【成才之路】高中数学 3.4 简单线性规划(第2课时)练习 北师大版必修5

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知点与点A（1，2）在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则（）A.＞B.＜C.＞D.＜2.已知点P（x，y）在不等式组20,10,220xyx y-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是（）A.［-2，-1］B.［-2，1］C.［-1，2］D.［1，2］3.设x，y满足约束条件360,20,0,0,x yx yxy--≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A.256B.83C.113D.44.若x，y满足约束条件1，1 22，，目标函数z=ax+2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的A.(-1，2)B.(-4，2)C.(-4，0］D.(-2，4)二、填空题(每小题5分，共20分)5．不等式组0,0,4312,xyx y>⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有个. 6．若x、y均为整数，且满足约束条件20,20,0,x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z=2x+y的最大值为，最小值为.7.在平面直角坐标系中，不等式组20，20，2表示的平面区域的面积是 .8.如果点P在平面区域1，2，上，点M的坐标为(3，0)，那么|PM|的最小值是 .三、解答题(共60分)9．（12分）画出不等式组，，所表示的平面区域.10.（12分）试用不等式组表示由直线，，围成的三角形区域（包括边界）.11.（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足营养，又使费用最省？12．(12分)某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，最多可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，最多可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所得利润最大？13.（12分）变量x，y满足430，352501，，（1）设，求的最小值；§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：∵3028348＜0，∴328＞0.2.C解析：作出可行域，如图，因为目标函数z=x-y中y的系数-1＜0，而直线y=x-z表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y轴上的截距最小，此时z取最大值2；当它过点（0，1）时，在y轴上的截距最大，此时z取最小值-1，所以z=x-y的取值范围是［-1，2］，选C.3.A解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值12，即4a+6b=12，亦即2a+3b=6，而2a+3b=（2a+3b）·236a b=136+ba+ab≥13 6+2=256，故选A.4.B解析：如图所示，可行域为△ABC.当a=0时，显然成立.当a＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k a2＞kA C1，∴a＜2.当a＜0时，k a2＜kA B2，∴a＞-4.综上可得,4＜a＜2.二、填空题5.3解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.6. 4-4解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示，可知在可行域内的整点有（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、（-1，1）、（0，1）、（1，1）、（0，2），分别代入z=2x+y可知当x=2，y=0时，z 最大为4；当x=-2，y=0时，z最小为-4.7.4 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示.则由 2 0， 2， 解得A (2，0)，由 2 0， 2， 解得B (2，4)，∴ S 124 2 4.8.3 22解析：点P 所在的可行域如图中阴影部分所示，点M 到点A (1，1)，B (2，2)的距离分别为 5， 5，又点M (3，0)到直线x -y =0的距离为 3 22，故|PM |的最小值为 322.三、解答题9.解：先画出直线 ，由于含有等号，所以画成实线.取直线 左下方区域的点（0，0），由于2×0+0-4＜0，所以不等式 表示直线 及其左下方的区域.同理，对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式 ＞ 表示直线 右下方的区域，不等式 表示x 轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示.10．解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图，取原点（0，0），将 ， 代入 得2＞0，代入 得1＞0，代入 得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩11.解：设甲、乙两种原料分别用 g 和 g ，总费用为z ，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为 ，作出可行域如图阴影所示.把z =3x+2y 变形为y =-32x+2z ，得到斜率为-32.在y 轴上的截距为2z，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y =-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距2z由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得A 145， ，∴ z min =3×145+2×3=14.4. ∴ 选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.12.解：（1）设只生产书桌x 张，可获得利润z 元.则0.190,900,3002600300x x x x x ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩， ，∴ 当 时， （元）.即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润 24 000元.（2）设只生产书橱 张，可获得利润z 元. 则0.290,450,450600600y y y y y ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z ，∴ 当 时，z max =120×450=54 000（元）.即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元. （3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元. 则 ， ， ，， ，， . 作出可行域如图阴影所示. 由图可知，当直线经过可行域上的点M 时，截距120z最大，即z 最大，解方程组2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 点的坐标为（100，400）. ∴ z max （元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.13.解：由约束条件4 3 0，35 25 0，1，作出(x ，y )的可行域如图阴影所示. 由 1， 3 5 25 0，得A (1， 225).由 1， 4 3 0，得C (1，1).由4 3 0， 35 25 0，得B (5，2).(1)∵ z0 0，∴ z 的值即是可行域中的点与坐标原点O 连线的斜率，(2)x2y2的几何意义是可行域上的点到坐标原点O的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min=|OC|2，d max=|OB|29，∴229.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.2 简单线性规划课时训练 北师大版必修5一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0，1)B ．(－1，－1)C ．(1，0)D ．(12，12)【解析】 可以验证这四个点均是可行解．当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A 、B 、D.【答案】 C2．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1【解析】 利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)． ∴z 最大＝3×3＋2＝11.【答案】 B3．(2013·福州高二检测)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OM →·OA →的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[0，2]D ．[－1，2]【解析】 作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1，1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0，2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0，2]．【答案】 C4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8D ．10【解析】 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3，0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方．显然|AC |长度最小， ∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 【答案】 D5．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32]【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (12，3)．∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.∴z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．【答案】 A 二、填空题6．(2012·课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．【解析】 利用线性规划知识求解． 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x －2y ＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A 时，z ＝x －2y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝x －2y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得B (1，2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －3＝0，得A (3，0)． ∴z max ＝3－2×0＝3，z min ＝1－2×2＝－3， ∴z ∈[－3，3]． 【答案】 [－3，3]7．(2013·乌鲁木齐高二检测)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ≤1y －x ≤1y ≥0，则y x ＋2的取值范围是________．【解析】 yx ＋2可看作(－2，0)与可行域(如图阴影部分)内点(x ，y )连线的斜率k ，0－00＋2≤k ≤1－00＋2，即0≤k ≤12，所以yx ＋2的取值范围为[0，12]． 【答案】 [0，12]8．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3得平面区域如图阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得C (1，－2)，∴z max ＝2×1－3×(－2)＝8(取不到)解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得A (3，1)， ∴z min ＝2×3－3×1＝3(取不到) 【答案】 (3，8) 三、解答题9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求目标函数z ＝2y －2x ＋4的最大值和最小值．【解】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，的可行域(如图)．作直线l 0：2x －2y ＝0， 即x －y ＝0，把直线l 0向上平移，函数z ＝2y －2x ＋4的值随之增大． 当l 经过点A (0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8.当l 经过点B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.10．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最大值，等于－4k3.令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.11．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．【解】 画出满足条件的可行域．(1)令t ＝x 2＋y 2，则对t 的每个值，x 2＋y 2＝t 表示一族同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．由下图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆过C 点时，u 最大，过(0，0)时u 最小．又C (3，8)，∴u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5，0)的连线的斜率．由图可知，k BD 最大，k CD 最小．又C (3，8)，B (3，－3)，∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。

《简单线性规划的应用》培优练习1．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如表所示：厂最大日产值为( )A．120万元 B．124万元 C．130万元 D．135万元2.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．则该公司可获得的最大收益是（）万元．A．80万元 B．90万元 C．60万元 D．70万元3.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3t，B原料2t；生产每吨乙产品要用A原料1t，B原料3t，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t，B原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )A．12万元 B．20万元 C．25万元 D．27万元4.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，某天需送往A 地至少72t 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元5．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min ，生产一个骑兵需7 min ，生产一个伞兵需4 min ，已知总生产时间不超过10 h ．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？答案和解析1.【答案】：B解析：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值z ＝8x ＋12y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y ≤56，20x ＋50y ≤450，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示，。

《简单线性规划》培优练习1.设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．42.设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．553.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．[2,4]D ．[2，＋∞)4．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个5.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a>0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]6.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？。

课时作业23简单线性规划时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在如图所示的可行域内(阴影部分)，使目标函数z＝x－y取得最小值的点的坐标为(A)A．(1,1) B．(3,2)C．(5,2) D．(4,1)解析：由目标函数z＝x－y得到y＝x－z，作出直线y＝x，在平面直角坐标系中进行平移，显然当直线过点A(1,1)时，y＝x－z中的z 最小．2．若变量x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x－y≤0，x－3y＋5≥0，x≥0，则z＝x＋y的最大值为(D)A．0 B.53C．2 D.52解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，上下平移，当直线平移到过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫58，158时，z＝x ＋y 取得最大值，所以z max ＝58＋158＝52.3．已知点(x ，y )构成的可行域如图阴影部分所示，z ＝mx ＋y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为( B )A ．－720 B.720 C.12D.720或12解析：观察平面区域可知直线y ＝－mx ＋z 与直线AC 重合，则⎩⎨⎧225＝－m ＋z ，3＝－5m ＋z ，解得m ＝720.4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( B )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝x－z经过点A时，－z最小从而z最大，∴z max＝1.5．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2，则目标函数z＝x＋y(A)A．有最小值2，无最大值B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，最大值3D．既无最小值，也无最大值解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，画出y＝－x的图像．当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A.6．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－4≤0，x＋y－1≥0，x≥0，y≥0，则目标函数z＝x2＋(y＋2)2的最小值是(B)A．4 B．5C．6 D．7解析：由约束条件作出可行域如图所示．又x2＋(y＋2)2表示区域内的点到点B(0，－2)的距离，当点(x，y)在点A(1,0)处时，(x2＋(y＋2)2)min＝5，∴z＝x2＋(y＋2)2的最小值为5.7．已知x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤s，y＋2x≤4，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(D)A．[6,15] B．[7,15]C．[6,8] D．[7,8]解析：当3≤s<4时，z＝3x＋2y的最大值在直线x＋y＝s，y＋2x ＝4的交点处取得，即在点(4－s,2s－4)处取得，此时z max＝4＋s，其取值范围是[7,8)；当4≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值在点(0,4)处取得，即z max＝8，故所求的取值范围是[7,8]．8．若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( C )A.34 B ．1 C.74 D ．2解析：如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74. 二、填空题9．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为－8.解析：作出可行域如图阴影部分所示．可知当x－3y ＝z 经过点A (－2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为－2－3×2＝－8.10．设实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，y ≤x －1，y ≥0，则y x 的最大值为12.解析：画出可行域，如图阴影部分所示．yx 的几何意义表示区域内的点与原点连线的斜率，易知在点A (2,1)处取得最大值．11．目标函数z ＝3x ＋2y在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是[2，＋∞)．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据题意及直线的斜率，可得实数a 的取值范围是[2，＋∞)．三、解答题12．设z＝2x＋y，且x，y满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z 的最值．解：首先画出满足不等式组的可行域，由图知，(0,0)不在区域内．作一组平行线2x＋y＝t，t是直线2x＋y＝t的纵截距，这里A(1,1)，B(5,2)．显然，当直线2x＋y＝t过A点时，t最小，过B点时t最大．∴z max＝12，z min＝3.13．已知x、y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋5y≥10，2x－3y≥－6，2x＋y≤10，求y＋1x＋1的取值范围．解：作出可行域，如图阴影部分所示．设k＝y＋1x＋1，因为y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)，表示平面区域内的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率，由图可知k P A 最小，k PC 最大，而A (5,0)、C (0,2)，则k P A ＝0－(－1)5－(－1)＝16，k PC ＝2－(－1)0－(－1)＝3，所以k ∈[16，3]，即y ＋1x ＋1的取值范围为[16，3]． ——能力提升类——14．已知点P (x ，y )，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，y ≤x ＋2，x ≤3，点A ，B 是圆x 2＋y 2＝2上的两个点，则∠APB 的最大值为π3.解析：由已知可得点P 在如图所示的阴影部分内(包含边界)运动，易知点P 位于圆外，当∠APB 最大时，应有P A ，PB 所在直线与圆相切，且点P 位于离圆心最近的H 处，又圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝22，连接OA ，则在Rt △OAP 中，OP ＝2OA ，所以∠OP A ＝π6，同理∠OPB ＝π6，因此∠APB ＝π3.15．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y的取值范围．解：(1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为x2＋y2的几何意义是可行域内的点P(x，y)到坐标原点O的距离d的平方，所以由图可知d的最小值为点O到直线AC的距离，即|0＋0－3|2＝322；d的最大值为OB＝42＋42＝4 2.所以x2＋y2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，32.(2)4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y＝22x－y，设z＝2x－y，则y＝2x－z，即z为直线y＝2x －z(记为直线l)在y轴上截距的相反数，由图可知当直线l经过点A 时，z取得最大值；当直线l经过点C时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3＝0，4x－y－12＝0，得A(3,0)，故z＝2x－y的最大值为2×3－0＝6；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －4y ＋12＝0，得C (0,3)，故z ＝2x －y 的最小值为2×0－3＝－3.综上，2x －y 的取值范围为[－3,6]，所以4x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，64.由Ruize收集整理。

3.4.简单线性规划同步练习1．图中阴影部分表示的平面区域满足不等式( )A ．2x ＋y －2≥0B ．2x ＋y －2≤0C ．2x －y －2≥0D ．2x －y －2≤0解析：由截距式得直线方程为x 1＋y 2＝1， 即2x ＋y －2＝0，把(0,0)代入2x ＋y －2，得2×0＋0－2＜0，且(0,0)不在图中平面区域内，故不等式为2x ＋y －2≥0.答案：A2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ≤3，y ≥0表示的平面区域的面积为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 解析：不等式组表示的平面区域如图，点A 的坐标为(3,6)，其平面区域是直角三角形，所以其面积为S ＝12×3×6＝9. 答案：C3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 解析：直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．答案：B4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则正数a 的取值范围是( )A ．C ．∪[43，＋∞) 解析：画出前三个不等式表示的平面区域为图中△OAB ，当直线l ：x ＋y ＝a 在l 0与l 1之间(包括l 1)时不等式组表示的平面区域为三角形；当l 在l 2的位置或从l 2向右移动时，不等式组表示的平面区域是三角形，又l 在l 1，l 2的位置时，a 的值分别为1，43. 所以0＜a ≤1或a ≥43. 答案：D5．若点A (3,3)，B (2，－1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 解析：∵点A ，B 在直线两侧，∴(3＋3－a )(2－1－a )＜0.即(a －6)(a －1)＜0.解得1＜a ＜6.答案：(1,6)6．观察如图区域，它对应的不等式组是________．解析：由图可求三边对应的直线方程分别为x ＋y －3＝0；x －2y ＝0； x －y ＋1＝0，由图知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.7．点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的平面区域内，且到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，求点P 的坐标．解：∵点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3a ＋4－3＞0.∴a ＞－13. 又∵P (a,4)到x －2y ＋2＝0的距离等于25，∴|a －8＋2|5＝2 5.∴|a －6|＝10. ∴a ＝16或－4.又∵a ＞－13，∴a ＝16. ∴P (16,4)．8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界及内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)直线4x －3y －a ＝0与线段BC 有公共点，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)∵直线4x －3y －a ＝0与线段BC 有公共点．∴点B ，C 分别在直线4x －3y －a ＝0两侧或有一点在直线上．将B ，C 的坐标代入4x －3y －a ，得(14－a )(－18－a )≤0，得a 的取值范围是．1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2.则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最大值，也无最小值 解析：如图所示，作出可行域，作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0，当l 0平移至过点A (2,0)时，z 有最小值2，无最大值．答案：B2．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为 ( ) A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1解析：画出可行域如图，分析图可知当直线z ＝x ＋2y 经过点A (0，1)，C (0，－1)时分别对应z 的最大值和最小值．答案：B3．已知点(x ，y )在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z 取最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．(－125，－310) B ． C ．(－512，－103) D ． 解析：∵k BC ＝1－450－23＝－310，k AC ＝45－023－1＝－125， ∴－125＜k ＜－310. 答案：A4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，32)C ．解析：作出可行域如图． ∵a >0，b >0.∴当ax ＋by ＝z 经过A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，得A (4,6)． ∴4a ＋6b ＝12,2a ＋3b ＝6∴ab ＝16×(2a )×(3b )≤16×(62)2＝32， 即ab ∈(0，32]． 答案：D5．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x－y 的最小值为________．解析：设目标函数为z ＝2x －y ，显然直线z ＝2x －y 经过点A (1,1)时z 最小，则2x －y 的最小值为1.答案：16．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值，又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤a ≤1.答案：7．设z ＝x ＋2y －4，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.求z 的最大值和最小值．解：作出可行域(如图)，其中可行域的顶点为A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．将直线l 0：x ＋2y ＝0平移，当直线平移到B (3,1)处时，对应直线l 1的纵截距最小，此时z 也取得最小值；当直线平移到C (7,9)时，对应直线l 2的纵截距最大，此时z 也取得最大值．将B (3,1)代入目标函数z ＝x ＋2y －4，可得z min ＝1；将C (7,9)代入目标函数z ＝x ＋2y －4，可得z max ＝21.所以z 的最小值为1，最大值为21.8．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝y x －5的最大值与最小值． 解：画出可行域，如图阴影部分所示．(1)x 2＋y 2＝u 表示可行域内点P (x ，y )到原点O 距离的平方，由图可知，当P 与C 重合时，u 最大，当P 与O 重合时，u 最小，又C 点坐标为(3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝y x －5表示可行域内的点(x ，y )与定点D (5,0)连线的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。

高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习北师大版必修5(30分钟50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2011·山东高考）设变量x,y满足约束条件x2y50x y20x0+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )（A）11 （B）10 （C）9 （D）8.52.（2011·浙江高考）若实数x,y满足不等式组x2y502x y70,x0,y0+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则3x+4y的最小值是( )（A）13 （B）15 （C）20 （D）283.(2011·贵阳高二检测)若实数x、y满足不等式组x1,x4y30,x2y90,≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数z=x+y的最大值是( )(A)3 (B)5 (C)12(D)74.已知x、y满足不等式组y xx y2,x a≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=( )(A)0 (B)13(C)23(D)1二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知点P（x,y）在不等式组x20,y10,x2y20,-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z＝x-y的取值范围是________.6.(2011·湖南高考）设m>1,在约束条件y xy mxx y1≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知-1<x+y<4且2<x-y<3，求z=2x-3y的取值范围.8.设变量x，y满足约束条件x y0x y1x2y1-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，求z=(x- 12)2+y2的取值范围.【挑战能力】（10分）设O为坐标原点，A（1,1），若点B（x,y）满足22x y2x2y101x21y2⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，试求OA OB的最大值.答案解析1.【解析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示，由目标函数z=2x+3y+1得直线y=-2z1x33-+，当直线过点A（3，1）时，目标函数z=2x+3y+1取得最大值为10，故选B.2.独具【解题提示】先画出可行域，求出区域定点的坐标，通过平移直线3x+4y=0,观察可得.【解析】选A.x+2y-5=0与2x+y-7=0的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优解，此时3x+4y 取得最小值13.3.【解析】选D.作可行域如图：y=-x+z,过点A时z取最大值.由x4y30x2y90-+=⎧⎨+-=⎩得，点A坐标为（5，2）.故z max=5+2=7.4. 【解析】选B.依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.由x ay x=⎧⎨=⎩得A(a，a)，由x y2x y+=⎧⎨=⎩得B(1,1)，∴z max=3，z min=3a.∴a=13.5.【解析】可行域为如图阴影部分，其中A（2，0），C（0，1），z=x-y在A处取最大值z=2-0=2,在C处取最小值z=0-1=-1,∴z的取值范围为[-1,2].答案：[-1,2]6.独具【解题提示】画出可行域，观察图形，可知直线y=-1zx55+过直线x y1y mx+=⎧⎨=⎩的交点时，取最大值.【解析】画出可行域，可知z=x+5y 在点（1m,1m1m++）处取最大值为4，解得m=3.答案：37.【解析】画出可行域(如图)，将目标函数z=2x-3y变形为y=2zx33-，它表示与y=23x平行、截距是-z3的一族平行直线，当它经过点A时，截距-z3最大，此时z最小（取不到）；当它经过点B时，截距-z3最小，此时z最大（取不到）.由x y2x y4-=⎧⎨+=⎩⇒A(3,1)由x y1x y3+=-⎧⎨-=⎩⇒B(1,-2)∴过点A时，z=2×3-3×1=3过点B时，z=2×1-3×(-2)=8∴z=2x-3y的取值范围是(3，8).所以目标函数z=2x-3y的取值范围是(3，8).独具【方法技巧】目标函数z=ax+by的最值与b取值的关系线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移，过可行域的端点时取得的.8.独具【解题提示】目标函数z的几何意义是可行域内的点到点（12,0)距离的平方.【解析】由x y0x y1x2y1-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩作出可行域，如图阴影部分所示.z=（x-12)2+y2表示可行域内的任意一点与点(12，0)距离的平方.因此(x-12)2+y2的最小值为点(12,0)到直线x+2y-1=0距离的平方，则z min=211121420-=+（）.z的最大值为点(12,0)到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则由计算知z max=14，∴z的取值范围是［120,14］.【挑战能力】【解析】不等式x2+y2-2x-2y+1≥0⇔(x-1)2+(y-1)2≥1先作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.OA OB=（1,1）·（x,y）＝x＋y，令z=x+y，化为y=-x+z 则将直线y=－x向右上方平移时，z随之增大，当平移至通过可行域内的点B（2,2）时，z最大,∴z max=2+2=4,即OA OB的最大值为4.。

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2 简单线性规划[A 基础达标］1．不等式组错误!表示的平面区域是( )A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形解析：选B.不等式组错误!⇔错误!或错误!，那么利用不等式表示的区域可知,得到的区域为三角形，故选B.2．若x，y∈R,且错误!则z＝x＋2y的最小值等于( )A．2 B．3C．5 D．9解析：选B。

可行域如图阴影部分所示,则当直线x＋2y－z＝0经过点M(1，1)时,z＝x＋2y取得最小值，为1＋2＝3.3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组错误!所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( ）A．2 B．1C．－错误!D．－错误!解析：选C。

如图所示，错误!所表示的平面区域为图中的阴影部分．由错误!得A（3，－1）．当M点与A重合时,OM的斜率最小，k OM＝－错误!。

4．在平面直角坐标系中，若不等式组{y≥0，，y≤2x，，y≤k（x－1）－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是（)A．（－∞，－1）B．（－1,2)C．(－∞，－1）∪（2，＋∞）D．(2，＋∞)解析：选A。

作出不等式组错误!表示的平面区域，如图中阴影部分所示,注意到直线y＝k(x－1)－1恒过点A(1,－1）,要使题中不等式组表示的区域为三角形区域,首先必须使k〈0(因为若k≥0，则不可能得到三角形区域)，然后考虑两临界状态，即图中的直线l与l2,易得k的取值1范围是(－∞，－1)．5．实数x，y满足不等式组错误!则W＝错误!的取值范围是（)A.错误!B．错误!C。

第2课时 求非线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.设x ,y 满足约束条件{3x -y -6≤0,x -y +2≥0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为12,则2a +3b的最小值为( )A .256 B.83 C.113 D.4.由图可知,目标函数在点(4,6)处取得最大值12,则2a+3b=6,从而有a +3b =16(2a +3b )(2a +3b)=16(6ba +4+9+6ab )=136+16(6ba +6ab )=136+(ba +ab )≥136+2√b a ·a b=256,当且仅当a=b =65时,等号成立.故选A.答案:A2.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,则z =3x +2y 的最小值是( )A.0B.1C .√3 D.9.令t=x+2y ,则当直线y=−12x +12t 经过原点O (0,0)时,12t 取最小值,即t 有最小值为0,故z=3x+2y 有最小值为30=1.3.已知O 是坐标原点,点A (-1,1),若点M (x ,y )为平面区域{x +y ≥2,x ≤1,y ≤2上的一个动点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2]D.[-1,2]{x +y ≥2,x ≤1,y ≤2表示的平面区域如图阴影部分所示.由数量积的坐标运算可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y. 令-x+y=z ,即y=x+z.易知当直线y=x+z 过点B (1,1)时,z min =0. 当直线y=x+z 过点C (0,2)时,z max =2. 故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,2].4.如图所示,目标函数z=ax-y 的可行域为四边形OACB (含边界),若点C (2,4)是该目标函数z =ax −y 的最优解,则a 的取值范围是( )A .(-103,-512) B.(-125,-310) C .(310,125) D.(-125,310)C ,所以目标函数表示的直线的斜率在直线BC 与AC 的斜率之间. 因为k BC =−310,kAC =−125,所以a ∈(-125,-310).5.已知x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y -2≥0,x ≤m ,且x −3y 的最大值不小于6,则实数m 的取值范围是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C .(-∞,92] D.[92,+∞)x-y+1=0与x+y-2=0交点为(12,32),所以m >12.作出不等式组表示的可行域如图所示.作直线x-3y=0,并平移,当直线x-3y=z 过点A (m ,2-m )时,x-3y 取得最大值. 由x-3y 的最大值不小于6,得m-3(2-m )≥6,解得m ≥3.6.已知x ,y 满足约束条件{y ≥-1,x -y ≥2,3x +y ≤14,若使z =ax +y 取得最大值的最优解有无数个,则实数a 的取值构成的集合是( ) A.{-3,0} B.{-1,1} C.{-1,3}D.{-3,0,1}{y ≥-1,x -y ≥2,3x +y ≤14表示的平面区域,如图所示.由图可知,当a=-1时,线段AC 上的所有点都是z 取得最大值的最优解;当a=3时,线段BC 上的所有点都是z 取得最大值的最优解;当a=0时,z 取得最小值的最优解有无数个,不符合题意.7.已知A (1,1),B (4,2),C (-1,4),若动点P (x ,y )在△ABC 内部及边界运动,且z=ax-y 的最优解有无数个,则a 的值为 .,说明直线y=ax-z 与可行域边界所在的某条直线平行,又直线AB 的斜率为2-14-1=13,直线BC 的斜率为2-44+1=−25,直线AC 的斜率为4-1-1-1=−32,故直线y=ax-z 的斜率a 的值为13或−32或−25.−32或−258.已知点P 的坐标(x ,y )满足{x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,则点P 到直线4x +3y +1=0的距离的最大值是__________________..由图可知点B (2,2)到直线4x+3y+1=0的距离最大,由点到直线的距离公式得d =√4+3=3.9.已知集合A={(x ,y )|x+y ≥2},集合B={(x ,y )|2x+y ≥2},当(x ,y )∈A ∩B 时,求z=x+y 的取值范围.x ,y 满足的不等式组为{x +y ≥2,2x +y ≥2,在平面直角坐标系中画出可行域,如图阴影部分所示.因为直线y=-x+z 与直线x+y=2平行,所以当直线y=-x+z 与x+y=2重合时,z 取得最小值2,且z 无最大值,故z 的取值范围是[2,+∞). ★10.已知变量x ,y 满足约束条件{x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z =ax +y(其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值,求a 的取值范围..作直线l:ax+y=0,过点(3,0)作l的平行线l',则直线l'介于直线x+2y-3=0与直线x=3之间,因此,-a<−12,即a>12.故a的取值范围为(12,+∞).★11.已知实数x,y满足不等式组{2≤x-y≤4,x+2y≥-4.(1)求目标函数z=10x+30y(x,y∈Z)的最小值;(2)若目标函数z=ax+y(a<0)的最大值为-2,求a的取值范围.,如图阴影部分所示.(1)因为x,y∈Z,所以用打网格的方法在可行域中找出各整点,发现当直线y=−13x+z30经过点A(0,-2)时,目标函数取得最小值,z min=-60.(2)若a≤-1,则目标函数在A(0,-2)处取得最大值-2,符合题意; 若-1<a<0,则目标函数无最大值.综上可知,a的取值范围是(-∞,-1].。

,[学生用书单独成册])[.基础达标]．不等式组表示的平面区域是( )．矩形．三角形．等腰梯形．直角梯形解析：选.不等式组⇔或，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选.．若，∈，且则＝＋的最小值等于( )．．．．解析：选.可行域如图阴影部分所示，则当直线＋－＝经过点(，)时，＝＋取得最小值，为＋＝.．在△中，三个顶点分别为(，)，(－，)，(，)，点(，)在△的内部及其边界上运动，则－的取值范围为( )．[，]．[－，]．[－，－]．[－，]解析：选.先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数＝－的取值范围．由图求出其取值范围是[－，]．．直线＋＝与不等式组表示的平面区域的公共点有( )．个．个．个．无数个解析：选.画出可行域如图阴影部分所示．因为直线过(，)点，故只有个公共点(，)．．实数，满足不等式组则＝的取值范围是( )解析：选.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数＝表示阴影部分的点与定点(－，)的连线的斜率，由图可知点(－，)与点(，)连线的斜率为最小值，最大值趋近于，但永远达不到，故－≤＜.．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数＝＋取得最大值的点的坐标是．解析：首先作出直线＋＝，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(，)时截距最大，此时最大．答案：(，)．已知实数，满足则的最大值为．解析：画出不等式组对应的平面区域Ω如图阴影部分所示，＝表示平面区域Ω上的点(，)与原点的连线的斜率．(，)，(，)，所以≤≤.答案：．在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为．解析：如图所示的阴影部分即为满足不等式组的可行域，而直线－＋＝恒过点(，)，故可看成直线绕点(，)旋转．当＞－时，可行域是一个封闭的三角形区域，由×(＋)×＝得＝.答案：．如果由约束条件所确定的平面区域的面积为＝()(＜＜)，试求()的表达式．解：由约束条件所确定的平面区域是五边形(如图)，其面积＝()＝△－△－△，而△＝××＝，△。

简单线性规划的应用同步练习(二)1．某厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季甲产品售价50千元／件，乙产品售价30千元／件，生产这两种产品需要A,B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨／件,B种原料2吨／件；生产乙产品需要A种原料3吨／件,B种原料1吨，件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．(1)如何充分利用所得原料，使春季产品总产值最大？最大总产值为多少？(2)在夏季中甲产品涨价10％，而乙产品降价10％，此时要使总产值最大，应如何安排生产？最大总产值为多少？10、某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊都含有维生素A、C、D、E和最新发现的Z，甲种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是1 mg、1 mg、4 mg、4 mg、5 mg；乙种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是3 mg、2 mg、1 mg、3 mg、2 mg。

如果此人每天摄入维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg，维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg，分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。

3．某公司承担了每天至少搬运280t水泥的任务，已知该公司有6辆A型卡车和4辆B型卡车，已知A型卡车每天每辆的运载量为30t，成本费为0.9千元,B型卡车每天每辆的运载量为40t，成本费为1千元．(1)假设你是公司的调度员，请你按要求设计出公司每天的排车方案．(2)设每天派出A型卡车x辆,B型卡车v辆，公司每天花费成本为z千元，写出x、y应满足的条件以及z与x，y之间的函数关系式．(3)如果你是公司的经理，为使公司所花的成本费最小，每天应派出A型卡车,B型卡车各为多少辆？4．有一批同规格钢条，按第一种方式切割，可截成长度为a的2根，长度为b的3根，按第二种方式切割，可截成长度为a的3根，长度为b的1根．(1)现需长度为a的2根与长度为b的1根配成一套，问这两种切割方式应满足的比例是多少？(2)如果长度为a的至少需50根，长度为b的至少需要45根，问应如何切割可使钢条使用量最省？5、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各产品产量不少于15 t，已知生产甲产品1 t需煤9 t，电力4hKW⋅，劳动力3个；生产乙产品1 t需煤4 t，电力5hKW⋅，劳动力10个。

第2课时简单线性规划Q情景引入ing jing yin ru某电视台要播放两套宣传片，其中宣传片甲播放时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万；宣传片乙播放时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟的广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？X新知导学in zhi dao xue1．线性规划中的基本概念名称定义目标函数求最大值或最小值的函数z＝ax＋by＋c叫作目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组最优解可行域内使目标函数取得最大值或最小值的解称为最优解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题可行解满足约束条件的坐标，称为可行解可行域由所有可行解(x，y)组成的集合称为可行域(1)作出可行域．(2)作出直线l0：ax＋by＝0.(3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值．Y预习自测u xi zi ce1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( C )A．该直线的截距B．该直线在y轴上的截距C．该直线在y轴上的截距的相反数D．该直线在x轴上的横截距[解析] 把目标函数变形为y＝3x－z，由此可见，z是该直线在y轴上的截距的相反数．2．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，需x 辆6吨的汽车和y 辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( A )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y3．(2019·浙江卷，3)若实数 x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则 z ＝3x ＋2y 的最大值是( C )A ．－1B ．1C ．10D ．12[解析]如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C ．4．(2018·全国卷Ⅰ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为_6.[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为7.[解析] 画出可行域及直线x ＋3y ＝0，平移直线x ＋3y ＝0，当其经过点A (1,2)时，直线的纵截距最大，所以z ＝x ＋3y 的最大值为z ＝1＋3×2＝7.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨求线性目标函数的最值问题例题1 设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，求z 的最大值和最小值．[分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于x ，y 的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.『规律总结』 在求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值时，根据y 的系数的正负，可分为以下两种情形求最值．1．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c ，b >0的最值．在线性约束条件下，当b >0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域．(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0.(3)确定l 0的平移方向，若把l 0向上平移，则对应的z 值随之增大；若把l 0向下平移，所对应的z 值随之减小，依可行域判定取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值． 2．求目标函数z ＝ax ＋by ＋c ，b <0的最值．在线性约束条件下，当b <0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为：(1)作出可行域．(2)作出直线l 0：ax ＋by ＝0.(3)确定l 0的平移方向：若把l 0向上平移，所得相应z 值随之减小；若把l 0向下平移，所对应的z 值随之增大，依可行域判定取得最优解的点．(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值． 〔跟踪练习1〕(1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( C )A ．7B ．8C ．10D ．11(2)(2018·全国卷Ⅲ理，14)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为9.[解析] (1)画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4,2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C ．(2)由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看作常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴ z max ＝5＋4＝9.命题方向2 ⇨求非线性目标函数的最值问题例题2 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．[分析] (1)其中z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝(x －0)2＋(y －5)2的几何意义为平面区域内的点(x ，y )到(0,5)距离的平方；(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1的几何意义为平面区域内的点(x ，y )与⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．关键将目标函数进行变形找到其几何意义，再利用数形结合知识求解．[解析] 作出可行域，如图．A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5) 的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故 |MN |＝|0－5＋2|1＋－12＝32＝322. |MN |2＝92，所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －－1表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．∵k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围是[34，72]．『规律总结』 对于目标函数不是直线的形式，这类问题常考虑目标函数的几何意义． (1)形如y －bx －a的式子，表示动点M (x ，y )和定点N (a ，b )连线的斜率k . (2)形如x －a2＋y －b2的式子，表示动点M (x ，y )到定点N (a ，b )的距离|MN |；而(x －a )2＋(y －b )2表示动点M (x ，y )到定点N (a ，b )的距离的平方，即|MN |2.(3)形如|ax ＋by ＋c |a 2＋b 2的式子，表示动点M (x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ；而|ax ＋by ＋c |表示a 2＋b 2d .〔跟踪练习2〕(1)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为255.[解析] 本题考查不等式组表示平面区域，点到直线距离公式等． 区域D 如图所示：则(1,0)到区域D 的最小值即为(1,0)到直线y ＝2x 的距离：|2×1－0|5＝255.(2)设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.①求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； ②求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解析] 画出满足条件的可行域，如图阴影部分所示．①u ＝x 2＋y 2表示可行域内的任一点与坐标原点距离的平方，由图可知，u max ＝|OC |2＝73，u min ＝0.②v ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.命题方向3 ⇨已知目标函数的最值求参数例题3 已知变量x 、y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为(1，＋∞).[分析] 作出可行域，平移直线使其过(3,1)点时，在y 轴上的截距也取得最大值．[解析] 由约束条件画出可行域(如图所示)．为矩形ABCD (包括边界)．点C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移y ＝－ax 时使直线在y 轴上的截距最大， ∴－a <k CD ，即－a <－1，∴a >1.『规律总结』 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．〔跟踪练习3〕本例中，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则a 的范围又是什么？ [解析] 若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z ＝ax ＋y 与直线x ＋y ＝4重合，此时a ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 设变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤10x ＋4y ≤11x ∈Z ，y ∈Zx >0，y >0.求S ＝5x ＋4y 的最大值．[误解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A (95，2310)时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝915.因为x 、y 为整数，而离点A 最近的整点是C (1,2)，这时S ＝13，所要求的最大值为13.[辨析] 显然整点B (2,1)满足约束条件，且此时S ＝14，故上述解法不正确． 对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点．而要先对边界点作目标函数t ＝Ax ＋By 的图像， 则最优解是在可行域内离直线t ＝Ax ＋By 最近的整点．[正解] 依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l: 5x ＋4y ＝0，平行移动直线l 经过可行域内的整点B (2,1)时，S max ＝14.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu简单的线性规划问题⎩⎪⎨⎪⎧约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解线性目标函数最优解的确定整数线性规划问题的解法非线性目标函数的最值求解。

3.4 简单线性规划分层训练
1.点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中
( )
A 2≤-y x
B 022>--y x
C 0≤y
D 2≥x
２.不在3x+2y<6表示的平面区域内的点是
( )
A. (0 , 0)
B. (1 , 1)
C. (0 , 2)
D. (2 , 0)
３.不等式x －2y+6>0表示的平面区域在直线x －2y+6=0的 ( )
A.右上方
B. 左上方
C. 右下方
D. 左下方
４．原点和点(1,1)在直线0=-+a y x 的同侧，则a 的取值范围是 （ ）
A 0<a 或2>a
B 0=a 或2=a
C 20<<a
D 20≤≤a
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５.已知直线l : x －y+a=0, 点P 1(1 , －2) , P 2(3 , 5)分别位于直线l 的两侧, 则a 的取值范围_____________ .
６.若B>0 时, 不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ , 若B<0时，
不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ ．（填＂上方＂或＂下方＂）．
７.画出下列不等式表示的平面区域
(1)y>2x －3 (2)y ≤－x+2 (3)3x －2y+6≥0 (4) x>y+1
拓展延伸
８.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.：
(1) (2)
(3)
本节学习疑点：。

高中数学 3.4.2 简单线性规划同步精练 北师大版必修5基础巩固1目标函数z ＝2x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线纵截距的相反数 D ．该直线的横截距 2z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．(12，12)3已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝2x ＋4y 的最小值为________．4若实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．5已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝x ＋y －2的最大值为________．6 若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则目标函数z ＝x ＋3y 的取值范围是__________．综合过关7在△ABC 中，三顶点分别为A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．[－3,1]C ．[－1,3]D ．[－3，－1] 8已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值． 9已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0.求z ＝x ＋y 的最大值．下列解法是否正确，如果不正确，请说明原因，并把正确解法写在下面．作出可行域，如图中阴影部分．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．∴z max ＝8027＋7727＝15727.10若二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．能力提升11关于x 的方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两个根中，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．参考答案1答案：C2解析：可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1； 当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0； 当x ＝1，y ＝0时，z ＝1； 当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A 、B 、D. 答案：C3解析：画出可行域，如图所示．则当直线y ＝－12x ＋14z 经过点A (3，－3)时，z ＝2x ＋4y 取最小值－6.答案：－64解析：画出可行域，如图所示．当直线y ＝－2x ＋z 过点A (12，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值2.答案：25解析：作出可行域，如下图所示的阴影部分．线性目标函数z ＝x ＋y －2，即y ＝－x ＋z ＋2，求z ＝x ＋y －2的最大值转化为求直线y ＝－x ＋z ＋2在y 轴上截距z ＋2的最大值，结合图像知当直线y ＝－x ＋z ＋2经过点A (1,2)时，在y 轴上截距z ＋2取最大值3，即z ＋2≤3，所以z ≤1.答案：16解析：画出可行域，如图所示．则直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的取值范围是[83，143]，即13z 的取值范围是[83，143]，所以z ＝x ＋3y 的取值范围是[8,14]． 答案：[8,14]7解析：先画出三角形区域，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围，从而求出其取值范围是[－1,3]．答案：C8解：(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0表示的公共区域如图所示．其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14；z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的区域可知，点B 到原点的距离最大，而(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37； (x 2＋y 2)min ＝0.故4x －3y 的最大值为14，最小值为－18；x 2＋y 2的最大值为37，最小值为0. 9解：错因分析：将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点，不是B 点而是A 点，究其原因是在作图时引起的误差，由于三条边界的直线的斜率依次是：－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过B 时，则直线x ＋y ＝z 必在A点的下方，即B 点不是向上平移直线时最后离开的点，A 点才是最后离开的点．正解：作约束条件的可行域，作直线l 0：x ＋y ＝0，将它向上平移，∵1＞0，∴z ＝x ＋y 的值也随之增加．当它经过A 点时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝11919.10分析：设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由f (－1)、f (1)的范围可得a 、b 满足的不等式，由此可利用线性规划知识解决．解：因为f (x )的图像过原点，所以可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)． 所以f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .所以⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，3≤a ＋b ≤4.其图像为如图所示的阴影区域．因为f (－2)＝4a －2b ，作直线4a －2b ＝0，易知A 、B 点分别为使f (－2)取最小值点和最大值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，a －b ＝1，得A (2,1)；⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，a －b ＝2，得B (3,1)．所以f (－2)min ＝4×2－2×1＝6，f (－2)max ＝4×3－2×1＝10，所以6≤f (－2)≤10.11分析：可将b －2a －1看作点(a ，b )和(1,2)连线的斜率，而(a －1)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与定点(1,2)之间的距离的平方．数形结合可顺利使问题得到解决．解：方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内．由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋2b ＋1<0，a ＋b ＋2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B (－2,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1,0)．∴在如图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1)点(a ，b )对应区域△ABC 的面积S △ABC ＝12×|BC |×h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)．(2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b )和点D (1,2)连线的斜率．∵k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1，由图可知k AD ＜b －2a －1＜k CD ，∴14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈(14，1)． (3)∵(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b )与定点(1,2)之间距离的平方，∴(a －1)2＋(b－2)2∈(8,17)．欢迎您的下载，资料仅供参考！。