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湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日目录实验一 初等模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验二 优化模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验三 微分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验四 稳定性模型.................................................................... 错误！未定义书签。
实验五 差分方程模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验六 离散模型........................................................................ 错误！未定义书签。
实验七 数据处理........................................................................ 错误！未定义书签。
实验八 回归分析模型................................................................ 错误！未定义书签。
实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
数学建模实验报告实验一计算课本251页A矩阵的最大特征根和最大特征向量1 实验目的通过Wolfram Mathematica软件计算下列A矩阵的最大特征根和最大特征向量。
2 实验过程本实验运用了Wolfram Mathematica软件计算，计算的代码如下：3 实验结果分析从代码的运行结果，可以得到最大特征根为5.07293，最大特征向量为{{0.262281},{0.474395},{0.0544921},{0.0985336},{0.110298}},实验结果与标准答案符合。
实验二求解食饵-捕食者模型方程的数值解1实验目的通过Wolfram Mathematica或MATLAB软件求解下列习题。
一个生物系统中有食饵和捕食者两种种群，设食饵的数量为x（t），捕食者为y（t），它们满足的方程组为x’(t)=(r-ay)x,y’(t)=-(d-bx)y,称该系统为食饵-捕食者模型。
当r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02时，求满足初始条件x（0）=25，y（0）=2的方程的数值解。
2 实验过程实验的代码如下Wolfram Mathematica源代码：Clear[x,y]sol=NDSolve[{x'[t] (1-0.1y[t])x[t],y'[t] 0.02x[t]y[t]-0.5y[t],x[0 ] 25,y[0] 2},{x[t],y[t]},{t,0,100}]x[t_]=x[t]/.soly[t_]=y[t]/.solg1=Plot[x[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotRange->{0,11 0}]g2=Plot[y[t],{t,0,20},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],PlotRange->{0,40 }]g3=Plot[{x[t],y[t]},{t,0,20},PlotStyle→{RGBColor[1,0,0],RGBColor[ 0,1,0]},PlotRange->{0,110}]matlab源代码function [ t,x ]=fts=0:0.1:15;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);Endfunction xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=[(r-a*x(2))*x(1);-(d-b*x(1))*x(2)]; end>> [ t,x ]=fplot(t,x);grid;gtext('x(t)');gtext('y(t)');plot(x(:,1),x(:,2));grid;3 实验结果Wolfram Mathematica实验函数图像X’(t)图像如下：y’(t)的图像如下：X’(t)和y’(t)在图一坐标系的曲线图如下：Matlab计算的函数图像X’(t)和y’(t)在图一坐标系的曲线图如下：051015对应的相轨迹曲线如下:0102030405060708090100051015202530。
《数学建模实验》实验报告学院名称数学与信息学院专业名称提交日期课程教师实验一：数学规划模型AMPL求解实验内容1. 用AMPL求解下列问题并作灵敏度分析:一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。
（1）建立模型文件：milk.modset Products ordered;param Time{i in Products }>0;param Quan{i in Products}>0;param Profit{i in Products}>0;var x{i in Products}>=0;maximize profit: sum{i in Products} Profit [i]* Quan [i]*x[i];subject to raw: sum{i in Products}x[i] <=50;subject to time:sum{i in Products}Time[i]*x[i]<=480;subject to capacity: Quan[first(Products)]*x[first(Products)]<=100;（2）建立数据文件milk.datset Products:=A1 A2;param Time:=A1 12 A2 8;param Quan:=A1 3 A2 4;param Profit:=A1 24 A2 16;(3) 建立批处理文件milk.runmodel milk.mod;data milk.dat;option solver cplex;solve;display x;(4)运行运行结果：CPLEX 11.0.0: optimal solution; objective 33602 dual simplex iterations (1 in phase I)x [*] :=A1 20A2 30;（5）灵敏度分析：model milk.mod;data milk.dat;option solver cplex;option cplex_options 'sensitivity';solve;display x;display x.rc, x.down, x.up;display raw, time, capacity;display raw.down, raw.up,raw.current, raw.slack;得到结果：【灵敏度分析】: x.rc x.down x.up:=A1 -3.55271e-15 64 96A2 0 48 72;raw = 48time = 2capacity = 0raw.down = 43.3333raw.up = 60raw.current = 50raw.slack = 0某公司有6个建筑工地，位置坐标为(a i, b i)(单位：公里),水泥日用量d i (单位：吨）1) 现有j j j吨，制定每天的供应计划，即从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
数学建模实验报告一、实验目的1.通过具体的题目实例, 使学生理解数学建模的基本思想和方法, 掌握数学建模分析和解决的基本过程。
2、培养学生主动探索、努力进取的的学风, 增强学生的应用意识和创新能力, 为今后从事科研工作打下初步的基础。
二、实验题目（一）题目一1.题目: 电梯问题有r个人在一楼进入电梯, 楼上有n层。
设每个乘客在任何一层楼出电梯的概率相同, 试建立一个概率模型, 求直到电梯中的乘客下完时, 电梯需停次数的数学期望。
2.问题分析（1）由于每位乘客在任何一层楼出电梯的概率相同, 且各种可能的情况众多且复杂, 难于推导。
所以选择采用计算机模拟的方法, 求得近似结果。
（2）通过增加试验次数, 使近似解越来越接近真实情况。
3.模型建立建立一个n*r的二维随机矩阵, 该矩阵每列元素中只有一个为1, 其余都为0, 这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每个乘客只会在某一层下, 故没列只有一个1）。
而每行中1的个数代表在该楼层下的乘客的人数。
再建立一个有n个元素的一位数组, 数组中只有0和1,其中1代表该层有人下, 0代表该层没人下。
例如:给定n=8;r=6（楼8层, 乘了6个人）,则建立的二维随机矩阵及与之相关的应建立的一维数组为：m =0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0c = 1 1 0 1 0 1 1 14.解决方法（MATLAB程序代码）:n=10;r=10;d=1000;a=0;for l=1:dm=full(sparse(randint(1,r,[1,n]),1:r,1,n,r));c=zeros(n,1);for i=1:nfor j=1:rif m(i,j)==1c(j)=1;break;endcontinue;endends=0;for x=1:nif c(x)==1s=s+1;endcontinue;enda=a+s;enda/d5.实验结果ans = 6.5150 那么, 当楼高11层, 乘坐10人时, 电梯需停次数的数学期望为6.5150。
数学建模第一次实验报告问题描述：2.某动物从食物中每天得到2500卡（1卡=4.18焦）的热量，其中1200卡用于基本的新陈代谢，每天每kg的体重要再消耗16卡，假如它每增加1kg体重需要10000卡的热量，问该动物体重将怎样变化？解：设动物体重为m。
令动物每日消耗热量等于获取的热量，可求得最大体重。
此时，2500=1200+16mm=81.25kg根据生物学知识可知，没有动物的出生时的体重会大于成年后的体重，即m≤81.25kg。
又设每天体重的变化量为dm，2500=1200+16m+10000dm/dtt=625In（16m-1300）m=1/16*（e^(t/625)+1300）3.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的两只球队中的胜者及轮空着进入下一轮，直至比赛结束，问共需进行多少场比赛？解：各球队的胜负对比赛场次无影响，忽略。
将其拆解为一轮一轮的比赛分析：第一轮：37÷2=18……1——>19第二轮：19÷2=9 ……1——>10第三轮：10÷2=5 ——>5第四轮： 5÷2=2 ……1——>3第五轮： 3÷2=1 ……1——>2第六轮： 2÷2=1 ——>1所以，一共进行六轮比赛，其场数为：18+9+5+2+1+1=36（场）答：一共36场比赛。
4.1条河宽1km，两岸各有一个城镇A与B，A与B的直线距离为4km。
今需铺设一条电缆连接A与B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸为平行的直线，问应该如何架设电缆方可以使总建设费用最少？AB D C如图，设C 点。
易知A-D-B 为铺设路线，设AD 长为a ，BD 长为b ，总花费为m 。
其中1<a<4,0<b<15所以，m=4a+2b (1)（15-b ）2+12=a 2 (2)所以， m=4215216b b +-+2b 求得m 最小值即可。
数学建模作业1——火箭上升问题的模型建立题目：火箭上升问题的模型建立组员：摘要本文研究的是火箭上升问题，并针对有燃料和燃料已用尽两个问题分别建立了符合实际的数学模型。
在模型的求解过程中，通过运用MATLAB及微分方程，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。
关键字：火箭上升；数学模型；微分方程一、问题重述小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。
火箭竖直向上发射时燃料以15千克每秒的速度燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力。
当燃料用尽时引擎关闭。
设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米），重力加速度取10米/秒 2（1）建立火箭升空过程的数学模型；（2）求引擎关闭瞬间火箭到达最高点的时间和高度。
二、基本假设1.火箭在喷气推动下作直线运动，火箭飞行时所受的地球自传与公转忽略不计。
2.火箭正常飞行，忽略其他因素对火箭飞行的影响。
3.假设产生影响的各个因素相互独立。
4.火箭上升初速度忽略不计，引擎足够强大。
5.火箭上升时所受到的重力加速度不变。
三、符号说明t ：火箭上升过程的时间。
0t ：第一个过程持续的时间。
M ：第一阶段向上加速过程中火箭的质量。
m ：第二阶段火箭剩余的质量。
f ：火箭上升整个过程中空气阻力。
v ：火箭的速度。
y ：火箭上升的高度。
g ：物体所受重力加速度。
F ：火箭受到的恒定推力。
四、问题分析这是一个研究火箭竖直向上发射的问题。
火箭在竖直向上发射中，根据有燃料和燃料已用尽，可以分为两个阶段。
第一阶段是燃料产生推力的过程，第二阶段是燃料全部消耗之后的上升过程。
在第一阶段中，燃料燃烧产生的推力是恒定的，但随着燃料的不断消耗，火箭的质量是变化的，因此，火箭的速度以及加速度是变化的，由牛顿第二定律，根据速度与时间关系，建立微分方程组。
在第二阶段中，燃料已经完全消耗，因此，火箭的质量恒定。
引擎关闭即第一阶段终止第二阶段开始的时刻。
由于火箭运动受到阻力的作用，火箭先加速，后减速。
《数学建模》实验指导书实验一：matlab 的使用学时：4学时实验目的：掌握Matlab 的基本操作和简单编程。
实验内容：一、根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（Logistic 模型）中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
表1 美国人口统计数据提示：指数增长模型：rte x t x 0)(= ，Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，可参考拟合函数：a=lsqcurvefit('example_curvefit_fun',a0,x,y);二、f(x)的定义如下：2226,04()56,010,231,x x x x f x x x x x x x x ⎧+-<≠-⎪=-+≤<≠≠⎨⎪--⎩且且其它写一个函数文件f(x)实现该函数，要求参数x 可以是向量。
并计算f(-4),f(2),f(3),f(4).三、求解书上P138，P139页的微分方程和微分方程组，画出书中图3、4、5、6、7、8。
提示：要求解微分方程（组）dy/dt=f(t,y)，可如下调用：[T,Y]=ode45(f,[t0,tn],y0)1. 函数在求解区间[t0,tn]内，自动设立采样点向量T ，并求出解函数y 在采样点T 处的样本值Y 。
2. f 是一个函数，要有两个参数，第一个参数是自变量t ，第二个参数是因变量y 。
3. y0=y(t0)给定方程的初值。
例：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x ，y(1)=2在[1，3]区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。
先建立一个该函数的m 文件fxy1.m ： function f=f(x,y)f=-2.*y./x+4*x %注意使用点运算符 再输入命令：[X,Y]=ode45('fxy1',[1,3],2);X' %显示自变量的一组采样点Y' %显示求解函数与采样点对应的一组数值解 (X.^2+1./X.^2)' %显示求解函数与采样点对应的一组解析解例: 求解常微分方程组初值问题在区间[0,2]中的解。
数学建模作业——实验1学院：软件学院姓名：学号：班级：软件工程2015级 GCT班邮箱：电话：日期：2016年5月10日基本实验1.椅子放平问题依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。
答：能放平，证明如下：如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，则一定存在α’∈（0，π），使得f(α’)=g(α’)=0令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则f(π)=0，g(π)＞0定义h(α)=f(α)-g(α)，得到h(0)=f(0)-g(0)＞0h(π)=f(π)-g(π)＜0根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。
2. 过河问题依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。
答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。
1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。
安全状态集合为 :S = 1，1，1，1 ,D =(0，0，0，0)S = 1，1，1，0 ,D =(0，0，0，1)S = 1，1，0，1 ,D = 0，0，1，0 S = 1，0，1，1 ,D = 0，1，0，0 S = 1，0，1，0 ,D = 1，0，1，0 S = 0，1，0，1 ,D = 0，1，0，1 S = 0，1，0，0 ,D = 1，0，1，1 S = 0，0，1，0 ,D = 1，1，0，1 S = 0，0，0，1 ,D = 1，1，1，0 S = 0，0，0，0 ,D =(1，1，1，1)乘船方案，记作()4321,,,u u u u U =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=U因为乘船k 为奇数时船从此案驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k U 变化的规律为()kU k k s k s 11-+=+， 设计安全过河方案归结为求决策,,,,21U U U U n ∈ ，使状态S s k ∈按转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经有限步n 到达状态()0,0,0,01=+n s 。
根据题设条件:影响安全渡河的元素是猫、鸡、米，这3个元素中取2个元素的组合一共有C 32=3种，分别为猫+鸡，猫+米，鸡+米。
其中“猫+鸡”和“鸡+米”组合不安全，而“猫+米”的组合是安全的。
第一次渡河需带3个元素中的1个元素，另外2个元素留在岸上，而留在岸上的3种组合中只有“猫+米”的组合是安全的，可见第一次渡河只能带鸡，即安全方案只有U=(1，0，1，0)，第二次将米或者猫带到对岸，把鸡带回，第三次将猫或者米带到对岸，第四次将鸡带过河，至此，猫、鸡、米均安全过河。
具体有2种执行方案如下：上述方案直观表示如下：3.购房贷款问题（续）在1.2.3节“购房贷款”的问题中，我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式。
现进一步讨论此问题。
某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户（利率仍按06%/月计算），他们帮你提前3年还清贷款。
但条件如下：（1）每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；（2）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
答：设每月还款额为x，利率r,贷款额A0，总还款月数为N，总还款额为X。
若贷款20万，20年期，则：x=A0r(1+r)N1+r N−1=200000×0.006(1+0.006)2401+0.006240−1=1574.7元X=x×N=1574.7×240=377928元若请这家借贷公司还款，则还款总额X1=x(N-3×12)+10%A0=1574.7×204+20000=341238.8元但小王夫妇预付给借贷公司20000元的佣金，如果把这20000元作为首付，则小王夫妇只需贷款18万，则总还款额：X2=X(1-10%)=340135.2元还款月数：N2=X2÷x=340135.2÷1574.7=216月=18年X1＞X2，小王夫妇不需用借贷公司还款。
4.冷却定律按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0(T0<T)的环境中冷却的速度与温差T-T0成正比。
用此定律建立相应的微分方程模型。
如果空气的温度是20℃，且沸腾的水在20分钟内冷却到60℃，那么水温降低到30℃需要多长时间？答：首先，牛顿冷却定律为温度为T(t)的物体在温度T0的环境中冷却的速度与温度差 T(t)−T0成正比。
=k[T t−T0]，K为比例常数。
所以，得出微分方程dT（t)dt任意时刻t，物体的温度为T t=T0+Ce kt，C为常数根据已知条件，T0=20℃,记t=0时刻，初始水温T（0）=100℃，20分钟后水温T（20）=60℃。
则：T0=20+Ce k∗0=100T20=20+Ce k∗20=60求解函数得，k=-0.034657，C=80，即T t=20+80∗e−0.034657∗t当水温降低到30℃时，t=-ln（（30-20）÷80）÷0.034657=60分钟。
5.锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理由即可）（1）某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一山路下山，下午5时回到酒店。
该人比在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？答：题中人记作A，假定有另一个人B,第二天复制A第一天的上山过程（即任何时刻的足迹均相同），那么问题相当于A、B两人分别从一段路的两端同时出发，相向行走，同时到达另一端。
则A、B二人必然会在路途中相遇，相遇点即为A在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
也可用下图加以说明，两条曲线分别为上山和下山的曲线，两天都是同一时刻出发，同一时刻到达，无论曲线如何变化，总会有一个相交点，相交点即为为A在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
（2）甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，大约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻是如何安排的？答：由题意可知，搭乘乙站开往甲站的车概率是90%，搭乘甲站开往乙站的车概率是10%。
说明90%的时间等来的是乙站开往甲站的车，10%的时间等来的是甲站开往乙站的车，而发车时间间隔是10分钟，进而说明：10分钟内有9分钟等来的是乙站开往甲站的车，有1分钟等来的是甲站开往乙站的车。
因此可以得出结论：乙站开往甲站的车到站后1分钟，甲站开往乙站的车到站。
开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻可表示如下（H0为乙站开往甲站的首班车时刻）：H0乙甲H0+1甲乙H0+10 乙甲H0+11 甲乙H0+15 乙甲H0+16 甲乙…… ……（3）张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。
一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。
到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？答：张先生从火车站比往常早出发30分钟，早到家10分钟，则其步行路段用时比往常多了20分钟。
他妻子从家出发时间不变，早到家10分钟，则其少行驶了10分钟的路程，即张先生步行路段的往返路程，那么张先生步行路段的单程行车时间为5分钟。
张先生步行的时间应为比往常多用的时间和步行路段的单程行车时间之和，即25分钟。
（4）一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。
一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。
问小狗奔波了多少路程。
如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问他们到达学校时小狗在何处？答：由于他们到家的用时都是2÷4=0.5小时，所以小狗奔波的路程为6×0.5=3公里。
上学过程是放学过程的逆向过程，所以在他们到达学校时小狗的位置为放学时的起始位置，即男孩所在的学校。
加分实验（公平投票问题）某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果确定资助的额度。
许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比。
1.为了公平性，评委对本单位选手不给分；2.每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；3.评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、…以此类推。
4.评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。
本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其他选手没有类似情况，评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。
问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？答：令评审个数为n，根据评分规则，在一般情况下评委给出的评分分别为k1，k2，k3…k n,所以该选手的平均得分为K1=k1+k2+⋯+k nn =Sn n由于回避规则，甲的单位不得为甲评分，则甲的得分与一般选手有差别，应为K2=k1+k2+⋯+k n−1n−1=S n−k nn−1二者之差为K1−K2=S nn−S n−k nn−1=S n n−1−n(S n−k n)n(n−1)=nk n−S nn(n−1)由上式可知:只有当每个评委的打分均相等时，两者之差才恒等于0，其余情况则不恒等于0。
