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§2.6 作用于曲面上的静水总压力
实际工程中有许多受压面都是曲面，如 弧形闸门，拱坝的挡水面等，而以母线 水平的二向曲面最为多见，且较为简单， 因此，我们首先分析作用在二向曲面上 的静水总压力的大小、方向和作用点。 所得结论也可推广于三向曲面。
一、静水总压力大小
作用于曲面上的静水总压力P由水平分力Px和垂 直分力Pz组成；
欧拉法把运动要素表示成空间坐标x、y、z和t的函数。
如：任一空间液体质点速度u在x、y、z方向的分量可以表示
成：
uuyx
Байду номын сангаас
ux (x, uy (x,
y, z,t) y, z,t)
uz uz (x, y, z,t)
x,y,z,t称为欧拉变数。
欧拉法
若t为常数，就描述了任意时刻各空间的流速组成的流速场；如x、y、 z是常数、t为变量，就描述了该空间上流速随时间的变化规律。
浮体的稳定性
由以上讨论知，要使船舶行驶是安全的，必须使其保持稳 定平衡，也就是说，重心C必须在定倾中心M点以下，即 m﹥e（或定倾高度m-e是正值）。
当船体倾角小于15°时：
m I0 V
I 0 ——浮面面积对其纵轴惯性矩；
V——船体的排水体积。
浮轴
稳定性概念 稳定性
第三章 液体一元恒定总流基本原理
§3.1概述
在自然界和工程实践中，液体常处于运动
状态，尽管液体的运动状态十分复杂，但液 体运动仍然遵循物体机械运动的普遍规律。
运动要素：表征液体运动的物理量称为运动
要素，如速度、加速度、动水压强等。 水动力学的基本任务就是研究这些运动要
素随时间和空间的变化规律。
§3.2 描述液体运动的两种方法
拉格朗日法（是跟追踪质点的一种方法）：
浮体的稳定性
图
当重心C低于浮心B时，船体处稳定平衡；(见 P55,2.31(b))
当重心C高于浮心B时：
定倾中心M高于重心C，处稳定平衡；(见 P56,2.32(b))
定倾中心M低于重心C，船体处不稳定平衡；(见 P56,2.32(C))
定倾中心M与重心C重合，G与不会形成力矩， 处随遇平衡。
ux
u y
uz
x
t y
t z
t
x(a, b, c, t )
t y(a, b, c, t )
t z (a, b, c, t )
t
3、加速度a（速度对时间t的一阶导数）
ax
ay
az
ux
t u y
t uz
t
2x
t 2 2 y
t 2 2z
t 2
欧拉法
欧拉法（属研究场的方法）
是研究液体质点通过各空间点时的运动特性。并不注重通 过这个空间的究竟是哪个质点以及该质点从哪里来到哪里去。
例：2.7，2.8，2.9。（P50~52）
§2.7 浮力和浮体的稳定
早在初中我们即已学过阿基米德定律— —物体在静止液体中所受浮力大小等于它所 排开的同体积的液体的重量（也适用于几何 形状不规则的物体和部分浸于液体中的情 况）。
浮力——物体受到的静水总压力 浮心——浮力作用线必然通过被物体所 排开液体体积的中心（即物体浸没部分分的 中心），此中心称为浮心。
注意：压力体的体积V是可以计算Pz的一块体积，而 不论液体位于曲面那一侧及压力体内是否有液体。
求水得总压Px力和为P：z 后按力的合成原理，作用于曲面上的静
P Px2 Pz2
静水总压力的作用方向
静水总压力的作用方向
P与水平面的夹角为
tan Pz
静水总压力作用点
Px
由 Px和 Pz作用线的交点m引一与水平面夹角 为 的线与曲面交点即为所求作用点。
以液体中每一个质点为研究对象，跟踪质点，把它们在运动中的状态记 录下来，从而得出整个液体的运动情况。
1、选取一座标系，初始时刻，液体质点的起始坐标为（a,b,c），不 同质点对应不同的a、b、c，当赋予a、b、c为一组确定值后，表示所跟踪 质点确定下来，由于质点是运动的，所以任一时刻t质点在空间所处的位 置还与时间t有关系。
质点的加速度等于速度对时间的全导数，因为位置坐标（x、y、z）也
是t的函数。因此u是t的复函数，按复函数的求导法，则：
ax
dux dt
u t
ux x
dx dt
ux y
dy dt
ux z
dz dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
同理：
ay
u y t
§2.7 浮力和浮体的稳定
浮心与重心不一定重合，只有当物体为均 质物体，而且整个物体都浸没在水中时，浮 心才与重心重合。
浮力与重力大小对比关系：
1、 Pz > G ； 2、 Pz = G ； 3、 Pz < G 。
浮体的稳定性
设计船舶、舰艇时，不但要求能浮在水 面上，而且要求有一定的稳定性，即船 舶受外力作用而倾斜后，有恢复到原来 平衡位置的能力。现以船舶的平衡状态 受到干扰后的情况，说明浮体稳定性的 判别：
浮体的稳定性
图
船体处于平衡状态时，作用力有：
G —— 船体自重及货物重量总和，作用线通 过船体及荷载总和的形心C
Pz —— 浮力，作用线通过浮心B。
G与 Pz大小相等、方向相反，作用于同一铅垂 线上，通过B和C的铅垂线O—O称为浮轴。
浮体的稳定性
图
当船体受到外力干扰发生倾斜后， 重由于力排G与开浮水力的p形z以状及发重生心改C变不，变浮，心但由是原 来的B移至B’, 过B’ 做一条铅垂轴交 浮轴于M点，该点称为定倾中心，BM 称为定倾半径，以m表示。浮心与重心 距离BC以e表示，称CM（m-e)为定倾 高度。
水平分力Px等于作用在该曲面的铅垂投影面积上 的静水总压力。二项曲面的铅直投影面是矩形平 面，故静水总压力的水平分力的大小、方向和作 用点可用前述解析法和压力图解法解。
铅的垂 重分 量力，其PZ等作于用该线曲通面过上压的力压体力的体重所心包，含方的向液铅体直 指向受压面。
压力体的绘制
压力体曲面由下列各面围成： 曲面本身； 通过曲面边界的铅垂面； 自由液面或其延长。
即质点在空间的坐标x、y、z
x x(a,b,c,t)
y
y(a, b, c, t )
式中a,b,c，t为拉格朗日变数z z(a,b, c,t)
若a,b,c为常量，t为变量，得出跟踪质点的运动轨迹，若t为常数， a,b,c为变量，得出的是t时刻各个质点在空间的分布情况。
拉格朗日法
2、速度u（质点坐标对时间t的一阶导数）
