经济数学第六章不定积分

第6章　不定积分6.1　复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。

（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。

2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。

（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。

2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。

三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。

若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。

（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。

这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。

对作变量代换，则。

《不定积分在经济问题中的应用教学课件ppt》xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•不定积分简介•不定积分在经济问题中的应用•不定积分在经济问题的实际案例分析•不定积分在经济问题中的未来发展趋势及展望01不定积分简介不定积分的定义不定积分是微分的逆运算，可以理解为求一个函数的原函数或反导数。

定义：若函数f(x)的某一原函数为F(x)，则f(x)的不定积分就是F(x)+C，其中C是任意常数。

记作：∫f(x)dx线性性质∫(kf(x))dx=k∫f(x)dx，k为常数积分区间性质若f(x)在[a,b]上连续，则有∫(f(x))dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。

微分性质d/dx∫f(x)dx=f(x)，即求不定积分时，积分符号内的函数正好是原函数的导数。

010203按照函数类型分类幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

按照难度和复杂程度分类简单不定积分和复杂不定积分。

02不定积分在经济问题中的应用通过使用不定积分，我们可以解决投资组合问题，优化资产配置。

总结词不定积分在投资组合问题中有着重要的应用。

投资组合问题主要研究如何分配资产以最小化风险，并最大化收益。

不定积分可以用于解决这类问题，通过建立数学模型，计算出最优的资产配置比例。

例如，假设我们有两个资产，每个资产都有不同的预期收益和风险，我们可以通过不定积分来找到最优的投资组合比例，以最大化收益并最小化风险。

详细描述投资组合问题总结词不定积分在消费理论中也有着重要的应用，主要研究消费者的购买行为和消费习惯。

详细描述消费理论主要研究消费者的购买行为和消费习惯。

不定积分在这个领域也有着重要的应用，例如，我们可以使用不定积分来计算消费者的最优消费路径。

假设我们有一个消费者，他有一定数量的资金，他需要在一定时间内消费完这些资金。

我们可以通过不定积分来计算出最优的消费路径，使得消费者可以最大化他的效用。

消费理论总结词不定积分在经济增长问题中也有着重要的应用，主要研究如何实现经济的持续增长。

第３章一元函数积分学———不定积分、定积分及其应用１１７　性质４　∫犳（狓）±犵（狓［］）ｄ狓＝∫犳（狓）ｄ狓±∫犵（狓）ｄ狓．性质３和性质４称为不定积分的线性运算性质．3．1．3　不定积分的基本公式根据不定积分的性质２，容易由求导公式得出以下积分公式．（１）∫犽ｄ狓＝犽狓＋犆；（２）∫狓μｄ狓＝狓μ＋１μ＋１＋犆（μ≠－１）；（３）∫１狓ｄ狓＝ｌｎ狓＋犆；（４）∫犪狓ｄ狓＝犪狓ｌｎ犪＋犆（犪＞０且犪≠１），特别地，当犪＝ｅ时，∫ｅ狓ｄ狓＝ｅ狓＋犆；（５）∫ｃｏｓ狓ｄ狓＝ｓｉｎ狓＋犆；（６）∫ｓｉｎ狓ｄ狓＝－ｃｏｓ狓＋犆；（７）∫ｓｅｃ２狓ｄ狓＝∫１ｃｏｓ２狓ｄ狓＝ｔａｎ狓＋犆；（８）∫ｃｓｃ２狓ｄ狓＝∫１ｓｉｎ２狓ｄ狓＝－ｃｏｔ狓＋犆；（９）∫ｓｅｃ狓ｔａｎ狓ｄ狓＝ｓｅｃ狓＋犆；（１０）∫ｃｓｃ狓ｃｏｔ狓ｄ狓＝－ｃｓｃ狓＋犆；（１１）∫１１＋狓２ｄ狓＝ａｒｃｔａｎ狓＋犆＝－ａｒｃｃｏｔ狓＋犆；（１２）∫１１－狓槡２ｄ狓＝ａｒｃｓｉｎ狓＋犆＝－ａｒｃｃｏｓ狓＋犆．这些基本积分公式是计算不定积分的基础，必须熟记，以便灵活运用．利用不定积分的运算性质和基本积分公式，可以求一些简单函数的不定积分．【例３．６】　求∫狓２＋ｓｉｎ狓－１１＋狓（）２ｄ狓．【解】　∫狓２＋ｓｉｎ狓－１１＋狓（）２ｄ狓＝∫狓２ｄ狓＋∫ｓｉｎ狓ｄ狓－∫１１＋狓２ｄ狓＝１３狓３－ｃｏｓ狓－ａｒｃｔａｎ狓＋犆【例３．７】　求∫（ｃｏｓπ－７槡槡狓狓）ｄ狓．【解】　∫（ｃｏｓπ－７槡槡狓狓）ｄ狓＝∫ｃｏｓπｄ狓－∫７狓３４ｄ狓＝狓ｃｏｓπ－４狓７４＋犆＝－狓－４狓７４＋犆。

不定积分的基本积分公式与性质积分是微积分的重要概念之一、在微积分中，不定积分是指对一个函数进行求导的逆运算。

不定积分也被称为原函数或反导数。

虽然具体的函数积分求解可以有多种方法，但是基本积分公式和性质对于积分的研究和运算有着重要的意义。

首先，我们来介绍一些基本的积分公式。

这些公式可以帮助我们求得一些常见函数的不定积分。

1.常数函数的不定积分对于常数函数f(x)=C（C为常数），它的不定积分即为Cx+C0，其中C0为常数项。

2.幂函数的不定积分函数f(x)=x^n（n为实数，且n≠-1）的不定积分为：F(x)=（1/(n+1))*x^(n+1)+C，其中C为常数项。

3.三角函数的不定积分① 不定积分∫sin(x)dx = -cos(x) + C② 不定积分∫cos(x)dx = sin(x) + C③ 不定积分∫1/cos^2(x)dx = tan(x) + C4.指数函数的不定积分① 不定积分∫e^x dx = e^x + C② 不定积分∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C （其中a为正实数，且a≠1）5.对数函数的不定积分不定积分∫1/x dx = ln，x， + C （其中ln表示自然对数，C为常数项）以上是一些常见函数的不定积分公式。

通过这些公式，我们可以求得许多函数的不定积分。

但是需要注意的是，并不是所有函数的不定积分都可以通过这些公式直接求解，还需要运用一些积分的技巧和方法。

不定积分有一些基本的性质，它们在积分的计算中起到了重要的作用。

下面我们来介绍一些常见的不定积分的性质。

1.线性性质若f(x)和g(x)的不定积分都存在，则对于任意实数a、b，有∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx2.逐项积分性质若f(x)的不定积分存在，则f(x)的幂函数逐项求积分后，仍然可以求得不定积分。

即∫[f(x)]^n dx = （1/(n+1)) * [f(x)]^(n+1) + C （其中C为常数项）3.牛顿-莱布尼兹公式若F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的任意一点x，有∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)4.整体性定理若f(x)的原函数F(x)在区间[a,b]上存在，并且F'(x)=f(x)，则对于任意曲线上的两个点a、b，有∫[a,b] f(x) dx = F(x) ，[a,b] = F(b) - F(a)以上是一些常见的不定积分公式和性质，它们在积分的计算中非常有用。

不定积分公式总结不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求导的逆运算。

在数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

不定积分公式众多，熟练掌握这些公式对于解决积分问题至关重要。

下面我们就来对常见的不定积分公式进行总结。

一、基本积分公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。

2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）∫x^（－1) dx ＝ ln|x| ＋ C对于幂函数的积分，当指数不为－1 时，将指数加 1 然后除以新的指数，再加上常数 C；当指数为－1 时，积分结果为自然对数。

3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）指数函数 e^x 的积分就是其本身，而对于底数为 a 的指数函数，积分结果需要除以其底数的自然对数。

4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C这是对数函数的一个重要积分公式。

5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C三角函数的积分需要牢记这些常见的公式，在解题中经常会用到。

二、凑微分法相关公式凑微分法是积分中的一种重要方法，通过对被积表达式进行适当的变形，将其凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。

1、例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a)∫f(u) du （令 u ＝ ax ＋ b）2、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a)sin(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）3、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a)cos(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）凑微分法需要我们对函数的形式有敏锐的观察力，能够准确地找到合适的代换。