初三数学总复习二次函数

初三数学二次函数二次函数是数学中的重要概念之一，在初三数学学习中也非常关键。

本文将介绍二次函数的定义、性质、图像以及与二次函数相关的一些重要知识点。

一、二次函数的定义和性质二次函数是指变量的二次多项式表达式，通常可写为f(x) = ax² + bx + c，其中a≠0。

其中a、b、c分别是二次函数的系数。

二次函数的定义域是实数集。

根据二次函数的定义，我们可以得到以下性质：1. 二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

2. 当a>0时，二次函数的图像开口向上，对应的抛物线开口朝上；当a<0时，二次函数的图像开口向下，对应的抛物线开口朝下。

3. 如果a>0，二次函数的图像在x轴上的最低点为顶点，表示为V(a, -D)；如果a<0，二次函数的图像在x轴上的最高点为顶点，表示为V(a, -D)。

4. 二次函数的对称轴是通过顶点的直线x = -D/2a，顶点是对称轴上的唯一点。

5. 二次函数的自变量x的取值范围是实数集，因此可以取任意实数值。

6. 二次函数的值域是由对称轴决定的，即y轴的值大于或等于（或小于或等于）顶点y坐标。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，其形状由a的正负决定。

当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

图像的顶点坐标为V(a, -D)，D为抛物线与x轴的交点的y坐标。

我们可以通过求解一元二次方程来确定顶点坐标。

顶点左右两侧的点对称，也就是顶点关于对称轴的对称点。

三、与二次函数相关的一些重要知识点1. 二次函数的零点是函数图像与x轴的交点的横坐标，可以通过解二次方程求得。

当二次函数有两个不同的零点时，图像与x轴交于两点；当二次函数有一个重根时，图像与x轴交于一个点。

2. 二次函数的最值是函数图像的最高点或最低点的纵坐标，可以通过顶点坐标求得。

当a>0时，函数的最值是最低点的纵坐标，当a<0时，函数的最值是最高点的纵坐标。

初三数学《二次函数》考点整理与例题解析二次函数重难点分析:1、二次函数的图像2、二次函数的性质以及性质的综合应用3、二次函数的应用性问题：①面积最值问题②高度、长度最值问题③利润最大化问题④求近似解知识点归纳：1、二次函数的概念y=ax2+bx+c(a≠0)2、求二次函数的解析式一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a（x+m）2+k交点式y=a（x-x1）(x-x2)3、二次函数的图像和性质当a>0时，图像开口向上，有最低点，有最小值当a<0时，图像开口向下，有最高点，有最大值顶点式对称轴：直线x=-m一般式对称轴：直线x=-b/2a交点式对称轴：直线x=（x1+x2）/24.二次函数图像的平移函数y=a（x+m）2+k的图像，可以由函数y=ax2的图像先向右（当m<0时）或向左（m>0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到5、抛物线与系数的关系二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数?= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

?= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

?= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识拓展：初中数学最重要的部分，在中考中占的比重大，跟其他知识点联系多，以数形结合的题型考查几何，解方程、代数等都相互联系，知识点多题型多变，压轴题多以此为出题点1、考查形式：以选择题、填空题形式考察二次函数图像的性质，以解答题形式考察以二次函数为载体的综合题。

2、考察趋势：二次函数图像与系数的关系，二次函数的应用仍是重点3、二次函数求最值的应用：依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题（对于二次函数最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊约定，结合图像进行理解）经典例题。

初三上册数学二次函数知识点(5篇)1.初三上册数学二次函数的定义篇一一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数。

注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数;(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数。

2.初三上册数学二次函数y=ax2+c的图象与性质篇二(1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定。

(2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y 轴。

当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c.在y轴左侧，y随x的增大而减小;在y轴右侧，y随x增大而增大。

当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c.在y轴左侧，y随x的增大而增大;在y轴右侧，y随x增大而减小。

(3)抛物线y=ax2+c与y=ax2的关系。

抛物线y=ax2+c与y=ax2形状相同，只有位置不同.抛物线y=ax2+c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到.当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动。

3.初三上册数学二次函数的平移规律口诀篇三上加下减，左加右减y=a(x+b)2+c，是将y=ax2的二次函数图像按以下规律平移(1)c>0时，图像向上平移c个单位(上加上)。

(2)c<0时，图像向下平移c个单位(下减)。

(3)b>0时，图像向左平移b个单位(左加)。

初三数学知识点归纳二次函数与二次方程二次函数与二次方程是初三数学中重要的知识点之一。

二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

而二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程。

本文将对二次函数与二次方程的定义、特征、图像及解法进行归纳，帮助初三学生更好地理解和掌握这两个知识点。

一、二次函数二次函数是以x的平方为最高次幂的函数，它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的定义域是一切实数，值域根据二次函数的开口方向和y轴的截距情况而定。

1. 开口方向二次函数的开口方向由系数a的正负决定。

当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。

2. 零点与顶点二次函数的零点（又称根）是函数图像与x轴的交点，也就是使得f(x) = 0的x值。

二次函数的顶点是函数图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时），顶点的坐标可以通过求解二次函数的轴对称线与x轴的交点得到。

3. 对称轴与对称性二次函数的对称轴是通过顶点与y轴垂直的直线。

由于二次函数的图像关于对称轴对称，所以具有对称性。

二、二次方程二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。

二次方程的解可以通过配方法、因式分解、求根公式等方法求得。

1. 完全平方式当二次方程的解为两个相等的实数根时，我们可以通过完全平方式求解。

完全平方式的关键是将二次方程转化为一个平方的形式。

2. 因式分解当二次方程的根可以因式分解为两个一次方程时，我们可以通过因式分解的方法求解。

因式分解方法将二次方程转化为两个一次方程的乘积形式。

3. 求根公式一般情况下，我们可以通过求根公式来求解二次方程。

二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

初三数学二次函数知识点归纳在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，也是进一步深入学习代数的基础。

学好二次函数的性质和运用对于学生的数学能力的提升至关重要。

下面将对初三数学中二次函数的知识进行归纳总结。

一、二次函数及其图象的性质1. 二次函数的定义二次函数是一个以x的二次幂作为最高次幂的多项式函数，一般的二次函数表达式为： y = ax^2 + bx + c （其中 a, b, c 为常数且 a ≠ 0）。

2. 二次函数图象的平移二次函数图象的平移可以通过改变 a, b 和 c 的值来实现。

当将 a 的值变为 a'，则图象的开口方向和大小会有相应的改变；当将 b 的值变为 b'，则图象在 x 轴方向上平移；当将 c 的值变为 c'，则图象在y 轴方向上平移。

3. 二次函数图象的对称轴二次函数图象的对称轴是一个线段，记作 x = -b/2a，对称轴将图象分为两个对称的部分。

4. 二次函数的顶点二次函数的顶点就是图象的最高点或最低点，所有的二次函数图象都有一个顶点。

5. 二次函数图象的开口方向二次函数图象的开口方向由二次项的系数 a 的正负决定。

当 a > 0 时，图象开口向上；当 a < 0 时，图象开口向下；当 a = 0 时，不再是二次函数。

二、二次函数的求解1. 二次函数的零点二次函数的零点是指函数曲线与 x 轴相交的点，也就是函数的根。

求解二次函数的零点可以通过以下步骤进行：首先，将函数表达式设置为 y = 0；然后，应用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 计算 x 的值。

2. 二次函数的最值二次函数的最值通过求解顶点来确定。

当a > 0 时，函数有最小值，且最小值为顶点的纵坐标；当 a < 0 时，函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标。

三、二次函数的应用1. 抛物线二次函数的图象通常被称为抛物线。

第八讲 二次函数一、课标下复习指南1．二次函数如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)． 2．二次函数的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．由y ＝ax 2(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的顶点是)44,2(2a b ac a b--，对称轴是直线abx 2-=，顶点必在对称轴上；(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＞a b2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝ab2-，y 有最小值a bac 442-；若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-，y 随x 的增大而增大；当a bx 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝ab2-时，y 有最大值a bac 442-；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的情况： 当∆＝b 2－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(2aacbb ---和)0,24(2aacbb -+-，这两点的距离为||42a ac b-；当∆＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)0,2(ab -；当∆＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点．4．抛物线的平移抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定． 二、例题分析例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．注意 列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)； (2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，23)；(3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6．说明 根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，顶点式y ＝a (x ＋m )2＋n (a ≠0)，或双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)有助于简化计算过程．例3 (1)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0； ④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)， 其中正确的结论有( )． A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个说明 注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．例4 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )A ．47->k B ．47->k 且k ≠0 C ．47-≥k D ．47-≥k 且k ≠0说明 抛物线与坐标轴的交点问题要注意： ①方程类型．②一元二次方程两根相等⇔抛物线与x 轴有一个公共点； 一元二次方程两根不等⇔抛物线与x 轴有两个公共点； 一元二次方程无实根⇔抛物线与x 轴无公共点．例6 两个不同的二次函数y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )． A ．0B ．－1C ．2D ．⋅41例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________； ②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________； ③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________； ④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________． 例7(1)(2，0)， y ＝2x 2－8x ＋8，a ＝－4，y ＝2x 2－8x －4；(2)可先求出图8－5中抛物线为y ＝x 2－4x ＋3．①y ＝x 2＋4x ＋3；②y ＝－x 2＋4x －3；③y ＝x 2－12x ＋35；④y ＝－x 2＋4x －7．说明 方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a |是不变的，来寻求解决方法．方法二：若设所求抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则它关于y 轴的对称点为P 1(－x ，y )，关于x 轴的对称点为P 2(x ，－y )，关于直线x ＝4的对称点为P 3(8－x ，y )，关于直线y ＝2的对称点为P 4(x ，－4－y )，P 1，P 2，P 3，P 4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．例8 如图8－6，二次函数y ＝xm x )14(412++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)； (2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x9=的图象相交于点C ，且∠BAC 的正弦值为53，求这个二次函数的解析式．例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．思考若过点A的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式?例10已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)，C(5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F)，最后沿直线运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．四、课标考试达标题(一)选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值如果总是负数，那么a，b，c满足( )．A．a＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，b2－4ac＞0 C．a＜0，b2－4ac＞0 D．a＜0，b2－4ac＜02．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图8－14所示，则y＝ax－b的图象一定经过( )．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．A．－4＜x＜1 B．－3＜x＜1C．x＜－4或x＞1 D．x＜－3或x＞14．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．A．②④B．①④C．②③D．①③5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )．A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2 C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2＋x＋27．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )．A．4元或6元B．4元C．6元D．8元(二)填空题8．抛物线y＝x2－2x－8的对称轴方程为______，顶点为______，与x轴的交点为______，与y轴的交点为______．9.已知抛物线y＝x2＋p x＋q与x轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是_．10．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为(1，2)，与y轴的交点为(0，3)，则a＋b＋c＝______．11．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______．12．若抛物线y＝x2＋px＋q与x轴的交点为(p，0)，(q，0)，则该抛物线的解析式为______．13．若抛物线y＝x2＋bx＋5的顶点在x轴上，则b的值为______．(三)解答题14．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝)1<mm与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，0(+5<求线段MN的长(用含m的代数式表示)；(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．。

初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；九矿新概念辅导班 二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数的基本形式1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。

2. 二次函数的顶点二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，抛物线的对称轴与x轴的交点称为顶点。

顶点的横坐标为：-b/2a; 纵坐标为：f(-b/2a)。

3. 二次函数的开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

4. 二次函数的轴线二次函数y=ax^2+bx+c的图象的对称轴，称为轴线，其方程为：x=-b/2a。

5. 二次函数的零点二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点，称为零点。

二次函数的零点可以用求根公式或配方法求得。

6. 二次函数的图象二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，其形状由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；顶点坐标由b，c的值决定。

二、二次函数的性质1. 判断二次函数图象开口方向的方法当二次函数为y=ax^2+bx+c时，通过判断a的正负来判断开口方向。

如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。

2. 二次函数的最值二次函数的最大值或最小值为y的极值，可以通过求导数或直接利用顶点的纵坐标得出。

最值的性质有：当a>0时，最值为最小值；当a<0时，最值为最大值。

3. 二次函数的零点二次函数的零点即二次方程ax^2+bx+c=0的实根。

根据求根公式或配方法可以求得二次函数的零点。

4. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴即为x=-b/2a，顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。

5. 二次函数的图象二次函数的图象是一个抛物线，通过对称轴和顶点坐标可以直接绘制出抛物线的图象。

三、二次函数的应用1. 求二次函数的最值通过求导数或者用顶点坐标的纵坐标来求得二次函数的最值。

2. 判断二次函数的零点和对称轴通过求根公式可以求得二次方程的零点，通过a、b的值求得对称轴。

二次函数知识点总结微山县马坡一中 金沛勇一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)21． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

初三数学二次函数知识点有关初三数学二次函数知识点上加下减，左加右减y=a(x+b)2+c，是将y=ax2的二次函数图像按以下规律平移(1)c0时，图像向上平移c个单位(上加上)。

(2)c0时，图像向下平移c个单位(下减)。

(3)b0时，图像向左平移b个单位(左加)。

(4)b0时，图像向右平移b个单位(右减)。

二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c。

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax2+bx+c=0。

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。

当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到。

当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

当h0，k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象。

当h0，k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

因此，研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便。

2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b2]/4a)。

3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。

初三数学二次函数知识点总结初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k为常数。

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定了抛物线的开口方向，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

三、二次函数图象的平移平移二次函数的步骤为：确定顶点坐标，保持抛物线形状不变，将顶点平移。

具体平移方法为：向右（左）平移h个单位，向上（下）平移k个单位。

平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”。

四、二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²+bx+c的比较二次函数y=a(x-h)²+k和y=ax²+bx+c的区别在于表示方式不同，但它们的图象形状相同。

y=a(x-h)²+k更便于确定顶点坐标和对称轴，y=ax²+bx+c更便于确定一次项系数和常数项。

二次函数的特点和与其他函数的关系，如：设函数f(x)为一次函数，g(x)为二次函数，且在同一坐标系内，若f(x)和g(x)的图像均经过点(1,3)，则下列说法正确的是（）A．f(x)和g(x)的图像均经过点(2,6)B．f(x)和g(x)的图像均经过点(3,9)C．f(x)的图像经过点(2,6)，g(x)的图像经过点(2,5)D．f(x)的图像经过点(3,9)，g(x)的图像经过点(2,5)3．考查利用二次函数解决实际问题的能力，题的特点是给出具体的问题场景，需要学生根据题意列出方程并解答，如：一家餐馆销售汉堡，售价为每个3元，每天售出x个汉堡，该餐馆的总收入为y元．若这家餐馆每天的固定成本为32元，每售出一个汉堡的变动成本为1元，求这家餐馆每天售出多少个汉堡时，能收益最大？二次函数的解析式：二次函数的解析式由系数a、b、c决定，其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在y轴的位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置。

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a, b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b , c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22. 一次函数y ax bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a, b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

22. y ax c的性质:上加下减。

.2 ,3. y a x h的性质:左加右4. y a x h k的性质:2三、二次函数图象的平■移 1. 平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h , k ；⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到 h , k 处，具体平移方法如下:向右（h>0）【或左（h<0）平移|k|个单位b 心 —时, 2a2.平移规律在原有函数的基础上 概括成八个字“左加右减, h 值正右移，负左移; k 值正上移，负下移四、二次函数 2y a x h k 与 y ax 2从解析式上看，2y a x h k 与 y ax 到前者，即y a x2b4ac 2a4a b 2—，其中h六、二次函数y ax 2 bx c 的性质bx c 的比较bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得24ac b4a1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为b 2a顶点坐标为b 2a24ac b4a b 心—时, 2a y 随x 的增大而减小; b 心 —时, 2ay 随x 的增大而增大;2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为b 2a顶点坐标为b 2a4ac b 2 4a当x 旦时,2a22y 随x 的增大而增大；当 x 一时，y 随x 的增大而减小；当x —时，y 有最大值-^^ -------------------------------2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c ( a , b , c 为常数，a 0 )； 22. 顶点式：y a(x h) k ( a, h , k 为吊数，a 0);3. 两根式(交点式)：y a(xx i )(xx 2) (a 0,x 〔，x ?是抛物线与x 轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数aa 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.b 决定了抛物线的对称轴.(同左异右 b 为0对称轴为y 轴)y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况)：一元二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y ax 2 bx c 当函数值y 0时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当 b 24ac 0时，图象与x 轴交于两点Ax i , 0 , B x 2 , 0 (x ix 2),其中的x i,x 2是一元次方程ax 2 bx c 0 a 0的两根.. ② 当 0时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有 y 0； 2'当a 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 . 22.抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一正相交，交点坐标为 (0 , c)；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y x 2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, —11)B. (- 2, 7)C. (2, 11)D. (2, —3)2. 把抛物线y2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是()当a 0时，抛物线开口向上, 当a 0时，抛物线开口向下, 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3.常数项c⑴当c 0时，抛物线与⑵当c 0时，抛物线与 ⑶当c 0时，抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；y 轴交点的纵坐标为0;y 轴交点的纵坐标为负.c _一_2 _一_2 _2^ _2一A. y 2(x 1) B. y 2( x 1) C. y 2x 1 D. y 2x 113. 二次函数y 2x2 4x 1的图象是由y 2x2 bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ,c= 。