常微分方程练习题

常微分方程练习题§1 一阶常微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）)(22y y y x y '+='-；（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；（4）xy x y y x tan =-'； （5）2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='y x y y ； （6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；（10）22x xe xy y -=+'；（11）x x e x y y x 122-=-'；（12）02)6(2=+'-y y x y ；（13）xy y y y y -+='ln 2； （14）0)(24=-+dy x y xydx ；（15）x y x x y y =-+'1412； （16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；（18）21222sin 22sin 1x e y x y y x ++='+； （19）02)1(322=+'-xy y y x ；（20）y y x y x ++='22)(。

2．求下列微分方程的特解：（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；（2）x y x y y tan +='，61π==x y ； （3）022=---'x y y y x ，11==x y ；（4）0)()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ； （5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。

常微分方程 练习题二一、填空题1．方程y y xy ln d d =所有常数解是（ y=1 ）． 2．方程y x x y cos cos d d +=满足解的存在惟一性定理条件的区域是（ 全平面 ）．3．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（ n ）维线性空间．4．方组0y y ''+=的基本解组是（ y 1=cos x, y 2=sin x ）．5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上（ 恒等于零 ）． 6．方程d cos d x y y xe x+=的任一解的最大存在区间必定是 (,)-∞+∞ ． 7．方程sin cos dy x y dx =⋅满足解的存在惟一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．8．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．9．方程2sin dy x y dx=的所有常数解是 ,0,1,2,y k k π==±± ． 10．方程20y y y '''++=的基本解组是 y=ex - y=xe x - ．一、 单项选择题 1．方程t t x x xcos 2=++ 的任一解的最大存在区间都是（ B ）． （A ）),0(∞+ （B ）),(∞+-∞ （C ）)0,(-∞ （D ）)2,1(2. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ A ）条件．（A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分3．方程2d d y xy =过点)1,3(-的解的存在区间是（ C ）． （A ）),0(∞+ （B ）)3,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）),2[∞+4．方程03=+x x的任一非零解在),,(x x t 空间中（ A ）． （A ）不能与t 轴相交 （B ）可以与t 轴相交（C ）可以与t 轴横解相交 （D ）可以与t 轴相切5．用待定系数法求方程x y y sin 2=+''的非齐次特解1y 时，应将特解1y 设为（ D ）．（A ）x A y sin 1= （B ）x B x A y cos sin 1+=（C ）x B y cos 1= （D ）)cos sin (1x B x A x y +=6．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的( B )条件．（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分7． 方程0x x +=的任一非零解在tox 平面上（ A ）与t 轴横截相交．（A ）可以 （B ）不可以 （C ）只能在0t =处可以 （D ）只能在2t π=处可以8. 方程1y '=（ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ） 无9．方程y '=(0,0)解sin y x =，这个解的存在区间是（ C ）．（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)-∞ （C ）[,]22ππ-（D ）(,)-∞+∞ 10．线性齐次微分方程组的解组12(),(),,()n Y x Y x Y x 在区间I 上线性相关的（ B ）条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式()0W x =．（A ）充分 （B ）充分必要 （C ）充分非必要 （D ）必要三、简答题1. 用分离变量法求解方程()()dy f x y dxϕ=的步骤和原理是什么？ 化成积分方程求解且二者等价1. 该方程在全平面上满足解的存在唯一及延展定理条件,因此该方程任一解可以延展到平面的无穷远处，为什么该方程的所有解不能都在(,)-∞+∞上存在,这与解的延展定理矛盾吗?为什么？不矛盾，因为平面的无穷远有任意的方向。

常微分方程练习题常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学中一门重要的分支，研究的是未知函数的导数与自变量之间的关系。

在物理、经济学、生物学等领域中，常微分方程广泛应用于描述系统的动态行为。

本文将为您提供一些常微分方程的练习题，帮助您加深对常微分方程的理解。

练习一：一阶常微分方程1. 求解初值问题：dy/dx = x^2 - y^2, y(0) = 1。

解：观察到方程右侧与左侧的差异较大，我们可以尝试寻找一个特殊的函数，使得方程变得简单。

假设y = x + u(x)，则dy/dx = 1 + u'，代入原方程得到：1 + u' = x^2 - (x + u)^2u' = x^2 - x^2 - 2ux - u^2 - 1u' = -2ux - u^2 - 1这是一个关于u和x的常微分方程。

我们可以尝试通过求解这个方程来得到y的解。

2. 求解初值问题：dy/dx = (x^2 - 1)/(y + 1), y(0) = 0。

解：将方程进行变形，得到(y+1)dy = (x^2 - 1)dx，两边同时积分：∫(y+1)dy = ∫(x^2 - 1)dx1/2(y^2 + 2y) = 1/3(x^3 - x) + C其中C为常数。

代入初值条件y(0) = 0，解得C = 0，进一步化简得到：y^2 + 2y = 2/3(x^3 - x)这就是给定初值问题的解。

练习二：二阶常微分方程1. 求解方程：y'' + 2y' + y = e^(-x)，已知初值条件y(0) = 1，y'(0) = 0。

解：我们可以使用特征方程法求解这个二阶常微分方程。

首先求解齐次方程：r^2 + 2r + 1 = 0解齐次方程得到r = -1，因此齐次方程的通解为y_h = C1e^(-x) +C2xe^(-x)。

接下来求非齐次方程的一个特解。

常微分方程练习题习题一一、单项选择题.1.微分方程yy32coyy5的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某y22C.某dyyd某0D.某dyyd某0 2某某4.用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y 某(a某b某c)e5．Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题1．方程y某tany的所有常数解是.某2某某22某某2某某2某某3某2C满足的一阶方程是.2．函数y523．设y1某e某e2某,y2某e某e 某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.d某某dt5．系统的零解的是稳定的.dyydt三、求下列一阶微分方程的通解.dyy4某2y210d某某dyyy2(co某in某)2.d某1.3.(某2y)d某某dy0.四、求下列高阶方程的通解.1.yy1co某2.试用观察法求方程(1ln某)y11y2y0的通解．某某某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组其中C,P是常数向量.d某A某Cemt，有一解形如：(t)Pemt.dt习题二一、单项选择题1.微分方程dyy2某2的阶数是（）.d某A.1B.2C.3D.42.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.n阶齐次线性常微分方程的任意n1个解必定（）.A.可组成方程的一个基本解组B.线性相关C.朗斯基行列式不为0D.线性无关5．用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．当n时，微分方程yP(某)yQ(某)y为伯努利方程．n某2某某22某某2某某2某某某2．在方程某p(t)某q(t)某0中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3．若y=y1(某)，y=y2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.5．设某0I，Y1(某),,Yn(某)是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则Y1(某),,Yn(某)在区间I上线性相关的条件是向量组Y1(某0),,Yn(某0)线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解.1.某yy(某y)ln2.某y某dyyy2(co某in某)d某3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解.1.y某yy02.yy21co某d某5y4某dt五、求解微分方程组的通解.dy4y5某dtd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设分因子.f(某,y)及f连续,试证方程dyf(某,y)d某0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与某的积yd2ydyp(某)q(某)y0中，p(某)在区间I上连续且恒不为零，2.设在方程试证它的任意两个线d某d某2性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数．习题三一、单项选择题.1.微分方程y某某iny的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某yC.某dyyd某0D.某2dyy2d某03.微分方程yP(某)yQ(某)y，当n1时为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.一阶线性非齐次微分方程C.伯努利方程D.里卡蒂方程4.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．用待定系数法求方程y2yy(某22某)e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．函数某c1cotc2int(其中c1,c2为任意常数)满足的一阶方程是.2．方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．3．设y1某e某e2某,y2某e某e某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.n某某2某某2某某2某某22某5．与初值问题某2某7t某et,某(1)7,某(1)2等价的一阶方程组的初值问题为.三、求下列一阶微分方程的通解.1.(某1)y2某y02.22dyyy2(co某in某)d某3.(某4y)y2某3y5四、求下列高阶方程的通解.1.t某2t某2某02.某某2某02某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．习题四一、单项选择题1.微分方程y某y某2的通解中含有任意常数的个数为（）.A.1B.2C.3D.42.当n1时，微分方程yp(某)yq(某)yn最确切的名称为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.伯努利方程C.一阶线性非齐次微分方程D.里卡蒂方程3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.A.某,C.e某2,某1,某1B.0,某,某2,某3e某2D.e2某,某e某25．用待定系数法求方程y2yy某2e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1.方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．2．若yy1(某),yy2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．23．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.某2某某2某某2某某22某4．已知cot和int是二阶齐次线性方程某a(t)某b(t)某0的两个解，则a(t)．5．如果常系数线性方程组某A某的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t时收敛于．三、求下列一阶微分方程的通解1.dyyytand某某某dyy某22.d某2某2y3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解1.t某3t某5某02.某''某tant2d某4某5ydt五、求解常微分方程组.dy4y5某dt某ya某3六、判定系统（这里的a）的零解稳定性.3y某ay七、设y(某)在[0,)上连续可微，且有lim[y(某)y(某)]0，试证：limy(某)0.某某。

常微分方程练习题在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。

常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的微分方程。

常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物理学、经济学、工程学等。

本文将通过一些常见的常微分方程练习题来帮助读者巩固对这一概念的理解。

练习题一：一阶线性常微分方程求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。

解答：根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) =2x$。

首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。

解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。

接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。

首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。

最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。

练习题二：二阶齐次常微分方程求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。

解答：首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。

解这个二次方程得到重根 $r = 2$。

因此，齐次线性微分方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2}x)e^{2x}$，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。

练习题三：二阶非齐次常微分方程求解微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 4x^{2} + 1$。

解答：首先，我们求解齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$。

大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科，它在科学和工程领域中有着广泛的应用。

掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。

以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答，希望对你的学习有所帮助。

题目一：求解一阶线性常微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

求解该微分方程。

解答一：为了求解上述微分方程，我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。

首先将方程写成标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$，其中$u(x)$是一个待定的函数。

将该通解代入原微分方程中，经过简化后得到：$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。

题目二：求解分离变量的微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。

求解该微分方程。

解答二：为了求解上述微分方程，我们可以利用分离变量的方法。

首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。

对两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。

经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。

题目三：求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$，其中$a$和$b$是已知的常数。

第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

“常微分方程”课程综合练习一、填空题1．方程d d y x=满足初值解存在且唯一的区域是 ． 2．方程d ||d y y x=满足初值解存在且唯一的区域是 ． 3．方程1d d +=y xy 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 4．初值问题00d (,)d ()y f x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解所满足的积分方程是 ．5．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的 条件． 6．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 7．方程2)(21y y x y '+'=的通解是 ． 8．方程y y xy ln d d =所有常数解是 ． 9．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．10．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的一条曲线．11．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件．12．函数组⎩⎨⎧==x y x y cos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是 ． 13．方程02=+'+''y x y x y 的等价方程组是 ．14．二阶方程()()0y f x y g x y '''++=的等价方程组是 ．15．方程20y y y '''-+=的基本解组是 ．16．如果函数组12(),()y x y x 在区间I 是线性相关，那么它们的朗斯基行列式()w x 在区间I 上 ．17．二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()x x ϕϕ为基本解组的充要条件是 ．18．平面系统d d d d y y x yx y t⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩的奇点(0,0)O 的类型是 ． 19．平面系统d 23d d 3d y x y x yx yt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的奇点类型是 ．20．点),(00y x 是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(d d ),(d d y x Q ty y x P t x 奇点的充分条件是 ． 21．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----==22d d d d y x y x ty y t x 的奇点是 ． 22．方程0)(22='-+y xy x y 是 微分方程．23. 方程y x xy tan d d =的所有常数解是 ． 24．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．25. 方程2sin d d x y xy =的任一非零解 与x 轴相交． 26．曲线L 为方程),(d d y x f xy =的积分曲线的条件是L 在每一点均与线素场的线素 ． 27. 方程212)1(d d y xy -=满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ． 28．线性齐次微分方程组Y A Y )(d d x x =的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式W （x ）在I 上 ．29. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.30. 线性齐次微分方程组Y A Y )(d d x x=的一个基本解组的个数不能多于 个，其中R ∈x ，n R Y ∈．31．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 ．二、单项选择题1．方程323d d y xy =过点)0,0(的解（ ）． （A ）只有一个 （B ）只有两个 （C ）有无数个 （D ） 只有三个2．方程y xy '= ）．（A ）Cx y = （B ）x C y =（C ）2Cx y = （D ）C Cx y +=3．积分方程⎰+=xt t y t x y 02d )(31)(的解是（ ）．（A ）1y = （B ）3e x y = （C ）2e x y = （D ）xy e =4．方程⎪⎩⎪⎨⎧≠==0,ln 00d d y y y y x y 当当， 在xoy 平面上任一点的解（ ）． （A ）都不是惟一的 （B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交 （D ）都与x 轴相切5. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件．（A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分6．方程d 1d y x=（ ）． （A ）有奇解1y =± （B ）有奇解1y = （C ）无奇解 （D ）有奇解7．方程222+-='x y y （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无8．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰=x x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 9．方程2d d y xy =过点)1,3(-的解的存在区间是（ ）． （A ）),0(∞+ （B ）)3,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）),2[∞+ 10．方程21y y -='过点)0,0(的解x y sin =，这个解的存在区间是（ ）．（A ）),0(∞+ （B ）)0,(-∞ （C ）]2,2[ππ-（D ）),(∞+-∞ 11．一阶线性非齐次方程组T 1),,(),()(d d n y y Y x F Y x A x Y =+=的任一解的图像是1n +维空间1(,,,)n x y y 中的（ ）．（A ）一个曲面 （B ）一条曲线 （C ）一族曲线 （D ）一族曲面 12．n 维方程组),(d d Y x F x Y =的任一解的图像是n +1维空间),(Y x 中的（ ）． （A ）一个曲面 （B ）n 个曲面 （C ）一条曲线 （D ）n 条曲线13．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t y x ty t y x t x e 23d d sin d d 的任一解的图像是),,(y x t 空间中的（ ）． （A ）一个曲面 （B ）两个曲面 （C ）两条曲线 （D ）一条曲线14．若12(),()x x ϕϕ是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（ ）共同零点．（A ）可以有 （B ）在0x =处可以有（C ）不能有 （D ）在1x =处可以有15. 用特定系数法求方程sin y y x x ''+=的非齐次特解11,y y 应设为（ ）．（A ）1()sin ()cos y x Ax B x x Cx D x =+++ （B ）1sin y Ax x =（C ）1()sin y Ax B x =+ （D ）1()sin ()cos y Ax B x Cx D x =+++16．已知方程4xy y x '''+=的一个特解为2x ，又对应齐次方程0xy y '''+=有一个特解为ln x ，则原方程的通解为（ ）．（A ）212ln y C C x x =++ （B ）2212ln y C x C x x =++（C ）212ln y C x C x x =++ （D ）3212ln y C x C x x =++17．方程的2e tx x x ++=的任一解的图像是三维空间(,,)t x x 中的（ ）．（A ）一个曲面 （B ）一条曲线 （C ）一族曲面 （D ）一族曲线18．方程22e x y x y xy x '''++=的任一解的最大存在区间一定是（ ）．（A ）(,0)-∞ （B ）[0,)+∞ （C ）[1,)+∞ （D ）(,)-∞+∞19．平面自治系统在相平面上的一条轨线，对应（ ）积分曲线．（A ）一条 （B ）两条 （C ）无穷多条 （D ）三条 20．平面系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（ ）． （A ）不稳定结点 （B ）稳定焦点 （C ）不稳定焦点 （D ）鞍点21．相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（ ）积分曲线．（A ）一条 （B ）二条 （C ）三条 （D ）无穷条22．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是（ ）． （A ）结点 （B ）中心 （C ）鞍点 （D ）焦点23．下列微分方程中的线性微分方程为（ ）（A ）02=-''y y （B ）y x y +='5（C ）21xy ='' （D ）x y y y e 2='+'' 24. 方程)0(d d ∞<≤=y y xy 过点(0, 0)有（ ）． (A) 一个解 (B) 两个解 (C) 无数个解 (D) 三个解25．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x26. 方程4d d +-=x y x y （ ）奇解．(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 27．),(y x f y '有界是方程),(d d y x f x y =初值解惟一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分28. 两个不同的线性齐次微分方程组（ ）的基本解组．(A) 一定有相同 (B) 可能有相同 (C) 一定有相似 (D) 没有相同29.若A (x ), F (x )≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组n x x x xR Y R F Y A Y ∈∈+=,),()(d d 的任一非零解 ( ).（A ）可以与x 轴相交 （B ）不可以与x 轴相交（C ）可以与x 轴相切 （D ）不可以可以与x 轴相切30. 函数组)(1x ϕ，)(2x ϕ在区间],[b a 上的朗斯基行列式恒为零是它们在],[b a 上线性相关的（ ）．(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件31. 方程02=+'+''xy y y 的非零解在xoy 平面上（ ）与x 轴相切．(A) 可以 (B) 不可以 (C) 原点处可以 (D) 也许可以32．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足（ ）时，其朗斯基行列式等于常数．(A)⎰x x p d )(e =常数 (B)⎰-x x p d )(e =常数 (C)⎰x x q d )(e =常数(D)⎰-x x q d )(e =常数三、计算题(求下列方程的通解或通积分)1．2d d x x yx y=+2．xy y '=3．d sin d e y y x xx +=4．0d 2d )3e (322=++y y x x y x x5．0)d (d 222=-+y y x x xy6．21(e )d d 0x yx y x x -+=7．012)(2=+'-'y x y8．22sin yy y y x '''-=9．0d d )e (2=+-y x x y x y10．03)(22=+'+''x y y y11. d 2d d 34d x x yt y x yt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩12. d 23d d 2d y x yt yx yt ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩13. d d d4d x x yt y x yt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩14．dd d d x yt yx t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩15．求方程t x xsin =+ 的通解． 16．求方程x y y y x cos e 422=+'-''的通解．17．求方程x y y 3sec 2=+''的通解．18．求方程255x y y -='-''的通解． 19．x xy xy y=+2d d 20. y x xy +=e d d 21．222d d -=+y x xy x y 22. xy x y x y tan d d += 23. 5d d xy y xy += 24．y y x y xy sin sin cos cos d d 2=- 25．0d 3d 24223=-+y yx y x y x 26．0d d )1(2=+--y x x y x 27．01)d (d )cos 2(2=-+-y x x x xy28．3)(y y x y '+'=29．x y y 2sin 34=+''30．239x y y =-'' 31．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x tyy t x 2d d 3d d 32．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=yx tyy x t x 32d d d d四、证明题1．设()y x 是),0[∞+上的连续可微函数，且满足lim (()())0x y x y x →+∞'+=．求证lim ()0x y x →+∞=． 2．证明：一阶微分方程1sin d d 22++=y x y x y 的任一解的存在区间必是(,)-∞+∞．3．证明：若)(x y 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(s i n )(d d y y x P x y的解，则0)(≡x y ，其中)(x P 在区间),(∞+-∞上连续．4．设)(x f 为区间),(∞+-∞上的有界连续函数．证明：方程)(d d x f y xy =+ 在区间),(∞+-∞上存在一个有界解． 5．设)(x y 是方程0)(d d )(d d 22=++y x q x y x P x y 的非零解，其中)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续．求证：当0)(0=x y 时，必有0d d 0≠=x x x y ． 6．证明，当0,0p q ≥>时，方程 0y py qy '''++=的一切解在[0,)+∞上有界．7．试证当0,0p q >>时，方程0y py qy '''++=的一切解当x →+∞，都趋于零．8．设方程()()0y p x y q x y '''++=中()p x 和()q x 在(,)-∞+∞上连续，且()0q x <．求证：对方程的任一满足00()y x y =的非零解()y y x =．函数0()d ()()()e xx p t t f x y x y x ⎰'=为(,)-∞+∞上的严格单调递增函数，其中0,0()x y 为平面内任一点．9．设函数)(t f 在区间),[∞+a 上连续，且0)(lim =+∞→t f t ，试证明：非齐次线性方程 )(4d d 4d d 22t f x t x tx =++ 的任一解)(t x 均有0)(lim =+∞→t x t ． 10．设)(t f 是),0[∞+上的连续函数，且0)(lim =+∞→t f t ．证明：方程 )(7d d 8d d 22t f x t x t x =++ 的任一解)(t x 均满足0)(lim =+∞→t x t ． 11．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．12．假设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 定义在),(b a 上的解，其中)(x p ，)(x q 在),(b a 上连续，求明：如果)(1x y ，)(2x y 均在),(0b a x ∈点取局部极值，则)(1x y ，)(2x y 在),(b a 上不能构成方程的基本解组．13．设G 是xoy 平面上的某区域，),(y x f 在G 内连续且对y 是单调不增的．求证：方程 ),(d d y x f xy = 的右行解恒由初值惟一确定．14．假设)(x ϕ在),(∞+-∞上连续，且在该区间上0)(<x ϕ，求证：方程y x xy sin )(d d ϕ=的所有解的存在区间为),(∞+-∞，且是单调不增或单调不减函数．。

常微分方程练习题常微分方程练习题常微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的基础知识。

通过解常微分方程，可以描述许多自然现象和工程问题。

在学习常微分方程的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答，可以加深对常微分方程的理解和应用。

下面，我们来看一些常微分方程的练习题。

1. 求解一阶线性常微分方程y' + 2xy = x解：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。

首先，求出齐次方程的通解：y' + 2xy = 0齐次方程的通解为 y = Ce^(-x^2)，其中 C 为常数。

然后，我们可以猜测特解形式为 y = u(x)e^(-x^2)，将其代入原方程得到： u'(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) = x简化后得到 u'(x)e^(-x^2) = xe^(x^2)，两边同时除以 e^(x^2) 得到：u'(x) = x对 u(x) 求积分，得到 u(x) = 1/2x^2 + C1，其中 C1 为常数。

将 u(x) 代入特解形式，得到特解为 y = (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)。

因此，原方程的通解为 y = Ce^(-x^2) + (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)，其中 C 和C1 为常数。

2. 求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' + 4y' + 4y = 0解：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程来求解。

首先，设 y = e^(rx) 为方程的解，代入方程得到：r^2e^(rx) + 4re^(rx) + 4e^(rx) = 0化简后得到 r^2 + 4r + 4 = 0，解这个二次方程得到 r = -2。

因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 为常数。

3. 求解二阶非齐次线性微分方程y'' - y' - 2y = 2x解：这是一个二阶非齐次线性微分方程，可以通过常数变易法来求解。

《常微分方程》练习题二OO五年一月一、是非题1. 微分方程0sin 22=+y l g dxy d 是齐次线性方程（ ）. 2. 微分方程的通解包含方程的所有解（ ）.3. 微分方程的积分因子是唯一的（ ）.4. 利普希茨（Lipschitz ）条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件（ ）.5. 微分方程的初值问题的饱和解最大存在区间是一个开区间（ ）.6. 若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 阶齐次线性方程的n 个解，其朗斯基（Wronski ）行列式x x W ,0)(=∈I ,则)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 在I 上线性相关（ ）.7. 方程组)()(t F x t A dtdx +=的所有解构成n +1维线性空间（ ）. 8. 定义在区间I 上的向量函数组的线性相关性和它在每一点t 0∈I 处的常数向量组的线性相关性，并不等价（ ）.9. 若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 阶齐次线性方程的n 个解，其朗斯基（Wronski ）行列式W(x 0)=0，x 0∈I ,则)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 在I 上线性相关（ ）.10. 齐次线性方程组x t A dtdx )(=的线性无关解的个数不能多于n 个（ ）. 11. 向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念，并不等价（ ）.12. 若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 个函数，x ∈I ，它的朗斯基（Wronski ）行列式W (x )=0，则)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 在I 线性相关（ ）.13. 已知向量函授组00)()(),( , 0 022t t t W wronski t t t 行列式其朗斯基，　、　=∞+-∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛＝0，线性相关，则它们在)(∞+-∞( ).14. 解在有限区间上对初值的连续依赖性可以推广到解在无限区间上对初值的连续依赖性（ ）.15.如果存在常负（正）函数v(y x ,).它关于系统 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x q dtdy y x p dt dx 的全导数是正（负）定的，则该系统的零解是不稳定（ ）.二、选择题1.若微分方程M (x ,y ）d x +N (x ,y )d y =0有积分因子μ(x ,y ),则μ(x ,y )满足（ ）.A. N(x ,y )),()),(),((),(),(),(y x xy x N y y x M y y x y x M x y x μμμ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ B. M(x ,y )),()),(),((),(),(),(y x xy x N y y x M y y x y x N x y x μμμ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ C. N(x ,y )),()),(),((),(),(),(y x yy x N x y x M y y x y x M x y x μμμ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ D. N(x ,y )0),(),(),(=∂∂-∂∂y y x y x M x y x μμ 2. 曲线c y x =+22满足微分方程（ ）.A. 0=+'y y xB. 0=+'yx y C. 0=+'xy y D. =+'x y y 203. 曲线x (ln x -ln y )d y -y d x =0是（ ）.A. 变量分离方程B. 齐次方程C. 全微分方程D. 一阶非齐次线性方程4. 设)(x y 满足微分方程0ln 2=-+'x y y y x 且在x =1时y=1,则在x =e 时，y =( ). A. e 1 B. 21 C.2 D. e5. 已知y 1=cos ωx ,y 2=3cos ωx 是方程22112 0y c y c y y y +==+''的解，则ω(21,c c是任意常数)（ ）.A. 是方程通解B. 是方程的解，但不是通解C. 是方程的一个特解D. 不一定是方程的解6. 微分方程0)()(3=-++dy y x dx y x 的通解（ ）. A. c y xy x =-+242141 B. c y x =-242141 C. c y x =+242141 D. c y xy x =--2421417. 微分方程t x D 2sin 5)1(4=+的 ）. A. t 2cos 175 B. t t 2cos 175C. t 2sin 175D. t t 2sin 1758. 微分方程0)2()2(=-+-dy x y dx y x 的通解为（ ）.A. c y x =+22B. c y x =-22C. c y xy x =++22D. c y xy x =+-229. 方程y y ='过点（0，0）的积分曲线有（ ）.A. 无穷多条B. 唯一一条C. 只有两条D.不存在10. 一阶线性方程)()(x q y x p dx dy=+的积分因子是（ ）.A. μ⎰=dx x p e )(B. μ⎰-=dx x p e )(C. μ⎰=-dx x q e )(D. μ⎰=dx x q e )(11. 设曲线上的任意点p(y x ,)处的切线斜率为y a xb 22,且曲线经过点（-2，1），则该曲线的方程是（ ）. A. 1222222=-b x a y B. 1144222222=---a by b a xC. 1414222222=---a b y b a xD. 2414222222=--ab y b a x － 12. 已知方程0)()(=+'+''y x q y x p y 一个特解为1y ,则另一个与它线性无关特解为（ ）. A. dx e y y y dx x p ⎰⎰=-)(21121 B. dx e y y y dx x p ⎰⎰=)(21121 C. dx e y y y dx x p ⎰⎰=-)(1121 D. dx e y y y dx x p ⎰⎰=)(1121 13. 微分方程0)3(24=+-xydx dy x y 可化为（ ）. A. 323y x ydx dy y -=- B. 323y yx dx dy y -=- C. 2232y x y dx dy x=+ D. 323y x y dy dx x -=- 14. 微分方程022233=-+x dtx d dt x d 实通解为（ ）. A. t i t i t e c e c e c x )1(3)1(21--+-++= B. t e c t e c e c x t t t sin cos 321++=C. t e c t e c e c x t t t sin cos 321--++=D. t e c t e c e c x t t t sin cos 321---++=15. 曲线xy =1满足方程（ ）.A. 0=-'x yB. 1=-'y y xC. 0=+'y y xD. 12='y x16. 方程0)1()1(22=+++xdy y ydx x 有积分因子（ ）.A. 11--y xB. y x 12)1(-+C. x y 12)1(-+D. 1212)1()1(--++y x17. 方程2y y ='过点（1，1）的解的最大存在区间为（ ）.A. ），　（2∞-B. ()∞+，　2C. （-2，2）D. ()∞+∞-，18. 点（0，0）是系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=yx dt dy yx dtdx 2的（ ）.A. 结点B. 焦点C. 鞍点D. 中心19. 微分方程 04422=++x dt dxdt x d 通解为（ ）.A. t t e c e c 2221+B. tt e c e c 2221--+C. t tte c e c 2221--+ D. t tte c e c 2221+20. 微分方程dx y x dy y x )()(-=+是（ ）.A. 线性方程B. 变量分离方程C. 齐次方程D. 贝努利方程21. 已知函数)(x y 满足微分方程 y y x ='ln x y,且x =1时，y =2e ,则x =-1时，y =( ).A. -1B. 0C. 1D. 1-e22. 方程 22y x ydx dy -= 是（ ）.A. 一阶线性方程B. 齐次方程C. 全微分方程D. 变量分离方程23. 方程x y sin ='''的通解是（ ）. A. 322121cos c x c x c x y +++= B. 322121sin c x c x c x y +++=C. 1cos c x y +=D. x y 2sin 2=24. 已知函数)(x y 满足微分方程0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x 且x =1时 y =1,则当221+=x 时，y=( ). A. 1 B. 21C. 22D. 221+25. 微分方程t e x D D 422)6(=+－的特解为（ ）.A ．t te 491B ．t e 441C ．t e 491 D.te 49226． 积分方程dt t ty o xx y )(1)(⎰+=的解为（ ）.A ．y =1B ．y =0C ．221x e y = D ．x e y =27．微分方程0=+ydy xdx 的解为（ ）.A ．c y x =+22B ．c y x =-22C ．c y xy x =++22D ．c y xy x =+-2228． 设二阶常系数线性方程021=+'+''y a y a y （21a a 、为常数），它的特征方程有两个相同特征根λ，则方程通解是（ ）.A ．xx e c e c λλ21+ B ．xx xe c e c λλ21+C. x c x c λλsin cos 21+D. )(21xxxe c e c x λλ+29．方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 是（ ）.A ．变量分离方程B ．一阶线性方程C ．全微分方程D ．贝努利方程30．一阶非齐次线性方程)()(x q y x p y +='的通解是（ ）.A ．⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x q c e y dx x p dx x pB ．dx e x q c e y dx x p dx x p ⎰⎰+⎰=-)()()((C ． ⎰⎰⎰=-dx e x q e y dx x p dx x p )()()( D ．⎰=dx x p ce y )( 31．若)(),(21x y x y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，则)()(2211x y c x y c y +=（其中1c 、2c 是任意常数）（ ）. A ．是方程通解 B ．是方程的解C ．是方程特解D ．不一定是方程解32． 方程2x x ='过点（3，-1）解的最大存在区间为（ ）. A ．（-2，2） B ．（-∞+∞，　）C ．)2(，　-∞ D ．)2(∞+， 33． 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线平行于直线052=+-y x ， )(x y 满足微分方程x e y y y 396=+'-''，则此曲线的方程是（ ）.A ．sin2xB ．x e x x 2sin 2132+ C ．x e x x3)4(2+ D ．x e x x x 32)2sin cos (+34. 微分方程（221)t x D D +=+的特解为（ ）.A. 322+-t tB. t t t 33123+- C. t t t 33123++ D. t t t 33123-+ 35. 点（0，0）是系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dt dx 332的（ ）. A. 结点 B.焦点C. 中心D.鞍点36. 设有微分方程（1） 是已知常数）、、 b a k y b y a k dxdy ( )( )(--=（2） k y dxdy +=cos （3） 0)2(22=-+-dy x xy y dx y则（ ）.A.方程(1)是线性方程B. 方程(2)是线性方程C.方程(3)是线性方程D. 它们都不是线性方程37. 微分方程初值问题⎩⎨⎧==+'1)1(0y y y x 的解为（ ）.A.2=+y xB.1=xyC.222=+y xD.1=xy 38. 设)()(21x y x y 、是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的（ ），则)()(2211x y c x y c y +=是任意常数）、21(c c 是方程通解. A. 两个特解 B. 任意两个解C. 两个线性无关解D. 两个线性相关的解39. 微分方程x y x y dx dy tan +=的通解是（ ）. A. cx x y=sin 1 B. c x x y +=sinC. cx x y =sinD. cx yx =sin 40. 设函数)(x y y =满足微分方程x y x y tan cos 2=+',且当4π=x 时，0=y ,则当0=x 时，y =( ). A. 4π B. 4π- C. -1 D. 1同实根21λλ、，则方程通解是（ ）.A ． x c x c 2211sin cos λλ+ B. x x xe c e c 2121λλ+ C. x x e c e c 2121λλ+ D. )(2121x x xe c e c x λλ+ 42. 积分方程dt t ty x x y )(2)(0⎰+=的解为（ ）. A. 221x e y = B. x e y =C. x e y 2=D. 2212x e y =43.设函数)()()(321x y x y x y 、、都是非齐次线性方程)()()(22x f y x b dx dy x a dxy d =++的特解,其中)()()(x f x b x a 、、都是已知函数，则对于任意常数1c 、2c ,函数)()1(121x y c c y --=)()(3221x y c x y c ++( ).A. 是所给微分方程的通解B.不是所给微分方程的通解C.是所给微分方程的特解D.可能是所给微分方程的通解，也可能不是通解，但肯定不是特解44.方程04)4(=-y y 的通解是（ ）. A. x x e c ec x c x c y 2423212sin 2cos -+++= B. )sin cos ()(432221x c x c e ec c y x x +++= C. )2sin 2cos (4322221x c x c e x c x c y x x x +++=-- D. x e x c x c x c c y 2342321)(+++=45. 已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x ,于是方程通解为（ ）.A.221x e c x c y +=B. x c x c y 121+=C. x e c x c y 21+=D. x e c x c y -+=2146. 若)( ),...(),(21x y x y x y n ，是微分方程0)(...)()1(1)(=+++-y x a y x a y n n n 的n 个特解，则当n c c c ,...,,21为任意常数时，)(...)()(2211x y c x y c x y c y n n +++=( ).A.一定是方程的通解.B.一定不是方程的通解.C.当)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 为线性无关时，才是方程的通解.D.当)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 线性相关时，才是方程的通解.三、填空题1. 设)(t ϕ是一阶齐次线性方程x t p dt dx )(=解，则)(t c ϕ是 方程解（c 是任意常数）.2. 连续可微函数),(y x μ≠0使得),(y x μM (y x ,)d x +),(y x μ)N (y x ,)=0为全微分方程，则),(y x μ是微分方程M (y x ,)d x +N (y x ,)d y =0的 .3. 微分方程0332233=-+-x dt dx dtx d dt x d 的通解为 . 4. n 阶正规形微分方程的一般形式为 . 5. n 阶齐次线性微分方程的线性无关解的个数是 .6. 微分方程04)(2=+dtdx 是 阶微分方程. 7. 向量函数t e t y 2)1(101)(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,t e t y 2)2(110)(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=在),(+∞-∞上是线性 .8. 微分方程06522=+-x dt dx dtx d 的通解为 . 9. 试将初值问题 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=++=0)0(0)0(y x y x dt dy ey x dt dx t 化为与之等价的一个未知函数的二阶微分方程的初值问题为 .10. 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dt dx 332的奇点为 ，奇点类型为 .11. 微分方程y y x y ln sin ='满足初值条件e y x ==2π的特解是 .12. 设)(1x y 、)(2x y 是方程0)()(22=++y x b dx dy x a dxy d 的两个非零解)(),((x b x a 在区间[b a ,]上连续），则其朗斯基（Wronski ）行列式W(x )= ;如果)()(21x y x y 、同时在区间[b a ,]上点0x 取得极小值，则)()(21x y x y 、在区间[b a ,]上是线性 .13. 一阶非齐次线性方程)()(x q y x p dx dy +=的任意两个解之差必为方 程 的解.14. 微分方程y y ''='''的通解为y = .15.方程)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++=称为可化 的方程,其中如果2211b a b a ≠ 时，作变换αξ+=x ,βη+=y (βα,是待定常数，ηξ，是新变量)，代入方程后确定出βα、,方程变成含变量ηξ，的 方程.16.设)(1t ϕ、)(2t ϕ是二阶线性方程0)()(2122=++x t a dt dx t a dtx d 的解，其朗斯基(Wronski)行列式W (t)= .17.设微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程，则dy y x N dx y x M ),(),(+的原函数u(y x ,)= 或 .18. 微分方程01)(3223=++dx dy dx y d y 是 阶方程. 19. 微分方程0=-''y y 的通解是 .20. 齐次线性方程 0)(...)()1(1)(=+++-y x a y x a y n n n 满足初值条件='=)()00x y x y （0)(...0)1(==-x y n （],[) , (321))((b a n i x a i 是　，，　，　=上已知连续函数,],[0b a x ∈）的唯一解是 .21.设n 个向量函数)(),...,(),(21x y x y x y n 定义于区间I 上，若仅当0...21====n c c c 时，)(0)(...)()(2211I x x y c x y c x y c n n ∈=+++才成立，则称)(),...,(),(21x y x y x y n 在区间I 上是 .22. 二阶齐次线性系统的系数矩阵的特征根为0,021<>λλ,则奇点（0，0）为 类型.23. 设)(),(21x y x y 是二阶线性方程0)()(2122=++y x a dx dy x a dxy d 的解()(),(21x a x a 在区间I 上连续)，则其刘维尔（Liouville ）公式W )(x = .24.已知 y=y(x ,0x ,0y ) 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，则000),,(x y x x y ∂∂= , 000),,(y y x x y ∂∂= . 25. 微分方程01)(23=++dxdy dx dy y 是 阶微分方程. 26. 设函数组t t t e t te e 2,,，则它们在),(+∞-∞上是线性 .27. 把初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===++-2)1(,7)1(7222dt dx x e tx dt dx dt x d t 化为与之等价的一阶正规形微分方程组初值问题 .28. 已知方程)sin(xy dx dy =，则=∂∂==0000000),,(y x x y x x y ，=∂∂==000000),,(y x y y x x y .29. 二阶自治系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dt dx 243的奇点为 ，奇点类型 .30. 微分方程满足初值条件的解称为 .31. 如果y (x)是非齐次线性方程组一个特解，)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是对应齐次线性方程组的n 个线性无关解，则此非齐次线性方程组通解y(x )= .32. 曲线族c y x =+22满足微分方程 .33. 方程2y y ='过点(3,-1)积分曲线的最大存在区间是 .34. 微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充要条件是 .35. 微分方程0=+ydx xdy 的通解为 .36. 如果向量函数)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是齐次线性方程组n 个解，其朗斯基(Wronski)行列式在其定义区间I 上某一点不等于零，则其线性组合是该方程组的 .37. 曲线Γ是微分方程),(y x f y ='的积分曲线的充要条件是 .38. 若λ=bi a +是常系数实n 阶齐次线性方程的k 重特征根，则方程有形 如 的2k 个实特解.39. n 阶隐式常微分方程的一般形式为 .40. 形如),0)(( )()(I y y q y q x y p dydx ∈≠+=　的方程，称为 方程. 41. 方程0=+''y y 的通解是 .42. 初值问题⎩⎨⎧00)(y x y y y =='的解存在且唯一的条件是 .43.n 阶齐次线性方程的任意n 个解构成它的基本解组的充分必要条件 是 .44. 初值问题⎩⎨⎧00)(),(y x y y x f y =='的解满足积分方程 . 45. 函数44222),(v x y xy x y x ++-=是 类型的李雅普诺夫函数.46. 微分方程解的图像称为微分方程 .47.若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 阶齐次线性方程)(1x a dx y d n n +++--...11n n dxy d y x a n )(＝0的n 个解，则其刘维尔(Liouville)公式 .48.微分方程0)3()32(332=-++dy y x dx y x x 是 型微分方程.49. 1)(1)(-=+'x f xx f 的通解=)(x f . 50.该函数)(1x y ,)(2x y ,)(3x y 是非齐次线性方程++dx dy x a dxy d )(22y x b )()(x f =的线性无关解，其中)(),(),(x f x b x a 都是已知函数，则所给方程的通解y = .51. 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x q dtdy y x p dt dx 称为 系统. 52. 已知x y x y 1,221==是方程02222=-y x dx y d 的两个解，则其朗斯基(Wronski)行 列式W(x )= .53. 求微分方程),(x t f dtdx =满足初值条件0000,( )(x t x t x =是已知常数）解的问题称 为 .54. 假设)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 个函数,I x ∈,如果...)()(2211++x y c x y c )(x y c n n + =0，I x ∈,仅当0...21====n c c c 时成立，则它们是线性 .55.微分方程033=+x dtx d 的通解为 .56.向量函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0t ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02t 的朗斯基(Wronski)行列式W(t )= = ,该向量函数是线性 .57.设)(),(21t t ϕϕ是一阶线性方程x t p dtdx )(=的解，则)()(21t t ϕϕ+是 方程解.58.设),(y x u 是dy y x N dx y x M ),(),(+的一个原函数,则全微分方程dy y x N dx y x M ),(),(+=0通解是 .59.二阶自治系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=3334y x dt dy x y dt dx 函数2243),(y x y x V +=是 函数,dtdV = 且是 函数,零解是 .60.微分方程dxdy xy y dx dy x=+的通解是 .四、求一阶微分方程的通解1. dx dy =y x xy y 221++ 2. dx dy =2y xy y - 3. xydx +)21(2y x +dy =0 4. dxdy =x y cos +x 2sin 5. )(x y +dx +)(x y -dy =06. )312(32y y x xy ++dx +)(22y x +dy =0 7. 2)(3+'-'=y y x8. x y y sin '=)(sin cos 2y x x -9. dx dy=e x y +x y10. y '=22x y xy -11. 02)(3=-+y dx dyx dx dy12. c o sy dx dy+x s in y =221x xe -13. )()(2x y x y dx dy ϕϕ-'=14. 42++--=y x x y dx dy15. 02)3(2=++xydy dx y e x16. (xy y x e +y 2)d x -x 2y xe d y =017.=dx dy y y x 2sin cos 1+18. x ' 1)' (2y y =+19. x y y x ydx dy 2sin 212+=20. dx dy =344322xy x y y x --21. (23x x y +)dx +(1+y x 3)dy =022. 'y =y y xtan cos -23. 2)('y x a y +=24. dx dyx =y (1+l n y -l n x )25. 22' ' 3y y xy y +=26.0)1()(2=++-y d y x dx y x27. dx dy =22x y x + 28. dx dy =3333426322--+++-+y x xy y x y x 29. dx dy =22yx y - 30. 0)22()(32=++-dy y xy dx x y31. x +' sin 2y =132. e y -(dx dy +1)=x e x 33. 3'y x y y +=34. dx dy -n x x e y xn = (n 为常数) 35. 0)(222=-+dy y x xydx36. dxdy (ar ct an y -x )=1+y 2 37. (x y x xy +++23)d x -(y x -)d y =038. dxdy x +x +s in (y x +)=0 39. y 22)2()1(y y '-=-'40. dx dy +032=+y e xy 41. dx dy =xyy x -321 42. 0)1()1(=-++dy yx e dx e y x y x43. x 022=-'+'y y x y44. y xe y x y x 2cos 2sin 2-=+'45. 0)(2=-+xdy dx y xy46. y =(y ')2221x y x +'-47. dxdy x +(x +1)y =3x x e -2 48. dx dy =yx x y 222+ 49. x 0)()(2=-++ydx xdy y ydy xdx50. 0sin cos sin '3=--x y x x y51. (y -x 2)y '=x52. y x '+1=e y53. dx dy =2(12-+-y x y )2 54. y x 'xy y 2=+55.dx xy y xdy )1(-=五、求高阶方程通解1.x 06'22=-+''y xy y 2.33dx y d -5x e y dx dy dx y d 32248=-+ 3. x t x sin 11''-=+ 4. t dtdx t dt x d =-122 5. ( D-2 )t e tx 221= 6. 22dtx d +x = t cos 11+ 7. 22dt x d +x x x dtdx cos sin 26-=+ 8. t )1(2+t 22dtx d -t (2+4t +t 2)3422)42(t t x t t dt dx --=+++ 9. y 132'''+=++-x e y y x10. 014455=-dt x d t dtx d 11. (D 232+-D )x =cos2t12. 0)(222=+dt dx dtx d x 13. (D 232+-D )x =sine t -14. (D D D 3423+-)x =t 215. t 22dtx d -(2t +1)t e t t x t dt dx 22)1()1(-+=++ 16. 022=++x dtdx dt x d 17. x 2x dxdy dx y d x dx y d ln 452233=++ 18. x 222dx y d -3x x x x y dx dy ln 42+=+ 19. (D+1)x x y cos 22=20. t 2022=+-x dt dx t dt x d 21. y ''x x e e y y 316496-=+'-22. (2t +1)2t x dt dx t dtx d 612)12(222=-+- 23. y x y y ''=''+'4)(4224. (D 91024++D )x =cos(2t+3) 25. 43231)()(x y y y x ='-'''六.求方程组的通解 1.y x dt dx +-=7 2. xy y t dt dx --=y x dt dy 52--= xy t x dt dy --= D x -(D+1)y =-t e3. x +(D-1)y =t e 2z y x dt dx+-=3 4. z y x dt dy-+-=5 z y x dtdz3+-=(D 162+)x -6D y =0 八、 6D x +(D 162+)y =0yx t y dt dx ++= 6. yx x t dt dy ++=t e y x dt dx3423++= 7. y x dtdy2+= 8.dt dx=-)1(22-++y x x y )1(22-++=y x y x dtdyt e y x dtdx+--=5 9.t e y x dt dy 23+-= 10. 222yx t y dy x dx t dt +++==. te x dt dy dtx d =--222 11.2222t y dtyd dt dx =-- 12.xy dtt x dy y t dx 244332-=-=-t y x dt dx532++= 13. t e y x dtdy823++=dt dx=t e y x 34+-)sin (t t + 14. t te y x dtdyt cos 23++=dt dx=z y + 15. z x dt dy+= y x dtdz+= 16.yt dx =y x dtxt dy +=0422=+-y x dt xd 17. 022=-+y x dtyddt dx =y x x et t e +-+2 18. yx y e t t e dt dy +-+=2dt dx=z y x 332+- 19. z y x dt dy354+-= z y x dtdz244+-=dt dx=+2y -e t - 20. t e y x dtdy-++=434 七、求初值问题解1.⎩⎨⎧==-+2)1(02)(2y xydy dx y x2. ⎪⎩⎪⎨⎧==1)0(2y xy dx dy3. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=1)0(0)0(432y x y x dt dy y x dt dx 4.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+--0)1()1(4422222dt dx e x e t x dt dx dt x d t5.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-='==+-3)0(2)0(02322x x x dt dxdt x d 6.设方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21,01011x x x e x dt dx t a) 验证矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t t e te e 0是对应齐次线性方程组基本解矩阵；b) 试求方程组满足初值条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 的解.九、 设方程组为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,cos sin 2012x x x t t x dt dx 十、 验证矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t te te e 2220是对应齐次线性方程组基本解矩阵； 十一、试求方程组满足初值条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 的解8.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-==-++=-=31)1(31)1(1221y x x t y x dt dy x t dt dx9.求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+0)0()(y x q y dx dy的连续解，其中⎩⎨⎧>≤≤=1 ,010 ,2)(x x x q 10.⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=+''12 02],[ sin 34π，πππ，y y x x y y 八、计算题 1. 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y yx dxdy 在区域R:1 ,11≤≤+y x 解的存在区间，并求第三次近似解. 2. 试用逐次逼近法求方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21,0110x x x x dt dx , 满足初值条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)0(x 的第三次近似解.3. 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(2y ye dxdy x 的第二次近似解. 4. 用逐次逼近法求方程 21yydx dy += 满足初值条件1)0(=y 的第二次近似解. 5. 求初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=1)0(,0)0(2222dt dx x x t dt x d 的第三次近似解.6. 利用逐次逼近法求初值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=1)0()0(2y x y tx dtdy y tx dt dx的前三次近似解.7. 试用逐次逼近法求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x dtdy y dtdx满足初值条件⎩⎨⎧==1)0(0)0(y x 的第三次近似解.8. 设),,(00x t t x 是方程0si n =--x txt dt dx t满足初值条件0000),,(x x t t x =的解，试求出000),,(t t t x t t x =∂∂ ,00),,(t t x x t t x =∂∂9.试讨论2123y dx dy =在怎样区域上满足解的存在唯一性条件，并求过点(0，0)的一切解.10. 设给定方程x e t dt dx23=，试求0100000),,(==∂∂x t t x t t x ,100000),,(==∂∂x t x x t t x九、讨论题（一）求方程组奇点，并确定其类型.1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x dt dy y x dt dx 6632.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dtdx2433.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=y x dt dy y x dt dx 334.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx47735.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x y dtdy y x dtdx324（二）讨论系统零解稳定性.（a 是参变数）1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=33y x dt dy x y dt dx2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=)()(2222y x y x dtdy y x x y dtdx3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=33ay x dt dy ax y dt dx 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=333223y x dt dy x y dt dx 5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=)()(2222y x ay x dt dy y x ax y dt dx 6.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=3334y x dt dy x y dtdx7.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=2322xy dt dy y x dt dx 8.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=3222y y x dt dy xy x dtdx9.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=32223212y y x xy dt dy y x dt dx 10.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=222x x dt dy y xy dtdx 11.考虑无阻尼线性振动0222=+x dtxd ω的平衡位置的稳定性.十、证明题.1．设),(y x f 在区域R: a x x ≤-0,b y y ≤-0连续且关于y 满足利普希茨(Lipschitz )条件，试用Bellman 引理证明初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy在区间h x x ≤-0的解是唯一的，其中==M Mba h ),,min(max R .|),(|y x f 2.已知定义于[b a ,]上的n 个函数y 1(x ),y 2(x ),…，y n (x )是n 阶齐次线性方程基本解组，b 1,b 2是两个不等于零的常数，则函数组)()([211x y x y b +]，)()([212x y x y b -]，)( ,...)(3x y x y n ，在区间[b a ,]也是该方程的基本解组. 3.设n 阶矩阵A(t)在区间[b a ,]连续，且X (t)，)(t Φ是方程组x t A dtdx)(=的两个基本解矩阵，证明的存在n 阶可逆常数矩阵C 使得)(t Φ= X (t)C. 4.证y e dxdyxy sin =的任何一解存在区间为（-∞，+∞）.5．设f （t ）在（０，＋∞）上连续且有界，试证明方程)(t f x dtdx=+的所有解均在（-∞，+∞）上有界. ６．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)()1(y x y ey y dxdy xy 当00y <<1时解的最大存在区间，并加以证明. 7．用逐次逼近法证明初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=00)()()(y x y x q y x p dxdy在[b a ,]上解是唯一的（只须证明唯一性），其中[]b a x ,0∈，p(x )、q(x )在[b a ,]上连续.8、求非齐次线性方程t e x dt dxdtx d -=++6522的通解，并证明此方程的一切解)(t x 有0)(lim =+∞→t x t .9、试证明：对于任意0x 及满足条件0<0y <1的y 0，方程1)1(22++-=y x y y dx dy 满足初值条件00)(y x y =的解y(x )在（)∞+∞-，　上存在. 10、设f(x)为连续函数 （1） 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(y ayx f dxdy的解y(x )，其中a 是正常数；（2）若)(x f k ≤（k 为常数），证明，当x ≥0时有)1()(ax e kax y --≤. 11、证明微分方程1sin 22++=y x ydx dy 的任一解)(x y 存在区间为)(∞+-∞，　.。

常微分方程练习试卷一、23210d x x dt += ()x dy f xy y dx=_______ 3230d y y x dx--=(0)1,(0)2y y '== x y y y e αβγ'''++=*2()x x x y x e e xe =++α=β=γ=()0W t ≡12(),(),,()n x t x t x t L a x b ≤≤22(2320)0xydx x y dy ++-=y()X A t X '=()t Φ()A t =20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x251y y y y ''''''+++=20y y y '''''-+=二、13dy x y dx x y +-=-+ 222()0d x dx x dt dt+=sin y y x '=+22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ηX A dt dX =)(t ΦX A dt dX =η=)0(x2213dyx y dx =--(1,0)(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦expAt(),()t t Φψ()X A t X '=C ()()t t C ψ=Φ),()(0βαϕ≤≤x x x],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx )}({x n ϕ],[βα)(x ψ],[βα],[βα)()(x x ϕψ≡)(t ϕAX dt dX=ηϕ=)(0t ηϕ)(ex p )(0t t A t -=u xy =11(()1)du dx u f u x =+3,2,1αβγ=-==-3y 1()()t t -'ΦΦ25 00tAt t e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦13dy x y dx x y +-=-+ 10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩1,2x y =-=1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩ .d d ηξηξξη+=-z ηξ=2(1)1z dz d z ξξ-=+21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+2arctanln 1y C x -=+ 222()0d x dx x dt dt+= ，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，即，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。