数学建模作业——实验1
学院：软件学院
姓名：
学号：
班级：软件工程2015级 GCT班
邮箱：
电话：
日期：2016年5月10日
基本实验
1.椅子放平问题
依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。
答：能放平，证明如下：
如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，
则一定存在α’∈（0，π），使得
f(α’)=g(α’)=0
令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则
f(π)=0，g(π)＞0
定义h(α)=f(α)-g(α)，得到
h(0)=f(0)-g(0)＞0
h(π)=f(π)-g(π)＜0
根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0
结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到
f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。
2. 过河问题
依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。
答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 :
S = 1，1，1，1 ,D =(0，0，0，0)
S = 1，1，1，0 ,D =(0，0，0，1)S = 1，1，0，1 ,D = 0，0，1，0 S = 1，0，1，1 ,D = 0，1，0，0 S = 1，0，1，0 ,D = 1，0，1，0 S = 0，1，0，1 ,D = 0，1，0，1 S = 0，1，0，0 ,D = 1，0，1，1 S = 0，0，1，0 ,D = 1，1，0，1 S = 0，0，0，1 ,D = 1，1，1，0 S = 0，0，0，0 ,D =(1，1，1，1)
乘船方案，记作()4321,,,u u u u U =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为
()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=U
因为乘船k 为奇数时船从此案驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k U 变化的规律为
()k
U k k s k s 11-+=+， 设计安全过河方案归结为求决策,,,,21U U U U n ∈ ，使状态S s k ∈按转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经有限步n 到达状态()0,0,0,01=+n s 。
根据题设条件:影响安全渡河的元素是猫、鸡、米，这3个元素
中取2个元素的组合一共有C 32=3种，分别为猫+鸡，猫+米，鸡+米。
其中“猫+鸡”和“鸡+米”组合不安全，而“猫+米”的组合是安全的。第一次渡河需带3个元素中的1个元素，另外2个元素留在岸上，而留在岸上的3种组合中只有“猫+米”的组合是安全的，可见第一次渡河只能带鸡，即安全方案只有U=(1，0，1，0)，第二次将米或者猫带到对岸，把鸡带回，第三次将猫或者米带到对岸，第四次将鸡
带过河，至此，猫、鸡、米均安全过河。具体有2种执行方案如下：
上述方案直观表示如下：
3.购房贷款问题（续）
在1.2.3节“购房贷款”的问题中，我们讨论了小王夫妇借贷还贷的方式。现进一步讨论此问题。
某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户（利率仍按06%/月计算），他们帮你提前3年还清贷款。但条件如下：
（1）每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；
（2）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此，要预付给借贷
公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
答：设每月还款额为x，利率r,贷款额A0，总还款月数为N，总还款额为X。若贷款20万，20年期，则：
x=A0r(1+r)N
1+r N−1=200000×0.006(1+0.006)
240
1+0.006240−1
=1574.7元
X=x×N=1574.7×240=377928元
若请这家借贷公司还款，则
还款总额X1=x(N-3×12)+10%A0=1574.7×204+20000=341238.8元
但小王夫妇预付给借贷公司20000元的佣金，如果把这20000元作为首付，则小王夫妇只需贷款18万，则总还款额：
X2=X(1-10%)=340135.2元
还款月数：
N2=X2÷x=340135.2÷1574.7=216月=18年
X1＞X2，小王夫妇不需用借贷公司还款。
4.冷却定律
按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为T0(T0如果空气的温度是20℃，且沸腾的水在20分钟内冷却到60℃，那么水温降低到30℃需要多长时间？
答：首先，牛顿冷却定律为温度为T(t)的物体在温度T0的环境中冷却的速度与温度差 T(t)−T0成正比。
