第十六保角变换法求解定解问题-PPT精选文档

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保角变换法

R R i c ln 2 wm t 1 R 1 R
式中
1 wm w1 w2 ， c 2
平板叶栅的一般绕流
为绕一个翼型的环量。
2.3.P9
（五）平板叶栅一般流动中环量的确定
环量的确定依据是弧立翼型绕流中的库塔 —— 恰普雷金条件。而栅中翼型尾缘点 B 必然是后驻点，此外速度是一有限值。经换算得
a) b)
2.3.P6
其复势为
t W 2 i R 1 R i ie ln ie ln R 1 R
流动奇点强度为
q1 q2 t sin
1 2 t cos
（三）平板叶栅纯环量绕流 b) 图示，栅前后只有列线方向速度 w1、w2 。
可见 L L t b , ，具体数值见图示曲线。由上述已解得的平板叶栅流动，可以求解由任何翼型组成的等价平面直列叶栅流动。
平板叶栅环量修正曲线
三、平面环列叶栅流动的解法
2.3.P11
设图示环列叶栅由 n 个翼型组成，流动自中心向外。可见，只要确定一个扇形区域内的流动即可。
平板叶栅无环量平行绕流
2
2.3.P4
q t cos
t sin
Z 平面复势
W z zei
表示速度为 1 的均匀流复势。变换为平面为 R 处相应放置点源、点汇
q 和点涡的绕圆流动。
其复势
t W 2 i R i 1 R e ln e ln R 1 R
变换为平面绕单位圆流动，且有
R R i W ln 1 1 4 R R

保角变换法计算两共焦抛物板间等势线和电场线

方程较为烦琐，甚至无法解决；利用保角变换法能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题变得简单、直观，便于解决．例如文献Ｅｌｉ用抛物柱
坐标系通过解拉普拉斯方程得到电势分布函数，
ＷａｎｇＱｕａｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＮａｎｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｔｏｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ２２６００７）
ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｓｔａｔｉｃｅｌｅｃｔｒｉｃｆｉｅｌｄｂｅｔｗｅｅｎｔＷＯｃｈａｒｇｅｄｃｏｎｆｏｃａｌｐａｒａｂｏｌｉｃｃｏｎｄｕｃｔｏｒｐｌａｔｅｓｃａｎｂｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｂｙｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇ．Ｕｓｉｎｇｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｅｑｕｉｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｉｎｅａｎｄｅｌｅｃｔｒｉｃｆｉｅｌｄｌｉｎｅａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｂｌｅｓｃｏｐｅｏｆｔｈｅｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐ —
（１）
文献［２］利用解析函数的性质和柯西一黎曼条件，根据拉普拉斯方程直接推测得到等势线方程，从而导出两共焦抛物板间的电场分布．文献［３］指出

保角映射PPT课件

0
ad
bc
0
第34页/共58页
2.把上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射
(z) y
l
v i (w)
-1 O 1 x -1 O 1 u
边界Imz=0对边界|w|=1 上半平面Imz>0对单位圆内部边界|w|<1 上半平面总有一点z=a要映成单位圆周|w|=1的圆心w=0
第35页/共58页
关于实轴的对称点
并且这样的保角映射是唯一的。
f (z0 ) 0 , arg f (z0 ) 0 ,
定理 4(边界对应原理）设有两个单连通区域D和G的边界分别为简单闭曲线C 和。若能找到一个在D内解析、在C上连续的函数，它将一一对应地映射成，
G 且当原像点z和像点w在边界上绕行方向一致时,D和G在边界的同一侧，则w=f (z)
伸缩率为3，旋转角为。
第9页/共58页
9
例2 设w= f(z)=z2 +2z,试阐明在平面上哪一部分被放大了,哪一部分被压缩了。
解： w= f(z)= z2 +2z在全平面解析， f '(z)=2z+2。
f z 1 2z 2 1 z 1 1 被缩小；
2 同理，z 1 1 被放大。
第28页/共58页
28
复常数k1
复常数k2
若f zi
=
wi
i=1,2
,则
w-w1 w-w2
=k
z-z1 z-z2
(k-待定复常数)
进一步
,若f
z1
=0,f
z2
=,
则
w=k
z-z1 z-z2
.
29
第29页/共58页
射情况. 根据前面的讨论可知:

保角变换

例：指出下列各式，哪些是区域，哪些不是？那些是有界区域？
二、复变函数的连续
设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
存在，则称函数f(z)在z0点处连续，如果w=f(z)在区域B上各点都连续，则称在区域B上连续。
1.3 导数
三、导数的定义
设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
1.2 复变函数
三次函数
• 定义
w= z3
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 10 5 0 0 5 10 -10 -5
分析
= 3xy2 -iy3 u = x3 – 3xy2 , v = 3x2y - y3 3x • 性质
u + iv
(x+iy)3 = x3
+3i +3ix2y-
四、Cauchy-Riemann条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在区域B内的函数，如果f(z)在任一点z=x+iy可导，则一定有下式成立
∂u ∂v = , ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂y ∂x
称之为Cauchy-Riemann条件（方程）
可导的必设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点要条件 z=x+iy可导，那么有
一、基本概念
邻域：（1）邻域：以复数 z0 为圆心，以任意小的正实数 ε 为半径作一圆，则满足 | z − z0 |< ε 的所有点的集合称为 z 的 ε 邻域.
0
（2）去心邻域：以复数 z0 为圆心，以任意去心邻域：小的正实数 ε 为半径作一圆，则满足 0 < z − z < ε 的点的集合称为 z0 的一个去心 ε 邻域.

第四章课件保角变换8

发生了变化．
同理可以证明，亥姆霍兹方程
2 x2
2 y 2
k 2
0
经变换后仍然服从亥姆霍兹方程
2 2 u 2 v2
k2 f '(z) 2
0
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注意到方程要比原先复杂，且前的系数可能
不是常系数．
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
W f (z) u(x, y) jv(x, y) x x(u,v), y y(u,v)
y
Z平面
t平面
W f (z)
O
x O
定理1 如果将由 z x iy 到 w u iv
的保角变换看成为二元（实变）函数 (x, y) 的由 x, y
u,v z w 到
的变量代换，则平面上的边界变成了
0
化简后得到
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2 x2
2 y 2
[(u )2 x
(
v x
)
2
](
2 u 2
+
2 v 2
)
|
f
( z) |2
2 2 ( u2 + v 2 )
注意到上式已经使用了：
w
f
(z)
u x
i
v x
对于保角变换 w f (z) 0, 因而只要
平面上的边界．我们能证明，如果 (x, y) 满足拉普拉斯方程，则经过保角变换后得到的 (u,v ) 也满足拉普拉斯方程．
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第十六保角变换法求解定解问题共37页文档

w f (z)，可以将它转化为wuiv平面上
(u ,v)的拉普拉斯方程边值问题．
w = 同理可以证明，在单叶解析函数 f (z)
变换下，泊松方程
22(x,y)
x2 y2
(16.1.7a)
仍然变为泊松方程
2 u 2+ 2 v 2 |f(z)|2(x,y) （16.1.7b）
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度
发生了变化．
同理可以证明，亥姆霍兹方程
2x2 2y2 k20 (16.1.8a)
经变换后仍然变为亥姆霍兹方程
22k2|f(z)|20 (16.1.8b) u2 v2
容易注意到方程要比原先复杂，且
能不是常系数．
前的系数可
下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程．
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
（16.2.1）
作如下的保角变换．
（1）作分式线性变换
1
1
i1
za za
(16.2.2)
y
z 平面
1
1 平面
平面
πi
a
0
1
x
图图181.16.1
可以验证，考虑实轴 zx,(y0)的对应关系：
| (i)若 x | a ，则 axa，故
1
x x
a a
0 ，即有
1
0
(ii)若 | x | a 则 xa 或 xa
问题中的解析法――保角变换法，它是解决这类复杂边界的最有效方法．它特别适合于分析平面场的问题，
例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内容进行介绍．复变函数论中已经系统介绍了保角变换

第二章定解问题

（k为热导率，与介质材料有关）
（3）热源强度（单位时间内单位体积源放出的热量）
F Q tV
3、建立方程：（1）在t时间内引起小段x的温度升高时，所需热量为
Q c( Ax)[u(x,t t) u(x,t)]
取 t 0
Q c Autxt
（2）在t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为
Q1(x) kux (x,t) At
l2
x
l
ut (x, t) t0 0
（2）如果泛定方程是关于时间变量 t 的 n 阶(n=1,2…) 方程，就必须给出 n 个初始条件，只有这样才可能给出具体问题的定解。
例长为 l 的细杆导热问题，设其初始温度均匀，记为u0 ，试写出该过程的初始条件。解：由题意，得
u(x,t) |t0 u0 , (0 x l)
1在?t时间内引起小段?x的温度升高时所需热量为qcaxuxttuxt??????取0t??tqcauxt????tq?2在?t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为1xqxkuxtat???3在?t时间内沿x轴由x?x处正向流出截面的热量为2xqxxkuxxtat???????4在?t内杆内热源在?x段产生的热量为qftaat??3qfxtaxat???根据能量守恒定律123qqqq???txxcauxtkuxtatkuxxtatfaxt?????????????xxtkuxxxuxtcufx???????令0x??取极限kf令0x??取极限txxuucc????txxudufxt??一维的热传导方程类似可得三维扩散热传导方程
所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst)定律（通过界面d 流出的扩散物质为-Du d )和能量守恒定律导出扩散方程：
ut Du F, 其中D为扩散系数。

《流体力学》课件 3.9 保角变换

d w dW d d z d d z
在无穷远处，有：
d w d z
dW d
d dz
考虑到
dW d
kV
，
d dz
1 k
，有：
dw dz
V
三、环量的确定
1. 补充条件
dw 有限的常数
dz zB 2. 环量的确定
dz
d
E
0
dw 有限常数
dz zB
dw
d
E
w1 z
Q
2
lnz
i
h
Q
2
lnz
i
h
Q ln z2 h2 2
wz
w1 z
w1
a2 z
wz
Q
2
ln z2
a4 z2
h2
a4 h2
dz
d
k
；（其中：
k
是正的实数）
（根据黎曼定理这样的函数存在且是唯一的）
W
kV
w
z
kV R
kV
2
2 i
F z
ln
kV
F z
R
2
F z
ln
2 i
F
z
证明：1. 因W 是在 K D 上连续且在 D 内解析的函数， Fz是在 C D 上连续且在 D 内解析的函数。于是，根据复合函数的性质 wz W F z
一、保角变换的概念
w f z
V f lin w f ei Δz0 z
w wei f eiz f z ei
12
1 2
2 1` 2 1`
黎曼定理：
任何一个单连通区域必可通过某个保角变换变为另一个任意给定的单连通区域。

保角变换

1 应用原理及特点在矿场水力压裂中，如何针对有效渗透率和厚度不等的特定储层，设计出缝长和导流能力的优化方案，是应考虑的首要问题之一。

另外需要一种计算裂缝井产能的简易方法。

应用保角变换方法研究压裂井产能，其原理及特点是：①能将 z 平面上特别复杂的渗流问题转化为平面上一相对简单和易于求解的渗流问题；② 可准确地描述井筒附近较为复杂的流动型态( 裂缝内流动和非裂缝区域拟径向流动) 对压裂后产能的贡献，而且能对不同导流能力造成的复杂流线型态统一转化，因而具有广泛的适应性；③经过保角变换后假设的缝端封闭边界条件更符合实际，因保角变换后，裂缝端部位于主流线上。

以此为基础，应用质量守衡定律和达西运动方程，推导出了裂缝内原油流动所满足的压力二阶微分方程，并进行了产量的求解，与现有的典型曲线对比，一致性程度较好。

2 数学模型2、1模拟的假设条件模拟的假设条件是： ①垂直裂缝，且对称分布于油井的两边； ②假设裂缝剖面为矩形，高度恒定，并等于油层厚度； ③裂缝宽度相对油藏的供给半径来说非常小，即在进行保角变换时可忽略不记； ④裂缝内导流能力可以是有限导流，也可以是无限导流； ⑤油藏及裂缝内为单相流动，且符合达西线性定律； ⑥稳态渗流，且不考虑地层的垂向流动； ⑦不考虑地层和裂缝内的污染。

2、2模型的建立在 z 平面上建立一 Y 坐标系，保角变换转化为平面 r — s 坐标系( 图1 )图一保角变换示意图取保角变换为：chw L z f =2ww e e chw -+=式中：z 为Z 平面上的复变函数，i y x z +=，f L 为裂缝半长，m;w 为变换后的W 平面，''i y x w +=。

裂缝井的渗流问题从而演变为带状地层向中心线A 的单向渗流问题。

由于对称性，只研究平面中图示阴影部分的单向渗流问题。

其中'O 为''B A 的中点，即2''π=A O 。

数理方法-第一讲-定解问题

1.初始条件
定义：初始条件是物理过程初始状况的数学表达式。
初始条件的个数：关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确定一个特解。波动方程1-1式中需给出两个初始条件：
热传导(或扩散)方程1-2式需给出一个初始条件，即：
泊松方程1-3式无需给出任何初始条件，其
中
和
为已知函数。
2. 边界条件
数理方法-第一讲-定解问题.ppt
教学主要内容
第一部分定解问题学习物理方程、初始条件和边界条件的导出：以一维波动方程为例，掌握如何利用物理规律导出物理方程，并根据具体情况设定初始条件和边界条件，介绍偏微分方程的初步解法，并推广到三维情况。
第二部分分离变量法学习用分离变量法解偏微分方程。包括齐次与非齐次方程的解法以及在直角坐标系、柱坐标系和球坐标中的分离变量法。
要想将一个具体的物理过程完整的翻译成数学语言，必
须要写出它的定解问题即：
泛定方程数理方程
定解问题
初始条件
定解条件边界条件
衔接条件
泛定方程即数理方程本身。泛定方程只能反映和描绘同
一类现象的共同规律。对于一个具体的物理问题的具体
特殊的一面，还必须通过定解条件来反映，而欲正确的
写出定解条件，必须注意以下几个方面的问题：
[解] 泛定方程：
初始条件：
例4 杆的纵向振动当两端（x = 0，x= l）受沿外法线纵向外力 f（t）作用时：
相对伸长：
根据胡克定律：边界条件：
当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时：边界条件：例5 细杆的导热问题当一端（x= l）有热量流q（t）沿端点外法线方向流出时：
积分
解方程组

定解问题讲解

Mathematical Methods for Physics第二篇数学物理方程Mathematical Equations for Physics要想探索自然界的奥秘就得解微分方程。

－牛顿中心：将物理问题翻译成数学语言目的:1、如何用数理方程研究物理问题2、如何导出方程3、能正确写出定解问题§ 6.1 引言Introduction第六章定解问题Mathematical Problem1、数学物理方程概念：数学物理方程是指从物理、工程问题中，导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。

数学物理方程 ♣ 线性方程♦♥ 非线性方程一、数理方程简介：§ 6.1 引言一、数理方程简介§ 6.1 引言ttu =a2⊗u +fut=D⊗u +f2、数理方程的产生和发展：(1)十八世纪初期(2)十九世纪中期三类数学物理方程：波动方程u -波动，a-波速，f-与源有关的函数输运方程u －浓度，D-系数，f -与源有关的已知量泊松方程h-与源有关的已知量，u-表示稳定物理量+fxx2Taylor ：utt=a u⊗u =-h一、数理方程简介：§ 6.1 引言a u2、数理方程的产生和发展：(3)十九世纪末到二十世纪初高阶方程（梁的横振动）：utt= 2xxxxf ( x, t )非线性方程KdV：ut+σuux+uxxx= 0∂ψh2schro&-dinger：i h∂t=-Δψ2μ+U(r)ψ+1、写出定解问题♣ 泛定方程：数理方程(一般规律)♦♥ 定解条件：初始、边界、衔接条件（个性)如：y '(t) - 4 y = 0♣y ' -4y = 0 －泛定方程♠y(0) = 0 ↔ y = C e 2t+ C e -2t♦ ← －定解条件 12－通解♠♥y '( 0) = 4↑♦1、写出定解问题2、求解：求解方法: 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法 ♣ 物理意义3、分析解答：♠♠ ♣存在 ♠♥ 适定性 ♦唯一♠♥稳定数学物理方法物理（内容）桥梁数学（成果）、数理方法的特点三 § 6.1 引言。

4.6 保角变换解法

1
()
1
() ()
1
()
1
2πi
−
+ 2πi
− ( ) + 2πi
−
= 2πi
−
l ( )=∑
在圆外域是解析的
l 位于圆内域
l ( )在圆内域是解析的 l 位于圆内域
1()2πi−源自= (∞) = +
∞ =0
1
()
2πi
−
= ()
(
)
=
−
1 2πi
() ()
1
− ( ) + 2πi
−
上表中的 ( )和 ( )的表达式的右端第一项与变换函数 ( )（即孔的形状）有关，称几何项。第二项与孔边和远方的外力有关，称为载荷项。
B. 复杂情况求数值解方法 1
→ →
(如：上面 4 种级数形式的映射关系就没办法逆映射)：
(1) 先把应力组合转到像空间，
⎧ + = 2 ( ) + ( ) = 4Re[ ( )]
⎪ − +2
= ( ) 2[ ̅ ( ) + ( )]
(5)
⎨
⎪ ⎩
2
[
+
]＝
( )−
() ()
( )− ( )
并利用像平面中解得的 ( ), ( )求解应力和位移分量，即分别得到了 (ξ, η)~
接下来就可以利用 4.5 节介绍的复数级数方法，来求解单位圆域的 ( )和 ( )。我们只需要用将平面 K-M 函数的级数代入(2)式左边，并把右边已知外力也在平面展开成 F 级数，比较左右两边的系数就可求解。
2/5
Email:onexf@

保角变换法求解定解问题

2 u2
2 v 2
k2
|
f
( z )
|2
0
14.2 保角变换法求解定解问题
例14.2.1 设有半无限平板y>0，在边界y=0上，
|x|<a (a>0)范围内保持温度u=u0， |x|>a范围内保持温度u=0。求平板上的稳定温度分布。
解：根据题意可得描述上述问题的定解问题
2u
x
2
2u y 2
0
ln1 ln | 1 | i arg1
ln z a za
把ζ1平面的上半平面变成ζ平面上平行于实轴，宽为π的一个带型区域， ζ1平面的正实轴变换为ζ平面的实轴(正实轴辐角为0，故对应于η=0，温度 u|y=0=0)， ζ1平面的负实轴变换为ζ平面的平行于实轴的直线(负实轴辐角为π，故对应于η=π，温度 u|y=0=u0)。
y u2 x
y v 2
+( 2u 2u ) ( 2v 2v ) x2 y2 u x2 y2 v
+2( u v + u v ) 2 x x y y uv
解析函数ω=f(z)=u+iv的C—R条件：
u v , v u x y x y
u v v u 0 x x y y
解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程：
1
x x
a a
0
② 对于x>a (a>0)，则x+a>2a>0、 x-a>0，因此
1
x x
a a
0
如图所示，原定解问题中的边界条件中对应
于|x|<a范围温度为u0，变换后对应到ζ1平面的负实轴(ξ1<0)温度为u0；而|x|>a温度为0则对应于变换后的ζ1平面的正实轴温度保持为0。

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w= f (z)
(16.1.7a)
仍然变为泊松方程
2 + 2 | f() z| (, x y ) 2 u v
2 2
（16.1.7b）
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度发生了变化．同理可以证明，亥姆霍兹方程
2 2 k 0 2 x y
y ) 的变换由 x , y
的保角变换看成为二元（实变）函数 ( x , 了
w
平面上的边界．我们能证明，如果程，则经过保角变换后得到的
( x, y )
满足拉普拉斯方
也满足拉普拉斯方程． (u , v )
【证明】利用复合函数求导法则有
u v x u x v x 2 2 2 2 u u 2 v 2 ( ) 2 2 2 x u x u x v x 2 v 2 2 u v 2 ( ) 2 v x uv x x
注意到上式已经使用了：
u v f(z w ) i x x
对于保角变换
f w ( z ) 0 ,
因而只要）也满足拉
( x, y )
满足拉普拉斯方程，则 ( u , v
普拉斯方程，即为
2 2 2 2 2 0 ( 2+ 2) 0 （16.1.6） 2 x y u v
同理
(16.1.1)
2 2u 2 u 2 2v 2( ) 2 2 y u y u y v y2 2 v 2 2 u v 2 ( ) 2 v y uv y y
两式相加得到
(16.1.2)
2 2 u 2 u 2 2 v 2 v 2 2 2 [( ) ( ) ] 2 + [( ) ( ) ] 2 2 x y x y u x y v 2u 2u 2v 2v +( 2 2 ) ( 2 2 ) x y u x y v u v u v 2 + 2( + ) x x y y uv
w f (z)
的点具有保
w
平面的变换在
f (z) 0
角性质，因此这种变换称为保角变换．下面我们主要讨论一一
对应的保角变换，即假定
w f (z)和它的反函数都是单值
函数；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一叶．
定律16.1.1
如果将由
z x iy 到 w u i v
法求解．
保角变换法解定解问题的基本思想是：通过解析
函数的变换（或映射，这部分知识在复变函数论中已经学习过）将
z
平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为
w
平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换就求得了原始定解问题的解．
这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解问题中的解析法――保角变换法，它是解决这类复杂边
2 2
(16.1.8a)
经变换后仍然变为亥姆霍兹方程
2 2 k | f () z | 0 (16.1.8b) 2 2 u v
2 2
容易注意到方程要比原先复杂，且能不是常系数．

前的系数可
下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程．
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程
第十六章保角变换法求解定解问题
在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学等）经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题．尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解决．对于复杂的边界形状，拉普拉斯方程定解问题常采用保角变换
这样我们就有结论：如果在
z x iy 平面上给定了
( x, y )
的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换
w f (z)，可以将它转化为 w u i v平面上
(u , v)的拉普拉斯方程边值问题．
同理可以证明，在单叶解析函数
变换下，泊松方程
2 2 2 (x ,y ) 2 x y
将式（16.1.4）和式（16.1.5）代入到式（16.1.3）化简后得到
2 2 2 2 2 2 u v 2 2 2 [ () () ] (2 + ) | fz ( ) |( 2 + ) 2 2 2 2 x y x x u v u v
（16.1.3）
利用解析函数
w f() z u i v 的C-R条件
(16.1.4)
u v v u , x y x y
以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质
2 2 u u 2 0 , 2 x y 2 2 v v 2 0(16.1.5) 2 x y
界的最有效方法．它特别适合于分析平面场的问题，
例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内容进行介绍．复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问
题。
16.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系
在复变函数论中我们已经知道，由解析函数实现的从z平面到
等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
16.2保角变换法求解定解问题典型实例例16.2.1
设有半无限平板
y 0
，在边界
y=0上，
x a (a0 ) 处保持温度 uu 0, x a
处保持温度
u= 0．求平板上的稳定温度分布．

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