06第六章 不定积分

第六章 不定积分不定积分是求微商的逆运算。

§1 不定积分的概念定义6．1 设在区间I 内每一点，都有'()()F x f x =，则称()F x 是()f x在I 上的一个原函数．例1 设2()f x x =，则31()3F x x =是()f x 在),(+∞-∞的一个原函数．显然3113x +,313x π-也是()f x 在),(+∞-∞的原函数．任意的常数31,3c x c +也是2()f x x =在),(+∞-∞的原函数．例2 x x F ln )(=，x x f 1)(=，)(x F 是)(x f 在),0(+∞的一个原函数； )ln()(x x F -=，xx f 1)(=，)(x F 是)(x f 在)0,(-∞的一个原函数；注 1 原函数与区间有关。

但在本章中重在如何求原函数，故以下不强调区间。

只要在某区间成立即可注2 原函数若存在，则不唯一。

定理6．1 若()F x 是()f x 在区间I 内的一个原函数，则()F x c +是()f x的全体原函数，其中c 是任意常数．证明 首先证明对任意给定的常数c ，()F x c +是()f x 的一个原函数．这是显然的，因为'()()F x f x =，知''(())()()F x c F x f x +==．其次证明()F x c +包括()f x 的所有原函数． 设()G x 是()f x 在区间I 的任意一个原函数，则有'''(()())()()()()G x F x G x F x f x f x -=-=-=在区间上的每一点都成立，有微分中值定理的推论知()()G x F x c-=即 ()()G x F x c =- 定理证完．定义6．2 ()f x 在区间I 上的原函数全体称为()f x 在区间I 上的不定积分，记为()f x dx ⎰．其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，x 称为积分变量，()f x dx 称为被积表达式．若()F x 是()f x 在I 上的一个原函数，则有()()f x dx F x c =+⎰；=dF ()f x dx；'()()f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰或 ()()d f x dx f x dx =⎰。

第六章 不定积分第四、五章学习的导数与微分，是已知函数本身，然后去求出函数的导数，通过导数去判断函数的性质. 在第五章我们证明拉格朗日中值定理与柯西中值定理时，用到一个技巧，就是已知某个函数的导数的形式，然后推断这个函数没求导之前的形式，这个函数知道了，两个微分中值定理证明中需要的辅助函数就构造出来了. 这个问题上升到一般情况，很自然地，我们可以考虑，如果先知道函数的导数，如何求出这个函数本身？这就是本章要介绍的原函数与不定积分的知识. 这是积分学的基本问题之一.§6.1 原函数与不定积分概念一、 原函数的概念数学中的各种运算及其逆运算都是客观规律的反映.解决哪些实际问题需应用导数运算的逆运算呢？例如，已知物体的运动规律()S S t =，其中t 是时间，S 是路程，导数()()S t v t '=就是物体在时刻t 的瞬时速度.在力学中有时会遇到相反的问题.已知物体在任意时刻t 的瞬时速度)(t v v =，问物体的运动规律()?S t =，即(?)()v t '=. 问：如果物体运动的瞬时速度是常数，该物体是什么运动？如果物体运动的瞬时速度与时间成正比，这个运动是什么？上述问题的求解就是求导运算的逆运算问题.我们知道，如果()()F x f x '=，则称()f x 是()F x 的导数，那么()F x 叫做()f x 的什么？很自然地，要为()F x 命名．定义6.1 设函数()F x 和)(x f 在区间I 上有定义，若对I 内任意点x ，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =，则称()F x 是)(x f 在区间I 上的一个原函数．例如，(),x ∀∈-∞+∞32()3x x '=，故3x 是23x 在),(+∞-∞上的一个原函数. 又如，当(1,1),x ∈-(arcsin )x '=，故arcsin x 在(1,1)-上的一个原函数．注意：什么样的函数才能成为某个函数的原函数？按照定义，原函数必须可以求导，因此必然是连续的.对原函数的研究须讨论以下两个问题:第一，一个函数具备什么条件，能保证它的原函数一定存在？即原函数的存在性.这个问题将在下一章中讨论，这里我们先给出一个结论，即下面的原函数存在定理.原函数存在定理 如果函数)(x f 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在原函 数()F x .由于初等函数在其定义区间上都是连续的，故初等函数在其定义区间上都有原函数．第二，原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有什么联系？一个函数的原函数不是唯一的.如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则对任意常数C ，都有(())()F x C f x '+=，即对任意常数C ，函数()F x C +也是)(x f 的原函数.如果()G x 也是()f x 在区间I 上的一个原函数，则0)()()()(])()([=-='-'='-x f x f x F x G x F x G .由拉格朗日中值定理可知，导数等于零的函数是常数，从而0()()G x F x C -=（0C 为某个常数）.这表明()G x 与()F x 只相差一个常数.因此，如果)(x f 有一个原函数()F x ，那么)(x f 就有无穷多个原函数，而且所有的原函数都具有()F x C +的形式.二 、不定积分的概念1．不定积分的定义定义6.2 设()F x 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则)(x f 在区间I 上的所有原函数()F x C +（C 为任意常数）称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰，即C x F x x f +=⎰)(d )(.其中“⎰”称为积分号，)(x f 称为被积函数，x x f d )(称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数．例1 求下列不定积分：3211(1)d ;(2)d ;(3)d 1x x x x xx +⎰⎰⎰． 解 (1) 因为,434x x ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛所以44x 是3x 的一个原函数,从而 C x x x +=⎰4d 43．(2) 因为()；时当xx x 1ln ,0='> (),1)ln(,0xx x ='-<时当 即(),1||ln xx ='所以||ln x 是x 1的一个原函数，从而C x x x +=⎰||ln d 1． (3) 因为21(arctan )1x x'=+，故x arctan 是211x +的一个原函数，从而 C x x x +=+⎰arctan d 112. 例2 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点(,)M x y 处的切线斜率为2x ，求此曲线的方程.解 设所求的曲线方程为()y f x =， 根据导数的几何意义，知()2f x x '=,即()f x 是2x 的一个原函数.因此有⎰+=Cx xdx 22故必有某个常数C 使2()f x x C =+.又因为所求曲线通过点(1,2)，故22(1)1f C ==+，即1C =于是所求曲线方程为21y x =+.2．不定积分的几何意义若()F x 是()f x 的一个原函数，则函数()y F x =的图形是直角标系xoy 中的一条曲线，称为)(x f 的一条积分曲线．若将这条曲线沿y 轴向上或向下平移||C 个单位，就得到)(x f 的另一条积分曲线()F x C +.由于C 可以取任意实数，故可以得到)(x f 的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线簇，称为)(x f 的积分曲线图6.1簇，不定积分就表示这一曲线簇，且它们在横坐标相同的点0x 处的切线有相同的斜率，都是0()f x '，即各切线平行（图6.1）.例2中所求曲线就是函数2x 过点(1,2)的那条积分曲线三、不定积分的性质利用不定积分的定义，可以推得它有如下两条性质： 设)()(x g x f ，存在原函数，则有(1)⎰⎰=x x f k x x kf d )(d )(，其中0≠k ； 即被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外.(2)()()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.即函数的和、差的不定积分等于各个函数的不定积分的和、差.四、基本积分表为了计算不定积分，必须掌握一些基本积分公式． 从不定积分的定义，可知以下关系成立：()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ ，()()F x dx F x C '=+⎰.或记作()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ， ()()dF x F x C =+⎰. 这充分显示，微分运算与求不定积分运算是互逆的，若先积分后微分，则作用相互抵消，还原到原来的函数；但若先微分后积分，作用抵消后相差一个常数．既然求不定积分就是求导数的逆运算，因此，有一个导数公式，就对应的有一个不定积分公式，所以由基本初等函数的导数公式便可得到相应的基本积分公式，列表如下：（1）C x ⎰=d 0； （2）11d (1)1x x x C μμμμ+=+≠-+⎰；（3）C x x x+=⎰||ln d 1；（4）d ln xxa a x C a=+⎰(0,1)a a >≠； （5）e d e x x x C =+⎰； （6）C x x x +-=⎰cos d sin ；（7）C x x x +=⎰sin d cos ； （8）2sec d tan x x x C =+⎰； （9）2csc d cot x x x C =-+⎰； （10）sec tan sec x xdx x C ⋅=+⎰； （11）csc cot csc x xdx x C ⋅=-+⎰； （12）1arcsin arccos x x C x C =+=-+；（13）121d arctan cot 1x x C arc x C x =+=-++⎰． 这个表通常称为基本积分表，表中所列十三个基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记.根据第四章扩充的基本初等函数的导数公式，有下面的扩充基本积分公式表：（1）1()()()(1)1f x f x f x dx C αααα+'=+≠-+⎰； （2）()ln ()()f x dx f x C f x '=+⎰； （3）()()ln ()f x f x a a f x dx a C '⋅=+⎰)1,0(≠>a a ； （4）()()()f x f x e f x dx e C '=+⎰； （5）()cos ()sin ()f x f x dx f x C '=+⎰； （6）()sin ()cos ()f x f x dx f x C '=-+⎰； （7）2()sec ()tan ()f x f x dx f x C '=+⎰； （8）2()csc ()cot ()f x f x dx f x C '=-+⎰；（9）()sec ()tan ()sec ()f x f x f x dx f x C '=+⎰； （10）()csc ()cot ()csc ()f x f x f x dx f x C '=-+⎰； （11）arcsin ()f x C '=+ (1()1)f x -<<；（12）2()arctan ()1()f x dx f x C f x '=++⎰. 根据不定积分的性质和基本积分公式，可求得一些简单函数的不定积分.例3 求 d x x ⎰.解 ,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩，它的原函数具有形式2122,02(),02x C x F x x C x ⎧+≥⎪=⎨⎪-+<⎩ .由于原函数必须是连续的，所以(00)(00)F F +=-. 于是12C C =.取120C C ==，就得到x 的一个原函数222,0,2()sgn 2,0.2x x x F x x x x ⎧≥⎪==⎨⎪-<⎩，按照不定积分的定义，2d sgn 2x x x x C =+⎰.例4 求2e d x x x ⎰.解 ⎰x xxd e 2⎰=x xd )e 2((2e)ln(2e)x C =+2e 1ln 2x xC =++. 例5 求32(1)d x x x-⎰. 解 33222(1)3+31d d x x x x x x x x ---=⎰⎰231(3)x dx x x =-+-⎰ 211313xdx dx dx dx x x=-+-⎰⎰⎰⎰21133ln ||2x x x C x =-+++. 例6 23(sin )d 1x x e x x -++⎰. 解 23(sin )d 1x x e x x -++⎰21sin 31xxdx dx e dx x=-++⎰⎰⎰ cos 3arctan x x x e C =--++.例7 求2tan d x x ⎰.解 基本积分表中没有这种类型的积分，先利用三角恒等式化成表中所列类型的积分，然后再逐项求积分：⎰x x d tan2⎰-=x x d )1(sec 2⎰⎰-=x x x d 1d sec 2tan x x C =-+.例8 求 2sin d 2xx ⎰. 解 同上例一样，先利用三角恒等式变形，然后再逐项积分：⎰x x d 2sin 2x x d )cos 1(21-=⎰⎰-=x x d )cos 1(21 11d cos d 2x x x ⎡⎤=-⎣⎦⎰⎰1(sin )2x x C =-+.例9 求221d sin cos x x x ⎰. 解 x x x x x x x x d cos sin cos sin d cos sin 1222222+=⎰⎰x xx x d sin 1d cos 122⎰⎰+= tan cot x x C =-+.关于三角函数的积分常常需要下面的三角函数公式：1.21cos 2sin 2x x -=；2. 21cos 2cos 2xx += ；3.()()1sin cos [sin sin ]2αβαβαβ=++-；4.()()1cos cos [cos cos ]2αβαβαβ=++-；5. ()()1sin sin [cos cos ]2αβαβαβ=--+ ；6. 221tan sec x x +=；7. 221cot csc x x +=.例10 求42223d 1x x x x +++⎰. 解 被积函数的分子和分母都是多项式，通过多项式的除法，可以把它化成基本积分表中所列类型的积分，然后再逐项积分：42222234d 21d 11x x x x x x x ++⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 2212141x dx dx dx x =-++⎰⎰⎰ 324arctan 3x x x C =-++.§6.2 换元积分法从上节看到，虽然利用基本积分表与不定积分的性质可以求出不少函数的原函数，但是仅凭这些方法还是不够用的，即使像ln x ，tan x ，cot x ，sec x ，csc x ，arcsin x ，arctan x 这样一些基本初等函数，现在都不知道怎样去求得它们的原函数．因此有必要进一步研究不定积分的求法.本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法.换元法通常分为两类，即第一类换元法和第二类换元法.一、第一类换元法有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后就能由基本积分公式求出所需的积分.先看一个例题，求不定积分2d x e x ⎰，在基本积分表中只有d x x e x e C =+⎰，比较2d x e x ⎰与d x e x ⎰这两个积分，我们发现只是x e 的幂次相差一个常数因子，因此，如果凑上一个常数因子2，便成为2221122d d(2)d(2)xxxex e x ex ==⎰⎰⎰.再另2x u =，那么上述积分就变为21122d(2)d x u e x e u =⎰⎰.上式右端积分在基本积分表中可以查到，然后再代回原来的变量x ，就求得不定积分22211112222d d(2)d xxuu xex ex e u e C eC ===+=+⎰⎰⎰. 一般地，若积分()d g x x ⎰不能直接用基本积分公式计算，而被积表达式()d g x x 可以表示成()d [()]()d [(]d ()g x x f x x x f x x ϕϕϕϕ'==，则通过变换)(x u ϕ=可将不定积分[()]()d f x x x ϕϕ'⎰化为积分⎰u u f d )(.如果积分⎰u u f d )(容易积出，不妨设()d ()f u u F u C =+⎰，则()()[()]()d ()d u x g x dx f x x x f u u ϕϕϕ=⎡⎤'==⎣⎦⎰⎰⎰()[()]F u C F x C ϕ=+=+．这就是第一类换元积分法，又称凑微分法．为了数学上的严密，把上述方法写成如下定理：定理 6.1 设)(u f 具有原函数)(u F ， )(x u ϕ=可导，则有如下换元公式：()[()]()d ()d ()[()]u x f x x x f u u F u C F x C ϕϕϕϕ=⎡⎤'==+=+⎣⎦⎰⎰. （1）证 由复合函数的求导法则，有()[()][()]()F x f x x ϕϕϕ''=，故公式（1）成立．用第一类换元法求不定积分⎰x x g d )(要同时考虑两个问题：（1） )(x g 可化为成[()]()f x x ϕϕ'的形式； （2）)(u f 可用基本积分公式求出原函数．注：将上节扩充的基本积分公式表中的()f x dx '换成()df x ，结合第一积分换元法就得到基本积分公式表. 对于一个抽象的函数，可以有记号()f x '，但是对于一个具体的函数就没有上面的那一撇了. 比如cos(35)x +是哪个函数求导的结果呢？数学是一门技术，是技术就必须多操练，熟能生巧，开始可以试探，练习多了，就容易看出哪个函数是某个函数求导后的结果，那么第一类换元法就掌握了.下面我们通过例题来学习第一类积分换元法．例1 求不定积分x xd 231⎰+.解 基本积分公式中有 1d ln ||x x C x =+⎰，而132x+与1x 只是分母有差别.由于()1113232232x x x'=⋅⋅+++，如果令32u x =+，便有1d 32x x +⎰1111(32)d 2322x x du x u'=+=+⎰⎰ 11ln ||ln |32|22u C x C =+=++. 一般地，积分 x b ax f d )(⎰+总可作变换u ax b =+，把它化为11()d ()()()u ax bf ax b x f ax b d ax b f u du aa =+⎡⎤+=++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 例2 求sin 2cos3x xdx ⎰. 解 1sin 2cos3[sin(23)sin(32)]2x xdx x x x x dx =+--⎰⎰ 111[sin 5sin ]cos5cos 2102xdx xdx x x C =-=-++⎰⎰ 例3 求x x x d 12⎰-.解 设21u x =-，则2du xdx =-，即12du xdx -=，因此312211d 3222u x u u C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰()3322211133u C x C =-+=--+.在对变量代换比较熟练以后，可省去书写中间变量的换元和回代过程,而直接写出积分结果．例4 求x x a d 122⎰+.解 x x a d 122⎰+x a x ad 11122⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰a x a x a d 11121arctan x C aa =+. 例5求(0)a >.解=⎰dx =⎰arcsinxC a=+. 例6 求⎰-x ax d 122. 解 由于221ax -,1121⎪⎭⎫⎝⎛+--=a x a x a 所以 x a x d 122⎰-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=x a x a x a d 1121⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎰⎰x a x x a x a d 1d 121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---=⎰⎰)(d 1)(d 121a x a x a x a x a C a x a x a++--=)ln (ln 21.ln 21C a x a x a ++-= 例7 求x x x d )ln 21(1⎰+.解 x x x d )ln 21(1⎰+)(ln d ln 211x x⎰+=)ln 21(d ln 21121x x++=⎰=1ln 12ln 2x C ++.例8求x .解由于=，因此x2e =⎰e =⎰e C =+.注意：一般情形 x xx f d 1)(⎰).(d )(2x x f ⎰=下面再举一些积分的例子，它们的被积函数中含有三角函数，在计算这种积分的过程中，往往要用到一些三角恒等式.例9 求下列不定积分：（1）x x d sin 3⎰； (2)25sin cos d x x x ⎰； (3) 2cos d .x x ⎰ 解(1) x x d sin 3⎰x x x d sin sin 2⎰=)(cos d )cos 1(2x x ⎰--=31cos cos 3x x C =-++.（2）25sin cos d x x x ⎰24sin cos d(sin )x x x =⎰222sin (1sin )d(sin )x x x =-⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++. （3）2cos d x x ⎰1cos2d 2x x +=⎰1(1d cos2d )2x x x =+⎰⎰11cos2d(2)24x x x =+⎰ 11sin 2.24x x C =++ 例10 求下列不定积分：（1）tan d x x ⎰；（2）cot d x x ⎰；（3）;d csc ⎰x x （4）sec d x x ⎰. 解（1）tan d x x ⎰sin d cos x x x =⎰dcos cos xx =-⎰ln cos x C =-+. （2） cos 1cot d d dsin ln sin sin sin x x x x x x C x x ===+⎰⎰⎰.（3）x x d csc ⎰⎰=xxsin d ⎰=2cos2sin 2d x x x ⎪⎭⎫⎝⎛=⎰2d 2cos 2tan 12x x x⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰2tan d 2tan 1x x C x +=2tan ln .2tan x 因为2cos2sinx x =x xsin 2sin 22=x x sin cos 1-=,cot csc x x -= 所以上述不定积分又可表为 csc d x x ⎰ln csc cot x x C =-+.(4) 利用（3）的结果，有x x d sec ⎰⎰=xxcos d ⎰++=)2πsin()2π(x x d C x x ++-+=)2πcot()2πcsc(ln ln sec tan x x C =++.上面所举的例子，可以使我们认识到公式（1）在求不定积分中所起的作用.像复合函数的求导法则在微分学中一样，公式（1）在积分学中也是经常使用的.利用公式（1）来求不定积分，一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数更困难，因为其中需要一定的技巧，而且如何适当地选择变量代换)(x u ϕ=没有一般规律可循，因此要掌握好第一类换元法，除了熟悉一些典型的例子外，还要多做练习才行.二、第二类换元法上面介绍的第一类换元法也称为凑微分法，通过把积分()d g x x ⎰凑成如下的形式：[()]()d [()]()f x x x f x d x ϕϕϕϕ'=⎰⎰，然后作变量代换)(x u ϕ=，把要求的积分()d g x x ⎰化为在基本积分公式中能找到的积分()d f u u ⎰.但是有些积分并不能很容易的凑出微分，而是一开始就要作代换，把要求的积分化简，然后再求出积分，这种方法称为第二类换元法.假设不定积分x x f d )(⎰在基本积分表中没有公式可用，若适当选择变量代换()x t ϕ=，将积分x x f d )(⎰化为积分[()]()d f t t t ϕϕ'⎰.这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为x x f d )(⎰[()]()d f t t t ϕϕ'=⎰.这公式的成立是需要一定条件的.首先，等式右端的不定积分要存在，即)(])([t t f ϕϕ'具有原函数()F t ；其次积分[()]()d f t t t ϕϕ'⎰求出后必须用()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=代回去，为了保证这反函数存在且是可导的，我们假定直接函数()x t ϕ=在t 的某一个区间上是单调的、可导的，且()0t ϕ'≠.归纳以上所述，有以下定理．定理 6.2 设)(t x ϕ=是单调可导的函数，且0)(≠'t ϕ．又设[()]()f t t ϕϕ'具有原函数()F t ，则有换元公式xx f d )(⎰[()]()d f t t tϕϕ'=⎰1()[()]F t C F x C ϕ-=+=+ （2）其中)(1x t-=ϕ是)(t x ϕ=的反函数.证 已知[()]()f t t ϕϕ'的原函数为()F t ，记1[()]()F x G x ϕ-=，利用复合函数及反函数求导法则，得到dG dF dtdx dt dx=⋅1[()]()()f t t t ϕϕϕ'=⋅'[()]()f t f x ϕ==，即()G x 是()f x 的一个原函数，所以有()d f x x⎰()G x C =+1[()]F x C ϕ-=+ ()F t C =+[()]()d f t t t ϕϕ'=⎰，这就证明了公式（2）.下面举例说明换元公式（2）的应用.例11 求⎰-x x a d 22 ).0(>a解 利用三角公式22sin cos 1t t +=来化去根式.设,sin t a x =ππ22t -<<t a a 222sin -=cos a t =， d cos d x a t t =，于是⎰-x x a d 22⎰⋅=t t a t a d cos cos ⎰=t t a d cos 22t ta d 22cos 12⎰+= C t t a +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2sin 2122C t t t a +⋅+=]cos sin [22. 由于,sin t a x =ππ22t -<<，所以sin ,x t arc a =cos t ===于是所求积分为⎰-x x a d 222arcsin 2a x x C a a ⎡⎢=++⎢⎣2arcsin .22a x xC a =+ 例12 求⎰+x ax d 122)0(>a .解 利用三角公式221tan sec t t +=来化去根式.设tan x a t =ππ()22t -<<，那么==sec a t =，,d sec d 2t t a x =于是x a x d 122⎰+t t a ta d sec sec 12⋅=⎰⎰=t t d sec . 由例10知， sec d t t ⎰ln sec tan t t C =++， 故 ⎰+x ax d 122ln sec tan t t C =++.为了把sec t 换成x 的函数，可以根据tan xt a=作辅助三角形（图 6.2），便有sec t a=， 因此x a x d 122⎰+ln xC a =++(1ln x C =++.其中1ln C C a =-. 例13 求)0(d 122>-⎰a x ax .解 利用三角公式22sec 1tan t t -=来化去根式.注意到被积函数的定义域是xa >和x a <-两个区间，我们在这两个区间内分别求不定积分.tax22a x + 图6.2当xa >时，设t a x sec =π(0)2t <<，那么=tan a t =，d sec tan d ,x a t t t =于是⎰-x a x d 122t ta tt a d tan tan sec ⎰⋅=⎰=t t d sec ()ln sec tan t t C =++.为了把tan t 换成x 的函数，可以根据sec xt a=作辅助三角形（图 6.3），便有tan t =，因此⎰-x a x d 122ln x C a ⎛=++ ⎝⎭(1ln x C =++，其中1ln C C a =-.当xa <-时，设x u =-，那么u a >，由上段结果，有⎰-x a x d 122u =-(1ln u C =-+(1ln x C =--++12ln x C a ⎛-=+ ⎪⎝⎭(2ln x C =-+，其中22ln C C a =-. 把在xa >和x a <-内的结果合起来，可写作⎰-x a x d 122ln x C =+.上述三个例题是利用三角函数进行换元，以消去被积函数中的二次根式，从而计算出积分，这类换元多为下面三种情况：（1）被积函数中含有因子22x a -，可以作代换sin x a t =或cos x a t =； （2）被积函数中含有因子22a x +，可以作代换tan x a t =或cot x a t =； （3）被积函数中含有因子22a x -，可以作代换sec x a t =或csc x a t =.图6.3但具体解题时要分析被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不要拘泥于上面的代换.下面我们通过例子来介绍一种很有用的代换—倒代换，利用它常可消去被积函数的分母中的变量因子x.例14 求.解设1xt=，那么21dx dtt=-，于是=21()dtt-t=-⎰.当0x>时，有=t-22212a=-C=+2Ca x=-+.当0x<时，类似可得同样结果.在本节的例题中，有几个积分是以后经常会遇到的，所以通常把它们也作为公式使用.常用积分公式，除了基本积分表中的13个外，再补充以下几个公式：（14）tan dx x=⎰ln cos x C-+；（15）cot d x x=⎰ln sin x C+；（16）sec d x x=⎰ln sec tanx x C++；（17）csc d x x=⎰ln csc cotx x C-+；（18）221d xa x=+⎰1arctan x Ca a+；（19）221d xx a=-⎰1ln2x aCa x a-++；（20）d x=arcsinxCa+(0)a>；（21）x=ln(x C+(0)a>；（22）x=ln x C++(0)a>.例15 求2d23xx x++⎰.解 2d 23xx x ++⎰21d (1)2x x =++⎰1)x =+，利用公式（18），便得 2d 23xx x ++⎰C =+.例16求.解1d x ⎛⎫- ⎪=，利用公式（20），便得C =+. 例17求⎰解12=， 利用公式（21），便得(1ln 22x C =++. 为了以后应用方便，在结束本节之前，我们给出两个常用双曲函数的积分公式：（23）sh ch xdx x C =+⎰； （24）ch sh xdx x C =+⎰.§6.3 分部积分法上节我们在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法，本节我们利用两个函数乘积的求导法则，来推得另一个求积分的基本方法——分部积分法.设函数()u u x =和()v v x =具有连续导数,由两个函数乘积的导数公式，有()uv u v uv '''=+，移项，得 ()uv uv u v '''=-.对这个等式两边求不定积分，得d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ （1）或 d d u v uv v u =-⎰⎰. （2） （1）式或（2）式称为分部积分公式.注 对于一个具体函数的积分，被积函数中是不会出现导数的符号，我们看见的是形如()()g x h x dx ⎰的积分，依据分部积分公式，实际上按如下方式计算： ()()()()()()()()g x h x dx g x h x dx h x dx g x dx '=-⎰⎰⎰⎰ (3)其中的()h x dx ⎰理解为()h x 的一个原函数.下面我们通过例子来说明如何运用这个重要公式. 例1 求sin d x x x ⎰.解 设u x =，sin d dv x x =，那么du dx =，cos v x =-. 由公式（2）sin d cos cos d uuvvdudvx x x x x x x =---⎰⎰cos cos x x xdx =-+⎰cos sin x x x C =-++.如果设sin u x =，d dv x x =，那么cos du xdx =，212v x =，于是 21sin sin d 2u dvx xdx x x ⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰ 2211sin cos d 22duvuvx x x x x =-⋅⎰ 2211sin cos 22x x x xdx =-⎰. 上式右端积分比原积分更不容易积出.由此可见，如果u 和dv 选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法的一个关键是适当地选择u 和dv .选择u 和dv 一般要考虑下面两点：（1）v 要容易求得；（2）积分⎰u v d 比积分⎰v u d 更容易计算．一般地，下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中,m n 都是正整数)：（1） mx x n sin 、mx x n cos 、mx n e x ；（2）x x n ln 、mx x n arcsin 、mx x n arccos 、；mx x n arctan ； （3）mx e nx sin 、mx e nx cos 等.当被积函数为（1）中的形式时，选取幂函数因子作为u ；当被积函数为（2）中的形式时，选取对数函数或反三角函数因子作为u ；当被积函数为（3）中的形式时，可任选其中之一因子作u ；对其他类型，要视具体情况而定．例2 求下列不定积分：（1）⎰x x x d e 2； （2）ln d x x x ⎰； （3）⎰x x x d arctan . 解 （1）令v x x u x x d de d e ,2===，那么x x x x x de d e 22⎰⎰=()22e e d x x x x =-⎰2e 2e d x x x x x =-⎰. 对积分e d x x x ⎰再使用一次分部积分公式，于是⎰x x x d e 2⎰-=x xx x de 2e22e 2(e e d )x x x x x x =--⎰2e 2(e e )x x x x x C =--+2e (22)x x x C =-++.（2）令2ln ,d d d ,2x u x x x v ⎛⎫=== ⎪⎝⎭那么2ln d ln d 2x x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰2211ln d(ln )22x x x x =-⎰ 211ln d 22x x x x =-⎰2211ln 24x x x C =-+. （3）令,d 2d d ,arctan 2v x x x x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛==那么⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2d arctan d arctan 2x x x x x ⎰-=)(arctan d 2arctan 222x x x xx x x x x d 112arctan 2222⎰+⋅-= 2211arctan 1d 221x x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰.)arctan (21arctan 22C x x x x +--= 例3 求⎰x x x d sin e ． 解 ⎰⎰=x x x x x de sin d sin e)(sin d e sin e x x x x ⎰-=⎰-=x x x x x d cos e sin e .上式右端的积分与左端的积分是同一类型的，对右端的积分再用一次分部积分公式，得⎰x x xd sine ⎰-=x x x x de cos sin e )cos d e cos e (sin e ⎰--=x x x x x x ⎰--=x x x x x x d sin e )cos (sin e ，于是 .)cos (sin 2e d sin e C x x x x xx+-=⎰例4 求下列不定积分：（1）arccos d x x ⎰； （2）⎰x x d sec 3； （3）⎰x x d e ． 解 （1）设arccos u x =，dv dx =，那么arccos d arccos d(arccos )x x x x x x =-⎰⎰arccos x x x =+⎰()2arccos 1x x x =--⎰arccos x x C =.（2）⎰⎰=x x x x tan d sec d sec 3⎰-=x x x x x d tan sec tan sec 2⎰--=x x x x x d )1(sec sec tan sec 2 ⎰⎰+-=x x x x x x d sec d sec tan sec 3 ⎰-++=x x x x x x d sec |tan sec |ln tan sec 3，于是 .|)tan sec |ln tan (sec 21d sec 3C x x x x x x +++=⎰ （3） 令,x t =则,d 2d ,2t t x t x ==于是t t x t xd e 2d e⎰⎰=t t de 2⎰=t t t t d e 2e 2⎰-=C t t t +-=e 2e 2C t t +-=)1(e 2.)1(e 2C x x +-=注：此题兼用了换元法和分部积分法.§6.4 有理函数的积分一 、有理函数的积分设()P x 与()Q x 都是多项式，称商()()P x Q x 为有理函数或有理分式，当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时，称这种有理函数为真分式，否则称为假分式.利用多项式除法总可以把假分式化成多项式与真分式之和，而多项式的不定积分很容易求，因此有理函数的不定积分关键在于求真分式的不定积分．根据代数理论，任何一个真分式都可以分解为若干个部分分式之和.对于真分式()()P x Q x ，如果分母可分解为两个多项式的乘积12()()()Q x Q x Q x =，且1()Q x 与2()Q x 没有公因式，那么它可分解为两个真分式之和1212()()()()()()P x P x P x Q x Q x Q x =+. 如果1()Q x 与2()Q x 还能再分解为两个没有公因式的多项式的乘积，那么真分式()()P x Q x 就可再分解为更简单的部分分式之和.最后真分式的分解式中只会出现下列四类分式：(1)a x A-； (2) na x A )(-； (3) qpx x NMx +++2； (4) n q px x N Mx )(2+++其中n 为大于等于2的正整数，A 、M 、N 、a 、p 、q 均为常数，且042<-q p .这四类分式称为最简分式.因此，真分式的积分就归结为前面四种最简分式的积分：(1) d d()ln ||A Ax x a A x a C x a x a=-=-+--⎰⎰；(2) 1d d()()(2)()()1nn n A A A x x a x a C n x a x a n-=-=-+≥---⎰⎰；(3) x qpx x NMx d 2+++⎰，此类积分通常视具体情况凑微分解决； (4) x q px x NMx nd )(2+++⎰，可用递推法求，这里就不再介绍了．下面举几个真分式的积分的例子.例1 求2x 356dx x x +-+⎰．解 法1：按照有理函数积分的标准步骤去做. 被积函数的分母可分解为：256(2)(3)x x x x -+=--，设,326532-+-=+-+x Bx A x x x 其中A ，B 为待定系数.上式两端去分母，得)2()3(3-+-=+x B x A x ，即 )23()(3B A x B A x +-+=+. 比较上式两端同次幂的系数，即有1,(32)3,A B A B +=⎧⎨-+=⎩ 解得 5,6A B =-=. 于是.36256532-+--=+-+x x x x x 从而 2356x dx x x +=-+⎰5623dx x x -⎛⎫+ ⎪--⎝⎭⎰ 115d 6d 23x x x x =-+--⎰⎰5ln |2|6ln |3|x x C =--+-+. 法2：通过加或减分子项，将分式化成可以积分的部分分式.22511x 3225656x dx dx x x x x -++=-+-+⎰⎰ ()()221(56)111256232x x dx dx x x x x '-+=+-+--⎰⎰ 211111ln 562232x x dx x x ⎛⎫=-++- ⎪--⎝⎭⎰()()62531113ln 56ln ln 2222x x x x C C x x --=-+++=+--.例2 求22(21)(1)x dx x x x ++++⎰.解 设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++ 去分母，得 ()22(1)()21x A x x Bx C x +=+++++， 即 22(2)(2)x A B x A B C x A C +=++++++. 比较上式两端同次幂的系数，即有20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得 2,1,0A B C ==-=. 于是2222(21)(1)211x xx x x x x x +=-++++++. 从而 2222(21)(1)211x x dx dx x x x x x x +⎛⎫=- ⎪++++++⎝⎭⎰⎰ 22211x dx dx x x x =-+++⎰⎰21(21)1ln |21|21x x dx x x +-=+-++⎰ 2221(1)11ln |21|2121324d x x x dx x x x ++=+-+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰21ln |21|ln |1|2x x x C =+-+++.例3 求226114(1)x x dx x x -+-⎰. 解 法1：设 2226114(1)1(1)x x A B Cx x x x x -+=++---，去分母 ，得 226114(1)(1)x x A x Bx x Cx -+=-+-+. 上式为恒等式，令0x =，得4,A =令1,x =得1,C =-令2,x =得226A B C ++=，解得 2.B =即 2226114421(1)1(1)x x x x x x x -+=+----. 于是 2226114421(1)1(1)x x dx dx x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪---⎝⎭⎰⎰ 24211(1)dx dx dx x x x =+---⎰⎰⎰ 14ln ||2ln |1|1x x C x =+-++- 421ln[(1)]1x x C x =-++-. 法2：()2222611466551(1)1x x x x x dx dx x x x x -+--+-=--⎰⎰ ()()2651111dx dx dx x x x x x =-----⎰⎰⎰ 111116ln 15111x dx dx x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰()21116ln 1411x dx dx x x x ⎛⎫=---- ⎪-⎝⎭-⎰⎰ 1116ln 14ln2ln 14ln 11x x C x x C x x x -=--++=-+++--. 注 由于有理函数分解为部分分式涉及解线性方程组，比较麻烦，所以，一般情况下，首先考虑用第二种方法.二、可化为有理函数的积分举例从上段关于有理函数的积分的讨论可知，有理函数的不定积分总能“积”出来.如果求一个函数的不定积分，只要选择适当的换元，将被积函数化为有理函数，那么这个积分也能“积”出来.例4 求1sin sin (1cos )xdx x x ++⎰.解 由三角函数知道sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示，即，2222222sin cos sin sin cos x x x x x =+2222tan 1tan x x =+，22222222cos sin cos sin cos xxxx x -=+22221tan 1tan xx-=+. 如果作变换令 )ππ(2tan <<-=x t x，那么22221sin ,cos ,11t t x x t t -==++而2arctan x t =，从而221dx dt t =+， 于是1sin sin (1cos )x dx x x ++⎰222221121111t tdt t t t t ++=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎰112d 2t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰2112ln ||22t t t C ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ 211tan tan ln |tan |42222x x xC =+++. 一般地，设(,)R u v 是,u v 的有理函数，则三角函数有理式的积分(sin ,cos )R x x dx ⎰总可作变量代换tan2xt =化成关于t 的有理函数的积分2222212(,)d 111t t R t t t t -+++⎰，即 t tt t t t R dx x x R d 12)11,12()cos ,(sin 2222++-+=⎰⎰. 例5求 x ⎰. 解t =，则21,d 2d x t x t t =+=，从而所求积分22d 1tx t t t =+⎰22212d 2[1]d 11t t t t t ==-++⎰⎰ 22arctan t t C =-+C =.例6求x . 解令6,x t =于是5d 6d x t t =，从而所求积分⎰+x x x d )1(13⎰+=t t t t d 6)1(1523⎰+=t t t d 1622t t d ]111[62⎰+-=66arctan t t C =-+6C =-.例7 求x .解 t =，于是211x t =-，222(1)t dx dt t =--，从而所求积分x =2222(1)(1)t t t dt t --⋅-⎰2221t dt t =--⎰21211dt t ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭⎰12ln 1t t C t -=--++222ln(1)ln |1|t t t C =-++--+1)ln ||x C =-++.一般地，对简单无理函数的积分，当被积函数所含根式为可令这个根式为t ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是t 的有理函数，从而把无理函数的积分化成了有理函数的积分．在结束本章之前，我们还要指出：对初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数，如2d x ex -⎰，sin x dxx ⎰，1ln dx x ⎰， 等等，它们的原函数就都不是初等函数.我们在求函数的导数时，无论多么复杂的初等函数，只要严格按照求导数的法则，一步一步总能求出最后结果来.而对于求函数的不定积分，如果被积函数太复杂，那么可能技巧性太强，我们就会求不出来.为了加强这方面的能力，同学们不妨随意写出几个函数的导数，然后反过来求积分，检验自己所掌握的积分方法与技巧是否熟练.习题六1.求下列不定积分：（1）21d x x ⎰； （2）x ⎰； （3）x ⎰； （4）xx ⎰； （5）2(51)d x x x -+⎰；（6）2d 3x x ⎫⎪⎭⎰；（7）1)d x ⎰；（8）2x ； （9）x ； （10）3(2)d xe x x +⎰； （11）(1x xe x --⎰；（12）2352d 3x x xx ⋅-⋅⎰； （13）22cos 1x dx x ⎛⎫- +⎝⎰；（14）2(2sec )d x x -⎰； （15）sec (sec tan )d x x x x -⎰；（16）2cos d 2xx ⎰；（17）2cot d x x ⎰； （18）1cos2dx x +⎰；（19）22cos sin dx x x ⎰；（20）2cos2d sin xx x ⎰； （21）221d (1)x x x x x +++⎰； （22）42232d 1x x x x ++⎰. 2.一曲线过点2(,3)e ，且在其任一点处的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程.3.一物体由静止开始运动，经t 秒后速度是23t (m/s),问 （1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360米需要多少时间？4.证明函数arcsin(21)x -，arccos(12)x -和函数.5.求下列不定积分： （1）3x e dx ⎰； （2）43dxx-⎰；（3）3(32)x dx -⎰； （4）（5）； （6）sin(51)x dx +⎰； （7）21cos 7dx x⎰； （8）2x xe dx -⎰；（9）2cos()x x dx ⎰； （10）；（11）21x dx x +⎰； （12）2125x dx x x +++⎰；（13）329x dx x +⎰； （14）22x x dx ⎰；（15）2ln x dx x⎰； （16）3ln dx x x ⎰；（17）cos 2sin 3x dx x +⎰； （18）3sin cos xdx x⎰； （19）；（20）102tan sec x xdx ⋅⎰；（21）2arcsin x ；（22）；（23）⎰； （24）；（25）21ln (ln )x dx x x +⎰；（26）4sin cos 1sin x x dx x +⎰；（27）1sin cos dx x x ⎰； （28）3cos xdx ⎰；（29）3tan sec x xdx ⎰； （30）；（31）221dx x -⎰； （32）x x dx e e -+⎰；（33）2123x dx x x -++⎰. 6.求下列不定积分： （1）2(0)a >； （2）⎰； （3） （4）（5）； （6）⎰； （7）；（8）x .7.求下列不定积分：（1）cos d 2xx x ⎰； （2）2cos d x x x ⎰；（3）2cos d x x x ⎰； （4）e d x x x -⎰； （5）2arctan d x x x ⎰； （6）3ln x xdx ⎰； （7）arctan d x x ⎰； （8）ln d x x ⎰； （9）2ln d x x ⎰； （10）e cos d x x x -⎰；（11）2e sin d 2x xx -⎰； （12）2tan d x x x ⎰；（13）22cos d 2xx x ⎰； （14）sin cos x x xdx ⎰；（15）2(1)sin 2x xdx -⎰； （16）ln(1)x x dx -⎰； （17）2ln x xdx ⎰； （18）2(arcsin )x dx ⎰；（19）cosln xdx ⎰； （20）⎰；（21）. 8.求下列不定积分：（1）33x dx x +⎰； （2）223310x dx x x ++-⎰； （3）2125x dx x x +-+⎰； （4）2(1)dx x x +⎰； （5）2(1)dx x x +⎰； （6）331dx x +⎰； （7）22(1)()dx x x x ++⎰； （8）41dxx -⎰； （9）22(1)(1)dxx x x +++⎰； （10）222(1)(1)x dx x ++⎰； （11）23sin dx x +⎰； （12）2sin dxx +⎰； （13）1sin cos dx x x ++⎰； （14）3cos dxx +⎰；（15）； （16）⎰；（17）； （18）； （19）； （20）9.计算积分sin xdx ⎰.。

不定积分的性质与基本积分公式不定积分是微积分中一个重要的概念，用于求解给定函数的原函数。

在实际应用中，不定积分可以用于求解曲线的长度、曲线下的面积、物体的质心等问题。

本文将介绍不定积分的性质和基本积分公式。

1.不定积分的定义不定积分是对函数进行积分运算的过程。

设函数f(x)在区间[a, b]上可导。

称满足F′(x) = f(x)的函数F(x)为f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。

记为F(x) = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。

这里的F(x)就是f(x)的一个原函数，符号∫f(x)dx称为不定积分。

2.不定积分的运算性质（1）线性性质：若F(x)和G(x)都是f(x)在区间[a,b]上的原函数，则c1F(x)+c2G(x)也是f(x)在区间[a,b]上的原函数，其中c1和c2为常数。

（2）积分和导数的关系：若F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的一个原函数，其中C为常数。

即：（F(x)+C）'=F'(x)=f(x)。

（3）换元法则：设u = g(x)是一个可导函数，f(u)在区间[a, b]上连续，且f(g(x))g′(x)在[a, b]上连续，则∫f(g(x))g′(x)dx =∫f(u)du。

（4）分部积分法则：设u = u(x)和v = v(x)是可导函数，且u′(x)和v′(x)在[a, b]上连续，则∫u′(x)v(x)dx = u(x)v(x) -∫v′(x)u(x)dx。

（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中C为常数。

（2）幂函数：∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数，n≠-1（3）指数函数：∫e^xdx = e^x + C，其中C为常数。

（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec^2xdx = tanx + C，其中C为常数。

不定积分的基本积分公式与性质积分是微积分的重要概念之一、在微积分中，不定积分是指对一个函数进行求导的逆运算。

不定积分也被称为原函数或反导数。

虽然具体的函数积分求解可以有多种方法，但是基本积分公式和性质对于积分的研究和运算有着重要的意义。

首先，我们来介绍一些基本的积分公式。

这些公式可以帮助我们求得一些常见函数的不定积分。

1.常数函数的不定积分对于常数函数f(x)=C（C为常数），它的不定积分即为Cx+C0，其中C0为常数项。

2.幂函数的不定积分函数f(x)=x^n（n为实数，且n≠-1）的不定积分为：F(x)=（1/(n+1))*x^(n+1)+C，其中C为常数项。

3.三角函数的不定积分① 不定积分∫sin(x)dx = -cos(x) + C② 不定积分∫cos(x)dx = sin(x) + C③ 不定积分∫1/cos^2(x)dx = tan(x) + C4.指数函数的不定积分① 不定积分∫e^x dx = e^x + C② 不定积分∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C （其中a为正实数，且a≠1）5.对数函数的不定积分不定积分∫1/x dx = ln，x， + C （其中ln表示自然对数，C为常数项）以上是一些常见函数的不定积分公式。

通过这些公式，我们可以求得许多函数的不定积分。

但是需要注意的是，并不是所有函数的不定积分都可以通过这些公式直接求解，还需要运用一些积分的技巧和方法。

不定积分有一些基本的性质，它们在积分的计算中起到了重要的作用。

下面我们来介绍一些常见的不定积分的性质。

1.线性性质若f(x)和g(x)的不定积分都存在，则对于任意实数a、b，有∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx2.逐项积分性质若f(x)的不定积分存在，则f(x)的幂函数逐项求积分后，仍然可以求得不定积分。

即∫[f(x)]^n dx = （1/(n+1)) * [f(x)]^(n+1) + C （其中C为常数项）3.牛顿-莱布尼兹公式若F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的任意一点x，有∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)4.整体性定理若f(x)的原函数F(x)在区间[a,b]上存在，并且F'(x)=f(x)，则对于任意曲线上的两个点a、b，有∫[a,b] f(x) dx = F(x) ，[a,b] = F(b) - F(a)以上是一些常见的不定积分公式和性质，它们在积分的计算中非常有用。

第6章不定积分§ 1不定积分概念和运算法则引入：不定积分问题是微分问题的反问题，积分运算是微分运算的反运算函数的导数求这个函数；从几何上讲已知一条曲线的切线斜率求这条曲线的方程讲已知变速直线运动的瞬时速度求运动方程.一.原函数与不定积分：1 原函数：,即已知一个；从物理例1填空：( 心a ;(1 +x )，=-2cosx ;—(dx)=x2dx=eX —sinX ; d( )=xdx ；( y = arctgx .12, 、[xarctgx—一1 n(1+x )]=arctgx. i、定义1设函数f (x)与F(x)在区间I上都有定义.若F \x)= f (x), I,则称F (x)是f (x)在区间I上的一个原函数.原函数问题的基本内容：存在性，个数,求法.⑴原函数的存在性：连续函数必有原函数. (下章给出证明).可见，初等函数在其定义域内有原函数；若f (x)在区间I上有原函数，则f (x)在区I上有介值性(Darboux定理).⑵原函数的个数：Th 若F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，则对V c —Const, F(x) +c都是f(x)在区间I上的原函数；若G(x)也是f(x)在区间I上的原函数，则必有G(x) = F(x) +c.可见，若f (x)有原函数F(x),则f (x)的全体原函数所成集合为{ F(X)+c I c亡R}. 例2已知F(x)为f(x) =2x的一个原函数，F(2) =5 .求F(x).2不定积分原函数族：定义，不定积分的记法，几何意义.[-x 2dx 1 +x2料dx .dx1例 3 f ------ =arctgx: ;Jx 2dx= — x 3+c .1 + X33不定积分的基本性质：以下设f(x)和g(x)有原函数.(Jf(x)dx ) = f(x), d Jf(x)dx = f (x)dx .(先积后导,形式不变).J f '(x)dx = f(X) + c, fdf(X)= f(X)+ c .(先导后积，多个常数)k H0时，Jkf (x)dx = k Jf(x)dx Kf(X)±g(x))dx= J f (x)dx± Jg(x)dx.由⑶、 ⑷可见，不定积分是线性运算，即对V k 1,k ^ R ,有J [ k i f (x) + k 2g(x)]dx = k i J f (x)dx + k 2 Jg(x)dx.(当k i = k 2 = 0时，上式右端应理解为任意常数 ).1 3J f (2x-1)dx =-x 3 +x + c .求 f(1).3.不定积分基本公式：(f (1)=2 ). [1]P179 公式 1 —14.三.利用初等化简计算不定积分： + a 1x n "1+-" +P(x) =a 0X a^x+a 求 JP(x)dx .『甞1dx 'X 2 +1j x 2 十三)dX.〕.1 +x§ 2换元积分法与分部积分法一. 第一类换元法 ——凑微法：544.4由 d sin 2x =5sin 2xd sin2x=5sin 2x(sin2x)dx=10sin 2xcos2xdx,=J 10sin 4 2xcos2xdx = 5 f sin 4 2x(sin 2x) dx = 5 J sin 4 2xdsin2xu zsin2x=====5ju 4du =u 5+c =sin 52x + c. 引出凑微公式.Thl 若 J f (x)dx = F(x) +c, ♦(x)连续可导，则 J f 忡⑴沖'(t)dt =FW(t)] + c.该定理即为：若函数g(t)能分解为 g(t)= f[*(t)]*'(t),就有Jg(t)dt = J f Z (t)]釈(t)dt = J f[%t)]d 叫t)X 边t)===Jf(x)dx =F(x)+c = F^(t)]+c . f(ax 中b)mdx, m 工 T, a 工0. JseC(5-3x)dx .1J cos3x cos2xdx = ? J (cosx + cos5x) dx10 ⑴ J (10x —10」)1 2dx ； ⑵ J22」e 3心dx.11「cos2x .f^_dxsin xsin x丿12d e co 80si凑法1 1 1=-J (1-cosx)dx =••■ =2(x--s in 2x)2 x^f (x k )dx = 1 f (x k )d(x k)=丄 f (u)du .特别地，有k kf(x 2)xdx =丄 f(x 2)d(x 2)=丄 f (u)du 和 f 电)dx = 2 f (以 d J 匚. 2 2例 9fxsinx 2dx ./= 2 f J 八"==2 arcs in J x + c. JxQ-x) O x TJsin 2xdx + C.dx dx 42X +1‘ x 2 +2x +3 '2+(x+1)2〒a y+ C.dx dx 1 2x +2x-3'(x+3)(x —1)\x —1dx =由例4— 7可见, ⑴ J xdx1+x 2■T nX —1+ c.常可用初等化简把被积函数化为 f(ax +b)型，然后用凑法1.id 10 I z 5 \ /c 、r - — 1 「xd(x )x 14dxx - 2arctg —+c. 2丿凑法例 10 f S ^1 L dx.• T X例11dxf (arctgx)dx = f (arctgx)darctgx = f (u)du .例12dx xdx .2「22 亠汽2)匚二丄心一丄〕dux(x 2 +1) x 2(x 2 +1) 2 x 2(x 2 +1) 2 \u u +1 丿=2lnuu 1 x 2+ c = — ln ——+c.凑法3f (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x = f (u)du;f (cosx)sin xdx = -f (cosx)d cosx = -f (u)du;2f (tgx)sec xdx = f (tgx)dtgx = f13 ⑴ Jsin 3xcosxdx.⑵fsin 3 xdx141 Csecxdx ="■ = —ln1 +sinx 15/sec 6 xdx = J(1 +tg 2X Y d t g 左… 16 2Jtg 5xsec 3 xdx = Jtg 4xsec 2 d secx = J (sec 2 xT ) sec 2 d secx凑法4 f (e x )e x d^ = f (e X )de X = f (u)du..例17 凑法5'2-edxf (ln X)——=f (ln x)d ln x =例18dx'x(1 +2ln x)凑法61+x 2例一肘"J 時皿二譽.== 2Jarctgtdarctgt =(arctgt)2 +c=(arctg 仮)2+c .其他凑法举例：t ------ X zsin t------------J(1 -x 2dx ===刖1 -sin 2td sin t = Jcos 2tdt =例20X _xe -e . -—dxe +e■ d （e J e」）=ln （eJe 」）+c . g X +e 」例21 J 也(xlnfdXn X) ' (xln X)2例222, , rSecx(secx+tgx) , ,sec x + secxtgx ,kecxdx = [ ---- ------ dx = f ------------- dx = secx +tgx = f d (sec x+tg x)=in|secx + tgx|+c . 、secx +tgx 例23,cosx +sin X , U inx -cosxdx .例24f C0S ^5sinXdx .‘ sin X + cosx例251 J 1X 2 dx =+丄2Xd X -- 二 1+2 X丿例26f X -5X +2x+2dx .第二类换元法拆微法:从积分Jcos2tdt 出发,从两个方向用凑微法计算，即=-f(1 +cos2t)dt+ -sin2t +c, 2」2 4引出拆微原理.Th2 设X =W (t)是单调的可微函数拼且W '(t) H 0；又 f[®(t)]®'(t)具有原函数.贝y有 换元公式J f(x)dx = [ J f [化t)W '(t)dt]t 少e常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler 代换等. 我们着重介绍三角代换和无理代换1. 三角代换:的，目的是去掉根号.方法是：令x=as int, (a:>0),则=3 J cos2udu 孕 +4sin 2u +c -予csin 讦一宁 J 2+2x — x2 P⑵正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如 J a 2+x 2 (aA0)的根式施行的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式sec21 -tg 2t = 1,即1 +tg 2t = sec t,令⑴ 正弦代换：正弦代换简称为“弦换”.是针对型如Ja 2-x 2 (a 》0)的根式施行例27解法 例28例29/ 2 2v a-xf^dxdx =acost, dx=acoSd,t t =(a >0).解法二用弦换.X arc s-hn aJ ； ----- 一 ===舒sintcost dt =2t +c = 2arcsin J x + c .、讥(1 -x) 、sintcost(参阅例11)tN4-------- t='3s inuJ (2 +2x -x 2dx = jj 3-(X - 1)2dx ===== J (3 -t 2dt ----2j 2 2 xX =atgt, dx =asec tdt .此时有 (a +x =asect, t =arctg-. 变量还原时，常用 a所谓辅助三角形法. dx X = J2tgt,有dx = J2sec 2tdt .禾悯例22的结果，并用辅助三角形，有=ln (J x 2+2 + x H c, c =c'-ln J 2.目的是去掉根号.方法是利用三角公式 sec 21 -1 = tg2t,令X = asect,有例30J 2 + x 2I = Jsecd = I nsect+tgt +c'=lnJ x 2 +2 + x+ c'例31dx 」(x 2+a 2)2'a>0.⑶正割代换：正割代换简称为“割换”.是针对型如J x ? - a? (a >0)的根式施行的，例32dx, (a A 0).J x 2 -a 2 dx解口22l x -axHsetc「asecttgtdt=戶 =at gt/sect d 匸 In seC + t g t 中 c'==Inx + J x 2 -a 2 aH a 2中 c, c = c 一 ln I a |.例 33 fdxx\/x^1J x 2 -a 2 =atgt, dx=xsect 寸gtdt.变量还愿时，常用辅助三角形法. 解法一(用割换)I===== f se? tgt dt = fcostdt =sint +c =1 J x 2—1 + c.、sec t tgtx解法二（凑微）参阅[1] P196 E10.无理代换：若被积函数是 阪，坂,…，坂的有理式时，设n 为口（1 < i < k ）的最2.r応.从中解出例36例37 匸严dx. XI x例38 fSinG ,Px.（给出两种解法）例39 J x3J x2-1dx t="x2 -4小公倍数作代换t =坂，有x=t n, dx = nt^dt.可化被积函数为t的有理函数.例34e存H dx.例35 dx X 2 K+ Ktg®(1+t)dt+6Lr=-6 + In 1 -V x J i + c.若被积函数中只有一种根式^/ax + b或n ax+b Vex +e,可试作代换t =W ax + b或dx例425 t?可（t4+t2）dt=L+n+c V（x2—i）J1（x2—i）J c.本题还可用割换计算，但较繁.3.双曲代换：利用双曲函数恒等式ch2x-sh2x = 1,令x = asht,可去掉型如J a2+x2的根式.dx = achtdt.化简时常用到双曲函数的一些恒等式，如:ch2t =1（ch2t+1）, sh2t =1（ch2t —1）, sh2t = 2shtcht. sh」x = ln（x + J x2+1）..---------- x Ysht例40 JV a2 +x2dx = = = = .facht “achtdt = a2Jch2t d t=2 2a a ■—sh2t +——t +c=2=x J a2 +x2 + — In（ X + J a2+ x2）+c.2 2本题可用切换计算，但归结为积分Jsec tdt，该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.例41dxT^x2（例30曾用切换计算过该题.现用曲换计算）. dx，J2 +x2厂L dt = fdt =t + c' =In ” 72cht ，莘+Jd+1 +c'w \ 2丿./ 2 2 V X -a=ln（X + J x2+2）+c.c = c' TnJ2 .例32曾用割换计算过该题.现用曲换计算）.解I 叮asht dt = gt =t +c'=ln、asht倒代换例43■. i2 2 ‘=ln|x +v x -a | +c.=c' -In Ia |.4.倒代换：当分母次数高于分子次数1dx = -pdt.t2dx,且分子分母均为“因式”时，可试用X J x4+ x2d(x2) du2x2J x4+x22u J u2v dt dt5万能代换，応一Ei—1+万能代换常用于三角函数有理式的积分sin X =2si n-cos—22tg|2tx21 _______________________F+c—旦+c.|x|x(参[1]P194).令tg 2 ,就有2 xsec -21+t21 -t2 cosx = ---1+t tg2tdx2dt1+t2'dx例44 f 一dx、1+cosxt =tg-2 解法（用万能代换）1 +t22 dtE—t"dt+c吨弋1+t2规定：斜向乘积带“ + ”是已经积出的函数，横向乘积带“一”是新的被积函数解法二 (用初等化简)I 二1 f —d^ = [sec-d (约=tg x+c .2 '2X ' 2 2 2cos - 2解法三 例45(用初等化简，并凑微), F 1 —cosx 」 r 2 」,dsinx I = f --------- 厂 dx = fcsc X d I ——2—=1-cos 2x " si n 2x1 x=-ctgx + --- + c =cscx -ctgx + c =tg— +c . si nx 2. d O 1+sin +coSx t ztg- 2 1 2 dt ====丰 -------------- 厂 --- 2dt = f -- = In 11 +11 +c='一 2t 1-t 2 1+t 2 't +11+t 21+t 2x =1 n |tg 5 +1| +c .代换法是一种很灵活的方法 .分部积分法: Th 3 (分部积分公式)若u(x)与v(x)可导，不定积分Ju'(x)v(x)dx 存在,则Ju(x)v'(x)dx 也存在 拼有 Ju(x)v(x)dx = u(x)v(x) + fu \x)v(x)dx ,简写为 Juvdx =uv+ Ju'vdx . ▼将分部积分公式进行排列得分部积分算式 求导数 求积分函数介绍使用分部积分公式的一般原则 .1.幕X X 型函数的积分：分部积分追求的目标之一是 取求导，以使该因子有较大简化，特别是能降幕或变成代数函数 函数代替（一般会变繁）,但总体上应使积分简化或能直接积出 使用分部积分法可使“幕”注：分部积分算式可以连续多次使用 ，所有的斜向乘积都是已经积出的函数 ，所带的符号是 先“ + ”后依次交替出现；只有最后的横向乘积才是被积函数 ，其所带符号与前一个 斜向乘积所带的符号相反.2之一求导:对被积函数两因子之一争 .代价是另一因子用其原 .对“幕X ”型的积分，降次 ，或对“ X ”求导以使其成为代数函数.例46Jxin xdx.（幕对搭配） 例47Jxcosxdx.（幕三搭配） 例48 Jxe xdx.（幕指搭配）例49fxe x dx = (X 2 -2x +2)e X +c.求导数求积分（幕指搭配）例50 fe'x dx.例51 Jxar ctgxdX 幂反搭配) 例52Jar cc odx到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来V a +x=x J a 1 +x 2 -1 + a 21 n x + ^^a ^x 2)+5___________ 2 _____________________________解得 I = x V a ^x 2 + ln( X + J a2+x 2) + c-2 2= secxtgx + ln |secx+tgx| - Jsec xdx ,12例 56 Jcos xdx = Jcosxdsin x= cosxsinx + J sin xdx==cosxsin X + X - J cos 2xdx , f cos xdx = — +丄sin2x+c .2 4例53Je xsi rxdx54求I •, = fe axcosbxdx和 I 2 = jeaXsi nbxdx, (aH0).例55I 1 I 2 1 a^ b 1 =-e cos)x + —12, a a 1 ax b =—e si riox 丨仆 a解得I 1 I 2fJ a 2 3+x 2 dx,(a >0).I ^x J a 2 +x 212+2v a + xdx == x J a 2 +x 22,2a +xbs i rbx + ac o bx ax 丄 一 ------------- e + c, 2丄门a +b as i ibx — bc 0bx ax . ----- 2 ------- e + c. a 2 +b 2 解得= secxtgx- ftgxsecxtgxdx2 =secxtgx - J (sec x -1) 3= secxtgx- Jsec xdx+3 1 1解得J sec xdx = - secxtgx + -1n | secx + tgx | +c.§ 3有理函数的不定积分及其应用一有理函数的积分：1.代数知识复习：.例1见教材2.部分分式的积分：例2见教材.二.三角函数有理式的积分：万能代换.见教材.某些无理函数的积分：留为阅读.一些不能用初等函数有限表达的积分：见教材例以及s i rx , dxJe*dx,dx. /——x In X1 1f (ax +b)dx =— f(ax+b)d(ax + b) =— f (u)du.a a3 2例57 Jsec xdx = Jsecx sec xdx= Jsecxdtgx。

不定积分的概念与基本公式教案引言：不定积分是微积分的重要概念之一，是对函数求导运算的逆运算。

本教案将介绍不定积分的概念、性质以及基本公式，并提供一些练习题来帮助学生巩固所学知识。

一、不定积分的概念不定积分是对函数进行求导运算的逆运算，也可以理解为找到一个函数，使得它的导数等于给定的函数。

记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为不定积分的结果，C为常数。

二、不定积分的性质1. 线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a和b为常数。

2.可积性：如果函数f(x)在区间[a,b]上有不定积分，则在该区间上f(x)一定可积。

3. 反常积分：如果函数f(x)在其中一点x=c处不连续，其中c为[a,b]上的端点，则∫f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。

三、基本不定积分公式1.幂函数的不定积分：(1) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。

(3) ∫e^x dx = e^x + C。

(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠12.三角函数的不定积分：(1) ∫sinx dx = -cosx + C。

(2) ∫cosx dx = sinx + C。

(3) ∫sec^2x dx = tanx + C。

(4) ∫csc^2x dx = -cotx + C。

3.指数函数与三角函数的不定积分：(1) ∫e^ax*sinbx dx = (e^ax)*(asinbx/b - bcosbx/b^2) + C。

(2) ∫e^ax*cosbx dx = (e^ax)*(acosbx/b + bsinbx/b^2) + C。

四、练习题1.求函数y=3x^2的不定积分。

2. 求不定积分∫(4x^3 + 2x - 5)dx。

不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中的重要内容，它可以用来求解函数的原函数。

在本文中，我们将探讨不定积分的基本性质以及计算方法。

1. 基本性质1.1 线性性质对于函数f(x)和g(x)以及常数a和b，有以下性质成立：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx这意味着在求不定积分时，我们可以将常数和函数分别积分，再将结果相加。

1.2 递推性质设F(x)是f(x)的一个原函数，那么对于任意常数c，有以下性质成立：∫ f(x) dx = F(x) + c这意味着不定积分的结果可以通过求函数的一个原函数来获得。

1.3 换元积分法如果函数f(x)可以表示为另一个函数u的导数乘以u对x的导数，即f(x) = u'(x)·u''(x)，那么可以通过换元积分法来求解不定积分。

具体步骤如下：1）选取合适的u，使得f(x)可以表示为u'(x)·u''(x)的形式；2）计算u(x)的导数u'(x)和u''(x)；3）将f(x)用u'(x)·u''(x)形式表示，并且将dx表示为u'(x)的导数；4）进行代换，将不定积分转化为求解u的不定积分；5）求解u(x)的不定积分；6）将结果重新换回x的形式，即得到f(x)的原函数。

2. 计算方法2.1 常数函数的不定积分对于常数C，不定积分∫ C dx等于Cx + k，其中k是常数。

2.2 幂函数的不定积分对于幂函数f(x) = x^n，n≠-1，不定积分∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + k，其中k是常数。

2.3 三角函数的不定积分对于三角函数的不定积分，有以下常用的计算公式：∫ sin(x) dx = -cos(x) + k∫ cos(x) dx = sin(x) + k∫ sec^2(x) dx = tan(x) + k∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + k∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + k∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + k2.4 指数函数和对数函数的不定积分对于指数函数和对数函数的不定积分，有以下常用的计算公式：∫ e^x dx = e^x + k∫ a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + k∫ 1/x dx = ln|x| + k2.5 分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法之一，在计算两个函数的乘积的不定积分时特别有用。

第六章 不定积分引 言我们知道，函数是数学分析研究的主要对象，前面几章我们已经学习了函数的微分学理论，主要内容包括导数的计算和导函数的分析性质，而其基本问题是导数的计算——给定已知函数，求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个函数，使其导数恰好是某一个给定的函数——这就是所谓的积分问题。

看一个例子：例1 一个静止的物体，其质量为m=1， 在力()sin F t t = 的作用下沿直线运动，给出物体的运动速度()v t 所满足的方程。

解、由所给的条件，可以利用Newton 第二定理计算出物体的加速度为sin F a t m==,因而，若设其速度为()v t ，则()sin v t a t ¢==。

因此，这个问题本质就是：已知导函数()v t ¢， 求原来的函数()v t 。

这类问题在实际应用和工程技术领域中还有很多，如几何问题中常见的已知切线求曲线问题、自然界中广泛存在的反应扩散现象等，因而，这类问题有很强的应用背景。

特别是在17世纪，这类问题是当时物理和几何学中急待解决的问题，是摆在数学家面前的重要的问题，经过3百多年的努力，今天，这类问题不仅已经得到彻底的解决，而且已经形成了完整且完美的数学理论――积分学理论：称这类由导函数()f x ¢ 求 原来函数)(x f 的运算为积分运算，研究这类运算及其相关的理论就是积分学理论。

我们将在本章和下一章引入这种理论。

为了引入这种理论，先引入基本概念。

§1不定积分概念与基本积分公式 一 、 原函数与不定积分我们引入积分理论中的基本概念。

定义1.1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义且)(x F 可导，若)()(x f x F ='， Ix ∈，则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。

注、由定义，若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则从导数角度，)(x f 为)(x F 的导函数，这也反映了原函数何导函数的紧密关系。

不定积分知识点总结不定积分是高等数学中的重要内容，是定积分的逆运算，也称为反导数。

它在微积分中有着广泛的应用。

下面是不定积分的知识点总结。

一、不定积分的定义和性质：1. 不定积分的定义：设函数F(x)在区间[a,b]上有原函数f(x)，如果F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记为F(x)=∫f(x)dx。

其中F(x)是不定积分号∫的上界，f(x)是被积函数，dx是自变量。

2.基本性质：（1）线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。

其中a、b为常数。

（2）和差性质：∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。

（3）分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。

将f'(x)视为u'(x)，g(x)视为v(x)。

3.不定积分的四则运算：（1）常数定积分：∫kdx = kx + C。

其中，k是常数，C是任意常数。

（2）幂函数的不定积分：∫x^kdx = 1/(k+1) * x^(k+1) + C。

其中，k≠-1（3）指数函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。

（4）对数函数的不定积分：∫1/xdx = ln，x， + C。

（5）三角函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。

（6）反三角函数的不定积分：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arcsinhx + C。

其中，-1≤x≤14. 不定积分的换元法：设F(x)是f(x)的一个原函数，g(x)是可导函数，则∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C。

其中，F(g(x))是∫f(g(x))dx 的原函数。

二、基本初等函数的不定积分：1. e^x函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。