第四章 积分变换法 ppt课件 (2)

经济应用：在经济学领域，分部积分 法可以用于求解各种经济问题，例如 在宏观经济学、微观经济学等领域， 可以用于求解各种经济问题。
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高等数学课件4-3分部积分法
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 分部积分法的基本 概念
03 分部积分法的计算 步骤
04 分部积分法的应用 实例
05 分部积分法的注意 事项
06 分部积分法的扩展 知识
添加章节标题
分部积分法的基本概念
分部积分法的定义
分部积分法是一种用于求解不定积分的方法
积分顺序：先对u 积分，再对v积分
积分结果：u和v 的乘积减去v的积 分
分部积分法的应用范围
求解一阶微 分方程
求解二阶微 分方程
求解高阶微 分方程
求解常微分 方程
求解偏微分 方程
求解积分方 程
分部积分法的计算步骤
确定被积函数和积分变量
分部积分法的基本思想：将复杂函数分解为简单函数 确定被积函数：选择合适的函数进行分解 确定积分变量：选择合适的变量进行积分 计算步骤：按照分部积分法的公式进行计算 注意事项：选择合适的函数和变量，避免出现错误
不当
注意积分公式 的使用，避免 公式使用错误
注意积分结果 的验证，避免 积分结果错误
注意积分上下限的取值
积分上下限的取值范围要合理，不 能超出函数的定义域
积分上下限的取值要保证积分结果 的正确性，不能出现错误
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积分上下限的取值要满足积分条件， 不能出现无穷大或无穷小
积分上下限的取值要符合实际问题， 不能脱离实际背景

f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。

x2
2x ( y 1)2
0
于是有 2x 0

x2 y2 1 0
x 2 y 2 1 2x
x0

x2 y2 1
(x 1)2 y 2 2
它表示在圆 (x 1)2 y 2 2 外且属于左半平面的所有点的集合
定理一
lim f (z) A a ib
zz0
lim u(x, y) a
x x0 y y0
lim v(x, y) b
x x0 y y0
定理二 lim [ f (z) g(z)] lim f (z) lim g(z)
zz0
zz0
zz0
lim [ f (z)g(z)] lim f (z) lim g(z)
例： 指出不等式
0 arg z i
zi 4
中点z的轨迹所在范围。
解： z i x2 y2 1 i 2x z i x2 ( y 1)2 x2 ( y 1)2
因为 0 arg z i , 所以
zi 4
x2 y2 1 x2 ( y 1)2
i
复变函数
设 D 是复平面内的一个集合，对于 D 中的每一个z，按 照一定的规律，在另一个复平面有一个或多个复数w的值 与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数，记做
w f (z) (z D)
注：定义集合D所在的复平面称作z平面，函数值集合f D所在的复平面称作w平 面
单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。
4
arg(z i) 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角
的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴

办法：
取 f x 上的一段 l x l 为 g x ，将g x 延拓
为以 2 l 为周期的函数后进行付里叶级数展开，然后
取 l ，即得 f x 的付里叶级数展开式
8
结果：
ω为参量
fxA cosxdBsinxd
0
0
非周期函数 f x 实数形式的付里叶积分
A1 fcosd ,B1 fsind
25
函数 f t ，当 t 0 时 f (t) 0
f(p)L [f(t)]f(t)eptdt 0
称为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为
像函数
f(t) L 1 f(p ) 2 1 π i ii f(p )ep td p , (t 0 )
f t 称为原函数
② 导数 FfxiF,F fx i2F
③ 积分 Fxx0 fdi 1F
④ 相似 Ff ax1aFa
13
⑤ 延迟 F fxx0 e ix0F
⑥ 位移 F eix 0fx F 0
⑦ 卷积 F f 1 x F 1 ,F f2 x F 2
定义卷积 f1xf2xf1f2xd F f1 x f2 x 2F 1 F 2
3
特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来 求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题 也可以用行波法求解）
用积分变换求解定解问题的步骤为：
第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换；
对于自变量在 (, ) 内变化的定解问题
（如无界域的坐标变量） 常采用傅氏变换，而自变量在
L utt= pL ut-u tx,0ppLuux,0 p 2 u
u xx
p2 a2
u

实例三：求解二重积分
总结词
通过分部积分法求解二重积分
详细描述
二重积分是多元函数积分的常见形式 之一。在实例中，我们将展示如何使 用分部积分法求解一些常见的二重积 分问题，并给出相应的计算过程和结 果。
04
分部积分法的注意事项
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
正确选择u和v函数
总结词
在应用分部积分法时，选择合适的u和v 函数是至关重要的，因为它们将直接影 响积分的计算结果。
VS
详细描述
选择u和v函数时，应确保它们在积分区 间内具有明确的表达式，并且易于计算。 此外，u和v函数的选择应与被积函数的 原函数有关，以便简化计算过程。
注意积分的上下限
总结词
在应用分部积分法时，上下限的确定也是关 键的一步。
v函数
选择一个与u函数相乘后能够简化积分 的函数作为v函数。
计算积分
计算v函数的定积分。 利用分部积分公式计算u和v函数的乘积的积分，得到结果。
验证结果
• 将计算结果与原函数进行比较，验证结果的正确 性。
03
分部积分法的实例解析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
分部积分法的应用场景
总结词
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，特别是当u(x)和v(x)都是多项式 、三角函数、指数函数等基本初等函数时。

详细描述
分部积分法适用于求解形如∫u(x)v'(x)dx的 积分问题，其中u(x)和v(x)都是可微的函数 。在具体应用中，我们通常选择u(x)和v(x) 为易于计算导数和积分的函数，如多项式、 三角函数、指数函数等基本初等函数。通过 合理选择u(x)和v(x)，我们可以将复杂积分 问题转化为多个简单积分问题的和或差，从

5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2

n
3
§4.1 复数项级数 第 一、收敛序列 四 章 2. 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 zn xn i yn , a i , 则 lim z n a 的充要条件是 解 n P76 析 定理 lim x , lim y . n n n 函 4.1 n 数 zn 证明 必要性 “ ” 的 | zn - a | | yn - | 级 若 lim z n a , 则 e 0 , N , n 数 a | xn - | 表 当 n N 时，| zn - a | e , 示
即得级数 z n 收敛的充要条件是 x n 和 yn 都收敛。
9
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 3. 复数项级数收敛的必要条件 定理 设 zn xn i yn , 则 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 . n 解 析 P79 函 证明 由于级数 z 收敛的充要条件是 x 和 y 都收敛， n n n 数 的 而实数项级数 x n 和 yn 收敛的必要条件是： 级 数 lim xn 0 , lim yn 0 等价于 lim zn 0 , 表 n n n 示 因此 z n 收敛的必要条件是 lim zn 0 .
1 n 1 zn 2 i 2 e n n
i
π n 2
§4.1 复数项级数 第 二、复数项级数 四 章 4. 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 定义 (1) 若 | z n | 收敛，则称 z n 绝对收敛。 解 析 P79 (2) 若 | z n | 发散， z n 收敛，则称 z n 条件收敛。 函 数 的 定理 若 | z n | 收敛，则 z n 必收敛。 P80 定理4.4 级 2 2 | z | x y 证明 由 收敛， n n 收敛， n 数 表 2 2 2 2 | x | x y , | y | x y 又 示 n n n n n n,

第12章
积分变换法
——求解偏微分方程的另一种方法 1. 积分变换 通过积分运算，把一个函数f(x)变换为另一个函数
F (α )，即
F (α ) = ∫ f ( x) K (α , x)dx
K (α , x)：积分变换的核，决定了变换的具体形式
f(x)：原函数， F (α ) ：像函数
几种积分变换： 傅里叶变换
1 f (k ) = (2π )1/ 2
∞
+∞
∞
∫
f ( x)e ikx dx
拉普拉斯变换
f ( p ) = ∫ f (t )e pt dt
0
梅林变换
F (α ) = ∫ f ( x ) xα 1dx
0
∞
2. 为什么进行积分变换? (1) 经过变换后，函数关系变得简单。 如：常微分方程 代数方程；
x = ∑ xi ei
i =1
3
ξ = ∑ ξ i ei
i =1
3
k = ∑ ki ei
i =1
3
d 3ξ = dξ1dξ 2 dξ 3
d k = dk1dk2 dk3
3
→ →
k ξ = k1ξ1 + k 2ξ 2 + k 3ξ 3
∞
f (x) =
1 (2π ) 3
∫
∞
∞
[∫
∞
f (ξ ) e i k ξ d 3ξ ] ei k x d 3k
∫
∞ ∞
e ikx 'eikx dk
利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得
∞ 1 ∞ δ ( x x ') = cos k ( x x ')dk + i ∫ sin k ( x x ')dk ∞ 2π ∫ ∞ 1 ∞ = ∫ ∞ cos k ( x x ')dk 2π

L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)


1 t
L
1
1[

s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt

F (s)ds
t
0t
s
26

或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例 求 f (t ) sht et et 的拉氏变换

第四章 解析函数的级数表示
e 例3：求函数 ： 在z=0处的泰勒展开式 处的泰勒展开式 1− z
z2 zn ez = 1+ z + + K + + K n! 2!
z
解： 函数有一个奇点z=1， 收敛半径R=1，在|z|<1内解析 内解析. 函数有一个奇点 ， 收敛半径 ， 内解析
1 2 n = 1+ z + z + K +ζ ) 1 dζ = 2π i ζ −z
n
∫ ∑
Γρ n= 0
∞
f (ζ )( z − z0 )n dζ n +1 (ζ − z0 )
f (ζ )( z − z0 ) M z − z0 ≤ , M = max f (ζ ) n +1 Γρ (ζ − z0 ) ρ ρ n ∞ z − z0 M z − z0 ∑ ρ ρ 收敛 ， Q ρ < 1 n= 0 n ∞ f (ζ )( z − z0 ) ζ 关于 在Γ ρ上一致收敛 ⇒∑ n+1 (ζ − z0 ) n= 0
第四章解析函数的级数表示资料仅供参考lnzkiz总结一些初等函数的泰勒展式第四章解析函数的级数表示资料仅供参考定理柯西积分公式如果fz在区域d内处处解析c为d内的任何一条正向简单闭曲线z为c内的任一点定理设级数的各项在曲线c上连续并且在c上一致收敛于sz则沿c可以逐项积分
第四章 解析函数的级数表示
§4.3 泰勒级数
第四章 解析函数的级数表示
解析函数展开为Taylor级数的方法 2. 解析函数展开为 级数的方法
1 (n) , , ) 直接法:直接计算系数: n 直接法:直接计算系数: c = f (z0) (n=012,L n ! e z 在z = 0处的Ta lor展式。 Taylor展式。 lor展式 例1 ：求

（2）第二次数学危机 前面说过牛顿在确定 x3的导数时，前面部 分假设 0 是非零的，而在论证的后一部分， 又被取为零，偷换假设的错误是明显的。1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析 学家，或致一个不信正教数学家的进言》，矛 头指向微积分的基础——无穷小的问题，提 出了所谓“贝克莱悖论”。
中国古藉《易．系辞》中说： 「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」 这些都是匹配计数法的反映。
（２）整数 正整数，零与负整数构成整数系。
•零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。 •中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹， 虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。 •印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ） 字，其原意也是「空」或「空白」。
2、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等 数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学 与代数学。几何学是研究空间形式的学科， 而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为 限，它主要包含： • 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几 何部分内容已放到中学。 • 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。 • 高等代数：研究方程式的求根问题。 • 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为 微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与 偏微分方程。 • 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行 推理。等等
分数的使用导源于除法运算的需要。 除法运算可看作求解方程px=q（p≠0 ），如果p， q是整数，则所给方程未必有整数解。 为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有 理数系。
（４）无理数
（５）实数

（3）求拉式逆变换
F (s)
2s 3 s2 9
练习
（1）求傅式变换
f
(t)
sin t
t
0
t
其他
解 F f (t) f (t)e jtdt F()
sin te jtdt
2i sin t sintdt
0
2sin 2 1 i
练习
（2）求傅式变换 f (t) e jw0t u(t)
例1 解定解问题
u a 2 2u ,
t
x 2
u(x,0) (x),
x ,t 0 x
解：利用傅立 叶变换的性质
dU (,t) a 2 2U (,t), t 0
dt
U (,0) 1,
U (,t) Cea22t
C 1
U (,t) ea22t
1
e e x2 2 2
0
L f1(t) f2(t) L f1(t) L f2(t)
L 1 F1(s) F2 (s) f1(t) f2 (t)
常见结果
L
ekt
s
1
k
L cos
kt
s2
s
k2
L
sin
kt
s2
k
k2
L 1 1
s
练习
（1）求傅式变换
f
(t)
sin t
t
0
t
其他
（2）求傅式变换 f (t) e jw0t u(t)
2 2
2
u
2
1
x2
e e 4 2t
a2 2t
2a t
u(x,t)
1
x2
e 4 2t

,
(a 0)
(2)求解关于y( x)的积分方程
y(u)
1
( x u)2 a2 du x2 b2 ( x , b a 0)
解:(1)
2a w2 a2
1 a jw
1 a jw
已知，F [u(t )ea t ] 1 a jw
由相似性质（相似系数取为 1）， F [u(t )ea t ] 1 a jw
由对称性质，
F
x2
1
a2
1 2a
F
x
2a 2 a
2
1 2
2a
ea w
a
ea w
同样，
F
x2
1
b2
b
eb w
故，
Y (w) ea w eb w Y (w) a e(ba) w
a
b
b
求Fourier逆，得
y( x) a F 1[e(ba) w ] a b - a F 1[ e(ba) w ]
L
r1
r2
er2 t
r2
r1
E
(er1 t er2 t )
L(r1 r2 )
若 r1 r2 ,
则 r1 r2
r
R 2L
i(t)
E L
Res
(s
est r
)2
,r
E L
d ds
(est )
Et ert
Et
R t
e 2L
L
L
2、求解卷积型方程的积分变换法
x
(1) f ( x) 0 b( x ) f ( )d g( x),
写成卷积形式为：
(0 x )
f (x) b(x)* f (x) g(x), (0 x )

S \ {N }
P
2
z平面
z
浙江大学
从几何上可以看出： Z平面上每个以原点为圆心 的圆周对应于球面上的某一个纬 圈，这个圆周以外的点则对应于 相应纬圈以北的点，而且若点z 的模越大，球面上相应的点则越 靠近北极N。 N
由此我们引进一个理想“点” 与北极N对应。称之为无穷远 点 扩充复平面 ＝ 复平面＋
1 n
w0 r (cos
1 n


wn 1 r (cos
2(n 1)
n
i sin
2(n 1)
n
)
浙江大学
例： 3
8
8 2 3 (cos i sin )
3
8 2(cos
2k
3
i sin
2k
3
)
k 0,1,2


z , z ,
, , 0,
约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外 等也没有意义。
浙江大学
复平面点集与区域
（1）邻域 （2）去心邻域
B( z 0 , r ) {z C : z z 0 r} B( z 0 , r ) \ {z 0 } {z C : 0 z z 0 r}
z i 因为 0 arg , 所以 zi 4 x2 y2 1 2x 2 0 2 2 2 x ( y 1) x ( y 1)
于是有
2 x y2 1 0 x 2 y 2 1 2 x
2x 0
x0 x2 y2 1 ( x 1) 2 y 2 2
i (1 2 n )