高一数学数列求和10

数列求和十法等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;项数：等差数列的所有数的个数，通常用n则表示;公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;通项：则表示数列中每一个数的公式，通常用an则表示;数列的和：这一数列全部数字的和，一般用sn表示.基本思路：等差数列中牵涉五个量：a1，an，d，n，sn，，通项公式中牵涉四个量，如果己言其中三个，就纡出来第四个;议和公式中牵涉四个量，如果己言其中三个，就可以谋这第四个。

基本公式：通项公式：an=a1+(n-1)d;通项=首项+(项数一1)×公差;数列和公式：sn，=(a1+an)×n÷2;数列和=(首项+末项)×项数÷2;项数公式：n=(an+a1)÷d+1;项数=(末项-首项)÷公差+1;公差公式：d=(an-a1))÷(n-1);公差=(末项-首项)÷(项数-1);关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式。

乘法原理：如果顺利完成一件任务存有n类方法，在第一类方法中存有m1种相同方法，在第二类方法中存有m2种相同方法……，在第n类方法中存有mn种相同方法，那么顺利完成这件任务共计：m1+m2……+mn种相同的方法。

关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征：每一种方法都可以顺利完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2……×mn种不同的方法。

关键问题：确认工作的顺利完成步骤。

基本特征：每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或恰好相反方向运动，构成的轨迹。

直线特点：没有端点，没有长度。

高中数学解数列求和问题的技巧数列是高中数学中的重要概念之一，求和问题是数列中常见的考点。

解决数列求和问题需要掌握一些技巧和方法，下面我将介绍几种常见的数列求和问题及其解题技巧。

一、等差数列求和问题等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。

求等差数列的前n项和，可以利用求和公式来解决。

求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

例如，给定一个等差数列的首项为3，公差为2，求前10项的和。

根据求和公式，首先计算出末项an：an = a1 + (n - 1) * d = 3 + (10 - 1) * 2 = 21。

然后代入公式计算出前10项的和：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (3 + 21) * 10 / 2 = 120。

二、等比数列求和问题等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。

求等比数列的前n项和，可以利用求和公式来解决。

求和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

例如，给定一个等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和。

根据求和公式，代入相应的值计算出前5项的和：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242。

三、特殊数列求和问题除了等差数列和等比数列外，还存在一些特殊的数列，求和问题也有相应的解题技巧。

1. 平方数列求和问题：平方数列是指数列中的每一项都是前一项的平方。

例如，1，1，4，16，...。

求平方数列的前n项和，可以利用平方数的求和公式来解决。

求和公式为：Sn = (2^(n+1) - n - 2) / 3。

2. 斐波那契数列求和问题：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。

例如，1，1，2，3，5，...。

求斐波那契数列的前n项和，可以利用斐波那契数列的性质来解决。

数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。

一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。

二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。

三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。

Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。

四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。

递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。

例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。

五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。

斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。

六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。

设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。

七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。

高中数学数列求和方法数列是数学中常见的概念之一，它是由一系列有序的数所构成的集合。

数列求和是数列中的重要问题之一，可分为等差数列和等比数列求和两类。

一、等差数列求和1.表达式法对于等差数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差。

若已知数列的首项、末项和项数，则可以根据求和公式Sn=n(a1+an)/2来求和，其中Sn表示数列的和。

这种方法适用于已知数列的前n项求和。

2.规律法有些等差数列存在规律，可通过分组进行求和。

例如，对于等差数列1,4,7,…,97，可将其分解为(1+97)+(4+94)+(7+91)+…+(49+49)，共有25组，每组的和都是98、因此，该数列的和等于25×98=2450。

3.差分法等差数列的求和还可以利用差分法进行求解。

首先将数列的前n项依次相减得到一个新的数列，然后再对新数列进行求和，即可得到原数列的和。

例如，对于等差数列1,2,3,…,100的和，首先得到的差分数列为1,1,1,…,1，接着对差分数列进行求和，得到的和等于100。

二、等比数列求和1.通项公式法等比数列的通项公式为an=a1×q^(n-1)，其中a1表示首项，q表示公比。

已知数列的首项、末项和项数时，可以利用求和公式Sn=a1(q^n-1)/(q-1)来求和。

这种方法适用于已知数列的前n项求和。

2.等比中项法对于等比数列，若首项和第三项已知，则可以求出公比q=(第3项/首项)^(1/2)，从而求得数列的和。

这种方法适用于已知数列的首项和第三项求和。

3.分组求和法对于一些等比数列，可以通过合理的分组求和来得到数列的和。

例如，对于等比数列1,3,9,…,6561，可以发现这个数列可以分解为(1+3)+(3+9)+(9+27)+…+(2187+6561)，共有10组，每组的和为4、因此，该数列的和等于10×4=40。

三、求和公式的推导1.等差数列求和公式的推导我们将等差数列的前n项分别记作a1,a2,…,an。

数列求和的常用方法长垣一中数学组 韩文艳数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，下面介绍用几种常用方法，希望对同学们有所启发。

（一）公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法：1.等差数列求和公式：2.等比数列求和公式：3. 4、5、 13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2[例1] 已知，求的前n 项和.分析：从题目中可看出这是一个等比数列的求和，自然想到直接应用等比数列求和公式即可． 解：由由等比数列求和公式得＝＝＝（二）错位相减法这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{}n n b a ∙的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列．[例2] 求和：…分析：注意到式子有两个特点，单纯从系数上看，它呈等差数列，这个数列的通项是2n －1；单纯从字母上看，它呈等比数列，此数列的通项是，所以可类比推导等比数列的方法求它前n 的和．解：∵……………………… ①设 ………… ②①－②得又因为再利用等比数列的求和公式得：∴（三）倒序相加法这是类比推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个.[例3] 求证：1321232-∙=+⋅⋅⋅+++n nn n n n n nC C C C （本题源自人教大纲版必修第二册下）分析：这虽然看似一道组合的证明题，本质上还是数列求和，注意组合的一个公式，所以我们用逆序相加法进行尝试．证明：设………………………….. ①把①式右边倒转过来得又由可得……………….. ②①+②得∴（四）分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例4] 求数列的前n项和：分析：可以看出该数列可分成两部分，注意到一部分等差数列，一部分成等比数列．我们使用化整为零的办法先拆开，再组合．解：设当a＝1时，＝当时，＝（五）裂项相消法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）常见的如下：（1）（2）（3）[例5] 求数列的前n项和.分析：本题符合上述的第三个公式中的情况，此时的情形．解：设则＝＝。

数列求和公式方法总结数列求和是高中数学中的重要内容之一，也是许多学生难以消化的内容。

不同的数列有不同的求和公式，本文将总结数列求和的常见方法和公式，助力学生更好地掌握数列求和的技巧。

一、等差数列的求和公式：等差数列是最常见的数列之一，其特点是每个项之间的差值是相等的。

设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则等差数列的求和公式为：Sₙ=(a₁+aₙ)×n÷2Sₙ=(a₁+aₙ)×(n+1)÷2其中，Sₙ表示前n项和。

二、等比数列的求和公式：等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比值相等的数列。

设首项为a₁，公比为q，末项为aₙ，则等比数列的求和公式为：Sₙ=(a₁×(qₙ-1))÷(q-1)其中，Sₙ表示前n项和。

三、二次数列的求和公式：二次数列是指每个项与前一个项之间的关系满足一次方程的数列。

设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则二次数列的求和公式为：Sₙ=(2a₁+(n-1)d)×n÷2Sₙ=(2a₁+d(n-1))×n÷2其中，Sₙ表示前n项和。

四、调和数列的求和公式：调和数列是指数列的倒数数列，每个项与前一个项之间的差异与常数成反比的数列。

设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则调和数列的求和公式为：Sₙ=(n×(2a₁+(n-1)d))÷2其中，Sₙ表示前n项和。

五、费波纳西数列的求和公式：费波纳西数列是指数列中每个项都是前两个相邻项之和的数列。

设首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则费波纳西数列的求和公式为：Sₙ=(a₁+a₂)×(aₙ+aₙ₊₁)÷2Sₙ=(a₁+a₃)×(aₙ+aₙ₋₂)÷2其中，Sₙ表示前n项和。

六、其他数列的求和公式：除了上述常见的数列类型外，还存在其他特殊的数列，其求和公式需要通过推导和递推等方法得到。

比如，输出数列、幂和数列、等差几何数列等。

数列求和的七种方法数列求和是数学中非常基础的概念之一，它在高中数学中被广泛讨论和应用。

在数学中，我们经常遇到需要求解数列的和的问题，这样的问题可以通过不同的方法和技巧来解决。

在这篇文章中，我们将讨论七种常见的数列求和方法，并深入探讨它们的原理和应用。

第一种方法是等差数列的求和方法。

等差数列是指一个数列中每一项与其前一项之差保持恒定的数列。

对于一个等差数列，我们可以通过使用求和公式来求解其总和。

具体来说，对于首项为a，公差为d的等差数列，其前n项和可以通过公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算，其中n表示项数。

这种方法适用于各种等差数列，无论是正数还是负数的等差数列。

第二种方法是等比数列的求和方法。

等比数列是指一个数列中每一项与其前一项之比保持恒定的数列。

对于一个等比数列，我们可以通过使用求和公式来求解其总和。

具体来说，对于首项为a，公比为r的等比数列，其前n项和可以通过公式Sn = (a(1-r^n))/(1-r)来计算，其中n表示项数。

需要注意的是，公比不能为0或1，否则求和公式将无法使用。

第三种方法是利用等差数列的性质进行求和。

等差数列具有很多性质，其中一个重要的性质是数列的和等于首项与末项乘以项数的一半。

具体来说，对于首项为a，末项为b，项数为n的等差数列，其总和可以通过公式Sn = (a + b) * n / 2来计算。

这种方法在一些情况下更加简便和直观，特别是当我们只关注数列的总和而不关心具体的项时。

第四种方法是利用等比数列的性质进行求和。

等比数列也具有一些特殊的性质，其中一个重要的性质是当公比小于1时，数列的和可以表示为首项与末项的差除以1减去公比。

具体来说，对于首项为a，公比为r的等比数列（其中|r|<1），其总和可以通过公式Sn = (a -ar^n)/(1-r)来计算。

这种方法在一些情况下也更加简洁和有效。

第五种方法是使用递归关系进行求和。

递归关系是数列中的每一项与前一项之间存在一定规律的关系。

高考数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中经常考察的内容之一。

掌握了数列求和的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决问题，提高解题效率。

下面将对数列求和的相关知识进行总结和归纳。

一、等差数列的求和等差数列是高中数学中最基本的数列之一，求和公式为Sn = n* (a1 + an) / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n 项。

例题1：已知某等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。

解题思路：首先根据等差数列的公式an = a1 + (n - 1) * d，计算出第10项的值为2 + (10 - 1) * 3 = 29。

然后利用等差数列的求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2，代入n=10，a1=2，an=29，计算出前10项的和为10 * (2 + 29) / 2 = 155。

二、等比数列的求和等比数列是高中数学中另一个重要的数列，求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。

例题2：已知某等比数列的首项为1，公比为2，求前5项的和。

解题思路：首先根据等比数列的公式an = a1 * q^(n - 1)，计算出第5项的值为1 * 2^(5 - 1) = 16。

然后利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入n=5，a1=1，q=2，计算出前5项的和为1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31。

三、一般数列的求和对于一般的数列，如果找不到明显的规律或者确定不了数列的类型，可以采用递推法求和。

例题3：已知数列{an}满足a1 = 1，an = an-1 + 2，求前5项的和。

解题思路：根据数列的递推关系an = an-1 + 2，可以得出第2项a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3，第3项a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5，以此类推，可以求得前5项依次为1，3，5，7，9。

高中数列求和方法总结
数列求和是高中数学中的重要知识点之一，下面总结几种常见的数列求和方法。

1. 等差数列求和公式：
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其中公差为d。

则求
和公式为：
$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$
其中，$S_n$表示前n项和。

2. 等比数列求和公式：
对于等比数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其中公比为q（不为零）。

则求和公式为：
$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
其中，$S_n$表示前n项和。

3. 部分和公式：
当数列不是等差或等比数列时，可以考虑使用部分和公式。

如果数列的通项表达式为$f(n)$，则前n项和为$S_n = f(1) +
f(2) + f(3) + ... + f(n)$。

例如，对于数列$1, 4, 7, 10, ...$，通项表达式为$a_n = 3n-2$，则前n项和为$S_n = \sum_{i=1}^{n}(3i-2)$。

4. 偶数项和与奇数项和：
当数列为周期性的时候，可以考虑分别计算偶数项和与奇数
项和，然后相加得到总和。

例如，对于数列$1, -2, 3, -4, 5, -6, ...$，可以将它分为偶数项
$-2, -4, -6, ...$与奇数项$1, 3, 5, ...$，分别计算偶数项和与奇数项和，然后相加得到总和。

以上是常见的数列求和方法总结。

掌握这些方法可以帮助我们更快地计算数列的和。

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。

数列求和知识点归纳总结数列求和是数学中的一项重要内容，是指根据数列中的规律，计算出数列中所有项的和。

在数学中，数列求和有各种不同的方法和公式，下面将对常见的数列求和知识点进行归纳总结。

一、等差数列的求和等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。

在等差数列中，我们常用的求和公式为：Sn = n（a1 + an）/ 2其中，Sn表示前n项的和，a1为首项，an为末项，n为项数。

例子一：求和公式对于等差数列1，3，5，7，9的前10项和可以表示为：S10 = 10（1 + 9）/ 2 = 10 * 10 / 2 = 50二、等比数列的求和等比数列是指数列中每一项与前一项的比值都相等的数列。

在等比数列中，我们常用的求和公式为：Sn = a1（1 - q^n）/ (1 - q)其中，Sn表示前n项的和，a1为首项，q为公比，n为项数。

例子二：求和公式对于等比数列2，4，8，16，32的前5项和可以表示为：S5 = 2（1 - 2^5）/ (1 - 2) = 62三、特殊数列的求和除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列求和公式需要注意。

1. 奇数数列的求和对于奇数数列1，3，5，7，9，11......，前n项和可以表示为：Sn = n^22. 平方数列的求和对于平方数列1，4，9，16，25，......，前n项和可以表示为：Sn = n（n + 1）(2n + 1)/63. 立方数列的求和对于立方数列1，8，27，64，125，......，前n项和可以表示为：Sn = [n(n + 1)/2]^2四、递推公式的应用在一些情况下，数列的求和可以利用递推公式来求解。

递推公式是指通过前一项或前几项来推导出下一项的公式。

例子三：对于数列1，1/2，1/4，1/8，1/16，......，可以发现每一项都是前一项的一半。

因此，我们可以利用递推公式来求和：Sn = 1（1 - 1/2^n）/ (1 - 1/2) = 2 - 1/2^n以上是数列求和的一些常见知识点的归纳总结。