D,B 三点与⊙C 的位置关系（二）新知导学 1．与圆有关的概念①弦：连结圆上任意两点的 叫做弦. ②直径：经过 的弦叫做直径. ③弧分为：半圆（ 所对的弧叫做半圆）、劣弧（小于 的弧）和优弧（大于 的弧）. ④圆心角：定点在 的角叫做圆心角. ⑤同心圆： 相同， 不相等的两个圆叫做同心圆.⑥等圆：能够互相 的两个圆叫做等圆.⑦等弧：在 或 中，能够互相 的弧叫做等弧.2同圆或等圆的性质：在同圆或等圆中，它们的 相等. 【合作探究】1.圆心都为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在（ ） A. 甲圆内 B.乙圆外 C. 甲圆外、乙圆内 D. 甲圆内、乙圆外2.下列判断：①直径是弦；②两个半圆是等弧；③优弧比劣弧长，其中正确的是（ ） A. ① B.②③ C. ①②③ D.①③ 【自我检测】 一、填空题1．已知⊙O 中最长的弦为16cm ，则⊙O 的半径为____cm ．2.过圆内一点可以作出圆的最长弦___条． 二、选择题3.下列语句中，不正确的个数是（ ）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；•④经过圆内任一定点可以作无数条直径． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.下列语句中，不正确的是（ ）A ．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形B ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合D ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 5.等于23圆周的弧叫做（ ）A ．劣弧B ．半圆C ．优弧D ．圆 6．如图，⊙O 中，点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（• ）A ．2条B ．3条C ．4条 D．5条7.以已知点O 为圆心，已知线段a 为半径作圆，可以作（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个第6题A课堂学习检测一、基础知识填空1．在一个______内，线段OA绕它固定的一个端点O______，另一个端点A所形成的______叫做圆．这个固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．以O点为圆心的圆记作______，读作______．2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是________________．3．由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于________；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在________．因此，圆是在一个平面内，所有到一个________的距离等于________的________组成的图形．(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是________，另一个是________，其中，________确定圆的位置，______确定圆的大小．4．连结______________的__________叫做弦．经过________的________叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．5．圆上__________的部分叫做圆弧，简称________，以A，B为端点的弧记作________，读作________或________．6．圆的________的两个端点把圆分成两条弧，每________都叫做半圆．7．在一个圆中_____________叫做优弧；_____________叫做劣弧．8．半径相等的两个圆叫做____________．二、填空题9．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．Array(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．综合、运用、诊断10．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．拓展延伸题:由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A 市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？３４24．1.2 《垂直于弦的直径》学案学习目标:1．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．2．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解 重点：垂径定理及其运用 难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 导学过程：阅读教材P80 — 82 , 1：知识准备圆的相关概念： 2：探究请按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段： 相等的弧： 这样，我们就得到垂径定理：表达式：下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，AC=BC ，AD=BD.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中 ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM( ) ∴AM=∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．∴ ， ， 进一步，我们还可以得到结论：表达式：D课堂学习检测一、基础知识填空1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．圆还具有_________________________________.2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径(__________________)于弦，并且平分______________________________．二、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）三、填空题4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．7．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．5题图 6题图 7题图 8题图 9题图 10题图8．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．9．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．10．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．综合、运用、诊断11．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．13．储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．15．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．５６24．1.2 垂直于弦的直径 （第二课时）课堂学习检测一、选择题．1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ． BCBD C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD(1) (2) (3) (4) (5) 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．弧AD=弧BD D ．PO=PD 二、填空题1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是弧BC 的中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____． 2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）三、综合提高题1．已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．3．已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB⊥CD，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离4．（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC 的度数．24．1.3 弧、弦、圆心角_D_B _A_C７B 'D学习目标: 圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 学习重点: 圆心角、弧、弦之间关系定理．学习难点: “圆心角、弧、弦之间关系定理”中“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 导学过程：阅读教材P82 — 83 , 完成课前预习 【课前预习】 1：知识准备（1）圆是轴 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理：推论： ． 2：探究如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 ．请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？相等的弦： ；相等的弧： 理由： 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．表达式： 同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的弦也 ． 表达式：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，•所对的 也相等． 表达式： 注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。
第1课时 24.1.1 圆［学习目标］1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念，能够从图形中识别；（学习重点）2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、 “等弧与长度相等的弧”等模糊概念；（学习难点） 3．能应用圆的有关概念解决问题.［学法指导］通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题．［学习流程］一、导学自习（教材P78-79）（一）知识链接1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？2．结合教材图24.1-1，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？（二）自主学习1．理解圆的定义：（阅读教材图24.1-2和图24.1-3，并自己动手画圆）（1）描述性定义：______________________________________________________。
从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于____ __； ②到定点的距离等于定长的点都在____ _.（2）集合性定义：_______________________________________________________。
（3）圆的表示方法：以O 点为圆心的圆记作______，读作______.（4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____确定圆的位置，_____确定圆的大小.2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧。
如图1，弦有线段 ，直径是 ，最长的弦是 ，优弧有 ；劣弧有 。
二、合作探究、展示活动1．判断下列说法是否正确，为什么？（1）直径是弦.（ ） （2）弦是直径.（ ） （3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( )(5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( )活动2．⊙O 的半径为2㎝，弦AB 所对的劣弧为圆周长的61，则∠AOB ＝ ，AB ＝ 活动3．已知：如图2，OA OB 、为⊙O 的半径，C D 、分别为OA OB 、的中点， 求证：（1）;A B ∠=∠ (2)AE BE =活动4．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 中不过圆心的任意一条弦，求证：AB ＞CD 。
第二十四章圆24．1圆的有关性质24. 1. 1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图) ,第4题图)4．如图，⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD 为⊙O 的直径，∠EOD ＝72°，AE 交⊙O 于B ，且AB ＝OC ，求∠A 的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB 构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图) ,第6题图)6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC ＝10 cm ，求OD 的长． 解：5 cm .点拨精讲：这里别忘了圆心O 是直径AB 的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．1.2 垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O 中，直径为10 cm ，圆心O 到AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为 __8_cm __．2．在⊙O 中，直径为10 cm ，弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为__3_cm __．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为__3_cm __．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？ (8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．。
24.1 圆（教案）一．内容及其解析1.内容：本节主要内容是圆的概念以及与圆有关的一些性质，本节又分为四个小节：第一小节的主要内容是圆的定义及一些相关概念；第二小节是结合研究圆的对称性得到了垂径定律及有关的结论;第三小节是从圆的旋转不变性出发，推出了弧、弦、圆心角之间的相等关系。
第四小节主要介绍圆周角的概念、圆周角定律及推论。
是今后进一步学习圆的相关内容的基础。
2.解析：与圆有关的概念比较多，对于这些概念，教学时要引导学生分析它们之间的区别与联系。
如直径和弦———直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径；又如弧与尤弧、劣弧———尤弧、劣弧都是弧但尤弧大于半圆，劣弧小于半圆。
垂径定理可以帮助学生分析定理的题设和结论，并可将定律改述为：一条直线若满足：①过圆心；②垂直于弦，则可推出：③平分弦；④平分弦所对的尤弧；⑤平分弦所对的劣弧，这样可以加深学生对定律的理解。
弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段线段的主要依据。
圆周角有两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交，二者缺一不可。
圆周角定理的证明，分三种情况讨论。
在三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端的直径为辅助线这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生注意和掌握。
二．目标及其解析1.目标①理解圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关概念。
②使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论，并学会应用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题。
③使学生掌握圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系并能运用这些关系解决有关的证明、计算问题。
④理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论并运用它们进行论证和计算。
通过圆周角定理的证明使学生了解分情况证明命题的思想和方法。
2.解析①向学生介绍“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”.。
A DE F C M B AO DC BA B A24.2.1点和圆的位置关系【自主学习】（一）复习巩固：1．已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，若AB=4cm ，AC=3cm ，则BC= .2．下列命题：①直径所对的角是900；②直角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④对同一弦的两个圆周角相等.正确的有（ ）A. 0个 B. 1个 C.2个 D.3个 （二）新知导学1．过不在同一直线上的三个点确定 圆.2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ， 这个三角形叫圆的 三角形. 【合作探究】1. 要将如图所示的破圆轮残片复制完成, 怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).【自我检测】 一、填空题:1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.2.边长为6cm 的等边三角形的外接圆半径是________.3.△ABC 的三边为设其外心为O,三条高的交点为H,则OH 的长为_____.4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.5.已知⊙O 的直径为2,则⊙O 的内接正三角形的边长为_______.6.如图,MN 所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心. 二、选择题:7.下列条件,可以画出圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径; C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径 8.三角形的外心是( )A.三条中线的交点;B.三条边的中垂线的交点;C.三条高的交点;D.三条角平分线的交点 9.下列命题不正确的是( )A.三点确定一个圆B.三角形的外接圆有且只有一个C.经过一点有无数个圆D.经过两点有无数个圆 10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形;C.锐角三角形D.等边三角形 11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( ) A.腰长B.腰长的2倍; C.底边的2倍 D.腰上的高 12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )A.1个或3个B.3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个 三、解答题:13.如图,A 、B 、C 三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).14.如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM=120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 与△ABC 的外接圆交于F,连接FB 、FC,且FC 与AB 交于E.(1)判断△FBC 的形状,并说明理由. (2)请给出一个能反映AB 、AC 和FA 的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.15．如图,在钝角△ABC 中,AD ⊥BC,垂足为D 点,且AD 与DC 的长度为x 2-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O 为△ABC 的外接圆,如果BD 的长为6,求△ABC 的外接圆⊙O 的面积.16．已知△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC ，垂足为D，若OD=1，求∠BAC 的度数．（注意：分类讨论）24.2.2直线和圆的位置关系（1）新知导学1．直线与圆的位置关系①定义：直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的 线. 直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的 线.这个公 共点叫做 点.直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相离. 1． 直线与圆的位置关系的性质与判定设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么 直线与圆相交⇔ ； 直线与圆相切⇔ ； 直线与圆相离⇔ . 【合作探究】1．在△ABC 中，∠A=450，AC=4,以C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有交点，试确定r 的范围.【自我检测】 一、选择题1．命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）A.经过半径的外端点的直线是圆的切线.B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线.C.垂直于半径的直线是圆的切线.D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2．如图，AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝500，点P 是圆上异于B 、C 的一个动点，则∠BPC 的度数是（ ）A.650B.1150C.650或1150D.1300或5003.已知正三角形的边长为6，则该三角形外接圆的半径为（ ）A.4.如图，BC 是⊙O 直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于A ，如果PAOB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 150B.300C.450D.605.如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、C ，∠B ＝300，直线BD 与⊙O 切于点D ，则∠ADB 的度数是（ ）A.1500B.1350C.1200D.1006.在平面直角坐标系中，以点（2,1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）A. x 轴相交B. y 轴相交C. x 轴相切D. y 轴相切7.如图，⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为︒30，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，若⊙O 的半径为3，则CD 的长为（ ）A.6 B.36 C. 3 D.33二、填空题8.如图，已知直线CD 与⊙O 相切于点C ，AB 为直径，若∠BCD ＝40°，则∠ABC 的大小等于_____. 9.如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA=，∠APO=30°，则⊙O 的半径长为_______． 10.如图，图同第7题，AB 是⊙O 的直径，BD ＝OB ，∠CAB ＝300.，写出三个正确结论（除AO ＝OB ＝BD 外）：①____________________；②____________________；③____________________. 11.已知∠AOB ＝300，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm 为半径作⊙M. 当OM ＝_______cm 时，⊙M 与OA 相切(如图).12.如图，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点G ，连结AD ，并过 点D 作DE ⊥AC ，垂足为E. 根据以上条件写出三个正确的结论（除AB ＝AC ，AO ＝BO ， ABC ＝ ∠ABC 外）是：(1) ___________________；(2) ___________________；(3) __________________三、解答题13.如图，∠PAQ 是直角，⊙O 与AP 相切于点T ，与AQ 交于B 、C 两点. （1）BT 是否平分∠OBA ？说明你的理由；（2） 若已知AT ＝4，弦BC ＝6，试求⊙O 的半径R.14．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC. (1) 求证：△BAD ∽△CED ； (2) 求证：DE 是⊙O 的切线.BD B O C第8题图24.2.2直线和圆的位置关系（2）新知导学1．切线的判定定理：经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线. 2．切线的性质定理：圆的切线 于经过切点的 .3．与三角形各边都 的圆叫做三角形的 圆， 圆的 叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 三角形. 【合作探究】1. 如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9， 求⊙O 的半径.2.已知锐角△ABC ，作△ABC 的内切圆.【自我检测】 一、选择题1.如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论错误的是（ ） A. ∠1=∠2 B.PA ＝PB C.AB ⊥OP D.2PA PC PO =⨯2.如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D 、E 、F ，若∠B ＝500，∠C ＝600，连结OE 、OF 、DE 、DF ， 则∠EDF 等于（ ）A.450B.550C.650D.7003.边长分别为3、4、5的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（ ） A.1:5 B.2:5 C.3:5 D.4:54.如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B. 如果OP ＝4，23PA =AOB 等于（ ） A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°5.如图，已知⊙O 过边长为正2的方形ABCD 的顶点A 、B ，且与CD 边相切，则圆的半径为（ ）A ．34 B ．45 C ．25D ．1 6.如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝900，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，则⊙O 的半径等于（ ）A.45B.54C.34D.561题图 2题图 4题图二填空题7. 直角三角形有两条边是2，则其内切圆的半径是__________.8. 正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的__________倍. 9.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC ＝200，则∠P的大小是___度.10.等边三角形ABC 的内切圆面积为9π，则△ABC 的周长为_________.11.已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是.12.三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 . 三、解答题：13.已知如图,过圆O 外一点B作圆O 的切线BM, M 为切点.BO 交圆O 于点A,过点A 作BO 的垂线,交BM 于点P.BO=3,圆O 半径为1.求MP 的长14.如图，AB 是半圆O 的直径，点M 是半径OA 的中点，点P ，点Q 在半圆O 上运动，且总保持PQ ＝PO ，过点Q 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点C. (1) 当∠PQA ＝600时，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明； (2) 当QP ⊥AB 时，△QCP 的形状是__________三角形；(3) 由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时， △QCP 一定是_________三角形.15.已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x . ⑴ 如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵ 如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．P 图（2）F24.2.3 圆和圆的位置关系（一）复习巩固：1圆的切线的性质定理： . 2．圆的切线的判定定理： . 3.三角形的内心是它的 圆的圆心，它是三角形 的交点.4．内心到三角形 的距离相等，到三角形三边距离相等的点是 . 5．已知三角形的面积为12，周长为24，则内切圆的半径为 . （二）新知导学圆与圆的五种位置关系的性质与判定如果两圆的半径为R 、r ，圆心距为d ，那么 两圆外离⇔ ； 两圆外切⇔ ； 两圆相交⇔ ； 两圆内切⇔ ； 两圆内含⇔ . （位置关系） （数量关系） 【合作探究】1.已知两圆相切，一个圆的半径为5，圆心距d=2，求另一个圆的半径.2.半径为1、2、3的三个圆两两外切，求这三个圆的圆心的连线构成的三角形的面积.【自我检测】 一、填空题:1.已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为___.2.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x 2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______. 3.圆心都在y 轴上的两圆⊙O 1、⊙O 2，⊙O 1的半径为5,⊙O 2的半径为1,O 1 的坐标为(0,-1), O 2的坐标为(0,3),则两圆⊙O 1与⊙O 2的位置关系是________.4.⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点,且⊙O 1经过点O 2,若∠AO 1B=90°,那么∠AO 2B 的度数是__.5.矩形ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切,点D 在⊙C 内, 点B 在⊙C 外, 那么圆A 的半径r 的取值范围是__________.6.两圆半径长分别是R 和r(R>r),圆心距为d,若关于x 的方程x 2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数 根,则两圆的位置关系是_________. 二、选择题7.⊙O 的半径为2,点P 是⊙O 外一点,OP 的长为3,那么以P 为圆心,且与⊙O 相切的圆的半径 一定是( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1或48.直径为6和10的两上圆相外切,则其圆心距为( ) A.16 B.8 C.4 D.29.如图1,在以O 为圆心的两个圆中,大圆的半径为5,小圆的半径为3, 则与小圆相切的大圆的 弦长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10(1) (2) (3)10.⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O 1O 2O 3 的形状是( ) A.锐角三角形 B.等腰直角三角形; C.钝角三角形 D.直角三角形11.如图2,⊙O 1和⊙O 2内切,它们的半径分别为3和1,过O 1作⊙O 2的切线, 切点为A,则O 1A 的长为312.半径为1cm 和2cm 的两个圆外切,那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个13.如图3,⊙O 的半径为r,⊙O 1、⊙O 2的半径均为r 1,⊙O 1与⊙O 内切,沿⊙O 内侧滚动m 圈后回 到原来的位置,⊙O 2与⊙O 外切并沿⊙O 外侧滚动n 圈后回到原来的位置,则m 、n 的大小关系 是( ) A. m>n B. m=n C. m<n D.与r,r 1的值有关 三、解答题14.若两圆的圆心距d 满足等式│d -4│=3,且两圆的半径是方程x 2-7x+12=0 的两个根,试判断这两圆的位置关系.15.某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm 的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD 的长.16.如图,⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点,点O 1在⊙O 2上,两圆的连心线交⊙O 1于E 、D,交⊙O 2于F,交AB 于C,请根据图中所给的已知条件(不再标注其他字母, 不再添加任何辅助线),写出两个线段之间的关系式.24.3正多边形和圆（一）复习巩固1. 等边三角形的边、角各有什么性质？ .2. 正方形的边、角各有什么性质？ . （二）新知导学1.各边 ，各角 的多边形是正多边形.2.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做 ，外接圆的半径叫做 ， 内切圆的半径做 ．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都 ．正多边形 每一边所对的外接圆的圆心角叫做 ．正n 边形的每个中心角都等于 ．3.正多边形都是 对称图形，正n 边形有 条对称轴；正 数边形是中心对 称图形，对称中心就是正多边形的 ，正 数边形既是中心对称图形，又是轴对 称图形.【合作探究】1.问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形.思考：如何作正三角形、正十二边形？【自我检测】1．正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做正方形ABCD 的______．2．正方形ABCD 的内切圆⊙O 的半径OE 叫做正方形ABCD 的______．3．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．4．正n 边形的一个外角度数与它的______角的度数相等． 5．设一直角三角形的面积为8㎝2，两直角边长分别为x ㎝和y ㎝. （1）写出y(㎝)和x(㎝)之间的函数关系式 （2）画出这个函数关系所对应的图象 （3）根据图象，回答下列问题： ① 当x =2㎝时，y 等于多少？② x 为何值时，这个直角三角形是等腰直角三角形？6．已知三角形的两边长分别是方程0232=+-x x 的两根，第三边的长是方程03522=+-x x 的根，求这个三角形的周长.7．如图，PA 和PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，作直径AC ，并延长交PB 于点D ．连结OP ，CB ． （1）求证：OP ∥CB ；（2）若PA ＝12，DB ：DC ＝2：1，求⊙O 的半径．8.如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D. (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD 43求点C 的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似. 若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.9.如示意图，小华家（点A 处）和公路（ ）之间竖立着一块35m 长且平行于公路的巨型广告牌（DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s ，已知广告牌和公路的距离是40m ，求小华家岛公路的距离（精确到1m ）．24.4.1弧长及扇形面积（一）复习巩固：1．圆与圆的五种位置关系： 、 、 、 、 . 2.已知两圆的半径分别3cm 和2cm ，若两圆没有公共点，则圆心距d 的取值范围为（ ） A. d ＞5或d ＜1 B. d ＞5 C. d ＜1 D.1＜d ＜5 （二）新知导学 1.弧长计算公式在半径为R 的圆中，n 0的圆心角所对的弧长l 的计算公式为： l= 2.扇形面积计算公式①定义： 叫做扇形.②在半径为R 的圆中，圆心角为n 0的扇形面积的计算公式为：S 扇形=由弧长l= 和S 扇形= 可得扇形面积计算的另一个公式为： S 扇形= 【合作探究】 1．已知：扇形的弧长为29πcm ，面积为9π cm 2，求扇形弧所对的圆心角．2． 已知：AC 是半圆的直径，BC 与半圆切于C ，AB 交半圆于D ，BC ＝3 cm BD 3求半圆的面积．【自我检测】 一、选择题1.如果以扇形的半径为直径作一个圆，这个圆的面积恰好与已知扇形的面积相等，则已知扇形的中心角为（ ）A.60°B.90°C.120°D.150° 2.如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为4cm ，那么圆柱的侧面积为（ ）A.24πcm 2B.36πcm 2C.12πcm 2D.48πcm 2 3.圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm ，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）A.254πcm 2 B.30πcm 2 C.24πcm 2 D.15πcm 24.如果正四边形的边心距为2，那么这个正四边形的外接圆的半径等于（ ）5.圆的外切正六边形边长与它的内接正六边形边长的比为（ ） A.:3 B. 2:3 C.3:3 D.:26.圆的半径为3cm ，圆内接正三角形一边所对的弧长为（ ） A.2πcm 或4πcm B.2πcm C.4πcm D.6πcm7.在半径为12cm 的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ） A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.5πcm8.如图， 设AB=1cm ，，则长为（ ）A.B. C. D.9.圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中，扇形的圆心角是（ ）A.144°B.150°C.288°D.120° 二、计算题10.如图，已知菱形ABCD 中，AC ，BD 交于O 点，AC＝，BD=2cm ，分别以 A ，C 为圆心，OA 长为半径作弧，交菱形四边于E ，F ，G ，H 四点．求阴影部分的面积．11．已知△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，⊙O 内切于△ABC ．求△ABC 在⊙O 外部的面积．12．已知等腰梯形ABCD 有一个内切圆O ．若AB=CD=6cm ，BC=2AD ，求圆O 的面积．13.如图，ACBD 为夹在环形的两条半径之间的一部分，弧AD 的长为πcm ，弧CB 的长为2πcm ，AC ＝4cm ，求这个图形的面积．14．已知如图，P 是半径为R 的⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，∠APB=60°．求：夹在劣弧AB 及PA ，PB 之间的阴影部分的面积．15．已知扇形OAB 的面积为S ，∠AOB=60°．求扇形OAB 的内切圆的面积．三、证明16．如图，已知同心⊙O 中，外圆的面积是内圆面积的2倍，外圆的弦AB ，CD 均与内圆相切，且AB ∥CD ．EFGH 是内圆的内接正方形．求该圆环介于AB ，CD 间的面积等于正方形EFGH 的面积．17．已知直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个直角三角形．求证这两个三角形的内切圆的面积的和等于原三角形的内切圆面积．18．已知如图7-391，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆上两点，且弧AC ＝弧CD ＝弧DB ，求证由弦AC 及弧CD 所围成的图形面积等于半圆面积的三分之一19．若分别以线段CD 的两个端点为圆心，CD 长为半径的⊙C ，⊙D 相交于A ，B ．求证分别以AB ，CD 为直径的两个圆的面积之和与⊙C 的面积相等．20．求证圆心角为60°的扇形的内切圆的面积，等于扇形面积的三分之二．21．已知如图7-392，扇形OAB 中，OA ⊥OB ，分别以OA ，OB 为直径向形内作半圆，两圆弧交于C ，求证由弧AC ，弧BC ，弧AB 所围图形的面积与由弧OMC 和弧ONC 所围图形面积相等．C BA24.4.2圆锥的侧面积和全面积【自主学习】（一）复习巩固：1.弧长的计算公式： .2．扇形面积的计算公式： .3．已知扇形的面积为4cm 2，弧长为4cm ，求扇形的半径. （二）新知导学1．圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是一个 . 圆锥的母线就是扇形的 . 圆锥底面圆的周长就是扇形的 . 2．如果圆锥的母线长为l ，底面的半径为r ，那么 S 侧= ， S 全= . 【合作探究】1．已知圆锥的母线长6 cm ；底面半径为 3 cm ，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．2．已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形，扇形面积为10 cm 2．求这圆锥的表面积． 【自我检测】 一、选择题1．已知圆锥的高为5，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）A ．25π B ．2π C ．5π D ．6π2．圆锥的高为3cm , 母线长为5cm , 则它的表面积是（ ）cm2． A ．20p B ．36p C ．16p D ．28p3．已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（ ） A ．180° B ．120° C ．90° D ．135°4．如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为（ ）A ．1∶5B ．2∶5C ．∶D ．2∶35．边长为a 的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180° , 所得几何体的表面积为（ ）A ．243aB ．243a πC ．243a π D ．π2a6．若底面直径为6cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（ ）cm ． A ．8 B ．91 C ．6 D ．47．在一个边长为4cm 正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下 卷成一个圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ）cm ．A ．253B ．15C ．7D ．138．用圆心角为120° , 半径为6cm 的扇形围成圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ） A ．4 B ．42 C ．22 D ．329．△ABC 中 , AB=6cm , ∠A=30° , ∠B=15° , 则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的表面积为（ ）cm2． A ．（18+92）π B ．18+92C ．（36+182）πD ．36+18210．圆锥的母线长为10cm , 底面半径为3cm , 那么圆锥的侧面积为（ ）cm2． A ．30 B ．30p C ．60p D ．15p11．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）A ．6 m2B ．6πm2C ．12 m2D ．12πm212．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为（ ）A ．aB ．a33C ．a 3 D ．a2313．一个圆锥的高为310cm ，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（ ）A ．200πcm2B ．300πcm2C ．400πcm2D ．360πcm214．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm ，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）A ．80cmB ．100cmC ．40cmD ．5cm二、填空题15．已知圆锥的母线长是10cm ，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径 是 cm ．16．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是5cm ，则它的侧面积是 ．17．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ． 18．一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．19．一个扇形，半径为30cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为 ． 三、解答题20．一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角是多少？21．如图，一个圆柱的底面半径为40 cm ，高为60 cm ，从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，得到一个几何体，求其全面积．22．已知：一个圆锥的侧面积与表面积的比为2∶3．求这圆锥的锥角．23．已知：一个圆锥的底半径 r=10cm ，过轴的截面的顶角为60°．求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积．24．已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为 20 cm ，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底半径和高．。
