2018最新北师大版高中数学必修三学案：第三章 疑难规律方法：第三章 概率

2．2建立概率模型学习目标 1.能建立概率模型解决简单的实际问题.2.能认识和理解对于同一个随机试验，可以根据需要来建立我们需要的概率模型.3.学会选用比较简单、适用的概率模型解决实际生活中有关概率的问题．知识点一基本事件的相对性思考掷一粒均匀的骰子，计算“向上的点数为奇数”的概率，可以怎样规定基本事件？梳理一般地，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是________，并且它们的发生是____________，就是一个古典概型．知识点二同一问题的不同概率模型思考在“知识点一”的思考中，规定不同的基本事件，“向上的点数为奇数”的概率分别是多少？相等吗？梳理从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的__________来解决，而所得到的________的所有可能结果越少，问题的解决就变得越________．类型一基本事件的相对性例1从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．反思与感悟“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．跟踪训练1一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．类型二概率模型的多角度构建例2口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球．试计算第二个人摸到白球的概率．反思与感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果更利于模型的建立与解答．跟踪训练2 假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A 、C 、J 、K 、S ，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)女孩K 得到一个职位； (2)女孩K 和S 各自得到一个职位．1．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为( ) A.35 B.25 C.15 D.452．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( ) A.23 B.12 C.16 D.133．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.384．从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3人参加数学竞赛，其中甲不被选中的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.345．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为________.1．对同一个概率问题，如果从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而得到古典概型的所有可能的结果越少，问题的解决就越简单．因而在平时的学习中要多积累从不同的角度解决问题的方法，逐步达到活用． 2．基本事件总数的确定方法：(1)列举法：此法适合于较简单的试验，就是把基本事件一一列举出来；(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求； (3)列表法：列表法也是列举法的一种，这种方法能够清楚地显示基本事件的总数，不会出现重复或遗漏；(4)分析法：分析法能解决基本事件总数较大的概率问题．3．在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误．解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法．答案精析问题导学 知识点一思考 可以规定向上的点数为1,2,3,4,5,6共6个基本事件；也可以规定“向上的点数为奇数”、“向上的点数为偶数”共2个基本事件． 梳理有限的 等可能的 知识点二思考 若按6个基本事件，“向上的点数为奇数”有3个基本事件，故概率为36＝12；若按2个基本事件，则概率为12，两种方法结果相同．梳理古典概型 古典概型 简单 题型探究例1 解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.跟踪训练1 解 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个． (1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝15.(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P (A )＝18100＝950.例2 解 方法一 需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．解题过程如下：用A 表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如图：由图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝1224＝12.方法二 把2个白球编上序号1、2，两个黑球也编上序号1、2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝612＝12.方法三 由于4个球除颜色外完全相同，如果对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是6，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这6种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有3种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝36＝12.方法四 只考虑第二个人摸出的球的情况．第二个人可能摸到口袋中的任何一个，共4种结果，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这4种结果出现的可能性相同，其中，摸到白球的结果有2种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝24＝12.跟踪训练2 解 5个人仅有3人被录用结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．(1)女孩K 被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为35.(2)女孩K 和S 都被录用的结果有3种，所以K 和S 各自得到一个职位的概率为310. 当堂训练1．A [从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，抽到红心的可能结果有3个．∴P ＝35.]2．D [如图给4块试验田分别标号A1、A2、B 1、B 2.基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6种基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”(记为事件A )的基本事件有(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个． ∴P (A )＝26＝13，故选D.]3．D [设3个元素为a ，b ，c ，则所有子集共8个，∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，含2个元素的子集共3个，故所求概率为38.]4．A[基本事件有甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个．甲不被选中的事件为乙丙丁，∴P＝14.]5．0.4[10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的频率为410＝0.4.]。

1．1 频率与概率学习目标 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.3.初步能够利用概率知识解释现实生活中的实际问题．知识点一随机事件思考抛掷一粒骰子，下列事件，在发生与否上有什么特点？(1)向上一面的点数小于7；(2)向上一面的点数为7；(3)向上一面的点数为6.梳理事件的概念及分类知识点二频数与频率思考抛掷一枚硬币10次，正面向上出现了3次，则在这10次试验中，正面向上的频数与频率分别是多少？梳理(1)频率是一个变化的量，但在大量重复试验时，它又具有“稳定性”，在____________附近摆动．(2)随着试验次数的增加，摆动的幅度具有____________的趋势．(3)有时候试验也可能出现频率偏离“常数”________的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离“常数”的可能性会________．知识点三概率思考一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？梳理在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的________会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．P(A)的范围是____________．类型一必然事件、不可能事件和随机事件的判定例1 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；(3)铁球浮在水中；(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；(5)同性电荷，相互排斥．反思与感悟要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．跟踪训练1 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军；(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；(3)若x∈R，则x2＋1≥1；(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12.类型二列举试验结果例2 某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．(1)写出这个试验的所有结果；(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．反思与感悟在写出试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．跟踪训练2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．类型三用频率估计概率例3 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率．(结果保留到小数点后三位)(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．反思与感悟随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．跟踪训练3 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( ) A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定2．下列说法正确的是( )A．任一事件的概率总在(0,1)内B．不可能事件的概率不一定为0C．必然事件的概率一定为1D．以上均不对3．给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①④4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为( )A．48 B．52C．0.48 D．0.525．设某厂产品的次品率为2%，则该厂8 000件产品中合格品的件数约为( )A．160 B．1 600 C．784 D．7 8401．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2．在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．3.写出试验结果时，要按顺序，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．答案精析问题导学知识点一思考(1)必然发生；(2)必然不发生；(3)可能发生也可能不发生．梳理不会会可能发生也可能不发生知识点二思考频数为3，频率为3 10 .梳理(1)一个“常数”(2)越来越小(3)较大减小知识点三思考随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.梳理频率稳定性0≤P(A)≤1题型探究例1 解由实数运算性质知(1)恒成立是必然事件；(5)由物理知识知同性电荷相斥是必然事件，(1)(5)是必然事件．铁球会沉入水中，(3)是不可能事件．由于(2)(4)中的事件有可能发生，也有可能不发生，所以(2)(4)是随机事件．跟踪训练1 解由题意知：(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最大是6，两次朝上面的数字之和最大是12，不可能大于12，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．例2 解(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x ＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．跟踪训练2 解(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．例3 解总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645.用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：(1)将“90分以上”记为事件A ，则P (A )＝43645≈0.067；(2)将“60分～69分”记为事件B ， 则P (B )＝90645≈0.140；(3)将“60分以上”记为事件C ， 则P (C )＝645－8－62645≈0.891.跟踪训练3 解 (1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88，0.92，0.89，0.91. (2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89. 当堂训练1．B 2.C 3.B 4.D 5.D本文档仅供文库使用。

[核心必知]1．模拟方法在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．2．几何概型(1)定义：向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝，则称这种模型为几何概型．G 1的面积G 的面积(2)说明：几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[问题思考]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．2．在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A )＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．讲一讲1.取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率有多大？[尝试解答]　如图所示，记事件A ＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×＝1(m)，故事件A 发生的概率P (A )＝.1313在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 练一练1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．解析：由|x |≤1得，－1≤x ≤1，故易知所求概率为＝.1－ －1 2－ －1 23答案：23讲一讲2.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？[尝试解答]　如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生须x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－××＝，μΩ＝1，所以P (A )＝＝.12121278μA μΩ78在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝ 构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．练一练2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．解析：如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝＝.π×124×4π16答案：π16讲一讲3.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．[尝试解答]　把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P (A )＝＝0.05.0.12如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝.构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积练一练3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离均大于1的概率．解：记事件A 为“点到各面的距离均大于1”，则满足题意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率为P (A )＝＝.1333127讲一讲4.设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A 连接，求弦长超过半径的倍的2概率．[尝试解答]　如图所示，在⊙O 上有一定点A ，任取一点B 与A 连结，则弦长超过半径的倍，即为∠AOB 的度数大于90°，而小于270°.2记“弦长超过半径的倍”为事件C ，2则C 表示的范围是∠AOB ∈(，)．π23π2则由几何概型概率的公式，得P (C )＝＝.270°－90°360°12如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为P (A )＝.事件A 构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度 练一练4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输．若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)．1513解：由于转盘停止旋转时，指针指向每个位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周期问题．因为赢的概率为，故红色所占角度为周角的，即P 1＝＝72°.同理，蓝色占周角的，1515360°513即P 2＝＝120°，360°3所以绿色的角度P 3＝360°－120°－72°＝168°.再将P 3分成四等份，得P 3÷4＝168°÷4＝42°，即每个绿色扇形的圆心角为42°.【解题高手】【易错题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．[错解]　在AB 上截取线段AC ′，使AC ′＝AC .则P (AM <AC )＝P (AM <AC ′)＝＝.AC ′AB 22[错因]　因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的，而不是在线段AB 上取点，即该题是与角度有关的几何概型，而不是与长度有关的几何概型．[正解]　在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝＝67.5°.180°－45°2∴P (AM <AC )＝＝.67.5°90°341．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1解析：选C 由几何概型公式得：P ＝＝0.004.25002．(辽宁高考)在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A. B. C. D.16132345解析：选C 设|AC |＝x cm,0<x <12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )>20，则x 2－12x ＋20<0,2<x <10，所以所求概率为P ＝＝.10－212233．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为，则＝( )12ADAB A. B. C. D.12143274解析：选D由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝2＋AD 2，解得2＝，即＝.(34AB)(AD AB )716AD AB 744．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，射线OA 落在∠xOT内的概率为________．解析：记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}，∵∠xOT ＝60°，∴P (B )＝＝.60°360°16答案：165．两根相距6 m 的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________．解析：由题意P ＝＝.2613答案：136．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解：记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到 min 23时间段内按错键．P (A )＝＝.2330145一、选择题1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是( )A. B. C. D.13122334解析：选A 区间[2,3]长度为1，总区间[0,3]的长度为3，∴P ＝.132．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )23A. B. C. D ．无法计算438323解析：选B 由几何概型的公式知：＝，又：S 正方形＝4，∴S 阴影＝.S 阴影S 正方形23833．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )解析：选AA 游戏盘的中奖概率为，B 游戏盘的中奖概率为，C 游戏盘的中奖概率为3813＝，D 游戏盘的中奖概率为＝，A 游戏盘的中奖概率最大．2r 2－πr 2 2r 24－π4r 2πr 21π4．A 是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为( )A. B. C. D.12233214解析：选B 如图，当取点落在B 、C 两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径．所以弦长超过半径的概率P ＝＝.360°－120°360°235．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )A. B. C. D.π4π10π20π40解析：选A 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0,1]内的点在单位圆14内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.14π1π4二、填空题6．函数f (x )＝x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是________．解析：由f (x 0)≤0得x 0－2≤0，x 0≤2，又x 0∈[－5,5]，∴x 0∈[－5,2]．设使f (x 0)≤0为事件A ，则事件A 构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P (A )＝.710答案：7107．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________．解析：如图所示，从点A 出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧B 上的时候，满足已知C 条件，当弦的另一个端点在劣弧A 或劣弧A 上的时候不能满足已知条件．又因为△ABC 是正三BC 角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是.13答案：138．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是________．解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD 后剩余部分是阴影部分．则阴影部分的面积是42－4××π×22＝16－4π，14所以所求概率是＝1－.16－4π16π4答案：1－π4三、解答题9．在△ABC 内任取一点P ，求△ABP 与△ABC 的面积之比大于的概率．23解：设P 点、C 点到AB 的距离分别为d P 、d C ，则S △ABP ＝AB ·d P ，S △ABC ＝AB ·d C ，1212所以＝，要使>，S △ABP S △ABC dP dC dP dC 23只需使P 点落在某条与AB 平行的直线的上方，当然P 点应在△ABC 之内，而这条与AB 平行的直线EF 与AB 的距离要大于d C 的.23由几何概率公式，得P ＝＝2＝.S △CEF S △ABC (3－23)1910．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待．求甲、乙两人能见面的概率．解：用x 轴、y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间．若甲早到，当y －x ≤30时，两人仍可见面；若乙早到，则两人不可能见面，因此，必须有x ≤y .如图，事件A “两人可以见面”的可能结果是阴影部分的区域．故P (A )＝＝.12×602－12×30260238。

2．3 互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一集合间的基本关系知识点二集合的基本运算给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？答因为1为奇数，所以A⊆B.(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．知识点四概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A ＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B)．题型一互斥事件、对立事件的概念例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球答案 D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．题型二和事件的概念例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4＋C5＋C6.同理可得，D 3＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4，E ＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋C 5＋C 6，F ＝C 2＋C 4＋C 6，G ＝C 1＋C 3＋C 5. 反思与感悟 事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn 图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 跟踪训练2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B ＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C ＝{3个球中至少有一个红球}，事件D ＝{3个球中既有红球又有白球}．则： (1)事件D 与事件A 、B 是什么样的运算关系？ (2)事件C 与事件A 的交事件是什么事件？解 (1)对于事件D ，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D ＝A ＋B . (2)对于事件C ，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C ∩A ＝A .题型三 对立事件、互斥事件的概率例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．解 方法一 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：所以P (A )＝2036＝59.方法二 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”，记为A .如上表，“既没有5点又没有6点”的结果共有16个， 则“既没有5点又没有6点”的概率为P (A )＝1636＝49. 所以“至少有一个5点或6点”的概率为P (A )＝1－P A )＝1－49＝59.反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练 3 某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．解设“低于7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”，而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝512，P(B)＝13，P(C)＝16，P(D)＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．分析事件A，B，C，D为互斥事件，A＋B与C＋D为对立事件，A＋B＋C与D为对立事件，因此可用两种方法求解．解方法一(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋13＋16＝1112.方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A＋B 的对立事件为C ＋D ，所以P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－P (C )－P (D )＝1－16－112＝34，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112，即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112.解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A ＋B ＝A 时，P (A ＋B )＝P (A )，∴④错；只有事件A 与B 为对立事件时，才有P (A )＝1－P (B )，∴⑤错．2．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．不互斥、不对立 答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立．3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝D D ．A ∪C ＝B ∪D 答案 D解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A ∪C ＝D ＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B ∪D 为必然事件，所以A ∪C ≠B ∪D .4．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( )A.35B.25 C.14 D.18答案 C解析 该子集恰是{a ，b ，c }的子集的概率为P ＝1－34＝14.5．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________． 答案 0.2解析 设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ＋C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2.1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．一、选择题1．已知P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ＋B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1 D ．不确定答案 D解析 由于不能确定A 与B 是否互斥，所以P (A ∪B )的值不能确定． 2．若A 、B 是互斥事件，则( )A．P(A＋B)<1 B．P(A＋B)＝1C．P(A＋B)>1 D．P(A＋B)≤1答案 D解析∵A、B是互斥事件，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B是对立事件时，P(A＋B)＝1)．3．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( )A．0.09 B．0.97C．0.99 D．0.96答案 C解析因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99.4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”答案 C解析该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③答案 C解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析对立事件首先是互斥事件，故①正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式，故②不正确；概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故③不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确．比如在掷骰子试验中，设事件A ＝{正面为奇数}，B ＝{正面为1,2,3}，则P (A )＋P (B )＝1.而A ，B 不互斥，故④不正确． 7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56答案 C解析 由题意知，B 表示“大于或等于5的点数出现”，事件A 与事件B 互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝26＋26＝46＝23.二、填空题8．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ＋B )＝0.7，则P (B )＝________. 答案 0.3解析 因为A ，B 为互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．所以P (B )＝P (A ＋B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．答案 120解析 可设参加联欢会的教师共有n 人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－920＝1120.再由题意，知1120n －920n ＝12，解得n ＝120.10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．答案 0.45解析 由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.11．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________． 答案 59解析 记“既不出现5点也不出现6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“5点或6点至少出现一个”的事件为B .因为A ∩B ＝∅，A ＋B 为必然事件，所以A 与B 是对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.故5点或6点至少出现一个的概率为59.三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的． 由题意，得⎩⎨⎧P A ＝13， P B ＋C ＝512， P C ＋D ＝512， P A ＋B ＋C ＋D ＝1，即⎩⎨⎧P B ＋P C ＝512， P C ＋P D ＝512， 13＋P B ＋P C ＋P D ＝1，解得⎩⎨⎧P B ＝14， P C ＝16， P D ＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一 几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积.思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰． 故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －ra.题型二 与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}，则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 答案31 000解析由几何概型知，P＝31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积.。

随机事件的概率1．1 & 1.2频率与概率生活中的概率预习课本P119～126，思考并完成以下问题(1)随机事件、必然事件、不可能事件是如何定义的？(2)概率的定义是什么？(3)频率与概率有什么区别和联系？[新知初探]1．概率在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)．我们有0≤P(A)≤1.2．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．[点睛](1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机事件没有结果．()(2)随机事件的频率与概率一定不相等．()(3)在条件不变的情况下，随机事件的概率不变．()(4)在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．下列关于随机事件的频率与概率的关系的说法中，正确的是()A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增多，频率越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定解析：选C频率不是概率，所以A不正确；概率是客观存在的，与试验次数无关，所以B不正确；概率不是随机的，所以D不正确；很明显，随着试验次数的增多，频率越来越接近概率，故选C.3．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是() A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D．以上说法都不对解析：选C治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较大．[典例]①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“一个三角形的大边对的角小、小边对的角大”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确的个数是()A．4B．3C．2 D．1[解析]①正确，因为无论怎么放，其中一个盒子的球的个数都不小于2；②正确，因为无论x为何实数，x2＜0均不可能发生；③错误，三角形中大边对大角，所以③是不可能事件；④正确，因为“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”这件事有可能发生，也有可能不发生，确实是随机事件．[答案] B判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，关键看它在一定的条件下是否一定发生．若可能发生也可能不发生，则是随机事件；若一定会发生，则是必然事件；若一定不会发生，则是不可能事件．要注意的是：这里的条件对事件发生与否的判断很关键．[活学活用]指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的签； (2)函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)为增函数； (3)平行于同一条直线的两条直线平行； (4)随机选取一个实数x ，得2x ＜0.解：(1)是随机事件，5张标签都可能被取到．(2)是随机事件，当a ＞1时，函数y ＝log a x 为增函数，当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 为减函数．(3)是必然事件，实质是平行公理．(4)为不可能事件，根据指数函数y ＝2x 的图像可得，对任意实数x,2x ＞0.频率与概率的关系[典例] 况：表一抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn抽取球数n 70 130 310 700 1 500 2 000 优等品数m601162826371 3391 806优等品频率mn(1))； (2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？(3)若该两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？[解] (1)依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为0.86,0.89,0.91,0.91，0.89，0.90.(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P甲>P 乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．(1)虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，用事件发生的频率去“测量”，通过计算事件发生的频率去估计概率．(2)此类题目的解题方法是：先利用频率的定义依次计算出各个频率值，然后确定概率(即频率的稳定值)．[活学活用]某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组 [500，900) [900，1 100) [1 100，1 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．解：(1)频率依次是：0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是600＝0.6，1 000所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.概率的应用[典例]3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?[解]如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，既有可能治愈，也可能没有治愈．治愈的概率是0.3是指如果有1 000人患病，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了在大量重复试验的条件下，随机试验发生的频率的稳定性．由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生．从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．[活学活用]为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．解：设水库中鱼的尾数是n(n∈N＋)，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕到的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{捕到带记号的鱼}，则P(A)＝2 000n.第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A 发生的频数为40，由概率的统计定义知P (A )≈40500，即2 000n ≈40500，解得n ≈25 000. 所以估计水库中的鱼有25 000尾．[层级一 学业水平达标]1．下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程x 2－2x ＋3＝0有两个不相等的实数根； ③下周日会下雨；④某网站某一时间段内被点击次数多于10次． 其中随机事件的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义作出判断．由定义可知，①是必然事件；②是不可能事件；③④是随机事件．2．某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的( )A ．概率为35B ．频率为35C ．频率为6D ．概率接近35解析：选B 本题主要考查频率的定义以及频率与概率的区别，事件A 的频率为610＝35，概率为12，故选B.3．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如，预报“明天降水概率为78%”，这是指( )A ．明天该地区有78%的地区降水，其他地区不降水B ．明天该地区降水的可能性为78%C ．气象台的专家中，有78%的专家认为会降水，另外22%的专家认为不降水D ．明天该地区约有78%的时间降水，其他时间不降水解析：选B “明天降水概率为78%”是指明天该地区降水的可能性为78%，故选B. 4．下列说法：①频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小； ②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率mn 就是事件A 发生的概率； ③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n 次试验的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确的说法是________．解析：由概率与频率的关系，可知①④⑤正确． 答案：①④⑤[层级二 应试能力达标]1．下列说法正确的是( )A ．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为710B ．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上”C ．某地发行福利彩票，其回报率为47%.有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D ．大量试验后，可以用频率近似估计概率解析：选D A 中710是频率；B 错的原因是误解了“概率是12”的含义；C 错的原因是忽略了整体与部分的区别．2．某次数学考试中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是14，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其一个选项，则一定有3题答对．”这句话( )A ．正确B ．错误C ．不一定D ．无法解释解析：选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14，说明做对的可能性大小是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道．也可能都选错，或仅有2题、3题、4题……甚至12个题都选择正确．3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( ) A ．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防B ．小概率事件很少发生，不用怕C ．小概率事件就是不可能事件，不会发生D ．大概率事件就是必然事件，一定发生解析：选A 因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A. 4．随机事件A 的频率mn 满足( ) A.mn ＝0 B.mn ＝1 C ．0＜mn＜1D ．0≤mn≤1解析：选D ∵0≤m ≤n ，∴0≤mn≤1.5．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为________．解析：由100×0.49＝49，知有49次“正面朝上”，故有100－49＝51(次)“正面朝下”． 答案：516．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的是________．解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是0.9，估计从该袋中任取一球，是白球的概率约是0.9，是黑球的概率约是0.1，因为取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．答案：白球7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10； 其中________是必然条件；________是不可能事件；________是随机事件．解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.答案：③④ ② ①8．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，故x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟的共有15＋30＋25＝70(人)， 根据频率与概率的关系，估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为70100＝0.7.9．如图所示，盒中装有3个完全相同的球，分别标着“A ”“B ”“C ”，从盒中随意摸出一球，并自由转动转盘(转盘被分成相等的3个扇形)，小刚和小明用它们做游戏，并约定：如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同，则小明获得1分，如果不同，则小刚获得1分．(1)你认为这个游戏公平吗？为什么？(2)如果不公平，该如何修改约定才能使游戏对双方公平？(3)如果他们认为这个约定不公平，但又不想修改约定，于是便商定只用转盘转动两次做这个游戏，你认为这样公平吗？解：游戏是否公平，关键要看试验很多次后，两人平均每次试验的得分是否相等，相等，则公平；不相等，则不公平．(1)不公平．因为每进行一次游戏，小明获1分的机会是13，而小刚获得1分的机会是23.(2)可这样修改约定：如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同，则小明获2分；如果不同，则小刚获1分．(3)也不公平．因为每转动两次转盘，小明获得1分的机会仍是13，而小刚获得1分的机会仍是23.。

学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．1．频率与概率频率是概率的________，是随机的，随着试验的不同而________；概率是多数次的试验中________的稳定值，是一个________，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．2．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此________的事件的和；(2)先求其________事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．3．古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝m n求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．4．几何概型事件概率的计算关键是求得事件A所占________和____________的几何测度，然后代入公式求解．类型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？反思与感悟概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？类型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．跟踪训练2有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．(1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率．类型三古典概型与几何概型例3某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：。

学习目标 1.了解几何概型的定义及其特点.2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.3.会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则图形的面积．知识点一几何概型的概念思考往一个外圆内方的铜钱上投一粒小米，则小米可能的落点有多少个？怎样计算小米落入方孔中的概率？梳理向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成________，而与G的形状、位置无关．即P(点M落在G1)＝________________，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是________________的有限区域，相应的概率是______________．知识点二模拟方法思考如图，椭圆与圆只有2个公共点A、B，一个质点落在圆内任一点的可能性相同，则质点落在椭圆内的概率怎么计算？梳理模拟方法的本质是产生大量指定范围内的随机数来代替反复实验，以频率估计概率．____________可以来估计某些随机事件发生的概率．类型一几何概型的概念例1判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2) 下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．类型二几何概型的概率计算例2某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．反思与感悟数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．利用图形解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A的概率．跟踪训练2某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时(整点报时)，求他等待的时间不多于10分钟的概率．类型三模拟方法的应用例3假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，你能设计一种随机模拟的方法近似计算事件A发生的概率吗？反思与感悟解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形；二是由几何概型正确计算概率．跟踪训练3在右图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.1．下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型也是古典概型中的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性D．几何概型在一次试验中出现的结果有无限个2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A.13B.12C.14D.163．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( ) A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π84．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为( )A.13B.12 C .14 D.565.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积约为( )A.43B.83C.23D ．无法计算1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大． 用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验．答案精析问题导学 知识点一思考 小米可能的落点有无限多，故不能，用古典概型计算小米落入方孔中的概率，但因为小米的落点个数与铜钱的面积成正比，故可用方孔与铜钱面积之比来计算小米落入方孔中的概率． 梳理 正比G 1的面积G 的面积空间中或直线上 体积之比或长度之比知识点二思考 这是一个几何概型，但椭圆的面积公式还没学，故不能用几何概型概率公式直接计算，但可以用模拟方法估计． 梳理 模拟方法 题型探究例1 解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36(种)，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型． 跟踪训练1 解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性； (2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．例2 解 如图所示，设上辆车于时刻T 1到达，而下辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为10，设T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A ，则事件A 发生即当点t 落在线段TT 2上，即D ＝T 1T 2＝10，d ＝TT 2＝6. 所以P (A )＝d D ＝610＝35.故乘客候车时间不超过6分钟的概率为35.跟踪训练2 解 记“等待的时间不多于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A 发生．由几何概型的概率公式求得P (A )＝60－5060＝16，即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为16.例3 解 (随机模拟的方法)做两个带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P (A )＝父亲在离家前能得到报纸的次数试验的总次数.跟踪训练3 解 随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数.设正方形的边长为2，则圆半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可能数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值．当堂训练1．A [几何概型与古典概型是两种不同的概型．]2．B [向△ABC 内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设“点落在△ABD 内”为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.]3．B [若以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P (A )＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.]4．D5．B [∵S 阴影S 正方形≈23，∴S 阴影≈23S 正方形＝83.]。

1．1　频率与概率[学习目标]　1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性.2.正确理解概率的含义，理解频率与概率的区别与联系.3.会初步列举出重复试验的结果．知识点一　必然事件、不可能事件与随机事件事件类型定义必然事件在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件，简称必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件确定事件必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件，简称随机事件事件确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示知识点二　随机事件的频率1．随机试验(1)试验可以在相同的条件下重复进行；(2)试验的结果都明确可知，但不止一种；(3)每次试验总是出现这些结果中的一种，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果．称这样的试验是一种随机试验，简称试验．2．随机事件的频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A)＝为事件A 出现的频率．n An 思考　两位同学在相同的条件下，都抛掷一枚硬币100次，得到正面向上的频率一定相同吗？答　不一定相同．知识点三　随机事件的概率对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A)随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，则P (A )称为事件A 的概率，简称为A 的概率．思考　频率和概率可以相等吗？答　可以相等．但因为每次试验的频率是多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．题型一　必然事件、不可能事件与随机事件的判断例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；(3)若x ∈R ，则x 2＋1≥1；(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．解　(1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件．(4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．反思与感悟　要判断事件是何种事件，首先要看清条件，因为事件都是相对于一定条件而言的，然后看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．跟踪训练1　下列事件中的随机事件为( )A ．若a ，b ，c 都是实数，则a (bc )＝(ab )c B ．没有水和空气，人也可以生存下去C ．抛掷一枚硬币，反面向上D ．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾答案　C解析　A 中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a ，b ，c 是恒成立的，故A 是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B 是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C 是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．题型二　试验与重复试验的结果分析例2　下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．解　(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．反思与感悟　1.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．2．在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．解　(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．题型三　频率与概率的关系及求法例3　某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数68111136345564701m落在“铅笔”区域的频率mn (1)计算并完成表格；(2)请估计，当n 很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？解　(1)转动转盘的次数n 1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701落在“铅笔”区域的频率mn0.680.740.680.690.7050.701(2)当n 很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率约是0.7.反思与感悟　1.频率是事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n 很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．跟踪训练3　一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n 554496071352017190男婴数m2883497069948892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？解　(1)计算即得男婴出生的频率依次约是0.5200,0.5173, 0.5173,0.5173.mn (2)由于这些频率非常接近0.5173，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.5173.设计程序框图例4　一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球．从中先后取出2个球，共有多少种不同的结果？分析　利用列举法将所有可能结果一一列举出来．解　方法一　从袋中先后取出2个球，如记(红，白)表示从袋中先取出红球，再取出白球，则所有的结果为：红白黄黑红(红，白)(红，黄)(红，黑)白(白，红)(白，黄)(白，黑)黄(黄，红)(黄，白)(黄，黑)黑(黑，红)(黑，白)(黑，黄)共有12种不同的结果．方法二　如图．共有12种不同的结果．解后反思　(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件，比如题目中强调了“先后取出”，故与顺序有关．(2)为将随机试验的所有可能结果一一列举出来，可利用画树状图、列表等方法解决．1．下列事件：①明天下雨；②3＞2；③某国发射航天飞机成功；④x∈R，x2＋2＜0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x∈R，x＋2＝0.其中随机事件的个数为( )A．1B．2C．3D．4答案　D解析　①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件．2．从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是( )A．3人都是男生B．至少有1名男生C．3人都是女生D．至少有1名女生答案　B解析　由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生．3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )A ．概率为B ．频率为4545C ．频率为8D ．概率接近于8答案　B解析　做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为.如果多次进行试验，mn 事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率．故＝为事81045件A 的频率．4．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为( )A ．男女、男男、女女B ．男女、女男C ．男男、男女、女男、女女D ．男男、女女答案　C解析　用列举法知C 正确．5．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．答案　⑥　④　①②③⑤解析　从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”．　1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．。

第三章 概率3.1 随机事件的概率学生学案——随机事件的概率（一）一．【课标要求】1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式；3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

二．【命题走向】本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性预测今后高考：（1）对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；（2）对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主三．【要点精讲】1．随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P （A ）。

由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；（3）包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B （或事件B 包含事件A ）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件。

注：当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥）；且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=1。

§3 模拟方法——概率的应用整体设计教学分析这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子.本节的教学需要一些实物模型为教具,教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试验次数的增加,结果的精度会越来越高.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但它不是必然事件.三维目标1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P(A)=)(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型.思路2.图1中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?图1为解决这个问题,我们学习几何概型.思路 3.在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.推进新课新知探究提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭,假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反).每种结果出现的概率相等,P(正,正)=P(正,反)=P(反,正)=P(反,反)=41.两次出现相同面的概率为41+41=21. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如图2,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31,图2于是事件A 发生的概率为P(A)=31. 第二个问题,如图3,记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.图3(3)硬币落地后会出现四种结果(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的,而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的,即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式： P(A)=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件发生的概率是古典概型,还是几何概型.(1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;(2)如图4所示,有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系,然后判断.解：(1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性,而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例 2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.活动：学生分析,教师引导,假设他在0—60之间的任一时刻,打开收音机是等可能的,但0—60之间有无数个时刻,不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率,因为他在0—60之间的任一时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件,所以可用几何概型的概率计算公式计算.图5解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A,打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内则事件A 发生.由几何概型的求概率公式得P(A)=6160)5060(=-，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为61. 打开收音机的时刻X 是随机的,可以是0—60之间的任何时刻,且是等可能的.我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 称为［0,60］上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例 1 某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车时间不多于20分钟的概率.活动：假设他在0—60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：设A={等待的时间不多于20分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［40,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=60)4060(-=31. 即此人等车时间不多于20分钟的概率为31. 点评：在本例中,到站等车的时刻X 是随机的,可以是0到60之间的任何一刻,并且是等可能的,我们称X 服从［0,60］上的均匀分布,X 为［0,60］上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30—6：30之间任何一个时间随机地被送到,小明一家人在下午6：00—7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐,则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题,设法利用几何概型公式求得概率.解：建立平面直角坐标系,如图5中x=6,x=7,y=5.5,y=6.5围成一个正方形区域G.设晚餐在x(6≤x≤7)时开始,晚报在y(5.5≤y≤6.5)时被送到,这个结果与平面上的点(x,y)对应.于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应.图5由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.晚报在晚餐开始之前被送到,当且仅当y<x,因此图5中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”.容易求得g 的面积为87,G 的面积为1.由几何概型的概率公式,“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P(A)=87=的面积的面积G g . 变式训练在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的,取得的10毫升种子可视作构成事件的区域,1升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公式计算其概率.解：取出10毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为A,则P(A)=0.01.答：取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1.已知地铁列车每10 min 一班,在车站停1 min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. 答案：由几何概型知,所求事件A 的概率为P(A)=111. 2.两根相距6 m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于2 m 的概率.答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)=62=31. 3.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是( )A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定 答案：C提示：由于取水样的随机性,所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004. 4.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.图6答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图6所示,这样线段OM 长度(记作OM)的取值范围就是［0,a ］,只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件A 的概率就是P(A)=ar a a a r -=的长度的长度],0[],(. 拓展提升1.约会问题两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.解：因为两人谁也没有讲好确切的时间,故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成.以8点钟作为计算时间的起点,设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω：{(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},画成图为一正方形.以x,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20.图7这是一个几何概型问题,可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,能会面的点的区域用阴影标出(如图7).所求概率为P=95604060222=-=的面积的面积G g . 2.〔蒲丰(Buffon)投针问题〕平面上画很多平行线,间距为a.向此平面投掷长为l(l<a)的针,求此针与任一平行线相交的概率.解：以针的任一位置为样本点,它可以由两个数决定：针的中点与最接近的平行线之间的距离x,针与平行线的交角φ(见图8).样本空间为Ω：{(φ,x)|0≤φ≤π,0≤x≤2a }为一矩形.针与平行线相交的充要条件是g ：x≤21sinφ(见图9). 所求概率是P=ππϕϕπa l a d l g 22sin )2(0=∙∙=Ω⎰的面积的面积.图8 图9注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似,由此可以得到π的近似值.方法是重复投针N 次(或一次投针若干枚,总计N 枚),统计与平行线相交的次数n,则P≈N n .又因a 与l 都可精确测量,故从N n a l ≈π2,可解得π≈anlN 2.历史上有不少人做过这个试验.做得最好的一位投掷了3 408次,算得π≈3.141 592 9,其精确度已经达到小数点后第六位.设计一个随机试验,通过大量重复试验得到某种结果,以确定我们感兴趣的某个量,由此而发展的蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法为这种计算提供了一种途径.课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.作业习题3—3 A 组1、2.设计感想本节课首先对古典概型进行了复习,使学生掌握古典概型的适用条件,巩固了古典概型的概率计算公式,接着设计了多个试验,从课题的引入,到问题的提出都非常有针对性,引人入胜,接着从新的问题中引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型,并通过探究,归纳出几何概型的概率计算公式,同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系,通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次,加深理解和运用,由于它们与实际生活联系密切,所以要反复练习,达到为我们的工作与生活服务,然而这部分内容在高考中是新内容,因此同学们要高度重视,全面把握,争取获得好成绩.。

§3模拟方法——概率的应用1．记住几何概型的概念和特点．(重点)2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(重点、难点)3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等．(难点)[基础·初探]教材整理模拟方法与几何概型阅读教材P150～P152，完成下列问题．1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G 1G 的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．几何概型的特点与概率计算公式(1)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．(2)几何概型的概率计算公式：在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(3)计算步骤：①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；③利用概率公式P(A)＝mn计算．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到1的概率概型是几何概型．()(2)从区间[－10,10]内任取一个数，求取到大于等于1且小于等于5的数的概率模型是几何概型．()(3)从一个边长为4 cm的正方形ABCD内任取一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率模型是几何概型．()(4)几何概型中每个结果发生的可能性都相等．()【解析】(1)×，古典概型．(2)√，可能出现的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等．(3)√，符合几何概型的特征．(4)√，由几何概型的特点可知．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√[小组合作型](1)一时刻都是等可能的，乘客候车时间不超过3 min的概率是________．(2)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．【精彩点拨】本题中事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件．【自主解答】(1)法一设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为5，记T是线段T1T2上的点，且TT2的长等于3，记等车时间不超过3 min为事件A，事件A(候车时间不超过3 min)发生即当点落在线段TT2上，记D＝T1T2＝5，d＝TT2＝3，所以P(A)＝dD＝35.即候车时间不超过3 min的概率为3 5.法二容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．记A为“候车时间不超过3 min”，以x表示乘客来到车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x，假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t，依据题意，乘客必在(t－5，t]内来到车站，故D＝{x|t－5＜x≤t}，欲使乘客候车时间不超过3 min必须满足t－3≤x≤t，所以d＝{x|t－3≤x≤t}，所以P(A)＝dD＝35.(2)如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P＝DE＋FG＋MN BC＋CA＋AB ＝3＋2＋112＝12.【答案】(1)35(2)12如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型.可按下列公式来计算其概率：P(A)＝事件A构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.[再练一题]1.如图3-3-1，A，B两盏路灯之间的距离是30 m，由于光线较暗，想在其间再随意安装一盏路灯C，求A与C，B与C之间的距离都不小于10 m的概率．图3-3-1【解】记E：“A与C，B与C之间的距离都不小于10 m”．把AB三等分，由于中间长度为30×13＝10 m，所以P(E)＝1030＝13.程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．【精彩点拨】本试验所有结果对应的几何区域为棱长是3的正方体，“安全飞行”对应的区域为棱长是1的正方体.【自主解答】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝1333＝127.1．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A所占的体积．其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.2．解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．[再练一题]2．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，在正方体内随机取一点M ，求点M 落在三棱锥B ′－A ′BC 内的概率．【解】 记“点M 落在三棱锥B ′-A ′BC 内”为事件E .因为棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3，由正方体的性质可知V B ′-A ′BC ＝13S B ′BC ·A ′B ′＝16a 3.故P (E )＝V B ′－A ′BC V＝16a 3a 3＝16. [探究共研型]探究1 几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？【提示】 几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．探究2 在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A)＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？【提示】 不正确．若随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．向面积为S 的矩形ABCD 内任投一点P ，试求△PBC 的面积小于S 4的概率.【导学号：63580041】【精彩点拨】 先利用图形找到P 点所在的区域，然后利用面积比求概率．【自主解答】 如图所示，设△PBC 的边 BC 上的高为PF ，线段PF 所在的直线交AD 于点E ，当△PBC的面积等于S 4时，即12BC ·PF ＝14BC ·EF ，所以PF＝12EF ，过点P 作GH 平行于BC 交AB 于G ，交CD 于H ，所以满足S △PBC ＝S 4的点P 的轨迹是线段GH .所以满足条件“△PBC 的面积小于S 4”的点P 应落在矩形GBCH 内．设“△PBC 的面积小于S 4”为事件A ，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝S2S ＝12.所以△PBC 的面积小于S 4的概率是12.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值.此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝\f(构成事件A 的区域面积,试验的全部结果构成的区域面积)计算事件的概率即可.[再练一题]3．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00.问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？【解】 如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生需x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－12×12×12＝78，μn ＝1, 所以P (A )＝μA μn ＝78.1．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为()A．0B．0.002C．0.004 D．1【解析】由几何概型公式得：P＝2500＝0.004.【答案】 C2．在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为()A.310B．15C.25 D.45【解析】∵25＜S＜49，∴5＜AP＜7，∴P(25＜S＜49)＝7－510＝15.【答案】 B3．如图3-3-2所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任做一条射线OA，射线OA落在∠xOT内的概率为________．图3-3-2【解析】记B＝{射线OA落在∠xOT内}，∵∠xOT＝60°，∴P(B)＝60°360°＝16.【答案】1 64．在边长为2的正方形ABCD内随机取一点M，则|AM|＜1的概率为________．【解析】 由|AM |＜1知，点M 在以A 为圆心，1为半径的四分之一圆内，故所求概率为14π22＝116π.【答案】 116π5．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了．该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？【解】 记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23 min 时间段内按错键，P (A )＝2330＝145.。

学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．1．频率与概率频率是概率的________，是随机的，随着试验的不同而________；概率是多数次的试验中________的稳定值，是一个________，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．2．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此________的事件的和；(2)先求其________事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．3．古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝m n求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．4．几何概型事件概率的计算关键是求得事件A所占________和____________的几何测度，然后代入公式求解．类型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？反思与感悟概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？类型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．跟踪训练2有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．(1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率．类型三古典概型与几何概型例3某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．反思与感悟 古典概型与几何概型的共同点是各基本事件等可能；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限．跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A.413B.313C.213D.113类型四 列举法与数形结合例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？反思与感悟事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．跟踪训练4设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．1．下列事件中，随机事件的个数为()①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．A．1 B．2 C．3 D．42．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件3．下列试验属于古典概型的有()①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．A．1个B．2个C．3个D．4个4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是()A.13B.14C.12D ．无法确定 5．任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300D.14501．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥． 2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)本试验是不是等可能的？ (2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件？ 只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．4．模拟方法问题中，由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A 发生的条件确定随机数应满足的关系式．答案精析知识梳理1．近似值 变化 频率 常数 2．(1)互斥 (2)对立 4．区域 整个区域 题型探究例1 解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017，0.02,0.018.(2)当抽取件数a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘，为保证其中有2 000个正品U 盘，则x (1－0.02)≥2 000，因为x 是正整数，所以x ≥2 041，即至少需进货2 041个U 盘．跟踪训练1 解 (1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心． (4)不一定．例2 解 把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种． 因此基本事件的总个数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.跟踪训练2 解 (1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，则所有可能的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．用C 表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则C 表示“有放回地从债券中任取2张，取出的2张中至少有1张是中奖债券”，则C ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以P (C )＝1－P (C )＝1－416＝34.(2)无放回地从债券中任取2张，则所有可能的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．用D 表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，则D 表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张至少有1张是中奖债券”， 则P (D )＝1－P (D )＝1－212＝56.例3 解 (1)计算10件产品的综合指标S ，如下表：其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.跟踪训练3 D [设阴影小正方形边长为x ，则在直角三角形中 有22＋(x ＋2)2＝(13)2， 解得x ＝1或x ＝－5(舍去)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.] 例4 解 记三人为A 、B 、C ，则4次传球的所有可能结果可用树状图方式列出：如下图．每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16个，而又回到A 手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.跟踪训练4 解 利用平面直角坐标系列举，如图所示．由此可知，基本事件总数n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x ＋y 是3的倍数的情况有m ＝1＋2＋4＋4＋3＋1＝15(种)．故所求事件的概率m n ＝13.当堂训练1．C [①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.]2．B [根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．]3．A [古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.]4．C [共有4个事件“甲、乙同住房间A ，甲、乙同住房间B ，甲住A 乙住B ，甲住B 乙住A ”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是12.]5．C [三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.]。

1.2 生活中的概率学习目标 1.深刻明白得概率的意义，会用概率知识说明现实生活中的实际问题.2.通过概率对实际问题的说明，体会数学与现实世界的联系．知识点一正确明白得概率的含义试探抛掷一枚质地均匀的硬币，显现正面的概率为0.5，是不是意味着持续抛2次，必然是一次正面朝上，一次是反面朝上？梳理随机性与规律性随机事件在一次实验中发生与否是________的，但随机性中含有规律性，熟悉了这种随机性中的规律性，就能够比较准确地预测随机事件发生的________．知识点二概率与公平性试探一副围棋子共181枚黑子，180枚白子．若是裁判闭目从中任取一枚，指定竞赛两边的一方猜黑白，猜对先行，不然让对方先行．这种规那么是不是公平？梳理游戏的公平性一样地，规那么公平的标准是参与各方机遇均等，即胜出的概率相等．知识点三概率与决策试探一个班主任听说自己班里有一个学生迟到了，但不知是谁，他第一猜是那位常常迟到的．他的这种猜想原理是什么？可不可能猜错？梳理概率和日常生活有着紧密的联系．关于生活中的随机事件，咱们能够利用概率知识作出合理的判定和决策．类型一概率的正确明白得例1 以下说法正确的选项是( )A．由生物学明白生男生女的概率约为0.5，一对夫妇前后生两个小孩，那么必然为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，那么摸5张票，必然有一张中奖C．10张票中有1 张奖票，10人去摸，谁先摸那么谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，不管谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1反思与感悟(1)概率是随机事件发生可能性大小的气宇，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复实验中事件A发生的频率的近似值．(2)随机事件A在一次实验中发生与否是随机的，并非是概率大就必然会发生，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次实验或某一个具体的事件．跟踪训练1 某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就必然能击中9次？类型二概率思想的实际应用例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．先随机地抽取一箱，再从掏出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪个箱子中掏出的？反思与感悟在一次实验中，概率大的事件比概率小的事件显现的可能性更大．跟踪训练2 若是掷一枚质地均匀的硬币，持续5次正面向上，有人以为下次显现反面向上的概率大于1 2，这种明白得正确吗？类型三游戏规那么的公平性例3 有四张卡片，别离写有2,3,7,8.规定任意不放回地抽取两张，积是2的倍数那么甲获胜，积是3的倍数那么乙获胜，若是积是6的倍数那么重来．那个游戏规那么公平吗？反思与感悟在各类游戏中，若是各方获胜概率相等，那么规那么确实是公平的．跟踪训练3 街头有人摆一种游戏，方式是抛掷两枚骰子，若是两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情形，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对两边公平吗？假设不公平，请说明哪方占廉价？1．“某彩票的中奖概率为11 000”意味着( ) A．买1 000张彩票就必然能中奖B．买1 000张彩票中一次奖C．买1 000张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是11 0002．某学校有教职工400名，从当选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工被选的概率是110，其中正确的选项是( )A．10个教职工中，必有1人被选B．每位教职工被选的可能性是110C．数学教研组共有50人，该组被选教职工代表的人数必然是5D．以上说法都不正确3．以下说法正确的选项是( )A．设有一批产品，第二品率为0.05，那么从中任取200件，必有10件是次品；B．做100次抛硬币的实验，结果51次显现正面朝上，因此，显现正面朝上的概率是51100；C．随机事件发生的频率确实是那个随机事件发生的概率；D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，那么显现1点的频率是950.4．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区效劳活动，有人提议用如下方式选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班．依照那个规那么，被选概率最大的是( )A．二班B．三班C．四班D．三个班机遇均等5．同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板，落地时这100枚铜板全都正面向上，那么这100枚铜板更可能是下面哪一种情形( )A．这100枚铜板两面是一样的B．这100枚铜板两面是不一样的C．这100枚铜板中有50枚两面是一样的，另外50枚两面是不一样的D．这100枚铜板中有20枚两面是一样的，另外80枚两面是不一样的1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即便是可能率事件，也不能确信事件必然会发生，只是以为事件发生的可能性大．2．利用概率思想正确处置和说明实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.答案精析问题导学 知识点一试探 抛掷一枚硬币显现正面的概率为0.5，它是大量实验得出的一种规律性结果，对具体的几回实验来讲不必然能表现出这种规律性，在持续抛掷一枚硬币两次的实验中，可能两次均正面朝上，也可能两次均反面朝上，也可能一次正面朝上，一次反面朝上． 梳理 随机 可能性 知识点二试探 从361枚棋子中任取一枚，取到黑子的概率大，指定一方猜黑，猜对先行的概率大，因此那个规那么不公平． 知识点三试探 该班主任是把以往迟到的频率当概率，选择迟到概率最大的那位同窗．如此猜可能犯错，但猜对的可能性更大． 题型探讨例1 D [一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，因此A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张或都不中奖，因此B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即不管谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，因此C 不正确，D 正确．]跟踪训练1 解 从概率的统计概念动身，击中靶心的概率是0.9并非意味着射击10次就必然能击中9次，只有进行大量射击实验时，击中靶心的次数约为910n ，其中n 为射击次数，而且当n 越大时，击中的次数就越接近910n .例2 解 甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地掏出一球，取得白球的可能性是99100.乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，取得白球的可能性是1100.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到白球，固然能够以为是从概率大的箱子中掏出的．因此咱们作出统计推断：该白球是从甲箱中掏出的．跟踪训练2 解 这种明白得是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币作为一次实验，其结果是随机的，但通过大量的实验，其结果呈现出必然的规律，即“正面向上”，“反面向上”的可能性都为12，持续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次实验来讲，仍然是随机的，其显现“正面向上”和“反面向上”的可能性仍是12，而可不能大于12.例3 解 任意抽取2张，可能的结果有6,14,16,21,24,56，且各结果显现的机遇均等．因此在一局中甲获胜的概率是36＝12，乙获胜的概率是16，不公平．跟踪训练3 解 两枚骰子点数之和如下表：其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情形的共12种，概率是1236＝13，两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情形共2436＝23.因此这种游戏不公平，白方比较占廉价． 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.B 5.A。

3.2.3 互斥事件1．了解互斥事件的概念及概率加法公式．2．理解互斥事件和对立事件的区别和联系．3．掌握对立事件的概率及概率的计算公式．(难点)4．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 互斥事件阅读教材P138～P140“例5”以上部分，完成下列问题．1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．3．互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n 中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知事件A与B，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( )(2)若三个事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( )(3)袋子中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，“恰有一个白球”和“全是白球”是互斥事件．( )【解析】 (1)×，A 与B 互斥时P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． (2)×，P (A )＋P (B )＋P (C )的值不确定． (3)√，恰有一个白球与全是白球是互斥事件． 【答案】 (1)× (2)× (3)√教材整理2 对立事件及其概率的求法公式阅读教材P 140“例5”至P 143“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定义在每一次试验中，如果两个事件A 与B 不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A 与B 称作是对立事件，事件A 的对立事件记为A .2．性质P (A )＋P (A )＝1，即P (A )＝1－P (A )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件A 与事件B 互斥，则事件A 与B 互为对立事件．( ) (2)事件A 与B 若满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．( ) (3)若事件A 与B 互为对立事件，则A 与B 互斥．( ) 【解析】 (1)×，A 与B 不一定对立．(2)×，例如a ，b ，c ，d 四个球，选中每个球的概率相同，事件A 为选中a ，b 两个球，则P (A )＝12；事件B 为选中b ，c 两个球，则P (B )＝12，则P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．(3)√，对立事件一定是互斥事件． 【答案】 (1)× (2)× (3)√[小组合作型]对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生； (2)至少1名男生与全是男生； (3)至少1名男生与全是女生．【精彩点拨】 要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．【自主解答】从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件；(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．[再练一题]1．判断下列给出的条件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由：从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．【解】(1)是互斥事件，不是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512.【导学号：63580039】(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率； (2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．【精彩点拨】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．【自主解答】 (1)从袋中任取一球，记事件A 为“得到红球”，B 为“得到黑球”，C 为“得到黄球”，D 为“得到绿球”，则事件A ，B ，C ，D 两两互斥．由已知P (A )＝13，P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512， P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512，∴P (B ＋C ＋D )＝1－P (A )＝1－13＝23.∵B 与C ＋D ，B ＋C 与D 也互斥，∴P (B )＝P (B ＋C ＋D )－P (C ＋D )＝23－512＝14，P (D )＝P (B ＋C ＋D )－P (B ＋C )＝23－512＝14，P (C )＝1－P (A ＋B ＋D )＝1－(P (A )＋P (B )＋P (D ))＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋14＝1－56＝16.故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球， ∴得到的球是红球或黄球，即事件A ＋C ， ∴P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝13＋16＝12，故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为12.1．解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式求解．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也用上述规律．[再练一题]2．向三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率是0.025，炸中其他两个的概率都是0.1.已知只要炸中一个，另外两个都会爆炸．求这三个军火库都爆炸的概率和都没有爆炸的概率．【解】设以A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库的事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.由题意知A，B，C两两互斥，且“三个军火库都爆炸”意味着炸弹炸中其中任何一个．设D表示事件“三个军火库都爆炸”，则D＝A＋B＋C，其中A，B，C两两互斥．所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.所以，三个军火库都没有爆炸的概率为1－P(D)＝0.775.[探究共研型]探究1 若令A＝“小明考试及格”，A＝“小明考试不及格”，则事件A与事件A能不能同时发生，或者都不发生？为什么？【提示】不可能同时发生，由于事件A与A是互斥事件，所以不可能同时发生，事件A与A也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格，要么不及格，二者必居其一，故A与A必有一个发生．探究2 将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数．设U＝“出现点数的全体”，A＝“出现的点数是偶数”，B＝“出现的点数是奇数”，则A，U是互斥事件吗？A，B是互斥事件吗？B，U是互斥事件吗？”【提示】A，U不是互斥事件，A，B是互斥事件，B，U不是互斥事件．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．【精彩点拨】先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决．【自主解答】 法一：利用等可能事件求概率．(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝912＝34.(2)从12个球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为5＋4＋212＝1112.法二：利用互斥事件求概率．记事件A 1＝{任取1球为红球}；A 2＝{任取1球为黑球}；A 3＝{任取1球为白球}；A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋412＋212＝1112. 法三：利用对立事件求概率的方法．(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1＋A 2的对立事件为A 3＋A 4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P (A 1＋A 2)＝1－P (A 3＋A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－212－112＝912＝34.(2)A 1＋A 2＋A 3的对立事件为A 4，所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.求复杂事件的概率通常有两种方法：1 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；2 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率.[再练一题]3．据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：(2)求至少2人排队等候的概率．【解】记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥．(1)至多2人排队等候的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.1．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论哪个是正确的( ) A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥【解析】由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．【答案】 C2．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③【解析】从1～9中任取两个数，有以下三种情况．(1)两个均为奇数，(2)两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数，故③为对立事件．【答案】 C3．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，若“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为________．【解析】考查互斥事件的概率公式．P(A＋B)＝0.65＋0.3＝0.95.P (C )＝1－P (A ＋B )＝0.05.【答案】 0.054．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________． 【解析】 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.【答案】19285．在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率； (2)求小明考试及格的概率．【解】 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B ，C ，D ，E ，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69. (2)小明考试及格的概率是P (B ＋C ＋D ＋E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.。

2．1古典概型的特征和概率计算公式学习目标 1.理解基本事件的概念并会罗列某一事件包含的所有基本事件.2.理解古典概型的概念及特点.3.会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．知识点一基本事件思考一枚硬币抛一次，可能出现的结果有哪些？梳理(1)基本事件在完全相同的条件下，事件出现的结果往往是不同的，我们把________________，叫作进行一次试验．试验的________________称为基本事件．(2)基本事件的特点①任何两个基本事件是________的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的____．知识点二古典概型思考一枚矿泉水瓶盖抛一次，出现正面向上与反面向上的概率相同吗？梳理(1)试验的所有可能结果____________，每次试验________________________；(2)每一个试验结果出现的______________．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．知识点三古典概型的概率公式思考 在抛掷硬币试验中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？梳理 如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n .类型一 基本事件的罗列方法例1 从字母a 、b 、c 、d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a ”是哪些基本事件的和？反思与感悟 罗列基本事件时首先要考虑元素间排列有无顺序，其次罗列时不能毫无规律，而要按照某种规律罗列，比如树状图．跟踪训练1 做投掷2颗骰子的试验，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数．写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”．类型二古典概型的判定例2某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？反思与感悟判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．跟踪训练2从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？类型三古典概型概率的计算例3单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？反思与感悟 解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出． 跟踪训练3 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列不是古典概型的是( )A ．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B ．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A.16B.12C.13D.234．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( )A.16B.12C.13D.235．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表， 甲被选中的概率是( )A.16B.12C.13D.231．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝m时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n.n2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．答案精析问题导学知识点一思考有2个：正面向上，反面向上．梳理(1)条件每实现一次每一个可能结果(2)①互斥②和知识点二思考因为瓶盖重心的原因，正面向上和反面向上的可能性是不一样的．由此可以看出基本事件不一定等可能．梳理(1)只有有限个只出现其中的一个结果(2)可能性相同知识点三思考一枚硬币抛掷一次，基本事件共2个：“正面朝上”和“反面朝上”．且2个基本事件等可能，故“正面朝上”与“反面朝上”的概率都是1 2.题型探究例1解所求的基本事件有6个，A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d};“取到字母a”是基本事件A、B、C的和，即A＋B＋C.跟踪训练1解(1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)．例2解不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.跟踪训练2 解 不是，因为基本事件是无数个.例3 解 由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A ，B ，C ，D 哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A ，由于正确答案是唯一的，所以事件A 只包含一个基本事件，所以P (A )＝14. 跟踪训练3 解 只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．有1听不合格的有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种；有2听不合格的有(5,6)，共1种，所以检测出不合格产品的概率为8＋115＝35. 当堂训练1．C 2.C 3.C 4.C 5.B。

随机事件的概率教学方针：通过试验，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，由此给出概率的统计定义。

教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性。

教学难点：理解频率与概率的关系。

教学过程：[设置情景]1名数学家＝10个师在第二次世界大战中，美国曾经颁布颁布：一名优秀数学家的感化超过10个师的军力。

这句话有一个非同寻常的来历。

1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。

为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后得出，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有必然的规律性。

必然数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大。

美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再团队通过危险海域，然后各自驶向预定港口。

结果奇迹泛起了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由本来的25％降为1％，大大减少了损失，包管了物资的及时供应。

在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象。

如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在必然的条件下，它所泛起的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在必然的条件下，泛起那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象。

确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比力容易掌握它。

而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点。

随机现象在必然条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件。

[探索研究] 1．随机事件下列哪些是随机事件？ （1）导体通电时发热； （2）或人射击一次，中靶； （3）抛一石块，下落； （4）在常温下，铁熔化； （5）抛一枚硬币，正面朝上；（6）在标准大气压下且温度低于c 0时，冰融化。

北师大版高中数学必修3第三章《概率》全部教案扶风县法门高中姚连省§ 3.1随机事件的概率第一课时3. 1. 1频率与概率（-）一、 教学目标：1。

经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能 力。

2.通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计一事件发生的 概率。

3.能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。

二、 教学重点：运用树状图和列表法计算事件发生的概率。

教学难点：树状图和列表法的运用方法。

三、 教学方法：探究讨论法 四、 教学过程：（一）、问题引入：对于前面的摸牌游戏，在一次试验中，如果摸得第一张牌面数字为L 那么 摸第二张牌的数字为几的可能性大？如果摸得第一张牌的牌面数字为2呢？（山此引入课题，然 后要求学生做实验来验证他们的猜想）（二）、做一做：实验1：对于上面的试验进行30次，分别统计第一张牌的牌面字为1时，第二 张牌的牌面数字为1和2的次数。

实验的具体做法：每两个人一个小组，一个负责抽纸张，另一个人负责记录, 如：12 2 1（上面一行为第一次抽的） 2 12 1--（下面一行为第二次抽的）议一议：小明的对自己的试验记录进彳丁了统计，结果如下：第二张牌的牌市第二张牌的牌面 数字为1 （7次）数字为2 （9次）因此小明认为，如果摸得第一张牌面数字为1,那么摸第二张牌时，摸得牌面数字为2的可能性 比较大。

你同意小明的看法吗？让学生去讨论小明的看法是否正确，然后让学生去说说自已的看法。

想一想：对于前面的游戏，一次试验中会出现哪些可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？第一张牌的牌面（16 汰）会出现3种可能的结果: 牌面数字和为2,牌面数宁和3,牌面数字和4,每种结果出现的可能性相同会出现4种可能的结果：牌面数字为（1, 1）, 牌面数字为（1, 2）, 牌面数字为（2, 1）,牌面数字为（2, 2）每种结果出现的可能性相同实际上，摸第一张牌时，可能出现的的结果是：牌面数字为1或2,而且这两种结果出现的可能性相同；摸第二张牌时，情况也是如此，因此，我们可以用下面的“树状图”或表格来表示所有可能出现的结果：可能出现的结果（1, 1）（1, 2）（2, 1）（2, 2）第二张牌面的数字第一张牌面的数字121(1, 1)(1, 2)2(2, 1)(2, 2)从上面的树状图或表格可以看出，一次试验可能出现的结果共有4种：（1, 1）（1, 2）（2, 1）（2, 2）,而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是1/4。

[核心必知]1．概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)．2．频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．3．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．4．任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性大小．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是很少发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是经常发生．[问题思考]1．把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，那么说此次试验正面朝上的频率为0.498，掷一次硬币正面朝上的概率为0.5，这样理解正确吗？提示：正确．由题意，正面朝上的频率为4981 000＝0.498，通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.即0.498是1 000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．2．如果某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人没有治愈，后3个人一定能够治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?提示：如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可。

第三章概率学习目标 1.进一步了解频率与概率的关系.2.加深对互斥事件、对立事件的理解，并会应用这些概念分割较为复杂的事件.3.理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概率．知识点一频率与概率的关系随机事件A在________条件下进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率＝______，随着试验次数的增加，频率呈现________性，即频率总是________于某个常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．知识点二互斥事件、对立事件1．若事件A，B互斥，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．2．若事件A，B对立，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．3．若事件A，B互斥，则________(填“一定”“不一定”)对立；若事件A，B对立，则________(填“一定”“不一定”) 互斥．4．若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝____________，若事件A，B对立，则P(A)＝________. 知识点三古典概型及其概率计算公式1．解决古典概型问题首先要搞清所求问题是不是古典概型，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件是否只有________个；(2)每个基本事件出现的可能性是否________．2．利用古典概型求事件A的概率的步骤是：(1)用________把古典概型试验的基本事件一一列出来；(2)从中找出事件A包含的________________；(3)P(A)＝________________________________.类型一随机事件的频率与概率例1 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如表所示：抽取球数n 50100200500 1 000 2 000 优等品数m 4592194470954 1 902(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)反思与感悟 随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率mn总是接近于常数P (A )，称P (A )为事件A 的概率．跟踪训练1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．(1)完成上面表格；(2)该油菜子发芽的概率约是多少？类型二互斥事件的概率例2 某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不超过7环的概率．反思与感悟把较为复杂的事件分割为彼此互斥(或对立)的简单事件，再求概率，是处理概率问题的常用办法．跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩，设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的学生共5人．(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？在x≥3的基础上y＝3同时成立的概率是多少？(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？类型三古典概型的概率例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．反思与感悟处理古典概型时注意：(1)审清题意；(2)确认是不是古典概型；(3)选择简捷方式表达基本事件；(4)罗列时注意有无顺序要求．跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．类型四古典概型概率的综合应用例4 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．反思与感悟古典概型概率在实际问题的应用中，一般要经历获得数据，分析数据，应用数据，进行预报和决策等过程．跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x 1234 5f a 0.20.45 b c(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A．0.5 B．0.3C．0.6 D．0.92．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7； [39.5,43.5)，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12D.233．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( ) A.34 B.13 C.12D.234．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为( )A.34 B.13 C.12D.235．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球、1个白球的概率是( ) A.34 B.13 C.12D.231．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A 的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．2．计算事件A 的概率，关键要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m .因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件数有多少个．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．答案精析知识梳理 知识点一相同 mn规律 接近 知识点二 1．≤ 2．＝3．不一定 一定 4．P (A )＋P (B ) 1－P (B ) 知识点三1．(1)有限 (2)相等2．(1)列举法 (2)基本事件及个数 (3)A 包含的基本事件的个数基本事件的总数题型探究例1 解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.跟踪训练1 解 (1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.910,0.913,0.893,0.903,0.905. (2)该油菜子发芽的概率约为0.900.例2 解 记“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，“射中8环”为事件C ，“射中7环”为事件D .则事件A 、B 、C 、D 两两互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16. (1)∵射中10环或9环为事件A ∪B ， ∴由概率加法公式得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52.(2)∵至少射中7环的事件为A ＋B ＋C ＋D ， ∴P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87. (3)记“射中环数不超过7环”为事件E ， 则事件E 的对立事件为A ＋B ＋C . ∵P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，∴P (E )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.71＝0.29.跟踪训练2 解 (1)P (x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝725.P (x ＝4，y ＝3)＝750.P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝710.当x ≥3时，有710×50＝35(人)，∴在x ≥3的基础上，y ＝3有8人． ∴在x ≥3的基础上P (y ＝3)＝835.(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3) ＝1－110－710＝15.又∵P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，∴a ＋b ＝3.例3 解 (1)甲校2名男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，2名女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．选出的2名教师性别相同的结果为(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25. 跟踪训练3 解 (1)将灯泡中2只正品记为a 1，a 2,1只次品记为b 1，则第一次取1只，放回后第二次取1只，基本事件为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，共9个．①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，共4个；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，共4个．(2)从中一次任取2只得到的基本事件总数是3，即a 1a 2，a 1b 1，a 2b 1,2只都是正品的基本事件数是1，所以其概率为P ＝13. 例4 解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P ′＝915＝35. 跟踪训练4 解 (1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝320＝0.15. 等级系数为5的恰有2件，所以c ＝220＝0.1. 从而a ＝0.35－b －c ＝0.1，所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}，即基本事件的总数为10.设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个．故所求的概率P (A )＝410＝0.4. 当堂训练1．A [依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.]2．B [由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为2266＝13.] 3．A [从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种，故所求概率为P ＝34.] 4．D [因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.] 5．C [摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是3，故所求事件的概率是P ＝36＝12.]。