2020届 神州智达高三诊断性大联考(一) 数学(理)质检卷(解析版)

2020届高三数学质量检测第一次联考试题文（含解析）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上.2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义直接求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选：D【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z满足，可得，所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若，根据线面平行的性质定理，可得；若，根据线面平行的判定定理，可得.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，利用列举法，可得下表，可知需要的次数为4次.故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.5.已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（）A. 30B.C.D. 62【答案】B【解析】【分析】根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，因此.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.6.函数的大致图象是A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；当时，，可排除D选项；当时，，当时，，即，可排除C选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第10次循环：，此时满足判定条件，输出结果，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.9.若,,,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：.故选：C【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.12.已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此双曲线的渐近线方程为：.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】首先求出与的数量积，然后直接根据与的夹角公式求解即可.【详解】由题知，，有，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，向量夹角的求解，属于基础题.14.若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.【答案】，【解析】【分析】根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.【详解】由是偶函数及，可取，则，由的图象关于点对称，得，，即，，可取.故，的一组值可以分别是，.故答案为：，.【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是, ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为，因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,可得，解得，所以椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.在三棱锥中，，，，若PA 与底面ABC所成的角为，则点P到底面ABC的距离是______；三棱锥P-ABC的外接球的表面积_____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P到底面ABC的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥置于长方体中，其中平面，由与底面ABC所成的角为，可得，即为点P到底面ABC距离，由，得，如图，PB就是长方体（三条棱长分别为1，1，）外接球的直径，也是三棱锥外接球的直径，即，所以球的表面积为.故答案为：；.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面积为，周长为8，求b.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过正弦定理和内角和定理化简，再通过二倍角公式即可求出；（2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b的表达式后即可求出b的值.详解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得，结合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由题设，得，从而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.【点睛】本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，参考数据：.【答案】（1）；（2）；（3）利润约为111.2万元.【解析】【分析】（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.【详解】（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，则5个月份任意选取3个月份的基本事件有，，，，，，，，，，共计10个，故恰好有两个月考核合格的概率为；（2），，，，故；（3）当千只，（十万元）（万元），故9月份的利润约为111.2万元.【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.19.在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，点M、N分别是、的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出平面即可；（2）求出点A到平面的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.【详解】（1）连接，由是平行四边形及N是的中点，得N也是的中点，因为点M是的中点，所以，因为，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）过A作交于点O，因为平面平面，平面平面，所以平面，由是菱形及，得为三角形，则，由平面，得，从而侧面为矩形，所以.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.20.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线E上一点，且点P的横坐标为2，.（1）求抛物线E的方程；（2）过点F的直线m与抛物线E交于A、B两点，过点F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M，设AB的中点为N，若O、M、N、F四点共圆，求直线m的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程；（2）首先设直线m方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点N坐标，然后设直线n的方程求出点M的坐标，最后利用O、M、N、F四点共圆即可求出直线m的方程.【详解】（1）由抛物线定义，得，解得，所以抛物线F的方程为；（2）设直线m的方程为，代入，得，设，，则，，由，，得，所以，因为直线m的斜率为，所以直线n的斜率为，则直线n的方程为，由解得，若O、M、N、F四点共圆，再结合，得，则，解得，所以直线m的方程为.【点睛】本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题.21.已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.（1）求实数a的取值范围；（2）若函数极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先对函数求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围；（2）首先求出的值，再根据求出实数a的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为是，，若有两个极值点，则方程一定有两个不等的正根，设为和，且，所以解得，此时，当时，，当时，，当时，，故是极大值点，是极小值点，故实数a的取值范围是；（2）由（1）知，，，则，，，由，得，即，令，考虑到，所以可化为，而，所以在上为增函数，由，得，故实数a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于两点A.B，求AB的长；（2）设M、N是曲线C上的两点，若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2），，由（1）通过计算得到，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为，即；再将，，代入上式，得，故曲线C的极坐标方程为，显然直线l与曲线C相交的两点中，必有一个原点O，不妨设O与A重合，即.（2）不妨设，，则面积为当，即取时，.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.23.已知不等式对于任意的恒成立.（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）法一：，，得，则，由此可得答案；法二：由题意，令，易知是偶函数，且时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．【详解】解：（1）法一：（当且仅当时取等号），又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），由題意得，则，解得，故的取值范围是；法二：因为对于任意恒有成立，即，令，易知是偶函数，且时为增函数，所以，即，则，解得，故的取值范围是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．2020届高三数学质量检测第一次联考试题文（含解析）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上.2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义直接求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选：D【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z满足，可得，所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若，根据线面平行的性质定理，可得；若，根据线面平行的判定定理，可得.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.4.体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，利用列举法，可得下表，可知需要的次数为4次.故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.5.已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（）A. 30B.C.D. 62【答案】B【解析】【分析】根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，因此.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.6.函数的大致图象是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数，可排除B选项；当时，，可排除D选项；当时，，当时，，即，可排除C选项，故选A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第10次循环：，此时满足判定条件，输出结果，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.9.若,,,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：.故选：C【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.12.已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此双曲线的渐近线方程为：.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】首先求出与的数量积，然后直接根据与的夹角公式求解即可.【详解】由题知，，有，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，向量夹角的求解，属于基础题.14.若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.【答案】，【解析】【分析】根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.【详解】由是偶函数及，可取，则，由的图象关于点对称，得，，即，，可取.故，的一组值可以分别是，.故答案为：，.【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为，因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,。

xx 届重庆市高三联合诊断性考试（第一次）数 学（理科数学）本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题上。

3．考试结束，监考人将本试题和答题卡一并收回。

一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必需答在答题卡上。

1．设全集是实数集{}{},|1,1,2,3,4R M x x x R N =≤∈= ，则()R C M N I 等于 A ．{}4 B ．{}3,4 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3,42．1717cos sin 44ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 AB． C ．0 D3．已知向量(),m a b =u r ，向量n m ⊥r u r ，且n m =r u r，则n r 的坐标可以为A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),b a -D ．(),b a -- 4．已知()2log f x x =，则函数()11y f x -=-的大致图象是B ADC5．要得到函数()2sin 0y x ωω=>的图象，只需将函数2sin 5y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象A ．向左平移5π个单位 B ．向右平移5π个单位 C ．向左平移5πω个单位 D ．向右平移5πω个单位6．设,p q 是简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知两个正数,x y 满足45x y xy ++=，则xy 取最小值时,x y 的值分别为A ．5,5B ．510,2C ．10,5D ．10,108．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，()20062006log x f x x =+，则在R 上方程()0f x =的实根个数为A ．1B ．2C ．3D ．xx9．椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =M 的离心率e 的取值范围是A ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎡⎢⎣⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动。

2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间12咋啦60分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则A B =IA.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为A.(5，0)B.(0，，0) D.(0) 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为A.y ＝7ex －5eB.y ＝7ex ＋9eC.y ＝3ex ＋5eD.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞UD. (,3)(1,)-∞-+∞U 10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为12 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率A.存在最大值4 B.存在最大值3 C.存在最小值4 D.存在最小值3第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

2020届全国大联考高三联考数学（理）试题一、单选题 1．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得z ，再求得z 【详解】55(2)551725i i i z i i i i +=+=+=-+-，故||z ==故选：B 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.2．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则()A B =R I ð（ ）A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅【答案】A【解析】求函数定义域求得集合A ，由此求得()R A B ⋂ð. 【详解】因为{|3}A x x =≥，所以()(1,3)R A B ⋂=ð. 故选：A 【点睛】本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.3．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 5．已知21532121,,log 353a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中2510()13<<，132()15->，21log 03<，则可得结论.【详解】205110()()133<<=Q ，10322()()155->=， 221log log 103<=， c a b ∴<<.故选：C. 【点睛】本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题.6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．2D 5【答案】C【解析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可 【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 9．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x-的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.11．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DMr =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U【答案】C【解析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=.因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则94S a =______. 【答案】18【解析】先由712a a =-，可得12a d =-，再结合等差数列的前n 项和公式求解即可. 【详解】解：因为711+62a a d a ==-，所以12a d =-，()19544194992183a d S a d a a a d d+⨯====+. 故答案为：18. 【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题. 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u v u u u v u u u v______.【答案】14425【解析】先由等面积法求得AD ，利用向量几何意义求解即可. 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥， 所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：14425【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.15．()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______. 【答案】3 -260【解析】(1)令1x =求得所有项的系数和； (2)先求出612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与含21x 的系数，再求()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项. 【详解】将1x =代入()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得所有项的系数和为3.因为的展开式中含21x 的项为()424621602C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含常数项()333612160C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()62122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60320260-=-.故答案为：3； -260 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题. 16．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为_______.【答案】【解析】设(,)M x y 为PQ 的中点，根据弦长公式，只需||OM 最小，在,APM AQMV V中，根据余弦定理将22||,||AP AQ 表示出来，由AMP AMQ π∠+∠=，得到2222||||2||2||AP AQ AM MQ +=+，结合弦长公式得到22||||16AM OM -=，求出点M 的轨迹方程，即可求解. 【详解】设(,)M x y 为PQ 的中点，在APM △中，222||||||2||||cos AP AM MP AM MP AMP =+-∠，① 在AQM V 中，222||||||2||||cos AQ AM MQ AM MQ AMQ =+-∠，②,cos cos 0AMP AMQ AMP AMQ π∠+∠=∴∠+∠=Q①+②得2222222||||2||||||2||2||AP AQ AM MP MQ AM MQ +=+=++， 即()222402||2||||AM OQ OM =+-，2220||4||AM OM =+-，22||||16AM OM -=.()2222(2)(2)16x y x y -+--+=，得20x y ++=.所以min ||22OM ==，max ||22PQ =. 故答案为：22.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值，解题的关键求出点M 的轨迹方程，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V【答案】(1) 12π．(2)． 【解析】()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，又由正弦定理b csinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=，12C A B ππ∴=--=．()223A π=Q ，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a bsinA sinB=，可得22a sinBb sinA ⋅===()1sin 22224sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=+-⨯=⎪⎝⎭Q ，11222ABC S absinC ∴==⨯=V ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.19．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点.（1）证明：MN ⊥平面ABCD .（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）23【解析】(1)先证CN EF ⊥，再证DN EF ⊥，由EF BC ∥可得BC ⊥平面CDN ，从而推出MN ⊥平面ABCD ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量与CN u u u r，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】（1）证明：连接CF ，DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且60CEF ∠=︒， 所以CEF ∆是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥， 所以EF ⊥平面CDN .又EF BC ∥，所以BC ⊥平面CDN ，因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）可知3CN =，2MN =，且四边形ABCD为正方形.设AB 的中点为G ，以M 为原点，以MG ，MC ，MN 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -，则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2N ，()1,0,2F ，所以()0,2,0AB =u u u r，()1,1,2AF =-u u u r ，()0,1,2CN =-u u u r .设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =r，由0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得20,20,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 取()2,0,1n =r.设直线CN 与平面ABF 所成的角为θ，所以22sin 333CN n CN nθ⋅===⨯u u u r r u u u r r ， 所以直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F△的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线2,AP QF交于点M.（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF与椭圆交于另一点N，且224AF M AF NS S=△△，求点P的坐标.【答案】（1）22143x y+=；（2）135,24⎛⎫⎪⎝⎭或135,24⎛-⎝⎭【解析】（1）根据12PF F△的周长为22a c+，结合离心率，求出,a c，即可求出方程；（2）设(,)P m n，则(,)Q m n--，求出直线AM方程，若2QF斜率不存在，求出,,M P N 坐标，直接验证是否满足题意，若2QF斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点M坐标，根据224AF M AF NS S=△△和2,,P F N三点共线，将点N坐标用,m n表示，,P N坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F△的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则222226,1,2,a ccab c a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2a=，1c=，3b=所以椭圆方程为22143x y+=.（2）设(,)P m n，则22143m n+=，且(,)Q m n--，所以AP的方程为(2)2ny xm=++①.若1m=-，则2QF的方程为1x=②，由对称性不妨令点P在x轴上方，则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. 2PF 的方程为3(1)4y x =--，代入椭圆方程得2293(1)124x x +-=，整理得276130x x --=，1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4AF MAF N AF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件.若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1ny x m -=---， 即(1)1ny x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34N ny =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P uuu u r 应与2F N u u u u r共线，223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--u u u u r u u u u r所以()31(1)4N n n x m -=--，即734N m x -=， 所以2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=， 所以2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以n =±所以点P的坐标为1,24⎛ ⎝⎭或1,2⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.21．设函数()1f x x x=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数. （1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围； （2）设()()()221ln 1e 11xH x x x x x ⎛⎫=-++--⎪⎝⎭，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.【答案】（1）(]0,2 （2）证明见解析【解析】(1)据题意可得()()()1ln 0F x f x g x x t x x=-=--<在区间()0,1上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的t 的取值范围；(2)不等式整理为2e 1e 1ln x x x x x x x -<-+，由(1)可知当2t =时，212ln x x x ->，利用导数判断函数e e 1xx x x -+的单调性从而证明e 2e 1xx x x <-+在区间()0,1上成立，从而证明对任意()0,1x ∈，都有()0H x >. 【详解】（1）解：因为函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的下方， 所以()()1ln 0f x g x x t x x-=--<在区间()0,1上恒成立. 设()1ln F x x t x x=--，其中()0,1x ∈， 所以()222111t x tx F x x x x-+'=+-=，其中24t ∆=-，0t >. ①当240t -…，即02t <…时，()0F x '…， 所以函数()F x 在()0,1上单调递增，()()10F x F <=，故()()0f x g x -<成立，满足题意.②当240t ->，即2t >时，设()()2101x x tx x θ=-+<<， 则()x θ图象的对称轴12tx =>，()01θ=，()120t θ=-<， 所以()x θ在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则()1,1x x ∈，()0x θ<，()0F x '<，所以()F x 在()1,1x 上单调递减，此时()()10F x F >=，不合题意.综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2. （2）证明：由题意得()()21e ln 1e 1xx H x x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭()()21e 1e ln xx x x x x x--+=-， 因为当()0,1x ∈时，e 10x x x -+>，ln 0x <， 所以()()()21e 10eln x xx x x H x x x--+>⇔>2e 1e 1ln x x x x x x x-⇔<-+. 令()()e 101xh x x x =--<<，则()e 10xh x '=->，所以()h x 在()0,1上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，所以()2e 1111xx x x x x x -+>+-+=+，从而2e e e 11x xx x x x <-++. 由（1）知当2t =时，12ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得212ln x x x->.令()()2e 011xm x x x =<<+，则要证()0H x >，只需证()2m x <.因为()()()222e 101x x m x x-'=>+，所以()m x 在()0,1上单调递增，所以()()e122m x m <=<，即()2m x <在()0,1上恒成立. 综上可得，对任意()0,1x ∈，都有()0H x >成立. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是11cos ,421sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α是参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取一点M ，直线OM 绕原点O 逆时针旋转3π，交曲线C 于点N ，求||||OM ON ⋅的最大值.【答案】（1）sin 6π⎛⎫ρ=θ+⎪⎝⎭（2）最大值为34【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程，再转化为极坐标方程.（2）设出,M N 两点的坐标，求得||||OM ON ⋅的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得||||OM ON ⋅的最大值. 【详解】（1）由11cos ,421sin ,42x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去α得曲线C的普通方程为22102x y x y +--=.所以C的极坐标方程为1cos 22ρ=θ+θ， 即sin 6π⎛⎫ρ=θ+ ⎪⎝⎭.（2）不妨设()1,M ρθ，2,3N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，10ρ>，20ρ>，[0,2)θπ∈， 则12||||sin sin 663OM ON πππρρθθ⎛⎫⎛⎫⋅==+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin cos 6θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1cos cos 22θθθ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭112cos 2444θθ=++11sin 2264πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 当6πθ=时，||||OM ON ⋅取得最大值，最大值为34. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.23．已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值.【答案】（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）169【解析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤；当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=， 所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=，1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦.当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号.故13211a b +++的最小值为169.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。

20佃-2020年高三第一次（12月）诊断联考数学理试题含解析、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

俯视图1 2 B.— C. D . 13 372°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大 角等于 ()0 0 0 0 A . 72 B . 90]| C . 108 D .180已知 M 是 ABC 内的一点，且 AB AC 二 2 3 , BAC =30，若 MBC , 1 14MAB 的面积分别为一，x, y ，贝V的最小值为（）2 x yA. 20B. 18C. 16D. 9&函数y = x • cosx 的大致图像是（）1 •设集合 U={1 , 2, 3, 4, 5, 6} , M={1 , 2, 4}，则?U M=( )A • UB • {1 , 3, 5}C . {3 , 5, 6}勺 (3i)2.若复数 ------ (a R,i 为虚数单位)是纯虚数，则实数 a 的值为1 +2i3. A. -6 等差数列A . 20玄中,a 44. B. -2■ a10■玄花=30,则 a 18 B . - 204…,cos x ,贝9 tan 2x =5 C. 4 -2a 14的值为(C . 105. x （-笄） 已知 224A . -V某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是7 B . -24 C .)7_24D . {2 , 4, 6} () D. 6 D . - 1024D .万正视图 侧视图1 A.-66.若一条直线与一个平面成MCA ,9. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球,摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是( )A. 0.42B. 0.28C. 0. 310•如图所示的程序框图输出的结果是摸出红球的概率是0.42 ,D.S= 720,则判断框内应填的条件是(0.7)11.椭圆M:B. i>72笃•与=1(a b 0)左右焦点分别为F1 , F2 , P为椭圆a bi>9M上任一点且PF1〔PF?］：( )A. f，1-2最大值取值范围是2C2,3C2，其中c二；a2-b2，则椭圆离心率e取值范围C.3_3B.一31:::x上m (其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记2在此基础上给出下列关于函数1.321 m2作｛x｝，即｛x｝二m.1 1 . .① f( ) •，② f(3.4)=—0.4 :③ f( ) ”： f(—):④ y=f(x)的定义域是R，值2 2 4 41 1域是［-一，］.则其中真命题的序号是2 2A .①②12.给出定义：若f(X)= X-{x}的四个命题:1B .①③C.②④第II卷(非选择题共90 分)D .③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

绝密★启用前2020届神州智达高三诊断性大联考（一）数学（理）质检卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}{}*2,1,0,1,2N 129xA B x =--=∈<<，，则A B =I （ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,0,1-C ．{}1,1,2-D ．{}1,2答案D由题意{}1,2,3B =，再由集合交集的概念可直接得解. 解：{}{}*N 1291,2,3x B x =∈<<=，∴{}{}{}2,1,0,1,21,21,32,A B --==I I . 故选：D. 点评：本题考查了指数不等式的求解，考查了集合交集的概念，属于基础题. 2．已知命题p ：复数121i z i-=+的虚部是32-，命题q ：复数()()21243i i i +-=-，以下命题真假判断正确的是（ ） A ．p 真q 真 B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假答案A由复数的除法法则和虚部的概念可判断命题p ，由复数的乘法运算法则可判断命题q ，即可得解. 解：因为()()()()121121311122i i i z i i i i ----===-++-，所以其虚部为32-，所以p 为真命题； 因为()()221224243i i i i i i +-=-+-=-，所以q 为真命题.故选：A. 点评：本题考查了复数的运算和虚部的概念，考查了命题真假性的判断，属于基础题. 3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，前三项的和为26，则4a =（ ）A ．36B ．48C ．54D ．64答案C设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得222226q q ++=，解方程求得3q =即可得解. 解：Q 数列{}n a 为各项均为正数等比数列，12a =，前三项的和为26，设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222226q q ++=，解得3q =或4q =-（舍），所以34154a a q ==. 故选：C. 点评：本题考查了利用等比数列的通项公式进行基本量计算，属于基础题.4．已知0.50.50.70.50.3log 0.2a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．b a c << C ．c b a << D ．a b c <<答案B由对数函数和幂函数的单调性可得1b a c <<<，即可得解. 解： 因为0.5y x=在(0,)+∞上是增函数，所以0.50.50.50.30.51<<，即1b a <<，因为0.7log y x =在(0,)+∞上是减函数，所以0.70.7log 0.2log 0.71c =>= 所以1b a c <<<. 故选：B. 点评：本题考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于基础题.5．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ） A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π答案C由题意知PC 的长等于其外接球的直径，可知2PA =，计算棱锥的体积，球的体积，根据古典概型即可求解. 解：根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，因为222PC PA AB AD =++，∴2314PA =++，∴2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以314431223332P ABCDV V π-⎛⎫=⨯⨯⨯==⨯ ⎪⎝⎭球，， ∴3483274332P ππ==⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. 点评：本题主要考查了棱锥的外接球，棱锥的体积，球的体积，古典概型，属于中档题.6．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．89B ．89-C ．79D ．79-答案C利用诱导公式和余弦的二倍角公式可得2sin 212sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解.解：由题意227sin 2sin 2cos 212sin 16233699πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C 点评：本题考查了三角函数的以值求值，考查了诱导公式和余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.7．函数()21x xe ef x x --=-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案C根据函数的性质对比图象的特征，逐项排除即可得解. 解：由()()2121x x x xe e e ef x f x x x -----==-=---，∴()f x 为奇函数，排除选项B ； 当14x =时，11440x x e e e e ---=->，210x -<，∴()0f x <，排除选项D ； 当()2,x ∈+∞时，()21x xe ef x x --=-，则()()()()()()()()22212230222111xx x xxxe e x e e e x ef x x x x ---+----+'==>--+∴()f x 在()2,x ∈+∞时单调递增，排除选项A. 故选：C. 点评：本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性和利用导数判断函数单调性的应用，属于中档题.8．执行如图所示的程序框图，若输出的10232512iS S S -==+，则判断框内可以为（ ）A ．10?i <B ．10?i ≤C ．11?i <D ．11?i ≤答案A根据程序框图，注意变量取值的变化，可得1023512S =时10i =，即可得解. 解：第一次运行时，13122S -=+=，2i =； 第二次运行时，1271224S --=++=，3i =；第三次运行时，1231512228S ---=+++=，4i =；第四次运行时，1234311222216S ----=++++=，5i =；…，以此类推，第九次运行时，1012349112102312222212512S --------=+++++⋅⋅⋅+==-，10i =，依题意，此时刚好不满足判断条件，因此判断条件可以为10i <. 故选：A. 点评：本题考查了当型循环结构程序框图的应用，属于基础题. 9．()5221x x --的展开式中2x 的系数为（ ） A ．400 B ．120C ．80D ．0答案D变形已知为()525521(1)(21)x x x x --=-+，分别写出两个二项式展开式的通项55(1)r r r C x --，55C (2)kk x -，可知()525521(1)(21)x x x x --=-+的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，即可求解.解： ∵()525521(1)(21)x x x x --=-+，二项展开式5(1)x -的通项为55(1)r r r C x --，二项展开式5(21)x +的通项式为5555C (2)(1)(21)kkx x x --+，的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，所以8k r +=，所以展开式中2x 的系数为5253444355555553(1)2(1)2(1)0C C C C C C -+-+-=.点评：本题主要考查了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题. 10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）A ．平面11D C P ⊥平面1C CPB ．三棱锥1A D DP -的体积为定值C ．11AD D P ⊥ D ．DP ⊥平面11D C P答案D由面面垂直的判定可判断A ；由11A D DP P D DA V V --=，再利用三棱锥体积公式可判断B ；由1A D ⊥平面11D C P ，再利用线面垂直的性质可判断C ；由反证法可判断D ；即可得解.解：在正方体中，显然有11D C ⊥平面1C CP ，又11D C ⊂平面11D C P ， 所以平面11D C P ⊥平面1C CP ，故A 正确；三棱锥1A D DP -的体积满足11A D DP P D DA V V --=，因为P 到平面1D DA 的距离不变，1D DA △的面积不变，三棱锥1A D DP 一的体积为定值，故B 正确；在正方体中，显然有111A D D C ⊥，11A D BC ⊥，所以1A D ⊥平面11D C P ，。

神州智达2020届高三诊断性大联考（一）理科数学（质检卷Ⅰ）班级___________ 姓名___________注意事项：1.考试时间120分钟，总共150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}*2,1,0,1,2N 129x A B x =--=∈<<，，则A B =I （ ） A.{}1,0,1,2-B.{}1,0,1-C.{}1,1,2-D.{}1,22.已知命题p ：复数121i z i-=+的虚部是32-，题q ：复数()()21243i i i +-=-，以下命题真假判断正确的是（ ） A.p 真q 真B.p 真q 假C.p 假q 真D.p 假q 假3.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，前三项的和为26，则4a =（ ） A.36B.48C.54D.644.已知0.50.50.70.50.3log 0.2a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（ ） A.c a b <<B.b a c <<C.c b a <<D. a b c <<5.阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马中最长的棱，123AB AD PC ===，，，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点P ，则P 位于阳马内的概率为（ ）A.127πB.427πC.827πD.49π6.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.89B.89-C.79 D.79-7.函数()21x xe ef x x --=-的图象大致是（ ）A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输出的1023512S =，则判断框内可以为（ ）A.10?i <B.10?i ≤C.11?i <D.11?i ≤9.()5221x x --的展开式中2x 的系数为（ ） A.400B.120C.80D.010.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）A.平面11D C P ⊥平面1C CPB.三棱锥1A D DP -的体积为定值C.11A D D P ⊥D.DP ⊥平面11D C P11.已知点A B ，为抛物线()220x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆经过焦点F ，面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则的最大值为（ ）A.2D.1212.已知函数()2ln f x mx x x =++，若存在00(),x ∈+∞使得()00f x >，则m 的取值范围是（ ）A.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()0,+∞C.()1,-+∞D.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a r 与b r的夹角为60︒，1a a b =-=r r r ，则b =r __________.14.在直角坐标系xOy 中，实数x y ，满足不等式组20,10,30,y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则yx 的取值范围为__________.15.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且cos cos b c B C a +=+，8sin bcA=，则ABC △的 周长的最小值为__________.16.已知双曲线()()()2222:10,0,02,0x y C a b A a B a a b -=>>，，，点P 为双曲线C 右支上一点（异于点A ），满足222PA PB a +=u u u r u u u r ，则该双曲线离心率e 的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说眀、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.已知数列{}n a 满足112nn n a a a +-=，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}1n n a a +的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 是边长为2的菱形，AC ⊥平面11AA B B ，且2AC =，点E 为11A C 的中点.（1）证明：平面1ACB ⊥平面1B CE ;（2）若160ABB ∠=︒，求直线BC 与平面1B CE 所成角的正弦值.19.为了调查某公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系，随机抽取30名员工，调查他们的饮食习惯和月收人的关系，并制作了30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表（说明：表中饮食指数不高于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.其中月收入4000元以上员工中饮食指数高于70的有11人.（1）填表，并判断是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系.若有，请说明理由，若没有明理由，并分析原因；（2）以上面的统计数据为参考，从该公司主食蔬菜的员工中随机抽取3人，设这3人中月收入4000元以上的人数为X ，求X 的分布列与期望.（3）经调查该公司员工的月收入x （百元）和月饮食支出y （百元）具有线性相关关系，并得到y 关于x 的回归直线方程：$0.245 3.210y x =+，若一个员工的月收入恰好为这30人的月平均收人，求该人的月饮食支出费用.（结果保留到小数点后三位） 附：参考公式及临界值表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b c -=++++，其中n a b c d =+++.20.如图，一张坐标纸上已作出圆22(16:E x y +=及点)Q ，折叠此纸片，使Q 与圆周上某点Q '重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EQ 的交点为N ，点N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 与y 轴的负半轴交于点D ，过D 作两条互相垂直的直线分别与曲线C 相交于点P M 、，求证：直线PM 经过一定点，并求出该定点的坐标.21.已知函数()ln f x x x a =-+有两个不同的零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的两个不同的零点为12x x ，，且12x x <，当22x ≥时，证明：2212x x ⋅<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目题号一致. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线22:14x C y +=，将C 的横坐标变为原来的12，纵坐标不变得到曲线1C ，再将曲线1C 向右平移一个单位得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 3ρθθ=.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线22ππθαα⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭与直线l 和曲线2C 分别交于A B ，两点，求OB OA 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()4f x x x =-+. （1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围.神州智达2020届高三诊断性大联考（一）理科数学参考答案（质检卷Ⅰ）一、选择题1.D {}{}2,1,0,1,21,2,3A B =--=，，∴{}1,2A B =I ，故选D.2.A 因为()()()()12112131112i i i i z i i i -----===++-，所以其虚部为32-，所以p 为真命题； 因为()()221224243i i i i i i +-=-+-=-所以q 为真命题，所以选A.3.C 设等比数列{}n a 的公比为q ，则222226q q ++=，解得3q =或4q =-（舍），所以34154a a q ==.4.B 因为0.5y x =在(0,)+∞上是增函数，且0.50.3>，所以0.50.50.50.3>，即0.70.7log 0.2log 0.71a b c >=>=，，而00.510.50.5=>，所以b a c <<.5.C 根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，因为PC =3=，∴2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以1412233P ABCD V -=⨯⨯⨯=，V 球=34332π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，∴3483274332P ππ==⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. 6.C 27sin 2sin 2cos 21sin 623369πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.7.C ()()2121x x x x e e e e f x f x x x -----==-=---，()f x 为奇函数，排除选项B ；当14x =时：11440,x x e e e e ---=-> 210x -<，∴()0f x <，排除选项D ；当x →+∞时，()f x →+∞，排除选项A ，故选C.8.A 第一次运行时，13122S -=+=，2i =；第二次运行时，1271224S --=++=，3i =；第三次运行时，1231512228S ---=+++=，4i =；第四次运行时，1234311222216S ----=++++=，5i =；…，以此类推，第九次运行时，1012349112102312222212512S --------=+++++⋅⋅⋅+==-，10i =，依题意，此时刚好不满足判断条件，因此判断条件可以为10i <.9.D ()2521x x --的展开式中2x 的系数为()()4311423545321110100C C C C -+-=-=.故选D.10.D 在正方体中，显然有11D C ⊥平面1C CP ，又11D C ⊂平面11D C P ，所以平面11D C P ⊥平面1C CP ，故A 正确；三棱锥1A D DP -的体积11A D DP P D DA V V --=，因为P 到平面1D DA 的距离不变，1D DA △的面积不变，所以三棱锥1P D DA 一的体积为定值，故三棱锥1A D DP 一的体积也为定值，故B 正确；在正方体中，显然有11111A D D C A D BC ⊥⊥，，所以1A D ⊥平面11D C P ，因为1D P ⊂平面11D C P ，所以11A D D P ⊥，故C 正确；由图形易得DP 与平面11D C P 不垂直，故D 不正确，故选D.11.A 根据题意得，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =. 设AF a =，BF b =，由抛物线定义，得AF AQ =，BF BP =，在梯形ABPQ 中，2CD AQ BP a b =+=+，由勾股定理得，228a b =+，∵ 22222228222424424a b a b ab ab ab a b CD +++++⎛⎫====+≤+= ⎪⎝⎭， 所以2CD ≤ （当且仅当a b =时，等号成立） 故选A.12.C ()212121mx x f x mx x x++'=++=，当0m ≥时，()()0f x f x '>，在(0,)+∞上单调递增，显然存在00(),x ∈+∞使得()00f x >，当0m <时，令()0f x '=，即221010mx x m ++=>，△=-8，设两根分别为()1212x x x x <，，易得120x x <<，即只需要满足()20f x >，则有222210mx x ++=，2222ln 0x mx x ++>，消元得221ln 02x x -+>，构造函数()()1ln 102x g x x g -=+=，，则()1102g x x '=+>，所以()g x 单调递增，则1x >，即21x >，又因为222112m x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则2210m m >--<<，.综上1m >-，故选C. 二、填空题13.2 22223a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r ，由题意得1cos602a b a b b ⋅=︒=r r r r r，所以220b b --=r r ，解得2b =r .14.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 如图，不等式组120300y x x y y -≤--≤⎧⎪⎨⎪+-≥⎩，表示的平面区域为ABC △ （包括边界），所以表示点(),x y 与()0,0连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以2OA k =，12OB k =，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.15.4+因为cos cos b a B C a +=+，根据余弦定理可得22222222b c a c b a b c a ac ab++-+-=+， 整理得2222322322b c bc a b bc b a c b c c +=+-++-，即()222233b c bc a b a c b c +=+-+，因式分解得()()2220b c b c a +-=+，所以222b c a +=，即90A =︒，sin 1A =，则8bc =，所以()4a b c b c +++≥+，当且仅当b c =时，取等号， 综上ABC △的周长的最小值为4+16.⎛ ⎝⎭ 由222PA PB a +=u u u r u u u r ,得222PA PB AB +=，故PA PB ⊥.设(),P m n ，可得(),AP m a n =-u u u r ， ()2,PB a m n =--u u u r ，所以()()220AP PB m a a m n ⋅=---=u u u r u u u r ①.又因为点P 在双曲线上，所以22221m n a b-=，整理得22221m n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，将②式代入①式得()()222102mb a m a a m ⎛⎫-- ⎝-=⎪⎭-，化简整理得22222330c m am c a a -++-=，此方程的根为321223a ac m a m c -==，，因为点P 是双曲线右支上异于右顶点A 的一点，所以3223a ac a c ->，得2232a c>，即232e <，又1e >，∴1e <<C 的离线率e的取值范围是⎛ ⎝⎭. 三、解答题17.解：（1）因为112n n n a a a +-=，所以1112n n a a +-=. 则有()()111111221n n d n n a a =+-=+-⨯=-. 所以121n a n =-. （2）设()()11111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ ()()11113352121n n =++⋅⋅⋅+⨯⨯-+ 11111111111123352121221242n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭， 因为1042n >+，所以12n T <. 综上，12n T <. 18.证明：（1）连接1BA ，交1AB 于点O ，设1B C 中点为F ，连接OF EF ，. 因为O F ，分别为11B A B C ，的中点， 所以OF AC ∥，且12OF AC =， 因为111AC AC AC AC =∥，，且11112A E AC =， 所以1OF A E ∥且1OF A E =. 所以四边形1OFEA 为平行四边形， 所以1OA EF ∥，即1BA EF ∥.因为AC ⊥平面111AA B B BA ⊂，平面11AA B B ，所以1AC BA ⊥. 因为四边形11AA B B 是菱形，所以11BA AB ⊥. 因为1AB AC A =I ，所以1BA ⊥平面1ACB .因为1BA EF ∥，所以EF ⊥平面1ACB .因为FE ⊂平面1B CE 所以平面1ACB ⊥平面1B CE .（2）因为160ABB ∠=︒，四边形11AA B B 是边长为2的菱形， 故1ABB △为等边三角形.设1BB 的中点为M ，连接AM ，则1AM BB ⊥.以A 为原点，1AM AA AC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -.则()()1)0,0,20,2,11,0)C B E B -，，，，)()112()1,2CB B E BC =-==u u u r u u u u r u u u r，，.设平面1B CE 的法向量为(),,n x y z =r ，则110,0,n CB n B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u u r即20,0.y z y z +-=++=⎪⎩令1y =，则 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)n =r .设直线BC 与平面1B CE 所成角为θ，则1sin cos ,4BC n BC n BC nθ⋅===⋅u u u r r u u u r r u u ur r ， 即直线BC 与平面1B CE 所成角的正弦值为14. 19.解：（1）根据频率分布直方图，月收入4000元以上的人数为()300.030.0250.0151021⨯++⨯=， 所以2×2列联表如下：所以2230811110 4.471 3.841921(2)118K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系. （2）从主食蔬菜的员工中任选1人，该人月收入4000元以上的概率105189p ==.X 可取0，1，2，3，所以()335499iii P X i C -⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭，0,1,2,3i =.X 的分布列为∵~3,9X B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()53E X np == （人）.（3）根据频率分布直方图，得0.1250.2350.3450.25550.156546.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）， 所以$0.24546.5 3.21014.602514.603y =⨯+=≈ （百元），故该人的月饮食支出费用为14.603百元.20.解：（1）折痕为QQ '的垂直平分线，则NQ NQ '=，由题意知圆E 的半径为4， 所以4NE NQ NE NQ EQ +'+==>，所以N 的轨迹是以E Q 、为焦点的椭圆，且2a c ==， 所以2221b a c =-=，所以N 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）解法1：由题意知直线PD MD ，的斜率存在且不为0， 设直线PD 的斜率为k ，则:1PD y kx =-， 由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222841,1441k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 用1k -去替换k ，得22284,44k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 作直线PM 关于y 轴的对称直线P M ''，此时得到点P M 、关于y 轴对称的点P M ''，，则PM 与P M ''相 交于y 轴，可知定点y y 轴上， 当1k =时，8383,,5555P M ⎛⎫ ⎪⎛-⎝⎪⎭⎫⎝⎭，，此时直线PM 经过y 轴上的点30,5T ⎛⎫⎪⎝⎭，因为222241314158514PT k k k k k kk ---+==+， 222243145854MT k k k k k kk ---+==-+， 所以PT MT k k =，所以P M T 、、三点共线，即直线PM 经过点T ，故直线PM 经过定点30,5T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 解法2：由题意知直线PD MD 、的斜率存在且不为0，设直线PD 的斜率为k ，则:1PD y kx =-. 由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222841,1441k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 用1k -去替换k ，得22284,44k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭所以22222224141414885144PM k k k k k k k k k k k ----++==+++， 所以2222418454k k k y x k k k --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭即21355k y x k -=+， 所以直线PM 经过定点30,5T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 21.解：（1）函数()ln f x x x a =-+有两个不同的零点，即ln 0x x a -+=在(0,)+∞上有两个不同的实根， 而()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 在()0,1上递减；当1x >时，()0f x '>，此时()f x 在(1,)+∞上递增；所以()f x 在(0,)+∞的最小值为()11f a =+.易知10a +<，1a <-，()0a f e >，()2a a f e e a --=+， 令t a =-，()()21t g t e t t =->，则()20t g t e '=->，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()()120g t g e >=->，所以当1a <-时，ln 0x x a -+=在()0,1和(1,)+∞上各有一个实根， 故实数a 的取值范围为(),1∞--.（2）由（1）可得()()12120110x x f x f x <<>==，，，而()()111222222222ln ln f x f x x a a x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222222222222ln ln 3ln ln 2x x a a x x x x x ⎛⎫=-+--+=--+ ⎪⎝⎭， 设2t x =，令()223ln ln 2g t t t t =--+，于是()()()23321341t t g t t t t-+'=-+=， 由于2t ≥，故()0g t '≥，即()g t 在[)2,+∞上单调递增， ∴()()322ln 202g t g ≥=->. ∴当22x ≥时，()12220f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()1222f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 又()f x 在()0,1上递减，而101x <<，22201x <<， 所以1222x x <，即2122x x ⋅<. 22解：（1）由平移变换和伸缩变换得曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ==，得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）由cos sin 3ρθθθα⎧=-=⎪⎨⎪⎩，得OA =， 由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos OB α=，所以2221cos cos cos 23332OBOA παααα⎛⎫===++ ⎪⎝⎭， 当且仅当6πα=-时，OBOA 取得最大值，为1.23.解：（1）不等式()12f x <，即412x x -+<等价于0,412x x x <⎧⎨--<⎩或04412x x x ≤<⎧⎨-+<⎩或4,412,x x x ≥⎧⎨-+<⎩整理可得48x -<<， 故不等式()12f x <的解集为()4,8-. （2）由于()444x x x x -+≥--=，而()1444919363793725t t t t t t ⎛⎫--=--+=-+≤- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当49t t =，即249t =，23t =时，等号成立. 要使不等式()()1449R x x t m t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭-+≥--+∈恒成立， 则254m +≤，解得21m ≤-， 实数m 的取值范围为(],21-∞-.。

2020届高三数学质量检测第一次联考试题 理（含解析）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则AB =( )A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】由已知，22172()024x x x，故B R =，所以A B ={}2,1,0,1,2--. 故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 2.若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( )A. 3B. 5D.【答案】C 【解析】 【分析】先由已知，求出1m =-，进一步可得63i12i z+=-，再利用复数模的运算即可 【详解】由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =.因此，6363123i ii z i++==-=故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可． 【详解】解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α， 由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交； 反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α， 则“a ∥b “是“α∥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D .【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题． 4.函数()221x x x f x =+-的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 是偶函数可排除A 、B ；再由，0x >有()0f x >可排除D.【详解】由已知，()()()2111221221x x x x f x x +⎛⎫=+=⎪--⎝⎭，则()()()()()()()2121221221x xx xx xf x f x--+-+-===--，所以()f x为偶函数，故可排除A和B；当0x>时，()0f x>，故可排除D.故选：C.【点睛】本题考查已知函数解析式确定函数图象的问题，在处理这类问题时，通常利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值来处理，是一道容易题.5.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p＝1，S＝1，输出S的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511， 此时，不满足条件p ≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5， 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．6.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A.17B. 27C.13D.1835【答案】A 【解析】 【分析】 利用An P n=计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有23C 种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为232717C C =.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A. 9 B. 12C. 15-D. 18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )A.2B.12C.2D.3【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45，有21ba=，再利用222a b c =+即可解决.【详解】由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得e =故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题. 9.已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. 函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到【答案】D 【解析】由2πT ω=可判断选项A ；当π12x =时，ππ2=32x +可判断选项B ；利用整体换元法可判断选项C ；πsin 212y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()πcos 23x f x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭可判断选项D.【详解】由题知()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，所以A 正确；当π12x =时， ππ2=32x +，所以B 正确；当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5π2π,33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以C 正确；由sin 2y x = 的图象向左平移π12个单位，得ππππsin 2sin 2sin 212623y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()πcos 23x f x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，所以D 错误.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题. 10.已知函数f （x ）＝e b ﹣x﹣ex ﹣b+c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A. ﹣2 B. ﹣1C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．11.已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A. 13y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——①由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.12.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x yx y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确； 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点2,2，(2,2-，(2,2-，2,2-，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分. 13.已知向量()1,1,2a b ==，且向量a 与b 的夹角为()3,4a ab π⋅+=_______.【解析】 【分析】根据向量数量积的定义求解即可．【详解】解：∵向量()112a b ==，，，且向量a 与b 的夹角为34π，∴|a |==所以：a •（a b +）22a a b =+⋅=22⨯cos34π=2﹣2＝0， 故答案为：0．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．14.定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y -=-；②当0x <时，()0f x >，则函数()f x 的解析式可以是______________. 【答案】()f x x =-（或()2f x x =-，答案不唯一） 【解析】 【分析】由()()()f x y f x f y -=-可得()f x 是奇函数，再由0x <时，()0f x >可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题.【详解】在()()()f x y f x f y -=-中，令0x y ==，得(0)0f =；令0x =， 则()()()()0y f y f y f f -==--，故()f x 是奇函数，由0x <时，()0f x >， 知()f x x =-或()2f x x =-等，答案不唯一.故答案为：()f x x =-（或()2f x x =-，答案不唯一）. 【点睛】本题考查抽象函数性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(21)3n n S a +=，若108a ka =，则k =______________. 【答案】9 【解析】用1n -换(21)3n n S a +=中的n ，得11233(2)n n S a n --=+≥，作差可得13(2)n n a a n，从而数列{}n a 是等比数列，再由2810a k q a ==即可得到答案. 【详解】由233n n S a =+，得11233(2)n n S a n --=+≥，两式相减，得1233n n n a a a -=-， 即13(2)nn a a n；又11233S a =+，解得13a =-，所以数列{}n a 为首项为-3、公比为3的等比数列，所以28109a k q a ===. 故答案为：9.【点睛】本题考查已知n a 与n S 的关系求数列通项的问题，要注意n 的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.16.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且90PAB ∠=︒.若四棱锥P-ABCD 的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA 最长时，则PDA ∠=______________；四棱锥P-ABCD 的体积为______________.【答案】 (1). 90° (2). 3【解析】 【分析】易得AB ⊥平面PAD ，P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，显然，PA 是圆1O 的直径时，PA 最长；将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -，易得PB 为球的直径即可得到PD ，从而求得四棱锥的体积.【详解】如图，由90PAB ∠=及AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ， 即P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，易知，当P 、1O 、A 三点共线时，PA 达到最长， 此时，PA 是圆1O 的直径，则90PDA ∠=； 又AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，此时可将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -， 其体对角线为28PB R ==，底面边长为2的正方形， 易求出，高214PD =， 故四棱锥体积1814421433V =⨯⨯=.故答案为： (1) 90° ； (2)8143. 【点睛】本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST ）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.（1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？ （2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值. 【答案】（1）79颗；（2）5.5秒. 【解析】 【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1可得a ，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数；（2）平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到. 【详解】（1）第一到第六组的频率依次为 0.1，0.2，0.3，0.2，2a ，0.05，其和为1所以()210.10.20.30.20.05a =-++++，0.075a =，所以，自转周期在2至10秒的大约有()9310.1579.0579⨯-=≈（颗）. （2）新发现的脉冲星自转周期平均值为0.110.230.350.270.1590.0511 5.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）.故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题. 18.在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 33cos sin a b C c B =-.（1）求B ；（2）若23b =AD 为BC 边上的中线，当ABC 的面积取得最大值时，求AD 的长. 【答案】（1）23π；（27. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及A B C π++=可得sin sin sin B C C B =-，从而得到tan B =（2）在ABC 中，利用余弦定可得22123a c ac ac =++≥，4ac ≤，而1sin 24ABC S ac B ac ∆==，故当4ac =时，ABC 的面积取得最大值，此时2a c ==，π6C =，在ACD 中，再利用余弦定理即可解决.【详解】（1cos sin sin A B C C B =-， 结合()sin sin A B C =+，sin sin sin B C C B =-，因为sin 0C ≠，所以tan B =， 由()0,πB ∈，得2π3B =. （2）在ABC 中，由余弦定得2212a c ac =++， 因为223a c ac ac ++≥，所以4ac ≤，当且仅当2a c ==时，ABC 的面积取得最大值，此时π6C =. 在ACD 中，由余弦定理得222π2cos 1212176AD CA CD CA CD =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅=⎝⎭.即AD =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.19.在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14BC BB ==，1AC AB ==160BCC ∠=︒.（1）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（2）设二面角1C AC B --的大小为θ，求sin θ的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）154. 【解析】 【分析】（1）要证明平面1ABC ⊥平面11BCC B ，只需证明AB ⊥平面11BCC B 即可；（2）取1CC 的中点D ，连接BD ，以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面11ACC A 的法向量为n 与平面1ABC 的法向量为1B C ，利用夹角公式111cos ,n B C n B C n B C⋅=计算即可.【详解】（1）在ABC 中，22220AB BC AC +==， 所以90ABC ∠=，即AB BC ⊥. 因为1BC BB =，1AC AB =，AB AB =， 所以1B ABC A B ≌.所以190ABB ABC ∠=∠=，即1AB BB ⊥. 又1BC BB B =，所以AB ⊥平面11BCC B .又AB平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B .（2）由题意知，四边形11BCC B 为菱形，且160BCC ∠=， 则1BCC 为正三角形，取1CC 的中点D ，连接BD ，则1BD CC ⊥.以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()10,4,0B ，()0,0,2A，()2,0C -，()12,0C .设平面11ACC A 的法向量为(),,n x y z =，且()22,2AC =--，()10,4,0CC =. 由10,0,AC n CC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,40,y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取(1,0,3n =.由四边形11BCC B 菱形，得11BC B C ⊥；又AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥； 又1=AB BC B ⋂，所以1B C ⊥平面1ABC ， 所以平面1ABC 的法向量为()1=23,6,0B C -. 所以11121cos ,443n B C n B C n B C⋅===.故sin θ=. 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.20.已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24x ay =，抛物线；（2）存在，()(),11,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）设(),Q x yy a =+，化简即得；（2）利用导数几何意义可得()2,A a a ，要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 联立直线m 与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.【详解】（1）设(),Q x yy a =+，化简得24x ay =，所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.（2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭.因为24x y a=，所以2x y a '=，从而直线PA 的斜率为2402t at at a+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.设直线m 的方程为y kx a =-，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a -+=. 首先，()221610ak∆=->，解得1k <-或1k >.其次，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =.()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=+=()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==-224204a akk a⋅=-=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠， 此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题. 21.已知函数21()(1)ln ,2f x ax a x a R x =+--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若),(1a ∈-∞，设()ln xg x xe x x a =--+，证明：1(0,2]x ∀∈，2(0,)x ∃∈+∞，使()()122ln2f x g x ->-.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）()()()()'110ax x f x x x+-=>，分0a ≥，10a -<<，1a =-，1a <-四种情况讨论即可；（2）问题转化为()()min min 2ln 2f x g x ->-，利用导数找到min ()f x 与min ()g x 即可证明. 【详解】（1）()()()()()'11110ax x f x ax a x x x+-=+--=>.①当0a ≥时，10ax +>恒成立， 当01x <<时，()0f x '<； 当1x >时，()0f x '>，所以，()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数.②当10a -<<时，11a->，()()'11a x x a f x x⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=. 当01x <<时，()'0f x <；当11x a<<-时，()'0f x >； 当1x a>-时，()'0f x <，所以， ()f x 在()0,1上是减函数，在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. ③当1a =-时，()()2'10x f x x--=≤，则()f x 在()0,∞+上是减函数. ④当1a <-时，11a-<， 当10x a<<-时，()0f x '<； 当11x a-<<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<， 所以，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数， 在1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数，在()1,+∞上是减函数. （2）由题意，得()()min min 2ln 2f x g x ->-.由（1）知，当1a <-，(]0,2x ∈时，()()min 1,2f x f f a ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()1112ln 1ln 22f f a a a⎛⎫⎛⎫--=----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()1ln 1ln 22h x x x =-+-+，()0,1x ∈，()202x h x x-'=< 故()h x 在()0,1上是减函数，有()()11ln 2ln 02h x h >=-=>， 所以()12f f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，从而()()min 22ln 2f x f ==-. ()ln x g x xe x x a =--+，()0,x ∈+∞，则()()'11xg x x e x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 令()1xG x e x=-，显然()G x 在()0,∞+上是增函数，且1202G ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()110G e =->， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0001e 0x G x x =-=，且()g x 在()00,x 上是减函数， 在()0,x +∞上是增函数，()()00000min ln 10x g x g x x e x x a a ==--+=+<，所以()min 2ln 212ln 22ln 2g x a +-=++-<-， 所以()()min min 2ln 2f x g x >+-，命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑. 选修4-4：极坐标与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数）.以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线l 的极坐标方程为12πθ=，若直线l 与曲线C 交于两点A.B ，求AB 的长；（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2MON π∠=，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可； （2）()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）通过计算得到121πsin 22S ρρ=πsin 23θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为22112x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即220x y x +-=；再将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos sin 0ρρθθ--=， 故曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 显然直线l 与曲线C 相交的两点中， 必有一个为原点O ，不妨设O 与A 重合，即12ππ2sin 612AB OB πθρ=⎛⎫===+=⎪⎝⎭. （2）不妨设()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则OMN 面积为121π1πππsin 2sin 2sin 222626S ρρθθ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ πππ2sin cos sin 2663θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当πsin 213θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即取π12θ=时，max 1S =. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.选修4-5：不等式选讲23.已知不等式111x x x m +++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足23a b c M ++=.求证11222a b b c +≥++【答案】（1）[]3,1-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=，0x ≥，得112x x x +++-≥，则12m +≤，由此可得答案；法二：由题意()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．【详解】解：（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=（当且仅当11x -≤≤时取等号）， 又0x ≥（当且仅当0x =时取等号）， 所以112x x x +++-≥（当且仅当0x =时取等号）， 由題意得12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；法二：因为对于任意x ∈R 恒有111x x x m +++-≥+成立，即()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，所以()()min 02f x f ==，即12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=， ∴1122a b b c +++()112322a b c a b b c ⎛⎫=++⋅+ ⎪++⎝⎭()()23211222a b b c a b b c +++⎛⎫=⋅+ ⎪++⎝⎭ ()32124222b c a b a b b c +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦ 1422⎡≥+=+⎣故不等式11222a b b c +≥++ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．。

2020届高三数学上学期诊断性考试试题（一）理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）已知集合0，1，2，，，则A. 2，B. 1，2，C.D.已知i为虚数单位，若，则A. B. C. D.设，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件已知m，n，p，q成等差数列，且函数且的图象过定点，则A. B. C. D. 1已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 1B.C.D.执行如图所示的程序框图，如果输出，则A. 6B. 7C. 8D. 9某商店决定在国庆期间举行特大优惠活动，凡消费达到一定数量以上者，可获得一次抽奖机会．抽奖工具是如图所示的圆形转盘，区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的面积成公比为2的等比数列，指针箭头指在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ时，分别表示中一等奖、二等奖、三等奖和不中奖，则一次抽奖中奖的概率是A. B. C. D.据九章算术记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一个“鳖臑”如图，底面ABC，，且，则异面直线PB与AC所成角的大小为A. B. C. D.已知向量，，若，则向量与的夹角为A. B. C. D.已知抛物线C：的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接F并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为A.B.C. 或D.已知，，则方程的实数根个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题）已知的展开式中的系数为5，则______．设数列满足，则______．关于函数有下列命题，其中正确的是______．的表达式可改写为；是以为最小正周期的周期函数；的图象关于点对称的图象关于直线对称已知圆C：上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况，将所得数据绘制成如图的频率分布直方图．Ⅰ根据频率分布直方图，估计该市企业年上缴税收的平均值；Ⅱ以直方图中的频率作为概率，从该市企业中任选4个，这4个企业年上缴税收位于单位：万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，．Ⅰ求a；Ⅱ设D为BC边上一点，且，求的面积已知四棱锥的底面ABCD是菱形，且，是等边三角形．Ⅰ证明：；Ⅱ若平面平面ABCD，求二面角的余弦值．已知函数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ若关于x的不等式在上有解，求a的取值范围．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为B、A，，是椭圆内一点，直线AM、BM分别与椭圆C交于P、Q两点．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ若的面积是的面积的5倍，求实数m的值．将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C．写出曲线C的参数方程；Ⅱ设直线与曲线C的交点为，，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求线段的垂直平分线的极坐标方程．Ⅰ解不等式．Ⅱ已知，，且，求的最小值．2020届高三数学上学期诊断性考试试题（一）理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）已知集合0，1，2，，，则A. 2，B. 1，2，C.D.已知i为虚数单位，若，则A. B. C. D.设，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件已知m，n，p，q成等差数列，且函数且的图象过定点，则A. B. C. D. 1已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 1B.C.D.执行如图所示的程序框图，如果输出，则A. 6B. 7C. 8D. 9某商店决定在国庆期间举行特大优惠活动，凡消费达到一定数量以上者，可获得一次抽奖机会．抽奖工具是如图所示的圆形转盘，区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的面积成公比为2的等比数列，指针箭头指在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ时，分别表示中一等奖、二等奖、三等奖和不中奖，则一次抽奖中奖的概率是A. B. C. D.据九章算术记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一个“鳖臑”如图，底面ABC，，且，则异面直线PB与AC所成角的大小为A. B. C. D.已知向量，，若，则向量与的夹角为A. B. C. D.已知抛物线C：的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接F并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为A.B.C. 或D.已知，，则方程的实数根个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题）已知的展开式中的系数为5，则______．设数列满足，则______．关于函数有下列命题，其中正确的是______．的表达式可改写为；是以为最小正周期的周期函数；的图象关于点对称的图象关于直线对称已知圆C：上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况，将所得数据绘制成如图的频率分布直方图．Ⅰ根据频率分布直方图，估计该市企业年上缴税收的平均值；Ⅱ以直方图中的频率作为概率，从该市企业中任选4个，这4个企业年上缴税收位于单位：万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，．Ⅰ求a；Ⅱ设D为BC边上一点，且，求的面积已知四棱锥的底面ABCD是菱形，且，是等边三角形．Ⅰ证明：；Ⅱ若平面平面ABCD，求二面角的余弦值．已知函数．Ⅰ求函数的极值；Ⅱ若关于x的不等式在上有解，求a的取值范围．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为B、A，，是椭圆内一点，直线AM、BM分别与椭圆C交于P、Q两点．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ若的面积是的面积的5倍，求实数m的值．将圆上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到曲线C．写出曲线C的参数方程；Ⅱ设直线与曲线C的交点为，，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求线段的垂直平分线的极坐标方程．Ⅰ解不等式．Ⅱ已知，，且，求的最小值．。

2020 届高三质量监测（一） 理科数学 含答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =-> ，则AB =A. ∅B. {|3,x x >或x ≤2}-C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x ≤ 2. 复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a << 4. 已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = A. 3- B. 1 C. 3-或1 D.525. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个A. 0B. 1C. 2D. 36. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A. (3π-B. 1)πC. 1)πD. 2)π7. 已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是 ① ,a b αα⊥⊥，则//a b ② ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③ //,//a b αα，则//a b ④ //,//αγβγ，则//αβ A. ① ② ③ B. ② ③ ④ C. ① ③ D. ① ④8. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S = A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-9. 把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示） ，则()y f x =的解析式为A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为A. 8-B. 1-C. 0D. 111. 已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为A.B. 2C. 3D. 412. 已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为A. m ≤1B. m <-1C. m >-1D. m ≥1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 381(2)x x-展开式中常数项为___________.14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+，则BP BC ⋅=_________. 15.平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为________.16.已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足112a =-,且1222n n a a n n++=+，则2n S = ，n a =__________.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan ()a b A a b => .（Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围. 18. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，22AB AD DC ===，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若4PA =，求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小. 19.（本小题满分 12 分）某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确 的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分；不选或选错得 0 分. 某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得 50 分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 20.（本小题满分 12 分）已知点(1,0),(1,0)M N -若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分 12 分）已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x < ，证明：121ex e x +>+. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数()|3||1|f x x x =+-- . （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求a b +的最小值.长春市2020届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B 【解析】{|||2}{|2,2}A x x x x x =≥=-或≤≥，2{|30}{|0,3}B x x x x x x =->=<>或，∴A B ={|3,x x >或x ≤2}-2. C 【解析】252i +i 2i z ==-+，则z 2i =--，其对应点为(2,1)--，在第三象限3. C 【解析】01,1,0a b c <<><，∴c a b <<4. C 【解析】=∴|1|2b +=∴13b b ==-或5. D 【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.6. A 【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则12αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=- 7. D 【解析】①正确； ② 错误；③错误；④正确8. A 【解析】 2210661164a a a a =⨯==∴，∴664b a ==，1161144S b ==9. C 【解析】由2sin(0)1ωϕϕ⋅+=π∴=6，由112sin()0212ωπϕω⋅+==∴即2sin(2)6y x π=+，横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6y x π=+，即为()f x 解析式. 10. B 【解析】由(2)()0f x f x ++=得函数的周期为4，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6x ∈时，22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+此时()f x 的最小值为(5)1f =-.[法2：由周期为4，()f x 在[0,2]上的最小值即为()f x 在[4,6]上的最小值]11. C 【解析】椭圆的右焦点为(1,0)，∴12p =∴2p =，||1cos60p AF =-︒，||1cos60pBF =+︒,∴||10.53||10.5AF BF +==-.12. C 【解析】21()(2)e x f x x -'=-∴()f x 在上递减，在)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又(1)1f =-，1f <-，(2)0f =∵(1)1f '=-∴m >-1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分） 13. 112【解析】由3883(8)1881(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x C x x----+=-=-有3(8)0r r --=得6r =∴6866782(1)112T C -=-=14. 2【解析】112(())()()()333BP BC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ⋅=+-⋅-=-⋅- 221248122233332AC AB AC AB =+-⋅=+-⨯⨯= 15. 20π【解析】 取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ,则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，121O E O E ==，连OE ，在Rt △1O OE中，1OO =，在Rt △1O OA中，1O A =得OA =20π.16.221n n +，1(1)(1)n n n -++【解析】由1222n n a a n n ++=+得21222(21)2(21)n n a a n n -+=-+-211(21)(21)2121n n n n ==--+-+∴2nS =1113-+1135-+…+112121n n --+1121n =-+. 由111212a =-=-⨯递推得277623a ==⨯，311111234a =-=-⨯，421212045a ==⨯，归纳可得1(1)(1)n n n -++.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =， 由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<，因此sin()124A π<+<，即2010L <<+（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面. （6分） （Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立坐标系. 可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ， (0,1,0)CD =-，(2,0,2)CE =-，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =； 平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =；因此1212||cos ||||2n n n n θ⋅==⋅. 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=. （4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ， 则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=选择题所得分数为X 的数学期望为3EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ， 22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得22(34)30t y +--=，即12234y y t+=+，122334yy t -=+.AOB ∆面积可表示为1211||||2AOB S OQ y y =⋅-=△216234t ==+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++， 当且仅当u =3t =±时等号成立，因此AOB ∆l的方程为3x y =±. （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>， 可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=.则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--.（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2.（10分）。