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矩形的性质和判定公开课教案第一章：矩形的定义和性质1.1 矩形的定义介绍矩形的定义：矩形是一个四边形，其中所有内角都是直角。
通过图形和实际例子来说明矩形的特征。
1.2 矩形的性质矩形的对边相等：解释并证明矩形的对边长度相等。
矩形的对角相等：解释并证明矩形的对角线相等。
矩形的对边平行：解释并证明矩形的对边互相平行。
第二章：矩形的判定2.1 判定一个四边形为矩形的条件介绍判定一个四边形为矩形的条件：所有内角都是直角。
通过图形和证明来说明如何判断一个四边形是矩形。
2.2 判定矩形的特殊情况介绍特殊情况下矩形的判定：正方形和长方形。
解释正方形和长方形的性质，并说明它们是矩形的特殊情况。
第三章：矩形的对称性3.1 矩形的轴对称性介绍矩形的轴对称性：矩形关于其对角线对称。
通过图形和实际例子来说明矩形的轴对称性。
3.2 矩形的中心对称性介绍矩形的中心对称性：矩形关于其中心对称。
通过图形和实际例子来说明矩形的中心对称性。
第四章：矩形的面积和周长4.1 矩形的面积介绍矩形的面积公式：面积= 长×宽。
通过例题和练习来说明如何计算矩形的面积。
4.2 矩形的周长介绍矩形的周长公式：周长= 2 ×(长+ 宽)。
通过例题和练习来说明如何计算矩形的周长。
第五章：矩形的应用5.1 矩形在几何图形中的应用介绍矩形在几何图形中的应用：例如，矩形可以用来构造平行四边形和其他多边形。
通过例题和练习来说明矩形在几何图形中的应用。
5.2 矩形在日常生活中的应用介绍矩形在日常生活中的应用：例如，矩形可以用来设计图形、计算面积等。
通过实际例子来说明矩形在日常生活中的应用。
第六章：矩形的对角线性质6.1 矩形对角线的长度介绍矩形对角线的长度性质：矩形的对角线相等。
通过图形和证明来说明矩形对角线的长度性质。
6.2 矩形对角线的交点介绍矩形对角线的交点性质：矩形的对角线交于一点，即对角线的中点重合。
通过图形和证明来说明矩形对角线的交点性质。
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的性质与判定矩形作为数学中重要的几何概念之一，具有独特的性质和判定方法。
本文将结合图示，讨论矩形的性质及相关的判定方法。
1. 矩形的定义矩形是由四条相交于直角的直线段所形成的四边形。
具体而言，矩形的对边平行且相等，且相邻边相交成直角。
如下图所示：（图1：矩形示例）2. 矩形的性质2.1 对角线相等在矩形中，对角线相等。
如下图所示：（图2：矩形对角线示例）证明：设ABCD为矩形的四个顶点，连接AC和BD两条对角线。
由于矩形的性质，可知AB与CD平行且相等，AD与BC平行且相等。
根据平行线性质，我们可以得知△ABD与△CDB是全等三角形，进而可以得到AC与BD相等。
2.2 内角和为360度矩形的内角和为360度。
由于矩形的性质，相邻两条边垂直，因此内角和为4个直角，即360度。
2.3 任意一边都是矩形的对角线的一半在矩形中，任意一边都是矩形的对角线的一半。
如下图所示：（图3：矩形边与对角线示例）证明：设AD为矩形的一条边，连接AC和BD两条对角线。
由于矩形的性质，可知△ABC与△CDA是全等三角形，进而可以得到AC与AD相等。
同理，可以得到△ACD与△CDB是全等三角形，进而可以得到BD与AD相等。
因此，AD即为矩形的对角线AC和BD的一半。
3. 矩形的判定方法3.1 边长相等且相邻边垂直通过观察边长和相邻边的垂直关系，可以判断一个四边形是否为矩形。
若四边形的边长相等且相邻边垂直，则可以确定该四边形是矩形。
3.2 对角线相等且相交于中点如果一个四边形的对角线相等且相交于对角线的中点，那么可以判断该四边形是矩形。
因为只有矩形的对角线相等且相交于对角线的中点。
3.3 两组对边平行且相等四边形的两组对边平行且相等，即可判断该四边形是矩形。
根据矩形性质的定义，只有矩形满足这个条件。
4. 结论综上所述，矩形具有对角线相等、内角和为360度、任意一边都是对角线的一半等性质。
判定一个四边形为矩形的方法通过边长相等且相邻边垂直、对角线相等且相交于中点、两组对边平行且相等等方法进行判断。
矩形的性质与判定知识点矩形是我们在数学中常见的一种几何图形，它具有许多独特的性质和判定方法。
下面让我们来详细了解一下矩形的性质与判定的相关知识点。
首先，矩形的定义是：至少有三个内角都是直角的四边形是矩形。
矩形的性质有很多：1、矩形的四个角都是直角。
这是矩形最显著的特征之一。
因为直角的度数是 90 度，所以矩形的四个内角相加为 360 度。
2、矩形的对边平行且相等。
这意味着矩形的两组对边分别平行，并且长度相等。
3、矩形的对角线相等且互相平分。
两条对角线将矩形分成了四个全等的三角形。
4、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形。
其对称中心是两条对角线的交点，对称轴有两条，分别是通过对边中点的直线。
接下来，我们来看看矩形的判定方法。
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。
如果一个平行四边形中有一个角是直角，那么根据平行四边形邻角互补的性质，可以得出其他三个角也都是直角，从而这个平行四边形就是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
因为平行四边形的对角线互相平分，当两条对角线相等时，根据三角形全等可以证明其四个角都是直角，所以这个平行四边形就是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
如果一个四边形中有三个角都是直角，那么根据四边形内角和为360 度，第四个角也必然是直角，从而这个四边形就是矩形。
在实际应用中，矩形的性质和判定方法有着广泛的用途。
例如，在建筑设计中，房间的形状常常接近矩形。
设计师需要利用矩形的性质来计算房间的面积、周长等，以合理规划空间和安排材料。
矩形的四个角都是直角的性质，使得建筑物的结构更加稳定，施工更加方便。
在数学解题中，如果已知一个图形是矩形，我们就可以利用矩形的性质来解决与角度、边长、对角线等相关的问题。
反之，如果要证明一个图形是矩形，就可以根据矩形的判定方法来进行推理和证明。
再比如，在制作家具时，很多桌面、柜体的表面都是矩形。
了解矩形的性质可以帮助工匠们准确地测量和切割材料，确保制作出符合要求的家具。
矩形的性质与判定矩形作为几何形体中的一种，具有其独特的性质与判定方法。
在本文中，我们将探讨矩形的定义、性质以及如何准确判断一个图形是否为矩形。
一、矩形的定义矩形是一种特殊的四边形，它的四个内角均为直角。
矩形的定义可以简洁地表达为：具有四条边且四个内角均为直角的四边形即为矩形。
二、矩形的性质矩形具有以下性质，对于认识矩形的形态和特点非常重要。
1. 边长性质：矩形的相对边长相等，即相对边对应的长度相等。
2. 对角线性质：矩形的对角线相等，即矩形的两条对角线长度相等。
3. 对称性质：矩形具有对称性，即以矩形的任意一条对角线为对称轴，两侧的部分完全相同。
4. 垂直性质：矩形的边两两相交成直角，即任意两边之间的夹角为90度。
5. 平行性质：矩形的相对边平行，即相对的两条边永远平行。
三、矩形的判定如何准确判断一个图形是否为矩形？下面将介绍两种常见的判定方法。
1. 边长判定法：若一个四边形的四条边两两相等，且任意两相邻边夹角为直角，则该四边形是矩形。
例如，若四边形ABCD的边长满足AB=BC=CD=DA，且∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，那么四边形ABCD就是矩形。
2. 对角线判定法：若一个四边形的对角线互相垂直且长度相等，则该四边形是矩形。
例如，若四边形EFGH的对角线EG和FH互相垂直且长度相等，那么四边形EFGH就是矩形。
四、矩形的应用矩形在现实生活中有着广泛的应用。
以下是矩形应用的几个典型例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，矩形是常见的几何形状之一。
例如，房屋的窗户、门洞等往往是矩形的形状。
2. 电子屏幕：计算机显示屏、电视屏幕等常常采用矩形的形状，这是因为矩形易于制造和布局，并且能够满足人眼对图像的需求。
3. 图像处理：在图像处理领域，矩形是图像的基本元素之一。
很多图像处理算法和技术都是基于矩形的性质和特点进行设计和实现的。
五、总结矩形作为一种特殊的四边形，在几何学中具有重要的地位。
第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第1课时一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的性质定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：掌握矩形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．难点：矩形的性质的灵活应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源多张《生活中的矩形》图片，《平行四边形变矩形》动画，《矩形的性质》微课，《矩形的性质》图片.五、教学过程【情境引入】下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？师生活动：教师出示问题及图片，学生观察图片并尝试回答问题．生：这些特殊的平行四边形中都有一个角是直角．这就是我们本节课要研究的矩形．设计意图：通过实际生活中的图片引入本课，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】矩形的定义．此图片是动画缩略图，本动画资源拖动改变平行四边形的形状，观察当有一个角是直角时，平行四边形对应的变化情况，加深学生对矩形的认识，适用于矩形的概念的教学.若需使用，请插入【数学探究】矩形的概念.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形应满足的两个条件：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角．师生活动：教师讲解，并明确矩形应满足的两个条件．师：矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。
生：……设计意图：让学生感受到矩形在实际生活中的广泛应用．想一想：（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？（2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？师生活动：教师首先引导学生回忆一般平行四边形的性质，从而得出矩形的一般性质，然后再探究矩形的特殊性质．答：矩形的一般性质：具备平行四边形的所有性质．边：对边平行且相等．角：对角相等．对角线：对角线互相平分．中心对称性：是中心对称图形．矩形的特殊性质：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．教师追问：（3）矩形还有特殊性质吗？师生活动：教师追问，引导学生继续探究矩形的性质．发现：四个内角都是直角，两条对角线长度相等．猜想1：矩形的四个角都是直角．猜想2：矩形的对角线相等．试一试：你能证明一下上面猜想的正确性吗？师生活动：教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．猜想1的证明：已知：四边形ABCD是矩形，∠B=90°．求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．证明：∵四边形ABCD是矩形，∠B=90°，又∵矩形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°．∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即矩形的四个角都是直角．性质1：矩形的四个角都是直角．几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．猜想2的证明：已知：AC与BD是矩形ABCD的对角线．求证：AC=BD．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB．又BC=CB，∴△ABC≌△DCB．∴AC=BD．性质2：矩形的对角线相等．几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．议一议：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答，最后得出答案．答：BE是斜边AC上的中线，BE=12 AC．得到的结论是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．尝试完成定理的证明。
矩形的性质及判定（修改）1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是 。
（2）对角线： 且 。
(3)矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
(4)直角三角形斜边上的中线性质根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的 。
（2）对角线 的平行四边形。
（3）有三个角是 的四边形。
4.矩形与平行四边形的区别与联系？ 说理题：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ） (5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )【经典例题:】1如图，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（ ） A 、125B 、135C 、52D 、2例2、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。
变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC=________.3、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A.98B.196C.280D.2845、如图，已知BD 、CE 是ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。
1.2矩形的判定和性质（一）
学习目标:
1、掌握矩形的定义和性质;
2、学会判定矩形;
3、平行四边形和矩形的区别和联系;
新知学习 复习；菱形的性质和判定 性质: 判定:
、矩形的定义 如图，如果一个平行四边形有一个角是直角， 那么这个平行四边形会有怎样的变
化？
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
二、矩形的性质。
矩形具有平行四边形的所有性质。
请结合着平行四边形的性质请你探索矩形的性质， 你可以写出几条，会证明吗?
边的性质：对边平行且相等.
角的性质：四个角都是直角.
对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. 组对边
分另U 平
矩形的性质：
对角线性质：对角线互相平分且相等.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形中，30 °角所对的边等于斜边的一半 D
C
矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直 线。
练习:
(1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是(
例题精讲
【例1】、1如图，矩形 ABCD 中，AC 与BD 交于点0, BE 丄AC 于
丄BD 于F . (1) 线段BE 与CF 相等吗？请说明理由；
(2) 当 AB=2, / AOB=6° 时，求 BE 的值.
A 、对边相等
B 、对角相等
C 、对角线相等
D 、对边平行
⑵矩形ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于0,/A0B = 60°
AC = 10cm ，贝U AB cm BC =
cm. (3) 在△ABC 中，/ C = 90° AC = 5, BC = 3,则 AB 边上的中线 CD
= (4) 2 2 3(5)如图，E 为矩形纸片ABCD 的BC 边上一点，将纸片沿 AE 向上折叠，使 点B 落在DC 边上的F 点处.若△AFD 的周长为9, AECF 的周长为3,则矩
形ABCD 的周长为
⑹矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和 是86cm ,对角线是13cm ,那么矩形的周长是
(7)如图，矩形 ABCD 中，E 是BC 的中点，且/ AED=90 .当AD=10cm 时, AB 等于( )
B. 5 匚572
(8)如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点R 分别作矩形两边的平行线 MN 与 PQ ,那么图中矩形 AMRP 的面积S 1,与矩形QCNR 的面积S 2的大小关系是
( )
A. S 1>
B. S i = S 2
C. S i < S 2
D.不能确定 E ，CF
2.已知：如图，矩形 ABCD , AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm .求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长.
3■如图，点E 是矩形ABCD 中BC 边上一点，AE=AD ,过点D 作DF 丄AE 于F , 连接DE ，求证：DF=DC.
课后练习
周长为
2、矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3和5两部分，则该矩形的周长是
3、形的两条对角线的夹角是 60° 一条对角线与矩形短边的和为 15,那么矩形 对角线的长为 ____________ ，短边长为 _______ .
4、 一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为 ____________________
5、 在△ABC 中，AM 是中线，N B AC= 90°, AB=6cm , AC=8cm ，那么 AM 的
4如图，四边形 ABCD 为矩形，
长线于点G , DE 丄AG ,垂足为
F 为BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延 E , DE = DC .求证：AF=BC 1、已知矩形的一条对角线长是 8cm ,两条对角线的一个交角为 60°则矩形的
D
长为
6、如图所示，将△ABC 绕AC 的中点0顺时针旋转180°得到MDA ,添加一个 DE 和BF ，分别取 DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM ，
BC= 3逅，则图中阴影部分的面积为 ____________ 。
8、如图所示，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C 的位置，旋转角 为 a (00 " <900)若 4 =1100，则 a =( )
9、(黑龙江)如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4,如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是
10、菱形具有而矩形不一定具有的性质是(
，使四边形ABCD 为矩形。
7、( 2013江西)如图，矩形 ABCD 中，点
E 、
F 分别是 AB 、CD 的中点，连接
CN ，MN ，若 AB=4, A 、 20°
B 、 30°
40° 50° A 、对角线互相垂直
B 、对角线相等
C 、对角线互相平分
D 、对
第12题
条件 D
F 3
©
D
A E 角互补 第11题
11、如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，
AB=10cm，按如图的方式折叠, 使点B与点D重合.折痕为EF，则DE长为
12、图所示，矩形ABCD 中，AE 丄BD 于E，/ BAE=30，BE=1cm，那么DE
的长为。
