3.示范教案(3.2.2 一元二次不等式的解法的应用(一))

高三数学一元二次不等式及其解法教案范例教学目标
1.了解一元二次不等式的基本定义。

2.学习求解一元二次不等式的方法和技巧。

3.能够自己独立解决一元二次不等式问题。

教学重点
1.一元二次不等式的定义和性质。

2.求解一元二次不等式的方法和技巧。

教学难点
1.复杂的一元二次不等式的求解问题。

2.解决实际问题时如何将问题转化为一元二次不等式的形式。

教学步骤
第一步：引入概念
讲师可以通过图示和实例引入一元二次不等式的定义和性质。

第二步：解法介绍
1.教育者介绍一元二次不等式的最基本解法。

2.教练员通过实例演示一元二次不等式的解决过程。

3.教练员介绍一元二次不等式的常规解法。

第三步：例题讲解
1.针对一元二次不等式的基本解法讲解几道例题。

2.针对一元二次不等式的常规解法讲解几道例题。

3.参与者自己解决例题。

第四步：综合练习
1.针对一元二次不等式的基本解法分组进行练习。

2.针对一元二次不等式的常规解法分组进行练习。

3.教育者鼓励每个参与者独自解决综合练习的问题。

总结
1.通过这一次教学，学生们已经掌握了基本的一元二次不等式求解方法和技巧。

2.同时，学生们也理解了如何将实际问题转换为一元二次不等式的形式。

3.这种一元二次不等式教学法适用于各个年龄段的学生，并且可扩展到更高难度的问题.。

分式不等式的解法一、教学内容分析简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个根本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握.二、教学目标设计1、掌握简单的分式不等式的解法.2、体会化归、等价转换的数学思想方法.三、教学重点及难点重点 简单的分式不等式的解法.难点 不等式的同解变形.四、教学过程设计一、分式不等式的解法1、复习引入学生回忆一元二次不等式解法2、分式不等式的解法例1 解不等式：0231>-+x x 变式.解不等式：0231≥-+x x 例2 解不等式：1232x x +>-. 解：〔化分式不等式为一元一次不等式组〕⇔10320x x -<⎧⎨->⎩或10320x x ->⎧⎨-<⎩⇔123x x <⎧⎪⎨>⎪⎩或123x x >⎧⎪⎨<⎪⎩⇔213x <<或x 不存在. 所以，原不等式的解集为2,13⎛⎫∅ ⎪⎝⎭，即解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 注意到1032x x -<-⇔10320x x -<⎧⎨->⎩或10320x x ->⎧⎨-<⎩⇔()()3210x x --<，可以简化上述解法. 另解：〔利用两数的商与积同号〔00a ab b >⇔>，00a ab b <⇔<〕化为一元二次不等式〕⇔()()3210x x --<⇔213x <<，所以，原不等式的解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：〔1〕不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.〔2〕利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分为两类：〔1〕()()0f xg x>〔0<〕⇔()()0f xg x>〔0<〕；〔2〕()()0f xg x≥〔0≤〕⇔()()()()00f xg xg x≥≤⎧⎪⎨≠⎪⎩.[说明]解不等式中的每一步往往要求“等价〞，即同解变形，否那么所得的解集或“增〞或“漏〞.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要.例3 解以下不等式四、作业布置选用练习2.3〔1〕〔2〕、习题2.3中的局部练习.五、课后反思解分式不等式关键在于同解变形.通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决，这种通过等价变形变“未知〞为“〞的解决问题的方法是教学的重点也是难点，需在课堂教学中有所强调.整个教学内容需让学生共同参与，特别是在“同解变形〞这一点上，应在学生思考、讨论的根底上教师、学生共同进行归纳小结.。

3.2.1一元二次不等式及其解法（第一课时）一、教材分析本节课是人民教育出版社数学（必修5）第三章第二节第一部分内容，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。

一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一。

从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。

从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。

一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。

二、学情分析本节内容对学生来说不算陌生，由于一元二次不等式的解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中学习的薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑，对达成所规定的要求带来影响。

三、教学目标知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。

过程与方法：通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。

情感与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

四、重点与难点重点：一元二次不等式的解法难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系要点：运用数形结合的思想方法，帮助学生将所学知识有机联系五、教法与学法1.教学方法的选择：创设问题情境，采用启发诱导式的教学模式引导学生探索讨论，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。

2.教学方法的选择：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： ①.让学生自己发现问题，自己通过观察图像归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。

②.分组竞赛。

高三数学一元二次不等式及其解法教案范例教案范例：高三数学一元二次不等式及其解法教学目标：1. 理解一元二次不等式的定义和解法；2. 掌握一元二次不等式的图解法和代数解法；3. 能够运用解一元二次不等式的方法解决实际问题。

教学步骤：Step 1：引入知识（5分钟）通过提问学生对一元二次方程的回顾，引入一元二次不等式的概念。

简单介绍一元二次不等式与一元二次方程的异同点。

Step 2：图解法（15分钟）1. 讲解一元二次不等式的图解法：先将不等式转化为对应的一元二次方程，然后求出方程的解集并在坐标系中表示出来，最后根据问题中的不等号关系确定解集。

2. 示例演练：出示若干个一元二次不等式，引导学生尝试用图解法求解。

Step 3：代数解法（15分钟）1. 讲解一元二次不等式的代数解法：通过移项和因式分解的方法将一元二次不等式化为二次因式的乘积形式，然后根据因式的性质确定不等式的解集。

2. 示例演练：出示若干个一元二次不等式，引导学生尝试用代数解法求解。

Step 4：综合训练（15分钟）1. 提供一些综合性的一元二次不等式问题，要求学生综合运用图解法和代数解法解答。

2. 引导学生分析问题的实际背景，并对解集进行合理性判断。

Step 5：拓展应用（10分钟）提供一些与实际问题相关的一元二次不等式，要求学生能够将问题转化为数学不等式，并用所学的方法解决。

Step 6：总结归纳（5分钟）总结一元二次不等式的解法，强调图解法和代数解法的适用条件及各自的特点。

Step 7：作业布置（5分钟）布置一定量的练习题，要求学生熟练掌握一元二次不等式的解法。

教学反思：通过图解法和代数解法的对比，可以帮助学生全面理解一元二次不等式的解法。

同时，引入一些实际问题，能够增强学生对一元二次不等式应用的理解和能力。

在教学过程中，要注意引导学生思考和分析问题，培养他们的解决问题的能力。

一元二次不等式及其解法（第一课时）一、 课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法 四、 教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系 （完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三） 合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1） 类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2） 当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、 知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、 训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组 第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。

3.2一元二次不等式及其解法教案第一篇：3.2一元二次不等式及其解法教案3.2一元二次不等式及其解法（3课时）（一）教学目标1.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来；2.过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来；3.情态与价值：培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。

（二）教学重、难点重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

（四）教学设想[创设情景] 通过让学生阅读第84页的上网问题，得出一个关于x 的一元二次不等式，即x2-5x<0[探索研究] 首先考察不等式x-5x<0与二次函数y=x2-5x以及一元二次方程x-5x=0的关系。

容易知道，方程x-5x=0有两个实根：x1=0,x2=5由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系，知x1=0,x2=5是二次函数222y=x2-5x的两个零点。

通过学生画出的二次函数y=x2-5x的图象，观察而知，当x<0,x>5时，函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x-5x>0；2当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时y<0，即x-5x<0。

22所以，一元二次不等式x-5x<0的解集是x0<x<5{}从而解决了以上的上网问题。

[总结归纳] 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax+bx+c>0或2ax2+bx+c<0(a>0)的解集：可分∆>0,∆=0,∆<0三种情况来讨论。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，()00652≠>+-a a ax ax解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆，所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

备课资料 备用习题
1.解关于x 的不等式（并将解按a 的值进行分类）x 2-(a +a 2)x+a 3＞0（a ∈R）.
解：化为(x-a 2)(x-a )＞0（在数轴上，不等式的解应在两根a 、a 2之外，但a 、a 2谁大？需要
讨论），比较a 与a 2的大小：a 2-a =a (a -1)根为0、1，将数轴分成三段.
∴当a ＜0时，a ＜a 2，解得x ＜a 或x ＞a 2,∴原不等式的解集为（-∞,a ）∪(a 2,+∞);
当a =0时，a 2=a ，解得x≠0,∴原不等式的解集为（-∞,0）∪(0,+∞);
当0＜a ＜1时，a 2＜a ,解得x ＜a 2或x ＞a ,∴原不等式的解集为(-∞,a 2)∪(a ,+∞);
当a =1时，a 2=a ，解得x≠1,∴原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);
当a ＞1时，a 2＞a ,解得x ＜a 或x ＞a 2,∴原不等式的解集为(-∞,a )∪(a 2,+∞).
2.关于x 的不等式x 2-a x+a ＞x 的解集为A ，B =(21-,2
3)，求：A ∩B . 分析：先求解集A ，再求A ∩B .原不等式可化为x 2-(a +1)x+a ＞0,上式等价于(x-1)(x-a )＞0.求A 时，需考虑a 与1的大小关系，求A ∩B 时，还要考虑a 与21-
,232的大小. 3.若a x 2-2x+a 的值可取得一切正实数，求a 的取值范围.
分析：设f(x)=a x 2-2x+a ,
当a =0时，f(x)=-2x 可取一切正实数;
当a ＞0时，∵f(x)可以取得所有正实数，∴抛物线与x 轴必有公共点， ∴Δ≥0,得0＜a ≤1.
当a ＜0时，抛物线开口向下，f(x)无法取得一切正实数,故0≤a ≤1为所求.。

初中数学教案解一元二次不等式的应用问题一、引言数学是一门重要的学科，也是初中阶段学生学习的重点之一。

在初中数学中，解一元二次不等式的应用问题是一个重要的内容。

通过学习和解答这类问题，学生可以提高对一元二次不等式的理解和运用能力，培养解决实际问题的思维方式和能力。

本教案将重点围绕解一元二次不等式的应用问题展开。

二、教学目标1. 知识目标：掌握解一元二次不等式的常用方法和技巧，了解不等式在实际问题中的应用。

2. 能力目标：能够分析和解答一元二次不等式应用问题，培养数学建模能力。

3. 情感目标：培养学生对数学问题的兴趣和自信心，激发学生解决问题的积极性。

三、教学内容1. 一元二次不等式的基本概念与性质；2. 解一元二次不等式的方法和步骤；3. 一元二次不等式在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 知识讲解一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。

我们可以通过移项、因式分解、求根等方法解决一元二次不等式。

例如，对于不等式$ax^2+bx+c>0$，我们可以通过求解其对应的二次方程$ax^2+bx+c=0$的解集，再结合二次函数的图像来确定不等式的解集。

2. 解题示范接下来，我们通过几个实际问题的解答来演示一元二次不等式的应用。

请同学们注意听讲、思考，做好笔记。

问题一：某校图书馆新购了一批教辅书籍，其中包括数学、英语和物理三类书籍。

学生购买这些书籍时发现，数学书籍的总价大于等于100元，英语书籍的总价大于等于80元，物理书籍的总价大于等于120元。

已知数学书籍每本价格为2元，英语书籍每本价格为3元，物理书籍每本价格为4元。

那么购买这些书籍时，学生至少需要花费多少元？解答：设数学书籍的数量为$x$本，英语书籍的数量为$y$本，物理书籍的数量为$z$本。

根据题目的条件，可列出以下不等式：\[2x \geq 100\]\[3y \geq 80\]\[4z \geq 120\]将以上不等式转化为等式，我们可以得到如下关系：\[2x = 100\]\[3y = 80\]\[4z = 120\]接下来，我们将这些等式求解，得到$x=50$，$y=26.\overline{6}$，$z=30$。

掌握解一元二次不等式的方法与应用数学教案教案：掌握解一元二次不等式的方法与应用教学目标：1. 理解一元二次不等式的概念和性质；2. 掌握解一元二次不等式的方法和技巧；3. 能够应用所学方法解决实际问题。

教学重点：1. 理解一元二次不等式的概念和性质；2. 掌握解一元二次不等式的方法和技巧。

教学难点：能够应用所学方法解决实际问题。

教学过程：一、导入（5分钟）通过提问与学生互动，引入一元二次不等式的概念，了解学生的预知观念。

二、概念解释与示例（10分钟）1. 讲解一元二次不等式的概念和常见形式；2. 通过示例演示如何将一元二次不等式转化为二次方程；3. 分析解一元二次不等式的步骤。

三、解一元二次不等式的方法与技巧（20分钟）1. 根据不等式的性质，讲解解一元二次不等式的基本方法；2. 教授常用平方差公式、配方法等技巧；3. 给出一些典型例题，引导学生运用方法和技巧解题。

四、实战演练（15分钟）提供一些实际问题，要求学生将问题转化为一元二次不等式，并解决实际问题。

范例：甲、乙两人同时从同一地点以不同的速度出发，甲的速度是乙的两倍，乙的速度是甲的 $2/3$ 倍。

设甲经过不等于0的 t 小时后会与乙相遇，求 t 的取值范围。

五、拓展运用（15分钟）扩展一元二次不等式的应用范围，引导学生解决更复杂的问题，如面积最大、最小值的问题。

六、归纳总结（5分钟）归纳解一元二次不等式的常见方法和技巧，总结解决实际问题的思路。

七、作业布置（5分钟）布置一些练习题、思考题或课后作业，巩固所学知识。

教学资源：教师准备：课件、解题范例、实际问题案例；学生准备：教材、课堂练习题。

教学评价：1. 参与度：观察学生对教学内容的积极参与程度；2. 解题能力：评价学生对一元二次不等式的理解和解题能力；3. 讲解能力：评价学生能否准确地解释和表达解题思路和方法。

教学延伸：1. 鼓励学生自主探究更复杂的一元二次不等式；2. 引导学生通过更多的实际问题加深对一元二次不等式的应用。

3.2一元二次不等式及其解法3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法从容说课本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教具准备多媒体及课件，幻灯片三张三维目标一、知识与技能1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.教学过程导入新课师上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Servi c e Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算） 一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A 比选择公司B 所需费用少？假设一次上网x 小时，则A 公司收取的费用为1.5x ，那么B 公司收取的费用为多少？怎样得来？ 生 结果是20)35(x x -元，因为是等差数列，其首项为1.7，公差为-0.1，项数为x 的和，即.20)35()1.0(2)1(7.1x x x x x -=--+师 如果能够保证选择A 公司比选择B 公司所需费用少，则如何列式？ 生 由题设条件应列式为20)35(x x -＞1.5x(0＜x ＜17)，整理化简得不等式x 2-5x ＜0.推进新课师 因此这个问题实际就是解不等式：x 2-5x ＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点. 什么叫做一元二次不等式？含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ≠0）.例如2x 2-3x-2＞0，3x 2-6x ＜-2，-2x 2+3＜0等都是一元二次不等式. 那么如何求解呢？师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？ 思考：对一次函数y=2x-7，当x 为何值时，y=0？当x 为何值时，y ＜0？当x 为何值时，y ＞0？ 它的对应值表与图象如下：x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y -3 -2 -1 01 2 3 由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=3.5时，y=0，即2x-7=0； 当x ＜3.5时，y ＜0，即2x-7＜0； 当x ＞3.5时，y ＞0，即2x-7＞0.师 一般地，设直线y=a x+b 与x 轴的交点是(x 0，0),则有如下结果： （1）一元一次方程a x+b =0的解是x 0；（2）①当a ＞0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＞x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＜x 0}.②当a ＜0时，一元一次不等式a x+b ＞0的解集是{x|x ＜x 0}；一元一次不等式a x+b ＜0的解集是{x|x ＞x 0}.师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？ 生 函数图象与x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x 轴上方(下方)部分对应的横坐标.a ＞0 a ＜0一次函数 y=a x+b (a ≠0)的图象一元一次方程a x+b =0的解集 {x|x=a b -} {x|x=a b -} 一元一次不等式a x+b ＞0的解集 {x|x ＞a b -} {x|x ＜a b -} 一元一次不等式a x+b ＜0的解集{x|x ＜ab -}{x|x ＞ab -}师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x 2-5x ，当x 为何值时，y=0？当x 为何值时，y ＜0？当x 为何值时，y ＞0？当时我们又是怎样解决的呢？ 生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x 轴的交点，通过观察来解决的. 二次函数y=x 2-5x 的对应值表与图象如下： x -1 0 1 2 3 4 5 6 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6由对应值表与图象（如上图）可知： 当x=0或x=5时，y=0，即x 2-5x=0； 当0＜x ＜5时，y ＜0，即x 2-5x ＜0； 当x ＜0或x ＞5时，y ＞0，即x 2-5x ＞0.这就是说，若抛物线y=x 2-5x 与x 轴的交点是(0，0)与(5，0), 则一元二次方程x 2-5x=0的解就是x 1=0，x 2=5.一元二次不等式x 2-5x ＜0的解集是{x|0＜x ＜5};一元二次不等式x 2-5x ＞0的解集是{x|x ＜0或x ＞5}.［教师精讲］由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)，设其判别式为Δ=b 2-4ac ，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式a x 2+b x+c ＞0或a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.（1）若Δ＞0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴有两个交点〔图（1）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个不相等的实根x 1，x 2（x 1＜x 2）,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x ＜x 1，或x ＞x 2}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是{x|x 1＜x ＜x 2}. （2）若Δ=0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)有两个相等的实根x 1=x 2=ab 2-,则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是{x|x≠ab 2-}；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.(3)若Δ＜0，此时抛物线y=a x 2+b x+c (a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程a x 2+b x+c =0(a ＞0)无实根，则不等式a x 2+b x+c ＞0（a ＞0）的解集是R ；不等式a x 2+b x+c ＜0（a ＞0）的解集是.Δ=b 2-4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0二次函数y=a x 2+b x+c (a ＞0)的图象a x 2+b x+c =0的根ab x 22.1∆≡±-=x 1=x 2=a b 2-∅a x 2+b x+c ＞0的解集 {x|x ＜x 1或x ＞x 2}{x|x≠ab 2-}Ra x 2+b x+c ＜0的解集 {x|x 1＜x ＜x 2}∅ ∅ 对于二次项系数是负数（即a ＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. ［知识拓展］【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0.生 解：因为Δ＞0，2x 2-5x-3=0的解是x 1=-21,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x ＜21-，或x＞3}.【例2】 解不等式-3x 2+15x ＞12.生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x 2-15x+12=0的解是x 1=1,x 2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x ＜4}.【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.生 解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x 1=x 2=21-.所以不等式的解集是{x|x≠21-}.【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.生 解：整理化简，得x 2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是∅.师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？ 生 归纳如下：（1）将二次项系数化为“+”：y=a x 2+b x+c ＞0(或＜0)(a ＞0). （2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：①Δ＞0时，求根x 1＜x 2，⎩⎨⎧≠.,0;,02121x x x y x x x x y ＜＜则＜若＞或则＞若②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，⎪⎩⎪⎨⎧==∅∈≠.,0;,0;,000x x y x y x x y 则若则＜若的一切实数则＞若③Δ＜0时，方程无解，⎩⎨⎧∅∈≤∈.,0;,0x y R x y 则若则＞若（3）写出解集.师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整. ［学生活动过程］［方法引导］上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神. 课堂小结1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是a x2+b x+c＞0或a x2+b x+c＜0（a≠0）.2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.布置作业1.完成第90页的练习.2.完成第90页习题3.2第1题.板书设计一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒体演示区一元二次不等式概念一元二次不等式解题步骤例题。

3.2 一元二次不等式及其解法教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1。

正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。

2. 熟练掌握一元二次不等式的解法。

二、过程与方法1。

通过看图象找解集，培养学生从“从形到数"的转化能力,“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

2.通过对问题的思考、探究、交流,培养学生良好的数学交流能力，增强其数形结合的思维意识.3.在教学中渗透由具体到抽象,由特殊到一般、类比猜想、等价转化的数学思想方法。

三、情感、态度与价值观1。

通过具体情境,使学生体验数学与实践的紧密联系，激发学生学习研究一元二次不等式的积极性和对数学的情感，使学生充分体验获取知识的成功感受.2. 在探究、讨论、交流过程中培养学生的合作意识和团队精神，使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯。

教学重点和难点教学重点：一元二次不等式的解法。

教学难点:一元二次方程,一元二次不等式与二次函数的关系.教学关键：使学生明白三个二次之间的关系,规范学生解题的步骤。

教学突破方法:采用表格的形式,把“三个二次”关系表制成幻灯片，答案逐个播放，把节省大量的板书时间转化成学生的思考时间；在引导学生结合图象写解集时用白板笔做标记帮助学生分析，突破难点.例题讲解、方法总结环节中，白板演示例题、黑板板书步骤，黑板、白板交替使用既节省了板书例题时间又起到了规范解题步骤的作用,也符合学生接受新事物时的心理.教学小结环节展示整节课的教学导图.教法与学法导航教学方法:选择观察、探究、发现、类比、总结的教学模式.重点以引导学生为主,让他们能积极、主动的进行探索，获取知识.学习方法：结合本节内容和学生实际,适当引入研究性学习，采用讲练结合方法,通过阅读发现问题，分析探索,合作交流最终形成技能.使学生在观察、思考、交流中体验数学学习的乐趣.教学准备教师准备：把书上的引例、发现“三个一次”联系的过程及教材第77页“三个二次"关系、第78页程序框图制成课件。