高中数学 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题

命题判断、充分条件、必要条件类型题数学思想：集合与补集，数型结合、正难则反一、判断命题的真假例1：（正面）设集合A，B，有下列四个命题。

①A⊈B⇔与对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B=φ；③A⊈B⇔B⊆A⊆⊆A⊈B⇔⊆⊆x⊆A⊆⊆⊆x⊆B⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆ ⊆ ⊆点评：正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要。

例2：判断下列命题的真假.（反面）（1）若a>b，则ac2>bc2；（2）正项等差数列的公差大于零。

解：（1）假命题，当c=0时，ac2=b c2；（2）假命题，如数列20，17，14，11，8.点评：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可。

例3：（利用等价命题判断命题的真假）命题“若a>-6，则a>-3”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4因为原命题为假命题，所以其逆否命题为假命题。

因为其逆命题若“a>-3，则a>-6”为真命题，故选B。

点评：因为原命题与其逆否命题的真假性保持一致，原命题的否命题与原命题的逆命题也互为逆否命题，所以判断原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的真假性时，只需判断两组逆否命题中的各一个命题的真假性即可。

四种命题中，真命题的个数只能是0，2或4个。

二、判断充分条件、必要条件以及充要条件的方法例4：（集合思想）已知p:|x|<1.q:x2+x-20<0，试判断┐p是┐q的什么条件。

解：设p、q对应集合P，Q，则P={x|-1<x<1），Q={x|-5<x<4）.因为P⫋Q，所以p=>q，且q⇏p，所以p是q的充分不必要条件。

所以┐q➩┐p，┐p⇏┐q，所以┐p是┐q的必要不充分条件。

点评：若给出两个条件，通过数轴或者veen图得到两个条件的范围大小，从而得出结论。

高中数学第三讲充分条件和必要条件练习北师大版选修21一、考试说明理解必要条件、充分条件的意义，会分析四种命题的相互关系二、基础知识建构1、“若p则q”是真命题，即p⇒q；“若p则q”为假命题，即p⎭q.2、(1)若①，则p是q的充分不必要条件.(2)若p⎭ q, 但p⇐q,则p是q的②.(3)若③,则p是q的充分条件，也是必要条件,也是充要条件(一般要回答是充要条件)(4)若④,则p是q的既不充分也不必要条件.3、证明p是q的充要条件,分两步：证明：①充分性,把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.②必要性,把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p.所以,p是q的充要条件.4、充分条件、必要条件常用判断法(1)定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B⇒A或A⇒B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断；(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题的逆否命题进行判断；(3)集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B、，则：若A⊆B,则p是q的充分条件；若A B,则p是q的充分非必要条件；若A⊇B,则p是q的必要条件；若A B,则p是q的必要非充分条件；若A=B,则p是q的充要条件若A∑B,且A⎛B,则p是q的非充分又非必要条件.5、当p⇒q时,称条件p是条件q的充分条件，意指为使q成立,具备条件p就足够了，“充分”即“足够”的意思,当p⇐q时,也称条件p是条件q的必要条件，因为q⇒p等价于非p⇒非q,即若不具备q,则p必不成立,所以要使p成立必须具备q .“必要”即“必须具备”的意思. “若p则q”形式的命题，其条件p与结论q之间的逻辑关系有四种可能：(1)p⇒q但q⇒p 不一定成立：这时,p是q的充分而不必要条件；(2)q⇒p但p⇒q不一定成立：这时,称p是q 的必要而不充分条件；(3)p⇒q且q⇒p：这时,称p是q的充分且必要条件；(4)p⇒q不一定成立且q⇒p不一定成立：这时,称p是q的既不充分也不必要条件.6、由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断7、一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。

学案三 充分条件、必要条件与命题的四种形式一、目标要求理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

二、知识梳理1、充要条件（1）定义：(2)若p ⇒q ，但q ⇒/p,则p 是q 的若q ⇒p ，但p ⇒/q ，则p 是q 的2、四种命题（1）命题的四种形式：原命题： 逆命题：否命题： 逆否（2）四种命题的关系如下：三、基础训练1、a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件2、在ABC ∆中条件A 〉B 是B A 22cos cos <的 条件3、“ab<0”是方程a c by x =+22表示双曲线的 条件4、(2008山东文)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。

在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （ ）A 、 3B 、 2C 、 1D 、 0 四、典例精析例1（2007山东 理）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是① p:62>-<m m 或; q:32+++=m mx x y 有两个不同的零点。

② p:1)()(=-x f x f ；q:)(x f y =是偶函数。

③ p:βαcos cos =；q:βαtan tan =。

④ p:A =B A ；q:AC B C U U ⊆。

A. ①② B.②③ C.③④ D.①④例2已知p:2311≤--x ；q:).0(01222>≤-+-m m x x 若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

例3已知数列{n a }的前n 项和)10(≠≠+=p p q p s n n 且，求数列{n a }成等比数列的充要条件。

五、综合训练一、选择题1、 条件p:∣x+1|>2;条件q:x>2,则p ⌝是q ⌝的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件︳(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2、 是⎩⎨⎧>>3321x x ⎩⎨⎧>>+9x x 6x x 2121成立的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件︳(C)充要条件 （ D ）既不充分也不必要条件3、四个条件b>0>a,0>a>b,a>0>b,a>b>0中，能使ba 11<成立的充分条件的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 (C)3 （D ）44、已知真命题“a c b ⇒≥>d ”和“a<b f e ≤⇔”,那么“d c ≤”是“f e ≤”的（ ）（A ）充分条件 （B ） 必要条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5、下列四个命题：（1） “若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题，（2） “相似三角形的周长相等”的否命题，（3） “若a 1≤,则方程0222=++-a a ax x 有实根”的逆命题，（4） “若,B B A =⋃则B A ⊇”的逆否命题其中真命题的是 （ ）A (1)(2) B(2)(3) C (1)(3) D （3）（4）6、已知=a,=b,=c,则a+b+c=0是A,B,C 三点构成三角形的是（ ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7、 已知222111,,,,,c b a c b a 均为非零实数，不等式0022221121>++>++c x b x a c x b x a 和的解集分别为集合M 和N,那么“212121c c b b a a ==”是 “M=N ”的( )（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件8、 设有如下三个命题：甲：相交的直线l,m 都在平面α内,并且都不在平面β内；乙：直线l,m 中至少有一条与平面β相交;丙：平面α与平面β相交。

可编辑修改精选全文完整版1．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选C．命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题．综上，以上3个命题中真命题的个数是2.故选C．2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．3．(2018·陕西质量检测(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．由(a－b)a2＜0可知a2≠0，则一定有a－b＜0，即a＜b；但是a＜b即a －b＜0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2＜0不一定成立，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件，选A．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A＞sin B”是“a＞b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C．设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则2R sin A＞2R sin B，即a＞b；若a＞b，则a2R＞b2R，即sin A＞sin B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C．5．有下列命题：①“若x＋y＞0，则x＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ．①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1”． 因为当m ＝0时，解集不是R ，所以应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．6．(2018·石家庄模拟)“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．由log 2(2x －3)＜1⇒0＜2x －3＜2⇒32＜x ＜52，4x ＞8⇒2x ＞3⇒x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A ．7．已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ．当l ∥α时，直线l 与平面α内的直线m 平行、异面都有可能，所以l ∥m 不一定成立；当l ∥m 时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l ∥α，即“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，故选B ．8．命题“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B ．要使“对任意x ∈[1，2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a ＞4是命题为真的充分不必要条件．9．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，故选C ．10．(2018·惠州第三次调研)设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ．设f (x )＝x 2，y ＝|f (x )|是偶函数，但是不能推出y ＝f (x )的图象关于原点对称．反之，若y ＝f (x )的图象关于原点对称，则y ＝f (x )是奇函数，这时y ＝|f (x )|是偶函数，故选C ．11．(2018·贵阳检测)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．依题意，注意到a ∥b 的充要条件是1×3＝(x －1)(x ＋1)，即x ＝±2.因此，由x ＝2可得a ∥b ，“x ＝2”是“a ∥b ”的充分条件；由a ∥b 不能得到x ＝2，“x ＝2”不是“a ∥b ”的必要条件，故“x ＝2”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A ．12．(2018·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a ＞14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．命题p 等价于0＜a ＜4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝01＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a 2－4a ＜0，则0≤a ＜4，所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件，故选A ． 13．下列命题中为真命题的是________． ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题； ②命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题； ③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题； ④命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题．解析：对于①，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故①为假命题；对于②，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知②为真命题；对于③，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故③为假命题；对于④，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故④为假命题．答案：②14．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．答案：115．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]16．(2018·长沙模拟)给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b ＜0”，但由“a·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.答案：①②1．(2017·高考天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ．因为⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6， sin θ＜12⇔θ∈⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，⎝⎛⎭⎫0，π6⎝⎛⎭⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ，所以“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：x ＝1，q ：x 2＝x B ．p ：|a |>|b |，q ：a 2>b 2 C ．p ：x >a 2＋b 2，q ：x >2ab D ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d解析：选D.A 中，x ＝1⇒x 2＝x ，x 2＝x ⇒x ＝0或x ＝1⇒/ x ＝1，故p 是q 的充分不必要条件；B 中，因为|a |>|b |，根据不等式的性质可得a 2>b 2，反之也成立，故p 是q 的充要条件；C 中，因为a 2＋b 2≥2ab ，由x >a 2＋b 2，得x >2ab ，反之不成立，故p 是q 的充分不必要条件；D 中，取a ＝－1，b ＝1，c ＝0，d ＝－3，满足a ＋c >b ＋d ，但是a <b ，c >d ，反之，由同向不等式可加性得a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，故p 是q 的必要不充分条件．综上所述，故选D.3．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B ．由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B ．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.答案：m ＞25．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2， 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， 所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 6．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数． 又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， 所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.。

一、选择题1．(2011·福建高考)若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1，所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件．答案：A2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B3．(2012·深圳调研)已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切得，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即有|a |2＝1，a ＝±2.因此，p 是q 的充分不必要条件． 答案：A4．下列命题中是真命题的是 ( )A ．若向量a ，b 满足a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a <b ，则1a >1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立 解析：对于选项A ，若向量a 、b 满足a·b ＝0，不能得出a ＝0或b ＝0，因此A 不正确．对于选项B ，如取a ＝－2，b ＝1，此时有a <b ，且1a <1b ，因此B 不正确．对于选项C ，如取b＝0，a ＝0，c ＝1，此时有b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列，因此C 不正确．对于选项D ，sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，因此D正确．答案：D5．下列命题中为真命题的是() A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题．答案：A二、填空题6．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假7．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案：－1三、解答题8．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形．(2)p：x，y是实数，xy>0；q：|x＋y|＝|x|＋|y|.解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵xy >0⇒x ，y 同正或同负∴当⎩⎨⎧ x >0y >0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y |， 当⎩⎨⎧x <0y <0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y |， ∴xy >0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y |，但反之不能推出，如当x ＝0，y ＝2时，有|x ＋y |＝|x |＋|y |成立，xy >0却不成立．∴p 是q 的充分不必要条件．10．求方程ax 2＋2x ＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件． 解：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根．当a ＝0时，x ＝－12适合条件． 当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a ≥0，∴a ≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.当a <1时，若方程有且仅有一负根，则1a <0，∴a <0.综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.。

1.4充分条件、必要条件1. 充分条件；2.必要条件；3. 充分条件与必要条件的应用；4. 充要条件的判断；5. 充要条件的证明；6. 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围；7. 充要条件的探求一、单选题1．（2019·全国高一课时练习）“0x ≠”是“0x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020·天津市蓟州区擂鼓台中学高二期末）1x =-是1x =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（2020·三亚华侨学校高一月考）命题1:3x p y =-⎧⎨=⎩，命题:2q x y +=；则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019·山东济宁高一月考）设x ∈R ，则“05x <<”是“1213x <+<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2020·安徽省六安中学高二期中（文））设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020·上海高一课时练习）设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2019·清华附中上庄学校高一期中）已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020·浙江高一课时练习）设a ∈R ，则a >4的一个必要不充分条件是（ ） A ．a >1B ．a <1C ．a >5D ．a <59．（2020·辽宁沈阳高一期末）“x y =”是“x y =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．（2020·全国高一课时练习）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分必要条件二、多选题11．（2019·全国高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．“AB B =”是“B =∅”的必要不充分条件B ．“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D ．“1x =”是“1x =”的充分条件12．（2020·浙江高一单元测试）下列不等式中可以作为21x <的一个充分不必要条件的有（ ） A ．1x <B ．01x <<C ．10x -<<D ．11x -<<13．（2019·山东中区济南外国语学校高一期中）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件14．（2019·山东省淄博第七中学高一月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是（ ） A ．AB A =B ．U UC A C B ⊇ C ．U C B A φ⋂=D ．U C A B φ⋂=三、填空题15．（2020·全国高一）“0x >”是“1x >”成立的________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种）16．（2020·全国高一）设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的_____．17．（2020·全国高一）已知集合{}12A x x =-<<，{}11B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______.18．（2020·上海）“0x >”的一个充分非必要条件可以为________；一个必要非充分条件可以为________. 19．（2019·全国）（1）“2230x x --=”的______条件是“3x =”； （2）“0a =”的______条件是“0ab =”．20．（2020·全国）从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.（1）“210x -=”是“||10x -=”的______；（2）“5x <”是“3x <”的_______.21．（2018·浙江镇海中学高二期末）设条件():0p x m m ≤>，:14q x -≤≤，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为____，若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为____. 四、解答题22．（2020·上海高一课时练习）试判断“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的什么条件.23．（2020·上海高一课时练习）设A 是B 的充分非必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要非充分条件，则D 是A 的什么条件？24．（2020·全国高一课时练习）设U 为全集，,A B 是集合，判断“存在集合C ，使得,UA CBC ⊆⊆”是“AB =∅”的什么条件？25．（2020·全国高一）设集合{}2|320A x x x =-+=，{}|1B x ax ==，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合.26．（2020·全国高一单元测试）已知集合2{}2|A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥． （1）当3a =时，求AB ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．27．（2020·全国高一）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．1.4充分条件、必要条件1. 充分条件；2.必要条件；3. 充分条件与必要条件的应用；4. 充要条件的判断；5. 充要条件的证明；6. 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围；7. 充要条件的探求1．（2019·全国高一课时练习）“0x ≠”是“0x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】0x ≠时0x >或0x <，所以“0x ≠”是“0x >”的必要而不充分条件，选B.2．（2020·天津市蓟州区擂鼓台中学高二期末）1x =-是1x =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】若1x =-，则1x =，故“1x =-”是“1x =”的充分条件.若1x =，则1x =±，推不出1x =-，故“1x =-”是“1x =”的不必要条件. 故“1x =-”是“1x =”的充分不必要条件. 故选：A.3．（2020·三亚华侨学校高一月考）命题1:3x p y =-⎧⎨=⎩，命题:2q x y +=；则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 因为13x y =-⎧⎨=⎩，所以2x y +=，所以p 是q 的充分条件；因为当2x y +=时， x 可能为1，y 也可能为1，不一定有13x y =-⎧⎨=⎩，所以p 不是q 的必要条件， 所以p 是q 的充分不必要条件，4．（2019·山东济宁高一月考）设x ∈R ，则“05x <<”是“1213x <+<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由1213x <+<解得01x <<，所以“05x <<”是“01x <<”的必要不充分条件. 故选B.5．（2020·安徽省六安中学高二期中（文））设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵:3p x <，:13q x -<<∴q p ⇒，但，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 6．（2020·上海高一课时练习）设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为N ⊆M.所以“a ∈M”是“a ∈N”的必要而不充分条件．故选B ．7．（2019·清华附中上庄学校高一期中）已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】{|1}x x >{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选：B. 点睛：p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ： p 是q 的充分不必要条件则有：A B ；p 是q 的必要不充分条件则有：BA .8．（2020·浙江高一课时练习）设a ∈R ，则a >4的一个必要不充分条件是（ ） A ．a >1 B ．a <1C ．a >5D ．a <5【答案】A 【解析】由题意，当a >4时，a >1是成立，当a >1成立时，a >4不一定成立，所以a >4是a >1的必要不充分条件，故选A.9．（2020·辽宁沈阳高一期末）“x y =”是“x y =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 因x y=x y =但x y =⇒x y =．10．（2020·全国高一课时练习）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分必要条件【答案】A 【解析】方程20x x m ++=有解，则11404m m ∆=-≥⇒≤．14m <是14m ≤的充分不必要条件．故A 正确． 二、多选题11．（2019·全国高一课时练习）下列说法中正确的是（ ） A ．“AB B =”是“B =∅”的必要不充分条件B ．“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D ．“1x =”是“1x =”的充分条件【答案】ABC 【解析】 由AB B =得B A ⊆，所以“B =∅”可推出“A B B =”，反之不成立，A 选项正确；解方程2230x x --=，得1x =-或3x =，所以，“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”，B 选项正确；“m 是有理数”可以推出“m 是实数”，反之不一定成立，C 选项正确； 解方程1x =，得1x =±，则“1x =”是“1x =”必要条件，D 选项错误. 故选：ABC ．12．（2020·浙江高一单元测试）下列不等式中可以作为21x <的一个充分不必要条件的有（ ） A ．1x < B ．01x <<C ．10x -<<D ．11x -<<【答案】BC 【解析】解不等式21x <，可得11x -<<，{}11x x -<< {}1x x <，{}11x x -<< {}01x x <<，{}11x x -<< {}10x x -<<，因此，使得21x <的成立一个充分不必要条件的有：01x <<，10x -<<. 故选：BC.13．（2019·山东中区济南外国语学校高一期中）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】CD 【解析】对于A ，因为“a b =”时ac bc =成立，ac bc =，0c时，a b =不一定成立，所以“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 错，对于B ，1a =-，2b =-，a b >时，22a b <；2a =-，1b =，22a b >时，a b <，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故B 错，对于C ，因为“3a <”时一定有“5a <”成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，C 正确；对于D“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，D 正确. 故选：CD14．（2019·山东省淄博第七中学高一月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是（ ）A ．AB A =B ．U UC A C B ⊇ C ．U C B A φ⋂=D ．U C A B φ⋂=【答案】ABC 【解析】由 A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ．由 A ⊆B 可得A ∩B ＝A ，故A ∩B ＝A 是命题A ⊆B 的充要条件，故A 满足条件． 由U U C A C B ⊇可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得U U C A C B ⊇，故U U C A C B ⊇ 是命题A ⊆B 的充要条件，故 B 满足条件．由U C B A φ⋂=，可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得U C B A φ⋂=，故U C B A φ⋂= 是命题A ⊆B 的充要条件，故C 满足条件．由U C A B φ⋂=，可得B ⊆A ，不能推出A ⊆B ，故④U C A B φ⋂=不是命题A ⊆B 的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ． 三、填空题15．（2020·全国高一）“0x >”是“1x >”成立的________条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种） 【答案】必要不充分. 【解析】由1x >，一定有0x >；反之，当0x >时，不一定有1x >； 所以，“0x >”是“1x >”成立的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分.16．（2020·全国高一）设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的_____． 【答案】充要 【解析】由题意知，r q ⇒，q s ⇔，s t ⇒，t r ⇒，所以r t ⇔． 故答案为：充要17．（2020·全国高一）已知集合{}12A x x =-<<，{}11B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞ 【解析】由x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件, 得：AB ,即1112m m +>-⎧⎨+>⎩,即1m ,故答案为：()1,+∞.18．（2020·上海）“0x >”的一个充分非必要条件可以为________；一个必要非充分条件可以为________. 【答案】2x =（答案不唯一） 1x >-（答案不唯一） 【解析】“0x >”的充分非必要条件可以为2x =；一个必要非充分条件可以为1x >-； 故答案为：2x =（答案不唯一）；1x >-（答案不唯一） 19．（2019·全国）（1）“2230x x --=”的______条件是“3x =”； （2）“0a =”的______条件是“0ab =”． 【答案】充分非必要 必要非充分 【解析】（1）当“2230x x --=”时，3x =或1x =-，故不能推出“3x =”；当“3x =”时，“2230x x --=”.故“2230x x --=”的充分非必要条件是“3x =”.（2）当“0a =”时，“0ab =”；当“0ab =”时，可能0,0a b ≠=，故不能推出“0a =”.故“0a =”的必要不充分条件是“0ab =”.故填：（1）充分非必要；（2）必要非充分.20．（2020·全国）从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.（1）“210x -=”是“||10x -=”的______；（2）“5x <”是“3x <”的_______. 【答案】充要条件 必要不充分条件 【解析】（1）设{}2|10{1,1}A x x =-==-，{|||10}{1,1}B x x =-==-，所以A B =，即“210x -=”是“||10x -=”的充要条件.（2）因为由“5x <”不能推出“3x <”；由“3x <”能推出“5x <”； 所以“5x <”是“3x <”的必要不充分条件. 故答案为：(1)充要条件;(2)必要不充分条件.21．（2018·浙江镇海中学高二期末）设条件():0p x m m ≤>，:14q x -≤≤，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为____，若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为____. 【答案】1 4 【解析】由()0x m m ≤>得：m x m -≤≤p 是q 的充分条件 14m m -≥-⎧⇒⎨≤⎩01m ⇒<≤m ∴的最大值为1 p 是q 的必要条件 14m m -≤-⎧⇒⎨≥⎩4m ⇒≥m ∴的最小值为4四、解答题22．（2020·上海高一课时练习）试判断“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的什么条件. 【答案】必要非充分条件 【解析】当10x -=时，有(1)(3)0x x --=，可知10(1)(3)0x x x -=⇒--=； 当(1)(3)0x x --≠时，一定有10x -≠，故(1)(3)010x x x --≠⇒-≠， 即“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的必要条件.又当10x -≠时，取3x =，可得(1)(3)0x x --=.所以10(1)(3)0x x x -≠--≠.因此，“10x -≠”是“(1)(3)0x x --≠”的必要非充分条件.23．（2020·上海高一课时练习）设A 是B 的充分非必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要非充分条件，则D 是A 的什么条件？ 【答案】必要非充分条件【解析】因为D 是C 的必要非充分条件，所以C D ⇒，D C ⇒/.又因为B 是C 的充要条件即B C ⇔，∴B D ⇒，D B ⇒/.所以D 是B 的必要非充分条件.又因为A 是B 的充分非必要条件即A B ⇒，B A ⇒/，∴A D ⇒.假设D A ⇒，则D A B C ⇒⇒⇒，与D C ⇒/矛盾，∴D A ⇒/.所以D 是A 的必要非充分条件.24．（2020·全国高一课时练习）设U 为全集，,A B 是集合，判断“存在集合C ，使得,U A C B C ⊆⊆”是“A B =∅”的什么条件？【答案】充要条件.【解析】作图如下:令p ：存在集合C ，使,U A C B C ⊆⊆，:q A B ⋂=∅. 由图可知，p q ⇒，反之亦成立，所以“存在集合C ，使,U A C B C ⊆⊆”是“A B =∅”的充要条件.25．（2020·全国高一）设集合{}2|320A x x x =-+=，{}|1B x ax ==，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合. 【答案】10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵{}{}2|3201,2A x x x =-+==， 由于“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件.∴B A .当B =∅时，得0a =；当B ≠∅时，由题意得{}1B =或{}2B =.当{}1B =时，得1a =；当{}2B =时，得12a =.综上所述，实数a 组成的集合是10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭.26．（2020·全国高一单元测试）已知集合2{}2|A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或4}x ≥． （1）当3a =时，求A B ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）01a <<【解析】（1）∵当3a =时，15{|}A x x =-≤≤，{|1B x x =≤或4}x ≥，∴{|11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）∵{|1B x x =≤或4}x ≥，∴{|14}R B x x =<<，由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件得A 是R B 的真子集，且A ≠∅，又{|22}(0)A x a x a a =-≤≤+>，∴21,24,a a ->⎧⎨+<⎩，∴01a <<．27．（2020·全国高一）已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-．【答案】见解析【解析】（1）证明必要性：因为1a b +=，所以10a b +-=．所以()()()33222222a b ab a b a b a ab b a ab b ++--=+-+--+()()221a b a ab b =+--+0=．（2）证明充分性：因为33220a b ab a b ++--=，即()()2210a b a ab b +--+=，又0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠． 因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以10a b +-=，即1a b +=．综上可得当0ab ≠时，1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=．。

高考数学充分条件、必要条件与命题的四种形式2021高考各科复习资料2021年高三开学差不多有一段时刻了，高三的同学们是不是差不多投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大伙儿系列预备了2021年高考复习，2021年高考一轮复习，2021年高考二轮复习，2021年高考三轮复习都将连续系统的为大伙儿推出。

一、选择题1.(2021·高考江西卷)关于实数a，b，c，“ab”是“ac2bc 2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.ab ac2bc2，缘故是c可能为0，而若ac2bc 2，则能够推出ab，故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件，故选B.2.(2 011·高考福建卷)若a∈R，则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：选A.由a=2能得到(a-1)(a-2)=0，但由(a -1)(a-2)=0得到a=1或a =2，而不是a=2，因此a=2是(a-1)·(a-2)=0的充分而不必要条件.3.设全集U={x∈N*|x≤a}，集合P={1,2,3}，Q={4,5,6}，则“a∈[6,7)”是“?UP=Q”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.若a∈[6,7)，则U={1,2,3,4,5,6}，则?UP=Q;若?UP=Q，则U ={1,2,3,4,5,6}，结合数轴可得6≤a7，故选C.4.(2021·高考天津卷)设集合A={x∈R|x-20}，B={x∈R|x0}，C={x∈R |x(x-2)0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.A={x|x-20 }={x|x2}=(2，+∞)，B={x|x0}=(-∞，0)，∴A∪B=(-∞，0)∪(2，+∞)，C={x|x(x-2)0}={x|x0或x2}=(-∞，0)∪(2，+∞)，A∪B=C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

专题训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件基础过关一、选择题1．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c2．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )A ．ac 2>bc 2B ．a b >1C ．a －c >b －cD ．a 2>b 24．若命题p 的否命题是命题q 的逆否命题，则命题p 是命题q 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题 5．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2020·皖南八校联考)“1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >18．在等比数列{a n }中，“a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2＝±1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]10．(2020·南昌市第一次模拟)已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 B ．(0,1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，＋∞ D ．[2，＋∞)二、填空题11．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为________。

课时分层作业(二) 充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下面四个条件中，使“a >b ”成立的充分条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a ＋1>bA [“p 的充分条件是q ”即“q 是p 的充分条件”，亦即“q ⇒p ”．因为a >b ＋1⇒a >b ，故选A.]2．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1A [由f (x )＝x 2＋mx ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋1－m 24，∴f (x )的图像的对称轴为x ＝－m 2，由题意：－m2＝1，∴m ＝－2.]3．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a >0的解集是R ，q ：－1<a <－12，则p 是q 的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．不能确定B [p 所对应的集合为A ＝{a |－1<a <0}，q 所对应的集合为B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－1<a <－12， ∴B ⊆A ，∴q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．]4．设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [|x －2|<1⇔1<x <3，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2. 由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的充分而不必要条件．] 5．有下述说法：①a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充要条件；②a ＞b ＞0是1a ＜1b的充要条件；③a ＞b ＞0是a 3＞b 3的充要条件．其中正确的说法有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个A [a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2，a 2＞b 2⇒|a |＞|b |⇒/a ＞b ＞0，故①错． a ＞b ＞0⇒1a ＜1b ，但1a ＜1b ⇒/a ＞b ＞0，故②错．a ＞b ＞0⇒a 3＞b 3，但a 3＞b 3⇒/a ＞b ＞0，故③错．]二、填空题 6．“cos α＝－32”是“α＝56π”的________条件． [解析] α＝56π时，cos α＝－32，反之不一定成立，故应是必要不充分条件．[答案] 必要不充分7．若“p ：x >a ”是“q ：x >1或x <－3”的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． [解析] p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且qp .设A ＝{}x |x >a ，B ＝{}x |x >1或x <－3，则A ⊆B ，但B A .如数轴所示，易知a ≥1.[答案] [1，＋∞)8．直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1垂直的充要条件是________． [解析] l 1⊥l 2，则2×3＋m ×(－1)＝0，即m ＝6. [答案] m ＝6 三、解答题9．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] 由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1， 由x 2－5x －24<0，得－3<x <8， ∵N 是M 的必要条件， ∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，∴－2≤a ≤7.即a 的取值范围是[－2,7]．10．已知p ：ab ≠0，a ＋b ＝1；q ：ab ≠0，a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.求证：p 是q 的充要条件．[证明] ①先证充分性成立． ∵ab ≠0，a ＋b ＝1， ∴b ＝1－a .∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0. ②再证必要性成立． ∵ab ≠0， ∴a ≠0且b ≠0.∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0. ∴(a 2－ab ＋b 2)·(a ＋b －1)＝0. ∵a 2－ab ＋b 2≠0， ∴a ＋b ＝1.由①②知，p 是q 的充要条件．[能力提升练]1．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x sin x <1知x sin 2 x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x <1sin x ，而1sin x>1，因此充分性不成立．] 2．若A ：log 2a <1，B ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A 是B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由log 2a <1，解得0<a <2；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零的充要条件是a －2<0，解得a <2.因为命题：“若0<a <2，则a <2”是真命题，而“若a <2，则0<a <2”是假命题，所以“0<a <2”是“a <2”的充分不必要条件，所以A 是B 的充分不必要条件，选A.]3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则“f (x )－f (－x )x<0”是“2x>4”成立的________条件． [解析] ∵f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，∴f (x )－f (－x )＝2f (x )，∴f (x )－f (－x )x <0即f (x )x<0，又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，∴x ∈(2，＋∞)，又∵f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，∴x ∈(2，＋∞)∪(－∞，－2)，因为2x>4⇔x >2，所以前者是后者的必要不充分条件．[答案] 必要不充分4．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．[解析] 如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2>0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2M＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝Na 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. [答案] 既不充分也不必要5．已知条件p ：|x －1|>a 和条件q ：2x 2－3x ＋1>0，求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .[解] 依题意得a >0.由条件p ：|x －1|>a ， 得x －1<－a ，或x －1>a ，∴x <1－a ，或x >1＋a . 由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1.要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12.令a ＝1，则p ：x <0，或x >2， 此时必有x <12，或x >1.即p⇒q，反之不成立．∴最小正整数a为1.。