【2014中考复习方案】(苏科版)中考数学复习权威课件 考点聚焦+归类探究+回归教材26 矩形、菱形、正方形

归类探究
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第26课时┃归类探究
方法点析
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形
的所有性质，同时也具有特殊的性质；同时，判定矩形的方 法也是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后 再判定是矩形．Fra bibliotek考点聚焦
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探究二、菱形的性质及判定的应用
命题角度： 1．菱形的性质；
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探究三、正方形的性质及判定的应用
命题角度：
1．正方形的性质； 2．正方形的判定． 例3．[2013•鄂州] 如图26－3所示， 正方形ABCD的边长为4，E、F分别 为DC、BC中点． (1)求证：△ADE≌△ABF. (2)求△AEF的面积． 图26－3
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解 析 作CF⊥BE于F，得Rt△BCF和矩形FEDC，先证明 △ABE≌△BCF，得BE＝CF，再根据矩形的性质说明DE＝CF即 可．
证明：如图，作CF⊥BE于F， ∴∠BFC＝∠CFE＝90°. ∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠BED＝90°.
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2．菱形的判定．
例2．[2013•盐城] 如图26－2所示，在平 行四边形ABCD中，E为BC边上的一点， 连接AE、BD且AE＝AB. (1)求证：∠ABE＝∠EAD； (2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形 ABCD是菱形．
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图26－2
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解 析 (1)要证明∠ABE＝∠EAD，由AE＝AB可得∠ABE＝ ∠AEB，从而只要证明∠EAD＝∠AEB，显然由平行四边形 ABCD中，AD∥BC，利用平行线的性质可证； (2)要证明四边形ABCD是菱形，而已知四边形ABCD是平行四边 形，只要证明一组邻边相等即可．
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考点3 正方形
正方形的 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 定义 (1)正方形对边________ 平行 (2)正方形四边________ 相等
直角 (3)正方形四个角都是________ 正方形的 垂直平分 ，每条对角线平分一 (4)正方形对角线相等，互相____________ 性质 组对角
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矩形、菱形、正 方形
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考 点 聚 焦
考点1
矩形定义 矩 形 的 性 质 对称 性 定理
矩形 直角 的平行四边形叫做矩形 有一个角是________
矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴 矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点
直 角； (1)矩形的四个角都是______ 相等 (2)矩形的对角线互相平分并且______
顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是 菱形 ________
顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形 是________ 矩形
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归 类 探 究
探究一、矩形的性质及判定的应用
命题角度： 1．矩形的性质；
2．矩形的判定．
例1．[2012•扬州] 如图26－1，在四边形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA ＝90°，BE⊥AD，垂足为E. 求证：BE＝DE. 图26－1
方法点析 正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，
解 析
特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形
的判定方法有两种：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩 形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩
形．
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探究四、特殊平行四边形的综合应用
顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四 边形
顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是______ 菱形
矩形 顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是______
常见 结论 顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是________ 正方形
菱形 顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是________
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考点2
菱形定义 菱 形 的 性 质 对称 性 定理
菱形 邻边 相等的平行四边形是菱形 有一组________
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴 菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点
相等 ； (1)菱形的四条边________ 垂直 平分，并且每条对角线平 (2)菱形的两条对角线互相________ 一组对角 分______________
命题角度： 1．矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；
2．矩形、菱形、正方形的关系转化．
例4．[2012•娄底] 如图26－4所示，在矩 形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中 点，P、Q分别是BM、DN的中点． (1)求证：△MBA≌△NDC； (2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？ 请说明理由．
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解 析 (1)由四边形ABCD为正方形，得到AB＝AD，∠B＝ ∠D＝90°，DC＝CB，由E、F分别为DC、BC中点，得出DE＝ BF，进而证明出两三角形全等； (2)首先求出DE和BF的长度，再根据S△AEF＝S正方形ABCD－ S△ADE－S△ABF－S△CEF得出结果．
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点
析
中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定
的．当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原四
边形的对角线互相相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的对角 线既相等又互相垂直时，中点四边形是正方形．
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图26－4
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解 析 (1)证明： 在矩形 ABCD 中， AB＝CD， AD＝BC， ∠A＝∠C＝90°. ∵M、N 分别是 AD、BC 的中点， ∴AM＝ CN. ∴△MBA≌△NDC.
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解 析
(2)四边形 MPNQ 是菱形．
中考预测
如图26－6所示，在四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，垂足为O， 点E、F、G、H分别为边AD、AB、 BC、CD的中点．若AC＝8，BD ＝6，则四边形EFGH的面积为 ________ 12 ． 图26－6
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解 析
∵E、F、G、H 分别为边 AD、AB、BC、CD 的
1 中点，∴HE＝ AC＝4，HE∥AC，GF∥AC，∴HE∥GF， 2 1 同理，HG∥EF，HG＝ BD＝3，∴四边形 EFGH 是平行四 2 边形，∵AC⊥BD，∴∠EHG＝90°，∴四边形 EFGH 是矩 形，∴四边形 EFGH 的面积为 3×4＝12.
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(1)定义法
菱形的判 定
相等 的四边形是菱形 (2)四条边________
垂直 的平行四边形是菱形 (3)对角线互相________
(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高
菱形面积
(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分 成4个全等三角形，故菱形的面积等于两条对角线乘积的 一半 ________
(5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条， 对称中心是对角线的交点 正方形的 判定 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)有一个角是直角的菱形是正方形
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判定正方形的思路图：
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考点4
定义
中点四边形
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解
析
∴∠ABE＋∠A＝90°.
而∠ABE＋∠FBC＝90°，∴∠A＝∠FBC. 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF(AAS)， ∴BE＝CF. 在四边形FEDC中，∠BED＝∠CFE＝∠CDE＝90°， ∴四边形FEDC是矩形，
∴CF＝DE.
又∵BE＝CF，∴BE＝DE.
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回 归 教 材
中点四边形 教材母题
如图26－5，在四边形ABCD中，E、 F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点．四边形EFGH是平行四 边形吗？为什么？ 图26－5
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解 析 四边形 EFGH 是平行四边形． 连接 AC.在△ABC 中， 因为 E、F 分别是 AB、BC 的中点， 即 EF 是△ABC 的中位线． 1 所以 EF∥AC，EF＝ AC. 2 理由是：“三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． ” 在△ADC 中， 1 同理可以得到 HG∥AC，HG＝ AC. 2 所以 EF∥HG，EF＝HG. 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 理由是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”．
解:
(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠AEB＝∠EAD.
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解: 又∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB. ∴∠ABE＝∠EAD. (2)∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC. 又∵∠AEB＝2∠ADB，∠AEB＝∠ABE， ∴∠ABE＝2∠DBC. ∴∠ABD＝∠DBC. ∴∠ABD＝∠ADB. ∴AB＝AD. 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形．