最新苏教版高中数学必修4 章末过关检测卷(三) Word版含解析

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．sin 330°＝________.【解析】sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－1 2.【答案】－1 22．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________．【解析】据三角函数的定义，可知|OP|＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.【答案】－253．化简：cos 4－sin22＋2＝________.【解析】原式＝2cos22－1＋1＋cos22＝3cos22＝－3cos 2【答案】－3cos 24.⎝⎛⎭⎪⎫cosπ12－sinπ12⎝⎛⎭⎪⎫cosπ12＋sinπ12＝________.【解析】原式＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.【答案】325．已知a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则k＝________.【解析】∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)∴b＝(－1，k－1)又a⊥b，∴a·b＝－2＋(k－1)＝0，∴k＝3.【答案】 36．过点A(－2,1)，且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为________．【解析】 直线斜率为k ＝13，故直线方程为y －1＝13(x ＋2)，即x －3y ＋5＝0. 【答案】 x －3y ＋5＝07．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x≤π6的值域为________．【解析】 ∵0≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋π3≤2π3 ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，18.如图1，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)图1【解析】 ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a )． AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED → ＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b . 【答案】 34a －14b9．若b ＝(1,1)，且a·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________. 【解析】 由(a －b )2＝3，得a 2－2a·b ＋b 2＝3， 则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 【答案】510．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________．【解析】 由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得 π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋kπ，5π6＋kπ，k ∈Z11．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________．【解析】 由题意知，b －c ＝(－3,1－y )， a ＋c ＝(x ＋1，y －3)． 依题意，得错误!解得错误! ∴c ＝(1,2)，∴b·c ＝0，∴b ⊥c . 【答案】 90° 12．已知f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】 依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6＜T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω＜12，∴ω＝143. 【答案】 14313．如图2，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图2【解析】 分别延长OA ，OB 至OA ′，OB ′，连接CA ′，CB ′构成如图的平行四边形：注意到|OA →|＝|OB →|＝1，设|OA ′|＝λ， |OB ′|＝μ.则∠BOC ＝∠OCA ′＝90°，于是μ＝|OB ′|＝|A ′C |＝|OC |tan 30°＝2，λ＝|OA ′|＝|OC|cos 30°＝4，故λ＋μ＝6.【答案】 614．(2016·南通高一检测)已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin 2θ，∴sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2θ＝θ＋π4， ∴θ＝π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝12.【答案】 12二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知tan α＝12， 求错误!的值． 【解】 原式＝1＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝错误!＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1， 又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.16．(本小题满分14分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎨⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.17．(本小题满分14分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.18．(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α. (2)求f (x )的解析式．【解】 (1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin 错误!＝3sin 错误!，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x2，即f (x )＝x1＋2x2.19．(本小题满分16分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝kπ2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝kπ2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图3所示．图3(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．【解】 (1)由图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0，∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6. 又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3(k ∈Z )．(3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin xcos π4＋cos xsin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为__________． 解析：由a ·b ＝0，得3×2＋m ×(－1)＝0，∴m ＝6. 答案：62．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝__________. 解析：法一：∵a ∥b ，∴1·m ＝2×(－2)，即m ＝－4， ∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 法二：∵a ∥b ，∴存在实数λ，使a ＝λb ， ∴(1,2)＝λ(－2，m )，即(1,2)＝(－2λ，λm )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λm ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，m ＝－4， ∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝－b ＋3b ＝2b ＝(－4，－8)． 答案：(－4,8)3．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则|3a －b |＝__________. 解析：由|3a －b |2＝9a 2－6a ·b ＋b 2＝9×42－6×4×6×cos60°＋62＝108，可求得|3a －b |＝6 3.答案：6 34．在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝8，得cos A ＝12，所以A ＝60°，△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形．5．若A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )，且A ，B ，C 三点共线，则x ＝__________.解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线．所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →.又因为A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )，所以AB →＝(5,10)，AC →＝(6，x ＋2)，所以(5,10)＝k (6，x ＋2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧5＝6k ，10＝k (x ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝56，x ＝10. 答案：106．已知向量a ＝(6,2)与b ＝(－3，k )的夹角是钝角，则k 的取值范围是__________． 解析：因为a ，b 的夹角θ是钝角，所以－1＜cos θ＜0.又因为a ＝(6,2)，b ＝(－3，k )，所以cos θ＝a ·b|a ||b |＝k －9109＋k 2，即－1＜k －9109＋k 2＜0.解得k ＜9且k ≠－1.故所求k 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1,9)．答案：(－∞，－1)∪(－1,9)7．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝__________. 解析：设向量a 的坐标为 (m ，n )，则a ＋b ＝(m ＋2，n －1)，由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧ (m ＋2)2＋(n －1)2＝1，n －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝1.∴a ＝(－1,1)或(－3,1)． 答案：(－1,1)或(－3,1)8．如图，半圆O 中AB 为其直径，C 为半圆上任一点，点P 为AB 的中垂线上任一点，且|CA →|＝4，|CB →|＝3，则AB →·CP →＝__________.解析：AB →·CP →＝AB →·(CO →＋OP →)＝AB →·CO →＋AB →·OP →＝(CB →－CA →)·CO →＋AB →·OP →＝(CB →－CA →)·CA →＋CB →2＋0＝12(|CB →|2－|CA →|2)＝12(32－42)＝－72.答案：－729．给出下列命题：①若a 与b 为非零向量，且a ∥b 时，则a －b 必与a 或b 中之一的方向相同；②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ；③a ·a ·a ＝|a |3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线，其中假命题有__________．解析：①命题中a －b 有可能为0，其方向是任意的，故错；③命题中三个向量的数量积应为向量，故为假命题．答案：①②③④10．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝__________.解析：n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－5＝2. 答案：211．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________．解析：由于质点处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，所以|F 3|2＝F 23＝[－(F 1＋F 2)]2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝22＋42＋2×2×4×12＝4＋16＋8＝28，所以F 3＝27. 答案：2712．(2010年高考四川卷改编)设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于__________．解析：∵|BC →|2＝16，∴|BC →|＝4.又|AB →－AC →|＝|CB →|＝4，∴|AB →＋AC →|＝4.∵M 为BC 的中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝2.答案：213．(2010年高考辽宁卷改编)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于__________．解析：设a 、b 间的夹角为θ，则S △OAB ＝12|a ||b |·sin θ＝12|a ||b |·1－cos 2θ＝12|a ||b | 1－⎝⎛⎭⎫a ·b |a ||b |2 ＝12|a ||b |·|a |2|b |2－(a ·b )2|a |2|b |2 ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2. 答案：12|a |2|b |2－(a ·b )214．(2010年高考山东卷改编)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是__________．①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )； ④(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2.解析：若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，即①正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，且b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，即②不正确．对于③，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，即③正确．对于④，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，即④正确．故选②答案：②二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥ (a ＋b )且|d －c |＝1，求d .解：(1)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255，或⎩⎨⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝⎝⎛⎭⎪⎫20＋55，5＋255或d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20－55，5－255. 16．(本小题满分14分)AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →. (1)求x 与y 的关系式；(2)若有AC →⊥BD →，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积．解：(1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)，∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )．又BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)∵AC →＝AB →＋BC →＝(6,1)＋(x ，y )＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x ，y )＋(－2，－3)＝(x －2，y －3)， 且AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0. 又由(1)的结论x ＋2y ＝0，∴(6－2y )(－2y －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 化简得y 2－2y －3＝0， ∴y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6.于是有 BC →＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)． ∴|AC →|＝4，|BD →|＝8.∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.同理y ＝－1时，x ＝2.于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)． ∴|AC →|＝8，|BD →|＝4.∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， S 四边形ABCD ＝16.17．(本小题满分14分)如图所示，一艘小船从河岸A 处出发渡河，小船保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min 到达正对岸下游120 m 的C 处，如果小船保持原来的速度逆水向上游与岸成α角的方向行驶，则经过12.5 min 恰好到达正对岸B 处，求河的宽度d .解：由题意作出示意图．图1为船第一次运动速度合成图．图2为船第二次运动速度合成图．设河水流速为v 水，船速为v 船，由题意，得两次运动时间分别为t 1＝d |v 船|，t 2＝d|v 船|sin α.沿河岸方向有BC ＝|v 水|t 1；由第二次垂直河岸，有|v 船|cos α＝|v 水|.将t 1＝10 min ，t 2＝12.5 min ，BC ＝120 m 代入以上各式，解得d ＝200 m. 所以河的宽度为200 m.18．(本小题满分16分)已知a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)是否存在实数k ，使k a ＋b 与a －2b 垂直？解：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ＋b ＝－c ，所以|a ＋b |＝|c |，所以(a ＋b )2＝|c |2，即a 2＋2a ·b＋b 2＝c 2，所以a ·b ＝c 2－a 2－b 22＝152，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，所以θ＝60°.(2)若存在实数k ，使k a ＋b 与a －2b 垂直，则(k a ＋b )·(a －2b )＝k a 2－2b 2－2k a ·b ＋a ·b ＝－6k －852＝0，解得k ＝－8512.所以存在实数k 使得k a ＋b 与a －2b 垂直．19．(本小题满分16分)以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，若B ＝90°，求点B 和AB →的坐标．解：设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2. ∵B (x ，y )，A (5,2)， ∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2， ∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2， 即10x ＋4y ＝29.①又∵OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →＝0，又∵OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0，即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0.②由①②组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝29，x 2－5x ＋y 2－2y ＝0.解得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎨⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 20．(本小题满分16分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．解：法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0， ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2·cos θ.故当cos θ＝1即θ＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.法二：以A 为坐标原点，两直角边AB 、AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，如图． 设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设点P (x ，y )，则Q (－x ，－y )， ∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )， BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )． ∴BP →·CQ →＝(x －c )·(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by ＝－a 2＋cx －by .∵cos θ＝PQ →·BC →|PQ →|·|BC →|＝cx －bya 2，∴cx －by ＝a 2·cos θ， ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即θ＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。

章末过关检测卷(二)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·四川卷)向量＝(，)与向量＝(，)共线，则实数＝( )．．．．解析：因为∥，所以×－＝，解得＝.答案：．(＋)＋(＋)＋化简后等于( )解析：原式＝＋＋＋＋＝.答案：．(·课标全国Ⅱ卷)向量＝(，－)，＝(－，)，则(＋)·＝( )．－．．．解析：法一：因为＝(，－)，＝(－，)，所以＝，·＝－，从而(＋)·＝＋·＝－＝.法二：因为＝(，－)，＝(－，)，所以＋＝(，－)＋(－，)＝(，)．从而(＋)·＝(，)·(，－)＝.答案：．设点(－，)，(，)，(，－)，且＝－，则点的坐标为( )．(－，－)．(，)．(，)．(，)解析：设(，)，由题意可知＝(＋，－)，＝(，)，＝(，－)，所以－＝(，)－(，－)＝(，)．所以所以答案：．点在线段上，且＝，若＝λ，则λ等于( )．－．－解析：因＝＝(－)，所以＝－，即＝－＝λ.所以λ＝－.答案：．设非零向量，，满足＝＝，＋＝，则向量，的夹角为( )．°．°．°．°解析：设向量，夹角为θ，＝＋＝＋＋θ，则θ＝－.又θ∈[°，°]，所以θ＝°.答案：．(·陕西卷)对任意向量，，下列关系式中不恒成立的是( )．－≤－．·≤．(＋)·(－)＝－．(＋)＝＋解析：根据·＝θ，又θ≤，知·≤，恒成立．当向量和方向不相同时，－>－，不恒成立．根据＋＝＋·＋＝(＋)，恒成立. 根据向量的运算性质得(＋)·(－)＝－，恒成立．答案：．(·课标全国Ⅰ卷)设为△所在平面内一点，＝，则( )＝－＝－＋。

高中数学学习材料唐玲出品第三章 三角恒等变换（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

把答案填在题中横线上）1. 在△ABC 中，若cos B cos C-sin B sin C ≥0，则这个三角形一定不是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).2. 若△ABC 的内角A 满足sin 2A = ，则sin A+cos A = .3. = .4. 若函数y =f （x ）=sin x+ cos x+2，x ∈[0，2π），且关于x 的方程f （x ）=m 有两个不等实数根α，β，则sin （α+β）= .5. 已知：α-β=，tan α=3m ，tanβ=3-m，则m= .6. 已知函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x ，则 f （x ）的最小正周期为 . 7. 已知函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a的最大值为，且f()= ，则f(-)= . 8. 函数y =2sin x -cos 2x 的值域是 . 9. 设-＜α＜，- ＜β＜，tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根，则α+β的值为 . 10.2sin50sin80(1tan 60tan10)1sin100+++= .11. 已知f （cos x ）=cos 2x ，则f （sin x ）的表达式为 ．12. 函数y =lg （sin x+cos x ）的单调递减区间为 ．13.函数f (x )=cos x -cos 2x (x ∈R )的最大值等于 ．14. 若f （x ）是以5为周期的函数，f （3）=4，且cos α=，则f （4cos2α）= . 二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15. （12分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 sin x cos x ． （1）求函数f （x ）定义在[-，]上的值域．（2）在△ABC 中，若f （C ）=2，2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），求tan A 的值．16.(12分)已知0＜x ＜π2,化简:lg(cos x ·tan x+1- 2sin 22x )+lg[2cos(x-π4)-lg(1+sin 2x ).17. (12分) 已知向量 a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)，|a - b |= ． （1）求cos （α-β）的值；（2）若0＜α＜，＜β＜0，且sin β= ，求sin α．18. （12分）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，π2）．若x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2，证明12 [f （x 1）+ f （x 2）]＞f （122x x +）．19. （16分）已知α为第二象限的角，sin α=，β为第一象限的角，cos β=．求tan （2α-β）的值．20.(16分)已知-π2＜x＜0，sin x+cos x=15.（1）求sin x-cos x的值；（2）求223sin2sin cos cos22221tantanx x x xxx-++的值.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15．16.17.18.19.20.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答案一、填空题1.锐角解析：在△ABC中，若cos B cos C-sin B sin C≥0，则有cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A 为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．2.解析：由sin 2A=2sin A cos A＞0，可知A为锐角，所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．3. 解析：== =sin30°= ．4. 解析：函数y=f（x）=sin x+cos x+2=2（sin x+ cos x）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π）可得≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得2sin（x+）+2=m有两个不等实数根α，β，且这两个实数根关于直线x+=或直线x+=对称，故有ππ332αβ+++=，或ππ332αβ+++=，故α+β=或α+β=，故sin（α+β）= ．5. 解析：∵α-β=，∴tan（α-β）=tan = .又tan α=3m，tan β=3-m，∴tan （α-β）=tan tan 1tan tan αβαβ-+=33133m m m m---+ =（3m -3-m）， ∴（3m -3-m ）= ，即3m -3-m =，整理得：（3m）2-3m-1=0， 解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m =．6. π 解析：函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x =cos 2x cos -sin 2x sin =- sin 2x+， 所以函数f (x )的最小正周期是T ==π．7. 0或- 解析：∵函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a =a •1cos 22x+ -b •sin 2x-2a =2a •cos 2x-b •sin 2x ． 它的最大值为22a b +=，故有a 2+b 2=1． ①再由f ()= 可得-a- b =，即 a+b =- ②由①②解得3,0,21,1,2a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或 ∴f (- )= -a+ b =- ，或 f (- )= -a+ b =0． 8. [32-，3] 解析：由题意可得：y =2sin x-cos 2x =2sin 2x+2sin x-1=2(sin x+12)232-，又sin x ∈[-1，1]， 当sin x =-12时，函数f （x ）取到最小值为32-， 当sin x =1时，函数f （x ）取到最大值为3， 综上函数f （x ）的值域是[32-，3]． 9. 解析：∵tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根， ∴有tan α+tan β=3，① tan α•tan β=4，② ∴tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+- = =-.∵＜α＜，＜β＜，由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数， ∴0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∴α+β=.10. 2 解析：原式=sin102sin 50sin 80(1tan 60)cos101cos10++∙+=2sin 50(cos103sin10)2cos5++=2sin502sin 402cos5+=22sin 45cos52cos5⨯=2.11. f （sin x ）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x =2cos 2x-1， ∴f （cos x ）=cos 2x =2cos 2x-1．∴f （sin x ）=2sin 2x-1=-（1-2sin 2x ）=-cos 2x ． 故答案为f （sin x ）=-cos 2x ．12. [ +2k π， +2k π） 解析：由题意，令m =sin x+cos x = sin （x+）， 由m ＞0得，2k π＜x+ ＜π+2k π，解得- +2k π＜x ＜ +2k π， ∴函数的定义域是（ +2k π， +2k π）. 又∵y =lg x 在定义域内是增函数，∴原函数的单调递减区间是y=sin （x+ ）的递减区间， ∴ +2k π≤x+ ≤ +2k π，解得 +2k π≤x ≤+2k π， ∴所求的单调递减区间是[ +2k π，+2k π）．13. 34 解析： f （x ）=cos x-12cos2x =cos x-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+cos x+12=-(cos x-12)2+34， 所以f （x ）的最大值为34．14.4 解析：∵4cos2α=4（2cos 2α-1）=-2，∴ f （4cos2α）=f （-2）=f （-2+5）=f （3）=4．二、解答题15. 解：（1）f （x ）=1+cos 2x+ sin 2x =2sin （2x+）+1. ∵-≤x ≤, ∴- ≤2x+ ≤. ∴- ≤sin(2x+ )≤1.∴f （x ）∈[0，3]，即f （x ）的值域为[0，3].（2）由f （C ）=2得2sin （2C+ ）+1=2，∴sin （2C+ ）= ． ∵0＜C ＜π∴ ＜2C+ ＜. ∴2C+= ∴C = ∴A+B =．又∵2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），∴2sin B =2sin A sin C ， ∴2sin( -A )= sin A ，即 cos A+sin A = sin A ， ∴( -1)sin A = cos A ，∴tan A = =．16. 解：∵ 0<x <π2， ∴ 原式=lg(cos x ·sin cos xx+cos x )+lg(cos x+ sin x )-lg(1+sin 2x )=lg(sin x+cos x )+lg(cos x+sin x )-lg(1+sin 2x ) =lg(sin x+cos x )2-lg(1+sin 2x ) =lg(1+sin 2x )-lg(1+sin 2x )=0.17. 解：（1）∵ a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)， ∴ a - b =(cos α-cos β，sin α-sin β)．∵| a - b |= ， ∴22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+- = ，即2-2cos(α-β)= ，∴cos(α-β)= ．（2）∵0＜α＜ ， - ＜β＜0， ∴0＜α-β＜π. ∵cos(α-β)= ，∴sin(α-β)= ．∵sin β=- ，∴cos β= ， ∴sin α=sin[（α-β）+β] =sin （α-β）cos β+cos （α-β）sin β= × ×(- )= .18. 证明：tan x 1+tan x 2=11sin cos x x +22sin cos x x =121212sin cos cos sin cos cos x x x x x x + =1212sin()cos cos x x x x +=1212122sin()cos()cos()x x x x x x +++-.∵x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2， ∴2sin （x 1+x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1-x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1+x 2）+cos （x 1-x 2）＜1+cos （x 1+x 2）， 由此得tan x 1+tan x 2＞12122sin()1cos()x x x x +++，∴12（tan x 1+tan x 2）＞tan 122x x +，即12 [f （x 1）+f （x 2）]＞f （122x x +）． 19. 解：∵α为第二象限角，sin α=，∴cos α=- ，tan α=- ，tan2α=-又∵β为第一象限角，cos β=，∴sin β=，tan β=，∴tan （2α-β）=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+ ==.20.解：（1）由sin x+cos x=15，得 sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125，即2sin x cos x=-2425.∴ （sin x-cos x ）2=1-2sin x cos x =4925.又∵ -π2＜x ＜0，∴ sin x ＜0，cos x ＞0，sin x -cos x ＜0，故sin x-cos x=-75.（2）223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x -++=22sin sin 12sin cos cos sin x x x xx x-++=sin x cos x （2-cos x -sin x ）=（-1225）×（2-15）=-108125.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测（苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分150分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ．2．化简：sin 13cos 17sin 17cos 13︒︒+︒︒= ．3.已知(,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，则x = .4.已知tan 2α=，则sin 2cos cos sin αααα+-= ．5.若1sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 6.已知扇形的半径为8 cm ，圆心角为45°，则扇形的面积是 cm 2．7.已知4sin 5θ=，且cos(π)0θ->，则πcos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = ． 8.要得到2πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，需要将函数y = sin 2x 的图象 .9．若ππ0,022αβ<<<<，且72cos 10α=，tan β=34，则αβ+= ． 10.函数sin y x =的定义域是 .11.已知,a b 满足：3,2,+4===a b a b ，则-a b = .12.设02πθ<≤，已知两个向量1(cos ,sin ),OP θθ=uuu r 2(2sin ,2cos )OP θθ=+-uuu r ，则向量12P P uuu r长度的最大值是 .13.已知四边形ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,A B -0),(1,7)C ，则D 点坐标为 . 14.给出下列四个命题： ①函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是5π12x =； ②函数tan y x =的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12πx x k -=， 其中k ∈Z .以上正确的有 .（请把正确命题的序号填在横线上）二、解答题（共90分）15.（14分）（1）已知1cos 3α=，求cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭··的值；（2）已知tan 2α=，求2sin sin cos ααα+的值．16.（14分）已知53cos(),sin 135αββ+=-=，,αβ均为锐角.（1）求cos(2)αβ+的值；（2）求sin α的值．17.（14分）已知(1,2),(3,2)==-a b .（1）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 垂直？（2）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．（16分）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωαω⎛=+>>- ⎝π2α⎫<<⎪⎭的最小正周期是π，且当π6x =时()f x 取得最大值3．（1）求()f x 的解析式及单调增区间．（2）若0[02π)x ∈，，且03()2f x =，求0x ．（3）将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =是偶函数，求m 的最小值．19.（16分）已知(3sin ,cos ),(cos ,x m x x =+=a b cos )m x -+且()f x =g a b .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是-4，求此时函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的值．20.（16分）某港口的水深y (米)是时间t（024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是每天时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数y =sin A t b ω+.（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式.（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？模块检测（苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8. 9． 10． 11. 12. 13． 14．三、解答题15.16.17.18.19.20.模块检测（苏教版必修4）答案一、填空题1.πv 解析：∵ 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 2ω=，∴ 2π π2T ==．2.12 解析：1sin 13cos 17cos 13sin 17sin 302+==. 3.-1 解析：∵ (,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，∴ 330x =+=g a b .解得1x =-.4.-4 解析：由tan 2α=，得sin 2cos tan 2224cos sin 1tan 12αααααα+++===----．5.89- 解析：由1sin cos 3αα+=，得112sin cos 9αα+=，∴ 82sin cos 9αα=-，∴ 8sin 29α=-.6.8π 解析：∵ 在扇形中，半径8 cm r =，圆心角α=45°=π4，∴ 弧长π82π(cm)4l =⨯=，∴ 扇形的面积2112π88π(cm )22S lr ==⨯⨯=．7.34310-- 解析：∵ 4sin 5θ=，且cos(π)cos 0θθ-=>-，∴ 3cos 5θ=-．∴ πππ3143343cos cos cos sin sin 333525210θθθ--⎛⎫+==-⨯-⨯= ⎪⎝⎭-.8.向右平移π3个单位 解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移π3个单位，可得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 9.π4 解析：由条件可得22sin 1cos 10αα=-=，∴ 1tan 7α=．∴ tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-·.由0παβ<+<，得π4αβ+=. 10.[2π,2ππ],k k k +∈Z 解析：由题意得sin 0x ≥，∴ 2π2ππ,k x k k +∈Z ≤≤，故函数的定义域为[2π,k2ππ],k k +∈Z .11.10 解析：∵ 3,2==a b ，∴ 229,4==a b .又+4=a b ，∴ 22216++=g a b a b ，∴ 23=g a b ， ∴ 222210+-==-g a b a b a b ，∴ 10-=a b .12.32 解析：由向量的减法知1221(2sin cos 2cos sin )PP OP OP θθθθ=-=+---，uuu r uuu r uuu r， ∴ 2212(2sin cos )(2cos sin )PP θθθθ=+-+--uuu r2244(sin cos )(sin cos )44(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθ=+-+-+-+++108cos θ=-.∵ 02πθ<≤，∴ 1cos 1θ-≤≤，则当cos 1θ=-时，向量12P P uuu r的长度有最大值是32.13.（0,9） 解析：设(,)D x y ，则BA CD =uu r uu u r .又(1,2),(1,7)BA CD x y =-=--uu r uu u r ，∴ 11,7 2.x y -=-⎧⎨-=⎩解得0,9.x y =⎧⎨=⎩∴ (0,9)D . 14.①② 解析：把5π12x =代入函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y =，为最大值，故①正确．结合函数tan y x =的图象可得点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故②正确． ③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如39060>，都是第一象限角，但sin 390sin 60< ．若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12ππ22π244x k x -=+-，或12ππ22ππ244x k x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ， ∴ 12πx x k -=或123ππ+4x x k +=，k ∈Z ，故④不正确．二、解答题15.解：（1）cos(2π)sin(π)cos sin πcos tan sin tan(3π)2αααααααα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭g g g g =cos α=13． （2）因为tan 2α=， 所以2sin sin cos ααα+ =222sin sin cos sin cos ααααα++=22tan tan tan 1ααα++=222221++ =65. 16.解：（1）由题意知124sin(),cos 135αββ+==，∴ 5412356cos(2)cos[()]cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαββ+=++=++=-⨯-⨯=--． （2）1245363sin sin[()]sin()cos cos()sin =13513565ααββαββαββ⎛⎫=+=+-+=⨯--⨯ ⎪⎝⎭-．17.解：(1,2)+(3,2)(3,22)k k k k +==-+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)---=-a b =. （1）由()(3)k +⊥-a b a b ，得()(3)10(3)4(22)2380,k k k k +-=-+=-=-g a b a b 解得19k =.（2）由()(3)k +-a b a b ∥，得4(3)10(22)k k --=+,解得13k =-.此时1041,(10,4)333k ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭a b ，所以它们方向相反．18.解：（1）由题意知2π3,πA ω==.∴ 2ω=.∴ ππ3sin 2366f α⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ ππ22π62k α⨯+=+()k ∈Z . 又ππ22α-<<，∴ π6α=.∴ π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -++≤≤()k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ 00π3()3sin 262f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ 0ππ22π66x k +=+或0π5π22π()66x k k +=+∈Z .∴ 0πx k =或0ππ()3x k k =+∈Z .又0[02πx ∈，），∴ 0π4π0,π,,33x =. （3）由条件可得ππ()3sin 2()3sin 2266g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()g x 是偶函数，∴ ()g x 的图象关于y 轴对称，∴ 当0x =时，()g x 取最大值或最小值，即π3sin 2+36m ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ ππππ2π(),()6226k m k k m k -+=+∈=--∈Z Z . 又0m >，∴ m 的最小值是π3.19.解：（1）()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x x m x x m x ==+-+g g a b ，即22()3sin cos cos f x x x x m =+-． （2）∵ 223sin 21cos 2π1()sin 22262x x f x m x m +⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴ π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴ 211422m -+-=-， ∴ 24m =，∴ max 15()1422f x =+-=-，此时ππ262x +=，π6x =．20.解：（1）由题意知13713710,322b A +-====，周期为12，因此2ππ12,6T ωω===，故π()3sin 10(024)6f t t t =+≤≤.（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即π3sin 1011.56t +≥，∴ π1sin 62t ≥，故ππ5π2π2π,666k t k k ++∈Z ≤≤.解得121512,k t k k ++∈Z ≤≤. 又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤； 当1k =时，13t ≤≤17，故船舶安全进出港的时间段为（1：00∼5：00），（13：00∼17：00）．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学·必修4（苏教版）章末过关检测卷(一) 第1章 三 角 函 数(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·广东卷)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋α＝cos α＝15，故选C.答案：C2．(2014·四川卷)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点()A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度解析：根据三角函数图象的平移和伸缩变换求解．y＝sin 2x的图象向左平移12个单位长度得到函数y＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x＋12的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．答案：A3．(2013·大纲卷)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝()A．－1213B．－513 C.513 D.1213解析：∵α是第二象限角，且sin α＝513，∴cos α＝－1213.故选A.答案：A4．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么()A．T＝2，θ＝π2B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝1，θ＝π2解析：T ＝2π|ω|，当ωx ＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z)时取得最大值．由题意知T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，有2π＋θ＝2k π＋π2，∴θ＝2(k－1)π＋π2，0＜θ＜2π.∴k ＝1.则θ＝π2，故选A.答案：A5．(2013·福建卷)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析：把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32代入f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2，解得θ＝π3，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2φ，把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32代入得，φ＝k π或φ＝k π－π6，故选B.答案：B6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝35，sin α＝－35，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，∴cos α＝－45.∴tan α＝34.答案：B7．(2013·四川卷)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：T 2＝1112π－512π，所以T ＝π，所以2πω＝π，ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)，所以2×512π＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.所以φ＝－π3＋2k π，k ∈Z.又－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.故选A.答案：A8．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.32解析：由已知扇形所在圆的半径R ＝2ππ3＝6，设该扇形内切圆半径为r ，则6－r ＝2r ，∴r ＝2.故选A.答案：A9．(2014·辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增解析：利用平移变换得到解析式后，再利用y ＝sin x 的单调性逐一判断．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π. 令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k∈Z ，则y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z.令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712π，故B 正确．画出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．答案：B10．函数y ＝3x －x 2tan x 的定义域是( )A ．(0，3]B ．(0，π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3解析：由y ＝3x －x 2tan x 有意义，得0≤x ≤3且x ≠k π＋π2(k ∈Z)，且x ≠k π(k ∈Z)，∴x ≠0且x ≠π2.∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．sin θ和cos θ为方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝________．解析：首先对原式化简，然后由根与系数的关系及三角函数基本关系式求出m ，进而得出结果．∵sin θ和cos θ为方程2x 2－mx ＋1＝0的两根， ∴sin θ＋cos θ＝m2，①sin θcos θ＝12.②把②代入①的平方可得，1＝m 24－1，∴m ＝±2 2.∴sin θ＋cos θ＝±2.∴sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝±2. 答案：±212．已知角α的终边上一点P 与点A (－3，2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，那么sin α＋sin β的值等于________．解析：点P 的坐标为(3，2)，点Q 的坐标为(3，－2)， ∴sin α＝232＋22＝213，sin β＝－232＋22＝－213.∴sin α＋sin β＝0. 答案：013．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的交点横坐标，列方程求解．由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案：π614．(2014·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：利用正弦型函数的对称性求周期．∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6.∴T ≥2π3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4.∴T ＝π. 答案：π三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知tan(2 013π＋α)＝3，试求：sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．解析：由tan(2 013π＋α)＝3, 可得 tan α＝3，故sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α＋2sin αsin α－cos α ＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝33－1＝32. 16.(本小题满分12分)已知sin θ－cos θ＝15.(1)求sin θ·cos θ的值； (2)当0<θ<π时，求tan θ的值．解析：(1)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝125⇒sinθcos θ＝1225.(2)因为0<θ<π且sin θcos θ>0， 所以 0<θ<π2.由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin θcos θ＝1225 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.得tan θ＝sin θcos θ＝43.17．(本小题满分14分)已知函数y ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， π2，值域是[－5，1]，求a 、b 的值．解析：∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.当a >0时，－a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ≤2a ＋b .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－5，2a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.当a <0时，2a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ≤－a ＋b .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.18．(本小题满分14分)(2014·北京卷)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)在f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解析：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. 19.(本小题满分14分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解析：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1. ∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z. 即k π＋π8≤x ≤k π＋58π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 20．(本小题满分14分)2013年的元旦，N 市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ，ω>0，|φ|≤π)．从天气台得知：N 市在2013年的第一天的气温为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．(1) 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的表达式．(2)若元旦当天M 市的气温变化曲线也近似地满足函数y 1＝A 1sin(ω1x ＋φ1)＋b 1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N 市迟了4个小时．①求早上7时，N 市与M 市的两地温差；②若同一时刻两地的温差不超过2度，我们称之为温度相近，求2013年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长．解析：由已知可得：b ＝5，A ＝4，T ＝24⇒ω＝π12. 又最低气温出现在凌晨2时，则有2ω＋φ＝2k π－π2，又|φ|≤π⇒φ＝－23π. 则所求的函数表达式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π＋5. (2)由已知得M 市的气温变化曲线近似地满足函数y 1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －π＋5， y －y 1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －π ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －23π＋sin π12x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －13π. ①当x ＝7时，y －y 1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×7－13π＝2 2. ②由|y －y 1|≤2⇒－2≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －13π≤2⇒ 2≤x ≤6或14≤x ≤18.则2012年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长为8小时．。

章末综合测评(三) 三角恒等变换(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，则cos 2α＝________. 【解析】 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725. 【答案】 －7252．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.【解析】 ∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1，sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.【答案】 13．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________.【解析】 原式＝－sin 17°cos 47°＋cos 17°sin 47°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12【答案】 124．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________. 【解析】 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 【答案】 tan 2α5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， ∴cos α＝－255，∴tan α＝－12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 【答案】 －436．(2016·南通高一检测)化简：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－7π8－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋7π8＝________. 【解析】 原式＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －7π42－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋7π42＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋7π4 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22(cos x －sin x )＋22(cos x ＋sin x ) ＝22cos x.【答案】 22cos x 7．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________. 【解析】 已知等式两边平方得sin α＝45，450°＜α＜540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝2. 【答案】 28．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________． 【解析】 tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)＝3－3tan 19°tan 41° ∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 【答案】3 9．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°，所以a ＜c ＜b.【答案】 a ＜c ＜b10．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．【解析】 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4 ＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象． 【答案】 右 π1211．函数y ＝sin xcos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________．【解析】 ∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)． 【答案】 x ＝k π2＋π12，k ∈Z 12．(2016·苏州高一检测)已知点Psin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为________． 【解析】 由题意知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin 34π，cos 34 π在第四象限，且落在角θ的终。

第一章 三角函数章末练测卷建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（每小题5分，共80分）1. ⎪⎭⎫⎝⎛-π 623sin 的值等于 .2. 下列角中终边与 330°相同的角是 .3. 函数y =||x x sin sin +x x cos cos ||+||x x tan tan 的值域是 .4. 如果αα αα cos 5sin 3cos 2sin +-= - 5，那么tan α的值为 .5. 如果 sin α + cos α =43，那么 sin 3α – cos 3α 的值为 .6. 若 a 为常数，且a ＞1，0≤x ≤2π，则函数f (x )=cos 2x + 2a sin x - 1的最大值为 .7.函数y = sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2 4π的单调增区间是 .8. 若函数y = f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移2π个单位；沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =21sin x 的图象，则函数y =f (x )是 .9. 如图是函数y =2sin(ωx + φ)，＜2π的图象，那么ω= ，φ= .10. 如果函数 f (x )是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，函数 f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是 .(第9题)11.若(cos )cos3f x x =，那么(sin30)f ︒的值为 .12. 若扇形的半径为R ，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积为_ _ _.13. 函数y =2sin(2x +6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 .14. 若 cos(75° + α)=31，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= __ _. 15. 函数y = lg (sin x ) +216x -的定义域为 .16. 关于函数f (x )= 4 sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x- π6)；②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0 6π，对称； ④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6对称.其中正确的是__ _.二、解答题（共70分） 17. （12分）已知角α是第三象限角， 求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角2α终边的位置.18.（16分）(1)已知角α的终边经过点P (4，- 3)，求2sin α + cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值.19.（12分）已知tan α，αtan 1是关于x 的方程x 2-kx+k 2-3=0的两实根，且3π＜α＜27π，求cos(3π +α)- sin(π + α)的值. (第10题)20.（14分）已知0≤x ≤2π，求函数y = cos 2x – 2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a ).21. （16分）已知N (2,2)是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.第一章三角函数章末练测卷答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12．13. 14. 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.第一章 三角函数章末练测卷答案一、选择题1. 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛-π623sin =216πsin 2π2π623sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-. 2. -30° 解析：与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k ∈Z }. 当 k = - 1时，α = - 30°.3. {- 1，3} 解析：将x 分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}.4.- 1623 解析：∵ sin α - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -1623. 5. 2312825或-2312825 解析：由已知易得 sin α cos α = -327. ∴ |sin 3 α - cos 3 α| = |(sin α- cos α)(sin 2 α + cos 2α sin α cos α)|=ααcos sin 21- ∙ |1 + sin α cos α| = 1282325. ∴ sin 3α - cos 3α = ±1282325. 6. 12-a 解析：f (x )= 1 - sin 2 x + 2a sin x - 1= - sin 2x + 2a sin x . 令sin x = t ，∴ t ∈[-1，1].∴ f (t )= - t 2 + 2at = -(t - a )2 + a 2，t ∈[-1，1]. ∵a >1,∴ 当t = 1时，函数 f (t )取最大值为2a - 1.7. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++87ππ 83ππk k ，，k ∈Z 解析：∵ y = sin(4π- 2x )= - sin(2x -4π)，∴ 2π+ 2k π ≤ 2x -4π≤23π+ 2k π，∴ 83π+ k π ≤ x ≤87π+ k π. 8. y =12π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛-x9. 2，6π解析：因为函数图象过（0，1），所以1=2sin φ，所以sin φ=.因为|φ|＜，所以φ=.故函数y=2sin （ωx+）. 又函数图象过点（，0），所以0=2sin （ω•+）.由五点法作图的过程知，ω•+=2π，所以ω=2.综上，φ=，ω=2.10. 1 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛--，∪(0，1)∪ 3 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛， 解析：由图象可知：0＜x ＜1时，f （x ）＜0；当1＜x ＜3时，f （x ）＞0．再由f （x ）是奇函数，知：当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞0；当﹣3＜x ＜﹣1时，f （x ）＜0． 又∵当﹣3＜x ＜，或＜x ＜3时，cosx ＜0；当＜x ＜时，cos x ＞0. ∴ 当x ∈（，1）∪（0，1）∪（，3）时，f （x ）•cos x ＜0. 11. -112. 162c 解析：设扇形面积为S ，弧长为 .∴ S = 21R = 21(c -2R )· R = -R 2+21cR . c - 2R ＞0， R ＞0，∵∴ 0＜R ＜2c .当 R = 4c 时，S max =162c .13. ［56π-,3π-］ 14.3122- 解析：cos(105°-α)+ sin(α -105°) = - cos(75°+α)- sin(α+75°). ∵ 180°＜α＜270°，∴ 255°＜α+75°＜345°. 又cos(α75°)=31，∴ sin(α75°)= -232. ∴ 原式 =312223231-=+-. 15.[-4，-π)∪(0，π)解析：由已知得∴ x ∈[- 4，- π)∪(0，π).16. ①③解析：① f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x .② T =22π= π，最小正周期为π.③ 令2x +3π= k π，当 k = 0时，x =6π-，∴ 函数 f (x )关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称. ④ 令2x +3π= k π+2π，当 x = -6π时，k =21-，与 k ∈Z 矛盾.∴ ①③正确. 二、解答题17.解：(1)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ，得k π +2π＜2α＜k π +43π，k ∈Z .将整数 k 分奇数和偶数进行讨论，易得角2α为第二象限或第四象限的角.(2)由2k π + π＜α＜2k π +23π，k ∈Z ，得4k π + 2π＜2α＜4k π + 3π，k ∈Z .∴ 2α终边位置可能在第一象限、第二象限或y 轴的非负半轴.18.解：(1)∵ 22y x r += = 5，∴ sin α =53-=r y ，cos α =54=r x ，∴ 2sin α + cos α =525456-=+-.(2)∵ a y x r 522=+=， ∴ 当＞0时，∴ r = 5a ，sin α =5353-=-a a ，cos α =54.∴ 2sin α + cos α =52-； sin x ＞0， 2k π＜x ＜2k π + π， 16 - x 2≥0， -4≤x ≤4. ∴当 a ＜0时，∴ r = -5a ，sin α =5353=--a a ，cos α = -54， ∴ 2sin α + cos α =52. (3)当点P 在第一象限时， sin α =53，cos α =54，2sin α + cos α = 2； 当点P 在第二象限时， sin α =53，cos α =54-，2sin α + cos α =52；当点P 在第三象限时，sin α =53-，cos α =54-，2sin α + cos α = - 2；当点P 在第四象限时，sin α =53-，cos α =54，2sin α + cos α =52-.19.解：由已知得 tan α· αtan 1= k 2- 3=1，∴ k =±2.又 ∵ 3π＜α＜27π，∴ tan α＞0，αtan 1＞0.∴ tan α +αtan 1= k = 2＞0 (k = -2舍去),∴ tan α= 1,∴ sin α = cos α = -22, ∴ cos(3π +α) - sin(π +α) = sin α - cos α = 0.20.解：y = cos 2 x - 2a cos x = (cos x -a )2 - a 2， 令 cos x = t ，∵ 0≤x ≤2π，∴ t ∈[0，1].∴ 原函数可化为f (t ) = (t - a )2 - a 2，t ∈[0，1].①当 a ＜0 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (0) = 0.②当 0≤a ＜21 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (a ) = –a 2.③当 21≤a ≤1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (a ) = –a 2.④当 a ＞1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (1) = 1–2a .21. 解：∵N （2，2）是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一个最高点 ， ∴A=2. ∵N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴相交于A 、B ，B 点坐标为（6，0），∴4T=|x B －x N |=4，∴T=16.又∵T=ωπ2,∴ω=T π2=8π.∵x N =2B A x x +，∴x A =2x N －x B =－2，∴A(-2,0)，∴y=2sin 又∵ 图象过点N （2，∴ ∴ ∴。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章 三角恒等变换（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

把答案填在题中横线上）1. 在△ABC 中，若cos B cos C-sin B sin C ≥0，则这个三角形一定不是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).2. 若△ABC 的内角A 满足sin 2A = ，则sin A+cos A = .3. = .4. 若函数y =f （x ）=sin x+ cos x+2，x ∈[0，2π），且关于x 的方程f （x ）=m 有两个不等实数根α，β，则sin （α+β）= .5. 已知：α-β=，tan α=3m ，tanβ=3-m，则m= .6. 已知函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x ，则 f （x ）的最小正周期为 . 7. 已知函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a的最大值为，且f()= ，则f(-)= . 8. 函数y =2sin x -cos 2x 的值域是 . 9. 设-＜α＜，- ＜β＜，tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根，则α+β的值为 . 10.2sin50sin80(1tan 60tan10)1sin100+++= .11. 已知f （cos x ）=cos 2x ，则f （sin x ）的表达式为 ．12. 函数y =lg （sin x+cos x ）的单调递减区间为 ．13.函数f (x )=cos x -cos 2x (x ∈R )的最大值等于 ．14. 若f （x ）是以5为周期的函数，f （3）=4，且cos α=，则f （4cos2α）= . 二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15. （12分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 sin x cos x ． （1）求函数f （x ）定义在[-，]上的值域．（2）在△ABC 中，若f （C ）=2，2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），求tan A 的值．16.(12分)已知0＜x ＜π2,化简:lg(cos x ·tan x+1- 2sin 22x )+lg[2cos(x-π4)-lg(1+sin 2x ).17. (12分) 已知向量 a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)，|a - b |= ． （1）求cos （α-β）的值；（2）若0＜α＜，＜β＜0，且sin β= ，求sin α．18. （12分）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，π2）．若x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2，证明12 [f （x 1）+ f （x 2）]＞f （122x x +）．19. （16分）已知α为第二象限的角，sin α=，β为第一象限的角，cos β=．求tan （2α-β）的值．20.(16分)已知-π2＜x＜0，sin x+cos x=15.（1）求sin x-cos x的值；（2）求223sin2sin cos cos22221tantanx x x xxx-++的值.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15．16.17.18.19.20.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答案一、填空题1.锐角解析：在△ABC中，若cos B cos C-sin B sin C≥0，则有cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A 为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．2.解析：由sin 2A=2sin A cos A＞0，可知A为锐角，所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．3. 解析：== =sin30°= ．4. 解析：函数y=f（x）=sin x+cos x+2=2（sin x+ cos x）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π）可得≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得2sin（x+）+2=m有两个不等实数根α，β，且这两个实数根关于直线x+=或直线x+=对称，故有ππ332αβ+++=，或ππ332αβ+++=，故α+β=或α+β=，故sin（α+β）= ．5. 解析：∵α-β=，∴tan（α-β）=tan = .又tan α=3m，tan β=3-m，∴tan （α-β）=tan tan 1tan tan αβαβ-+=33133m m m m---+ =（3m -3-m）， ∴（3m -3-m ）= ，即3m -3-m =，整理得：（3m）2-3m-1=0， 解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m =．6. π 解析：函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x =cos 2x cos -sin 2x sin =- sin 2x+， 所以函数f (x )的最小正周期是T ==π．7. 0或- 解析：∵函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a =a •1cos 22x+ -b •sin 2x-2a =2a •cos 2x-b •sin 2x ． 它的最大值为22a b +=，故有a 2+b 2=1． ①再由f ()= 可得-a- b =，即 a+b =- ②由①②解得3,0,21,1,2a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或 ∴f (- )= -a+ b =- ，或 f (- )= -a+ b =0． 8. [32-，3] 解析：由题意可得：y =2sin x-cos 2x =2sin 2x+2sin x-1=2(sin x+12)232-，又sin x ∈[-1，1]， 当sin x =-12时，函数f （x ）取到最小值为32-， 当sin x =1时，函数f （x ）取到最大值为3， 综上函数f （x ）的值域是[32-，3]． 9. 解析：∵tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根， ∴有tan α+tan β=3，① tan α•tan β=4，② ∴tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+- = =-.∵＜α＜，＜β＜，由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数， ∴0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∴α+β=.10. 2 解析：原式=sin102sin 50sin 80(1tan 60)cos101cos10++∙+=2sin 50(cos103sin10)2cos5++=2sin502sin 402cos5+=22sin 45cos52cos5⨯=2.11. f （sin x ）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x =2cos 2x-1， ∴f （cos x ）=cos 2x =2cos 2x-1．∴f （sin x ）=2sin 2x-1=-（1-2sin 2x ）=-cos 2x ． 故答案为f （sin x ）=-cos 2x ．12. [ +2k π， +2k π） 解析：由题意，令m =sin x+cos x = sin （x+）， 由m ＞0得，2k π＜x+ ＜π+2k π，解得- +2k π＜x ＜ +2k π， ∴函数的定义域是（ +2k π， +2k π）. 又∵y =lg x 在定义域内是增函数，∴原函数的单调递减区间是y=sin （x+ ）的递减区间， ∴ +2k π≤x+ ≤ +2k π，解得 +2k π≤x ≤+2k π， ∴所求的单调递减区间是[ +2k π，+2k π）．13. 34 解析： f （x ）=cos x-12cos2x =cos x-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+cos x+12=-(cos x-12)2+34， 所以f （x ）的最大值为34．14.4 解析：∵4cos2α=4（2cos 2α-1）=-2，∴ f （4cos2α）=f （-2）=f （-2+5）=f （3）=4．二、解答题15. 解：（1）f （x ）=1+cos 2x+ sin 2x =2sin （2x+）+1. ∵-≤x ≤, ∴- ≤2x+ ≤. ∴- ≤sin(2x+ )≤1.∴f （x ）∈[0，3]，即f （x ）的值域为[0，3].（2）由f （C ）=2得2sin （2C+ ）+1=2，∴sin （2C+ ）= ． ∵0＜C ＜π∴ ＜2C+ ＜. ∴2C+= ∴C = ∴A+B =．又∵2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），∴2sin B =2sin A sin C ， ∴2sin( -A )= sin A ，即 cos A+sin A = sin A ， ∴( -1)sin A = cos A ，∴tan A = =．16. 解：∵ 0<x <π2， ∴ 原式=lg(cos x ·sin cos xx+cos x )+lg(cos x+ sin x )-lg(1+sin 2x )=lg(sin x+cos x )+lg(cos x+sin x )-lg(1+sin 2x ) =lg(sin x+cos x )2-lg(1+sin 2x ) =lg(1+sin 2x )-lg(1+sin 2x )=0.17. 解：（1）∵ a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)， ∴ a - b =(cos α-cos β，sin α-sin β)．∵| a - b |= ， ∴22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+- = ，即2-2cos(α-β)= ，∴cos(α-β)= ．（2）∵0＜α＜ ， - ＜β＜0， ∴0＜α-β＜π. ∵cos(α-β)= ，∴sin(α-β)= ．∵sin β=- ，∴cos β= ， ∴sin α=sin[（α-β）+β] =sin （α-β）cos β+cos （α-β）sin β= × ×(- )= .18. 证明：tan x 1+tan x 2=11sin cos x x +22sin cos x x =121212sin cos cos sin cos cos x x x x x x + =1212sin()cos cos x x x x +=1212122sin()cos()cos()x x x x x x +++-.∵x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2， ∴2sin （x 1+x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1-x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1+x 2）+cos （x 1-x 2）＜1+cos （x 1+x 2）， 由此得tan x 1+tan x 2＞12122sin()1cos()x x x x +++，∴12（tan x 1+tan x 2）＞tan 122x x +，即12 [f （x 1）+f （x 2）]＞f （122x x +）． 19. 解：∵α为第二象限角，sin α=，∴cos α=- ，tan α=- ，tan2α=-又∵β为第一象限角，cos β=，∴sin β=，tan β=，∴tan （2α-β）=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+ ==.20.解：（1）由sin x+cos x=15，得 sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125，即2sin x cos x=-2425.∴ （sin x-cos x ）2=1-2sin x cos x =4925.又∵ -π2＜x ＜0，∴ sin x ＜0，cos x ＞0，sin x -cos x ＜0，故sin x-cos x=-75.（2）223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x -++=22sin sin 12sin cos cos sin x x x xx x-++=sin x cos x （2-cos x -sin x ）=（-1225）×（2-15）=-108125.。

第3章 三角恒等变换(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝________. 2.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________． 3．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则sin (x ＋y)＝________. 4．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为________．5．已知sin (45°＋α)＝55，则sin 2α＝________. 6．若sin x －sin y ＝－13，cos x －cos y ＝14，则cos (x －y)的值是________． 7．若函数f(x)＝sin (2x ＋θ)＋3cos (2x ＋θ)为奇函数，则θ的取值集合是________．8．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为________．9．函数y ＝2sin x(sin x ＋cos x)的最大值为______．10．化简：1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α＝________. 11．已知sin α＝cos 2α，α∈(π2，π)，则tan α＝______. 12．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________. 13．函数y ＝sin 2x 3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π6的图象中相邻对称轴的距离是________． 14．已知cos (α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2. 求：tan (α＋β)及α＋β的值．16．(14分)已知函数f(x)＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x.(1)求f(π3)的值； (2)求f(x)的最大值和最小值．17．(14分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．18．(16分)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．19．(16分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos 2x 0的值．20．(16分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值；(2)求β的值．第3章 三角恒等变换(A) 1.32解析 (cosπ12－sin π12)(cos π12＋sin π12) ＝cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 2．1解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15° ＝tan 45°＝1，∴3tan 15°＋13－tan 15°＝1. 3．1解析 ∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，两式相加得： sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin 2x ＝sin 2y ，又∵x ，y 均为锐角且x ≠y ，∴2x ＝π－2y ，x ＋y ＝π2， ∴sin (x ＋y)＝1.4．a<c<b解析 a ＝2sin 59°<2×32＝62，a<c. b ＝2sin 61°>2×32＝62，b>c. 从而a<c<b.5．－35解析 sin (α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝55， ∴sin α＋cos α＝105. 两端平方，∴1＋sin 2α＝25， ∴sin 2α＝－35. 6.263288解析 由⎩⎨⎧sin x －sin y ＝－13 ①cos x －cos y ＝14 ② ①2＋②2得2－2(sin x sin y ＋cos x cos y)＝25144. ∴cos (x －y)＝263288. 7.⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|θ＝k π－π3，k ∈Z 解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋θ＝0.∴π3＋θ＝k π，即θ＝k π－π3，k ∈Z . 8．－22解析 ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π， 则tan θ<0，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， 化简得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－22或tan θ＝2(舍去)， ∴tan θ＝－22. 9.2＋1解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x＝1－cos 2x ＋sin 2x＝2sin(2x －π4)＋1， ∴y max ＝2＋1.10．tan 2α解析 原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝tan 2α. 11．－33解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin 2α∴2sin 2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝12或－1. ∵π2<α<π，∴sin α＝12， ∴α＝56π，∴tan α＝－33. 12.43解析 sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，故tan α＝2. 又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝43. 13.3π2解析 y ＝sin 2x 3＋cos 2x 3cos π6－sin 2x 3·sin π6＝cos 2x 3cos π6＋sin 2x 3sin π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 3－π6，T ＝2π23＝3π，相邻两对称轴的距离是周期的一半． 14.3365解析 由于α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)， 因此α－β∈(0，π)．又由于cos(α－β)＝35>0，因此α－β∈(0，π2)． sin(α－β)＝45且cos β＝1213， sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.15．解 ∵tan α、tan β为方程6x 2－5x ＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. ∵0<α<π2，π<β<3π2， ∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4. 16．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73. 17．解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0.由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.解之，得tan α＝－43，或tan α＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0，故tan α＝12(舍去)． ∴tan α＝－43. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π. 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 18．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 周期T ＝π；2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]．而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]．19．解 (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin (2x ＋π6)， 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin (2x ＋π6)在区间[0，π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f (0)＝1，f (π6)＝2，f (π2)＝－1，所以函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin (2x 0＋π6)． 因为f (x 0)＝65，所以sin (2x 0＋π6)＝35. 由x 0∈[π4，π2]，得2x 0＋π6∈[2π3，7π6]， 从而cos(2x 0＋π6)＝－1－sin 2(2x 0＋π6)＝－45. 所以cos 2x 0＝cos[(2x 0＋π6)－π6] ＝cos(2x 0＋π6)cos π6＋sin (2x 0＋π6)sin π6＝3－4310. 20．解 (1)tan α＝2tan α21－tan 2α2＝43， 所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝45. (2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π. 因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210. 所以sin β＝sin [(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7210×35＋210×45＝22. 因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以β＝3π4.。

（新课程）2020高中数学 第3章章末综合检测（时间：120分钟；满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上 ）ntan 12 1. -------------- = . 2n1 — tan —12n2ta n 12 1 =«ta n =2n 2 61 — tan -12答案：£4 山sin( a — 3 )cos a — COS ( 3 — a )sin a = 2，贝U cos2 3 =5442由已知得：sin[( a — 3 ) — a ]=,所以 sin 3 =—,所以 cos2 3 = 1 — 2sin 卩5 56.已知sin(n 、匸-X ） 33,则sin2x 的值为解析：sin2 x = cos(专—2x ) = cos2( -4 — x ) = 1 — 2sin 2(-4 — x ) = 1 — 2X3 2 = 75 = 25.答案:725解析：原式=1 2X 0+ cos =2 23 解析：将sin 00 + cos 0 =两边平方可求出sin 0，再用余弦二倍角公式求得cos2 0 .223... 1 73 9 2.已知sin,cos2 0 =答案: 3.若解析:=1 — 2X答案:4 2_5 - 7 257 25.4.设€ (0 ,3若 sin a = 5,贝y . 2cos( a+n ）等于解析:n4a €7)，cos a= 5，sin a ) = cos a — sin15.答案：155. sin163解析：原式=sin 223 si n(180+ sin253 ° sin313 ° 的值为 —17° ) • sin(180 ° + 43 + 43° ) = — sin17 sin 43 + cos17° cos43°= cos60 °sin(2 70°— 17 12.)• sin(270cos a -#••• 2cos( a + 寸)=2ABC 中, tan C = tan[ n — (A + E )] = — tan( A + B ) = — 2 v 0，• C 是钝角,•••△ ABC 是钝角三角形. 答案：钝角8.__________________________ 化简2寸1 + sin4 + p 2 + 2cos4的结果是 ______________________________________________________ . 答案：2sin229.在△ ABC 中，若 sin B = sin A sin C,贝U cos2 B + cos B + cos( A — C )的值为 ____________ .解析：cos2 B + cos B + cos( A — C ) = cos2 B — cos( A + C ) + cos( A — C ) = 1 — 2sin B + 2sinA sin C = 1.答案：1ncos 八10.当O v x 时，函数f (x ) = cos x sin x -shx 的最小值是11 -，当tan x = 2时，f (x )有最小值为4.2tan x — + -2 4x tan 一2;'3ta n12 ° — 322tan a1 + tan a= 21 — tan a答案：2020sin4 x 12.化简1 + cos4x 原式=1 + tan aET =2020.cos2x1 + cos2x cos x1 + cos x2sin2 x cos2x cos2 x 2• 2cos 2x1 + cos2 xcos x1 + cos xsin2 x 1 + cos2xcos x 1 + cos x2sin x cos x 22cos x cos xsin x x =tan 一.1 + cos 1 + cos x 27•已知A B, C 是厶ABQ 的三个内角，且 数根，则△ ABC 是 __________ 三角形.tan A tan B 是方程3x - 5x + 1 = 0的两个实5tan A + tan B = 3,解析：由题设得1 tan A tan B =-,3tan A + tan B 3•tan( A +D = 1 — tan A tan B = —11 ---32cos x 解析：f (x )=1—tan * 2x + tanx答案：41 + tan11. 若1 — tan a=2020，则 cos2 1—+ tan2 a =a1 + tan a解析：「1-tan=2020, 答案:13.sin124cos 12°—22 sin12.3 sin12 °—,3cos12丫cos12原式=sin12 °X2—2cos212°—12X 2 ： 3sincos60° —cos12° sin603 sin12。

（苏教版）高中数学必修4配套练习+章节检测卷汇总第1章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.1 任意角A级基础巩固1．下列命题中正确的是()A．终边与始边都相同的角一定相等B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．小于90°的角一定是锐角D．大于或等于0°且小于90°的角一定是锐角答案：B2．已知下列各角：①787°；②－957°；③－289°；④1 711°.其中在第一象限的角是()A．①②B．②③C．①③D．②④答案：C3．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．即是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D4．已知α是第三象限角，则－α所在的象限是()A．四B．三C．二D．一解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z.则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z.所以－α是第二象限角．答案：C5．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D6．时针走过了2小时40分钟，则分针转过的角度是______．答案：－960°7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四9．在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.解：(1)因为－120°＝240°－360°，所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角；(2)因为660°＝300°＋360°，所以与660°终边相同的角是300°角，它是第四象限的角；(3)因为－950°08′＝129°52′－3×360°，所以与－950°08′角终边相同的角是129°52′角，它是第二象限的角．10．已知锐角α的10倍与它本身的终边相同，求角α.解：与角α终边相同的角连同角α在内的角的集合可表示{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．因为锐角α的10倍的终边与其终边相同，所以10α＝α＋k·360°，k∈Z.解得：α＝k·40°，k∈Z.又α为锐角，所以α＝40°或80°.B级能力提升11．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β< 180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°} 解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C13．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°14.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．15．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第1章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．α＝－5 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：－5＝－2π＋(2π－5)，因为0<2π－5<π2， 所以α＝－5在第一象限．答案：A2．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．答案：D3．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A ．1 B.π6 C.π3D ．π 解析：因为弦长等于圆的半径，如图所示，则△ABC 为正三角形，所以弦所对的圆心角为π3.答案：C4．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203πC.2003πD.4003π 解析：240°＝240180π＝43π， 所以弧长l ＝|α|·r ＝43π·10＝403π. 答案：A5．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)， 则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)， 取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4； k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4； k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4. 答案：A6．若有一角和π3rad 角终边相同，则此角的集合可以表示为______________________________．答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·2π＋π3，k ∈Z 7.π12rad ＝________度，________rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°，－300°＝－300×π180＝－5π3. 答案：15 －5π3 8．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3rad ， 则扇形的面积S ＝12×π3·32＝32π. 答案：32π 9．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米；(2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1， 所以r ＝l |α|＝1π180＝180π. (2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l |α|＝1. 答案：(1)180π(2)1 10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度．(1)求这个圆心角所对的弧长； (2)求这个扇形的面积． 解：(1)如图所示，过O 作OD ⊥AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以AD ＝12AB ＝1， ∠AOD ＝12∠AOB ＝1 rad ， 所以扇形的半径OA ＝1sin 1. 由弧长公式l ＝|α|r ，得l ＝2×1sin 1＝2sin 1. (2)由扇形面积公式S ＝12lr ，得 S ＝12×2sin 1·1sin 1＝1sin 21. B 级 能力提升11．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，则有( ) A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅解析：因为集合M 是表示终边在第一、第三象限的角平分线上的角的集合．集合N 是表示终边在第一、第三象限或第二、第四象限的角平分线上的角的集合，所以MN . 答案：C12．在直径为10 cm的轮上有一长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后P转过的弧长为________．解析：P到圆心O的距离OP＝52－32＝4(cm)，又点P转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)．所以弧长为α·OP＝25×4＝100(cm)．答案：100 cm13．已知α＝2 000°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋10 9π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋109π，k∈Z，又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.14．已知扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40.所以l＝40－2r.所以S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100cm2，这时θ＝lr＝40－2×1010＝2 rad.15．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3·10＝10π3.所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3·10＝50π3.而S △AOB ＝12×AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为－π2<α<0，则cos α>0，sin α<0.答案：D2．已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＝( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12是单位圆上一点，则cos α＝x ＝32. 答案：B3．若α是第四象限角，则sin α和tan α的大小的关系是( ) A ．sin α>tan α B ．sin α<tan α C ．sin α≥tan αD ．不确定解析：画出三角函数线即可判断出来，如图所示，sin α＝MP ，tan α＝AT ，又|MP |<|AT |，故sin α>tan α. 答案：A4．若sin θ·cos θ>0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第一或第四象限角 D ．第二或第四象限角 解析：因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ与cos θ同号， 由三角函数值在各象限内的符号知θ为第一或第三象限角． 答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈Z C.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z 解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1. 又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A6．若α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－327．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．解析：由三角函数定义知，tan 420°＝－a4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3， 所以－a4＝ 3.所以a ＝－4 3.答案：－438．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 答案：AT >MP >OM9．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是_________________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z) 10．已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值．解：在射线y ＝2x (x ≥0)上任取一点P (a ，2a )(a >0)． 则r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a ， 所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a5a ＝55.B 级 能力提升11．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2 解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：A12．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0.所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝－5cos θ， 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：3513．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值范围是______．解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，如图所示，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π14．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2， 所以sin α＝y 4＋y2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1. 又易知y <0，所以y ＝－1.所以r ＝ 5.所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.15．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝（4t ）2＋（－3t ）2＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34.第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系A 级 基础巩固一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B2．sin 2α＋cos 4α＋sin 2α cos 2α的化简结果是( ) A.14 B.12 C.32D ．1 解析：sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.答案： D3．已知tan α＝13，且0≤α≤π，则sin α·cos α的值为( )A ．±310 B.310 C.310 D ．±310解析：sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.答案：B4．若α∈[0，2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π 解析：因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α， 所以sin α≥0，且cos α≤0.又α∈[0，2π)，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.答案：B5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8. 答案：C6．化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．解析：sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α. 答案：－2tan 2α7．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α. 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．若A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC的形状为________三角形．解析：因为sin A ＋cos A ＝23，则(sin A ＋cos A )2＝49.所以sin A cos A ＝－518<0，则A 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 答案：钝角9．cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin α＝－25，cos α＝－15.所以tan α＝sin αcos α＝2.答案：210．化简下列各式： (1)1＋sin θ1－sin θ＋1－sin θ1＋sin θ；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－sin x1＋sin x－1＋sin x 1－sin x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－cos x1＋cos x－1＋cos x 1－cos x .解：(1)原式＝ （1＋sin θ）21－sin 2θ＋（1－sin θ）21－sin 2θ＝1＋sin θ|cos θ|＋1－sin θ|cos θ|＝2|cos θ|. (2)原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－sin 2x（1＋sin x ）2－1－sin 2x （1－sin x ）2·⎣⎢⎢⎡1－cos 2x（1＋cos x ）2－⎦⎥⎥⎤1－cos 2x （1－cos x ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|cos x |1＋sin x －|cos x |1－sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫|sin x |1＋cos x －|sin x |1－cos x ＝－2sin x ·|cos x |cos 2x ·－2cos x ·|sin x |sin 2x ＝4|sin x ·cos x |sin x ·cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠n π2，n ∈Z ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π，n π＋π2时，原式＝4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π2，（n ＋1）π时，原式＝－4. B 级 能力提升11．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( )A ．－32 B.32 C ．－52 D.52解析：由题意知θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ＝（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝52. 答案：D12．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( )A.45B.35C.25D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34.所以cos α＝43sin α.代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋169sin 2α＝1.所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 13．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是________．解析： 1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α， 所以sin α<0.故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}14．化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α. 解：原式＝tan α（1＋sin α）tan α＋sin α·cos α＋1cos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.15．已知3sin α－2cos α＝0，求1sin αcos α的值．解：由3sin α－2cos α＝0，得tan α＝23.1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.3 诱导公式A 级 基础巩固一、选择题1．若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，所以cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝15. 答案：C4．设tan (5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan α. 所以tan α＝m .所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A5．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (2π－α)的值为( )A ．－23mB.23m C ．－32mD.32m 解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，则sin α＝m2.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C6．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：357．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin (π＋α)＋cos (π－α)＝________．解析：因为tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35.所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－758．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于_______．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角．所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223.所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－24. 9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1. 10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－45＝－920. B 级 能力提升11．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ， 故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2， tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B12．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．解析：因为φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，所以φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3.答案：1－313．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45.又因为sin αcos α<0.所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.14．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：因为sin(α＋β)＝1， 所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)．所以α＝2k π＋π2－β(k ∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.所以tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan 2（2π－α）·tan （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝34.所以原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝34.第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质 第1课时正弦、余弦函数的图象与性质A 级 基础巩固一、选择题1．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[－1，1]D ．[－2，0]解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x <0，函数的值域为[－2，0]．答案：D2．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(图略)，易知它们关于x 轴对称．答案：C3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：y ＝cos|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，C 符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的，排除D.答案：C4．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 解析：令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ，又－π≤x ≤0，所以－π6≤x ≤0.答案：D5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析：令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，则x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，排除B ，D ；令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0. 答案：A 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是________________．解析：因为－π6≤x ≤π6，所以0≤2x ＋π3≤23π.所以0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[0，2]． 答案：[0，2]7．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________.解析：因为f (x )是偶函数，所以0＋φ3＝π2＋k π(k ∈Z)．所以φ＝32π＋3k π(k ∈Z)．又φ∈[0，2π]，所以φ＝32π.答案：32π8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_______．解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 150°<cos 760°<sin 470°. 答案：cos 150°<cos 760°<sin 470°9．用五点法作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：x 0 π2 π 3π2 2π －2cos x －2 0 2 0 －2 －2cos x ＋31353110．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.求f (x )的单调递增区间．解：f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3， 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π，k ∈Z ，得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z)．B 级 能力提升11．方程lg x ＝sin x 的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如下图所示，由图知有三个交点，所以方程有三个解．答案：D12．函数y ＝|sin x |（1－sin x ）1－sin x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．即是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数解析：由题意知，1－sin x ≠0，即sin x ≠1，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋π2，k ∈Z ， 由于定义域关于原点不对称，所以该函数是非奇非偶函数． 答案：D13．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________．解析：根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1，所以sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z.又0<ω<2，所以ω＝32.答案：3214．若cos 2θ＋2sin θ＋m 2－3<0恒成立，求实数m 的取值范围．解：由已知得：m 2<sin 2θ－2sin θ＋2＝(sin θ－1)2＋1，因为－1≤sin θ≤1，所以－2≤sin θ－1≤0. 所以0≤(sin θ－1)2≤4.所以1≤(sin θ－1)2＋1≤5. 所以m 2<1.所以－1<m <1. 所以m 的取值范围是(－1，1)．15．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b . (1)若a >0，若f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1，3]，求a ，b 的值． 解：(1)由于a >0，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π3≤2x ＋π3≤5π6，则12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 当a >0时，由f (x )的值域为[1，3]，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝3，12a ＋b ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1.当a <0时，依题意得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，12a ＋b ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.综上知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质 第2课时 正切函数的图象与性质A 级 基础巩固1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.答案：D2．f (x )＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：令－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，解得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z.所以函数f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z.答案：C3．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的是( )A ．y ＝sin x2B ． y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4解析：由函数周期为π可排除A.x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数，D 中在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且周期为π.答案：D 4．若直线x ＝kx2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( )A.14 B ．－34C.14或－34 D ．－14或34解析：由题意得2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z. 则k ＝14＋m ，m ∈Z.由于－1≤k ≤1，所以k ＝14或－34.答案：C5．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为( )A ．(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π18，0，k ∈Z D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z 解析：由函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ， 令3x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，则x ＝k π6－π18(k ∈Z)．所以y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z.答案：D6．函数y ＝lg(3－tan x )的定义域为____________________． 解析：因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z)，根据正切函数图象，得k π－π2<x <k π＋π3(k ∈Z)，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z 7．若函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝______．解析：因为π|3a |＝π2，所以|a |＝23.所以a ＝±23.答案：±238．函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3的最大值是________．解析：因为函数y 1＝sin x 与y 2＝tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上都是递增函数，所以y ＝sin x ＋tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上是单调递增函数，y max ＝sin π3＋tan π3＝332.答案：3329．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z ；值域为R.最小正周期T ＝π2.对应图象如图所示：10．求函数y ＝12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π4的定义域，单调区间及对称中心． 解：由5x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π5＋π20，k ∈Z.函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π5＋π20，k ∈Z. 由k π－π2<5x ＋π4<k π＋π2，得k π5－3π20<x <k π5＋π20，k ∈Z.函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π5－3π20，k π5＋π20，k ∈Z ，由5x ＋π4＝k π2，得x ＝k π10－π20，k ∈Z ，函数图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π10－π20，0，k ∈Z. B 级 能力提升11．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.π4B ．0C ．1D ．2 解析：因为y ＝tan ωx 的周期T ＝πω，所以y ＝π4与y ＝tan ωx 的图象相邻两交点间的距离为πω.故πω＝π4，ω＝4，所以f (x )＝tan 4x . 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0.答案：B12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：由题意可知ω<0，又⎝⎛⎭⎪⎫π2 ω，－π2 ω⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 故－1≤ω<0. 答案：B13．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________．解析：因为f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7， 所以a sin 5＋b tan 5＝6.所以f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－5.答案：－514．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a的取值范围．解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以0≤2x －π3≤π3.又因为y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，所以0≤tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤ 3.所以0≤2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2 3.由题意知a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>0恒成立，即a >2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． 所以a >2 3.所以实数a 的取值范围是(23，＋∞)．15．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解：因为1<T <32，所以1<πk <32，即2π3<k <π.因为k ∈N *，所以k ＝3.则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3，由3x －π3≠π2＋k π(k ∈Z)，得x ≠5π18＋k π3(k ∈Z)，定义域不关于原点对称．所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π(k ∈Z)，得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3(k ∈Z)．所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z.第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( ) A ．3，4 B ．3，π2 C.π2，4 D.π2，3解析：由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，所以振幅是3，周期是T＝2ππ2＝4.答案：A2．(2015·山东卷)要得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度解析：由y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π3＝sin 4⎝⎛⎭⎪⎫x－π12得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移π12个单位长度．答案：B3．函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是()答案：A4．函数y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3图象的一条对称轴方程为() A．x＝－π6B．x＝－512πC．x＝π2D．x＝π6答案：B5．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则φ的最小值分别为( )A.π6B.π3C.2π3D.π12解析：函数f (x )的图象向左平移φ个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6的图象， 于是2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，取k ＝0，得φ的最小值为π6.答案：A6．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π6的频率是________，图象最高点的坐标是________．解析：由于T ＝8π，则频率f ＝1T ＝18π，当14x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝8k π＋8π3 (k ∈Z)时，函数取得最大值6.答案：18π⎝ ⎛⎭⎪⎫8k π＋8π3，6(k ∈Z)7．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位长度，则所得图象的解析式为________________．解析：由题意y ＝sin x 的图象――――――――――――→各点横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变y ＝sin2x 的图象y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象， 则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x . 答案：y ＝cos 2x8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．解析：由题意得T2＝2π－34π，所以T ＝52π，ω＝45.由x ＝34时，y ＝－1，得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ， 又－2π5<35π＋φ<85π，所以35π＋φ＝32π.所以φ＝910π.答案：910π 9．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的． 解：(1)列表：12x －π4 0 π2 π 3π2 2π x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 y3－3数一个周期内的图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4k π(k ∈Z)个单位长度．得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． (2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象；②把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． 法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象；②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． 10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．解：(1)函数的一条对称轴是直线x ＝π8，2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z)．B 级 能力提升11．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53D ．2解析：函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(其中ω>0)． 将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z)，故得ω的最小值是2. 答案：D12．(2014·福建卷)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 解析：由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确． 答案：D13.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则函数的解析式为f (x )＝__________．。

章末过关检测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°的值为( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析：原式＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin 45°＝22.答案：C2．若函数f (x )＝－sin 2x ＋12(x ∈R)，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 解析：f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .答案：D3．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2 C. 2 D ．2解析：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝－2sin π4＝－ 2.答案：B4．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2解析： f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，振幅为1，T ＝2πω＝2π2＝π. 答案：A5．已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin α＝2sin α2cos α2＝－2425<0，cos α＝2cos 2 α2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725<0. 所以α为第三象限角． 答案：C6.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62 C ．1 D.12解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 答案：A7．设向量a ＝(sin 15°，cos 15°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ，b 的夹角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 解析：因为|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 30°＝12，所以a ，b 的夹角θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝12. 又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°. 答案：B8．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53 解析：△ABC 中，C ＝120°，得A ＋B ＝60°，所以(tan A ＋tan B )＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(1－tan A tan B )＝233. 所以tan A tan B ＝13.答案：B9．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：因为cos A ＝55，所以sin A ＝255.同理sin B ＝1010. 因为cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－55×31010＋255×1010＝－5050<0， 所以C 为钝角． 答案：B10．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 所以由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α.所以2α－β＝π2.答案：B11．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值是( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．3D ．1解析：由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2，且0≤x ≤π2， 所以π4≤x ＋π4≤34π.所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1.所以3≤y ≤2＋2. 答案：C12．(2014·天津卷)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C ．πD ．2π 解析：由题意得函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝13，则cos(2x －2y )＝________．解析：因为cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )＝13，所以cos 2(x －y )＝2cos 2(x －y )－1＝－79.答案：－7914．(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.答案：315．设f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )有最大值4，则a ＝________．解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以f (x )max ＝3＋a ＝4.所以a ＝1. 答案：116．在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C 2＋cos 2A 等于________．解析：在△ABC 中，B ＋C 2＝π2－A2，所以sin2B ＋C2＋cos 2A ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＋cos 2A ＝cos 2 A2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1＝－19. 答案：－19三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求cos 2β的值． 解：由sin(α－β)＝35及α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得：cos(α－β)＝ －45，由sin(α＋β)＝－35及α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π得： cos(α＋β)＝ 45.所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1.18．(本小题满分12分)(2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2sin 2α－1＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.19．(本小题满分12分)在斜△ABC 中，sin A ＝－cos B cos C 且tan B tan C ＝1－3，求角A .解：在三角形中，有A ＋B ＋C ＝π， 所以sin A ＝sin(B ＋C )．所以－cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C .上式两边同时除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－1. 又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－11－（1－3）＝－33.因此tan A ＝33. 又0<A <π，所以A ＝π6.20．(本小题满分12分)设函数f ()x ＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R)．且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π3.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6上的最小值为3，求a 的值．解：(1)f ()x ＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＋a ＝1＋cos 2ωx2＋3sin 2ωx2＋a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12＋a .依题意得2ω·π3＋π6＝π2⇒ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12＋a ，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，从而f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6 上的最小值为3＝－12＋12＋a ，故a ＝ 3.21．(本小题满分12分)设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋b )．(1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0. 所以2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，解之得k π－π8≤x ≤k π＋3π8.所以使f (x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .22．(本小题满分12分)(2014·福建卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2数学学习资料数学学习资料 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。

第四章检测题一、选择题(本大题共14小题，第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.与－463°终边相同的角可以表示为(k ∈Z )( ) A.k ·360°＋463° B.k ·360°＋103° C.k ·360°＋257° D.k ·360°－257° 答案：C2.已知θ是第三象限的角，且cos2θ＜0，那么2θ为( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角 答案：B3.若sin x ＋cos x ＝1，那么sin n x ＋cos n x 的值是( ) A.1 B.0 C.－1 D.不能确定 答案：A4.在函数y ＝｜tan x ｜，y ＝｜sin(x ＋2π)｜，y ＝｜sin2x ｜，y ＝sin(2x －2π)四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，2π)上的增函数个数是( )A.1B.2C.3D.4答案：B5.下列四个命题正确的是( ) A.sin2＜sin3＜sin4 B.sin4＜sin2＜sin3 C.sin3＜sin4＜sin2 D.sin4＜sin3＜sin2答案：D6.log2sin 125π＋log π125cos 2的值为( ) A.1 B.4 C.－4 D.－1 答案：C7.满足等式sin4x cos5x ＝－cos4x sin5x 的x 的一个值是( ) A.10° B.20° C.50° D.70° 答案：B8.若b ＞a ＞0，满足tan α＝ab b a 222-，且sin α＝2222b a a b +-的角α的集合是( )A.｛α｜0＜α＜2π＝ B.｛α｜2π＋2k π≤α≤π＋2k π，k ∈Z ｝ C.｛α｜2k π≤α≤π＋2k π，k ∈Z ｝D.｛α｜2π＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ｝答案：D9.要得到函数y ＝sin(2x －3π)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( ) A.向右平行移动6π个单位 B.向右平行移动3π个单位C.向左平行移动6π个单位D.向左平行移动3π个单位答案：A10.已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，在同一周期内，当x ＝12π时，取最大值y ＝2，当x ＝127π时，取得最小值y ＝－2，那么函数的解析式为( )A.y ＝21sin(x ＋3π) B.y ＝2sin(2x ＋3π) C.y ＝2sin(2x －6π)D.y ＝2sin(2x ＋6π)答案：B11.若sin α＝m ，α为第二象限角，则tan2α的值为( )A.－222112mm m --B.222112mm m --C.±22112mm m -- D.以上全不对答案：A12.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，其中a 、b 、α、β均为非零实数，若f (1988)＝3，则f (2002)的值为( )A.1B.5C.3D.不确定 答案：C13.函数f (x )＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的取值范围是( )A.［0，2］B.［0，2］C.［1，2］D.［1，2］答案：D14.若θ是三角形的一个内角，且函数y ＝cos θ·x 2－4sin θ·x ＋6对于任意实数x 均取正值，那么cos θ所在区间是( )A.(21，1) B.(0，21) C.(－2，21)D.(－1，21)答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.) 15.若α、β为锐角，且cos(α＋β)＝1312，cos(2α＋β)＝53，则cos α等于__________. 答案：655616.函数y ＝sin2x ＋cos 2x，x ∈(－2π，2π)为增函数的区间是__________. 答案：［－23π，2π］17.设f (x )是以5为周期的函数，且当x ∈［－25，25］时，f (x )＝x ，则f (6.5)＝__________.答案：1.518.已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，则θ值为__________. 答案：k π－4π(k ∈Z ) 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 19.(本小题满分12分)已知tan(180°＋α)－tan(450°－α)＝2(0＜α＜90°)，求)180cos()360csc()450sin()360sec(αααα-︒--︒-︒-+︒的值.答案：－120.(本小题满分12分)已知cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－54且450°＜β＜540°，求cos2β和sin(32π＋2β). 答案：cos2β＝257，sin(32π＋2β)＝503724+.21.(本小题满分12分)如图，在半径为R ，中心角为2α(0＜2α＜2π)的扇形OAB 内作矩形CDEF ，使C 、D 两点在半径OA 上，F 点在半径OB 上，E 在弧AB 上，求矩形CDEF 面积的最大值.解：设E (R cos θ，R sin θ)，则S 矩＝ααθα2sin 2]2cos )22[cos(2--R ，当θ＝α时，S max ＝22R tan α22.(本小题满分12分) 已知tan θ＝aa-1 (0＜a ＜1)， 化简θθθθcos sin cos sin 22-++a a .答案：－223.(本小题满分12分)已知:cos α＝cos x ·sin γ，cos β＝sin x ·sin γ 求证：sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝2 证明：(略)24.(本小题满分14分)在锐角△ABC 中，A 、B 、C 是它的三个内角，记S ＝BA tan 11tan 11+++，求证：(1)S ＜1；(2)S ＜BBA A tan 1tan tan 1tan +++ 证明：(1)∵S ＝)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1B A BA +++++＝BA B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1++++++又A ＋B ＞90°，∴90°＞A ＞90°－B ＞0 ∴tan A ＞tan(90°－B )＝cot B ＞0 ∴tan A ·tan B ＞1，∴S ＜1 (2)S BBA A -+++tan 1tan tan 1tan＝)tan 1)(tan 1(1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan tan tan tan tan tan B A B A B A B A B B A A +++++-++⋅++⋅+＝0)tan 1)(tan 1()1tan (tan 2>++-⋅B A B A∴S ＜BBA A tan 1tan tan 1tan +++成立.。

章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是________．【解析】 ∵F ＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)． 【答案】 (9,1)2.BA →－BC →＋AB →＋AC →＝________.【解析】 原式＝CA →＋AC →＋AB →＝0＋AB →＝AB →. 【答案】 AB →3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，若c ＝λa ＋μb ，则λ，μ的值分别是________．【解析】 ∵c ＝λa ＋μb ， ∴(－1,2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)，∴⎩⎨⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32.【答案】 12，－324．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量的坐标是________．【解析】 AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，∴e ＝AB→|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455．(2016·镇江高一检测)已知向量a ＝(3x,1)，b ＝(2，－5)，若a∥b ，则x ＝________.【解析】 ∵a∥b ，∴－15x ＝2，x ＝－215.【答案】 －2156．若|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1，则|a －b |＝________. 【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1 ∴|a －b |＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋2＋4＝7. 【答案】77．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 设b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，4x －3y ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝－35，即b ＝⎝⎛⎭⎪⎫45，－35. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－358．(2016·扬州高一检测)下列5个说法： ①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a·b )c ＝c (b·c )；⑤(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .其中正确的是________．【解析】 共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．【答案】 ③⑤9．(2016·南京高一检测)已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，且2a －b 与b 垂直，则|a |等于________．【解析】 2a －b ＝(3，n )，∵(2a －b )·b ＝0，∴n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |2＝1＋n 2＝4，∴|a |＝2.【答案】 210．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．【解析】 ∵a∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0，解得x ＝4， ∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8,8)，∴|MN →|＝8 2.【答案】 8 211．(2016·泰州高一检测)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是________．(1)|b |＝1；(2)a⊥b ；(3)a·b ＝1；(4)(4a ＋b )⊥BC →. 【解析】 如图△ABC 是边长为2的等边三角形．由已知b ＝AC →－2a ＝AC →－AB →＝BC →，显然(1)(2)(3)错，(4a ＋b )·BC →＝2AB →·BC →＋|BC →|2＝2×2×2×cos 23π＋22＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →.【答案】 (4)12．如图1，非零向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ＝________.图1【解析】 BC →＝OC →－OB →＝λa －b ，∵BC →⊥OA →，∴a ·(λa －b )＝0，则λ＝a ·b|a |2. 【答案】 a ·b|a |213．已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．【解析】 ∵a ＋2b ＝(－2,3)，在l 上任取一点P (x ，y )，则有AP →⊥(a ＋2b )， ∴AP →·(a ＋2b )＝0，∴(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0， ∴2x －3y －9＝0. 【答案】 2x －3y －9＝014．已知OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，O 为坐标原点，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为________．【解析】 设P (x,0)，∴AP →·BP →＝(x －2，－2)·(x －4，－1)＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．【答案】 (3,0)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图①，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图②，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.图2【解】 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b .DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b .(2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b . 16．(本小题满分14分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1)若a⊥b ，求x 的值； (2)若a∥b ，求|a －b |.【解】 (1)若a⊥b ，则a·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝22＋－2＝2 5.17．(本小题满分14分)(2016·无锡高一检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．【解】 (1)由题设，知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设，知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 18．(本小题满分16分)设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【解】 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得t e 1＋7e 2e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|＜0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＜0.(*)∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7＜0. 解得：－7＜t ＜－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)．对比系数得⎩⎨⎧ 2t ＝λ7＝λtλ＜0，∴⎩⎨⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.19．(本小题满分16分)设作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为23π，如图3所示．求：(1)F 3的大小； (2)∠F 3OF 2的大小．【解】 (1)F 1、F 2、F 3三个力处于平衡状态， 故F 1＋F 2＋F 3＝0. 即F 3＝－(F 1＋F 2)． ∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝F1＋F 22＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝1＋4＋2×1×2cos 23π＝ 3.(2)如图所示，以F 2所在直线为x 轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系，将向量F 1，F 3正交分解，设∠MOF 3＝θ，由受力平衡知⎩⎪⎨⎪⎧|F 3|·cos θ＋|F 1|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－23π＝|－F 2|，|F 3|·sin θ＝|－F 1|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π2，即⎩⎪⎨⎪⎧|F 3|·cos θ＝|－F 2|－|F 1|·cos π3，|F 3|sin θ＝|－F 1|cos π6.将数值代入得⎩⎪⎨⎪⎧3cos θ＝2－12，3sin θ＝32，∴θ＝π6.于是得∠F 3OF 2＝π－π6＝56π.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →. 【解】 (1)因为AB →＝(n －8，t )，且AB →⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB →|＝5|OA →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 则n ＝24或－8，所以OB →＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC →＝(k sin θ－8，t )，AC →与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16.又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k ，当k ＞4时，1＞4k＞0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k；由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6， 故OC →＝(4,8)，所以OA →·OC →＝8×4＋8×0＝32.。

章末综合检测(三)1.计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ.【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×0＋2×31×（－2）＋2×123×0＋4×3 3×（－2）＋4×12 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －112 －4. (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θcos φ－sin θsin φ －cos θsin φ－sin θcos φsin θcos φ＋cos θsin φ －sin θsin φ＋cos θcos φ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos （θ＋φ） －sin （θ＋φ）sin （θ＋φ） cos （θ＋φ）. 2.已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，计算AB ，并从变换的角度解释.【导学号：30650032】【解】AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－3232 －32＋12. AB 所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的.3.已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －222222，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且MN ＝A ，求二阶矩阵N .【解】设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22（a －c ） 22（b －d ）22（a ＋c ） 22（b ＋d ）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧22（a －c ）＝1，22（b －d ）＝0，22（a ＋c ）＝0，22（b ＋d ）＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝22，b ＝22，c ＝－22，d ＝22.∴N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222. 4.设E 为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M ，ME ＝EM ＝M . 【证明】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数，则 ME ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ＝M ，EM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝M . 所以等式得证.5.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，试求A 2，A 3，并据此猜想A n (n ∈N *).【导学号：30650033】【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α， 所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos αcos α－sin αsin α cos αsin α＋sin αcos α－cos αsin α－sin αcos α －sin αsin α＋cos αcos α ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α， A 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 3α sin 3α－sin 3α cos 3α， 所以据此猜想A n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos nα sin nα－sin nα cos nα. 6.根据如图1所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？图1【解】 (1)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的伸压变换得到.(2)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1对应的伸压变换，再施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的伸压变换得到.7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. (1)计算AB ，BA ；(2)设M ＝AB ，N ＝BA ，若矩阵M ，N 分别把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的方程.【解】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×1＋1×0 2×（－2）＋1×1－1×1＋2×0 －1×（－2）＋2×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 4， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×2＋（－2）×（－1） 1×1＋（－2）×2 0×2＋1×（－1） 0×1＋1×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －3－1 2. (2)任取直线l 上一点P (x ，y )经矩阵M 变换后为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y －x ＋4y ， ∴⎩⎨⎧x′＝2x －3yy′＝－x ＋4y，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45x′＋35y′y ＝15x′＋25y′，把上式代入x ＋y ＋2＝0得： 45x ′＋35y ′＋15x ′＋25y ′＋2＝0， 即x ′＋y ′＋2＝0，∴直线l 1的方程为x ＋y ＋2＝0， 同理可求l 2的方程为3x ＋7y ＋10＝0.8.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0，0)，B (1，1)，C (0，2)，求△ABC在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【解】 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 可知A ，B ，C 三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是A ′(0，0)，B ′(1，－1)，C ′(0，－2).计算得△A ′B ′C ′的面积为1.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为1.9.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ， 且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 0－2 0. (1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象.【导学号：30650034】【解】 由题设得⎩⎨⎧c ＋0＝22＋ad ＝0bc ＋0＝－22b ＋d ＝0，解得：⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2.(2)设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y )，在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x ′，y ′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 2x 得y ′＝－x ′，即点(x ′，y ′)必在直线y ＝－x 上.由(x ，y )的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .10.假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下：利用A ，B ，C ，按下列要求求出矩阵乘积：(1)计算乘积BA ，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表；(2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表.【解】 (1)BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5 1.22.83.0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1 7.210.1 9.6. 由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费10.1元.故BA 表示男、女在A ，B 两店每日需消费的金额，用量表表示如下：(2)C 与B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量： CB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 5080 120⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350 500440 400，故量表为。

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. 答案：122．计算2cos 2π8－1的值为________． 解析：2cos 2π8－1＝cos(2×π8)＝cos π4＝22. 答案：223.已知tan α＝－43，则tan(α＋134π)的值是________． 解析：tan(α＋134π)＝tan α＋tan 134π1－tan αtan 134π＝ －43＋11－（－43）×1＝－17. 答案：－174.函数y ＝sin x ·(cos x ＋sin x )的最小正周期T ＝________．解析：y ＝sin x (cos x ＋sin x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∴最小正周期T ＝π.答案：π5．tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝________．解析：原式＝tan(18°＋42°)(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°·tan 42°＝3(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°tan 42°＝ 3.答案： 36.已知α是第二象限角，且cos α＝－45，则tan 2α＝________． 解析：由α是第二象限角，且cos α＝－45，得sin α＝35； ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725； ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247. 答案：－2477.已知sin 2α＝13，则tan α＋1tan α＝________． 解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝112sin 2α＝6. 答案：68.若sin(α＋β)＝47，sin(α－β)＝67，则tan αtan β＝________． 解析：由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＝47， sin αcos β－cos αsin β＝67， ∴sin αcos β＝57，cos αsin β＝－17， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－5. 答案：－59.3－sin 70°2－cos210°＝________． 解析：原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2. 答案：210.若α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于________． 解析：∵α是第三象限角，且sin α＝－2425， ∴cos α＝－1－sin2α＝－725， ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43. 答案：－4311.已知cos α＝－14，则cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝________． 解析：cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝22（cos α－sin α）2cos2α－2sin αcos α＝22（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝24cos α＝－ 2. 答案：－ 212.计算2cos 55°－3sin 5°cos 5°＝________． 解析：原式＝2cos （60°－5°）－3sin 5°cos 5°。