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弹性力学复习第一～四章

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弹性力学总结

弹性力学总结

弹性力学总结第一章绪论一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。

二、弹性力学的基本量1、外力（1）体力（2）面力2、内力——应力3、应变4、位移以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。

三、弹性力学中的基本假定1、连续性2、完全弹性3、均匀性4、各向同性以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。

5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。

习题举例：1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。

A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力；C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。

2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。

A．体力和应力；B．应力和面力；C．体力和面力；D．应力和应变。

3、重力和惯性力为（C ）。

A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。

4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。

A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。

5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。

A ．0lim V F f V∆→∆=∆，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ∆→∆=∆，-1-2L MT ； C ．0lim A F p A ∆→∆=∆，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ∆→∆=∆，-1-2L MT 。

6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。

A ．完全弹性；B ．连续性；C ．均匀性；D ．各向同性。

7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。

A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形；D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。

弹性力学-第一章 绪论

弹性力学-第一章 绪论

第一章 绪论 §1-1 弹性力学的内容
（3）数学理论基础 材力、结力 —— 常微分方程（4阶，一个变量）。 弹力 —— 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。
数值解法：能量法（变分法）、差分 法、有限单元法等。
3. 与其他力学课程的关系
弹性力学
只用精确的数学推演而不引用关于
数学弹性力学； 形变状态或应力分布的假定 应用弹性力学。 近似材力，使用假定，简化推演
用矩阵表示： yxx
xy y
xz yz
z
zx
zy
zx zy z
其中，只有6个量独立。
xy yx yz zy 剪应力互等定理
结力: 在材力的基础上研究杆件组成的结构即杆件系 统在外力或温度作用下的应力、变形、位移等 变化规律。解决杆系的强度、刚度、稳定性问 题
弹力: 研究非杆状的结构如板、壳、堤坝、地基和挡 土墙等弹性实体结构在外力或温度作用下的应 力、变形、位移等分布规律。解决弹性体的强 度、刚度、稳定性问题。
第一章 绪论 §1-1 弹性力学的内容
第一章 绪论 §1-2 弹性力学中的几个基本概念
(2) 面力
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
lim T
F —— 面力分布集度（矢量）
S0 S
z
T Xi Yj Zk
F
Z
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
X S Y
k
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕) i O j
ΔF n
P
(法线)
ΔA
第一章 绪论 §1-2 弹性力学中的几个基本概念
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态

弹性力学题库_

弹性力学题库_

弹性力学题库_弹性力学题库第一章绪论1、所谓“完全弹性体”是指（B）。

A、材料应力应变关系满足虎克定律B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关C、本构关系为非线性弹性关系D、应力应变关系满足线性弹性关系2、关于弹性力学的正确认识是（A）。

A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D）。

A、杆件B、板壳C、块体D、质点4、弹性力学研究物体在外力作用下，处于弹性阶段的应力、应变和位移。

5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题；并对杆状结果进行精确分析，以及验算材力结果的适用范围和精度。

与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？答：1）研究对象更为普遍；2）研究方法更为严密；3）计算结果更为精确；4）应用范围更为广泛。

6、材料力学研究杆件，不能分析板壳；弹性力学研究板壳，不能分析杆件。

（×）改：弹性力学不仅研究板壳、块体问题，并对杆件进行精确的分析，以及检验材料力学公式的适用范围和精度。

7、弹性力学对杆件分析（C）。

A、无法分析B、得出近似的结果C、得出精确的结果D、需采用一些关于变形的近似假定8、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C）A、材料力学B、结构力学C、弹性力学D、塑性力学解答：该构件为变截面杆，并且具有空洞和键槽。

9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（B ）。

A、任务B、研究对象C、研究方法D、基本假设10、重力、惯性力、电磁力都是体力。

（√）11、下列外力不属于体力的是（D）A、重力B、磁力C、惯性力D、静水压力12、体力作用于物体内部的各个质点上，所以它属于内力。

（×）解答：外力。

它是质量力。

13、在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。

《弹性力学》习题库解读

《弹性力学》习题库解读

例2.7.1
图示矩形截面水坝，其右侧受静水压 力，顶部受集中力作用。试写出水坝 的应力边界条件。 左侧面： x h
l 1, m 0
fx f y 0
x f x 0, f y p( x) p0 l
代入边界条件公式，有
y

l
C
x 0 xy (1) 0 y (1) yx 0 p( x)

xy y 0
0
x y y0 p( x) p0 l
例 2.6.3
沿 z 向均不变化，只有平面应力分量 x , y , xy ，且
仅为 x，y 的函数的弹性力学问题，因此，此问题是 平面应力问题。
例 2.1.2
（本章习题2－1） 如图2－14，试分析说明，在不受任何面力作 用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近 于平面应力的情况。
x 答：在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层 z Oy
2 2
B
0
°
1 0 (0 σ x ) 2
x
0
A
x 2 0
例 2.3.1
（1）求主应力的大小及方向
x 2 0 , y 0, xy 0
1 x y x y 2 xy 2 2 2
中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在 薄层内所有各点都有 z zx zy 0，只存在平 面应力分量 x , y , xy ，且它们不沿z方向变化，仅 为x、y的函数。可以认定此问题是平面应力问题。 图 2-14
例 2.1.3
如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是， 则是平面应力问题，还是平面应变问题？

弹性力学1--4章典型题目答案

弹性力学1--4章典型题目答案

【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。

【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。

当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。

面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。

由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。

正的应力正的面力【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。

【解答】xyxfyfxfyfxfyfyfxfOz【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。

【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有===z xz yzσττ，只存在平面应力分量,,x y xyσστ，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数。

可以认为此问题是平面应力问题。

【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。

【解答】板上处处受法向约束时0z ε=，且不受切向面力作用，则0xz yz γγ==(相应0zx zy ττ==)板边上只受x ，y 向的面力或约束，所以仅存在,,x y xy εεγ，且不沿厚度变化，仅为x ，y 的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。

【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。

试根据相应的物理方程来解释这种现象。

【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。

弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)

弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

弹性力学总复习

弹性力学总复习

（1） 已知一点的应变 x , y , xy ，可计算任意方向的
应变 N 。 N 的最大值、最小值。主应变、主应
变方向等。
（2）已知一点任意三方向的应变 N1, N 2 , N3，可求得
该点的应变分量 x , y , xy 。
NN21
（2）若： qb 0(而qa 0)
r


b2
r2 b2
a2
1 qa (
1
0)
（压应力）


b2
r2 b2
a2
1
qa ( 0)
1
（拉应力）
r
（3）若： qa 0, (qb 0)
r


1 1

a2
r2 a2
b2
qb ( 0)
（压应力）


1 1
（4－6）
r

1 r

r

1 r2
2 2


2
r 2
r


r

1 r


（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
y
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
yx
规定使得单元体顺时的剪应力τ为

弹性力学复习

弹性力学复习

y
1 yz 2
2)转轴时应变分量的变换
ij ij nii n jj
3)主应变 应变张量不变量 3 J1 2 J 2 J3 0 x J1 x y z
J 2 y z z x x y 1 2 2 2 ( yz xz xy ) 4 1 1 x xy xz 2 2 1 1 J 3 xy y yz 2 2 1 1 xz yz z 2 2
一、基本理论
几何方程
u x x v y y w v yz y z u w zx z x
z
w z
xy
v u x y
1 ij (ui , j u j ,i ) 2
位移边界条件
uu vv ww
在Su上
外力在任意一组可能位移上做的功等于任意一组静 力可能的应力在与上述位移相应的可能应变上做的功。
一、基本理论
功的互等定理（贝蒂互换定理）
1 2 1 2 2 1 2 1 F u d V f u d S F u d V f i i i i i i i ui dS V S V S
x xy Fx 0 x y y xy Fy 0 y x
应力边界条件
l ( x ) s m( yx ) s f x m( y ) s l ( xy ) s f y
二、重要问题
应力函数解法
22U ( x, y) 0
zx ＝ xz
应力张量为二阶张量。 应力张量为对称张量。 一点的应力状态完全 由应力张量确定。
xy ＝ yx yz ＝ zy
一、基本理论
2）转轴公式

弹性力学复习提纲

弹性力学复习提纲

h
γy
h
y
6、下列应变或应力分量是否可能成为弹性力学问题中的应变、应力分量？ （1） x ay 2
y bx 2
xy a b）xy （
2 2 （2） x A( x y )
y B( x 2 y 2 )
xy Cxy
（3） x Ax By
2、考察应力函数 ay 3 在图示矩形板和坐标系中能解决什么问题。（体力
不计）
第四章
平面问题的极坐标解答
一、极坐标中的平衡微分方程
极坐标轴的正方向规定；极坐标下正面与负面规定；极坐标下体力、面力、 应力、变形、位移的正负规定。
二、极坐标中的几何方程和物理方程 三、极坐标中的应力函数与相容方程 1、掌握直角坐标轴与极坐标轴的对应关系；直角坐标与极坐标的关系。 2、当不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求解一个应
七、圆孔的孔口应力集中
了解应力集中的基本概念、孔口应力集中问题的解题思路和解题步骤、 了解应力集中对工程构件的影响及在工程上的应用。 八、半平面问题 熟悉半平面问题中的边界和圣维南原理的特殊处理。
例 题
1、写出下列问题的边界条件
2、作用，试导出其应力解答。
验证该公式是否满足平衡方程和边界条件，并据此导出 y 的表达式。
8、检验下列应力分量是否是图示问题的解答。
y2 x 2 q b
y xy 0
9、考察应力函数： Ax 2 y 3 By 5 Cy 3 Dx 2 y
为使 成为重调和函数，试确定系数A、B、C、D之间的关系。
六、边界条件 1、位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件；
2、当边界面为坐标面时，边界条件的简化；

（整理）弹性力学第四章应力和应变关系

（整理）弹性力学第四章应力和应变关系

（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。

由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。

应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。

对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。

对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。

分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。

⼆、重点1、应变能函数和格林公式；2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。

§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。

同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。

借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。

本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。

根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。

因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。

弹性力学-第四章-本构关系

弹性力学-第四章-本构关系

11
Chapter 5.2
§4-3 应变能和应变余能
正应力 11 仅在正应变 11 上做功，其值为：
d A 1 0 1 11 1 d x 2 d x 3d 1 1 d x 1 0 1 11 1 d 1 1 d V
其他应力分量 ij 也都只与之对应的应变分量 ij 上
做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得
D 是四阶柔度张量。
Chapter 5.2
§4-2 广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。 • 弹性张量的Voigt对称性
C ijklC jiklC ijlkC klij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
2个
c 4 4c 1 1c 22 /2
金属
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
x c11x c12y c13z c14 xy c15 yz c16 zx y c21x c22y c23z c24 xy c25 yz c26 zx z c31x c32y c33z c34 xy c35 yz c36 zx xy c41x c42y c43z c44 xy c45 yz c46 zx yz c51x c52y c53z c54 xy c55 yz c56 zx zx c61x c62y c63z c64 xy c c 65 yzChapte6r65.1zx

弹性力学

弹性力学

弹性力学网络课程第一章绪论内容介绍知识点弹性力学的特点弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务弹性力学的研究方法内容介绍：一. 内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。

弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。

偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。

本章介绍弹性力学分析的基本假设。

弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。

由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。

课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。

目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。

如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。

二. 重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。

特点：弹性力学，又称弹性理论。

作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。

构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。

弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。

弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。

弹性力学复习第一～四章总结

弹性力学复习第一～四章总结
n max 1 2 n n min 2
最大最小切应力在与主应力成450的斜面上。
§2-3
平衡微分方程
平面问题的基本方程
x yx fx 0 x y
y y xy x
一、平面应力问题的基本方程
fy 0
运用基本假定: 几何方程
平面应力物理方程也可表示为：
E x ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
二、平面应变问题的基本方程
平面应变与平面应力问题的平衡微分方程和几何 方程完全相同 。 作代换
E E , 2 1 1
正负号。
§2-7
圣维南原理及其应用
圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面 力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢 量相同，对于同一点的主矩也相同），那么， 近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受 的影响可以不计。 利用圣维南原理，可为简化边界上的应力 条件提供极大的方便
圣维南原理的应用
fy
§2-2
平面问题中一点的应力状态
一 、任一面上的正应力σn和切应力分量τn
二、P点的主应力
若某一面上的τn ＝0， 该面为应力主 面，σn＝ σ即为主应力，该斜面的法线方向 即为P点的一个应力主向。
得：
过P点任意两个相互垂直的面上的正应力 之和始终保持不变，等于两个主应力之和。
三、主应力的方向
第1章
关键概念
绪 论
正面，负面，面力，体力，应力、应变、弹性、弹性体、均 匀性假设、连续性假设、各向同性假设、线弹性假设，小变 形条件
本章重点
1、弹性力学研究的内容 2、弹性力学的基本量 3、弹性力学的基本假设 4、各个基本假定在建立弹性力学基本方程时的用途

弹性力学复习资料

弹性力学复习资料

弹性⼒学复习资料1 最⼩势能原理等价于弹性⼒学基本⽅程中：平衡微分⽅程，应⼒边界条件。

2．⼀组可能的应⼒分量应满⾜：平衡微分⽅程，相容⽅程（变形协调条件）。

试简述⼒学中的圣维南原理，并说明它在弹性⼒学分析中的作⽤。

圣维南原理：如果物体的⼀⼩部分边界上的⾯⼒变换为分布不同但静⼒等效的⾯⼒（主⽮与主矩相同），则近处的应⼒分布将有显著的改变，但远处的应⼒所受影响可以忽略不计。

作⽤：（1）将次要边界上复杂的⾯⼒（集中⼒、集中⼒偶等）作分布的⾯⼒代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应⼒边界条件处理。

圣维南原理在弹性⼒学分析中作⽤：（1）近似列出复杂⾯⼒的应⼒边界条件；（2）将⼀⼩部分位移边界条件转化为应⼒边界条件问题。

4．圣维南原理的要点：（1）静⼒等效；（2）⼀⼩部分边界（次要边界）；（3）近处的应⼒明显受影响⽽远处应⼒的影响可忽略不计5．有限差分法的基本思想为：，在弹性⼒学变分解法中，位移变分⽅程等价于（平衡微分⽅程和静⼒边界条件），⽽应⼒变分⽅程等价于（应⼒协调⽅程和位移边界条件）。

弹性⼒学第⼀章绪论1弹性⼒学：研究弹性体由于受外⼒作⽤或温度改变等原因⽽发⽣的应⼒、应变和位移。

外⼒5弹性⼒学中主要引⽤的五个基本假定及各假定⽤途为：1）连续性假定、2）完全弹性假定3）均匀性假定 4）各向同性假定：5）⼩变形假定：在在这些假设下，弹性⼒学问题都转化为线性问题，从⽽可以应⽤叠加原理。

应⼒符号的规定为：正⾯正向、负⾯负向为正，反之为负。

1弹性⼒学平⾯问题包括平⾯应⼒问题和平⾯应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平⾯应⼒问题：所对应的弹性体主要为很薄的等厚薄板，其特征是：⾯⼒、体⼒的作⽤⾯平⾏于xy平⾯，外⼒沿板厚均匀分布，只有平⾯应⼒分量存在，且仅为x,y的函数。

⾯⼒体⼒都不沿厚度变化。

平⾯应变问题：所对应的弹性体主要为⽆限长的等截⾯柱体，其特征为：⾯⼒、体⼒的作⽤⾯平⾏于xy平⾯，外⼒沿z轴⽆变化，只有平⾯应变分量存在，且仅为x,y 的函数。

弹性力学总复习

弹性力学总复习

x
2c
y
3、三次式应力函数 面梁纯弯曲。
Φ=ay
3
，求解矩形截
o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
4、轴对称应力一般性解答 轴对称应力一般性解答 轴对称应力一般性
σρ =
1）轴对称应力 轴对称应力 轴对称
A
ρ
2
+ B(1 + 2 ln ρ ) + 2C ;
2
σϕ = −
A
τ ρϕ = 0
2力相应
应力函数Φ解法 五、常体力时引入Airy应力函数 解法 体力时引入 应力函数
∂4 ∂4 ∂4 1、 4 + 2 2 2 + 4 Φ = 0 、 ∂x ∂y ∂y ∂x
1 ∂ 1 ∂2 2 ∂2 ( 2+ ) Φ = 0; + ∂ρ ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2
∂2 ∂2 2 + 2 σx +σ y = 0 ∂x ∂y
(σ ρ ) s = f ρ ( s ) (τ ρϕ ) s = f ϕ ( s ) (σ ϕ ) s = f ϕ ( s )
3) 近似边界条件（圣维南原理）： (τ ) = f ( s ) 近似边界条件（圣维南原理）： 边界条件 ϕρ s ρ
∫−h / 2 −h / 2 h/ 2 h/ 2 ∫−h / 2 (σ x ) x=±l d y ⋅1⋅ y = ±∫−h / 2 f x ( y) d y ⋅1⋅ y(= M ), h/ 2 h/ 2 ∫−h / 2 (σ x ) x=±l d y ⋅1 = ±∫−h / 2 f y ( y) d y ⋅1(= FS ).

弹性力学总结与复习全文

弹性力学总结与复习全文

4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： r , , r
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
y
叠加法的应用
第七章 平面问题的差分解
（1）了解差分法的基本思想； （2）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
4. 半平面问题 P
O
y
r
rf ( ) x
q
O
r
y
r2 f ( )
M O
y
r
( ) x
q(x)
O
x
x
r
q aa
y r3 f ( )
O
x
r
y 0
y f ( y)
y xf ( y)
O
x
O
b
x
xl
g
gy
y
y 0
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
g
y
(x, y)
ax3 bx2 y cxy2 dy3
第四章 平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？ （圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）

弹性力学知识要点(1~3章)

弹性力学知识要点(1~3章)

ε 3 − J1ε 2 + J 2ε − J 3 = 0
J1 =θ =ε ii =ε1 + ε 2 + ε 3 1 2 2 2 J2 = − ε 23 − ε 31 (ε iiε jj − ε ij ε ij = ) ε11ε 22 + ε 22ε 33 + ε 33ε11 − ε12 2 = ε1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε1 = = ε ε1ε 2ε 3 J 3 det
∂ 2ε z ∂ 2ε x ∂ 2γ xz + 2 =， ∂x 2 ∂z ∂x∂z ∂ 2ε y ∂z 2 +
2 ∂ 2ε z ∂ γ yz ， = ∂y 2 ∂y∂z
∂ 2ε z ∂ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ( )= 2 + − ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x∂y
几何意义：变形前后均连续。对单元体来说，当单元变形不满足协调方程，则单元间会产生 裂缝。
弹性力学总任务
一、15 个基本变量[定义、含义、张量表示] 6 个应力分量 ji ；6 个应变分量 ji ；3 个位移分量 ui 二、15 个求解方程+2 种边界条件[应力边条、位移边条] 平衡方程（3 个） ： ji , j f i 几何方程（6 个） ： ij
i u
9、Laplace 算子 ∆ ： ∆ = ∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ = ei 熟悉张量的一些基本运算
1、如 n 为单位矢量， A 为二阶张量，试证明 n.A .n = n.A.n
T
2、设 a 为矢量， A 为二阶张量，试证明：
(1) a× A = −( A T ×a) T ，(2) A ×a = − (a × A T ) T

《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识

《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识

（五）小应变位移假设 物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因 而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不 考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可 以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微 分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比 如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三 个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来 探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提 出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章 弹性力学的基础知识
第 1 章 弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力 和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结 构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天 等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关 于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续 性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后 仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下， 平面界面变形以后可能不再保持平面，

弹性力学第1章--绪论

弹性力学第1章--绪论

材料性质假定
为什么要提出基本假定？ 为什么要提出基本假定？
任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓 住主要因素,从而建立计算模型,并归纳为学科的基本假定。
弹性力学中的五个基本假定。 弹性力学中的五个基本假定
关于材料性质的假定 材料性质的假定及其在建立弹性力学理论中的 材料性质的假定 作用： (1)连续性 连续性--假定物体是连续的。因此，各物理量可用连 连续性 续函数表示。 整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任 整个物体的体积都被组成物体的介质充满， 何空隙。 何空隙。 该假定在研究物体的宏观力学特性 宏观力学特性时，与工程实际吻 宏观力学特性 合较好；研究物体的微观力学性质 微观力学性质时不适用。 微观力学性质
作业(01)参考答案 参考答案 作业
1-1 试试举例说明什么是均匀的各向异性体 什么是非均匀的各向 试试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向 同性体,什么是非均匀的各向异性体。 同性体 什么是非均匀的各向异性体。 什么是非均匀的各向异性体 答：木材、竹材 木材、 混凝土结构是非均匀的各 木材 竹材是均匀的各向异性体；混凝土结构 混凝土结构 向同性体；岩石 岩石、各种复合材料 复合材料，如层合板、生物骨胳 层合板、 岩石 复合材料 层合板 生物骨胳是非均匀 的各向异性体。
第一节 弹性力学的内容
研究方法
如：梁的弯曲问题
材料力学结果
弹性力学结果
当 l >> h 时，两者误差很小
又如： 又如：变截面杆受拉伸问题
弹性力学以微元体为研 究对象，建立方程求解， 究对象，建立方程求解，得 到弹性体变形的一般规律。 到弹性体变形的一般规律。 所得结果更符合实际。 所得结果更符合实际。
第一节 弹性力学的内容

弹性力学总复习汇总

弹性力学总复习汇总
iji j
1111 22 2 2 33 3 3 2121 2 223 2 3 231 31
两正交线元之间的直角减小量为工程剪应变 t
t 2t 2 t 2ijit j 若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j) 其余的
方向余弦均为零，则由上式得 ij 2ij (i j)
3 12 2 3 0
1 ii 1 2 3
2
1 2
ii jj ijij
12 23 31
3 eijk1i2 j3k 123
分别称为第一，第二和第三应变不变量。
第三章 应变理论
dV ' dV
dV
由于
1 1 dx1 1 2 dx2 1 3 dx3 dx1dx2dx3
弹性力学与材料力学的区别
第二章 应力理论
1 应力和内力的概念 ，应力张量 2 斜面应力公式（柯西公式）：实质是四面体微元的平衡条件。
或 v v v j viij
即：
v1 v1 11v2 21v3 31
v2 v1 12 v2 22 v3 32
v3 v1 13 v2 23 v3 33
ij
2Gij
kkij
ij
1
E
ij
E
kk ij
x
1 E
[ x
y z
1
ExE源自x 2G x ;y
1 E
[ y
z
x
1 E
y
E
即
z
1 E
[ z
x y
1
E
z
E
xy
1 G
xy
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
y 2G y ;
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平面应力物理方程也可表示为：
E x ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
二、平面应变问题的基本方程
平面应变与平面应力问题的平衡微分方程和几何 方程完全相同 。 作代换
E E , 2 1 1
fx
在x＝±l 的次要边界上，列出三个主矢量和主 矩对等的积分边界条件：
圣维南原理推广
如果物体一小部分边界上的面力是一个 平衡力系，（主矢量为0，对于同一点的主 矩也为0），那么，这个面力就只会使近处 产生显著的应力，而远处的应力可以不计。
例题 写出图所示悬臂梁的应力边界条件（用直角坐标形式）
( y )
连续性,小变形,均匀性
x
u v u v ; y ; xy x y y x
运用基本假定: 物理方程
连续性,小变形,均匀性
1 x x y E


1 y y x E


xy
1 xy G
运用基本假定: 连续性,均匀性,完全弹性,各向同性,小变形
三 弹性力学的基本假定
（1）连续性假设 （2）线弹性假设 （3）均匀性假设 （4）各向同性假设 符合以上四个假定的物体称为理想弹性体。 （5）小变形假设 本课程所讨论的问题，都是理想弹性体的小变 形问题。
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题 平面应力问题，就是只有平面应力分量 （σx ,σy ,τxy）存在，且仅为x、y的函 数的弹性力学问题。 平面应变问题，就是只有平面应变分量 （εx ，εy ，γxy）存在，且仅为x、y的 函数的弹性力学问题。 总结：平面应力和平面应变问题是性质不 同的两类问题，但其共同特点是应力分量 和应变分量都只是x 、y的函数，与z坐标无 关，故统称为平面问题。
正负号。
§2-7 圣维南原理及其应用
圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面 力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢 量相同，对于同一点的主矩也相同），那么， 近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受 的影响可以不计。 利用圣维南原理，可为简化边界上的应力 条件提供极大的方便
圣维南原理的应用
fy

1


1 2
y 2 x 2
（2－20）
x y
2、应力表示的相容方程： 平面应力
f x f y 2 2 ( 2 2 )( y x ) (1 )( ) （2－21） x y x y
平面应变
2 2 1 f x f y （2－22） ( 2 2 )( y x ) ( ) 1 x y x y

( xy ) x 0 dy P
例题 写出图所示楔形体的应力边界条件（用极坐标形式）
, 0, 2
q,
, 0, 2
q,
§2-8 按位移求解平面问题 位移法：以位移分量为基本未知量进行求 解的方法。 以平面应力为例 基本未知量—位移分量 u、v 消去—应力分量和形变分量 导出—只含有位移分量的方程和相应的边 界条件 解出—位移分量，然后求出形变分量和应 力分量
1 2 x E x 1 y
物理方程：
1 2 y E
y 1 x
xy
1 xy G
在平面问题中，τyz=τzx=0,γyz=γzx=0
§2-4
边界条件
边界条件：表示在边界上位移与约束， 或应力与面力之间的关系。 位移边界条件 边界条件 应力边界条件 混合边界条件
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1
逆解法与半逆解法
多项式解答
一、逆解法
1、先设定满足相容方程的应力函数Φ
2 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2 2
0
2、根据φ 求应力分量
2 x 2 f x x, y 2 y 2 f y y, x
xy
2 xy
3、根据弹性体边界形状和应力边界条件求出边界面力。
( l x m xy ) s f x ( s ), ( m y l xy ) s f y ( s )
4、所设定的应力函数Φ，即为求解这类边界形状和边界面 力的应力函数。
二、半逆解法
1、针对求解的问题,根据弹性体的边界形状和受 力情况，假定部分或全部应力分量为某种函数，从 而推导出应力函数Φ的表达式；
1
物理方程
1 ( ) E 1 ( ) E 1 2(1 ) G E


1 u u u
二、 极坐标中的应力函数和相容方程
1、应力分量与应力函数的关系
（4）参考已得平面问题的结果提出假设。
第四章 平面问题的极坐标解答
一、基本方程
平衡微分方程
1 f 0
几何方程

u u 1 u
2 f 0
§2-9
按应力求解平面问题
相容方程
应力法：按应力求解的方法称为应力法。 基本未知量——应力分量 消去——位移分量和形变分量 导出——只含有应力分量的方程和相应的 边界条件。 解出——应力分量，然后求出位移分量和 形变分量。 按应力求解时，通常只求解全部为应力边 界条件的问题。
相容方程
1、用形变分量表示的相容方程（变形协调 方程） 2 x 2 y 2 xy
二、弹性力学的基本量的符号规定 1、外力的符号规定： 体力 f （面力
f
）在x、y、
z坐标轴上的投影fx、fy、fz （ f x , f y , f z ） 称为物体在P
点的体力（面力）分量，沿坐标轴的正向为正，沿
坐标轴的负向为负。
2、应力的符号 正面和负面：截面外法线与坐标轴正 方向一致，则该面为正面，反之，如 果截面外法线与坐标轴负方向一致， 则该面为负面。 应力的符号：正面上的应力沿坐标轴 正向为正，沿坐标轴的负向为负；负 面上的应力沿坐标轴负向为正，沿坐 标轴的正向为负。 即：“＋＋”＝“＋”；“－－”＝ “＋” “＋－”＝“－”；“－＋”＝ “－”
2、由相容方程，求出应力函数Φ的具体表达式； 3、由Φ求出σx、σy、τxy； 4、并考察σx、σy、τxy是否满足全部应力边界条件 （多连体还须满足位移单值条件）。
5、如果各方面的条件都能满足，就得到了正确的解 答，否则，就要另作假设，重新进行求解。
怎样寻找应力函数φ ?
一般而言，若采用多项式作为应力函数，可由 下述途径来试选应力分量的函数形式： (1) 根据材料力学的现有解答提出假设； （2）由边界受力情况提出假设； （3）用量纲分析方法提出假设；
z x o y
τyz
τyx
σy
3、形变：指形状的改变。
（1）线应变ε ：也称正应变，指各线段每单位长
度的伸缩。线应变以伸长为正，缩短为负。
（2）切应变γ ：各线段之间的直角的改变，用弧 度表示。切应变以直角变小为正，变大为负。 4、位移：位置的移动。物体中任意点P的位移在x、 y、z轴上的投影即位移分量，用u、v、w来表示。 符号规定：沿坐标正方向为正，沿坐标负方向为负。
设 σ1与 x 轴的夹角为α1
1 x tan1 xy
（ b）
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
tan 2 xy 2 y
σ1 的方向与σ2方向互相垂直
四、 最大与最小正应力
n max 1
n min 2
可见：两个主应力就是最大与最小的正应力 五、最大与最小的切应力
位移法以位移为基本未知量求解，归结在给定
边界条件下，求解以位移表示的平衡微分方程; 应力法以应力为基本未知量求解，归结为在 给定边界条件下，求解平衡微分方程和应力相容 方程。
§2-10 常体力情况下的简化
一、常体力下的相容方程
2 2 ( 2 )( x y ) 0 2 y x
§2-2 平面问题中一点的应力状态
一 、任一面上的正应力σn和切应力分量τn
二、P点的主应力
若某一面上的τn ＝0， 该面为应力主 面，σn＝ σ即为主应力，该斜面的法线方向 即为P点的一个应力主向。
得：
过P点任意两个相互垂直的面上的正应力 之和始终保持不变，等于两个主应力之和。
三、主应力的方向
2
xy
2 xy
2、应力函数表示的相容方程：
24 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
可写为：
或：
3、应力函数必须满足的条件 （1） 相容方程
24 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
（2-25）
（2） 边界条件
( l x m xy ) s f x ( s ) ( m y l xy ) s f y ( s )
（在sσ上） （2－15）
（3） 对于多连体还必须满足位移单值条件
在常体力情况下，弹性力学平面问题存在一 个应力函数Φ。按应力求解平面问题，可归结为 求解一个应力函数，它必须满足在区域内的相容 方程（2－25）和边界条件（2－15）；对于多连 体，还必须满足位移单值条件。
应力边界条件：
( p x ) s f x ( s),
x方向的 应力分 量
( p y ) s f y ( s ),
y方向的 应力分 量
在同一边界面上，应力分量的边界值等于对应 的面力分量。即：应力分量的绝对值等于面力分量 的绝对值；而面力分量的方向就是应力分量的方向，
并可按照应力分量的正负号规定来确定应力分量的