【附15套精选模拟试卷】河南省六市2020届高三第二次联考试题文科数学试卷含解析

1-6 C B 二㊁填空13.2 14.3 15.(-1,6) 16.23三㊁解答题17解:(Ⅰ)ȵa 12+a 23+ +a n n +1=n 2+n ..①ʑ当n =1时,可得a 1=4,1分 当n ȡ2时,a 12+a 23+ +a n -1n =(n -1)2+n -1.② 分 ① ②可得:a n n +1=(2n -1)+1=2n ,4分 ʑa n =2n (n +1).n =1时也满足5分 ʑa n =2n (n +1).6分 (Ⅱ)b n =1a n =12n (n +1)=12(1n -1n +1)8分 ʑS n =12(1-12+12+12-13+ +1n -1n +1=12(1-1n +1),10分 又S n >1940,可得n >19,11分 可得最小正整数n 为20.12分 18解:(Ⅰ)证明:因为G 为A E 中点,A D =D E =2所以D G ʅA E .1分 因为平面A D E ʅ平面A B C E ,平面A D E ɘ平面A B C E =A E ,D G ⊂平面A D E ,所以D G ʅ平面A B C E .3分 在直角三角形A D E 中,易求A E =22,则D G =A D ㊃D E A E =2.4分 所以四棱锥D -A B C E 的体积为V D -A B C E =13ˑ(1+5)ˑ22ˑ2=22.6分 (Ⅱ)在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E 且B P B D =457分 过点C 作C F ʊA E 交A B 于点F ,过点F 作F P ʊA D 交D B 于点P ,连接P C因为C F ʊA E ,A E ⊂平面A D E ,C F ⊄平面A D E ,所以C F ʊ平面A D E ,同理F P ʊ平面A D E ,又因为C F ɘP F =F ,所以平面C F P ʊ平面A D E .9分 因为C P ⊂平面C F P ,所以C P ʊ平面A D E . 2020年河南省数六学市文高科三参第考二答次案联合调研检测一㊁选择题题A B C D 7-12D C C A D A第1页,共5页初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店。

绝密★启用前2020届河南省六市高三第二次联合调研检测数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设全集U =R ，集合{}(4)(1)0A x x x =-+≥，则U A =ð（ ） A ．(1,4]- B ．[1,4)-C ．(1,4)-D ．[1,4]-答案：C由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可. 解：因为(4)(1)0x x -+≥， 所以1x ≤-或4x ≥， 即{|1A x x =≤-或4}x ≥， 所以(1,4)U A =-ð， 故选：C 点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的补集运算，属于容易题.2．复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ） A ．85B ．85-C ．85iD ．85i -答案：B根据复数对应的点知123z i =+，利用复数的除法法则计算12z z ，即可求解. 解：因为复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)， 所以123z i =+，则122+3(23)(2)18182(2)(2)555z i ii i i z i i i +----====---+-+--， 所以复数的虚部为85-. 故选：B 点评：本题主要考查了复数的几何意义，复数的除法运算，复数的虚部，属于容易题.3．在ABC V 中，AB c =u u u r r ，AC b =u u u r r ，若点D 满足12BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r（ ）A ．1233+r r b cB ．2133b c +r rC ．4133b c -r rD ．1122b c +r r答案：A由条件即得()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu ur uu u r . 解：12BD DC =u u u r u u u rQ ，13BD BC ∴=uu u r uu u r ，故有()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu ur uu u r . 故选：A 点评：本题主要考查了向量的线性表示，向量的加减运算，是基础题.4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ，2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B先得到命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题：命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，然后根据祖暅原理结合充分，必要条件的定义判断. 解：命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题是： 命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，根据祖暅原理，当两个截面的面积1S 、2S 总相等时，这两个几何体的体积1V ，2V 相等， 所以逆命题为真，则是必要条件，当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不充分，所以“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的必要不充分条件. 故选：B 点评：本题主要考查逻辑条件的判断以及等价命题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A ．334000mmB ．333000mmC ．332000mm D ．330000mm答案：C由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积． 解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．故选C ． 点评：本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．6．在正项等比数列{}n a 中，2224159002a a a a +=-，649a a =，则2020a 的个位数字是（ ） A ．1 B ．7 C ．3 D ．9答案：B由等比数列的性质可得1524a a a a =，根据条件求得2430a a +=，又由539a a =，利用等比数列的通项公式求出基本量1a 和q ，即可求出n a ，再对等比数列各项个位数进行分析推理，从而得出2020a 的个位数字. 解：解：根据题意，由等比数列的性质可得1524a a a a =，因为2224159002a a a a +=-，所以2224249002a a a a +=-，所以2222424242()900a a a a a a ++=+=，又因为{}n a 为正项等比数列，则0n a >，0q >， 所以2430a a +=，又由于649a a =，则3115311309a q a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，即()2121309a q q q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得：11,3==a q ， 故13-=n n a ，可知234123451,3,39,327,381a a a a a ========L可得n a 的个位数以4为周期不断循环，所以20192019450434504202013(3)3(3)27a a q===⨯=⨯， 所以2020a 的个位数字是7. 故选：B. 点评：本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，考查推理与运算能力，属于基础题. 7．关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值,试验步骤如下： ①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(,)(01,01)x y x y <<<<；②若卡片上的x ,y 能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交； ③统计上交的卡片数,记为m ；④根据统计数m 估计π的值.假如本次试验的统计结果是218m =,那么可以估计π的值约为（ ） A ．389124B ．391124C ．389125D ．391125答案：D根据x ,y 能与1构成锐角三角形可求得,x y 满足的不等式,进而利用几何概型的方法列式求解π即可. 解：因为实数对(,)(01,01)x y x y <<<<与1构成锐角三角形,设边长为1的边对应的角度为θ,则2221 cos02x yxyθ+-=>,即221x y+>.根据几何概型的方法可知22112184110001π⨯=-,故218782411003025091125π⎛⎫=⨯-==⎪⎝⎭.故选：D点评：本题主要考查了随机模拟法与几何概型求解圆周率值的问题,需要根据题意确定,x y满足的不等式,再根据面积的比列式化简求解.属于中档题.8．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线过点(3,2)，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x=的准线上，则双曲线的方程为（）A．2212128x y-=B．2212821x y-=C．22134x y-=D．22143x y-=答案：C由题意可得渐近线的斜率，即为,a b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a b c，，的关系，解方程可得,a b进而得到所求双曲线的方程．解：解：双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线过点(3,2)-，可得渐近线的斜率为3bka=-=双曲线的一个焦点在抛物线247y x=的准线7x=可得7c=即227a b+=，解得2b=，3a=。

2020届河南省六市高三第二次联合调研考试数学（文）试卷★祝考试顺利★（含答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,满分150分,考试用时120分钟．其中第I1卷22题,23题为选考题,其它题为必考题．考试结束后,将答题卡交回．注意事项：1．答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ,集合{}(4)(1)0A x x x =-+≥,则U A （ ） A. (1,4]-B. [1,4)-C. (1,4)-D. [1,4]- 【答案】C【解析】由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可.【详解】因为(4)(1)0x x -+≥,所以1x ≤-或4x ≥,即{|1A x x =≤-或4}x ≥,所以(1,4)U A =-,故选：C2. 复数1z 在复平面内对应的点为(2,3),22z i =-+（i 为虚数单位）,则复数12z z 的虚部为（ ） A. 85B. 85-C. 85iD. 85i - 【答案】B【解析】 根据复数对应的点知123z i =+,利用复数的除法法则计算12z z ,即可求解. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为(2,3),所以123z i =+, 则122+3(23)(2)18182(2)(2)555z i i i i i z i i i +----====---+-+--, 所以复数的虚部为85-. 故选：B3. 在ABC 中,AB c =,AC b =,若点D 满足12BD DC =,则AD =（ ） A. 1233+b c B. 2133b c + C. 4133b c - D. 1122b c + 【答案】A【解析】 由条件即得()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 【详解】12BD DC =,13BD BC ∴=, 故有()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 故选：A4. 南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同,则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ,2V ,被平行于这两个平面的任意平面截。

★2020年5月28日2020年河南省六市高三第二次联合调研检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．其中第I1卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将答题卡交回.注意事项:1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U=R ，集合{}0)1)(4(≥+-=x x x A ，则A C U =A ．（1-，4]B ．[1-，4）C ．（1-，4）D ．[1-，4]2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．i z +-=22（i 为虚数单位），则复数21z z 的虚部为 A ．58 B ．58- C ．i 58 D ．i 58- 3．在△ABC 中==，若点D 满足21=，则= A ．c b 3231+ B ．3132+ C ．3134- D ．2121+4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1、S2，则“S1、S 2不总相等”是“V1，V2不相等”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．青班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图（图中单位mm ），则此构件的体积为A ．34000 mm 3B ．33000 mm 3C ．32000 mm 3D ．30000 mm 36．在正项等比数列{}n a 中，4651242292900a a a a a a =-=+，，则2020a 的个位数字是A ．1B ．7C ．3D ．97．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x ，y ）（0＜x ＜1，0＜y ＜1）；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=218，那么可以估计π的值约为A ．124389B ．124391C ．125389D ．125391 8．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（3-，2），且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为A ．1282122=-y xB ．1212822=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x 9．已知三棱锥A —BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∠BCD=32π，若BC=CD=2，AB=32，则球O 的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π10．将函数)0)(3sin(4>-=ωπωx y 的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为A ．3B ．2C ．4D ．611．已知函数y=f （x ）满足f （x+1）=f （x -1），当x ∈[-1，1]时f （x ）=x 2，则方程x x f lg )(=实根共有A ．10个B ．9个C ．18个D ．20个12．已知椭圆C 1：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）与圆C 2：43222b y x =+，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是A ．)33,0(B ．)22,0(C ．)122[，D ．)133[， 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数3()1f x ax x =++的图像在点（1，(1)f ）处的切线过点（2，11），则a= ． 14．若实数x ，y 满足约束条件工1330y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z=5x +y 的最小值为 ．15．设函数22()4x x f x e e x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--＜0的解集是 ．（用区间表示）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC，则c b b c +的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++（n ∈N +）． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设1n n b a =，若数列{b n }的前n 项和为n S ，求满足1940n S ＞的最小正整数n ．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中（如图1），AB∥DC，∠BAD =90°，AB=5，AD =2，CD=3，点E在CD上，且DE=2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图2），G为AE中点．（Ⅰ）求四棱锥D—ABCE的体积；（Ⅱ）在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底新50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95] 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当x=1时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x a x x a ---＞．21．（本小题满分12分）已知圆F ：4)2(22=+-y x ，动点Q )(y x ，（x≥0），线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点A （2，4）作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 213231（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρ22sin 213+=． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A ．B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=2π，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积。

数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．其中第I1卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将答题卡交回. 注意事项:1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U=R ，集合{}0)1)(4(≥+-=x x x A ，则A C U =A ．（1-，4]B ．[1-，4）C ．（1-，4）D ．[1-，4] 2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．i z +-=22（i 为虚数单位），则复数21z z 的虚部为 A ．58B ．58-C ．i 58D ．i 58- 3．在△ABC 中b AC c AB ==，，若点D 满足DC BD 21=，则AD = A ．c b 3231+B ．c b 3132+C ．c b 3134-D ．c b 2121+ 4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1、S 2，则“S 1、S 2不总相等”是“V 1，V 2不相等”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．青班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图（图中单位mm ），则此构件的体积为A ．34000 mm3B ．33000 mm 3C ．32000 mm 3D ．30000 mm 36．在正项等比数列{}n a 中，4651242292900a a a a a a =-=+，，则2020a 的个位数字是 A ．1 B ．7 C ．3 D ．9 7．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x ，y ）（0＜x ＜1，0＜y ＜1）；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=218，那么可以估计π的值约为 A ．124389 B ．124391 C ．125389 D ．1253918．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（3-，2），且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为A ．1282122=-y x B ．1212822=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x9．已知三棱锥A —BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∠BCD=32π，若BC=CD=2，AB=32，则球O 的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 10．将函数)0)(3sin(4>-=ωπωx y 的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为A ．3B ．2C ．4D ．611．已知函数y=f （x ）满足f （x+1）=f （x-1），当x ∈[-1，1]时f （x ）=x 2，则方程x x f lg )(=实根共有A ．10个B ．9个C ．18个D ．20个12．已知椭圆C 1：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）与圆C 2：43222b y x =+，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是 A ．)33,0( B ．)22,0( C ．)122[， D ．)133[， 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数3()1f x ax x =++的图像在点（1，(1)f ）处的切线过点（2，11），则a= ．14．若实数x ，y 满足约束条件工1330y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z=5x +y 的最小值为 ．15．设函数22()4xx f x ee x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--＜0的解集是 ．（用区间表示）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC边上的高为4a ，则c bb c+的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++（n ∈N +）． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设1nnba，若数列{b n}的前n项和为nS，求满足1940nS＞的最小正整数n．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中（如图1），AB∥DC，∠BAD =90°，AB=5，AD =2，CD=3，点E在CD 上，且DE=2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图2），G为AE中点．（Ⅰ）求四棱锥D—ABCE的体积；（Ⅱ）在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底新50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95] 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当x=1时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x ax x a ---＞．21．（本小题满分12分）已知圆F ：4)2(22=+-y x ，动点Q )(y x ，（x≥0），线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等． （Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点A （2，4）作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 213231（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρ22sin 213+=． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程； （Ⅱ）设A ．B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=2π，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积。

2020年河南省六市高三第二次联合教学质量监测参考答案1-5CBABC6-10BDCCA 11-12DA 13.214.315.）（6,1-16.2317解：（Ⅰ）∵．①∴当n=1时，可得a 1＝4，…….......................................................…1分当n ≥2时，．②…................……2分①—②可得：＝（2n ﹣1）+1=2n，……...............................…4分∴．n=1时也满足……....................................................…5分∴.…………..............................................................….…6分（Ⅱ）=….............................................…..…8分∴S n，…….........................…10分又4019>n S ，可得n>19，…............................................................……11分可得最小正整数n 为20．……..................................................………12分18解：（Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==所以DG AE ⊥.............................................................…1分因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ．..........................................................................…3分在直角三角形ADE 中，易求2AE =,则2AD DE DG AE ⋅==．............…4分所以四棱锥D ABCE -的体积为1(15)222232D ABCE V -+⨯=⨯⨯=．…………6分（Ⅱ）在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =……..................…7分过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC 因为CF //A E ，AE ⊂平面,ADE CF ⊄平面ADE ,所以CF //平面ADE ,同理//FP 平面ADE ,又因为CF PF F ⋂=，所以平面CFP //平面ADE ．….....................................................................……9分因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE .……............................…10分因为四边形AECF 为平行四边形，所以1==CE AF ，即4=BF 故45BP BF BD AB ==所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =…........………12分19（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）107.（Ⅲ）选择方案（1）解：（Ⅰ）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，，因为0.20.150.050.4++=所以()P A 估计为0.4.……4分（Ⅱ）设事件B 为“从五名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（2）”从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}{丙，戊}{丁，戊}..........................................................................................…6分其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}共7种情况，所以7()10P B =.……..................................................................................…8分（Ⅲ）方法1：快递公司人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯=…...........................….…10分方案(2)日工资约为()10062445190 236+-⨯=<故骑手应选择方案（1）..................................................................…12分方法2：设骑手每日完成快递业务量为n 单方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩N N当17n <时，12y y <依题意，可以知道25n ≥，所以这种情况不予考虑当25n ≥时令()503100544n n +>+-则85n <…….................…10分即若骑手每日完成快递业务量在85单以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85单的频率是0.05，较低，故建议骑手应选择方案（1）……...............................................…......12分方法3：设骑手每日完成快递业务量为n 单，方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩N N所以方案（1）日工资约为1400.051700.052000.22300.32600.22900.153200.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯236=…….....................................................................................…10分方案（2）日工资约为1000.051000.051300.21800.32300.22800.153300.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯194.5=因为236194.5>，所以建议骑手选择方案（1）.……....…12分20（Ⅰ）()()2121 20x ax f x x a x x x-+'=-+=>………………1分1x = 时，()f x 取得极值.()0,31f a ∴'==.……………………………2分.()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴==解()0f x '>得102x <<或1x >解()0f x '<得112x <<……………4分()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.…………5分（Ⅱ）()()221 ,0x ax f x x x-+'=>()f x 存在两个极值点∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根∴212180,02a x x ∆=->=>，1202a x x +=>……………………………………………………………………………6分()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--……………………………7分∴所证不等式()()212142f x f x a x x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->-……………………8分即212121ln ln 2x x x x x x ->-+……………………………………………………………………9分不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+.………………………………………………10分令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+,()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，()h t ∴在(1,)+∞上递增.()()10h t h ∴>=.…………………………………………………………………………11分2212111ln 21x x x x x x -∴>+成立.()()212142f x f x a x x a ∴>---成立.……………………………12分21解：（Ⅰ）由题知点Q 到F 的距离||QF 等于Q 到y 轴的距离加2所以||QF 等于Q 到直线2x =-的距离…….............................…2分由抛物线的定义可知:点Q 的轨迹W 是以F 为焦点，以2-=x 为准线的抛物线…….............................……......................................................…3分所以动点Q 的轨迹W 的方程为x y 82=….....................................……4分（Ⅱ）设直线AM 的方程为2)4(+-=y m x ）（0>m ，与x y 82=联立，得0163282=-+-m my y ，则0)1632(4642>-⨯-=∆m m ，1100><<∴>m m m 或 ，........................................................……6分设),(),,(2211y x N y x M ，则m y 841=+，即481-=m y ，以m 1-代替m ，得482--=m y ，则向量NM →在y 轴正方向上的投影为)1(821m m y y +=-...........................................................................……9分设函数)1(8)(mm m f +=，则)(m f 在）（1,0上单调递减，在），（∞+1上单调递增，从而16)1()(=>f m f ...........................................................…...................…11分故向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围为），（∞+16............……12分22.解：（Ⅰ）由曲线1C的参数方程为31212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）消去参数得40x +-=cos ,sin x y ρθρθ==由得,cos sin 4ρθθ=即cos sin sin cos 266ππρθρθ+=即曲线1C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=……………3分由222y x +=ρ，22222(12sin )3,23x y y ρθ+=++=即2213x y +=…..................................5分（Ⅱ）设1(,)A ρθ,2(,)2B πρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2C πρθ+故2221222222113391912sin 12cos 4412sin 12cos 416()2AOB S ρρθθθθ∆==≥=+++++，即AOB ∆面积的最小值为34当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”…..................................8分（法2：:222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”121324AOB S ρρ∆=≥...............................8分）此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==++ 48cos 3π==故所求四边形的面积为329844-=…..................................10分23.证明：（Ⅰ）,,0a b c > ，∴222111()4f x x x a c b =+++-222111()4x x c b a ≥+--+2221114a b c =++∴2221114a b c ++1=…...................................3分由柯西不等式得222(4)a b c ++222111(4a b c ++2(111)9≥++=当且仅当2a b c ===时取“=”∴22249a b c ++≥…..................................5分（Ⅱ）22112,a b ab +≥ 22111,4b c bc +≥221114a c ac+≥（以上三式当且仅当2a b c ===时同时取“=”）…..................................…...................................7分将以上三式相加得211ab bc ac ++≤2221112()24a b c ++=即111122ab bc ac++≤…..................................10分。

2020年河南省六市高三第二次联合调研检测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．其中第I1卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将答题卡交回.注意事项:1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U=R ，集合{}0)1)(4(≥+-=x x x A ，则A C U = A ．（1-，4] B ．[1-，4） C ．（1-，4） D ．[1-，4]2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．i z +-=22（i 为虚数单位），则复数21z z 的虚部为 A ．58 B ．58- C ．i 58 D ．i 58- 3．在△ABC 中b AC c AB ==，，若点D 满足DC BD 21=，则AD = A ．c b 3231+ B ．c b 3132+ C ．c b 3134- D ．c b 2121+ 4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1、S 2，则“S 1、S 2不总相等”是“V 1，V 2不相等”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．青班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图（图中单位mm ），则此构件的体积为A ．34000 mm 3B ．33000 mm 3C ．32000 mm 3D ．30000 mm 36．在正项等比数列{}n a 中，4651242292900a a a a a a =-=+，，则2020a 的个位数字是A ．1B ．7C ．3D ．97．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x ，y ）（0＜x ＜1，0＜y ＜1）；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=218，那么可以估计π的值约为A ．124389B ．124391C ．125389D ．125391 8．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（3-，2），且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为A ．1282122=-y xB ．1212822=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x 9．已知三棱锥A —BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∠BCD=32π，若BC=CD=2，AB=32，则球O 的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π10．将函数)0)(3sin(4>-=ωπωx y 的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为 A ．3 B ．2 C ．4 D ．611．已知函数y=f （x ）满足f （x+1）=f （x-1），当x ∈[-1，1]时f （x ）=x 2，则方程x x f lg )(=实根共有A ．10个B ．9个C ．18个D ．20个12．已知椭圆C 1：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）与圆C 2：43222b y x =+，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是A ．)33,0(B ．)22,0(C ．)122[，D ．)133[， 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数3()1f x ax x =++的图像在点（1，(1)f ）处的切线过点（2，11），则a= ． 14．若实数x ，y 满足约束条件工1330y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z=5x +y 的最小值为 ．15．设函数22()4x x f x e e x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--＜0的解集是 ．（用区间表示）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC，则c b b c +的最大值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++（n ∈N +）． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设1n n b a =，若数列{b n }的前n 项和为n S ，求满足1940n S ＞的最小正整数n ．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中（如图1），AB∥DC，∠BAD =90°，AB=5，AD =2，CD=3，点E在CD上，且DE=2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图2），G为AE中点．（Ⅰ）求四棱锥D—ABCE的体积；（Ⅱ）在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底新50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95] 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当x=1时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x a x x a ---＞．21．（本小题满分12分）已知圆F ：4)2(22=+-y x ，动点Q )(y x ，（x≥0），线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点A （2，4）作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 213231（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρ22sin 213+=． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A ．B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=2π，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积。

2020年河南省六市高三第二次联合调研检测数学文科参考答案一㊁选择题1-6 C B A B C D 7-12 D C C A D A 二㊁填空题13.2 14.3 15.(-1,6) 16.23三㊁解答题17解:(Ⅰ)ȵa 12+a 23+ +a n n +1=n 2+n ..①ʑ当n =1时,可得a 1=4,1分 当n ȡ2时,a 12+a 23+ +a n -1n =(n -1)2+n -1.② 分 ① ②可得:a n n +1=(2n -1)+1=2n ,4分 ʑa n =2n (n +1).n =1时也满足5分 ʑa n =2n (n +1).6分 (Ⅱ)b n =1a n =12n (n +1)=12(1n -1n +1)8分 ʑS n =12(1-12+12+12-13+ +1n -1n +1=12(1-1n +1),10分 又S n >1940,可得n >19,11分 可得最小正整数n 为20.12分 18解:(Ⅰ)证明:因为G 为A E 中点,A D =D E =2所以D G ʅA E .1分 因为平面A D E ʅ平面A B C E ,平面A D E ɘ平面A B C E =A E ,D G ⊂平面A D E ,所以D G ʅ平面A B C E .3分 在直角三角形A D E 中,易求A E =22,则D G =A D ㊃D E A E =2.4分 所以四棱锥D -A B C E 的体积为V D -A B C E =13ˑ(1+5)ˑ22ˑ2=22.6分(Ⅱ)在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E 且B P B D =457分 过点C 作C F ʊA E 交A B 于点F ,过点F 作F P ʊA D 交D B 于点P ,连接P C因为C F ʊA E ,A E ⊂平面A D E ,C F ⊄平面A D E ,所以C F ʊ平面A D E ,同理F P ʊ平面A D E ,又因为C F ɘP F =F ,所以平面C F P ʊ平面A D E .9分 因为C P ⊂平面C F P ,所以C P ʊ平面A D E .)页5共(页1第 案答学数科文三高所以在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E .10分因为四边形A E C F 为平行四边形,所以A F =C E =1,即B F =4故B P B D =B F A B =45所以在B D 上存在点P ,使得C P ʊ平面A D E 且B P B D =4512分 19.(Ⅰ)0.4;(Ⅱ)710.(Ⅲ)选择方案(1)解:(Ⅰ)设事件为 随机选取一天,这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单 依题意,快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为:0.2,0.15,0.05因为0.2+0.15+0.05=0.4所以P (A )估计为0.4.4分 (Ⅱ)设事件B 为 从五名骑手中随机选取2人,至少有1名骑手选择方案(2) 从五名骑手中随机选取2名骑手,有10种情况,即{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{甲,戊},{乙,丙},{乙,丁},{乙,戊},{丙,丁}{丙,戊}{丁,戊}6分 其中至少有1名骑手选择方案(2)的情况为{甲,丁},{甲,戊},{乙,丁},{乙,戊},{丙,丁},{丙,戊},{丁,戊}共7种情况,所以P (B )=710.8分 (Ⅲ)方法1:快递公司人均日快递量的平均数是:30ˑ0.05+40ˑ0.05+50ˑ0.2+60ˑ0.3+70ˑ0.2+80ˑ0.15+90ˑ0.05=62因此,方案(1)日工资约为50+62ˑ3=23610分 方案(2)日工资约为100+(62-44)ˑ5=190<236故骑手应选择方案(1)12分 方法2:设骑手每日完成快递业务量为n 单方案(1)的日工资y 1=50+3n (n ɪN *),方案(2)的日工资y 2=100,n ɤ44,n ɪN *100+5(n -44),n >44,n ɪN *{当n <17时,y 1<y 2依题意,可以知道n ȡ25,所以这种情况不予考虑当n ȡ25时令50+3n >100+5(n -44) 则n <8510分 即若骑手每日完成快递业务量在85单以下,则方案(1)日工资大于方案(2)日工资,而依题中数据,每日完成快递业务量超过85单的频率是0.05,较低,故建议骑手应选择方案(1)12分 方法3:设骑手每日完成快递业务量为n 单,方案(1)的日工资y 1=50+3n (n ɪN *),方案(2)的日工资y 2=100,n ɤ44,n ɪN *100+5(n -44),n >44,n ɪN *{所以方案(1)日工资约为140ˑ0.05+170ˑ0.05+200ˑ0.2+230ˑ0.3+260ˑ0.2+290ˑ0.15+320ˑ0.f 05=23610分 方案(2)日工资约为100ˑ0.05+100ˑ0.05+130ˑ0.2+180ˑ0.3+230ˑ0.2+280ˑ0.15+330ˑ0.)页5共(页2第 案答学数科文三高05=194.5因为236>194.5,所以建议骑手选择方案(1)12分 20.(Ⅰ)f '(x )=2x -a +1x =2x 2-a x +1x ,(x >0)1分 ȵx =1时,f (x )取得极值,ʑf '(1)=0,a =3.2分 ʑf '(x )=2x 2-3x +1x =(2x -1)(x -1)x 由f '(x )>0得0<x <12或x >1,由f '(x )<0得12<x <14分 ʑf (x )的单调增区间为(0,12)ɣ(1,ɕ),单调减区间为(12,1).5分 (Ⅱ)f '(x )=2x 2-a x +1x ,(x >0)ȵf (x )存在两个极值点ʑ方程f '(x )即2x 2-a x +1=0在(0,+ɕ)上有两个不等实根ʑΔ=a 2-8>0,x 1x 2=12>0,x 1+x 2=a 2>16分 f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1=x 22-a x 2+l n x 2-x 12+a x 1-l n x 1x 2-x 1=x 2+x 1-a +l n x 2-l n x 1x 2-x 1=-a 2+l n x 2-l n x 1x 2-x 17分 ʑ所证不等式f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>4a -a 2等价于l n x 2-l n x 1x 2-x 1>4a 8分 即l n x 2-l n x 1x 2-x 1>2x 2+x 19分 不妨设x 2>x 1>0,即证l n x 2x 1>2x 2x 1-1x 2x 1+110分 令t =x 2x 1>1,h (t )=l n t -2(t -1)t +1,则h '(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,ʑh (t )在(1,+ɕ)上递增.ʑh (t )>h (1)=0.11分ʑl n x 2x 1>2x 2x 1-1x 2x 1+1成立.ʑf (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>4a -a 2成立.12分 21.解:(Ⅰ)由题知点Q 到F 的距离|Q F |等于Q 到y 轴的距离加2所以|Q F |等于Q 到直线x =-2的距离2分)页5共(页3第 案答学数科文三高由抛物线的定义可知:点Q 的轨迹W 是以F 为焦点,以x =-2为准线的抛物线3分 所以动点Q 的轨迹W 的方程为y 2=8x 4分 (Ⅱ)设直线AM 的方程为x =m (y -4)+2(m >0),与y 2=8x 联立,得y 2-8m y +32m -16=0,则Δ=64m 2-4ˑ(32m -16)>0,ȵm >0,ʑ0<m <1或m >1,6分 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则4+y 1=8m ,即y 1=8m -4,以-1m 代替m ,得y 2=-8m-4,则向量NM ң在y 轴正方向上的投影为y 1-y 2=8(m +1m )9分 设函数f (m )=8(m +1m ,则f (m )在(0,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增,从而f (m )>f (1)=1611分故向量NM ң在y 轴正方向上的投影的取值范围为(16,+ɕ).12分 22.(Ⅰ)由曲线C 1的参数方程为x =1-32t y =3+12t ìîíïïïïï(t 为参数)消去参数得x +3y -4=0由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ得ρc o s θ+3ρs i n θ=4,即ρc o s θs i n π6+ρs i n θc o s π6=2即曲线C 1的极坐标方程为ρs i n (θ+π6)3分 由ρ2=x 2+y 2,ρ2(1+2s i n 2θ)=3,x 2+y 2+2y 2=3即x 23+y 2=15分 (Ⅱ)设A (ρ1,θ),B (ρ2,θ+π2),D (ρ3,θ),C (ρ4,θ+π2)故S 2әA O B =14ρ12ρ22=14㊃31+2s i n 2θ㊃31+2c o s 2θȡ9411+2s i n 2θ+1+2c o s 2θ2æèçöø÷2=916,即әA O B 面积的最小值为34,当且仅当ρ1=ρ2(即θ=π4)时取 = 8分 法2:ρ12c o s 2θ3+ρ12s i n 2θ=1,ρ22s i n 2θ3+ρ22c o s 2θ=1,故1ρ12+1ρ22=43ʑ2ρ1ρ2ɤ1ρ12+1ρ22=43,当且仅当ρ1=ρ2(即θ=π4)时取 = 8分 )页5共(页4第 案答学数科文三高S әA O B =12ρ1ρ2ȡ34此时S әC O D =12ρ3ρ4=12㊃2s i n (π4+π6)㊃2c o s (π4+π6)=4c o s π3=8故所求四边形的面积为S 四边形A B C D =8-34=29410分 23.证明(Ⅰ)ȵa ,b ,c >0,ʑf (x )=1a 2+|x +14c 2|+|x -1b 2|ȡ|x +14c 2-(x -1b 2)|+1a 2=1a 2+1b 2+14c 2ʑ1a 2+1b 2+14c 2=13分 由柯西不等式得(a 2+b 2+4c 2)(1a 2+1b 2+14c 2)ȡ(1+1+1)2=9当且仅当a =b =2c =3时取 = ʑa 2+b 2+4c 2ȡ95分 (Ⅱ)ȵ1a 2+1b 2ȡ2a b ,1b 2+14c 2ȡ1b c ,1a 2+14c 2ȡ1a c (以上三式当且仅当a =b =2c =3时同时取 = )7分 将以上三式相加得2a b +1b c +1a c ɤ2(1a 2+1b 2+14c 2)=2即1a b +12b c +12a cɤ110分 )页5共(页5第 案答学数科文三高。

2020年河南省六市高三第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知全集{},|21x U R A x ==<，则U C A =（ ）A ．{|1}x x >B ．{|1}x x ≥C ．{|0}x x >D ．{|0}x x ≥ 2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF 的内切圆半径为38a ，则椭圆的离心率e =A ．12B ．12CD 3．212()(24)(213)5315a b a b a b --+++等于（ ） A ．2a B ．23b C ．0 D ．2b 4．已知是i 虚数单位，则复数52i i -的虚部为（ ） A ．2i - B ．2- C ．2i D ．25．函数()()2sin 0,2f x x πωϕϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．若对任意x ∈R ，()()2f x f t x =-恒成立，则实数t 的最大负值为（ ）A ．512π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-6．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=5a 的值不可能是（） A ．2 B ．4 C ．85 D ．837．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）A ．476B ．476C ．476D ．78．焦点在x 轴上，实轴长为4，虚轴长为( )A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2214816x y -= D ．2211648x y -= 9．某几何体的三视图如图所示，其中三个圆的半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是68π，则它的体积是（ ）A ．3224πB ．33224πC ．1123πD ．33112π 10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =数()()12g x f x x =--在区间[]3,6-上所有零点之和为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．利用随机模拟方法计算1y =和2y x 所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组01之间的随机数：1a rand =（ ），b rand =（ ）；令12(0.5)a a =-；若共产生了N 个样本点(,)a b ，其中落在所围图形内的样本点数为1N ，则所围成图形的面积可估计为（ ）A ．1N NB ．12N NC ．13N ND ．14N N二、填空题12．曲线()e (32)x f x x =-在点(1,e)处的切线方程为________．13．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且431tan tan A B +=，则3c b的最大值为____________. 14．(,)P x y 满足221024x y x y x y +≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则22x y +的最小值为 ______________．三、解答题15．已知函数()()32133f x x x x b b R =--+∈有极小值7-. （1）求实数b 的值；（2）求f （x ）在区间[]3,4-上的最大值和最小值.16．如图，一楼房高AB为BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾角为60EF 站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=.（1）试将tan θ表示为x 的函数；（2）求点E 的位置，使θ取得最大值.17．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30，且经过点()2,1A ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足| 12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te =，以t 为参数求直线1l 的参数方程②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11AP AQ+的值 18．已知动圆M 恒过点(1,0)F ，且与直线l ：1x =-相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）探究在曲线C 上，是否存在异于原点的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当1216y y =-时，直线AB 恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且对任意正整数n ，都有132n n a S +=+，数列{}n b 满足2log n n b a =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：22212111514n n b b b n-+++≤． 20．如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，弧BD 的圆心是A ，半径为AB ，正方形ABCD 以AB 为轴旋转，求图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比.21．郴州市某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；（2）从对乙教师的评分在[40,60)范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在[50,60)范围内的概率；（3）如果该校以学生对老师评分的中位数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）参考答案1．D解指数不等式求得集合A ，由此求得A 的补集. 由于{21}{0}x A x x x =<=<，{0}U A x x =≥.故选：D ．本小题主要考查补集的概念和运算，考查指数不等式的解法，属于基础题.2．B如图，设2ABF ∆内切圆圆心为C ，半径为r ，则222ABF ABC ACF BCF S S S S ∆∆∆∆=++.即()222112222b c r AB AF BF a ⋅⋅⋅=⋅++，∴22142cb r a a =⋅⋅，∴2238b c r a a ==.整理得338e e -=，解得12e =或14e =.故选B. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3．C 根据向量的线性运算法化简即可求解.21222426()(24)(213)053155533151524a b b a b a b b a b a a b --+++=---++= 故选：C本题主要考查向量线性运算法则，属于基础题. 4．D复数()()()525105122225i i i i i i i i +-===-+--+，虚部为2.故选D.5．A 根据函数图象可确定5544T π=，由此确定ω，利用1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由()f x 的对称轴为x t =，采用整体对应的方式可确定t 的取值，进而确定t 的最大负值. 由图象可知：555546124T πππ=+=，2T ππω∴==，解得：2ω=. 5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()5262k k Z ππϕπ∴-+=-+∈，解得：()23k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，3πϕ∴=，()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. ()()2f x f t x =-，()f x ∴关于直线x t =对称，()232t k k Z πππ∴+=+∈，解得：()122k t k Z ππ=+∈， 则当1k =-时，t取得最大负数，此时512t π=-. 故选：A . 本题考查根据正弦型函数的对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.6．C根据题意，设数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由等比数列的通项公式结合基本不等式可得5a 的值的范围，从而得出结论．数列是{}n a 是正项等比数列，且3723a a += 根据题意，数列{}n a 是正项等比数列，设其公比为q ，则0q >， 则且22225375555223232362q a a a a q a a q a q ++=+，。

第1页（共21页）2020年河南省南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市六市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U R =，集合{|(4)(1)0}A x x x =-+…，则(U A =ð ) A ．(1-，4]B ．[1-，4)C ．(1,4)-D ．[1-，4]2．（5分）复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)．22(z i i =-+为虚数单位），则复数12z z 的虚部为( )A．85B ．85-C ．85i D ．85i -3．（5分）在ABC ∆中,AB c AC b ==u u u r u u u r r r ，若点D 满足12BD DC =u u u r u u u r，则(AD =u u u r )A ．1233b c +r rB ．2133b c +r rC ．4133b c -r rD ．1122b c +r r4．（5分）南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ，2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：)mm ，则此构件的体积为( )第2页（共21页）A ．334000mmB ．333000mmC ．332000mmD ．330000mm6．（5分）在正项等比数列{}n a 中，2224159002a a a a +=-，649a a =，则2020a 的个位数字是( ) A ．1B ．7C ．3D ．97．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x ，)(01y x <<，01)y <<；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是218m =，那么可以估计π的值约为( ) A ．389124B ．391124C ．389125D ．3911258．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(3，2)，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -=第3页（共21页）9．（5分）已知三棱锥A BCD -的四个顶点都在球O 的表面上，且AB BC ⊥，AB CD ⊥，23BCD π∠=，若2BC CD ==，AB =O 的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π10．（5分）将函数4sin()(0)3y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为( ) A ．3B ．2C ．4D ．611．（5分）已知函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，当[1x ∈-，1]时2()f x x =，则方程()||||f x lg x =实根共有( )A ．10个B ．9个C ．18个D ．20个12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22223:4b C x y +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是() A． B． C． D． 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数3()1f x ax x =++的图象在点(1，f （1）)处的切线过点(2,11)，则a = ． 14．（5分）若实数x ，y 满足约束条件工1330y xx y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩„……，则5z x y =+的最小值为 ．15．（5分）设函数22()4x x f x e e x -=--，则不等式2()(56)0f x f x +--<的解集是 ．（用区间表示）16．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC，则c bb c+的最大值是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足：212()231n a a a n n n N n +++⋯+=+∈+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1n n b a =，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1940n S >的最小正整数n ．。

2020年河南省六市高三第二次联考文科数学试题参考答案一、选择1-5 CBABC 6-10 BDCCA 11-12 DA 二、填空13. 2 14. 3 15. ）（6,1- 16. 23 17解：（Ⅰ）∵．①∴当n=1时，可得41=a ，..................................................1分当n ≥2时，．②...........................2分①—②可得： ＝（2n ﹣1）+1=2n ， ................................4分∴．n=1时也满足................................................5分 ∴..............................................................6分（Ⅱ）=............................................8分∴S n ， .........................10分又4019>n S ，可得19>n ，.....................................................11分 可得最小正整数n 为20．....................................................12分 18解：（Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==所以DG AE ⊥............................................................1分 因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE I 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ， 所以DG ⊥平面ABCE ．.....................................................3分在直角三角形ADE 中，易求22AE =则2AD DEDG AE⋅==．.............4分 所以四棱锥D ABCE -的体积为1(15)222232D ABCE V -+⨯=⨯=．…………6分（Ⅱ）在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =...................7分 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC 因为CF//A E ，AE ⊂平面,ADE CF ⊄平面ADE ,所以CF //平面ADE , 同理//FP 平面ADE ,又因为CF PF F ⋂=，所以平面CFP //平面ADE ．.................................................9分因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ..............................10分 因为四边形AECF 为平行四边形，所以1==CE AF ，即4=BF 故45BP BF BD AB ==所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =..............12分 19解：（Ⅰ）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单”.依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，，因为0.20.150.050.4++=所以()P A 估计为0.4. ....................................................4分（Ⅱ）设事件B 为“从五名骑手中随机选取2人，至少有1名骑手选择方案（2）” 从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，即{甲，乙} ，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁} {丙，戊} ,{丁，戊}.......................................6分 其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊} ，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}共7种情况， 所以7()10P B =.............................................8分 （Ⅲ）方法1：快递公司的骑手人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯= ............................10分 方案(2)日工资约为()10062445190 236+-⨯=<故骑手应选择方案（1） ............................................................12分 方法2： 设骑手每日完成快递业务量为n 单方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN当17n <时，12y y <.依题意知25n ≥，所以这种情况不予考虑当25n ≥时，令()503100544n n +>+- 则85n < .................10分即若骑手每日完成快递业务量在85单以下，则方案（1）日工资大于方案（2）日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85单的频率是0.05 ，较低，故建议骑手应选择方案（1）................12分 方法3：设骑手每日完成快递业务量为n 单，方案（1）的日工资*1503()y n n =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,n n y n n n ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN所以方案（1）日工资约为1400.051700.052000.22300.32600.22900.153200.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯236=..........10分方案（2）日工资约为1000.051000.051300.21800.32300.22800.153300.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯194.5= 因为236194.5>，所以建议骑手选择方案（1）. ………12分20解：（Ⅰ）()()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=> ………………1分1x =Q 时，()f x 取得极值.()0,31f a ∴'==. ……………………………2分 .()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴==解()0f x '>得102x <<或1x > 解()0f x '<得112x <<……………4分()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. …………5分（Ⅱ）()()221,0x ax f x x x -+'=>()f x Q 存在两个极值点∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根 ∴212180,02a x x ∆=->=>，1202a x x +=> ………………………………………6分 ()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--……………………………7分∴所证不等式()()212142f x f x ax x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->-……………………8分 即212121ln ln 2x x x x x x ->-+……………………………………………………………………9分不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+.………………………………………………10分令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+,()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， ()h t ∴在(1,)+∞上递增.()()10h t h ∴>=. …………………………………………………………………………11分2212111ln 21x x xx x x -∴>+成立.()()212142f x f x a x x a ∴>---成立. ……………………………12分 21解：（Ⅰ）由题知点Q 到F 的距离||QF 等于Q 到y 轴的距离加2 所以||QF 等于Q 到直线2x =-的距离.............................2分 由抛物线的定义可知:点Q 的轨迹W 是以F 为焦点，以2-=x 为准线的抛物线.................................3分 所以动点Q 的轨迹W 的方程为x y 82=.....................................4分（Ⅱ）设直线AM 的方程为2)4(+-=y m x ）（0>m ，与x y 82=联立，得0163282=-+-m my y ，则0)1632(4642>-⨯-=∆m m ，1100><<∴>m m m 或Θ， .......................................................6分设 ),(),,(2211y x N y x M ，则m y 841=+，即481-=m y ，以m 1-代替m ，得482--=my ， 则向量NM →在y 轴正方向上的投影为)1(821mm y y +=- .................9分设函数)1(8)(mm m f +=，则)(m f 在）（1,0上单调递减，在），（∞+1上单调递增，从而16)1()(=>f m f ...............................................................11分故向量在y 轴正方向上的投影的取值范围为），（∞+16.............12分22.解：（1）由曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）消去参数得40x +-=，cos ,sin x y ρθρθ==由得,cos sin 4ρθθ+= 即cos sinsin cos266ππρθρθ+=即曲线1C 的极坐标方程为sin()26πρθ+= …………………………3分由222y x +=ρ，22222(12sin )3,23x y y ρθ+=++= 即2213x y +=……………5分 （2）设1(,)A ρθ,2(,)2B πρθ+,3(,)D ρθ,4(,)2C πρθ+ 故2221222222113391912sin 12cos 4412sin 12cos 416()2AOB S ρρθθθθ∆==≥=+++++， 即AOB ∆面积的最小值为34，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=” ……………8分法2：:222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=” …………………………8分 121324AOB S ρρ∆=≥ 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==++g 48cos 3π== 故所求四边形的面积为329844-= ……………………………………………………10分23. 证明：（1）,,0a b c >Q ，∴222111()4f x x x a c b =+++-222111()4x x c b a ≥+--+2221114a b c=++ ∴2221114a b c++1= ……………………………………………………3分 由柯西不等式得222(4)a b c ++222111()4a b c++2(111)9≥++=当且仅当2a b c ====”∴22249a b c ++≥ ……………………………………………………5分（2） 22112,a b ab +≥Q22111,4b c bc +≥221114a c ac+≥（以上三式当且仅当2a b c ====”） ………………………………………7分 将以上三式相加得211ab bc ac ++≤2221112()24a b c++= 即111122ab bc ac++≤ ……………………………………………………10分。

绝密★启用前2020年河南省六市高三第二次联合调研检测数学（理科）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U=R ，集合{}0)1)(4(≥+-=x x x A ，则A C U = A ．（1-，4] B ．[1-，4） C ．（1-，4） D ．[1-，4]2．复数z 1在复平面内对应的点为（2，3）．i z +-=22（i 为虚数单位），则复数21z z 的虚部为 A ．58 B ．58- C ．i 58 D ．i 58- 3．在△ABC 中b AC c AB ==，，若点D 满足DC BD 21=，则AD = A ．c b 3231+ B ．c b 3132+ C ．c b 3134- D ．c b 2121+ 4．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1、S 2，则“S 1、S 2不总相等”是“V 1，V 2不相等”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．青班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图（图中单位mm ），则此构件的体积为A ．34000 mm 3B ．33000 mm 3C ．32000 mm 3D ．30000 mm 36．在正项等比数列{}n a 中，4651242292900a a a a a a =-=+，，则2020a 的个位数字是A ．1B ．7C ．3D ．97．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x ，y ）（0＜x ＜1，0＜y ＜1）；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=218，那么可以估计π的值约为A ．124389B ．124391C ．125389D ．125391 8．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（3-，2），且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为A ．1282122=-y xB ．1212822=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x 9．已知三棱锥A —BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∠BCD=32π，若BC=CD=2，AB=32，则球O 的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π10．将函数)0)(3sin(4>-=ωπωx y 的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为A ．3B ．2C ．4D ．611．已知函数y=f （x ）满足f （x+1）=f （x-1），当x ∈[-1，1]时f （x ）=x 2，则方程x x f lg )(=实根共有A ．10个B ．9个C ．18个D ．20个12．已知椭圆C 1：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）与圆C 2：43222b y x =+，若在椭圆C 1上不存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是A ．)33,0(B ．)22,0(C ．)122[，D ．)133[， 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知函数3()1f x ax x =++的图像在点（1，(1)f ）处的切线过点（2，11），则a= ． 14．若实数x ，y 满足约束条件工1330y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z=5x +y 的最小值为 ．15．设函数22()4x x f x e e x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--＜0的解集是 ．（用区间表示）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC，则c b b c +的最大值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++（n ∈N +）． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设1nnba，若数列{b n}的前n项和为nS，求满足1940nS＞的最小正整数n．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中（如图1），AB∥DC，∠BAD =90°，AB=5，AD =2，CD=3，点E在CD上，且DE=2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图2），G为AE中点．（Ⅰ）求四棱锥D—ABCE的体积；（Ⅱ）在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底新50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95] 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）20．（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当x=1时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x a x x a ---＞．21．（本小题满分12分）已知圆F ：4)2(22=+-y x ，动点Q )(y x ，（x ≥0），线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点A （2，4）作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量在y 轴正方向上的投影的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 213231（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θρ22sin 213+=． （Ⅰ）求曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设A ．B 为曲线C 2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=2π，射线OA ，OB 交曲线C 1分别于点D ，C ．求△AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积。