专题22与圆的有关解答题(共50题)-2021年中考数学真题分项汇编(解析版)【全国通用】

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题24圆的有关性质（共54题）一、单选题1．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（ ）A ．48︒B ．24︒C ．22︒D ．21︒【答案】D【分析】先证明,AB CD =再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．【详解】 解： 点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒， ,AB CD ∴=114221,22CED AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒ 故选：.D【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．2．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）A ．两人说的都对B ．小铭说的对，小燕说的反例不存在C ．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交AB 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，⊙AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt⊙AOC中，6OC===（厘米），⊙CD=OC+OD=16（厘米），⊙从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，⊙16÷16=1（厘米/分）．⊙“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．4．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB⊙CAB＝30°，则⊙ABC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得⊙AOB＝90°，⊙ABO＝⊙BAO＝45°，根据圆周角定理可得⊙COB＝2⊙CAB＝60°，⊙OBC＝⊙OCB＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，⊙OA ＝OB ＝1，AB⊙OA 2＋OB 2＝AB 2，⊙⊙AOB ＝90°，又⊙OA ＝OB ，⊙⊙ABO ＝⊙BAO ＝45°，⊙⊙CAB ＝30°，⊙⊙COB ＝2⊙CAB ＝60°，又⊙OC ＝OB ，⊙⊙OBC ＝⊙OCB ＝60°，⊙⊙ABC ＝⊙ABO ＋⊙OBC ＝105°，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 5．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：⊙在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ．⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】B【分析】 根据画图过程，得到OD =OC ，由等边对等角与三角形内角和定理得到⊙ODC =⊙OCD =70︒，同理得到⊙DOE =⊙DEO =40⊙，由⊙OCD 为⊙DCE 的外角，得到结果．【详解】解：⊙以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，⊙OD =OC ，⊙⊙ODC =⊙OCD ，⊙⊙AOB =40⊙，⊙⊙ODC =⊙OCD =118040702⨯︒-︒=︒， ⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，⊙DO =DE ，⊙⊙DOE =⊙DEO =40⊙，⊙⊙OCD 为⊙DCE 的外角，⊙⊙OCD =⊙DEC +⊙CDE ，⊙70⊙=40⊙+⊙CDE ，⊙⊙CDE =30⊙，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．6．（2021·海南中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ．若2BCD BAD ∠=∠，则DAE ∠的度数是（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒【答案】A【分析】 先根据圆内接四边形的性质可得60BAD ∠=︒，再根据圆周角定理可得90BAE ∠=︒，然后根据角的和差即可得．【详解】 解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180BCD BAD ∴∠+∠=︒，2BCD BAD ∠=∠，1180603BAD =⨯︒∴∠=︒， BE 是O 的直径，90BAE ∴∠=︒，906030DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在以AB 为直径的O 中，点C 为圆上的一点，3BC AC =，弦CD AB ⊥于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则CBF ∠的度数为（ ）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB AFB ∠=∠=︒，根据3BC AC =，可知ABC ∠、BAC ∠的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，AHC 为等腰三角形，再根据CAE BFG BCA ∽∽可求得CBF ∠的度数．【详解】解：⊙AB 为O 的直径，⊙90ACB AFB ∠=∠=︒，⊙3BC AC =，⊙=22.5ABC ∠︒，=67.5BAC ∠︒，⊙点H 是AG 的中点，⊙CE AH =，⊙CAH ACH ∠=∠，⊙CD AB ⊥，⊙AEC GCA ∽，又⊙,CAF CBF CGA FGB ∠=∠∠=∠，⊙AEC GCA GFB ∽∽，⊙90ACE ECB ABC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，⊙ABE ABC ∠=∠，⊙AEC GCA GFB ACB ∽∽∽，⊙22.5ABC ACE GAC GBF ∠=∠=∠=∠=︒，⊙=22.5CBF ∠︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】B【分析】 连接OD ，根据垂径定理得CD =2DE ，从而得ODE 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．解：连接OD ，⊙AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，⊙CD =2DE ，⊙2CD OE =，⊙DE =OE ，⊙ODE 是等腰直角三角形，即⊙BOD =45°，⊙BCD ∠=12⊙BOD =22.5°， 故选B ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键．9．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D【分析】 作OC ⊙AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出⊙A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．解：作OC ⊙AB 于C ，如图，则AC =BC ，⊙OA =OB ，⊙⊙A =⊙B =12（180°-⊙AOB ）=30°， 在Rt ⊙AOC 中，OC =12OA =9，AC ，⊙AB =2AC =又⊙12018180AB π⨯⨯==12π，⊙走便民路比走观赏路少走12π-米，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（ ）A ．70°B ．90°C ．40°D ．60°【答案】A直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ACB =90°，⊙在Rt ⊙ABC 中，⊙B =90°-⊙A =70°，故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．11．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B【分析】 根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：⊙AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ⊙12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ⊙tan =DE OEα ⊙=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DE OD α=⊙sin DE OD α=⊙22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE ODα= ⊙cos cos OE OD m αα==⊙AO DO m ==⊙cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；⊙2sin CD m α=，cos OE m α= ⊙2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．12．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B【分析】 连接AD ，由切线性质可得⊙ADB =⊙ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得⊙BAD =60°，易求得⊙ADE =72°，由AD=AE 可求得⊙DAE =36°，则⊙GAC =96°，根据圆周角定理即可求得⊙GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，⊙BC 与圆A 相切于点D ，⊙⊙ADB =⊙ADC =90°，在Rt⊙ADB中，AB=6，则cos⊙BAD=ADAB=12，⊙⊙BAD=60°，⊙⊙CDE=18°，⊙⊙ADE=90°﹣18°=72°，⊙AD=AE，⊙⊙ADE=⊙AED=72°，⊙⊙DAE=180°﹣2×72°=36°，⊙⊙GAC=36°+60°=96°，⊙⊙GFE=12⊙GAC=48°，故选：B．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得⊙BAD=60°是解答的关键．13．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，点P在AB上，则P∠的度数为（）A．30B．45︒C．60︒D．90︒【答案】B【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，⊙正方形ABCD 内接于O ，⊙90BOC ∠=° ⊙11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm ；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【详解】解：如图所示，CD ⊙AB 于点P ．根据题意，得AB =10cm ，CD =6cm ．⊙OC =5，CP =3⊙CD ⊙AB ，⊙CP =12CD =3cm ．根据勾股定理，得OP ．故选B ．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．15．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ）A ．9.6B ．C ．D ．19【答案】A【分析】 先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC⊙AB ⊙CD , OE ⊙AC⊙ AE =EC ，CF =FD⊙OE =3，OB =5⊙OB =OC =OA =5⊙在Rt ⊙OAE 中4AE ===⊙AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-22228(5)5x x -+=-x =1.4在Rt ⊙OFC 中， 4.8FC ==⊙29.6CD FC ==故选：A【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键16．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒【答案】C【分析】由切线的性质得出⊙OAP =⊙OBP =90°，利用四边形内角和可求⊙AOB =110°，再利用圆周角定理可求⊙ADB =55°，再根据圆内接四边形对角互补可求⊙ACB ．【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ，⊙AP 、BP 是切线，⊙⊙OAP =⊙OBP =90°，⊙⊙AOB =360°-90°-90°-70°=110°，⊙⊙ADB =55°，又⊙圆内接四边形的对角互补，⊙⊙ACB =180°-⊙ADB =180°-55°=125°．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA 、OB ，求出⊙AOB ．17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）A ．3B ．CD 【答案】D【分析】 由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．【详解】解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆 由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴== 11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形∴60ACP ∠=︒ ∴在Rt APC ∆中，tan 603AP CP =⨯︒=12APC S AP CP ∆∴=⨯==【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．18．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）A B ．2 C D ．4 【答案】A【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A ，D ，F ，E 四点共圆，⊙DFE =90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB⊙在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，⊙AG =DG =EG又⊙AG =FG⊙点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径⊙⊙DFE =90°⊙在Rt ⊙ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，⊙CF =BF =12BC =，FN =FM =52 又⊙FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，90BAC ∠=︒⊙四边形NAMF 是正方形⊙AN =AM =FN =52又⊙90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒⊙NFD MFE ∠=∠⊙⊙NFD ⊙⊙MFE⊙ME =DN =AN -AD =12 ⊙AE =AM +ME =3⊙在Rt ⊙DAE 中，DE故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．19．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,6【答案】D【分析】 先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可【详解】解：由题意可知：AC =AB⊙()8,0A ，()2,0C -⊙OA =8，OC =2⊙AC =AB =10在Rt ⊙OAB 中，6OB ==⊙B (0，6)故选：D【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键20．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，O 的半径OB 为4，OC AB ⊥于点D ，30BAC ∠=︒，则OD 的长是（ ）A B C ．2 D ．3【答案】C【分析】 根据圆周角定理求出⊙COB 的度数，再求出⊙OBD 的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD 的长度．【详解】⊙ ⊙BAC =30°，⊙⊙COB =60°，⊙⊙ODB =90°，⊙⊙OBD =30°，⊙OB =4，⊙OD =12OB =142⨯=2． 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．21．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上．若()2,0A ，()4,0D ，以О为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE 、则BED ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】C【分析】连接OB ，由题意易得⊙BOD =60°，然后根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：连接OB ，如图所示：⊙()2,0A ，()4,0D ，⊙2,4OA OB OE OD ====， ⊙12OA OB =， ⊙四边形OABC 是矩形，⊙90OAB ∠=︒，⊙30OBA ∠=︒，⊙9060BOD OBA ∠=︒-∠=︒， ⊙1302BED BOD ∠=∠=︒； 故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．22．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ．【详解】解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点，⊙⊙ACB =90°，⊙⊙ABC =25°，⊙⊙BAC =90°-25°=65°，⊙⊙BDC =⊙BAC =65°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．23．（2021·河北中考真题）如图，等腰AOB 中，顶角40AOB ∠=︒，用尺规按⊙到⊙的步骤操作： ⊙以O 为圆心，OA 为半径画圆；⊙在O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；⊙作AB 的垂直平分线与O 交于M ，N ；⊙作AP 的垂直平分线与O 交于E ，F ．结论⊙：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论⊙：O 上只有唯一的点P ，使得OFM OAB S S =扇形扇形．对于结论⊙和⊙，下列判断正确的是（ ）A ．⊙和⊙都对B ．⊙和⊙都不对C．⊙不对⊙对D．⊙对⊙不对【答案】D【分析】⊙、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；⊙、在确定点P的过程中，看⊙MOF=40°是否唯一即可．【详解】解：⊙、如图所示．⊙MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，⊙MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．⊙OM=ON，OE=OF．⊙四边形MENF是平行四边形．⊙线段MN是⊙O的直径，⊙⊙MEN=90°．⊙平行四边形MENF是矩形．⊙结论⊙正确；⊙、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，⊙AP=AB，⊙AB AP=．⊙MN⊙AB，EF⊙AP，⊙1122AE AP AN AB ==，．⊙AE AN=．⊙1===202AOE AON AOB∠∠∠．⊙40EON =∠．⊙=40MOF EON =∠∠．⊙扇形OFM 与扇形OAB 的半径、圆心角度数都分别相等，⊙OFM OAB S S =扇形扇形．如图3，当点P 在直线MN 右侧且BP =AB 时，同理可证：FOM AOB S S =扇形扇形．⊙结论⊙错误．故选：D【点睛】本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．24．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】A【分析】 先根据垂径定理可得4=AD ，再利用勾股定理可得5OE OA ==，然后根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：,8OE AB AB ⊥=，142AD AB ∴==， 3OD =，5OA ∴=，5OE ∴=，OE AB ⊥，90A ADO BC =︒∠∴∠=，//OE FC ∴，又OA OC =，OE ∴是ACF 的中位线，210FC OE ∴==，故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．25．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若90AOC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的大小为（ ）A ．25︒B ．30C ．35︒D ．40︒【答案】B【分析】首先根据圆周角定理求得BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠-∠即可．【详解】解：⊙30BAC ∠=︒⊙⊙BOC=223060BAC ∠=⨯︒=︒，⊙90AOC ∠=︒，906030AOB AOC BOC ， 故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键．26．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒【答案】B【分析】 直接利用圆周角定理即可得．【详解】解：54BAC ∠=︒，∴由圆周角定理得：2108BOC BAC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．27．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒【答案】B【分析】将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC DC DE EB ===，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⊙B 的度数．【详解】解：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．⊙⊙O 与⊙O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⊙ABC ，⊙AC CD =．同理：DE CD =．又⊙F 是劣弧BD 的中点，⊙DE BE =．⊙AC DC DE EB ===．⊙弧AC 的度数=180°÷4=45°．⊙⊙B =12×45°=22.5°． ⊙α所在的范围是22.322.7α︒<<︒；故选：B ．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．二、填空题28．（2021·黑龙江中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦AC 的长为5cm ，点D 在圆上，且30ADC ∠=︒，则O 的半径为_____．【答案】5cm【分析】连接BC ，由题意易得30ABC ADC ∠=∠=︒，进而问题可求解．【详解】解：连接BC ，如图所示：⊙30ADC ∠=︒，⊙30ABC ADC ∠=∠=︒，⊙AB 是直径，⊙90ACB ∠=︒，⊙5cm AC =，⊙210cm AB AC ==，⊙O 的半径为5cm ；故答案为5cm ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．29．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出⊙ABO =45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可【详解】解：连接OB 、OC 、作OD ⊙AB⊙60A ∠=︒⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =30°又75B ∠=︒⊙⊙ABO =45°在Rt ⊙OBD 中，OB =1⊙BD ==2⊙OD ⊙AB⊙BD =AD =2⊙AB【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键30．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点D 是BC 的中点，连接OD ，OB ，OC ，则BOD ∠=_________．【答案】50︒【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，12A BOC ∠=∠， 100BOC ∴∠=︒，OB OC =， BOC ∴为等腰三角形， 又点D 是BC 的中点，根据等腰三角形三线合一，OD ∴为BOC ∠的角平分线，50BO D ∴∠=︒，故答案是：50︒．【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出BOC ∠，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．31．（2021·广东中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =1AN BN ==AO ∴==112ON OM AB ===,3BC =OC ∴==CO OD ∴-=线段CD 长度的最小值为-．-【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．32．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ABC =90°，⊙A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则⊙ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DCB 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE =,ABE ACD ∴∠=∠,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠90,32,ABC A ∠=︒∠=︒()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．33．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，⊙C 是AB 的中点，⊙OC AB ⊥ ⊙14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，⊙2cm CD =⊙(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R =即O 的半径为5cm故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键． 34．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．【答案】40︒【分析】连接BD ，则C D ∠=∠，再根据AD 为直径，求得BAD ∠的度数【详解】如图，连接BD ，则50D C ∠=∠=︒AD 为直径90ABD ∴∠=︒90905040BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为40︒【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 35．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．【答案】25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到⊙BOC =100°，求出⊙AOC ，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接OC ，⊙OC =OB ，⊙⊙OCB =⊙OBC =40°，⊙⊙BOC =180°-40°×2=100°，⊙⊙AOC =100°+30°=130°，⊙OC =OA ，⊙⊙OAC =⊙OCA =25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．36．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．【答案】【分析】过O 作OE ⊙AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =3，在Rt ⊙AOD 中，由勾股定理AD =，可证⊙OAC ⊙⊙DAO ，由相似三角形性质可求AC 即可． 【详解】 解：过O 作OE ⊙AB 于C ，⊙AB 为弦，⊙AC =BC =12AB ，⊙直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，⊙当y =0时，033x +=，解得x =-2， ⊙OA =2， ⊙当x =0时，y = ⊙OD在Rt ⊙AOD中，由勾股定理AD ===， ⊙⊙ACO =⊙AOD =90°，⊙CAO =⊙OAD ，⊙⊙OAC ⊙⊙DAO ，AC AO AO AD =即2AO AC AD === ⊙AB =2AC故答案为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．37．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．⊙该弧所在圆的半径长为___________；⊙ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ⊙线段PB 长的最小值为_______；⊙若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．【答案】（1）⊙2；2；（2）见解析；（3）；⊙4 【分析】（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到⊙BOC =60°，证明⊙OBC 是等边三角形，可得半径；⊙过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，⊙ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）⊙根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′；⊙根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在⊙ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF ⊙PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．【详解】解：（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，⊙⊙BAC =30°，⊙⊙BOC =60°，又OB =OC ，⊙⊙OBC 是等边三角形，⊙OB =OC =BC =2，即半径为2；⊙⊙⊙ABC 以BC 为底边，BC =2，⊙当点A 到BC 的距离最大时，⊙ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，⊙BE =CE =1，DO =BO =2，⊙OE⊙DE 2，⊙⊙ABC 的最大面积为)1222⨯⨯2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，⊙点D 在圆上，⊙⊙BDC =⊙BAC ，⊙⊙BA′C=⊙BDC+⊙A′CD，⊙⊙BA′C＞⊙BDC，⊙⊙BA′C＞⊙BAC，即⊙BA′C＞30°；（3）⊙如图，当点P在BC上，且PC=32时，⊙⊙PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，⊙tan⊙DPC=CDPC=43，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，12PD为半径画圆，⊙当点P在优弧CPD上时，tan⊙DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊙BE，垂足为E，⊙点Q是PD中点，⊙点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，⊙BE=BC-CE=3-34=94，⊙BQ，⊙PD 52，⊙圆Q的半径为155 224⨯=，⊙BP′=BQ-P′Q，即BP；⊙⊙AD=3，CD=2，23PCD PADS S=，则23 CDAD=，⊙⊙P AD中AD边上的高=⊙PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在⊙ADC的平分线上，如图，过点C作CF⊙PD，垂足为F，⊙PD平分⊙ADC，⊙⊙ADP=⊙CDP=45°，⊙⊙CDF为等腰直角三角形，又CD=2，⊙CF=DF⊙tan⊙DPC=CFPF=43，⊙PF⊙PD=DF+PF=4．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P 的轨迹． 38．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点D ，则tan =ADC ∠________．【答案】32 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得ABC ADC ∠=∠，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：⊙ABC ADC ∠=∠， ⊙3tan =tan =2ADC ABC ∠∠， 故答案为：32． 【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．39．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，AB =C 是⊙O 上的一个动点，且60ACB ∠=︒，若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．。

全国中考数学试题精选50题：圆一、单选题1.（2020·赤峰）如图，中，AB=AC ， AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD 于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（）A. B.C.D.2.（2020·永州）如图，已知是的两条切线，A ， B为切点，线段交于点M ．给出下列四种说法：① ；② ；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.（2020·永州）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（）A. B.C.D. 24.（2020·长春）如图，是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，则的大小为（）A. B.C.D.5.（2020·云南）如图，正方形的边长为4，以点A为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点E在对角线上）.若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A. B.1 C.D.6.（2020·营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（）A. 110°B. 130°C. 140°D. 160°7.（2020·沈阳）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为（）A. B.C.D.8.（2020·宜宾）如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（）A. B.C.D.9.（2020·内江）如图，点A,B,C,D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（）A. B.C.D.10.（2020·通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是( )A. B.C. D.11.（2020·包头）如图，是的直径，是弦，点在直径的两侧．若，，则的长为（）A. B.C.D.12.（2020·广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（）A. B.C.D.13.（2020·荆州）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（）A. B.C.D.14.（2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（）A. B.C.D.15.（2020·苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）A. B.C.D.16.（2020·南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（）A. B.C.D.17.（2020·遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC ，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D ，交AB于点E ，若CD＝，则图中阴影部分面积为（）A. 4﹣B. 2﹣C. 2﹣π D. 1﹣18.（2020·泸县）如图，中，，．则的度数为（）A. 100°B. 9 0°C. 80°D. 70°19.（2020·达县）如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧AB的长为（）A. B.C.D.20.（2020·泰安）如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（）A. 4B.C.D.21.（2020·泰安）如图，是的切线，点A为切点，交于点B ，，点C在上，．则等于（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 50°22.（2020·青岛）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若．则的度数为（）A. B.C.D.23.（2020·聊城）如图，是的直径，弦，垂足为点M．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（）．A. πB.2π C.3π D.4π24.（2020·聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A. B.C.D.25.（2020·济宁）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（）A. 4B. 2C. 2D. 426.（2020·德州）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A. B.C.D.27.（2020·株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A. B.6 C.D.28.（2020·湘西州）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（）A. 为等腰三角形 B. 与相互垂直平分C. 点C、B都在以为直径的圆上D. 为的边上的中线29.（2020·常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A. 100 πB. 200π C. 100π D. 200 π30.（2020·福建）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（）A. B.C.D.二、填空题31.（2020·徐州）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为________.32.（2020·玉林）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是________.33.（2020·河池）如图，AB是的直径，点C，D，E都在上，∠1=55°，则∠2=________°34.（2020·锦州）如图，⊙O是的外接圆，，，则的长为________.35.（2020·朝阳）如图，点是上的点，连接，且，过点O作交于点D，连接，已知半径为2，则图中阴影面积为________.36.（2020·镇江）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于________.37.（2020·泰州）如图，直线a⊥b，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为________.38.（2020·眉山）如图，点为⊙O外一点，过点P作的切线、，点A、B为切点．连接并延长交的延长线于点C，过点作，交的延长线于点D．已知，，则的长为________．39.（2020·凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径OA的长为________．40.（2020·鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2 ，则阴影部分面积S阴影＝________．三、综合题41.（2020·河池）如图，AB是的直径，AB=6，OC⊥AB，OC=5，BC与交于点D，点E是的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F.（1）求证：EF是的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长.42.（2020·丹东）如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且.（1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的半径.43.（2020·朝阳）如图，以AB为直径的经过的顶点C，过点O作交于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使.（1）求证：EC是的切线（2）若的半径是3，，求CE的长.44.（2020·镇江）如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线BO交边AD于点O，OD＝4，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，分别交边DA、DC于点M、N.点E在边BC上，OE交⊙O于点G，G为的中点.（1）求证：四边形ABEO为菱形；（2）已知cos∠ABC＝，连接AE，当AE与⊙O相切时，求AB的长.45.（2020·泰州）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、.（1）求证：为的中点.（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长.46.（2020·凉山州）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若，，求半圆的直径．47.（2020·烟台）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2 ，求的长（结果保留π）．48.（2020·威海）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点E，连接，，过点E作，交于点D求证：（1）；（2）为⊙O的切线．49.（2020·东营）如图，在中，以为直径的交于点M弦交于点E,且．（1）求证：是的切线；（2）求的直径的长度．50.（2020·滨州）如图，AB是的直径，AM和BN是它的两条切线，过上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DA＝DE．（1）求证：直线CD是的切线；（2）求证：答案解析部分一、单选题1.【答案】 D【解析】【解答】，AD是的平分线，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）是BC的垂直平分线是AC的垂直平分线点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径外接圆的面积为故答案为：D．【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．2.【答案】 C【解析】【解答】解：如图，是的两条切线，故①符合题意，故②符合题意，是的两条切线，取的中点Q，连接，则所以：以Q为圆心，为半径作圆，则共圆，故③符合题意，M是外接圆的圆心，与题干提供的条件不符，故④不符合题意，综上：正确的说法是个，故答案为：C．【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．3.【答案】 B【解析】【解答】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，∵点C到直线l的距离，半径为1，∴ 的最小值是，故答案为：B.【分析】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.4.【答案】 B【解析】【解答】解：∵∠BDC=20°∴∠BOC=2×20°=40°∴∠AOC=180°-40°=140°故答案为：B.【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的的一半，即可得到∠BOC的度数，继而根据补角的含义，求出∠AOC的度数即可。

2020-2021中考数学中考数学圆的综合圆的综合 综合题含答案解析综合题含答案解析一、圆的综合 1．如图，已知在△ABC 中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P 在AB 边上，⊙P 的半径为定长.当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与AC 边相切；当点P 与点B 不重合时，⊙P 与AC 边相交于点M 和点N ．（1）求⊙P 的半径；的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM 与△PCN 是否相似，并说明理由． 【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析. 【解析】【分析】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，⊙P 与边AC 相切，则BD 就是⊙P 的半径，利用解直角三角形得出BD 与AD 的关系，再利用勾股定理可求得BD 的长； （2）如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，根据垂径定理得出MN=2MH ，PM=PN ，再利用勾股定理求出PH 、AH 、MH 、MN 的长，从而求出AM 、NC 的长，然后求出AM MP、PNNC的值，得出AM MP=PN NC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∵⊙P 与边AC 相切， ∴BD 就是⊙P 的半径， 在Rt △ABD 中，tanA=1BD2AD， 设BD=x ，则AD=2x ， ∴x 2+(2x)2=152， 解得：x=35， ∴半径为35；（2）相似，理由见解析，如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ， ∴PM=PN ， 在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH=，设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2 解得：y=6（取正数）， ∴PH=6，AH=12， 在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6， ∴AM=AH-MH=12-3=9， NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴935535AM MP ==，355PN NC =， ∴AM MP =PN NC ， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ， ∴∠AMP=∠PNC ， ∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.2．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD 的边AB 为直径作⊙O ，交对角线AC 于点E ． （1）图1中，线段AE= ；（2）如图2，在图1的基础上，以点A 为端点作∠DAM=30°，交CD 于点M ，沿AM 将四边形ABCM 剪掉，使Rt △ADM 绕点A 逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD 与⊙O 交于点F ． ①当α=30°时，请求出线段AF 的长；②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；③当α= °时，DM与⊙O相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM与⊙O相切【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4； 此时DM与⊙O的位置关系是相离；③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得α=∠NAD=90°．点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度．3．如图，P A、PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C 点，连接AC、BC．（Ⅰ）求∠ACB的大小；（Ⅱ）若⊙O半径为1，求四边形ACBP的面积．【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）332【解析】分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．详解：（Ⅰ）连接OA ，如图，∵P A 、PB 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP ，OP 平分∠APB ， ∴∠APO=12∠APB=30°，∴∠AOP=60°， ∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ， ∴∠ACO=12AOP=30°，同理可得∠BCP=30°， ∴∠ACB=60°；（Ⅱ）在Rt △OPA 中，∵∠APO=30°， ∴AP=3OA=3，OP=2OA=2， ∴OP=2OC ， 而S △OPA =12×1×3， ∴S △AOC =12S △PAO =34，∴S △ACP =334，∴四边形ACBP 的面积=2S △ACP =332．点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．4．等腰Rt △ABC 和⊙O 如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O 的半径为1，圆心O 与直线AB 的距离为5．1）若△ABC 以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O 不动，则经过多少时间△ABC 的边与圆第一次相切？ （2）若两个图形同时向右移动，△ABC 的速度为每秒2个单位，⊙O 的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC 的边与圆第一次相切？ （3）若两个图形同时向右移动，△ABC 的速度为每秒2个单位，⊙O 的速度为每秒1个单位，同时△ABC 的边长AB 、BC 都以每秒0.5个单位沿BA 、BC 方向增大．△ABC 的边与圆第一次相切时，点B 运动了多少距离？【答案】（1）522-；（2） 52-；（3）20423- 【解析】分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC 移至△AʹBʹCʹ处，AʹCʹ与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交BʹCʹ于F ．由切线长定理易得CCʹ的长，进而由三角形运动的速度可得答案；（2）设运动的时间为t 秒，根据题意得：CCʹ=2t ，DDʹ=t ，则CʹDʹ=CD+DDʹCʹDʹ=CD+DDʹ--CCʹ=4+t CCʹ=4+t-2t=4-t -2t=4-t ，由第（1）的结论列式得出结果；（3）求出相切的时间，进而得出B 点移动的距离． 详解：（1）假设第一次相切时，△ABC 移至△AʹBʹCʹ处， 如图1，AʹCʹ与⊙O 切于点E ，连接OE 并延长，交BʹCʹ于F ，设⊙O 与直线l 切于点D ，连接OD ，则OE ⊥AʹCʹ，OD ⊥直线l ， 由切线长定理可知CʹE=CʹD ， 设CʹD=x ，则CʹE=x ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°，∴∠AʹCʹBʹ=∠ACB=45°， ∴△EFCʹ是等腰直角三角形， ∴CʹF=2x ，∠OFD=45°， ∴△OFD 也是等腰直角三角形， ∴OD=DF ， ∴2x+x=1，则x=2-1，∴CCʹ=BD CCʹ=BD-BC--BC--BC-CʹD=5CʹD=5CʹD=5-1--1-（2-1）=5-2，∴点C 运动的时间为522-；则经过522-秒，△ABC 的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切，△ABC 移至△AʹBʹCʹ处，⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至Dʹ处，AʹCʹ与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交BʹCʹ于F ， ∵CCʹ=2t ，DDʹ=t ，∴CʹDʹ=CD+DDʹCʹDʹ=CD+DDʹ--CCʹ=4+t CCʹ=4+t-2t=4-t -2t=4-t ， 由切线长定理得CʹE=CʹDʹ=4CʹE=CʹDʹ=4-t -t ， 由（1）得：4-t=2-1， 解得：t=5-2，答：经过5-2秒△ABC 的边与圆第一次相切； （3）由（2）得CCʹ=（2+0.5）t=2.5t ，DDʹ=t ， 则CʹDʹ=CD+DDʹCʹDʹ=CD+DDʹ--CCʹ=4+t CCʹ=4+t-2.5t=4-1.5t -2.5t=4-1.5t ， 由切线长定理得CʹE=CʹDʹ=4CʹE=CʹDʹ=4-1.5t -1.5t ， 由（1）得：4-1.5t=2-1，解得：t=10223-， ∴点B 运动的距离为2×10223-=20423-．点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．5．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝33，求FC 的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案； （2）根据正切的性质求出EC 的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠OCB ＋∠ACO ＝90°90°.. ∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB. 又∵∠FCA ＝∠B ，∴∠FCA ＝∠OCB ， ∴∠FCA ＋∠ACO ＝90°，即∠FCO ＝90°， ∴FC ⊥OC ， ∴FC 是⊙O 切线． (2)解：∵AB ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴EC=AE 443tan ACE 33∠==， 设OA ＝OC ＝r ，则OE ＝OA －AE ＝r －4. 在Rt △OEC 中，OC 2＝OE 2＋CE 2， 即r 2＝(r －4)2＋(43)2，解得r ＝8. ∴OE ＝r －4＝4＝AE. ∵CE ⊥OA ，∴CA ＝CO ＝8， ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠FOC ＝60°，∴∠F ＝30°30°.. 在Rt △FOC 中， ∵∠OCF ＝90°，OC ＝8，∠F ＝30°， ∴OF＝2OC ＝16， ∴FC ＝22OF OC 83-=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC 的长是解题关键．6．如图．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AB =30cm ，点P 在AB 上，AP =10cm ，点E 从点P出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=2229? (02)75050(210)240400? (1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣1（5t﹣10）2=﹣27t2+50t﹣50．21如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣（30﹣3t）2=﹣27t2+50t﹣50．2如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229? (02)75050(210)240400? (1020) t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．7．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC= 5311，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=53m，可得AN=11m，利用直角n AGM, n AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，60°++α）=30°﹣α， ∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°=60°+2+2α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°∵∠ACD=2∠BAC，=30°++α，∴∠BAC=30°=30°++α+30°﹣α=60°．∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE， ∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴EM=MG=1EG=1，2∴∠EAG=∠ECD=2α，∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，∵tan ∠BAC =5311，∴设NG=53m ，可得AN =11m ，AG =22AG AM -=14m ，∵∠ACG =60°，∴CN=5m，AM =83m ，MG =22AG AM -=2m =1，∴m =12，∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．8．阅读下列材料：如图1，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，AB 是⊙O 1和⊙O 2外公切线，A 、B 为切点， 求证：AC ⊥BC证明：过点C 作⊙O 1和⊙O 2的内公切线交AB 于D ，∵DA 、DC 是⊙O 1的切线 ∴DA=DC ． ∴∠DAC=∠DCA ． 同理∠DCB=∠DBC ．又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°， ∴∠DCA+∠DCB=90°． 即AC ⊥BC ．根据上述材料，解答下列问题：（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容； （2）以AB 所在直线为x 轴，过点C 且垂直于AB 的直线为y 轴建立直角坐标系（如图2），已知A 、B 两点的坐标为（﹣4，0），（1，0），求经过A 、B 、C 三点的抛物线y=ax 2+bx+c 的函数解析式；（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O 1O 2上，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）213222y x x=+- ；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180°，可知用了三角形内角和定理；（2）先根据勾股定理求出C 点坐标，再用待定系数法即可求出经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式；（3）过C 作两圆的公切线，交AB 于点D ，由切线长定理可求出D 点坐标，根据,C D 两点的坐标可求出过,C D 两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可．试题解析：(1)DA 、DC 是1O e 的切线， ∴DA =DC .应用的是切线长定理；180DAC DCA DCB DBC ∠+∠+∠+∠=o，应用的是三角形内角和定理 (2)设C 点坐标为(0,y ),则222AB AC BC =+， 即()()222224141y y --=-+++，即225172y =+,解得y =2(舍去)或y =−2.故C 点坐标为(0,−2)， 设经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式为2y ax bx c ，=++则164002,a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ 解得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，故所求二次函数的解析式为2132.22y x x =+- (3)过C 作两圆的公切线CD 交AB 于D ,则AD =BD =CD ,由A (−4,0),B (1,0)可知3(,0)2D -， 设过CD 两点的直线为y =kx +b ,则3022k b b ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩， 解得432k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 故此一次函数的解析式为423y x =--，∵过12,O O 的直线必过C 点且与直线423y x =--垂直，故过12,O O 的直线的解析式为324y x =-， 由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为325(,)28--，代入直线解析式得33252,428⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭故这条抛物线的顶点落在两圆的连心12O O 上.9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足若13CF DF =,连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF=2，AF=3.（1）求证：△ADF ∽△AED ； （2）求FG 的长； （3）求tan ∠E 的值． 【答案】(1)证明见解析;(2)FG =2;(3)54. 【解析】分析：（1）由AB 是 O 的直径，弦CD ⊥AB ，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC ，DG=CG ，继而证得△ADF ∽△AED ；（2）由13CF FD = ,CF=2，可求得DF 的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；（3）由勾股定理可求得AG 的长，即可求得tan ∠ADF 的值，继而求得tan ∠E=54 .本题解析：①∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴DG=CG ，∴»»AD AC =，∠ADF=∠AED ，∵∠FAD=∠DAE （公共角），∴△ADF ∽△AED ；②∵13CF FD=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG-CF=2；③∵AF=3，FG=2，∴AG=225AF FG -=，点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识点，考查内容较多，综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合的思想.10．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB ，OB ＝4，D 是OB 的中点，点E 是弧BC 上的动点，连接AE ，DE ．（1）当点E 是弧BC 的中点时，求△ADE 的面积；（2）若3tan 2AED ∠= ，求AE 的长；（3）点F 是半径OC 上一动点，设点E 到直线OC 的距离为m ，当△DEF 是等腰直角三角形时，求m 的值.【答案】（1）62ADES=；（2）1655AE =；（3）23m = ，22m =，71m =-.【解析】 【分析】（1）作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，则EH ＝OH ＝2+a ，根据Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，即可求出a 的值，即可求出S △ADE 的值；（2）作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE ，设EF ＝2x ，DF ＝3x ，根据DF ∥BE 故AF AD EF BD=，得出AF ＝6x ，再利用Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2，即可求出x ，进而求出AE 的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m 的值.【详解】解：（1）如图，作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ， 设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ， ∵点E 是弧BC 中点， ∴∠COE ＝∠EOH ＝45°， ∴EH ＝OH ＝2+a ，在Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ， （2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ）， 解得a ＝222±-， ∴a ＝222-，EH=22，S △ADE ＝1622AD EH =n n ;（2）如图，作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE设EF ＝2x ，DF ＝3x ∵DF ∥BE ∴AF ADEF BD = ∴622AF x ==3 ∴AF ＝6x在Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2 （6x ）2+（3x ）2＝（6）2 解得x ＝255 AE ＝8x ＝1655（3）当点D 为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DH ＝a由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH ， ∴∠DFO=∠EDH ∴△ODF ≌△HED ∴OD ＝EH ＝2在Rt △ABE 中，EH 2＝AH•BH （2）2＝（6+a ）•（2﹣a ）解得a＝±232-m＝23当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFG≌△DEH设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）解得a＝222±-∴m＝22当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFM≌△FDO设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2∴EH＝a+2在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（a+2）2＝（4+a）•（4﹣a）-解得a＝±71m＝71-【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.11．如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点A，C的圆交AB于点D，交BC 于点E，连结DE（2）如图2，连结CD，若CE=3，△ACD的面积为10，求tan∠BCD1）若AD=7，BD=1，分别求DE，CE的长是△CPF的内心（3）如图3，在圆上取点P使得∠PCD=∠BCD（点P与点E不重合），连结PD，且点D ①请你画出△CPF，说明画图过程并求∠CDF的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=32；（2）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】 【分析】（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ． 【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得： AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1， ∴x 2+x 2=82， 解得：x=42．∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°， ∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1， ∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ， ∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ，在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14，∴tan ∠BCD=14． （3）①如下图所示： 过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD ∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°CDF=180°--∠DCF-∠CFD F=90°CFD F=90°+45°+45°+45°=135°=135°， 即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ， ∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ， ∴PN=PK=2C 2， ∴NF=2b c 2-，CK=2a c 2-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b 2c +-， 又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴112121ab a c b c (a b 2222222=⨯+⨯++-c ）×2c 2， 化简得：ab=()22a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（a-2c ）（b-2c ）=8化简得：()2ab 2c a b 2c 8-++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c 22=，或c 22=-（舍去），∴m=22c 22222=⨯=， 即△CPF 的内切圆半径长为2． 【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．12．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°．⑴若OC ＝2，则AC 的长为的长为 ； ⑵试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由； ⑶连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）【答案】⑴ 222-；⑵见解析；⑶ y =2x 【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=22,故可求出AC 的长；（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE证PF=EF=12PE ，故可证出PE =2AC ； （3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得GE =AB =22x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论.【详解】（1）连接OD ，如图，∵∠B=22.5°，∴∠DOC=45°DOC=45°,, ∵DC ⊥AB∴△DOC 为等腰直角三角形，∵OC=2，∴OD=22,∴AO=22，∴AC=AO-OC=222- ⑵连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . ∵OP ⊥AB ,∴∠POD=∠DOC=45°，∴AD=PD ，∵△DOC 为等腰直角三角形， ∴DC=CO,易证DF=CO ，∴DC=DF ，∴Rt △DAC ≌Rt △DPF ,∴PF=AC, ∵DO=AO,∠DOA=45°∴∠DAC=67.5°∴∠DPE=67.5°DPE=67.5°,, ∵OD=OB ，∠B=22.5°，∴∠ODE=22.5° ∴∠DEP=22.5°DEP=22.5°+45°+45°+45°=67.5°=67.5° ∴∠DEP=∠DPE∴PF=EF=12PE ∴PE =2AC（3）如图2，由∠DCO =90°，∠DOC =45°得22OD CD x == ∴ AB =2OD=22x∵AB 是直径，∴∠ADB=∠EDG=90°，由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC ∴△DGE ≌△DBA∴ GE =AB =22x∵PE =2AC ∴PE =2(2)x x - ∴ GP =GE －PE =222(2-)x x x -即：y =2x【点睛】 本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.13．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠DAB ＝120°，BC ＝CD ，AD ＝4，AC ＝7，求AB 的长度．【答案】AB ＝3．【解析】【分析】 作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD=u u u r u u u r ，进而得到∠DAC ＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝23，AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可.【详解】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∵BC ＝CD ，∴BC CD =u u u r u u u r ，∴∠CAB ＝∠DAC ，∵∠DAB ＝120°，∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°， ∴sin60°＝4DE ，cos60°＝4AE ， ∴DE ＝23，AE ＝2，∵AC ＝7，∴CE ＝5，∴DC ＝()2223537+=，∴BC ＝37，∵BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°， ∴tan60°＝BF AF，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF ＝3AF ，∴()()()2223737AF +-=，∴AF ＝2或AF ＝32， ∵cos60°＝AF AB， ∴AB ＝2AF ，当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4，∴AB ＝AD ，∵DC ＝BC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC （SSS ），∴∠ADC ＝∠ABC ，∵ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，但AC 2＝49，()222243753AD DC +=+=，AC 2≠AD 2+DC 2， ∴AB ＝4（不合题意，舍去），当AF ＝32时，AB ＝2AF ＝3， ∴AB ＝3． 【点睛】此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠D ＝60°且AB ＝6，过O 点作OE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求OE 的长；（2）若OE 的延长线交⊙O 于点F ，求弦AF 、AC 和弧CF 围成的图形（阴影部分）的面积．（结果保留π）【答案】（1）OE的长为32；（2）阴影部分的面积为32π【解析】（1）OE=32（2）S=32π15．已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析）见解析（2）33223π-【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接DO．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=AB=2．Rt△CDF中，∴CD=AC﹣AD=2．∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1．∴DF=，连接OE，则CE=2．∴CF=1，∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，∴S扇形OED==，∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．。

2020-2021中考数学圆的综合综合题汇编含答案解析一、圆的综合1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．（1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ；（3）已知⊙O 的半径为3．①若AB AC =53，求BC 的长； ②当AB AC为何值时，AB•AC 的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；②32【解析】 分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC ，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC ，据此得证；（2）以点C 为圆心，CE 长为半径作⊙C ，与BC 交于点F ，于BC 延长线交于点G ，则CF=CG=AC=CE=CD ，证△BEF ∽△BGA 得BE BG BF BA =，即B F•BG=BE•AB ，将BF=BC-CF=BC-AC 、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得； （3）①设AB=5k 、AC=3k ，由BC 2-AC 2=AB•AC 知6k ，连接ED 交BC 于点M ，Rt △DMC 中由DC=AC=3k 、MC=126k 求得22CD CM -3，可知OM=OD-3，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2可得答案．②设OM=d ，则MD=3-d ，MC 2=OC 2-OM 2=9-d 2，继而知BC 2=（2MC ）2=36-4d 2、AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3-d ）2+9-d 2，由（2）得AB•AC=BC 2-AC 2，据此得出关于d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 详解：（1）∵四边形EBDC 为菱形，∴∠D=∠BEC ，∵四边形ABDC 是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC ，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（3）设AB=5k、AC=3k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴6k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=126k，∴223CD CM k-=，∴OM=OD﹣DM=33k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（33）2+6k）2=32，解得：k=33或k=0（舍），∴62；②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2=﹣4d2+6d+18=﹣4（d﹣34）2+814，∴当d=34，即OM=34时，AB•AC最大，最大值为814，∴DC2=272，∴AC=DC=362，∴AB=964，此时32ABAC．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若tan∠CAF=12，求12SS的值．【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4【解析】【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得»»»CD PB PD==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=34x，代入面积公式可得结论．【详解】（1）连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACB+∠BCD=90°，∵AD⊥CG，∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠ACB=∠G=48°；（2）∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，∴∠BCG=∠DAC，∴»»CD PB=，∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，∴»»CD PD=，∴»»»CD PB PD==，∴∠BAD=2∠DAC，∵∠COF=2∠DAC，∴∠BAD=∠COF；（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，∵tan∠CAF=12=CF AF，∴AF=2x，∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，∴△COF≌△OAG，∴OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=2x﹣a，Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，∴（2x﹣a）2=x2+a2，a=34 x，∴OF=AG=34x，∵OA=OB，OG⊥AB，∴AB=2AG=32x，∴1213··3 22 1·24·2AB OG x xSS x xCF AF===．【点睛】圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根据外角的性质和圆的性质得：»»»CD PB PD==；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．3．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．试题解析：（1）证明：连接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC为直角三角形，AE=3，∴AC=2，连接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF为等边三角形，∴AF=OA=AB，在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考点：切线的性质．4．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．①若AD为直径，且sinA=45，求BC的长；②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，②753或754；（3）见解析【解析】【分析】（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．【详解】（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；（2）①连接BD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=45，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；②若∠ADC =60°时．∵四边形ABCD 是圆内接倍角四边形，∴∠BCD =120°或∠BAD =30°．Ⅰ、当∠BCD =120°时，如图3，连接OA ，OB ，OC ，OD ．∵BC =CD ，∴∠BOC =∠COD ，∴∠OCD =∠OCB =12∠BCD =60°，∴∠CDO =60°，∴AD 是⊙O 的直径，（为了说明AD 是直径，点O 没有画在AD 上）∴∠ADC +∠BCD =180°，∴BC ∥AD ，∴AB =CD ． ∵BC =CD ，∴AB =BC =CD ，∴△OAB ，△BOC ，△COD 是全等的等边三角形，∴S 四边形ABCD =3S △AOB =3×3×52=753． Ⅱ、当∠BAD =30°时，如图4，连接OA ，OB ，OC ，OD ．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠BCD =180°﹣∠BAD =150°．∵BC =CD ，∴∠BOC =∠COD ，∴∠BCO =∠DCO =12∠BCD =75°，∴∠BOC =∠DOC =30°，∴∠OBA =45°，∴∠AOB =90°．连接AC ，∴∠DAC =12∠BAD =15°． ∵∠ADO =∠OAB ﹣∠BAD =15°，∴∠DAC =∠ADO ，∴OD ∥AC ，∴S △OAD =S △OCD ． 过点C 作CH ⊥OB 于H ．在Rt △OCH 中，CH =12OC =52，∴S 四边形ABCD =S △COD +S △BOC +S △AOB ﹣S △AOD =S △BOC +S △AOB =1522⨯×5+12×5×5=754． 故答案为：7534或754；（3）延长DC ，AB 交于点E ．∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCE =∠A =12∠ABC ． ∵∠ABC =∠BCE +∠A ，∴∠E =∠BCE =∠A ，∴BE =BC =b ，DE =DA =b ，∴CE =d ﹣c ． ∵∠BCE =∠A ，∠E =∠E ，∴△EBC ∽△EDA ，∴CE BC AE AD =，∴d c b a b d-=+，∴d 2﹣b 2=ab +cd ．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．5．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=o ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O e ．()1求证：BC 是O e 的切线；()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．【答案】（1）见解析；（2）1tan 2EDB ∠=． 【解析】【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设O e 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO V ∽BCA V ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．【详解】()1证明：连接OD ，如图，AD Q 平分BAC ∠，12∴∠=∠，OA OD =Q ，23∴∠=∠，13∴∠=∠，//OD AC ∴，AC BC ⊥Q ，OD BC ∴⊥，BC ∴是O e 的切线；()2解：在Rt ACB V 中，22345AB =+=， 设O e 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-， //OD AC Q ，BDO V ∴∽BCA V ，OD ∴：AC BO =：BA ，即r ：()35r =-：5，解得158r =， 158OD ∴=，258OB =， 在Rt ODB V 中，2252BD OB OD =-=， 32CD BC BD ∴=-=， 在Rt ACD V 中，312tan 132CD AC ∠===， AE Q 为直径，90ADE ∴∠=o ，90EDB ADC ∴∠+∠=o ，190ADC ∠+∠=o Q ，1EDB ∴∠=∠，1tan 2EDB ∴∠=．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条的切线垂直于经过切点的半径直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．6．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC垂足为H，∠ABC＝2∠CAD．（1）如图1，求证：AB＝BC；（2）如图2，过点B作BM⊥CD垂足为M，BM交⊙O于E,连接AE、HM，求证：AE∥HM;（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD交AE于N，AE与BC交于点F，若NH＝25，AD＝11，求线段AB的长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AB的长为10.【解析】分析：（1）根据题意，设∠CAD=a，然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出∠BAC=∠ACB，再根据等角对等边得证结论；（2）延长AD、BM交于点N，连接ED.根据圆周角定理得出∠N=∠DEN=∠BAN，进而根据等角对等边，得到DE=DN,BA=BN，再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MH∥AE；（3）连接CE，根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HC，然后结合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2，解得CD=5,CH=4,AH=8，最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设∠CAD=a,则∠ABC=2a,∠C=90°-a,∠BAD=90°-2a,∴∠BAC=90°-2a+a=90°-a∴∠BAC=∠ACB.∴AB=BC(2）证明：延长AD、BM交于点N，连接ED.∵∠DEN=∠DAB,∠N=∠BCD,∠BCD=∠BAN∴∠N=∠DEN=∠BAN∴DE=DN,BA=BN又∵BH ⊥AN,DM ⊥EN∴EM=NM,HN=HA,∴MH ∥AE（3）连接CE.∠BDA=∠BCA,∠BDM=∠BAC,由（1）知∠BCA=∠BAC∴∠BDA=∠BDM,∴△BDM ≌△BDH,∴DH=MH,∠MBD=∠HBD,∴BD ⊥MH又∵MH ∥AE,∴BD ⊥EF,∴△FNB ≌△ENB,同理可证△AFH ≌△ACH,∴HF=HC,又∵FN=NE∴NH ∥EC,EC=2NH,又∵NH=25∴EC=45∠EAC=2∠AEC=2a=∠ABC,可证弧AC=弧EC,∴AC=EC=5设HD=x ，AH=11-x ，∵∠ADC=2∠CAD,翻折△CHD 至△CHG,可证CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又∵AC 2-AH 2=CD 2-DH 2,∴(52-(11-x)2=(11-2x)2-x 2∴x 1=3,x 2=272(舍去)∴CD=5,CH=4,AH=8. 又∵tan2AH CH a BH DH==,∴BH=6 ∴22226810BM AH +=+= 点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键.7．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC =24=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．8．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠53，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=53m，可得AN=11m，利用直角n AGM,n AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD =∠BAC +∠CAE =30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG ，作GN ⊥AC ，AM ⊥EG ，∵∠CED =∠AEG ，∠CDE =∠AGE ，∠CED =∠CDE ，∴∠AEG =∠AGE ，∴AE =AG ，∴EM=MG =12EG =1， ∴∠EAG =∠ECD =2α，∴∠CAG =∠CAD +∠DAG =30°﹣α+2α=∠BAC ，∵tan ∠BAC =53， ∴设NG=53m ，可得AN =11m ，AG =22AG AM -=14m ， ∵∠ACG =60°，∴CN=5m ，AM =83m ，MG =22AG AM -=2m =1， ∴m =12， ∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3， ∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．9．在O e 中，AB 为直径，C 为O e 上一点.（Ⅰ）如图①，过点C 作O e 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC的度数，继而求得答案；（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以OD⊥AC，继而求得答案．【详解】（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∴∠POC＝56°，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝34°；（2）∵D为弧AC的中点，OD为半径，∴OD⊥AC，∵∠CAB＝12°，∴∠AOE＝78°，∴∠DCA＝39°，∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，∴∠P＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AC＝4，BD＝6，求⊙O的半径．【答案】（1）详见解析；（2）35.【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD＝22AC CD＝25∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即34=25∴OB＝35∴⊙O的半径为35．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键11．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，（1）求证：△PCM为等边三角形；（2）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．【答案】（1）见解析；（2153 4【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH⊥CM于H，∵△ABC是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM∥BP，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中，BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt △PMH 中，∠MPH=30°，∴PH=332， ∴S 梯形PBCM =12（PB+CM ）×PH=12×（2+3）×33=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．12．（问题情境）如图1，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 、CE ．求证：BCE 1S 2=V S 平行四边形ABCD ．（说明：S 表示面积） 请以“问题情境”为基础，继续下面的探究 （探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边相切于点H ，与BD 相交于点M ．若AD ＝6，BD ＝y ，AM ＝x ，试求y 与x 之间的函数关系式． （探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F 在CD 上，连接AF 、BF ，AF 与CE 相交于点G ，若AF ＝CE ，求证：BG 平分∠AGC ．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，过D 分别作DG ⊥AF 于G ，DH ⊥CE 于H ，请直接写出DG ：DH 的值．【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】18y x=；【探究应用2】见解析；【迁移【解析】 【分析】（1）作EF ⊥BC 于F ，则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ，即可得出结论； （2）连接OH ，由切线的性质得出OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，求出平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝18，由圆周角定理得出AM ⊥BD ，得出△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ．（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝BP ＝，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF ＝x ，CE，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示： 则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCE ABCD S S =V Y ． （2）解：连接OH ，如图2所示： ∵⊙O 与BC 边相切于点H ，∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3， ∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥BD ， ∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示： 同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ， ∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ．（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示： ∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°， ∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP BP ＝， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1， ∴BE ＝2x ，BF ＝2x ， ∴BQ ＝x ，∴EQ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝x ，CE ，连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG：DH ＝CE ：AF :=【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．13．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ． （1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）222）224r ≤≤；（3）25252t -<<-或6<r <8． 【解析】 【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解；（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可． 【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4， ∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0， ∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时， 如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0, 2236+35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF THBE BC=,即2=635TH,∴TH=5,∵HO∥CE,∴△BHO∽△BEC,∴HO=2，此时T(-5-2，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T（252--）；∵0<d <2，∴25252t--<<--；当⊙T在△ABC右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，综上，25252t --<<--或6<r <8． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．14．如图, Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r ＝12(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;(3)若r=310, PD ＝18, PC=272. 求△ABC 各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】 【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF ，BD=BF ，CD=CE ．易证四边形BDOF 为正方形，BD=BF=r ，用r 表示AF 、AE 、CD 、CE ，利用AE+CE=AC 为等量关系列式．（2）∠CPD 为弧DH 所对的圆周角，连接OD ，易得弧DH 所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O 作PD 的垂线OM ，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD 的正切值．延长DO 得直径DG ，易证PG ∥OM ，得到同位角∠G=∠MOD ．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G ，即得到∠ADB 的正切值，进而求得AB ．再设CE=CD=x ，用x 表示BC 、AC ，利用勾股定理列方程即求出x ． 【详解】解：（1）证明：设圆心为O ，连接OD 、OE 、OF ， ∵⊙O 分别与BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F ∴OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，AE=AF ，BD=BF ，CD=CE ∴∠B=∠ODB=∠OFB=90° ∴四边形BDOF 是矩形 ∵OD=OF=r∴矩形BDOF 是正方形 ∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r ，CE=CD=BC-BD=a-r ∵AE+CE=AC整理得：r=12（a+b-c ）（2）取FH 中点O ，连接OD ∵FH ∥BC ∴∠AFH=∠B=90° ∵AB 与圆相切于点F ， ∴FH 为圆的直径，即O 为圆心 ∵FH ∥BC∴∠DOH=∠ODB=90° ∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90° ∵PD=18 ∴DM=12PD=9 ∵10∴22OD DM -22(310)9-9081-3 ∴tan ∠MOD=DMOM＝3 ∵DG 为直径 ∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90° ∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan∠ADB=ABBD=tan∠MOD=3∴AB=3BD=3r=910∴AE=AF=AB-BF=910−310＝610设CE=CD=x，则BC=310+x，AC=610+x∵AB2+BC2=AC2∴(910)2．+(310+x)2＝(610+x)2解得：x=910∴BC=1210，AC=1510∴△ABC各边长AB=910，AC=1510，BC=1210【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．15．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝12∠P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）PM＝43﹣2；（3）满足条件的DH的值为63-或1223+．【解析】【分析】（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH=∠PMH，∠C=∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，DH CD FM BF=．②当△CDH∽△MFB时，DH CDFB MF=，分别构建方程即可解决问题；【详解】（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，∵∠C＝12∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，∵∠C+∠CMD＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，∴∠OFC+∠PFC ＝90°，∴∠OFP ＝90°， ∴直线PA 是⊙O 的切线．（2）解：如图1中，∵∠A ＝30°，∠AFO ＝90°，∴∠AOF ＝60°， ∵∠AOF ＝∠OFC+∠OCF ，∠OFC ＝∠OCF ，∴∠C ＝30°， ∵⊙O 的半径为4，DM ＝1， ∴OA ＝2OF ＝8，CD ＝3DM ＝3 ， ∴OD ＝OC ﹣CD ＝4﹣3 ，∴AD ＝OA+OD ＝8+4﹣3 ＝12﹣3 ， 在Rt △ADP 中，DP ＝AD•tan30°＝（12﹣3 ）×3＝43 ﹣1， ∴PM ＝PD ﹣DM ＝4 3﹣2． （3）如图2中，由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM 3BF ＝3，CM ＝2DM ＝2，CD 3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝3﹣2， ①当△CDH ∽△BFM 时，DH CDFM BF= ， ∴34432=- ，∴DH ＝632 ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF=， ∴34432DH =-，∴DH 1223+ ， ∵DN ()22443833--=-，∴DH ＜DN ，符合题意，综上所述，满足条件的DH 的值为62- 或1211+． 【点睛】 本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.。

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）圆的有关计算（优选真题60道）一．选择题（共20小题）1．（2023•大连）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（ ） A ．2πB ．3πC ．32πD ．12π【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：l =nπr 180=90⋅π×3180=32π，∴该扇形的弧长为32π． 故选：C ．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．2．（2023•湘潭）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′̂的长为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π【分析】根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案． 【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中AA′̂的长为2π×4＝8π． 故选：C ．【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1．圆锥的母线长为扇形的半径，2．圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．3．（2023•鄂州）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．5√3−√33πB ．5√3−4πC ．5√3−2πD ．10√3−2π【分析】连接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝4√3，再根据S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可．【解答】解：连接OD．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，∴BC=√3AB＝4√3，∴OC＝OD＝OB＝2√3，∴∠DOB＝2∠C＝60°，∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB=12×4×4√3−12×2√3×2√3×√32−60π⋅(2√3)2360＝8√3−3√3−2π＝5√3−2π．故选：C．【点评】本题考查扇形的面积，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．4．（2023•通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB̂于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（）A．√2+π6B．√2+π3C．2√2+π6D．2√2+π3【分析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．【解答】解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB̂于点D，∴∠AOD＝∠BOD＝30°，由轴对称的性质，∠EOB ＝∠BOD ＝30°，OE ＝OD ， ∴∠AOE ＝90°，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∵OA ＝1，∴AE =√2，AD̂的长=30π×1180=π6， ∴阴影部分周长的最小值为√2+π6， 故选：A ．【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，证得△AOE 为等腰直角三角形是解题的关键．5．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A ．πB ．3πC ．2πD ．2π−√3【分析】由等边三角形的性质得到AB ̂=BC ̂=AC ̂，由弧长公式求出AB ̂的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， ∴AB ̂=BC ̂=AC ̂， ∵AB̂的长=60π×3180=π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π． 故选：B ．【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出AB̂的长． 6．（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）A ．14πcm 2B ．13πcm 2C ．12πcm 2D ．πcm 2【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接O1A ，O2A ，O1B ，O3B ，O2C ，O3C ，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形， 所以，S 阴影部分＝3S 扇形O 1O 2A ＝3×60π×12360=π2（cm2），故选：C ．【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．7．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 是AB ̂上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，若CD ＝CE ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．25π16B ．25π8C ．25π6D ．25π4【分析】先连接OC ，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC 的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠COE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形DCE＝S△OCE+S半弓形DCE＝S扇形COB=45π×52360=25π8，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB̂是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出AB̂的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+MN2OA．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（）A．11﹣2√3B．11﹣4√3C．8﹣2√3D．8﹣4√3【分析】连接ON，根据AB̂是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA•sin60°＝2√3，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2√3，故l＝AB+MN2OA =4+(4−2√3)24=11﹣4√3．【解答】解：连接ON，如图：∵AB ̂是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ， ∴ON ⊥AB ， ∴M ，N ，O 共线， ∵OA ＝4，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝AB ＝4，∠OAN ＝60°， ∴ON ＝OA •sin60°＝2√3， ∴MN ＝OM ﹣ON ＝4﹣2√3， ∴l ＝AB +MN 2OA=4+(4−2√3)24=11﹣4√3；故选：B ．【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON 的长度．9．（2023•连云港）如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB ＝4，BC ＝5，则阴影部分的面积是（ ）A ．414π﹣20B ．412π﹣20C ．20πD ．20【分析】根据矩形的性质可求出BD ，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S 阴影部分＝S 以AD 为直径的圆+S 以AB 为直径的圆+S 矩形ABCD ﹣S 以BD 为直径的圆进行计算即可． 【解答】解：如图，连接BD ，则BD 过点O ， 在Rt △ABD 中，AB ＝4，BC ＝5，S 阴影部分＝S 以AD 为直径的圆+S 以AB 为直径的圆+S 矩形ABCD ﹣S 以BD 为直径的圆 ＝π×（42）2+π×（52）2+4×5﹣π×（BD 2）2=41π4+20−41π4＝20，故选：D ．【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．10．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P ，Q ，M 均为正六边形的顶点．若点P ，Q 的坐标分别为(−2√3，3)，（0，﹣3），则点M 的坐标为（ ）A ．（3√3，﹣2）B ．（3√3，2）C ．（2，﹣3√3）D ．（﹣2，﹣3√3）【分析】设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．判断出OC ，CM 的长，可得结论． 【解答】解：设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．∵点P ，Q 的坐标分别为(−2√3，3)，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，∴OA＝OB=√3，∴OC＝3√3，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（3√3，﹣2），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（）A．a＜b B．a＝bC．a＞b D．a，b大小无法比较【分析】利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可．【解答】解：连接P4P5，P5P6．∵点P1～P8是⊙O的八等分点，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，∵P5P4+P5P6＞P4P6，∴P3P4+P7P6＞P1P3，∴b ﹣a ＞0， ∴a ＜b ， 故选：A ．【点评】本题考查正多边形于圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在AB ̂上，点Q 是DE ̂的中点，则∠CPQ 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．36°D ．60°【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OC ，OD ，OQ ，OE ， ∵正六边形ABCDEF ，Q 是DE ̂的中点， ∴∠COD ＝∠DOE =360°6=60°，∠DOQ ＝∠EOQ =12∠DOE ＝30°，∴∠COQ ＝∠COD+∠DOQ ＝90°， ∴∠CPQ =12∠COQ ＝45°， 故选：B ．【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．13．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF ）放在平面直角坐标系中，若AB 与x 轴垂直，顶点A 的坐标为（2，﹣3），则顶点C 的坐标为（ ）A ．（2﹣2√3，3）B ．（0，1+2√3）C ．（2−√3，3）D ．（2﹣2√3，2+√3）【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可． 【解答】解：如图，连接BD 交CF 于点M ，则点B （2，1）， 在Rt △BCM 中，BC ＝4，∠BCM =12×120°＝60°， ∴CM =12BC ＝2，BM =√32BC ＝2√3， ∴点C 的横坐标为﹣（2√3−2）＝2﹣2√3，纵坐标为1+2＝3， ∴点C 的坐标为（2﹣2√3，3）， 故选：A ．【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．14．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ∥CD ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，以点E 为圆心，DE 为半径，且DE ＝6的圆交CD 于点F ，则阴影部分的面积为（ ）A ．6π﹣9√3B ．12π﹣9√3C ．6π−9√32D ．12π−9√32【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．【解答】解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝3√3，∴DF＝6√3，阴影部分的面积=120π×36360−12×6√3×3＝12π﹣9√3，故选：B．【点评】本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．15．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB̂上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣3√3B．3π−9√32C．2π﹣3√3D．6π−9√32【分析】根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB̂上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO ＝BO ，∴四边形AOBC 是菱形， 连接OC 交AB 于D ， ∵OC ＝OA ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠CAO ＝∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°， ∵AC ＝3， ∴OC ＝3，AD =√32AC =3√32， ∴AB ＝2AD ＝3√3，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOB ﹣S 菱形AOBC =120π×32360−12×3×3√3=3π−9√32，故选：B ．【点评】本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．（2022•广西）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到△AB ′C ′，连接B ′C 并延长交AB 于点D ，当B ′D ⊥AB 时，BB′̂的长是（ ）A ．2√33π B ．4√33π C ．8√39π D ．10√39π【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD 的长度，根据弧长公式即可得出答案． 【解答】解：∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ， ∴AD ＝DB =12AB ′．∴∠AB ′D ＝30°， ∴α＝30°， ∵AC ＝4，∴AD ＝AC •cos30°＝4×√32=2√3，∴AB =2AD =4√3，∴BB′̂的长度l =nπr 180=60×π×4√3180=4√33π． 故选：B ．【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．17．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm ）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）A ．282.6B ．282600000C ．357.96D ．357960000【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S 圆锥侧面积+S 圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.1kg ，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m ， 圆锥的高为0.4m ，则圆锥的母线长为：√0.32+0.42=0.5m ． ∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2）， ∵圆柱的高为1m ．圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2）， ∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2）， ∵每平方米用锌0.1kg ，∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg ，∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg ）． 故选：A ．【点评】本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，难度中等．18．（2022•遵义）如图，在正方形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AB 于点E （E 不与A ，B 重合），交CD 于点F ．以点O 为圆心，OC 为半径的圆交直线EF 于点M ，N ．若AB ＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π8−18B ．π8−14C ．π2−18D ．π2−14【分析】图中阴影部分的面积等于扇形DOC 的面积减去△DOC 的面积． 【解答】解：以OD 为半径作弧DN ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB ＝OD ＝OC ，∠DOC ＝90°， ∵∠EOB ＝∠FOD ，∴S 扇形BOM ＝S 扇形DON ， ∴S 阴影＝S 扇形DOC ﹣S △DOC =90π×(√22)2360−14×1×1=π8−14，故选：B ．【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC 的面积．19．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A．23π−√32B．23π−√3C．43π﹣2√3D．43π−√3【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=√3，进而求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×22360=23π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=√3，∴S△AOB=12×2×√3=√3，∴阴影部分的面积为：23π−√3；故选：B．【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．20．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=√5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．8﹣πB．4﹣πC．2−π4D．1−π4【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），将相关量代入求解即可．【解答】解：根据题意可知AC=√AB2−BC2=√√52−22=1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，设∠B＝n°，∠A＝m°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）=12×2×1−（nπ×12360+mπ×12360）＝1−(n+m)π360=1−π4，故选：D．【点评】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．二．填空题（共20小题）21．（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则AB的长为m．（结果保留π）【分析】由弧长公式：l =nπr 180（l 是弧长，n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径长），由此即可计算．【解答】解：∵∠AOB ＝120°，⊙O 半径r 为15m ， ∴AB̂的长=120π×15180=10π（m ）．故答案为：10π．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．22．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l 为6cm ，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r 为 cm ．【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r ．【解答】解：由题意得：母线l ＝6，θ＝120°， 2πr =120π×6180，∴r ＝2（cm ）． 故答案为：2．【点评】本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．23．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为．【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD＝2√2，再由扇形面积公式求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，∴△AOD≌△COB（SSS），∵正方形ABCD的边长为2，∴BD=√22+22=2√2，=π，∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45π⋅(2√2)2360故答案为：π．【点评】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED 的面积是解题的关键．24．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）【分析】解析圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π （cm²）故答案为：6π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．25．（2023•邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为cm2．（结果保留π）【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这张扇形纸板的面积=1•2π•8•30＝240π（cm2）．2故答案为：240π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．26．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm．【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，×2πr×24＝120π，则12解得：r＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．27．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OÊ的长．＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出DE【解答】解：连接OE，OD，∵OD ＝OB ， ∴∠B ＝∠ODB ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∴∠C ＝∠ODB ， ∴OD ∥AC ， ∴∠EOD ＝∠AEO ， ∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠BAC ＝50°， ∴∠EOD ＝∠BAC ＝50°， ∵OD =12AB =12×6＝3（cm ）， ∴DÊ的长=50π×3180=56π（cm ）．故答案为：56π．【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD ∥AC ，从而求出∠EOD 的度数．28．（2023•苏州）如图，在▱ABCD 中，AB =√3+1，BC ＝2，AH ⊥CD ，垂足为H ，AH =√3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ，AC ，AD 分别交于点E ，F ，G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1﹣r 2＝ ．（结果保留根号）【分析】根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D ＝60°，∠BAC ＝45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可．【解答】解：在▱ABCD中，AB=√3+1，BC＝2，∴AD＝BC＝2，CD＝AB=√3+1，AB∥CD．∵AH⊥CD，垂足为H，AH=√3，∴sinD=AHAD =√32，∴∠D＝60°，∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，∴DH=12AD＝1，∴CH＝CD﹣DH=√3+1﹣1=√3，∴CH＝AH，∵AH⊥CD，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠ACH＝∠CAH＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACH＝45°，∴45π×√3180=2πr1，解得r1=√38，30π×√3 180=2πr2，解得r2=√312，∴r1﹣r2=√38−√312=√324．故答案为：√324．【点评】本题考查了圆锥的计算，平行四边形的性质，解直角三角形，弧长公式，求出∠D＝60°，∠BAC ＝45°是解决本题的关键．29．（2023•云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为分米．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得：圆锥的高为：√42−12=√15（分米），故答案为：√15．【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记勾股定理是解题的关键．30．（2023•浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是6√6−6√2．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是．【分析】如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，由等腰直角三角形性质可得CK＝GK=√22CG，进而得出BK＝BC﹣CK＝12−√22CG，利用解直角三角形可得BK=√3GK，建立方程求解即可得出答案；如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM ⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为DD′̂，点H的运动轨迹为线段BH′，因此在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，再利用等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式即可求得答案．【解答】解：如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，∵∠BCD＝45°，∴△CGK是等腰直角三角形，∴CK＝GK=√22CG，∵BC＝12，∴BK＝BC﹣CK＝12−√22CG，在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，∴GKBK =tan∠GBK＝tan30°=√33，即12−√22CG =√3×√22CG ， ∴CG ＝6√6−6√2；如图2，以C 为圆心，CD 为半径作圆，当△CDE 绕点C 旋转60°时，CE ′交AB 于H ′，连接DD ′，过点D 作DM ⊥AB 于M ，过点C 作CN ⊥DD ′于N ，则∠BCE ′＝∠DCD ′＝60°，点D 的运动轨迹为DD′̂，点H 的运动轨迹为线段BH ′，∴在旋转0°到60°的过程中，线段DH 扫过的面积为S △BDD ′+S 扇形CDD ′﹣S △CDD ′，∵CD ＝BC •cosCBD ＝12cos45°＝6√2，∴DG ＝CD ﹣CG ＝6√2−（6√6−6√2）＝12√2−6√6，∵∠BCD+∠ABC ＝60°+30°＝90°，∴∠BH ′C ＝90°，在Rt △BCH ′中，CH ′＝BC •sin30°＝12×12=6，BH ′＝BC •cos30°＝12×√32=6√3，∵△CD ′E ′是等腰直角三角形，∠CD ′E ′＝90°，D ′H ′⊥CE ′，∴D ′H ′=12CE ′＝6， ∴BD ′＝6√3+6，∵DM ⊥AB ，∴∠DMG ＝90°，∴∠DMG ＝∠CH ′G ，∵∠DGM ＝∠CGH ′，∴△DGM ∽△CGH ′，∴DM CH′=DG CG ，即DM 6=√2−6√66√6−6√2，∵CD′＝CD＝6√2，∠DCD′＝60°，∴△CDD′是等边三角形，∴∠CDD′＝60°，∵CN⊥DD′，∴CN＝CD•sin∠CDD′＝6√2sin60°＝3√6，∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′=12×（6√3+6）×（3√3−3）+60π⋅(6√2)2360−12×6√2×3√6=18+12π﹣18√3；故答案为：6√6−6√2；18+12π﹣18√3．【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，得出DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′是解题关键．31．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，∴阴影部分的面积为12×4×2−2×45π×22360=4﹣π．故答案为：4﹣π．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．32．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AB＝4，AD＝3，∴BD=√AD2+AB2=√32+42=5，∴S阴影＝S⊙O﹣S矩形ABCD=π×(52)2−3×4=254π﹣12．故答案为：254π﹣12．【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．33．（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE 的面积，由S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE 可得答案．【解答】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACD ＝30°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝2，∠BAO ＝30°，∴BO =12AB ＝1，AO =√32AB =√3，∴AC ＝2OA ＝2√3，BD ＝2BO ＝2，∴S 菱形ABCD =12AC •BD ＝2√3，∴S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE＝2√3−60π×22360 =6√3−2π3， 故答案为：6√3−2π3．【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．34．（2022•广州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在边AC 上，以O 为圆心，4为半径的圆恰好过点C ，且与边AB 相切于点D ，交BC 于点E ，则劣弧DE ̂的长是 ．（结果保留π）【分析】连接OD ，OE ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A ＝∠COE ，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE ＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．【解答】解：如图，连接OD ，OE ，∵OC ＝OE ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABC ＝∠OEC ，∴AB ∥OE ，∴∠BDO+∠DOE ＝180°，∵AB 是切线，∴∠BDO ＝90°，∴∠DOE ＝180°﹣∠DOE ＝90°，∴劣弧DÊ的长是90×π×4180=2π．故答案为：2π．【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．35．（2022•重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【分析】先根据锐角三角函数求出∠AEB ＝30°，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．【解答】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，∴BE＝BC＝2，在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴sin∠AEB=ABBE =12，∴∠AEB＝30°，∴∠EBA＝60°，∴∠EBC＝30°，∴阴影部分的面积：S=30π×22360=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．36．（2023•陕西）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为．【分析】根据正八边形的性质得出四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AE，GE，BG即可．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G，由题意可知，四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，∴AE＝CE=√22AC=√2，同理BG=√2，∴AB＝EG+BG＝2+√2，故答案为：2+√2．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．37．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE=√3，由图1知AG＝BF＝2PE＝2√3，OM＝PE=√3，∵BC=12(BF−CH)=√3−1，∴AB=BCtan∠BAC =√3−1√33=3−√3，∴BD=2−AB=√3−1，∵DE=12×2=1，∴BE=BD+DE=√3，∴ON=OM+BE=2√3．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2√3，故答案为：2√3．【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．38．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是．【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：15×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．39．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2=．【分析】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OE．∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是⊙O的内接正三角形，∵∠B＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠B）＝30°，∵∠CAE＝60°，∴∠OAC＝∠OAE＝30°，∴∠BAC＝∠OAC＝30°，同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，又∵AC＝AC，∴△BAC≌△OAC（ASA），∴S△BAC＝S△AOC，圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，=2，∴S1S2故答案为：2【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．40．（2023•连云港）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转°．【分析】以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即∠DCD'是旋转角，∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少要旋转60°．【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°．故答案为：60°．【点评】本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉性质是解题关键．。

2021年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题22与圆的有关解答题（共50题）一．解答题（共50小题）（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝8，BE CE=12，求CD 的长．（1）求证：∠1＝∠2．（2）点C 关于DG 的对称点为F ，连结CF ．当点F 落在直径AB 上时，CF ＝10，tan ∠1=25，求⊙O 的半径．（1）求证：∠CAD ＝∠CBA ． （2）求OE 的长．证明：连结OC ， ∵OA ＝OB ，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．（1）求证：∠CAD＝∠ABC；̂的长．（2）若AD＝6，求CD（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6√10，求此时DE的长．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．（1）求弦AB的长．̂的长．（2）求AB（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．̂上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长如图，点D是BC线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：̂上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组（1）根据点D在BC对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0CD/cm8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0FD/cm8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0操作中发现：①“当点D为BĈ的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=√3，求⊙O的半径．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD=√3，求图中阴影部分的面积．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．（1）求证：asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2√3，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3√3，求证：DF与⊙O相切．（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．（1）求证：BC是⊙O2的切线；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tan B的值．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sin B=35，求ED的长．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为9√25，求线段CG的长．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB̂上一点，且PB̂=2PÂ，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m 时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2√5，sin∠BAC=√53，求半圆的直径．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．（1）求OP+OQ的值；（3）求四边形OPCQ的面积．（1）求证：点D平分AĈ；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝10，tan B =43，求⊙O 的半径；（3）若F 是AB 的中点，试探究BD +CE 与AF 的数量关系并说明理由．（1）求证：∠CAD ＝∠CAB ； （2）若AD AB=23，AC ＝2√6，求CD 的长．。

2020-2021中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题含答案解析一、圆的综合1．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E ，OE=BE ，∴DO=DE+OE=（A′E+BE ）=AB=OA ，∴A′C 与半圆O 相切；（2）当BA′与半圆O 相切时，则OB ⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB ，∴∠O′AB=30°，∴∠AB O′=60°，∴α=30°，（3）∵点P ，A 不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B ；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B ．当α继续增大时，点P 逐渐靠近点B ，但是点P ，B 不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B ．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．2．已知O e 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______o ；()2如图②，若m 6=．①求C ∠的正切值；②若ABC V 为等腰三角形，求ABC V 面积．【答案】()130；()2C ∠①的正切值为34；ABC S 27=V ②或43225. 【解析】【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB V 是等边三角形，即可得出结论；()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论；②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．【详解】()1如图1，连接OB ，OA ，OB OC 5∴==，AB m 5==Q ，OB OC AB ∴==，AOB ∴V 是等边三角形，AOB 60∠∴=o ，1ACB AOB 302∠∠∴==o ， 故答案为30；()2①如图2，连接AO 并延长交O e 于D ，连接BD ，AD Q 为O e 的直径，AD 10∴=，ABD 90∠=o ，在Rt ABD V 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3tan ADB BD 4∠∴==， C ADB ∠∠=Q ，C ∠∴的正切值为34； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，AC BC =Q ，AO BO =，CE ∴为AB 的垂直平分线，AE BE 3∴==，在Rt AEO V 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=，CE OE OC 9∴=+=，ABC 11S AB CE 692722∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，连接OA 交BC 于F ，AC AB =Q ，OC OB =，AO ∴是BC 的垂直平分线，过点O 作OG AB ⊥于G ， 1AOG AOB 2∠∠∴=，1AG AB 32==， AOB 2ACB ∠∠=Q ，ACF AOG ∠∠∴=，在Rt AOG V 中，AG 3sin AOG AC 5∠==， 3sin ACF 5∠∴=， 在Rt ACF V 中，3sin ACF 5∠=， 318AF AC 55∴==， 24CF 5∴=， ABC 111824432S AF BC 225525∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC 432S 25=V ．【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．3．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC 、BC ．（Ⅰ）求∠ACB 的大小；（Ⅱ）若⊙O 半径为1，求四边形ACBP 的面积．【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）33【解析】分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．详解：（Ⅰ）连接OA，如图，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OP平分∠APB，∴∠APO=12∠APB=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACO=12AOP=30°，同理可得∠BCP=30°，∴∠ACB=60°；（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，∴33，OP=2OA=2，∴OP=2OC，而S△OPA=123∴S△AOC=12S△PAO=34，∴S△ACP=33，4∴四边形ACBP的面积=2S△ACP=33．点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．4．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．5．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

2021年中考数学第三轮：圆的综合解答题专题复习1、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若CD的长．2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）当OE=10时，求BC的长．3、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．5、如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的长．6、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF ⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．7、如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．8、如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．（1）求证：CA=CP；（2）连接OF，若AC=，∠D=30°，求线段OF的长．9、如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC 的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：∠FBC=∠FCB；（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．10、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．11、如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O 是△ABD的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．12、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点M、N，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，变⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，连接AD、BM．（1）等式OD2=OC•OP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（2）若AD=6，tan∠M=，求sin∠D的值．13、如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O 的半径和BF的长．14、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l ∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．15、如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF ⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．（1）求证：BO=2OM．（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24，求⊙O的半径．（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．参考答案2021年中考数学第三轮：圆的综合解答题专题复习1、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若sinB=，CD的长．5解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中点，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；（2）∵∠1=∠F，∴在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，∴，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，∵222+=，AC CD AD即222+=-，∴x=3，即CD=3．x x4(8)2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）当OE=10时，求BC的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；（2）解：如图，∵OE=10．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，∴∠AEO=∠DEO，又∵AE=DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BC，∴=，∴BC=2OE=20，即BC的长是20．3、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OC．∵OA=OC．∴∠OAC=∠OCA，∵∠MAC=∠OAC，∴∠MAC=∠OCA，∴OC∥AM，∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°，∴AC=2AD=8，CD=AD=4，∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴S阴=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）=×4×4﹣（﹣×82）=24﹣π．4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A，∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，∵DE与⊙O相切，∴∠BDE=∠BCD，∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF，∵∠AFC=∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH=BH=BF=1，则FH=1，∴HD==3，在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，即（OD﹣1）2+32=OD2，∴OD=5，∴⊙O的半径是5．5、如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的长．【解答】解：（1）连接OP，BF，PF，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OP∥CD，∴∠PFD=∠OPF，∵OP=OF，∴∠OPF=∠OFP，∴∠OFP=∠PFD，∴PF平分∠BFD；（2）连接EF，∵∠C=90°，∴BF是⊙O的直径，∴∠BEF=90°，∴四边形BCFE是矩形，∴EF=BC，∵AB∥OP∥CD，BO=FO，∴OP=AD=CD，∵PD2=DF•CD，即（）2=•CD，∴CD=4，∴EF=BC=4．6、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF ⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AC=AB，∴点D为线段BC的中点．∵点O为AB的中点，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，∴tan∠C==，CD=2，∴∠C=60°，∵AC=AB，∴△ABC为等边三角形，∴AB=4．∵OD∥AC，∴∠DOG=∠BAC=60°，∴DG=OD•tan∠DOG=2，∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG•OD﹣πOB2=2﹣π．7、如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°．∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：∵∠CDF=30°，由（1）得∠ODF=90°，∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴的长===π．8、如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．（1）求证：CA=CP；（2）连接OF，若AC=，∠D=30°，求线段OF的长．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∠AEO=45°，∴∠OEG+∠OGE=90°，∵AF⊥CE，∴∠AFG=90°，∴∠FAG+∠AGF=90°，∵∠AGF=∠OGE，∴∠OEG=∠BAP，∵∠AEC=∠ABC，∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣∠APC=45°=∠APC，∴CA=CP；（2）如图2，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠DCO=90°，∵∠D=30°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴∠BAC=60°在Rt△ABC中，AC=，∴BC=ACtan∠BAC=ACtan60°=×=3，由（1）知，CP=AC=，∴BP=BC﹣CP=3﹣，由（1）知AC=CP，∵AF⊥CE，∴AF=PF，∵OA=OB，∴OF=BP=（3﹣）．9、如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC 的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：∠FBC=∠FCB；（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵四边形AFBC内接于圆，∴∠FBC+∠FAC=180°，∵∠CAD+∠FAC=180°，∴∠FBC=∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵∠EAD=∠FAB，∴∠FAB=∠CAD，又∵∠FAB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB；（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，又∵∠FCB=∠FAB，∴∠FAB=∠FBC，∵∠BFA=∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴，∴BF2=FA•FD=12，∴BF=2，∵FA=2，∴FD=6，AD=4，∵AB为圆的直径，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴tan∠FBA===，∴∠FBA=30°，又∵∠FDB=∠FBA=30°，∴CD=AD•cos30°=4×=2．10、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．【解答】解：（1）AB是⊙O切线．理由：连接DE、CF．∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线．（2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴=，∴PC2=PF•PA，设PF=a．则PC=2a，∴4a2=a（a+5），∴a=，∴PC=2a=．11、如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O 是△ABD的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．【解答】（1）证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，∴∠ABC=∠CAD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=90°﹣∠AED，∵∠AED=∠ABD，∴∠AED=∠ABC=∠CAD，∴∠EAD=90°﹣∠CAD，即∠EAD+∠CAD=90°，∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ABC+∠ADB=90°，∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∴4∠ABC=90°，∴∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，∴∠CAD=22.5°．12、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点M、N，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，变⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，连接AD、BM．（1）等式OD2=OC•OP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（2）若AD=6，tan∠M=，求sin∠D的值．【解答】解：（1）等式OD2=OC•OP成立；理由如下连接OA，如图1所示：∵PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，∴∠OAP=∠ACO=90°，∵∠AOC=∠POA，∴△OAC∽△OPA，∴=，即OA2=OC•OP∵OD=OA，∴OD2=OC•OP；（2）连接BN，如图2所示：则∠MBN=90°．∵tan∠M=，∴=，∴设BN=x，BM=2x，则由勾股定理，得MN==x，∵BM•BN=MN•BC，∴BC=x，又∵AB⊥MN，∴AB=2BC=x，∴Rt△ABD中，BD=MN=x，AD2+AB2=BD2，∴62+（x）2=（x）2，解得：x=2，∴BD=×2=10，AB=8，∴sin∠D===．13、如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O 的半径和BF的长．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：如图1，连接OE，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1=∠C，∵OB=OE，∴∠1=∠B，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形；（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=x，∴DG=0E=2x，根据AC=AB得：4x=x+2x+2﹣，x=1，∴0E=OB=2，在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，cos30=，OF==2÷=，∴BF=﹣2，⊙O的半径为2．14、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l ∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．【解答】解：（1）直线l与⊙O相切．理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴．∴∠BOE=∠COE．又∵OB=OC，∴OE⊥BC．∵l∥BC，∴OE⊥l．∴直线l与⊙O相切．（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB．∴，即，解得；AE=．∴AF=AE﹣EF=﹣7=．15、如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF ⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．（1）求证：BO=2OM．（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24，求⊙O的半径．（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．【详细解答】（1）如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB=90°．∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD=12∠ABC=30°．∴OB=2OP．∵OP=OM，∴OP=2OM．（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴BD=2BQ=2AB•cos∠ABQ=．设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．∵EF＞HE，∴点E，F，G，H均在菱形的边上．①如图2所示，当点E在AB上时．在Rt△BEM中，EM=BM•tan∠EBM=．由对称性得：EF=2EM=2，ND=BM=3r．∴MN=18﹣6r．∴S矩形E F G H=EF•MN=2（18﹣6r）=24解得：1r=1，2r=2．当r=1时，EF＜HE，∴r=1时，不合题意舍,当r=2时，EF＞HE，∴⊙O的半径为2．∴BM=3r=6．如图3所示：当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18﹣3r．由对称性可知：NB=MD=6．∴MB=3r=18﹣6=12．解得：r=4．综上所述，⊙O的半径为2或4．（3）解设GH交BD于点N，⊙O的半径为r，则BO=2r．当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与⊙O相切．①如图4所示，点E在AD上时．∵HE与⊙O相切，∴ME=r，DM=．∴3r+．解得：r=9﹣3∴OB=18﹣6②如图5所示；由图形的对称性得：ON=OM，BN=DM．∴OB=12BD=9．③如图6所示．∵HG与⊙O相切时，MN=2r．∵BN+MN=BM=3r．∴BN=r．∴DM=．∴D与O重合．∴BO=BD=18．④如图7所示：∵HE与⊙O相切，∴EM=r，DM=．∴3r﹣．∴r=9+3∴OB=2r=18+6综上所述，当HE或GH与⊙O相切时，OB的长为18﹣6或9或18或18+6．。

中考真题分类汇编（圆）----与圆有关的计算一、选择题1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长 为半径画弧，得BC ，连接 AC 、AE ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 2πB. 4πC. 33πD. 233π解：过B 点作AC 垂线，垂直为G ，根据正六边形性质可知，30CAB BCA ∠=∠=︒，∴22222=222123AC AG AB GH =⨯-=⨯-=，∴S 扇形=260(23)2360ππ⨯⨯=， 故选：A ．2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB 中，顶角∠AOB ＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O 为圆心，OA 为半径画圆；②在⊙O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；③作AB 的垂直平分线与⊙O 交于M ，N ；④作AP 的垂直平分线与⊙O 交于E ，F ．结论Ⅰ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF≠∠AOB，可知（Ⅱ）错误．【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．∵OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图象可知∠MOF≠∠AOB，∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）错误，故选：D．3.（2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，∵正六边形的边长为6，∴S阴影＝＝12π，故选：D4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC 长为半径画，点P为菱形内一点，连接P A，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．2πD．【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC即可求得．【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠P AB＝∠P AC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC为等腰直角三角形，∴PE＝BC＝1，在Rt△ABE中，AE＝AB＝，∴AP＝﹣1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，故选：A．5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）A. 32π+B. 2π- C. 1 D.52π-【答案】D【解析】【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OF A=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2，∴BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°，∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线，∴OB =OC =OF =1，∠OF A =∠OFE =90°，∴AB =AF =2，CE =CF ，∵OA =OA ，∴Rt △ABO ≌Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE ≌△OFE ，∴,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，∴90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，∴COE BAO ∠=∠，∴ABO OCE ∽， ∴OC CE AB OB=， ∴12CE =， ∴15222222ABO OCE ABCE S S S S S S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A. 4πB. 24C. 12D. 1【答案】B【解析】【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可．【详解】解：如下图：连接BC ，AO ，∵90BAC ∠=，∴BC 是直径，且BC=2，又∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又∵sin 45OA AB ︒=，112OA BC == ， ∴ 12sin 452OA AB ===︒ ∴BC 的长度为：9022=1802π⨯，∴围成的底面圆周长为22π， 设圆锥的底面圆的半径为r ， 则：222r ππ=， ∴212=224r ππ=⨯． 故选：B7. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ）A. 32πB. 3πC. 5πD. 15π【答案】D8. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，若⊙O 的半径为43，∠CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A. 16123π-B. 16243π-C. 20123π-D. 20243π-【答案】A【解析】 【分析】连接AD ，连接OE ，根据圆周角定理得到∠ADB =90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，求得∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，解直角三角形得到OH 3AH =6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD ，连接OE ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC =∠DF A =90°，∴∠DAC =∠CDF =15°，∵AB =AC ，D 是BC 中点，∴∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，∵OA =OE ，∴∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，∵AO 3∴OH =12AO 3， ∴AH 3=6，∴AE =2AH =12，∴S 阴影=S 扇形AOE -S △AOE =(212043112233602π⨯-⨯⨯163π=-故选：A ．9. (2021•四川省自贡市)如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，OPQ △绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）A. 23πB. 12π C. 1116π D. 2132π 【答案】A【解析】【分析】根据题意得OQM OMN S S S =-阴影扇形扇形，设P (a ，2-2a )，则Q (a ，3-a )，利用扇形面积公式得到()21325?8S a a π=-++阴影，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图，根据旋转的性质，OPQ OMN ≅，∴OPQ OMN S S =，则OMN OPQ OQM OPN S S S S S =+--阴影扇形扇形OQM OPN S S =-扇形扇形，∵点P 在直线22y x =-+上，点Q 在直线3y x =-+上，且PQ ∥y 轴，设P (a ，2-2a )，则Q (a ，3-a )，∴OP 2=()22222584a a a a +-=-+，OQ 2=()2223269a a a a +-=-+， OQM OPN S S S =-阴影扇形扇形2245?45?360360OQ OP ππ=- ()21325?8a a π=-++， 设22116325333y a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∵30-<，∴当13a =时，y 有最大值，最大值为163， ∴S 阴影的最大值为1612383ππ⨯=． 故选：A ．10. （2021•青海省）如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动）那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是（ ）A ．πm 2B ．πm 2C ．πm 2D ．πm 2【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积＝＝π（m 2）；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m ，则面积＝＝（m 2），则小羊A 在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m 2）． 故选：B ．11. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，点P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是A ．πB ．334π+C ．332D ．2π 【答案】B【解析】如图，C 1运动的路径是以B 为圆心，3为半径，圆心角为120°的弧上运动，故线段CC 1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以3为边长的等边三角形，故S ＝22120(3)333(3)36044ππ+⨯=+，故选B ．12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1S ：S 的比值为（A ）.A 8π .B 4π .C 41 .D 2113. （2021•云南省）如图，等边△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径．若0A ＝3，则劣弧BD 的长是（ ）BA ．B ．πC ．D ．2π14. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与AB ，AC 分别交于E ，F 两点，则图中阴影部分的面积为（ ）A. π6B. π3C. π2D. 2π3【答案】C【解析】【分析】由等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．【详解】ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的中点AD BC ∴⊥，60A ∠=︒2222213AD AB BD ∴=-=-=S 扇形AEF 226060(3)3602r πππ⨯=== 故选C ．15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．【详解】解：设这个圆锥底面半径为cmr，由题意得：12030 2180ππ⨯=r，解得10(cm)r=，即这个圆锥底面半径为10cm，故选：B．二．填空题1.．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为12π．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．2.（2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是π﹣．（结果保留π）【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB 可得出结论．【解答】解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．故答案为：π﹣．3.（2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【答案】48π【解析】【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长为8π，∴侧面展开扇形的弧长为8π，设扇形的半径为r，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴120180rπ＝8π，解得：r＝12，∴侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．4.（2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2【答案】80【解析】【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵弧长16πcm的扇形铁片，∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm ， ∴圆锥的母线长为：226810cm +=，∴扇形铁片的面积=16110280ππ⨯⨯=cm 2， 故答案是：80π．5. （2021•山东省泰安市）若△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝4，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 4 ．【分析】连接CD ．构建直径所对的圆周角∠BDC ＝90°，然后利用等腰直角△ABC 的性质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得CD ＝BD ＝AD ，从而求得弦BD 与CD 所对的弓形的面积相等，所以图中阴影部分的面积＝直角三角形ABC 的面积﹣直角三角形BCD 的面积．【解答】解：连接CD ．∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ；又∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CD 是斜边AB 的垂直平分线，∴CD ＝BD ＝AD ,∴＝,∴S 弓形BD ＝S 弓形CD ，∴S 阴影＝S Rt △ABC ﹣S Rt △BCD ；∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，∴S Rt△ABC＝2S Rt△BCD；又S Rt△ABC＝×4×4＝8，∴S阴影＝4；故答案为：4．6.．（2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为（2π﹣2）平方厘米．（圆周率用π表示）【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），S扇形BAC＝＝π（厘米2），∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，故答案为：（2π﹣2）．7.（2021•广东省）如题13图，等腰直角三角形ABC中，90BC=．分别以点B、A∠=︒，4点C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB 、BC 、AC 于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】4π- 【解析】211142π24π424ABC B S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=-△⊙阴影，考查阴影面积的求法（主要还是用整体减去局部）8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1寸，锯道AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径 26 寸．【分析】过圆心O 作OC ⊥AB 于点C ，延长OC 交圆于点D ，则CD ＝1寸，AC ＝BC ＝AB ，连接OA ，设圆的半径为x ，利用勾股定理在Rt △OAC 中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【解答】解：过圆心O 作OC ⊥AB 于点C ，延长OC 交圆于点D ，连接OA ，如图：∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝AB ，．则CD ＝1寸，AC ＝BC ＝AB ＝5寸．设圆的半径为x 寸，则OC ＝（x ﹣1）寸．在Rt △OAC 中，由勾股定理得：52+（x ﹣1）2＝x 2，解得：x ＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．9. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【解析】【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，∵,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，∴90OCP ODP ∠=∠=︒，∵120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，∴60COD ∠=︒，∴CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB＝12，则点B经过的路径BC长度为_____．（结果保留π）【答案】2π【解析】【分析】直接利用弧长公式即可求解．【详解】解：30122180BClππ⋅==，故答案为：2π．11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为π．【分析】根据弧长公式代入即可．【解答】解：根据弧长公式可得：l＝＝＝π．故答案为：π．12.（2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，∵PB＝PC＝BC，∴△PBC为等边三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB•cos60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．13.（2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为6π．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．故答案为6π．14.（2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．【答案】4 5【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴22362423605AOES Sππ⨯⨯===阴影扇形，故答案为：45π．15. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为96﹣100π．（结果保留π）【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．∴．∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆．∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×102＝96﹣100π．故答案为：96﹣100π．16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是_________．【答案】3π-6【解析】【分析】连接BE ，可得ABE △是等腰直角三角形，弓形BE 的面积=2π-，再根据阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-BCE 的面积，即可求解．【详解】连接BE ，∵在正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，∴∠AEB =90°，即：AC ⊥BE ，∵∠CAB =45°，∴ABE △是等腰直角三角形，即：AE =BE ，∴弓形BE 的面积=211222242ππ⨯-⨯⨯=-， ∴阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-BCE 的面积=2π-+2454360π⨯⨯-114422⨯⨯⨯=3π-6． 故答案是：3π-6．17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm 2．高是5cm ．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm 的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm 2；【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积．【详解】Ｖ圆柱＝Sh =212560cm ， 这个橡皮泥的一半体积为：2160302V cm ，把它捏成高为5cm 的圆锥，则圆锥的高为5cm ，故1303Sh ， 即15=303S ， 解得=18S （cm 2），故填：18．19. （2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O 的任意一条直经FC ，分别以F 、C 为圆心，以FO 的长为半径作弧，与⊙O 相交于点E 、A 和D 、B ，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、F A ，得到六边形ABCDEF ，则⊙O 的面积与阴影区域的面积的比值为 ；16题图DBE A OF C【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O 的半径与等边三角形的边长为a ，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解【详解】连接OE ，OD ，OB ，OA ，由题可得：EF OF OE FA OA AB OB BC OC CD OD ==========,,,,,EFO OFA OAB OBC OCD ∴△△△△△△ODE 为边长相等的等边三角形∴可将图中阴影部分的面积转化为ODE 和OAB 的面积之和，如图所示：设⊙O 的半径与等边三角形的边长为a ，∴⊙O 的面积为22S r a ππ==等边OED 与等边OAB 的边长为a 234OAB a S S ∴==△OED △ 23=2OED OABa S S S ∴+=△△阴 ∴⊙O 的面积与阴影部分的面积比为2223=332S a S a ππ=阴故答案为：233π． 20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200米，圆心角90AOB ∠=︒，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）【分析】根据圆的弧长计算公式l ＝，代入计算即可． 【解答】解：圆弧长是：＝100π（米）．故答案是：100π．21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm ．【答案】40【解析】【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【详解】解：设弧所在圆的半径为r ，由题意得， 135253180r ππ⨯⨯=⨯⨯， 解得，r=40cm ．22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2πr＝，解得r＝．故答案为：．23.（2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC 的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是﹣．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴sin C＝＝＝，BC＝＝＝2，∴∠C＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝BC＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案为：﹣．24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．12π，21625.（2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．【答案】9．【解析】【详解】试题分析：求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长：∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.设圆锥的母线长为R，∴24012180Rππ⨯=，解得R=9cm．考点：圆锥的计算．三、解答题1.（2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．【解答】（1）证明：连接OE，OF，∵BO是∠ABC的平分线，∴OD═OE，OE是圆的一条半径，∴AB是⊙O的切线，故：AB是⊙O的切线．（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF是正方形，∴OE═OF═EC═FC═1，∴BC═BE+EC═4，又AC═3，∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）═×（）═﹣．故图中阴影部分的面积是：﹣．2.（2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．由题意得π•DE＝,AD＝2DE,∴n＝90,∴∠BAC＝90°．(2)∵AD＝2DE＝10(cm),∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．3.（2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；(2)①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD ，AC 与围成阴影部分的面积为S △AOC +S 扇形COD ＝S △ACD +S 扇形COD ＝××2×2+ ＝+π． 4. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）①如图1，P 是边长为a 的正ABC 内任意一点，点O 为ABC 的中心，设点P 到ABC 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，连接AP ，BP ，CP ，由等面积法，易知()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△，可得123h h h ++=_____；（结果用含a 的式子表示） ②如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，5h ，参照①的探索过程，试用含a 的式子表示12345h h h h h ++++的值．（参考数据：8tan 3611≈°，11tan 548≈°）（3）①如图3，已知O 的半径为2，点A 为O 外一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）②如图4，现有六边形花坛ABCDEF ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG ，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G 的位置，并说明理由．（1）125，1；（23；②5516a ；（3）①23π；②见解析． 【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可； （2）①先求得边长为a 的正ABC 的面积，再根据()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△解题即可；②设点O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA ，OB ，过O 作OQ AB ⊥于Q ，先由正切定义，解得OQ 的长，由①中结论知，5OAB ABCDE S S =五边形△，继而得到()123451115tan 54222a h h h h h a a ++++=⨯⨯°，据此解题； （3）①由切线性质解得30OAB ∠=︒，再由平行线性质及等腰三角形性质解得60COB ∠=︒，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC 的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接DF ，过点E 作//EG DF 交AF 的延长线于G 点，根据DGF ABCDEF ABCDF ABCDG S S S S =+=六边形五边形五边形△，据此解题．【详解】解：（1）直角三角形的面积为：13462⨯⨯=， 22345+=，设直角三角形斜边上的高为h ，则1562h ⨯⋅= 125h ∴= 设直角三角形内切圆的半径为r ，则11(345)3422++=⨯⨯ 1r ∴=，故答案为：125，1； （2）①边长为a 的正ABC 底边的高为32a ，面积为：2133224OAB a S a a =⋅⋅=△ ()123232431ABC OAB h h h S S a a =++==△△ 123h h h =∴++32a ， 故答案为：32a ； ②类比①中方法可知()1234512ABCDE a h h h h h S ++++=五边形， 设点O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA ，OB ，由①得5OAB ABCDE S S =五边形△，过O 作OQ AB ⊥于Q ，()1180521085EAB ∠=⨯⨯-=°°， 故54OAQ ∠=°，1tan 54tan 542OQ AQ a =⨯=°°，故()123451115tan 54222a h h h h h a a ++++=⨯⨯°，从而得到： 12345555tan 54216h h h h h a a ++++=≈°． （3）①AB 是O 的切线，OB AB ∴⊥90OBA ∴∠=︒2,4OB OA30OAB ∴∠=︒60AOB ∴∠=︒//BC OA60AOB OBC ∴∠=∠=︒OC OB =60OBC OCB ∴∠=∠=︒60COB ∴∠=︒过点O 作OQ BC ⊥//BC OA ，OQ ∴是COB ABC 、的高，ABC OCB S S ∴=26060423603603OBC r S S πππ⨯⨯∴====阴影部分扇形 故答案为：23π； ②如图，连接DF ，过点E 作//EG DF 交AF 的延长线于G 点，则点G 即为所求，连接DG ，∵DEF ABCDEF ABCDF S S S =+六边形五边形△，∵//EG DF ，∴DEF DGF S S =△△，∴DGF ABCDEF ABCDF ABCDG S S S S =+=六边形五边形五边形△．5. （2021•襄阳市） 如图，直线AB 经过O 上的点C ，直线BO 与O 交于点F 和点D ，OA 与O 交于点E ，与DC 交于点G ，OA OB =，CA CB =．（1）求证：AB 是O 的切线； （2）若//FC OA ，6CD =，求图中阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）332π2-6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN ．（1）EM 与BE 的数量关系是 BE ＝EM ； （2）求证：＝； （3）若AM ＝，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM，故答案为BE＝EM；（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝45°，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．7. （2021•湖北省黄石市）如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点，AC 是O 的直径，连接OP ，交O 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：//BC OP ；（2）若E 恰好是OD 的中点，且四边形OAPB 的面积是163，求阴影部分的面积； （3）若1sin 3BAC ∠=，且23AD =，求切线PA 的长．【答案】（1）见解析；（2）823π-；（3）2【解析】【分析】（1）证明∠POB =∠CBO ，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）证明△AOD 是等边三角形得∠AOD =60°，设OA =R ，求出AE 3R ，AB 3R ，PO =2R ，根据四边形OAPB 的面积是163R ，再利用AOB AOB S S S ∆=-阴影扇形求解即可；（3）利用1sin 3BAC ∠=设出BC =m ，则AC =3m ，分别求出2AE m =，DE =m ，在Rt △AED 中运用勾股定理列方程，求出m 的值，再证明∠APO =∠BAC ，利用1sin 3BAC ∠=求出P A 的长．【详解】解：（1）证明：∵PA PB ，是O 的切线 ∴PO AB ⊥，即90OEB ∠=︒∴90EOB OBE ∠+∠=︒∵AC 是O 的直径∴∠ABC =90°90EBO CBO ∠+∠=︒∴EOB CBO ∠=∠∴//BC OP（2）∵E 是OD 的中点，且AB ⊥OD ，∴AO =AD ，又AO =OD∴△AOD 是等边三角形∴∠AOD =60°∵P A 是O 的切线，OA 是O 的半径，∴∠OAP =90°∴∠APO =30°∴PO =2AO在Rt AOE ∆中，∠AOE =60°∴∠OAE =30°设OA =R ，则2R OE =∴2AE R =∴2,22AB AE PO AO R ====∵四边形OAPB 的面积是∴16AB PO =2163R =解得，R （负值舍去）∴AB OE ==∵60AOD ∠=︒∴120AOB ∠=︒∴1=82AOBAOB S S S π∆-=-⨯=-阴影扇形 （3）∵90ABC ∠=︒∴1sin 3BAC BC AC ∠== 故设BC =m ，则AC =3m ，∴32AO m = ∵OE //BC∴1122OE BC m == 3122DE OD OE m m m =-=-= 在Rt △AEO 中，222AE AO OE m =-=在Rt △AED 中，222AE DE AD +=∴222(2)(23)m m +=∴2m = (负值舍去)∴22AE =∵90,90OAE AOE APO AOE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴OAE APO ∠=∠1sin sin 3APO BAC ∠=∠= ∴13AE PA = ∴ 362PA AE ==8. （2021•四川省达州市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点（C 不与点A ，B 重合），BC ，过点C 作CD ⊥AB ，点D 落在点E 处得△ACE ，AE 交⊙O 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC ＝15°，OA ＝2，求阴影部分面积．【分析】（1）连接OC ，求得∠ACO ＝∠EAC ，根据内错角相等两直线平行得到OC ∥AE ，进。

2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总及详细答案一、圆的综合1．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE P ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.2．如图，△ABC 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，∠PAC=∠B ，AD 为⊙O 的直径，过C 作CG ⊥AD 于E ，交AB 于F ，交⊙O 于G ．（1）判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG 2=AF·AB ； （3）若⊙O 的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG 的面积.【答案】（1）PA 与⊙O 相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）连接CD ，由AD 为⊙O 的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D ，由已知∠PAC=∠B ，可证得DA ⊥PA ，继而可证得PA 与⊙O 相切．（2）连接BG ，易证得△AFG ∽△AGB ，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.（3）连接BD ，由AG 2=AF•AB ，可求得AF 的长，易证得△AEF ∽△ABD ，即可求得AE 的长，继而可求得EF 与EG 的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA 与⊙O 相切．理由如下：如答图1，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.∵∠B=∠D ，∠PAC=∠B ，∴∠PAC=∠D.∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA ⊥PA.∵点A 在圆上，∴PA 与⊙O 相切．（2）证明：如答图2，连接BG ，∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴»»AC AD =.∴∠AGF=∠ABG.∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG.∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF•AB.（3）如答图3，连接BD ，∵AD 是直径，∴∠ABD=90°.∵AG 2=AF•AB ，55∴5∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°.∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AF AB AD =545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE =-=. ∵224EG AG AE =-=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322AFG S FG AE ∆=⋅⋅=⨯⨯=．考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD，∶DE=4∶1，求DE的长．【答案】(1)见解析5【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．详解：（1）连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴¶AB=¶BC，∴BC=AB2．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD•AE．设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．4．如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD﹣DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_____cm．（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣38t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=103s．【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ =3，根据MN ∥BC ，求出FN 的长，从而得到FM 的长，再根据S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ，列出S 与t 的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ 相切时，可求得r =PE =5﹣t ，然后由r 以0.2c m/s 的速度不断增大，r =1+0.2t ，然后列方程求解即可；当圆与MN 相切时，r =CM =8﹣t =1+0.2t ，从而可求得t 的值．详解：（1）由勾股定理可知：AB =22AC BC +=10． ∵D 、E 分别为AB 和BC 的中点，∴DE =12AC =4，AD =12AB =5， ∴点P 在AD 上的运动时间=55=1s ，当点P 在线段DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t ﹣1）s ． ∵DE 段运动速度为1c m/s ，∴DP =（t ﹣1）cm ．故答案为t ﹣1．（2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP 时，重叠部分为五边形，∴3＞t ﹣1，t ＜4，DP ＞0，∴t ﹣1＞0，解得：t ＞1，∴1＜t ＜4．∵△DFN ∽△ABC ，∴DN FN =AC BC =86=43． ∵DN =PN ﹣PD ，∴DN =3﹣（t ﹣1）=4﹣t ， ∴4t FN -=43，∴FN =344t -（）， ∴FM =3﹣344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：当圆与PQ相切时，r=PE，由（1）可知，PD=（t﹣1）cm，∴PE=DE﹣DP=4﹣（t﹣1）=（5﹣t）cm．∵r以0.2c m/s的速度不断增大，∴r=1+0.2t，∴1+0.2t=5﹣t，解得：t=103s．②当圆与MN相切时，r=CM．由（1）可知，DP=（t﹣1）cm，则PE=CQ=（5﹣t）cm，MQ=3cm，∴MC=MQ+CQ=5﹣t+3=（8﹣t）cm，∴1+0.2t=8﹣t，解得：t=356s．∵P到E点停止，∴t﹣1≤4，即t≤5，∴t=356s（舍）．综上所述：当t=103s时，⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切．点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．5．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．详解：解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=12AB=12×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC 交AC于点E，交PC于点F，连结AF．(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若AC＝24，AF＝15，求sin B．【答案】(1) AF与⊙O相切理由见解析；（2）3 5【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证∠OCF =90°，再证明△OAF ≌△OCF ，得出∠OAF =∠OCF =90°即可；（2）先求出AE 、EF ，再证明△OAE ∽△AFE ，得出比例式OA AE AF EF =，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论． 试题解析：解：（1）AF 与⊙O 相切．理由如下：连接OC ．如图所示．∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCF =90°．∵OF ∥BC ，∴∠B =∠AOF ，∠OCB =∠COF ．∵OB =OC ，∴∠B =∠OCB ，∴∠AOF =∠COF ．在△OAF 和△OCF 中，∵OA =OC ，∠AOF =∠COF ，OF =OF ，∴△OAF ≌△OCF （SAS ），∴∠OAF =∠OCF =90°，∴AF 与⊙O 相切；（2）∵△OAF ≌△OCF ，∴∠OAE =∠COE ，∴OE ⊥AC ，AE =12AC =12，∴EF =2215129-=．∵∠OAF =90°，∴△OAE ∽△AFE ，∴OA AE AF EF =，即12159OA =，∴OA =20，∴AB =40，sin B =243405AC AB ==．点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．7．如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．【答案】(1) B （，2）．(2)证明见解析.【解析】 试题分析：（1）在Rt △ABN 中，求出AN 、AB 即可解决问题；（2）连接MC ，NC ．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．8．问题发现．(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为______．(2)如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．(3)如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．【答案】(1) 125CD =;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，求C N '的长即可;(3) 连接AC ，则ADC ACG AGCD S S S =+V V 四，321GB EB AB AE ==-=-=，则点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，由AEM ACB V V ∽求得GM 的值，再由ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形 求解即可.试题解析：（1）从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线，垂足为D ，22ABC CD AB AC BCS ⋅⋅==V ， ∴341255AC BC CD AB ⋅⨯===， （2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，且与BD 交于M ，则CM MN +的最小值为C N '的长， 设CC '与BD 交于H ，则CH BD ⊥， ∴BMC BCD V V ∽，且125CH =， ∴C CB BDC ∠=∠'，245CC '=，∴C NC BCD 'V V ∽，∴244965525CC BC C N BD ⨯⋅===''， 即CM MN +的最小值为9625．（3）连接AC ，则ADC ACG AGCD S S S =+V V 四，321GB EB AB AE ==-=-=，∴点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧． 过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ， ∵AEM ACB V V ∽， ∴EM AEBC AC=， ∴24855AE BC EM AC ⋅⨯===， ∴83155GM EM EG =-=-=，∴ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形，113345225=⨯⨯+⨯⨯， 152=． 【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．9．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式． 【答案】（1）233384y x x =-++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--.【解析】 【分析】（1）设出交点式，代入C 点计算即可 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式PC PD BC OB =，得到PD=45PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=185，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0） ∴y ＝a （x+2）（x ﹣4） 把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3 ∴a ＝﹣38∴抛物线解析式为y ＝﹣38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP ＝∠COB ＝90° ∵∠DCP ＝∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴PC PDBC OB= ∵B （4，0），C （0，3）∴OB ＝4，OC ＝3，BC ∴PD ＝45PC∴5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小 ∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC ∴S △ABC ＝12AB•OC ＝12BC•AE ∴AE ＝631855AB OC BC ⨯==n ∴5AE ＝18∴5PA+4PC 的最小值为18．（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个 此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT ＝90°∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点 ∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3 ∵T （﹣4，0） ∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝35FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝35FG FQ = ∴FG ＝35FQ ＝95∴x Q ＝1﹣9455=-，QG125== ①若点Q 在x 轴上方，则Q （41255-，） 设直线l 解析式为：y ＝kx+b∴4041255k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线l ：334y x =+ ②若点Q 在x 轴下方，则Q （41255--，）∴直线l ：334y x =-- 综上所述，直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q 点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（235． 【解析】 【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE =-=，证明△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ． ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°． ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3． ∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 5335⨯==，∴⊙O 的半径35=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．11．已知：如图，四边形ABCD 为菱形，△ABD 的外接圆⊙O 与CD 相切于点D ，交AC 于点E ．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC的度数，根据菱形的性质，可得CD与BC 的关系，根据SSS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC的度数，根据切线的判定，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD，根据三角形外角的性质，∠COD=∠OAD+∠AOD，根据直角三角形的性质，可得OC与OD的关系，根据等量代换，可得答案．（1）⊙O与BC相切，理由如下连接OD、OB，如图所示：∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥CD，∠ODC=90°．∵四边形ABCD为菱形，∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC=90°，又∵OB为半径，∴⊙O与BC相切；（2）∵AD=CD，∴∠ACD=∠CAD．∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠COD=∠OAD+∠AOD，∠COD=2∠CAD．∴∠COD=2∠ACD又∵∠COD+∠ACD=90°，∴∠ACD=30°．∴OD=12OC，即r=12（r+2）．∴r=2．【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．12．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．(1)求证：AC平分∠FAB；(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）5 2【解析】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA=∠OAC与∠CAE=∠OCA，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB∽△AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接OC.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE =90°∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB(2)连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴AB AC AC AE.∵AE ＝1，CE ＝2，∠AEC =90°，∴2222125AC AE CE =+=+=∴()22551AC AB AE===，∴⊙O 的半径为52．13．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上； ②求PA+PB+PC 的值.（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.【答案】（1）①详见解析；②7；（231312PQ PQ ≤≤≠且； 【解析】 【分析】（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△APB≌△AMN，△APM是等边三角形，∴∠APM=∠APM=60°，∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，∴C、P、M、N四点在同一条直线上；②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，∴∠NBC=90°，∵AC=2，∴AB=BN=4，BC=23，∵PA=PM，PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在Rt△CBN中，CN=22BC BN27+=，∴PA+PB+PC=27．(2) 如图2中，∵∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．PQ31PQ31PQ2的取值范围是且∴-≤≤+≠【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．14．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3[x2＋（m＋n）x＋mn]＝3×（3mn＋mn）＝3mn．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.15．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）52 BE【解析】试题分析：（1）连接OA 、OB ，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A 作AF ⊥CD 于点F,由AB=AD ，得到∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中可求得AF＝3，在Rt △AFD 中求得DF ＝1，所以AB ＝AD ＝ ，CD = CF +DF =4，再证明△ABE ∽△CDA ，得出BE AB DA CD =，即可求出BE 的长度； 试题解析：（1）证明：连结OA ，OB ，∵∠ACB =45°，∴∠AOB =2∠ACB = 90°，∵OA=OB ，∴∠OAB =∠OBA =45°，∵∠BAE =45°，∴∠OAE =∠OAB +∠BAE =90°，∴OA ⊥AE ．∵点A 在⊙O 上，∴AE 是⊙O 的切线．（2）解：过点A 作AF ⊥CD 于点F ，则∠AFC =∠AFD =90°．∵AB=AD ， ∴AB u u u r =AD u u u r∴∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中，∵AC =∠ACF =45°，∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF=， ∴DF =1，∴AB AD ==且CD = CF +DF =4，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABE =∠CDA ，∵∠BAE =∠DCA ，∴△ABE ∽△CDA ，∴BE AB=，DA CD∴10=，410∴5BE=．2。

2021年中考数学试题汇编：圆的解答1．（2021•深圳）如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．（1）求证：∠A＝∠E；（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．2．（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O 与BC相切于点E，连接AE，DE．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若∠B＝30°，求的值．3．（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD 互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．（1）求证：AC平分∠EAB；（2）若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的长．4．（2021•张家界）如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB 为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若OB＝2，求弧CD的长．5．（2021•通辽）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E、F分别在线段BC、AD 上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．（1）求证：CF⊥FB；（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．7．（2021•玉林）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．8．（2021•鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB 长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．（1）求证：AB＝AD；（2）连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．9．（2021•贵阳）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；（2）求证：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．10．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；（2）若⨀O的半径为5，AP＝，求BP的长．11．（2021•柳州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC＝，以A 为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连结BF，交DE 于点G．（1）求证：BC为⊙A的切线；（2）求cos∠EDF的值；（3）求线段BG的长．12．（2021•宜宾）如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．13．（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝6，⊙O与▱OABC的边AB，OC 分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求的值．14．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B ′C ′（B ′，C ′分别是B ，C 的对应点），则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点A ，B 1，C 1，B 2，C 2，B 3，C 3的横、纵坐标都是整数．在线段B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是 ；（2）△ABC 是边长为1的等边三角形，点A （0，t ），其中t ≠0．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2．若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．15．（2021•宿迁）如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，以点O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于点C ，点D 在边OB 上，且CD ＝BD ．（1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）已知tan ∠ODC ＝，AB ＝40，求⊙O 的半径．16．（2021•北京）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC 于点E ． （1）求证：∠BAD ＝∠CAD ；（2）连接BO 并延长，交AC 于点F ，交⊙O 于点G ，连接GC ．若⊙O 的半径为5，OE ＝3，求GC 和OF 的长．17．（2021•荆门）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB 边于M点．（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．18．（2021•衢州）如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF．（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的长．19．（2021•济宁）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．20．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为（用含l，h的代数式表示）．②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．参考答案1．【解答】（1）证明：∵AC∥BE，∴∠E═∠ACD，∵D，C为的三等分点，∴＝＝，∴∠ACD═∠A，∴∠E═∠A，（2）解：由（1）知＝＝，∴∠D═∠CBD═∠A═∠E，∴BE═BD═5，BC═CD═3，△CBD∽△BDE，∴═，即，解得DE═，∴CE═DE﹣CD═﹣3═．2．【解答】（1）证明：连接OE，∵BC是⊙O的切线，∴OE⊥BC，即∠OEB＝90°，∵∠C＝90°，∴OE∥AC，∴∠OEA＝∠EAC，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠OAE＝∠EAC，即AE平分∠BAC；（2）解：∵AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∵∠OAE＝∠EAC，∠C＝90°，∴△DAE∽△EAC，∴＝，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∴∠DAE＝∠BAC＝30°，∵cos∠DAE＝，cos30°＝，∴＝＝．3．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AE⊥DE，∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠CAB＝，∠EAC＝∠OAC，∴tan∠EAC＝，即＝，∴＝，解得：EC＝4，在Rt△AEC中，AC＝＝＝8，∵tan∠CAB＝＝，∴BC＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝16，∴OB＝8．4．【解答】（1）证明；连接OD，∵∠OAB＝30°，∠B＝90°，∴∠AOB＝60°，又∵CD∥AO，∴∠C＝∠AOB＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，又∵OB＝OD，AO＝AO，∴△AOB≌△AOD（SAS），∴∠ADO＝∠ABO＝90°，又∵点D在⊙O上，∴AD是⊙O的切线；（2）解：由题意得，⊙O的半径OB＝2＝OC，∠COD＝60°，根据弧长公式可得，＝＝，答：弧CD的长．5．【解答】（1）证明：连接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°，∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP，在△AOP和△DOP中，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO＝∠PAO，∵∠PAO＝90°，∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD，∵OD过O，∴PD是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA＝PD，∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB，∵OB＝OA，∴PA＝OA，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°．6．【解答】（1）证明：∵CD＝DF，∴∠DCF＝∠DFC，∵EF∥CD，∴∠DCF＝∠EFC，∴∠DFC＝∠EFC，∴∠DFE＝2∠EFC，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∵CD∥EF，CD∥AB，∴AB∥EF，∴∠EFB＝∠AFB，∴∠AFE＝2∠BFE，∵∠AFE+∠DFE＝180°，∴2∠BFE+2∠EFC＝180°，∴∠BFE+∠EFC＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CF⊥BF；（2）证明：如图1，取AD的中点O，过点O作OH⊥BC于H，∴∠OHC＝90°＝∠ABC，∴OH∥AB，∵AB∥CD，∴OH∥AB∥CD，∵AB∥CD，AB≠CD，∴四边形ABCD是梯形，∴点H是BC的中点，即OH是梯形ABCD的中位线，∴OH＝（AB+CD），∵AB＝AF，CD＝DF，∴OH＝（AF+DF）＝AD，∵OH⊥BC，∴以AD为直径的圆与BC相切；（3）如图2，由（1）知，∠DFE＝2∠EFC，∵∠DFE＝120°，∴∠CFE＝60°，在Rt△CEF中，EF＝2，∠ECF＝90°﹣∠CFE＝30°，∴CF＝2EF＝4，∴CE＝＝2，∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ECD＝∠CEF＝90°，过点D作DM⊥EF，交EF的延长线于M，∴∠M＝90°，∴∠M＝∠ECD＝∠CEF＝90°，∴四边形CEMD是矩形，∴DM＝CE＝2，过点A作AN⊥EF于N，∴四边形ABEN是矩形，∴AN＝BE，由（1）知，∠CFB＝90°，∵∠CFE＝60°，∴∠BFE＝30°，在Rt△BEF中，EF＝2，∴BE＝EF•tan30°＝，∴AN＝，∴S△ADE ＝S△AEF+S△DEF＝EF•AN+EF•DM ＝EF（AN+DM）＝×2×（+2）＝．7．【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：∵∠DAO＝60°，OD＝OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA＝∠C＝60°，∴OD∥BC，又∵∠DFC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，即DF是⊙O的切线；（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，∴CF＝，∴BF＝a﹣，又∵EF是⊙O的切线，∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，∴BF＝2BE，∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），解得：a＝3r，即r＝，∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．8．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴AB⊥OB，又∵AB经过半径⊙O的外端点B，∴AB切⊙O于点B，又∵⊙O与AC边相切于点D，∴AB＝AD．（2）解：如图，连接BD，∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠CDE+∠ADB＝90°，又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠CDE+∠ABD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠EDC，又∵，∴，即，∵DE＝2，∴BD＝4，，又∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，∴△CDE∽△CBD，∴，设CE＝x，则DC＝2x，∴，＝0（舍去），，∴x1即线段EC的长为．9．【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM，故答案为BE＝EM；（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝45°，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN ＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．10．【解答】（1）证明：如图①，连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC，∵AP与⨀O相切于点P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO+∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP+∠POC═90°，∴∠PAO＝∠POC，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∴∠POC═∠OPB+∠PBO═2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO，（2）解：如图②所示，连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，则有：AO＝＝，由（1）可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD～Rt△OAP，∴，即，解得PD＝3，OD＝4，∴CD═OC﹣OD＝1，在Rt△PDC中，PC＝＝，∵CB为圆的直径，∴∠BPC＝90°，∴BP＝＝＝3，故BP长为3．11．【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝90°，∵AB＝AD，∴BC为⊙A的切线；（2）解：如图1，过点D作DH⊥BC于H，∴∠DHB＝90°，由（1）知，∠BAD＝∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BAD＝∠BHD＝90°，∴四边形ABHD为矩形，∵AB＝AD＝1，∴矩形ABHD是正方形，∴BH＝DH＝AB＝1，在Rt△DHC中，CD＝，根据勾股定理得，CH＝＝2，∴cos C＝＝＝，∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠C，∴cos∠EDF＝cos C＝；（3）如图2，过点A作AM⊥DF于M，则DF＝2DM，∠AMD＝90°，在Rt△AMD中，AD＝1，cos∠EDF＝，∴DM＝AD•cos∠EDF＝1×＝，∴DF＝2DM＝，∴CF＝DF+CD＝+＝，∵AD∥BC，∴△DFG∽△CFB，∴，由（1）知，BC＝1+2＝3，∴＝，∴DG＝，∴AG＝DG﹣AD＝，在Rt△BAG中，BG＝＝＝．12．【解答】解：（1）CD与⊙O相切，理由：如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切；（2）由（1）知，∠CBD＝∠ADC，∵tan∠ADC＝，∴tan∠CBD＝，在Rt△ADB中，tan∠CBD＝＝，∵∠C＝∠C，∠ADC＝∠CBD，∴△CAD∽△CDB，∴，∴CD＝2CA＝4，∴CB＝2CD＝8，∴AB＝CB﹣CA＝8﹣2＝6，∴OA＝OB＝AB＝3；（3）如图2，连接OE，过点E作EG⊥BD于G，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠BOE＝2∠BDE＝90°，∴BE＝＝3，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2＝62，∵，∴AD＝，BD＝，∵EG⊥BD，∠BDE＝45°，∴∠DEG＝∠BDE＝45°，∴DG＝EG，设DG＝EG＝x，则BG＝BD﹣DG＝﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BG2＝BE2＝（3）2＝18，∴x2+（﹣x）2＝18，∴x＝或x＝（舍），∴EG＝，∴sin∠DBE＝＝．13．【解答】（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠DOC＝∠OAE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEF，∴∠DOC＝∠AEF，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AFE+∠DOC＝90°，∵∠AFE＝∠OCD，∴∠OCD+∠DOC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接DF，如图：∵AD是⊙O的直径，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∵CD是⊙O的切线，∴∠G+∠DAF＝90°，∴∠ADF＝∠G，又∠DAF＝∠GAD，∴△ADF∽△AGD，∴＝，∵AD＝6，GF＝1，∴＝，解得AF＝8或AF＝﹣9（舍去），在Rt△AEF中，AE＝＝＝2，∴cos∠AEF＝＝；（3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：∵EF是⊙O直径，∴∠EAF＝90°，∵OC∥AB，∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF，∵EF＝AD＝6，AF＝8，∴FO＝3，FK＝AK＝4，Rt△OKF中，OK＝＝，∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°，且∠OAF＝∠OFA，∴∠G＝∠AEF，∴tan G＝tan∠AEF，即＝，∴＝，即＝，解得CK＝10，∵BH平分∠ABC，OC∥AB，∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，∴CH＝BC＝OA＝3，∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝10﹣﹣3﹣3＝3，∴KH＝OK+OM+MH＝7，在Rt△AKH中，AH＝＝＝，而∠MNH＝∠MFA＝∠MOA＝∠ABC＝∠ABH，且∠MHN＝∠HAB，∴△MNH∽△HBA，∴＝＝＝．14．【解答】解：（1）由旋转的性质可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为﹣1≤d≤+1，∵AC1＝3＞d，∴点C1′不可能在圆上，∴B1C1不是⊙O的以A为中心的“关联线段”，∵AC2＝1，AB2＝，∴C2′（0，1），B2′（1，0），∴B2C2是⊙O的以A为中心的“关联线段”，∵AC3＝2，AB3＝，当B3′在圆上时，B3′（1，0）或（0，﹣1），由图可知此时C3′不在圆上，∴B3C3不是⊙O的以A为中心的“关联线段”．故答案为：B2C2．（2）∵△ABC是边长为1的等边三角形，根据旋转的性质可知△AB′C′也是边长为1的等边三角形，∵A（0，t），∴B′C′⊥y轴，且B′C′＝1，∴AO为B′C′边上的高的2倍，且此高的长为，∴t＝或﹣．（3）OA的最小值为1时，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为．理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义，可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如图1，利用四边形的不稳定性可知，当A，O，C′在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2，此时OA＝OB′＝OC′，∴∠AB′C＝90°，∴B′C′＝＝＝．当A，B′，O在同一直线上时，OA最大，如图3，此时OA＝2，过点A作AE⊥OC′于E，过点C′作C′F⊥OA于F．∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，∴OE＝EC′＝，∴AE＝＝＝，∵S＝•AO•C′F＝•OC′•AE，△AOC′∴C′F＝，∴OF＝＝＝，∴FB′＝OB′﹣OF＝，∴B′C′＝＝＝．综上OA的最小值为1，此时BC的长为，OA的最大值为2，此时BC的长为．15．【解答】解：（1）直线CD与⊙O相切，理由如下：如图，连接OC，∵OA＝OC，CD＝BD，∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠DCB，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACO+∠DCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，又∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线，∴直线CD与⊙O相切；（2）∵tan∠ODC＝＝，∴设CD＝7x＝DB，OC＝24x＝OA，∵∠OCD＝90°，∴OD＝＝＝25x，∴OB＝32x，∵∠AOB＝90°，∴1600＝576x2+1024x2，∴x＝1，∴OA＝OC＝24，∴⊙O的半径为24．16．【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，∴BE＝＝4，∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BC＝2BE＝8，∵BG是⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∴GC＝＝6，∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，∴AE∥GC，∴△AFO∽△CFG，∴＝，即＝，解得：OF＝．17．【解答】（1）证明：连接DF、EF，∵∠BAC＝90°，∴FC是⊙O的直径，∵F是的中点，∴＝，∵OF＝OD，∴∠ADF＝∠OFD，∴∠OFD＝∠EDF，∴FC∥DM，∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，∴四边形AFDC为矩形，∴AF∥CD，∴四边形CDMF为平行四边形；（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，∴CD＝AF＝FM＝EF，∵CD＝AB，∴CD＝（2CD+BM），∴CD＝2BM，∵BM∥CD，∴△BEM∽△CED，∴＝＝，∴EC＝2BE，设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，在Rt△BEF中，BE＝＝a，∴EC＝2a，在Rt△CEF中，FC＝＝2a，在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．18．【解答】解：（1）证明：连接AD，如图，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC．∵AE⊥AC，∴∠CAB+∠EAB＝90°．∵BC与⊙A相切于点D，∴∠ADB＝90°．∴∠ABD+∠BAD＝90°．∴∠BAE＝∠BAD．在△ABF和△ABD中，，∴△ABF≌△ABD（SAS）．∴∠AFB＝∠ADB＝90°．∴BF是⊙A的切线．（2）由（1）得：BF⊥AE，∵AC⊥AE，∴BF∥AC．∴△EFB∽△EAC．∴，∵BE＝5，CB＝AC＝20，∴CE＝EB+CB＝20+5＝25，∴．∴BF＝4．在Rt△BEF中，EF＝．19．【解答】解：（1）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又D为BC中点，O为AB中点，故OD＝，OD∥AC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°．∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，又∠EBP＝∠EBC，∴∠P＝∠OBD．∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠BOD+∠P＝90°，∴∠OBP＝90°．又OB为半径，故PB是⊙O的切线．（2）∵AC＝2，由（1）得OD＝＝1，又PD＝6，∴PO＝PD+OD＝6+1＝7．∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，∴△BDP∽△OBP．∴，即BP2＝OP•DP＝7×6＝42，∴BP＝．∴OB＝＝＝．故⊙O的半径为．20．【解答】解：（1）如图②中连接AO，AC，AB．设∠AOC＝n．∵的长＝4π，∴＝4π，∴n＝60°，∴∠COA＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵OB＝BC＝6，∴AB⊥OC，∴AB＝＝＝6．最短的路径是线段AB，最短路径的长为6．（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h+l．故答案为：h+l．②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB，思路：Ⅰ、过点O作OF⊥AD于F，交AB于G，此时，点G在扇形的弧上，Ⅱ、设CG＝x，则的长为x，进而求出∠BOG的度数，Ⅲ、再过点B作BE⊥OF于E，用三角函数求出OE，BE，得出FH，即可求出AH，Ⅳ、求出EF，进而求出BH，Ⅶ、在Rt△ABH中，利用勾股定理建立AB关于x的方程，求解最小值．。

2021年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题22与圆的有关解答题（共50题）一．解答题（共50小题）（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝8，BE CE=12，求CD 的长．（1）求证：∠1＝∠2．（2）点C 关于DG 的对称点为F ，连结CF ．当点F 落在直径AB 上时，CF ＝10，tan ∠1=25，求⊙O 的半径．（1）求证：∠CAD ＝∠CBA ． （2）求OE 的长．证明：连结OC ， ∵OA ＝OB ，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．（1）求证：∠CAD＝∠ABC；̂的长．（2）若AD＝6，求CD（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6√10，求此时DE的长．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．（1）求弦AB的长．̂的长．（2）求AB（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．̂上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长如图，点D是BC线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：̂上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组（1）根据点D在BC对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0CD/cm8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0FD/cm8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0操作中发现：①“当点D为BĈ的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=√3，求⊙O的半径．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD=√3，求图中阴影部分的面积．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．（1）求证：asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2√3，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3√3，求证：DF与⊙O相切．（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．（1）求证：BC是⊙O2的切线；（2）若r1＝2，r2＝1，O1O2＝6，求阴影部分的面积．（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tan B的值．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sin B=35，求ED的长．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为9√25，求线段CG的长．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB̂上一点，且PB̂=2PÂ，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m 时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2√5，sin∠BAC=√53，求半圆的直径．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．（1）求OP+OQ的值；（3）求四边形OPCQ的面积．（1）求证：点D平分AĈ；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝10，tan B =43，求⊙O 的半径；（3）若F 是AB 的中点，试探究BD +CE 与AF 的数量关系并说明理由．（1）求证：∠CAD ＝∠CAB ； （2）若AD AB=23，AC ＝2√6，求CD 的长．。

2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考真题分类汇总含答案一、圆的综合1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．【解析】【分析】（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，∴BT=TC=123∴124；（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中，∵∠OFC+∠OCF=90°，∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，在△AEH和△AFH中，∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEH≌△AFH（AAS），∴EH=FH；（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，∵⊙O的半径为4，∴CG=4，连AG，∵∠BCG=90°，∴CG⊥x轴，∴CG∥AF，∵∠BAG=90°，∴AG⊥AB，∵CE⊥AB，∴AG∥CE，∴四边形AFCG为平行四边形，∴AF=CG=4．【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，3，求EM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253.【解析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»AD AC=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HCEM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AHHC=34，∵AH=33，∴HC=43，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣33，HC=43，∴222(33)(43)r r-+=，∴r=2536，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HCEM OE=，∴33432536EM=，∴EM=2538．点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．3．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．4．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．5．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=5△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为52）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P 与边AC 相切，∴BD 就是⊙P 的半径，在Rt △ABD 中，tanA=1BD 2AD =， 设BD=x ，则AD=2x ，∴x 2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（52解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中， ()22356-，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5， ∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.6．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有¶BG=¶ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴¶AD=¶¶BC BD∴，=¶AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴¶BG=¶ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．7．如图，已知AB为⊙O直径，D是»BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴»»DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．8．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．（1）当23时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）222.【解析】试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．试题解析：（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．证明：如图，作以AB为直径的⊙O；∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，∴△ADB≌△ACB，∴∠ADB=∠ACB=90°．∵O为AB的中点，连接DO，∴OD=OB=AB，∴点D在⊙O上．在Rt△ACB中，BC=，AC=2；∴tan∠CAB==，∴∠CAB=∠BAD=30°，∴∠ABC=∠ABD=60°，∴△BOD是等边三角形．∴∠BOD=60°．∴∠ABC=∠BOD，∴FC∥DO．∵DF⊥CG，∴∠ODF=∠BFD=90°，∴OD⊥FD，∴FD为⊙O的切线．（2）延长AD交CG于点E，同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；∴四边形ADBC是圆内接四边形．∴∠FBD=∠1+∠2．同理∠FDB=∠2+∠3．∵∠1=∠2=∠3，∴∠FBD=∠FDB，又∠DFB=90°．∴EC=AC=2．设BC=x，则BD=BC=x，∵∠EDB=90°，∴EB=x ．∵EB+BC=EC，∴x+x=2，解得x=2﹣2，∴BC=2﹣2．9．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．【答案】(1) B（，2）．(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．10．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（1）证明见解析 （2）233π- 【解析】【分析】 （1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）连接OD ．∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．∵¶¶AE DE=，∴OE ⊥AD ．∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE26023360π⋅⋅=-⨯22233π=-．【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD.(1)求证：EF∥BC；(2)若EH＝4，HF＝2，求»BE的长.【答案】(1)见解析；(2) 233π【解析】【分析】（1）根据EF＝BD可得»EF＝»BD，进而得到»»BE DF=，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定»BE所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】(1)∵EF＝BD，∴»EF＝»BD∴»»BE DF=∴∠D＝∠DEF又BD＝BC，∴∠D＝∠C，∴∠DEF=∠CEF∥BC(2)∵AB是直径，BC为切线，∴AB⊥BC又EF∥BC，∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,GF＝GE＝12(HF+EH)=3，HG=1DB平分∠EDF，又BF∥CD，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2∴cos∠BHG＝HGHB ＝12，∠BHG＝60°.∴∠FDB＝∠BDE＝30°∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.∴弧BE＝16×43π＝233π【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.12．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=10，CH52=.（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）102【解析】【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是»CE的中点，可得∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；（3）由切割线定理可得EH=2，由（2）可知AF=FH=10，从而可得EF=FH﹣EH=10-2．【详解】（1）如图1所示：连接AC．∵AB⊥CB，∴AC是⊙O的直径，∵∠C=∠D，∴tanC=3，∴AB=3BC=3×2=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，又∵AH2=10，CH2=50，∴AC2+AH2=CH2，∴△ACH为直角三角形，∴AC⊥AH，∴AH是圆O的切线；（2）如图2所示：连接DE、BE，∵AH是圆O的切线，∴∠ABD=∠HAD，∵D 是»CE的中点， ∴»»CDED =， ∴∠CED=∠EBD ，又∵∠ABE=∠ADE ，∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED ，∴∠ABD=∠AFE ，∴∠HAF=∠AFH ，∴AH=HF ；（3）由切割线定理可知：AH 2=EH•CH ，即（10）2=52EH ，解得：EH=2，∵由（2）可知AF=FH=10，∴EF=FH ﹣EH=10-2．【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.13．（问题情境）如图1，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 、CE ．求证：BCE 1S 2=V S 平行四边形ABCD ．（说明：S 表示面积） 请以“问题情境”为基础，继续下面的探究 （探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边相切于点H ，与BD 相交于点M ．若AD ＝6，BD ＝y ，AM ＝x ，试求y 与x 之间的函数关系式．（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F 在CD 上，连接AF 、BF ，AF 与CE 相交于点G ，若AF ＝CE ，求证：BG 平分∠AGC ．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，过D 分别作DG ⊥AF 于G ，DH ⊥CE 于H ，请直接写出DG ：DH 的值．【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】18y x=；【探究应用2】见解析；【迁移1927【解析】【分析】（1）作EF ⊥BC 于F ，则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ，即可得出结论； （2）连接OH ，由切线的性质得出OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，求出平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝18，由圆周角定理得出AM ⊥BD ，得出△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果； （3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ． （4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝BP ＝，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF ＝x ，CE，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示：则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCE ABCD S S =V Y ． （2）解：连接OH ，如图2所示：∵⊙O 与BC 边相切于点H ，∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3， ∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9，∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x ； （3） 证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ，∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ． （4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝3BP ＝23x ， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，∴BQ ＝x ， ∴EQ ＝3x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝22AP PF +＝27x ，CE ＝22EQ QC +＝19x ，连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴AF×DG ＝CE×DH ， ∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．14．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）23（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=123ON=33DN=1；当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME ，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到；（3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝∴AD ＝12BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ，当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，∴OE ⊥DM ，又∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∴∠CAD ＝60°，∴∠DAO ＝30°，∴∠DON ＝60°，在Rt △ADN 中，DN ＝12AD ，在Rt △ODN 中，ON ＝3DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ，∵AD ＝∠DAE ＝30°，∴DH ∠DEA ＝60°，DE ＝2，∴△ODE 为等边三角形，∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1，∵∠M ＝∠DAE ＝30°，而MD ＝ME ，∴∠MDE ＝75°，∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°，∴∠DNO ＝45°，∴△NDH 为等腰直角三角形，∴NH＝DH∴ON ﹣1；综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：连AP、AQ，如图2，∵∠C＝∠CAD＝60°，而DP⊥AB，∴AC∥DP，∴∠PDB＝∠C＝60°，又∵∠PAQ＝∠PDB，∴∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAD，∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，∴△AQC≌△APD，∴DP＝CQ，∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．15．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析172AE=1322【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ，推出AF =BH ，设AF =BH =x ，再证明四边形CFEH 是正方形，推出CF =CH ，可得5+x =12﹣x ，推出x =72，延长即可解决问题； 试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC 、OE ．∵AB 直径，∴∠ACB =90°，∴CE 平分∠ACB ，∴∠ECA =∠ECB =45°，∴¶AE =¶BE，∴OE ⊥AB ，∴∠DOE =90°．∵PC 是切线，∴OC ⊥PC ，∴∠PCO =90°．∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ．∵∠PCD +∠OCE =90°，∠ODE +∠OEC =90°，∠PDC =∠ODE ，∴∠PCD =∠PDC ，∴PC =PD ．（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵¶AE =¶BE，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC 2CF 172，AE 22EF AF +2217722（）（）+132 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

圆的有关性质(46题)一、单选题1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 是⊙O 的直径，连接BD ，∠DCA =41°，则∠ABC 的度数是()A.41°B.45°C.49°D.59°【答案】C 【分析】由CD 是⊙O 的直径，得出∠DBC =90°，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出∠ABD =∠ACD =41°，进而即可求解．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC =90°，∵AD =AD，∴∠ABD =∠ACD =41°，∴∠ABC =∠DBC -∠DBA =90°-41°=49°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠ADB =30°，BC =23，则OC =()A.1B.2C.23D.4【答案】B【分析】连接OB ，由圆周角定理得∠AOB =60°，由OA ⊥BC 得，∠COE =∠BOE =60°，CE =BE =3，在Rt △OCE 中，由OC =CE sin60°，计算即可得到答案．【详解】解：连接OB ，如图所示，，∵∠ADB =30°，∴∠AOB =2∠ADB =2×30°=60°，∵OA ⊥BC ，∴∠COE =∠BOE =60°，CE =BE =12BC =12×23=3，在Rt △OCE 中，∠COE =60°，CE =3，∴OC =CE sin60°=332=2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ．“会圆术”给出AB 的弧长l 的近似值计算公式：l =AB +MN 2OA ．当OA =4，∠AOB =60°时，则l 的值为()A.11-23B.11-43C.8-23D.8-43【答案】B【分析】连接ON ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后代入公式计算即可．【详解】连接ON ，根据题意，AB 是以点O 为圆心、OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ，得ON ⊥AB ，∴点M ，N ，O 三点共线，∵OA =4，∠AOB =60°，∴△OAB 是等边三角形，∴OA =AB =4,∠OAN =60°，ON =OA sin60°=23，∴OA =AB =4,∠OAN =60°，ON =OA sin60°=23∴l =AB +MN 2OA=4+4-23 24=11-43．故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌握相关知识是解题的关键．4(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，已知点A 、B 、C 在⊙O 上，C 为AB的中点．若∠BAC =35°，则∠AOB 等于()A.140°B.120°C.110°D.70°【答案】A【分析】连接OC ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．【详解】解：连接OC ，如图所示：∵点A 、B 、C 在⊙O 上，C 为AB的中点，∴BC =AC ，∴∠BOC =∠AOC =12∠AOB ，∵∠BAC =35°，根据圆周角定理可知∠BOC =2∠BAC =70°，∴∠AOB =2∠BOC =140°，故选：A ．【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．5(2023·安徽·统考中考真题)如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，连接OC ,OD ，则∠BAE -∠COD =()A.60°B.54°C.48°D.36°【答案】D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵∠BAE =180°-360°5,∠COD =360°5，∴∠BAE -∠COD =180°-360°5-360°5=36°，故选：D ．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．6(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是()A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形【答案】B 【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．7(2023·云南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点．若∠BOC =66°，则∠A =()A.66°B.33°C.24°D.30°【答案】B 【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵BC =BC，∠BOC =66°，∴∠A =12∠BOC =33°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB =AB ，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．9(2023·浙江温州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC ∥AD ，AC ⊥BD ．若∠AOD =120°，AD =3，则∠CAO 的度数与BC 的长分别为()A.10°，1B.10°，2C.15°，1D.15°，2【答案】C【分析】过点O 作OE ⊥AD 于点E ，由题意易得∠CAD =∠ADB =45°=∠CBD =∠BCA ，然后可得∠OAD =∠ODA =30°，∠ABD =∠ACD =12∠AOD =60°，AE =12AD =32，进而可得CD =2OC =2,CF =12CD =22，最后问题可求解．【详解】解：过点O 作OE ⊥AD 于点E ，如图所示：∵BC∥AD，∴∠CBD=∠ADB，∵∠CBD=∠CAD，∴∠CAD=∠ADB，∵AC⊥BD，∴∠AFD=90°，∴∠CAD=∠ADB=45°=∠CBD=∠BCA，∵∠AOD=120°，OA=OD，AD=3，∴∠OAD=∠ODA=30°，∠ABD=∠ACD=12∠AOD=60°，AE=12AD=32，∴∠CAO=∠CAD-∠OAD=15°，OA=AEcos30°=1=OC=OD，∠BCD=∠BCA+∠ACD=105°，∴∠COD=2∠CAD=90°,∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=30°，∴CD=2OC=2,CF=12CD=22，∴BC=2CF=1；故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．10(2023·浙江台州·统考中考真题)如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为( )．A.2B.2C.4+22D.4-22【答案】D【分析】设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，由题意可得，EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．【详解】解：设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，过点O作OF⊥AB，如下图：则EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，由题意可得：OE=AB=4，AF=OF=12AB=2由勾股定理可得：OA=OF2+AF2=22，∴AE =4-22，故选：D .【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．11(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，若∠A =48°，∠APD =80°，则∠B 的度数为()A.32°B.42°C.48°D.52°【答案】A【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D 的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B 的度数．【详解】解：∵∠A =∠D ，∠A =48°，∴∠D =48°，∵∠APD =80°，∠APD =∠B +∠D ，∴∠B =∠APD -∠D =80°-48°=32°，故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠D 的度数．12(2023·四川内江·统考中考真题)如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在AF 上，Q 是DE 的中点，则∠CPQ 的度数为()A.30°B.36°C.45°D.60°【答案】C 【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．【详解】如图，连接OC ,OD ,OQ ,OE ，∵正六边形ABCDEF ，Q 是DE的中点，∴∠COD =∠DOE =360°6=60°，∠DOQ =∠EOQ =12∠DOE =30°，∴∠COQ =∠COD +∠DOQ =90°，∴∠CPQ =12∠COQ =45°，故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．13(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE，BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=3，EG=2，则AB的长为()A.43B.7C.8D.45【答案】B【分析】作BM⊥AC于点M，由题意可得出△AEB≌△DEC，从而可得出△EBC为等边三角形，从而得到∠GEF=60°，∠EGF=30°，再由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．【详解】解：作BM⊥AC于点M，在△AEB和△DEC中，∠A=∠DAE=ED∠AEB=∠DEC，∴△AEB≌△DEC ASA，∴EB=EC，又∵BC=CE，∴BE=CE=BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠GEF=60°，BC=EC∴∠EGF=30°，∵EG=2，OF⊥AC，∠EGF=30°∴EF=12EG=1，又∵AE=ED=3，OF⊥AC∴CF=AF=AE+EF=4，∴AC=2AF=8，EC=EF+CF=5，∴BC=EC=5，∵∠BCM=60°，∴∠MBC=30°，∴CM=52，BM=BC 2-CM2=532，∴AM=AC-CM=112，∴AB=AM2+BM2=7．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．14(2023·山西·统考中考真题)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,AC ,BD 为对角线，BD 经过圆心O ．若∠BAC =40°，则∠DBC 的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】B【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵BC =BC ，∴∠BDC =∠BAC =40°，∵BD 为圆的直径，∴∠BCD =90°，∴∠DBC =90°-∠BDC =50°；故选：B ．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．15(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD =CD =8，OD =6，则BD 的长为( )．A.5B.4C.3D.2【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得出OD ⊥AC ,根据勾股定理求出OC =10，进一步可求出BD 的长．【详解】解：∵AD =CD =8，∴点D 为AC 的中点，∵AO =CO ,∴OD ⊥AC ，由勾股定理得，OC =CD 2+OD 2=62+82=10,∴OB =10,∴BD =OB -OD =10-6=4,故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键16(2023·河北·统考中考真题)如图，点P 1~P 8是⊙O 的八等分点．若△P 1P 3P 7，四边形P 3P 4P 6P 7的周长分别为a ，b ，则下列正确的是()A.a <bB.a =bC.a >bD.a ，b 大小无法比较【答案】A【分析】连接P 1P 2,P 2P 3，依题意得P 1P 2=P 2P 3=P 3P 4=P 6P 7，P 4P 6=P 1P 7，△P 1P 3P 7的周长为a =P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7，四边形P 3P 4P 6P 7的周长为b =P 3P 4+P 4P 6+P 6P 7+P 3P 7，故b -a =P 1P 2+P 2P 3-P 1P 3，根据△P 1P 2P 3的三边关系即可得解．【详解】连接P 1P 2,P 2P 3，∵点P 1~P 8是⊙O 的八等分点，即P 1P 2 =P 2P 3 =P 3P 4=P 4P 5 =P 5P 6 =P 6P 7 =P 7P 8=P 8P 1∴P 1P 2=P 2P 3=P 3P 4=P 6P 7，P 4P 6 =P 4P 5 +P 5P 6 =P 7P 8+P 8P 1 =P 1P 7∴P 4P 6=P 1P 7又∵△P 1P 3P 7的周长为a =P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7，四边形P 3P 4P 6P 7的周长为b =P 3P 4+P 4P 6+P 6P 7+P 3P 7，∴b -a =P 3P 4+P 4P 6+P 6P 7+P 3P 7 -P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7 =P 1P 2+P 1P 7+P 2P 3+P 3P 7 -P 1P 3+P 1P 7+P 3P 7 =P 1P 2+P 2P 3-P 1P 3在△P 1P 2P 3中有P 1P 2+P 2P 3>P 1P 3∴b -a =P 1P 2+P 2P 3-P 1P 3>0故选：A ．【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．17(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，在⊙O 中，半径OA ,OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若∠ABC =19°，则∠BAC =()A.23°B.24°C.25°D.26°【答案】D【分析】根据OA ,OB 互相垂直可得ADB 所对的圆心角为270°，根据圆周角定理可得∠ACB =12×270°=135°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图，∵半径OA ,OB 互相垂直，∴∠AOB =90°，∴ADB 所对的圆心角为270°，∴ADB 所对的圆周角∠ACB =12×270°=135°，又∵∠ABC =19°，∴∠BAC =180°-∠ACB -∠ABC =26°，故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．18(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，连接AC ，AD ，BD ，若∠C =20°，∠BPC =70°，则∠ADC =()A.70°B.60°C.50°D.40°【答案】D【分析】先根据圆周角定理得出∠B =∠C =20°，再由三角形外角和定理可知∠BDP =∠BPC -∠B =70°-20°=50°，再根据直径所对的圆周角是直角，即∠ADB =90°，然后利用∠ADB =∠ADC +∠BDP 进而可求出∠ADC ．【详解】解：∵∠C =20°，∴∠B =20°，∵∠BPC =70°，∴∠BDP =∠BPC -∠B =70°-20°=50°，又∵AB 为直径，即∠ADB =90°，∴∠ADC =∠ADB -∠BDP =90°-50°=40°，故选：D ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．19(2023·广西·统考中考真题)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为()A.20mB.28mC.35mD.40m【答案】B【分析】由题意可知，AB =37m ，CD =7m ，主桥拱半径R ，根据垂径定理，得到AD =372m ，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，AB =37m ，CD =7m ，主桥拱半径R ，∴OD =OC -CD =R -7 m ，∵OC 是半径，且OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =372m ，在Rt △ADO 中，AD 2+OD 2=OA 2，∴372 2+R -7 2=R 2，解得：R =156556≈28m ，故选：B .【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．20(2023·四川·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，连接CD ，OD ，AC ，若∠BOD =124°，则∠ACD 的度数是()A.56°B.33°C.28°D.23°【答案】C 【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵∠BOD =124°，∴∠AOD =180°-124°=56°，∴∠ACD =12∠AOD =28°，故选：C ．【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．21(2023·山东聊城·统考中考真题)如图，点O 是△ABC 外接圆的圆心，点I 是△ABC 的内心，连接OB ，IA ．若∠CAI =35°，则∠OBC 的度数为()A.15°B.17.5°C.20°D.25°【答案】C【分析】根据三角形内心的定义可得∠BAC 的度数，然后由圆周角定理求出∠BOC ，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OC ，∵点I 是△ABC 的内心，∠CAI =35°，∴∠BAC =2∠CAI =70°，∴∠BOC =2∠BAC =140°，∵OB =OC ，∴∠OBC =∠OCB =180°-∠BOC 2=180°-140°2=20°，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．22(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23【答案】C【分析】根据圆内接正多边形的性质可得∠AOB =30°，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得BC=12，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30°，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC ⊥OA 交OA 于点于点C ，∵∠AOB =30°，∴BC =12OB =12，则S △OAB =12×1×12=14，故正十二边形的面积为12S △OAB =12×14=3，圆的面积为π×1×1=3，用圆内接正十二边形面积近似估计⊙O 的面积可得π=3，故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．23(2023·广东·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC =50°，则∠D =()A.20°B.40°C.50°D.80°【答案】B【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵∠BAC =50°，∴∠ABC =90°-∠BAC =40°，∵AC =AC ，∴∠D =∠ABC =40°；故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．24(2023·河南·统考中考真题)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠C =55°，则∠AOB 的度数为()A.95°B.100°C.105°D.110°【答案】D【分析】直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵∠C =55°，∴由圆周角定理得：∠AOB =2∠C =110°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．25(2023·全国·统考中考真题)如图，AB ，AC 是⊙O 的弦，OB ，OC 是⊙O 的半径，点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，连接CP ．若∠BAC =70°，则∠BPC 的度数可能是()A.70°B.105°C.125°D.155°【答案】D【分析】根据圆周角定理得出∠BOC =2∠BAC =140°，进而根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵BC =BC ，∠BAC =70°，∴∠BOC =2∠BAC =140°，∵∠BPC =∠BOC +∠PCO ≥140°，∴∠BPC 的度数可能是155°故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．26(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD =105°，连接OB ，OC ，OD ，BD ，∠BOC =2∠COD ．则∠CBD 的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】A【分析】根据圆内接四边形对角互补得出∠A =180°-105°=75°，根据圆周角定理得出∠BOD =2∠A =150°，根据已知条件得出∠COD =13∠BOD =50°，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵圆内接四边形ABCD 中，∠BCD =105°，∴∠A =180°-105°=75°∴∠BOD =2∠A =150°∵∠BOC =2∠COD∴∠COD =13∠BOD =50°，∵CD =CD∴∠CBD =12∠COD =12×50°=25°,故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27(2023·甘肃兰州·统考中考真题)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．(1)以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；(2)分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA =OB ；(3)连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a ∥b ．按以上作图顺序，若∠MNO =35°，则∠AOC =()A.35°B.30°C.25°D.20°【答案】A【分析】证明∠NMO=∠MNO=35°，可得∠AOB=2×35°=70°，结合OA=OB，C为AB的中点，可得∠AOC=∠BOC=35°．【详解】解：∵∠MNO=35°，MO=NO，∴∠NMO=∠MNO=35°，∴∠AOB=2×35°=70°，∵OA=OB，C为AB的中点，∴∠AOC=∠BOC=35°，故选A．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．二、填空题28(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12,BC=5，则MD的长是．【答案】4【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由勾股定理确定AB=13，半径为132，利用垂径定理确定OM⊥AC，且AD=CD=6，再由勾股定理求解即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=12,BC=5，∴AB=13，∴AO=12AB=132，∵点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，∴OM⊥AC，且AD=CD=6，∴OD=AO2-AD2=52，∴MD=OM-OD=AO-OD=4，故答案为：4．【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．29(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=6cm,∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．【答案】5π6【分析】连接AD ，OD ，OE ，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接AD ，OD ，OE ，∵AB 为直径，∴AD ⊥AB ，∵AB =AC =6cm ,∠BAC =50°，∴BD =CD ，∠BAD =∠CAD =12∠BAC =25°，∴∠DOE =2∠BAD =50°，OD =12AB =12AC =3cm ，∴弧DE 的长为50×π×3180=5π6cm ，故答案为：5π6cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．30(2023·四川广安·统考中考真题)如图，△ABC 内接于⊙O ，圆的半径为7，∠BAC =60°，则弦BC 的长度为．【答案】73【分析】连接OB ,OC ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，先根据圆周角定理可得∠BOC =2∠BAC =120°，再根据等腰三角形的三线合一可得∠BOD =60°，BC =2BD ，然后解直角三角形可得BD 的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接OB ,OC ，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，∵∠BAC =60°，∴∠BOC =2∠BAC =120°，∵OB =OC ,OD ⊥BC ，∴∠BOD =12∠BOC =60°，BC =2BD ，∵圆的半径为7，∴OB =7，∴BD =OB ⋅sin60°=723，∴BC =2BD =73，故答案为：73．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．31(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，∠CDB =55°，则∠ABC =°．【答案】35【分析】由同弧所对的圆周角相等，得∠A =∠CDB =55°,再根据直径所对的圆周角为直角，得∠ACB =90°，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：∵∠A ,∠CDB 是BC所对的圆周角，∴∠A =∠CDB =55°,∵AB 是⊙O 的直径，∵∠ACB =90°，在Rt △ACB 中，∠ABC =90°-∠A =90°-55°=35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．32(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，四边形ABCD 内接于圆O ，若∠D =100°，则∠B 的度数是．【答案】80°【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠B+∠D=180°，∵∠D=100°，∴∠B=180°-∠D=80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．33(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为．【答案】52.5°【分析】方法一∶如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°-25°=25°，然后再根据等腰三角形的性质求得∠OAB=65°、∠OAD=25°，最后根据角的和差即可解答．方法二∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=105°，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】方法一∶解：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°-25°=25°，∠AOD=155°-25°=130°，∴∠OAB=12180°-∠AOB=77.5°，∠OAD=12180°-∠AOB=25°，∴∠BAD=∠OAB-∠OAD=52.5°．故答案为52.5°．方法二∶解∶连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=155°-50°=105°，根据圆周角定理，知∠BAD=12∠BOD=12×105°=52.5°．故答案为：52.5°．【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．34(2023·湖南·统考中考真题)如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个．【答案】10【分析】先求出正五边形的外角为72°，则∠1=∠2=72°，进而得出∠AOB=36°，即可求解．【详解】解：根据题意可得：∵正五边形的一个外角=360°5=72°，∴∠1=∠2=72°，∴∠AOB=180°-72°×2=36°，∴共需要正五边形的个数=360°36°=10(个)，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法．35(2023·湖南永州·统考中考真题)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm．水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为cm．【答案】16【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=DB=12AB，依题意，得出OD=6，进而在Rt△AOD中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=DB=12 AB，∵水的最深处到水面AB 的距离为4cm ，⊙O 的半径为10cm ．∴OD =10-4=6cm ，在Rt △AOD 中，AD =AO 2-OD 2=102-62=8cm∴AB =2AD =16cm故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．36(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB =60°，则∠ADC 的度数为．【答案】30°【分析】根据垂径定理得到AB =AC，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵OA ⊥BC ，∴AB =AC ，∴∠ADC =12∠AOB =30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．37(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，点A 、B 、C 是⊙O 上不同的三点，点O 在△ABC 的内部，连接BO 、CO ，并延长线段BO 交线段AC 于点D ．若∠A =60°，∠OCD =40°，则∠ODC =度．【答案】80【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果．【详解】解：在⊙O 中，∵∠BOC =2∠A =2×60°=120°，∴∠ODC =∠BOC -∠OCD =120°-40°=80°故答案为：80．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P 处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．【答案】4【分析】圆周角定理求出∠P 对应的圆心角的度数，利用360°÷圆心角的度数即可得解．【详解】解：∵∠P =55°，∴∠P 对应的圆心角的度数为110°，∵360°÷110°≈3.27，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台；故答案为：4【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．39(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，设正六边形ABCDEF 的面积为S 1，△ACE 的面积为S 2，则S 1S 2=．【答案】2【分析】连接OA ,OC ,OE ，首先证明出△ACE 是⊙O 的内接正三角形，然后证明出△BAC ≌△OAC ASA ，得到S △BAC =S △AFE =S △CDE ，S △OAC =S △OAE =S △OCE ，进而求解即可．【详解】如图所示，连接OA ,OC ,OE ，∵六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴AC =AE =CE ，∴△ACE 是⊙O 的内接正三角形，∵∠B =120°，AB =BC ，∴∠BAC =∠BCA =12180°-∠B =30°，∵∠CAE =60°，∴∠OAC =∠OAE =30°，∴∠BAC =∠OAC =30°，同理可得，∠BCA =∠OCA =30°，又∵AC =AC ，∴△BAC ≌△OAC ASA ，∴S △BAC =S △OAC ，由圆和正六边形的性质可得，S △BAC =S △AFE =S △CDE ，由圆和正三角形的性质可得，S △OAC =S △OAE =S △OCE ，∵S 1=S △BAC +S △AFE +S △CDE +S △OAC +S △OAE +S △OCE =2S △OAC +S △OAE +S △OCE =2S 2，∴S 1S 2=2．故答案为：2．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．40(2023·广东深圳·统考中考真题)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，∠BAC 的角平分线与⊙O 交于点D ，若∠ADC =20°，则∠BAD =°．【答案】35【分析】由题意易得∠ACB =90°，∠ADC =∠ABC =20°，则有∠BAC =70°，然后问题可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AC =AC，∠ADC =20°，∴∠ADC =∠ABC =20°，∴∠BAC =70°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =12∠BAC =35°；故答案为：35．【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．41(2023·山东东营·统考中考真题)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为点E ，CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长度是寸．【答案】26【分析】连接OA 构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE 垂直AB 得到点E 为AB 的中点，由AB =6可求出AE 的长，再设出圆的半径OA 为x ，表示出OE ，根据勾股定理建立关于x 的方程，求解方程可得2x 的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OA ，∵AB ⊥CD ，且AB =10寸，∴AE =BE =5寸，设圆O 的半径OA 的长为x ，则OC =OD =x ，∵CE =1，∴OE =x -1，在直角三角形AOE 中，根据勾股定理得：x 2-(x -1)2=52，化简得：x 2-x 2+2x -1=25，即2x =26，∴CD =26(寸)．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．三、解答题42(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，点A 在第一象限内，⊙A 与x 轴相切于点B ，与y 轴相交于点C ,D ．连接AB ，过点A 作AH ⊥CD 于点H ．(1)求证：四边形ABOH 为矩形．(2)已知⊙A 的半径为4，OB =7，求弦CD 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．(2)根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．【详解】(1)证明：∵⊙A 与x 轴相切于点B ，∴AB ⊥x 轴．∵AH ⊥CD ,HO ⊥OB ，∴∠AHO =∠HOB =∠OBA =90°，∴四边形AHOB 是矩形．(2)如图，连接AC ．∵四边形AHOB 是矩形，∴AH =OB =7．在Rt △AHC 中，CH 2=AC 2-AH 2，∴CH =42-(7)2=3．∵点A 为圆心，AH ⊥CD ，∴CD =2CH =6．【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．43(2023·甘肃武威·统考中考真题)1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O ，A 是⊙O 上一点，只用圆规将⊙O 的圆周四等分．(按如下步骤完成，保留作图痕迹)①以点A 为圆心，OA 长为半径，自点A 起，在⊙O 上逆时针方向顺次截取AB =BC =CD；②分别以点A ，点D 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于⊙O 上方点E ；③以点A 为圆心，OE 长为半径作弧交⊙O 于G ，H 两点．即点A ，G ，D ，H 将⊙O 的圆周四等分．【答案】见解析。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】专题25圆的有关位置关系（共70题）一、单选题OA=，1．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有O和点A，B，若O半径为2cm，线段3cm OB=，则直线AB与O的位置关系为（）2cmA．相离B．相交C．相切D．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）下列命题中，假命题是（）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合=，则点B是线段AC的中点C．若AB BCD．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心【答案】C【分析】根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可．【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点，故为假命题；D 、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；故选C ．【点睛】本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练掌握． 3．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（ ）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B【分析】 连接AD ，由切线性质可得∠ADB =∠ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得∠BAD =60°，易求得∠ADE =72°，由AD=AE 可求得∠DAE =36°，则∠GAC =96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，∵BC 与圆A 相切于点D ，∴∠ADB =∠ADC =90°，在Rt △ADB 中，AB =6，则cos ∠BAD =AD AB =12， ∴∠BAD =60°，∵∠CDE =18°，∴∠ADE =90°﹣18°=72°，∵AD=AE ，∴∠ADE =∠AED =72°，∴∠DAE =180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC =36°+60°=96°，∴∠GFE =12∠GAC =48°， 故选：B ．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD =60°是解答的关键．4．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可． 【详解】解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上，∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ， ∴AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，∴AG =BM ，又∵OG =OM ，OA =OB ，∴△AOG ≌△BOM ，∴∠CAB =∠CBA ，∵∠ACB =90°，∴∠CAB =∠CBA =45°，12OC AB ∴=， 2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+= 22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·浙江中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C【分析】 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】 ABC 的外接圆如下图∵∠40A =︒∴280BOC A ∠=∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解． 6．（2021·四川泸州市·）如图，⊙O 的直径AB =8，AM ，BN 是它的两条切线，DE 与⊙O 相切于点E ，并与AM ，BN 分别相交于D ，C 两点，BD ，OC 相交于点F ，若CD =10，则BF 的长是A B C D【答案】A【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得6GC=，即可得AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得BD=；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得DH DFBC BF=，由此即可求得9BF=．【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，∵DG⊥BC，∴四边形ABGD为矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，在Rt△DGC中，CD=10，∴6 GC==，∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∴CD= DE+CE = AD+BC =10，∴AD+BG +GC=10，∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，∵OA=OB，∴△HAO≌△BCO，∴AH=BC=8，∵AD=2，∴HD=AH+AD=10；在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，∴BD==∵AD∥BC，∴△DHF∽△BCF，∴DH DF BC BF=，∴108=，解得，BF=．故选A．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，6AB=，60=︒∠DAC，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①BDE EFC ∠=∠；②ED EC =；③ADF ECF ∠=∠；④点E 运动的路程是 ）A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④【答案】B【分析】 连接OE 并延长交DC 于点H ，先证△ADO 为等边三角形，得出∠2=∠DAF =60°，再根据△DEF 为等边三角形，得出①正确；证出△DOE ≌△COE ，得到ED =EC ，得出②正确；证出∠ADF =∠3，看得出③正确；根据△DOE ≌△COE ，得出点E 在OH 上运动，可得④正确．【详解】解：连接OE 并延长交DC 于点H ，∵矩形ABCD ，∴OA =OD =OC ，∵∠DAC =60°，∴△A DO 为等边三角形，∴∠2=∠DAF =60°，∵△DEF 为等边三角形，∴∠1=60°=∠5，∴∠1=∠2，∴D 、F 、O 、E 四点共圆，∴∠3=∠4，①正确；∴∠5=∠6=60°，∴∠7=∠6=60°，∵OD =OC ，OE =OE ，∴△DOE ≌△COE ，∴∠3=∠8，∴∠CDE =∠DCE ，∴ED =EC ，②正确；∵∠ADO =∠FDE =60°，∴∠ADF =∠3，∴∠ADF =∠8，即∠ADF =∠ECF ，③正确；∵△DOE ≌△COE ，∴点E 在∠DOC 的角平分线上与CD 的交点为H ，即点E 在OH 上运动，∴OH =12BC ，∴OH ④错误．故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．8．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，ABC 内接于,120,,O BAC AB AC BD ∠=︒=是O 的直径，若3AD =，则BC =（ ）A ．B ．C ．3D ．4【答案】C【分析】首先过点O 作OF ⊥BC 于F ，由垂径定理可得BF ＝CF ＝12BC ，然后由∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C 与∠BAC 的度数，由BD 为⊙O 的直径，即可求得∠BAD 与∠D 的度数，又由AD ＝3，即可求得BD 的长，继而求得BC 的长．【详解】解：过点O 作OF ⊥BC 于F ，∴BF ＝CF ＝12BC ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠C ＝∠ABC ＝（180°−∠BAC ）÷2＝30°，∵∠C 与∠D 是同弧所对的圆周角，∴∠D ＝∠C ＝30°，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝60°，∴∠OBC ＝∠ABD −∠ABC ＝30°，∵AD ＝3，∴BD ＝AD ÷cos30°＝∴OB ＝12BD∴BF ＝OB •cos30°＝32，∴BC ＝3．故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．9．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD BD AB+<B．AD一定经过ABC的重心C．BAD CAD∠=∠D．AD一定经过ABC的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴BAD CAD∠=∠，故C正确；在△ABD中，由三角形三边关系可得AD BD AB+>，故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过ABC的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过ABC的外心，故D选项错误；故选C．【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．10．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒【答案】C 【分析】由切线的性质得出∠OAP =∠OBP =90°，利用四边形内角和可求∠AOB =110°，再利用圆周角定理可求∠ADB =55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB ． 【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ， ∵AP 、BP 是切线， ∴∠OAP =∠OBP =90°，∴∠AOB =360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠ADB =55°，又∵圆内接四边形的对角互补， ∴∠ACB =180°-∠ADB =180°-55°=125°． 故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA 、OB ，求出∠AOB ．11．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）A ．3B ．C ．4D ．2【答案】D 【分析】由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解． 【详解】 解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆 由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴==11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形 ∴60ACP ∠=︒∴在Rt APC ∆中，tan 603AP CP =⨯︒=13222APC S AP CP ∆∴=⨯==．【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．12．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+ B ．2π-C ．1D ．52π- 【答案】D 【分析】取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，由题意可得OB =OC =OA =1，∠OF A =∠OFE =90°，由切线长定理可得AB =AF =2，CE =CF ，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可． 【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2， ∴BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°， ∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线， ∴OB =OC =OF =1，∠OF A =∠OFE =90°， ∴AB =AF =2，CE =CF ， ∵OA =OA ，∴Rt △ABO ≌Rt △AFO （HL ）， 同理可证△OCE ≌△OFE ，∴,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠， ∴90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠， ∴COE BAO ∠=∠， ∴ABO OCE ∽，∴OC CEAB OB=， ∴12CE =，∴15222222ABO OCE ABCE S S S S SS ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 故选D ． 【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．13．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，MN=，则AMN周长的最小值是（）若O的面积为2π，1A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．【详解】如图所示，CN AN，过A点作CN的（1）N为BD上一动点，A点关于线段BD的对称点为点C，连接CN，则=平行线AG，过C点作BD的平行线CG，两平行线相交于点G，AG与BD相交于点M．CN MG NM CG//,//,∴四边形CNMG是平行四边形∴MG CN =∴MG AN =则=1AMNCAN AM NM MG AM ++=++（2）找一点'N ， 连接'CN ，则'='CN AN ，过G 点作'CN 的平行线MG ，连接'AM 则''=''''''''''1AM N CAN AM N M AN AM CG AN AM NM AN AM ++=++=++=++．此时1''1AN AM AN AM ++<++∴''AMNAM N CC<∴（1）中AMN 周长取到最小值四边形CNMG 是平行四边形∴CNM NMA ∠=∠四边形ABCD 是正方形∴CO OA =，AC BD ⊥又CNM NMA ∠=∠，NOC MOA ∠=∠，CO OA =∴()CNO AOM AAS ≅ ∴ON OM =又AC BD∴AN AM =∴ANM 是等腰三角形22S r ππ==，则圆的半径r =1111222OM MN ==⨯= 2222219+24AM r OM ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 32AM ∴=3=2+1=42AMN C ∴⨯故选：B ． 【点睛】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到AMN 周长取最小值时M N 、的位置． 14．（2021·贵州贵阳市·中考真题）如图，O 与正五边形ABCDE 的两边,AE CD 相切于,A C 两点，则AOC ∠的度数是（ ）A ．144︒B ．130︒C ．129︒D ．108︒【答案】A 【分析】根据切线的性质，可得∠OAE ＝90°，∠OCD ＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解． 【详解】解： ∵A E 、CD 切⊙O 于点A 、C ， ∴∠OAE ＝90°，∠OCD ＝90°，∴正五边形ABCDE 的每个内角的度数为：()521801085-⨯︒=︒ ，∴∠AOC ＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．15．（2021·广东中考真题）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2yx 上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、B ，过O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（ ）A ．12B ．2C ．2D ．1【答案】A【分析】设A (a ，a ²)，B(b ，b ²)，求出AB 的解析式为1()1y ax a，进而得到OD =1，由∠OCB=90°可知，C 点在以OD 的中点E 为圆心，以1122r OD 为半径的圆上运动，当CH 为圆E 半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C 点作y 轴垂线，垂足为H ，AB 与x 轴的交点为D ，设A (a ，a ²)，B(b ，b ²)，其中a ≠0，b ≠0， ∵OA ⊥OB ， ∴1OA OB k k ⋅=-，∴221a b a b，即1ab =-，221ABa b k a b aa ba， 设AB 的解析式为：1()y ax m a，代入A (a ，a ²)， 解得：1m =， ∴1OD =，∵OC AB ⊥，即90OCB ∠= ， ∴C 点在以OD 的中点E 为圆心，以1122rOD 为半径的圆上运动， 当CH 为圆E 的半径时，此时CH 的长度最大，故CH 的最大值为12r =， 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB 与y 轴交点的纵坐标始终为1，结合90OCB ∠=，由此确定点E 的轨迹为圆进而求解．16．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A 沿x 轴移动，当⊙A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，点A 的坐标为（ ）A ．(12,0)-B ．(13,0)-C ．(12,0)±D ．(13,0)±【答案】D 【分析】当⊙A 与直线5:12l y x =只有一个公共点时，则此时⊙A 与直线5:12l y x =相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为B ，此时B 点同时在⊙A 与直线5:12l y x =上，故可以表示出B 点坐标，过B 点作//BC OA ，则此时AOB OBC △∽△，利用相似三角形的性质算出OA 长度，最终得出结论．【详解】如下图所示，连接AB ，过B 点作//BC OA ，此时B 点坐标可表示为512x,x ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴512OC x =，BC x =， 在Rt OBC中，1312OB x ===，又∵A 半径为5，∴5AB =， ∵//BC OA ，∴AOB OBC △∽△，则OA AB OBBO OC BC ==， ∴51351212OA =x x ，∴13OA=，∵左右两侧都有相切的可能， ∴A 点坐标为(13,0)±， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．17．（2021·福建中考真题）如图，AB 为O 的直径，点P 在AB 的延长线上，,PC PD 与O 相切，切点分别为C ，D ．若6,4AB PC ==，则sin CAD ∠等于（ ）A．35B．25C．34D．45【答案】D【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠P AD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出sin COP∠即可．【详解】解：连接OC，CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠P AD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵6AB=∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP =5．∴sin CAD ∠=sin COP ∠=45故选：D ． 【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解．18．（2021·山西中考真题）如图，在O 中，AB 切O 于点A ，连接OB 交O 于点C ，过点A 作//AD OB 交O 于点D ，连接CD ．若50B ∠=︒，则OCD ∠为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒【答案】B 【分析】连接OA ，根据AB 与O 相切易得90OAB ∠=︒，在Rt OAB 中，已知50B ∠=︒，可以求出AOB ∠的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出ADC ∠的度数，最后根据//AD OB 可得OCD ADC ∠=∠．【详解】如下图，连接OA ，∵AB 切O 于点A ， ∴90OAB ∠=︒， 在Rt OAB 中，∵50B ∠=︒， ∴40AOB ∠=︒， ∴20ADC ∠=︒， 又∵//AD OB ，∴=20OCD ADC ∠=∠︒． 故选：B ． 【点睛】本题考察了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键． 19．（2021·吉林长春市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若35BAC ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒【答案】C 【分析】根据切线的性质，得∠ABC =90°，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵AB 是O 的直径，BC 是O 的切线， ∴AB ⊥BC ，即∠ABC =90°， ∵35BAC ∠=︒， ∴ACB ∠=90°-35°=55°， 故选C ． 【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键．20．（2021·上海中考真题）如图，已知长方形ABCD 中，4,3AB AD ==，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点,C D 与圆A 的位置关系是（ ）A．点C在圆A外，点D在圆A内B．点C在圆A外，点D在圆A外C．点C在圆A上，点D在圆A内D．点C在圆A内，点D在圆A外【答案】C【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可【详解】AB=，圆B的半径为1∵圆A与圆B内切，4∴圆A的半径为5AD=<5∵3∴点D在圆A内在Rt△ABC中，5AC==∴点C在圆A上故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键二、填空题21．（2021·湖南常德市·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD 的度数是_____．【答案】140°．【详解】试题分析：∵∠BOD=80°，∴∠A=40°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD=180°-40°=140°，故答案为140°．考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理22．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为4，C P为AB边上一动点，过点P作C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC，∵PQ和圆C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，∴当CP最小时，PQ最小，∵△ABC是等边三角形，∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP∵圆C的半径CQ∴PQ=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．OP=．若PT是23．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，已知O的半径为1，点P是O外一点，且2O的切线，T为切点，连接OT，则PT=_____．【分析】根据圆的切线的性质，得90OTP ∠=︒，根据圆的性质，得1OT =，再通过勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】∵PT 是O 的切线，T 为切点 ∴90OTP ∠=︒∴PT = ∵O 的半径为1 ∴1OT =∴PT【点睛】本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质，从而完成求解． 24．（2021·陕西中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为4，O 的半径为1．若O 在正方形ABCD 内平移（O 可以与该正方形的边相切），则点A 到O 上的点的距离的最大值为______．【答案】1 【分析】由题意易得当O 与BC 、CD 相切时，切点分别为F 、G ，点A 到O 上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC ，交O 于点E ，然后可得AE 的长即为点A 到O 上的点的距离为最大，由题意易得4,45AB BC ACB ==∠=︒，则有△OFC 是等腰直角三角形，AC =根据等腰直角三角形的性质可得OC【详解】解：由题意得当O 与BC 、CD 相切时，切点分别为F 、G ，点A 到O 上的点的距离取得最大，如图所示：90OFC ∠=︒连接AC ，OF ，AC 交O 于点E ，此时AE 的长即为点A 到O 上的点的距离为最大，如图所示， ∵四边形ABCD 是正方形，且边长为4， ∴4,45AB BC ACB ==∠=︒，∴△OFC 是等腰直角三角形，AC = ∵O 的半径为1， ∴1OF FC ==，∴OC =∴AO AC OC =-=∴1AE AO OE =+=，即点A 到O 上的点的距离的最大值为1；故答案为1． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．25．（2021·青海中考真题）点P 是非圆上一点，若点P 到O 上的点的最小距离是4cm ，最大距离是9cm ，则O 的半径是______． 【答案】6.5cm 或2.5cm 【分析】分点P 在O 外和O 内两种情况分析；设O 的半径为xcm ，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】设O 的半径为xcm当点P 在O 外时，根据题意得：429x += ∴ 2.5x cm =当点P 在O 内时，根据题意得：294x =+ ∴ 6.5x cm =故答案为：6.5cm 或2.5cm ． 【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．26．（2021·北京中考真题）如图，,PA PB 是O 的切线，,A B 是切点．若50P ∠=︒，则AOB ∠=______________．【答案】130° 【分析】由题意易得90∠=∠=︒PAO PBO ，然后根据四边形内角和可求解． 【详解】解：∵,PA PB 是O 的切线， ∴90∠=∠=︒PAO PBO ，∴由四边形内角和可得：180AOB P ∠+∠=︒， ∵50P ∠=︒， ∴130AOB ∠=︒； 故答案为130°． 【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．27．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，现有以下结论：①AP PF =；②DE BF EF +=；③PB PD -=；④AEFS为定值；⑤APG PEFG S S=四边形．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．【答案】①②③⑤ 【分析】由题意易得∠APF =∠ABC =∠ADE =∠C =90°，AD =AB ，∠ABD =45°，对于①：易知点A 、B 、F 、P 四点共圆，然后可得∠AFP =∠ABD =45°，则问题可判定；对于②：把△AED 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则有DE =BH ，∠DAE =∠BAH ，然后易得△AEF ≌△AHF ，则有HF =EF ，则可判定；对于③：连接AC ，在BP 上截取BM =DP ，连接AM ，易得OB =OD ，OP =OM ，然后易证△AOP ∽△ABF ，进而问题可求解；对于④：过点A 作AN ⊥EF 于点N ，则由题意可得AN =AB ，若△AEF 的面积为定值，则EF 为定值，进而问题可求解；对于⑤由③可得2AP AF =，进而可得△APG ∽△AFE ，然后可得相似比为2AP AF =相似三角形的面积比与相似比的关系可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，PF AP ⊥，∴∠APF =∠ABC =∠ADE =∠C =90°，AD =AB ，∠ABD =45°， ①∵180ABC APF ∠+∠=︒，∴由四边形内角和可得180BAP BFP ∠+∠=︒， ∴点A 、B 、F 、P 四点共圆， ∴∠AFP =∠ABD =45°， ∴△APF 是等腰直角三角形， ∴AP PF =，故①正确；②把△AED 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，如图所示：∴DE =BH ，∠DAE =∠BAH ，∠HAE =90°，AH =AE ， ∴45HAF EAF ∠=∠=︒， ∵AF =AF ，∴△AEF ≌△AHF （SAS ）， ∴HF =EF ，∵HF BH BF =+，∴DE BF EF +=，故②正确；③连接AC ，在BP 上截取BM =DP ，连接AM ，如图所示：∵点O 是对角线BD 的中点， ∴OB =OD ，BD AC ⊥，∴OP =OM ，△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =，由①可得点A 、B 、F 、P 四点共圆， ∴APO AFB ∠=∠， ∵90ABF AOP ∠=∠=︒，∴△AOP ∽△ABF ，∴OP OA AP BF AB AF ===，∴OP BF =， ∵2BP DP BP BM PM OP -=-==，∴PB PD -=，故③正确； ④过点A 作AN ⊥EF 于点N ，如图所示：由②可得∠AFB =∠AFN ， ∵∠ABF =∠ANF =90°，AF =AF ， ∴△ABF ≌△ANF （AAS ）， ∴AN =AB ，若△AEF 的面积为定值，则EF 为定值， ∵点P 在线段OD 上，∴EF 的长不可能为定值，故④错误；⑤由③可得2AP AF =， ∵∠AFB =∠AFN =∠APG ，∠F AE =∠P AG ， ∴△APG ∽△AFE ，∴2GP AP EF AF ==，∴212AGP AEFS S==⎝⎭， ∴12AGPAEFSS =，∴APG PEFG S S=四边形，故⑤正确；综上所述：以上结论正确的有①②③⑤； 故答案为①②③⑤． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．28．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π 【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案． 【详解】 连接OC 、OD ，∵,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ， ∴90OCP ODP ∠=∠=︒，∵120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒， ∴60COD ∠=︒， ∴CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．29．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，O 与OAB 的边AB 相切，切点为B ．将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，使点O '落在O 上，边A B '交线段AO 于点C ．若25A '∠=︒，则OCB ∠=______度．【答案】85 【分析】连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB =∠OBO′=60°，由O 与OAB 的边AB 相切，可求∠CBO ==30°，利用三角形内角和公式即可求解． 【详解】 解：连结OO′，∵将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△， ∴BO′=BO =OO′， ∴△BOO′为等边三角形， ∴∠OBO′=60°，∵O 与OAB 的边AB 相切， ∴∠OBA =∠O′BA′=90°，∴∠CBO =90°-∠OBO′=90°-60°=30°， ∵∠A′=25°∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°∴∠AOB=∠A′O′B=65°，∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°．故答案为85．【点睛】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键．30．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为___________；②ABC面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ①线段PB 长的最小值为_______； ②若23PCDPADSS =，则线段PD 长为________．【答案】（1）①2；2；（2）见解析；（3）； 【分析】（1）①设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到∠BOC =60°，证明△OBC 是等边三角形，可得半径；②过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，△ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可； （3）①根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′； ②根据AD ，CD 和23PCDPADSS =推出点P 在∠ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF ⊥PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ． 【详解】解：（1）①设O 为圆心，连接BO ，CO ， ∵∠BAC =30°，∴∠BOC =60°，又OB =OC ， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB =OC =BC =2，即半径为2； ②∵△ABC 以BC 为底边，BC =2，∴当点A 到BC 的距离最大时，△ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ， ∴BE =CE =1，DO =BO =2，∴OE∴DE 2，∴△ABC 的最大面积为)1222⨯⨯=2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ， ∵点D 在圆上， ∴∠BDC =∠BAC ， ∵∠BA ′C =∠BDC +∠A ′CD ， ∴∠BA ′C ＞∠BDC ，∴∠BA ′C ＞∠BAC ，即∠BA ′C ＞30°；（3）①如图，当点P 在BC 上，且PC =32时， ∵∠PCD =90°，AB =CD =2，AD =BC =3， ∴tan ∠DPC =CD PC =43，为定值， 连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，∵点Q是PD中点，∴点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，∴BE=BC-CE=3-34=94，∴BQ，∵PD 52，∴圆Q的半径为155 224⨯=，∴BP′=BQ-P′Q，即BP；②∵AD=3，CD=2，23PCD PADS S=，则23 CDAD=，∴△P AD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，过点C作CF⊥PD，垂足为F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，又CD=2，∴CF=DF。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题26圆的有关计算（共52题）一、单选题1．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πB ．12D ．1 【答案】B【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可．【详解】解：如下图：连接BC ，AO ，∵90BAC ∠=，∵BC 是直径，且BC=2，又∵AB AC =，∵45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又∵sin 45OA AB ︒=，112OA BC == ，∵ 1sin 45OA AB ===︒∵BC 的长度为：901802π⨯，∵， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则：22r π=，∵12r π=⨯ 故选：B【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．2．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ）A ．32πB ．3πC ．5πD ．15π 【答案】D【分析】 已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可． 【详解】 解：2150615360S ππ⨯==． 故选：D【点睛】本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键．3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-．6π-C ．12π-．12π-【答案】D【分析】作OC ∵AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∵A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．【详解】解：作OC∵AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∵∵A=∵B=12（180°-∵AOB）=30°，在Rt∵AOC中，OC=12OA=9，AC=∵AB=2AC=又∵12018180ABπ⨯⨯==12π，∵走便民路比走观赏路少走12π-故选D．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的△O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF△AC，垂足为点F，若△O的半径为△CDF=15°，则阴影部分的面积为（）A．16π-B．16π-C．20π-．20π-【答案】A【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∵ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∵BAC=2∵DAC=2×15°=30°，求得∵AOE=120°，过O作OH∵AE于H，解直角三角形得到OH，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD，连接OE，∵AB是直径，∵∵ADB=90°，∵∵ADB=∵ADC=90°，∵DF∵AC，∵∵DFC=∵DF A=90°，∵∵DAC=∵CDF=15°，∵AB=AC，D是BC中点，∵∵BAC=2∵DAC=2×15°=30°，∵OA=OE，∵∵AOE=120°，过O作OH∵AE于H，∵AO∵OH=12 AO∵AH=6，∵AE=2AH=12，∵S阴影=S扇形AOE-S∵AOE=(21201123602π⨯-⨯⨯16π=-故选：A．【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．5．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形ABCD中，1,AB BC==P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为1C，当点P运动时，点1C也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段1CC扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C．2π【答案】B先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则∵BQC =90°，∵当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ，∵C 、C 1关于PB 对称，∵∵EC 1C =∵BQC =90°，∵点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合，当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠====， ∵∵PBC =30°，∵∵FBP =∵PBC =30°，CQ =122BC =，BQ 32=，∵∵FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCF S ππ⨯+= 故选：B ．【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD ，再分别以E 、F 为圆心，1为半径作圆弧BO 、OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．π﹣3D ．4﹣π【答案】B【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得， 阴影部分的面积是：14•π×22﹣2112π⋅⨯﹣2（1×1﹣14•π×12）＝π﹣2， 故选：B ．【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算． 7．（2021·青海中考真题）如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A （羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（ ）平方米．A ．17π12B ．17π6C ．25π4D ．77π12【答案】D【分析】根据题意，画出这只羊在草地上的最大活动区域，然后根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示：这只羊在草地上的最大活动区域为两个扇形，其中大扇形的半径为5米，圆心角为90°；小扇形的半径为5－4=1米，圆心角为180°－120°=60°羊在草地上的最大活动区域面积=2290π560π1360360⨯⨯+=77π12（平方米） 故选D ．【点睛】此题考查的是扇形的面积公式的应用，掌握扇形的面积公式是解决此题的关键．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．2132π-B ．2132π-C ．2πD ．122π- 【答案】A【分析】以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，判断出90PBC ∠<︒，再根据∵BCP =90°和∵BPC =90°两种情况判断出点P 的位置，启动改革免费进行求解即可．【详解】解：以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，∵∵BPC 为等腰直角三角形，且点P 在菱形ABCD 的内部，很显然，90PBC ∠<︒∵若∵BCP =90°，则CP =BC =2这C 作CE ∵AD ,交AD 于点E ，∵四边形ABCD 是菱形∵AB =BC =CD =DA =2，∵D =∵ABC =60°∵CE =CDsin ∵D =22=< ∵点P 在菱形ABCD 的外部，∵与题设相矛盾，故此种情况不存在；∵∵BPC =90°过P 作PF ∵BC 交BC 于点F ，∵∵BPC 是等腰直角三角形，∵PF =BF =12BC =1 ∵P (1,1)，F (1,0)过点A 作AG ∵BC 于点G ，在Rt ∵ABG 中，∵ABG =60°∵∵BAG =30°∵BG =112AB =，AG =∵A ，(1,0)G∵点F 与点G 重合∵点A 、P 、F 三点共线∵1AP AF PF =-=∵1111)22ABP S ∆=⨯⨯=∵22=133ABP BPC BAC S S S S ππ∆∆--==阴影扇形 故选：A ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 【答案】D【分析】取BC 的中点O ，设AE 与∵O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，由题意可得OB =OC =OA =1，∵OF A =∵OFE =90°，由切线长定理可得AB =AF =2，CE =CF ，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与∵O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2，∵BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°，∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线，∵OB =OC =OF =1，∵OF A =∵OFE =90°，∵AB =AF =2，CE =CF ，∵OA =OA ，∵Rt ∵ABO ∵Rt ∵AFO （HL ），同理可证∵OCE ∵∵OFE ，∵,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，∵90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，∵COE BAO ∠=∠，∵ABO OCE ∽， ∵OC CE AB OB=， ∵12CE =， ∵15222222ABO OCE ABCE S S S SS S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 故选D ．【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，线段10AB =，点C 、D 在AB 上，1AC BD ==．已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，在点P 移动过程中作如下操作：先以点P 为圆心，PA 、PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P 的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S ．则S 关于t 的函数图像大致是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意，先求出1PA t =+，9PB t =-，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．【详解】解：根据题意，∵10AB =，1AC BD ==，且已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，则08t ≤≤，∵1PA t =+，∵10(1)9PB t t =-+=-，由PA 的长为半径的扇形的弧长为：60(1)(1)1803t t =ππ++ ∵用PA 的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为16t + ∵其底面的面积为()2136t π+ 由PB 的长为半径的扇形的弧长为：60(9)(9)1803-t t =ππ- ∵用PB 的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为96-t ∵其底面的面积为()2936-t π ∵两者的面积和()222(1)(9)1841363618t t S =t t πππ+-=+-+ ∵图像为开后向上的抛物线，且当4t =时有最小值；故选：D ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．11．（2021·山东东营市·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）A ．214°B ．215°C ．216°D ．217°【答案】C【分析】由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6，可得母线长5l ==，圆锥的底面周长为：6=6ππ⨯，设圆心角的度数为n ， 则π56π180n ⨯=， 解得：216n =，故圆心角度数为：216︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．12．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π【答案】D【分析】根据正多边形内角和公式求出∵F AB ，利用扇形面积公式求出扇形AB F 的面积计算即可．【详解】解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∵∵F AB =()621801206-⨯︒=︒，AB =6， ∵扇形ABF 的面积=2120612360， 故选择D ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键． 13．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC 的三个顶点都在O 上，AD 是O 的直径．若3OA =，则劣弧BD 的长是（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π 【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到∵BOC =2∵BAC ，证明∵AOB ∵∵AOC ，得到∵BAO =∵CAO =30°，得到∵BOD ，再利用弧长公式计算．【详解】解：连接OB ，OC ，∵∵ABC 是等边三角形，∵∵BOC =2∵BAC =120°，又∵AB =AC ，OB =OC ，OA =OA ，∵∵AOB ∵∵AOC （SSS ），∵∵BAO =∵CAO =30°，∵∵BOD =60°，∵劣弧BD 的长为603180π⨯⨯=π， 故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∵BOD 的度数． 14．（2021·湖北中考真题）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】B【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．【详解】解：设这个圆锥底面半径为cm r ， 由题意得：120302180ππ⨯=r ， 解得10(cm)r =，即这个圆锥底面半径为10cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图特点是解题关键．15．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1:S S 的比值为（ ）A ．8πB ．4πC ．14D ．12 【答案】A【分析】根据题意，设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a ，分别表示出黑色部分面积和正方形ABCD 的面积，进而即可求得1:S S 的比值．【详解】设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a∵24S a =，圆的面积为2a π∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称∵黑色部分面积为圆面积的一半 ∵2112S a π=∵2211::(4)28S S a a ππ==，【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求解，准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内切圆性质、中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关键．16．（2021·河北中考真题）如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，8AFO S =△，2CDO S =△，则ABCDEF S 正六边形的值是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．随点O 位置而变化【答案】B【分析】连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，根据矩形的性质求出5AFM S =△，再求出正六边形面积即可．【详解】解：连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∵AB =BC ，∵B =∵BAF = 120°，∵∵BAC =30°，∵∵F AC =90°，同理，∵DCA =∵FDC =∵DF A =90°，∵四边形ACDF 是矩形，1+=102AFO CDO AFDC S S S =△△矩形，154AFM AFDC S S ==△矩形， =6=30AFM ABCDEF S S △正六边形，故选：B ．【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．二、填空题17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）边长为4cm 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形AOB 的两条边，根据三角函数值即可求出．【详解】如图：正六边形中，过O 作,BO AB ⊥1=(62)1801206CAB ∠-⨯︒=︒ Rt ABO 中，1=602OAB CAB ∠=∠︒,301∴∠=︒ 它的外接圆与内切圆半径的比值是1cos 1AO BO ===∠．． 【点睛】本题考查了正多边形的外接圆和内切圆的相关知识，对称性，特殊角的锐角三角函数，依题意作出图形是解决本题的关键．18．（2021·上海中考真题）六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．． 【分析】由六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到∵ABC 、∵CDE 、∵AEF 为以1为边长的等腰三角形，∵ACE 为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．【详解】解：如图所示，连接AC 、AE 、CE ，作BG ∵AC 、DI ∵CE 、FH ∵AE ，AI ∵CE ，在正六边形ABCDEF 中，∵直角三角板的最短边为1，∵正六边形ABCDEF 为1，∵∵ABC 、∵CDE 、∵AEF 为以1为边长的等腰三角形，∵ACE 为等边三角形，∵∵ABC =∵CDE =∵EF A =120∵，AB =BC = CD =DE = EF =F A =1，∵∵BAG =∵BCG =∵DCE =∵DEC =∵F AE =∵FEA =30∵，∵BG =DI = FH =12，∵由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =2，∵AC =AE =∵由勾股定理得：AI=32，∵S =111332222⨯+=【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．19．（2021·江西中考真题）如图，在边长为ABCDEF 中，连接BE ，CF ，其中点M ，N 分别为BE 和CF 上的动点，若以M ，N ，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．【答案】9或10或18【分析】根据点M ，N 分别为BE 和CF 上的动点，以M ，N ，D 为顶点的三角形是等边三角形，先在脑海中生成运动的动态图，通过从满足条件的特殊的情况入手，然后再适当左右摆动图形，寻找其它可能存在的解．【详解】解：如下图：（1）当M ，N 分别与B ，F 重合时，在ABF 中，由题意得：120,BAF AB AF ∠=︒==易算得：18BF ==，根据正多边形的性质得，18BF BD DF ===，DBF ∴为等边三角形，即DMN 为等边三角形，边长为18，此时60BDF ∠=︒已为最大张角，故在左上区域不存在其它解；（2）当M ，N 分别与DF ，DB 的中点重合时，由（1）且根据三角形的中位线 得：192MN BF ==， 9MN DN DM ∴===，∴DMN 为等边三角形，边长为9，（3）在（2）的条件下，阴影部分等边三角形DMN 会适当的左右摆动，使得存在无数个这样的等边三角形且边长会在9到9， 6310.4≈，且等边三角形的边长为整数，∴边长在9到9或10，综上所述：该等边三角形的边长可以为9或10或18．故答案是：9或10或18．【点睛】本题考查了正多边形中动点产生等边三角形问题，解题的关键是：根据等边三角形的边只能取整数为依据，进行分类讨论，难点在于阴部部分等边三角形向左右适当摆动时如何取边长的整数值．20．（2021·重庆中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线12AC =，16BD =，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，12AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留π）【答案】96-25π【分析】先根据菱形的性质得出AB 的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可得出答案【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，12AC =，16BD =，∵AC ∵BD ，AO =6，BO =8；∵10AB ==； ∵菱形ABCD 的面积=1112169622AC BD ⨯=⨯⨯= ∵四个扇形的半径相等，都为152AB =，且四边形的内角和为360°，∵四个扇形的面积=23605=25360ππ⨯， ∵阴影部分的面积=96-25π；故答案为：96-25π．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．21．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转120︒得到''A B C ．已知3,2AC BC ==，则线段AB 扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________． 【答案】53π 【分析】由于将∵ABC 绕点C 旋转120°得到∵A ′B ′C ′，可见，阴影部分面积为扇形ACA ′减扇形BCB ′，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．【详解】解：如图：由旋转可得：∵ACA ′=∵BCB ′=120°，又AC =3，BC =2，S 扇形ACA ′=2120360AC π⨯=3π， S 扇形BCB ′=2120360BC π⨯=43π， 则线段AB 扫过的图形的面积为433ππ-=53π， 故答案为：53π 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键． 22．（2021·浙江温州市·中考真题）若扇形的圆心角为30，半径为17，则扇形的弧长为______． 【答案】176π 【分析】根据弧长公式l =180n R π求解即可． 【详解】∵扇形的圆心角为30，半径为17，∵扇形的弧长=3017180π⨯=176π． 故答案为：176π 【点睛】 本题考查了弧长计算，熟记弧长公式是解题的关键．23．（2021·山东泰安市·中考真题）若ABC 为直角三角形，4AC BC ==，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．【答案】4【分析】设AB 与半圆的交点为D ,连接DC ,根据题意,得到阴影部分的面积等于ACD S，计算即可 【详解】解：如图，设AB 与半圆的交点为D ，连接DC ，∵BC 是直径，∵∵BDC =90°，∵∵ACB =90°，AC =BC =4，∵∵DBC =∵DCB =45°，AD =BD ，过点D 作DE ∵BC ，垂足为E ，则∵CDE =∵BDE =45°，∵CE =EB =ED =2，∵半圆关于直线DE 对称，∵阴影部分的面积等于ACD S， ∵ACD S =12ABC S =114422⨯⨯⨯=4 故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性，利用圆的对称性化阴影的面积为三角形的面积加以计算是解题的关键．24．（2021·山东聊城市·中考真题）用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 2【答案】80π【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵弧长16πcm 的扇形铁片，∵做一个高为6cm 的圆锥的底面周长为16πcm ，∵圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm ，∵10cm =，∵扇形铁片的面积=16110280ππ⨯⨯=cm 2， 故答案是：80π．【点睛】本题考查了圆锥与扇形，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．25．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2cm,AB AD ==，以点B 为圆心，AB长为半径画弧，交CD 于点E ，则图中阴影部分的面积为_______2cm ．【答案】223π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】 连接BE ，由题意易得BE =AB =2cm ，进而可得∵EBC =30°，∵ABE =60°，然后可得EC =1cm ，最后根据割补法及扇形面积计算公式可进行求解阴影部分的面积．【详解】解：连接BE ，如图所示：由题意得BE =AB =2cm ，∵四边形ABCD 是矩形，∵90ABC C ∠=∠=︒，∵AD =，∵cos BC EBC BE ∠==， ∵∵EBC =30°，∵ABE =60°，∵1cm CE =，∵226022=cm 360223ECB ABCD ABE S S S S ππ⎛⎫⨯--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭阴影矩形扇形；故答案为23π⎫-⎪⎪⎝⎭． 【点睛】 本题主要考查扇形面积计算公式及三角函数，熟练掌握扇形面积计算公式及三角函数是解题的关键． 26．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【答案】48π【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：∵底面圆的半径为4，∵底面周长为8π，∵侧面展开扇形的弧长为8π，设扇形的半径为r ，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°， ∵120180r π＝8π， 解得：r ＝12，∵侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．【点睛】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．27．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =，将ABC绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到AB C ''△，并使点C '落在AB 边上，则点B 所经过的路径长为______．（结果保留π） 【答案】23π． 【分析】利用勾股定理求出AB =2，根据旋转的性质得到旋转角为∵'BAB =60°，再由弧长计算公式，计算出结果．【详解】解：∵90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =，∵AB =2AC ，设AC =x ，则AB =2x ，由勾股定理得：222(2)x x +=， 解得：x =1，则：AC =1，AB =2，∵将ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到'AB C '，且点C '落在AB 边上， ∵旋转角为60°，∵∵'BAB =60°，∵点B 所经过的路径长为：602218018033n r AB ππππ=⨯=⨯= ， 故答案为：23π． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理、旋转的性质和弧长的计算公式，解题关键在于找到旋转角，根据弧长公式进行计算．28．（2021·湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm ，那么这张扇形纸板的面积是________2cm （结果用含π的式子表示）．【答案】180π【分析】由题意易得该扇形的弧长为221020cm r πππ=⨯=，然后根据扇形面积计算公式可求解．【详解】解：由题意得：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为221020cm r πππ=⨯=，∵该扇形的面积为2111820180cm 22S lR ππ==⨯⨯=； 故答案为180π．【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是解题的关键．29．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AB =，点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，连结CP ，点A 关于直线CP 的对称点为'A ，连接A ′C ，'A P ．在运动过程中，点'A 到直线AB 距离的最大值是_______；点P 到达点B 时，线段'A P 扫过的面积为___________．【答案】12112π⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】 （1）通过分析点A ′的运动轨迹，是以点C 为圆心，CA 为半径的圆上，从而求解；（2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解【详解】解：（1）由题意可得点A ′的运动轨迹是以点C 为圆心，CA 为半径的圆上，∵点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，45ACB ∠=︒，点A 关于直线CP 的对称点为'A ， ∵∵ACA ′最大为90°当CA ′∵AB 时，点A ′到直线AB 的距离最大，如图过点B 作BE ∵AC∵30BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AB =，∵在Rt ∵ABE 中，BE =1，AE ，在Rt ∵BCE 中，BE =CE =1∵CA ′=CA 1又∵CA ′∵AB∵在Rt ∵ACF 中，CF =12AC =∵A ′F =A ′C -CF即点'A 到直线AB 距离的最大值是； 点P 到达点B 时，线段'A P 扫过的面积为：'2ABC A CA S S -△扇形=21)121)142π-⨯⨯⨯=112π⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭；11π⎛- ⎝⎭【点睛】本题考查轨迹，含30°直角三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．30．（2021·湖南衡阳市·中考真题）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为__________．（结果保留π）【答案】12π【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积公式求解即可．【详解】圆锥的侧面积=()112341222lR ππ=⨯⋅⨯= 故答案为：12π．【点睛】 本题考查圆锥的侧面积．1=2S lR 扇形，其中l 为扇形的弧长，即底面圆的周长，R 为半径，即圆锥的母线长． 31．（2021·重庆中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，△CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）． 【答案】45π 【分析】利用矩形的性质求得OA =OC =OB =OD =2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且BD =4，∵AC=BD ＝4，OA =OC =OB =OD =2， ∵22362423605AOES S ππ⨯⨯===阴影扇形， 故答案为：45π． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．32．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，∵,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，∵90OCP ODP ∠=∠=︒，∵120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，∵60COD ∠=︒，∵CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．33．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，从一块直径为4dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形，则此扇形的面积为_____2dm ．【答案】2π【分析】如图，连接,AB 证明AB 为圆的直径，再利用勾股定理求解,AC 再利用扇形面积公式计算即可得到答案．【详解】解：如图，连接,ABAB ∴为圆的直径，4AB =，故答案为：2.π【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 34．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB ＝12，则点B 经过的路径BC 长度为_____．（结果保留π）【答案】2π【分析】直接利用弧长公式即可求解．【详解】 解：30122180BC l ππ⋅==， 故答案为：2π．【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．35．（2021·江苏无锡市·中考真题）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】503【分析】。

2021中考数学考点综合复习专题【圆】解答题考点专项巩固复习（含解析）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC 交于点M、N．（1）过点N作NE⊥AB于点E，求证：NE是⊙O的切线；（2）连接MD，若MD＝5，BE＝4，求DE的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB 的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．3．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若CD＝15，BE＝10，tan A＝，求⊙O的直径．4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是的中点，BD交AC于点E，F是AC延长线一点，且FE＝FB．（1）求证：FB是⊙O的切线；（2）已知AB＝2，AD＝2，求FB的长．5．如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O 的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．6．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）7．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．8．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）求证：PD是⊙O的切线；（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．9．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的半径．10．如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．参考答案1．（1）证明：连接ON，如图1所示：则ON＝OC，∴∠OCN＝∠ONC，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AB，∴∠OCN＝∠B，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴NE⊥ON，∴NE是⊙O的切线；（2）解：连接ND，如图2所示：∵CD为⊙O的直径，∴∠CND＝∠CMD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形MDNC为矩形，∴MD＝NC＝5，∵∠CD＝BD，∠CND＝90°，∴BN＝NC＝5，NE＝＝＝3，∵∠DNB＝∠NEB＝90°，∠B＝∠B，∴△DNB∽△NEB，∴＝，即＝，∴BD＝，∴DE＝BD﹣BE＝﹣4＝．2．解：（1）如图1，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵BD是△ABC的外角平分线，∴∠DBE＝∠OBD．∴∠DBE＝∠ODB，∴BE∥OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵DE∥AC，∴∠DEB＝90°，∴OD⊥DE且点D在⊙O上．∴直线DE与⊙O相切；（2）如图1，连接OC，∵∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形．∴∠OBC＝60°，∵BE∥OD，∴∠DOB＝60°，∴∠DOB＝∠BOC，∴BD＝BC＝3．3．解：（1）BD是⊙O的切线．理由如下：连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线．（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，∵DE＝DB，∴EG＝BE＝5，∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，∴∠GDE＝∠A，∴△ACE∽△DGE，∴tan∠EDG＝tan A＝，即DG＝12，在Rt△EDG中，∵DG＝＝12，∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2，∵＝，∴AC＝，AE＝＝，∴AB＝BE+AE＝，∵OF⊥AB，∴AF＝FB＝，∵△ACE∽△AOF∴＝，∴＝，∴AO＝∴⊙O的直径为2OA＝．4．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°，∵，∴∠ABD＝∠DAC，∵FB＝FE，∴∠FBE＝∠FEB，又∴∠FEB＝∠AED，∴∠FBE+∠ABD＝∠AED+∠ADC＝90°，∴FB⊥OB，∴FB是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝，∵∠ABD＝∠DAC，∠D＝∠D，∴△ADB∽△EDA，∴，∴，∴DE＝1，在Rt△AED中，由勾股定理得，AE＝＝，设FB＝FE＝x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：，解得：x＝．即FB的长为．5．解：（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴直线BD是⊙O的切线；（2）∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°，∴OD＝OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，如图，连接DM，∵DE为⊙O的直径，∴∠DME＝90°，∴∠DMB＝90°，∵∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠DME，又∵∠DBM＝∠EBD，∴△BMD∽△BDE，∴＝，∴BM＝＝＝．∴线段BM的长为．6．（1）证明：连接OE，∵AC＝EC，OA＝OE，∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，∵AC⊥AB，∴∠CAD＝90°，∴∠CAE+∠EAO＝90°，∴∠CEA+∠AEO＝90°，即∠CEO＝90°，∴OE⊥CD，∴CE为⊙O的切线；（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1∴AO＝2；∴AF＝即AE＝；∴；∵∠AOE＝120°，AO＝2；∴；＝．∴S阴影7．解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD＝BD＝AB＝×10＝5cm，∵最深地方的高度是3cm，∴OD＝r﹣3，在Rt△OBD中，OB2＝BD2+OD2，即r2＝52+（r﹣3）2，解得r＝（cm），∴输水管的半径为cm．8．（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BCD＝∠BAD，∴∠ADP＝∠BAD，∴DP∥AB；（2）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP∥AB，∴OD⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（3）解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∵△DAB为等腰直角三角形，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，∴△PDA∽△PCD，∴＝＝＝＝，∴PA＝PD，PC＝PD，∵PC＝PA+AC，∴PD+6＝PD，解得：PD＝．9．证明：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠BCD与∠ACE互余，又∠ACE与∠CAE互余，∴∠BCD＝∠BAC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠ACO＝∠BCD；（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，CE＝CD＝×24＝12cm，在Rt△CEO中，由勾股定理可得：OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣8）2+122，解得R＝13．答：⊙O的半径为13cm．10．（1）证明：连接OD，如图所示：∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∵AD∥CO，∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD．∴∠COD＝∠COB．∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC（SAS）．∴∠ODC＝∠OBC．∵CB是圆O的切线且OB为半径，∴∠CBO＝90°．∴∠CDO＝90°．∴OD⊥CD．又∵CD经过半径OD的外端点D，∴CD为圆O的切线．（2）解：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．在直角△ADB中，BD＝＝＝8，∵∠ADB＝∠OBC＝90°，且∠COB＝∠BAD，∴△ADB∽△OBC．∴＝，即＝．∴BC＝12．。