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初中数学几何三大专题复习一、平面几何平面几何是数学中重要的分支之一，涉及到点、线、面和图形等概念的研究。
初中数学几何的复重点主要包括以下三个方面：1. 图形的性质及相关定理- 点、线、面和图形的基本概念及定义；- 长度、角度、面积和体积的计算方法；- 直线、射线、线段、平行线和垂直线的性质；- 三角形、四边形、多边形等图形的性质及分类；- 圆的性质及相关定理。
2. 直线与角的关系- 同位角、内错角、对顶角等角度关系的计算和性质；- 平行线与转角、同旁内角等角度关系的计算和性质。
3. 图形的相似性- 相似图形的概念、判定和性质；- 相似三角形的相似判定定理和相应性质；- 相似三角形的比例关系及应用；- 射影定理及其应用。
二、立体几何立体几何是研究空间中的物体和几何体的形状、位置和运动的学科。
初中数学几何的复重点主要包括以下三个方面：1. 空间几何体的性质和关系- 空间几何体的基本概念和定义；- 球体、长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆台等几何体的性质；- 几何体的面积和体积的计算方法。
2. 空间直线和平面的关系- 平面与直线的关系及其相交情况；- 平面与平面的关系及其相互位置。
3. 空间几何体的投影和视图- 空间几何体的投影概念和特点；- 空间几何体在不同位置的视图。
三、坐标几何坐标几何是利用坐标系统来研究几何性质和关系的分支学科。
初中数学几何的复重点主要包括以下三个方面：1. 直角坐标系- 直角坐标系的基本概念和性质；- 平面直角坐标系和空间直角坐标系的关系。
2. 平面上的点和图形- 平面上点的坐标表示和计算；- 图形的坐标表示和计算。
3. 直线和曲线方程- 直线的斜率和截距的计算；- 直线和曲线方程的表示和应用。
以上是初中数学几何三大专题的复习内容概要，希望能帮助你有针对性地进行复习，取得更好的成绩！。
几何题初三知识点总结归纳几何学是数学的一个重要分支，它研究空间、形状和位置的性质和变化规律。
对于初三学生而言，几何学是一个需要掌握的重要知识领域。
本文将对初三几何题的知识点进行总结归纳，旨在帮助学生们更好地理解和应用几何学知识。
一、平面几何1.点、线、面的基本概念点是几何学中最基本的对象，它没有长度、宽度和高度。
线由无数个点组成，是没有宽度的对象。
面是由无数条线组成的，它有长度和宽度。
2.角的概念与性质角由两条射线的公共端点和这两条射线所夹的部分组成。
常见的角有锐角、直角、钝角等不同类别，它们的度数分别小于90°、等于90°和大于90°。
3.两点之间的距离及角的度量两点之间的距离可以用坐标公式进行计算，即d＝√[(x₂-x₁)^2+(y₂-y₁)^2]。
角的度量可以用度度量、弧度制等不同单位进行表示。
4.平行线与相交线平行线是在同一平面内，方向相同且不相交的两条直线。
相交线是指在同一平面内，有一个公共的交点的两条直线。
5.三角形的性质三角形是由三条线段组成的多边形，具有三个顶点和三个内角。
三角形的性质包括角的性质、边的性质和面积的计算方法等。
6.四边形的性质四边形是由四条线段组成的多边形，具有四个顶点和四个内角。
四边形的性质包括平行四边形、矩形、正方形等特殊类型，并可以根据具体条件进行计算和证明。
7.相似三角形与全等三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，其对应边长成比例。
全等三角形是指具有相同的形状和大小的三角形，其对应边和对应角都相等。
二、空间几何1.直线与平面直线是一个维度最低的几何对象，它与平面相交于一点或不相交。
平面是由无数条直线组成的，具有长度和宽度。
2.立体图形的名称与性质立体图形是具有三个维度的几何对象，常见的立体图形包括球体、正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
每种立体图形都有独特的性质和计算方法。
3.空间的方位关系空间中的物体可以相对于其他物体或参照坐标系来确定方位关系，包括水平、垂直、平行、垂直平分线等不同概念。
初三数学几何综合题专题复习练习—、几何综合题特点：解证几何综合问题：就是从逻辑推理和定量计算的角度来探求新的、未知的结论.通俗地讲就是创造条件实现由已知向未知的转化.综合题是知识、方法、能力综合型试题，具有知识容量大、解题方法活、能力要求高、突现数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点.纯几何综合题包括:1.利用圆的知识可以隐含三角形，形成与直角三角形结合的问题，其中包括求线段长、求角度、求阴影部分的面积以及图形面积问题（不能排除直线形问题）2.图形变换问题：这是一个独立形成综合题问题的知识点.几何综合题以几何图形的位置, 元素之间的关系为核心.以直线或者圆为支撑点，包括多个知识点，多种解题思想方法，多步骤等特点，多为探讨几何本质：研究平面几何图形在运动变化过程中的不变性质和不变量，或者变化规律的问题.二、中考对几何综合题的考查方面：连续运动变化过程中，不变结论或者变化规律的探究，特定状态的定量计算;点的轨迹特征.三、常见几何综合题的入手点：1.题目的背景都是几何变换，而且不止是一种变换2.考察学生根据文字描述准确作图的能力3.采用“问题探究一问题解决”的模式展开问题，立意新颖，构思巧妙,设问起点低,坡度大，难点分散，各小题之间承接性强，层层深入，第一问到第二问按特殊到一般的思想融入，入手自然，深入不难4.多以常见的全等结构为基础加以变化、引申呈现出题目，多有一定的新颖性和探究性，往往需要转化或还原成一些基本图形，所得图形都是学生做过多次、教师重点讲解过的基本图形。
探究性体现出“去模式化”的命题思路，转化和还原的基本图形和基本结构则是“模式化'的四、在解决此类问题时，往往需要把握以下几点：1.变换工具的运用；2.求解工具的运用；3作图工具的运用；4.分类讨论的意识；5.轨迹的意识；6.模型的意识；五、分析什么？怎么分析符合学生的认知规律？1.还原图形的生成过程，分步画图2.确定每步的结论以及相应的可用的方法3.判断图形或图形的元素是否需要移动六、复习建议:随时总结、熟练掌握一些典型图形及常用辅助线的作法及其作用；1.提高根据文字描述准确作图的能力，加强作图的意识2.—题多解，多题归一，体会将数学问题分解、类比、转化、及运动变化的思维过程3.引导学生挖掘各小问之间的联系，寻找解题思路4.不过度搜寻难题，给学生建立解题信心5.对几何证明的常规思路、通法进行总结七、几何中常见的辅助线做法：1构造有角平分线、平行线、等腰三角形共存的图形2.截长补短，证线段的和、差、倍、分3.构造三角形中位线4.三角形中有中线(或一边上有中点)，构造“8”字型全等5作平行线，构造相似形6.作垂线，构造直角三角形、全等三角形或相似形7.在角平分线、线段垂直平分线的两侧构造轴对称(或利用等腰三角形、菱形、正方形的轴对称性)&图中有有公共端点的等线段时，构造旋转图形9.平移线段，构造全等三角形、构造相似形10.构造辅助圆八、举例说明常见的几何背景:_、以四边形为背景的几何综合题(-)四边形+旋转1.四边形如CD是正方形将线段CD绕点C逆时针旋转2仁(0。
中考数学——几何综合（讲义）➢ 知识点睛1. 几何综合问题的处理思路①标注条件，合理转化 ②组合特征，分析结构 ③由因导果，执果索因 2. 常见的思考角度304560 1 ↔⎧⎪↔⎪⎪↔⎨⎪↔⎪⎪︒︒︒↔⎩，，同位角、内错角、同旁内角平行内角、外角、对顶角、余角、补角转化计算角圆心角、圆周角在圆中，由弧找角，由角看弧直角互余、勾股定理、高、距离、直径特殊角等在直角三角形中，找边角关系（） 2 ↔⎧⎪⎧⎪↔⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪↔⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪↔⎩、角平分线、垂直平分线轴对称性质勾股定理放在直角三角形中边角关系遇弦，作垂线边、线段连半径转移边放在圆中遇直径找直角遇切线连半径结合全等相似线段间比（例关系） 3 n ⎧⎧⎪⎪⎪⎪→⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩倍长中线中位线中点三线合一特殊点斜边中线等于斜边的一半相似等分点面积转化（） 4 ⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩公式法相似规则图形转化法同底面积共高分割求和不规则图形割补法）补形作差（3. 常见结构、常用模型⎧→⎧⎪⎪→⎪⎪⎨⎪→⎪⎪⎪→⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩中点结构中点的思考角度直角结构斜转直常见结构旋转结构全等变换折叠结构轴对称的思考层次角平分线模型弦图模型常用模型相似基本模型三等角模型半角模型 ➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．若∠AEF =55°，则∠EAF=________．F EDCBA提示：倍长中线，构造全等三角形转移条件．具体操作：D 为中点，延长AD 到G 使DG =AD ，连接BG ．得到△ADC ≌△GDB ．2. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC =90°，∠C =70°，点E 是BC的中点，CD =CE ，则∠EAD 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°提示：平行夹中点，构造全等三角形补全图形．AD CE B具体操作：AB ∥CD ，E 为BC 的中点，延长AE 交直线CD 于点F ．得到△ABE ≌△FCE ．3. 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB =66°，∠CAD =20°，则∠EFG =____．AB CD FEG提示：多个中点考虑中位线，利用中位线性质转移角、转移边．具体操作：GF ，GE 分别为△CDA ，△ABC 的中位线．4. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =DC =3，sin C =45，则△ABC 的周长为______．提示：等腰三角形底边上的的中点——通过等腰三角形三线合一，构造直角三角形．具体操作：连接AD ，得到Rt △ADC ．5. 如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 是BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ．则以下结论：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ；④当∠ABC =45°时，BNPC ．其中正确的有（ ）具体操作：在Rt △BMC 中，MP 为斜边中线；在Rt △BNC 中，NP 为斜边中线．6. 如图，正方形ABCD 边长为9，点E 是线段CD 上一点，且CE 长为3，连接BE ，作线段BE 的垂直平分线分别交线段AD ，BC 于点F ，H ，垂足为G ，则AF 的长为______．H G F EDCBA方法1：提示：从边的角度考虑直角，往往先表达，然后用勾股定理建等式． 具体操作：连接BF ，EF ，则BF =EF ，设AF 为x ，分别在Rt △BAF 和Rt △EDF 中表达BF 2，EF 2，再利用BF 2=EF 2求解． 方法2：提示：从角度转移考虑直角，往往先找角相等，然后证相似或全等． 具体操作：过点F 作FM ⊥BC 于点M ，则可证△FMH ≌△BCE ，则MH =CE =3，连接EH ，利用勾股定理求解EH （BH ），则AF =BH -MH ． 7. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于D ．则AD 的长为_______________．DCBA提示：①特殊角+直角；②直角两边可看做是面积中的底或高．具体操作：①过点C 作CE ⊥AB ，交BA 延长线于点E ，在Rt △CAE 中利用特殊角60°求解；②将AD 看成高，求出BC 后，利用CE AB AD BC ⋅=⋅求解．8. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，则BD =________．ABECD提示：直角+角平分线，逆用三线合一构造出等腰三角形．具体操作：BE 既是角平分线、又是高．延长BA ，CE 交于点F ，可证△CAF ≌△BAD ．9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，BD =2，AD =8，则CD =_________．DC提示：多个直角（直角三角形斜边上的高），考虑母子型相似．具体操作：由∠ACB =∠ADC =90°，考虑△BDC ∽△CDA ∽ △BCA ．10. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若∠AED =90°，则CE =_____．ABCDE提示：多个直角（一线三等角），考虑三等角模型．具体操作：∠ABE =∠ECD =∠AED =90°，考虑△ABE ∽△ECD ．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC=BC 的长为________．CB OAED提示：多个直角（斜放置的正方形、等腰直角三角形），考虑弦图．具体操作：过点D 作DF ⊥CB ，交CB 延长线于点F ，连接OF ．由弦图可知，△OCF 是等腰直角三角形．12. 如图，将三角板放在矩形ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点B ，三角板的直角顶点E 落在矩形对角线AC 上，另一边交CD 于点F ．若AB =3，BC =4，则EF EG=________． FEDCG (B )A提示：斜直角要放平（关键是与其他直角配合），利用互余转移角后，寻找三角形相似或全等．具体操作：过点E 分别作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥BC 于N ，则△EMF ∽△ENG ．13. 已知直线l 1：y =112x b -+与直线l 2垂直，且直线l 2经过定点A (3，0)，则直线l 2表达式为________________．提示：坐标系下的垂直，优先考虑121k k ⋅=-． 具体操作：由121k k ⋅=-求得k 2，再利用A (3，0)求b 2．14. 如图，在⊙O 中，弦AB，弦ADACB =45°，则弦AD 所对的圆心角为_______．CA提示：圆背景下，要构造直角，考虑：①直径所对的圆周角是直角；②垂径定理．具体操作：连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接DE ，BE ．在Rt △ABE 中，求解直径AE ；在Rt △ADE 中，利用边角关系，求解∠AED 进而得到∠AOD ． 15. 如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边上的点B ′处．若AE =2，DE =6，∠EFB =60°，则矩形ABCD 的面积是__________．B'A'F EDCBA提示：折叠，考虑：①利用对应边、对应角相等，考虑转移边、转移角；②矩形中的折叠常出现等腰三角形．具体操作：由折叠∠EFB =∠EFB′=60°，AE =A′E =2，∠B =∠A′B′F =90°，结合内错角∠B′EF =∠BFE =60°，可在Rt △A′B′E 中求解A′B′，即AB 的长．16. 如图，将长为4cm ，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长为__________．BCFAEMD提示：折叠，考虑折痕是对应点连线的垂直平分线．具体操作：连接BE ，BM ，ME ，则BM =ME ，在Rt △BAM 和Rt △MDE 中表达BM 2，ME 2，利用相等建等式求解．17. 如图，已知直线l ：y =122x -+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则点C 的坐标为_________．提示：折叠，可考虑折痕垂直平分对应点连线．函数背景下的折叠可以考虑121k k ⋅=-和中点坐标公式的组合应用．具体操作：连接OC ，先利用原点坐标和121k k ⋅=-求得OC 解析式；联立OC 和AB 解析式求出OC 的中点坐标后，进而求出点C 坐标．18. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，ACACB =90°，∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为__________．（结果保留π）19.的位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB′的度数为（ ） A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°C'B'ABC提示：旋转是全等变换，对应边相等，对应角相等；会出现等腰三角形． 具体操作：由旋转可知AC =AC′（对应边相等），∠BAB′=∠CAC′（旋转角相等）．20. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接P A ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接PQ ，CQ ．若P A :PB :PC =3:4:5，则∠PQC =________．QBCPA提示：利用旋转可以重新组合条件．当看到等腰结构时往往会考虑利用旋转思想构造全等．具体操作：由等腰结构AB =BC ，PB =BQ ，先考虑△APB 和△BQC 的旋转关系，证明△APB ≌△CQB 后验证，重新组合条件后利用勾股定理进行证明．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE =12∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________． FEDBA2. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，点E 是AD 上一点，且AE =4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，交AB 于点H ，连接EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是_______．HGOB A DEC F3. 如图，在□ABCD 中，AB :BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 边上，且AE :EB =1:2，F 是BC 的中点，过点D 分别作DP ⊥AF 于点P ，DQ ⊥CE 于点Q ，则DP :DQ 等于（ ） A ．3:4BCD．QDCFBPEACBGFEDA第3题图 第4题图4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE ⊥BD于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG ，DF ．若AG =13，CF =6，则四边形BDFG 的周长为________．5. 如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB =CD，AD =CD 中点，连接AE，且AE =BF =________．BCEADF6. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =3，BC =5，将腰DC 绕点D 逆时针方向旋转90°并缩小，恰好使DE =23CD ，连接AE ，则△ADE 的面积是________．7. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P (1，1)，C 为y 轴上一点，连接PC ．线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ．若直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的坐标为__________．8. 如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ．若DE :AC =3:5，则ADAB的值为_________． ED C B AEDCBA9. 如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ；如图2，展开再折叠一次，使点C 落在线段EF 上，折痕为BM ，BM 交EF 于O ，且△NMO的周长为3，展开再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为P ，EP 交AB 于Q ，则△AQE 的周长为_______．图1BAD FC EMN图2OBAD F CE PHG 图3Q BA D F CE10.如图，在边长为的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE =DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE ，BH ．若BH =8，则FG =_______．GHBA D F CE11.顺时针旋转得到△A B′C′，连接CC ′并延长，交AB 于点O ，交BB ′于点F ．若CC ′=CA ，则BF =_____．C'O B AFC B'12. 如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ，连接BP ．若AE =AP =1，PB =APD ≌△AEB ；②BE ⊥DE ；③点B 到直线AE；④1△△APD APB S S +=⑤4ABCD S =正方形 ） A ．③④⑤B ．①②⑤C ．①③⑤D ．①②④⑤PDA B CE【参考答案】 ➢ 课前预习1. 55°2. A3. 23°4. 165. B6. 27.7 8. 10 cm 9. 410. 1或6 11. 712. 4313. 26y x =-14.120°15.16.138cm17.816 () 55，18.(4π19.C20.90°➢精讲精练1.12.73.D4.205.4-6.27.99 () 44，8.1 29.1210.11.5 212.B。
初中几何综合题型总结归纳几何学是数学中的一个重要分支，初中阶段的几何学内容主要涉及基本图形的性质、相似与全等、平面与立体几何、坐标平面与图形变换等方面的知识。
而在初中数学中，几何综合题型也是一个需要重点关注和学习的部分。
本文将对初中几何综合题型进行总结归纳，帮助学生更好地理解、掌握和应用相关知识。
一、线段、角和三角形1. 线段比例问题：在几何综合题中，常常会涉及到线段比例的问题。
通过利用线段长度比例的性质，可以求解未知线段的长度。
在解答此类题型时，可以利用相似三角形的性质来进行计算。
2. 角的性质运用：角的性质在几何综合题中也有着重要的作用。
例如，利用三角形内角和等于180度的性质，可以求解未知角的大小。
此外，还可根据垂直角、同位角、内错角等性质进行推理和计算。
3. 三角形的分类和判定：在几何综合题中，经常要涉及到三角形的分类和判定问题。
例如，根据边长关系和角的大小关系，可以判定三角形的形状，并进一步利用性质求解问题。
二、平行线与比例1. 平行线与三角形的相似性：当两条平行线与一条交叉线相交时，所形成的各对同位角、内错角、同旁内角等角度关系，对于求解几何综合题型非常重要。
2. 平行线分线段比例问题：当一条直线与多条平行线相交时，可以利用相似三角形的性质，通过线段比例关系来求解未知线段的长度。
三、二次函数与几何图形1. 函数与图形的关系：几何综合题中，常常会出现与二次函数相关的问题。
在解答此类题型时，可以通过绘制函数图像，结合图形性质进行推理和计算，从而得到问题的解答。
2. 函数与最值问题：在几何综合题中，有时需要求解某种几何图形的最值问题，这时可以利用函数的最值性质，通过函数来建模并求解。
四、立体几何与体积1. 立体图形体积计算：在几何综合题中，计算立体图形的体积也是常见的问题。
可以根据图形的性质，利用体积公式或者利用几何分割的方法求解。
2. 空间坐标与图形变换：在解答几何综合题时，有时会出现与空间坐标和图形变换有关的问题。
中考几何综合知识点总结一、基本概念和性质1. 点、线、面的概念几何中的基本概念有点、线、面。
点是没有长度、宽度和厚度的，是空间中的最基本的事物。
线是由无数个点连成的，是没有宽度的。
面是由无数个线段围成的，它是有长度和宽度的。
在几何中，点、线、面不是物质的实体，而是一种理想的图象。
2. 直线、射线、线段的概念和性质直线种点有无限多个，不端点，无限延伸。
射线是一端点，向另一端无限延伸。
线段是两端有两个端点的。
3. 角的概念和性质角是由两条共同的端点连接起来的两条线形成的。
角的度量单位是度，一周的角是360度。
4. 三角形三角形是由三条线段围成的封闭图形，每条线段叫作三角形的边，三条边的交点叫作三角形的顶点。
5. 四边形四边形是由四条线段围成的封闭图形，它的四个线段叫作四边形的边。
6. 平行四边形的性质对角线互相平分，对边互相平行。
重心重合。
对角线长度相同。
7. 相交线和平行线的性质两线相交，若对顶角相等则两相交线平行。
二直线平行与一直线垂直，则相交线分别垂直。
如果有两条平行直线，那么它们之间的任何一条线都是垂直于这两条平行线的。
8. 相似三角形的性质相似三角形是指三角形的对应边成比例，对应角相等的三角形。
9. 同位角同位角是两条直线被另一条直线所剪成对角，它们对应于两条平行线之间的角。
二、图形的性质与计算1. 三角形的面积计算三角形的面积计算可以利用海伦公式或者底高定理，分别为s=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))和S=1/2*底*高。
2. 四边形的面积计算正方形和长方形的面积分别为边长的平方和长乘以宽。
梯形的面积计算公式是S=1/2*（上底+下底）*高。
3. 圆的面积计算圆的面积公式是S=πr²，其中r是圆的半径。
4. 弧长和扇形面积计算弧长的计算公式是L=rθ，扇形面积的计算公式是S=1/2r²θ。
5. 三视图物体的正视图、侧视图和俯视图的集合称作三视图。
通过三视图可以清晰地查看物体的外形和内部结构。
几何综合探究讲点1：平行相似【例1】（2010·武汉中考·24）已知：线段OA⊥OB，C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC,BD交于点P．（1）如图1，当OA＝OB，且D为OA中点时，求APPC的值；（2）如图2，当OA＝OB，且ADAO＝14时，求tan∠BPC的值；（3）如图3，当AD︰AO︰OB＝1︰n︰2n时，直接写出tan∠BPC的值．【练】（2014·武汉四调·24）在△ABC中，点D从A出发，在边AB上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在边BC上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E，运动时间为t 秒．（1）如图1，若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；（2）如图2，连接AF,CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；（3）如图3，AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN．①求证：BFCF=DNCN；②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值．讲点2：直角相似【例2】（2014·武汉中考·24）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B 出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ,CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．【练】（2012·武汉四调·24）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在边BC的点F处．（1）如图1，若折痕AE=55，且tan∠EFC=34，求矩形ABCD的周长；（2）如图2，在边AD上截取DG=CF，连接GE,BD，相交于点H，求证：BD⊥GE．讲点3：平行相似与直角相似【例3】（2009·武汉四调·24）如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为边BC上一动点，BC=nDC，AD⊥EC于点E，延长BE交AC与点F．（1）若n=3，直接写出CEDE=__________，AEDE=__________；（2）若n=2，求证：AF=2FC；（3）当n=__________，F为AC的中点（直接填出结果，不要求证明）．图1 【练】（2009·武汉五模·24）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE＝2CE，F为AB上一动点，BF＝nAF，连接DF,AE交于点P．（1）若n＝1，则APPE＝__________，FPDP＝__________；（2）若n＝2，求证：8AP＝3PE；（3）当n＝__________时，时，AE⊥DF（直接填出结果，不要求证明）．【例4】（2013·武汉四调·24）在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F,G分别在BC,AC上．（1）若AB＝8，DE＝2EF，求GF的长；（2）若∠ACB＝90°，如图2，线段DM,EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：MG＝NF；（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值．【练】（2013～2014·七一九下3月考·24）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，正方形DEFG的顶点D,E 在斜边AB上，顶点F,G分别在边BC,AC上．（1）求证：DE2=AD·BE；（2）如图2，正方形MDHN的顶点M,N,H分别在AB,AC,DG上，正方形EPQR的顶点P,Q,R分别在AB,BC,EF 上，求证：DM+EP=DE；（3）在（2）的条件下，若斜边AB上的高为9，则正方形MDHN与正方形EPQR的面积的和的最小值为__________．讲点4：普通相似【例5】（2013·武汉中考·24）已知四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF＝ADCD；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DECF＝ADCD成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出DECF的值．【练】（2013～2014·二中九下3月考·24）如图，平行四边形ABCD中，M,N分别是BC,CD中点，连接AM,AN 分别交BD于点E,F，连接EC．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）若∠MAN=∠ABC，求证：AMAN=ABAD；（3）在（2）的条件下，直接写出AMAB的比值为__________．分级检测A级1．（2011·武汉四调·24）在等腰△ABC中，AB=AC，分别过点B,C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D,E，连接DC,BE，DC与边AB相交于点M，BE与边AC相交于点N．（1）如图1，若DE∥CB，写出图中所有与AM相等的线段，并选取一条给出证明．（2）如图2，若DE与CB不平行，在（1）中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段，并给出证明．2．（2014·武汉五模·24）已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90 ，P点从C出发，在边CB上以每秒一个单位的速度向B运动, 运动时间为t秒（0≤t≤4）．BD⊥AP于点D，AC＝BC＝4，AP︰BD＝n．（1）如图,当t＝2时，求n的值；（2）若n＝2时，求t的值；（3）当n的值为43时，直接写出满足条件的t的值__________．B级1．（2009·武汉中考·24）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，ACAB＝2时，如图2，求OFOE的值；（3）当O为AC的中点，ACAB＝n时，请直接写出OFOE的值．2．（2013～2014·二中九下周练五·24）如图，在矩形ABCD中，AB=32BC，EC=14BC，F为线段AE上一动点，过点F作FG⊥AE交直线AB于点G．（1）如图1，当AF=2EF时，求AGGB的值；（2）如图2，当AG=AD=4时，过点F作FM⊥CF交AB于点M，求MG的长；（3）如图3，AB=6，点P为直线BC上一动点，当点P运动时，若存在唯一位置使∠GPF=90°，请直接写出所有满足条件的AF的长为____________________．【课外提升】1．（2011·武汉中考·24）（1）如图1，在△ABC中，点D,E,Q分别在AB,AC,BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：DPBQ＝PEQC；（2）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M,N两点．①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2＝DM·EN．2．（2013·武汉五模·24）如图1，AB⊥MN于点A，AB＝4，P是射线AN上一个动点（点P与点A不重合），∠BPC＝∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN于点D．（1）若AP＝2，求CP的值；（2）点P在运动的过程中线段CD的长是否是一个定值？若是，求CD的长；若不是，请说明理由；（3）当AP＝__________时，BD所在的直线与CP所在的直线相交于点E，且BEED＝56．3．（2013～2014·二中九下周练一·24）已知在面积为24的△ABC中，AB=10，正方形EFPQ的顶点E,F 在边AB上，顶点Q在边AC上．（1）如图1，在△ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPQ的位似正方形E1F1P1Q1，且使正方形E1F1P1Q1的面积最大（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）求出正方形E1F1P1Q1的边长；（3）如图2，若∠C=90°，在△ABC中放入正方形EFPQ和正方形FMND，使得EF,FD在边AB上，点Q,N分别在边CA,CB上，EH,DT分别为△AEQ,△BDN的角平分线，求HQ+BT的值；4．（2013-2014·二中九下周练二·24）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，且AB=2AD，点E在边AD上，点F在边CD上，∠A+∠BGE=180°．（1）如图1，当∠A=90°时，求证：CE=2BF；（2）如图2，当∠A<90°时，是否依然存在CE=2BF？若存在，请你给出证明；若不存在，请你说明理由；（3）如图3，当∠A<90°时，若点E,F分别恰好为AD,CD的中点，则cos∠BAD=__________．5．（2013-2014·二中九下周练三·24）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP=AB，过点C作CE⊥BP交直线BP于点E．（1）如图1，若ABBC=23，求证：BP=43CE；（2）若AB=BC，①如图2，当点P与点E重合时，求PDPC的值；②如图3，设∠DAP的平分线AF交直线BP于F，当CE=102，PD=2PC时，直接写出AF的值为__________．6．（2014·二中中考模拟一·24）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC=2CD，AB=nDC，E为对角线AC的中点．（1）如图1，当n=2时，求DFAF的值；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF,DE，求证：CF⊥DE；（3）如图3，若∠ABC=90°，当n=__________时，BF⊥AD．（直接写出答案）。
东北师大附中中考总复习 几何综合探究 专题练习例题1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5075135AB DC AD BC ====，，，点P 从点B 出发沿折线段BA AD DC --以每秒5个单位长度的速度向点C 匀速运动，点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC ⊥，交折线段CD DA AB --于点E ，点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间是t 秒()0t >（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ DC ∥?（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD DA ，上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）【答案】⑴507550355t ++==()s 时，点P 到达终点C ， 此时，353105QC =⨯=，所以BQ 的长为13510530-=．⑵如图1，若PQ DC ∥，又AD BC ∥，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD QC =, 由35QC t BA AP t =+=， 得507553t t +-=，解得1258t =， 经检验：当1258t =时，有PQ DC ∥． ⑶①当点E 在CD 上运动时，如图2，分别过点A 、D 作AF BC ⊥于点F ，DH BC ⊥于点H ，则四边形ADHF 为矩形，且ABF DCH △≌△，从而75FH AD ==，于是30BF CH ==，∴40DH AF ==．又3QC t =，从而tan 34DHQE QC C t t CH=⋅=⋅=（注：用相似三角形求解亦可）∴2162QCE S S QE QC t ==⋅=△．②当点E 在DA 上运动时，如图1，过点D 作DH BC ⊥于点H ， 由①知4030DH CH ==，，又3QC t =，从而330ED QH QC CH t ==-=-∴()11206002QCDE S S ED QC DH t ==+=-梯形．C图1C图2例题2. 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413CE CF ==，，直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，矩形AMHN 的面积为y（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长为4，413CE CF ==，， ∴3BE =又AG CF FEC GEB ∥，△∽△，4CF CEBG BG BE==， 又HM BE ∥∴HMG EBG △∽△，MG HMBG BE=∴44833MG x AM x ==-，∴()244880433y x x x x x ⎛⎫=-=-+<≤ ⎪⎝⎭（2）∵()2244831233y x x x =-+=--+∴当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12例题3.如图，在平面直角坐标系中，点)0A，()2B ，()02C ，，动点D 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动，过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F ，连结OA 、OF ，设运动时间为t 秒．（1）求ABC ∠的度数；（2）当t 为何值时，AB DF ∥； （3）设四边形AEFD 的面积为S ， ①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线2y x mx =+经过动点E，当S <m 的取值范围．【答案】（1）过点B 作BM x ⊥轴于点M∵()()022C B ，，，∴BC OA ∥，∴ABC BAM ∠=∠，N MH GFEDC BAB∵2BM AM ==，∴tan 30BAM ABC BAM ∠∠=∠=︒． （2）∵AB DF ∥，∴30CFD CBA ∠=∠=︒，在直角三角形DCF 中，230CD t CFD =-∠=︒，，∴)2CF t =-， ∵4AB =，∴4230BE t FBE =-∠=︒，，∴242t BF -=，)2422t t --+=，∴57t =． （3）①解法一：过点E 作EG x ⊥轴于点G ，则EGt =，OG，∴)Et ，，∴DE x ∥轴，1112222DEF DEA S S S DE CD DE OD =+=⨯+⨯=⨯=△△．解法二：∵242t BF -=，∴242t CF -==，∴ODA BFE CDF OABC S S S S S =---△△△梯形)())224142t t t =-+-=②当S <， ∴1t <，因为0t >，所以01t <<m <例题4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为()()4043，，，，动点M N ，分别从点O B ，同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点N 作NP BC ⊥，交AC 于点P ，连结MP ，当两动点运动了t 秒时．（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含t 的代数式表示）． （2）记MPA ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式(04)t <<．（3）当t = 秒时，S 有最大值，最大值是 ．（4）若点Q 在y 轴上，当S 有最大值且QAN ∆为等腰三角形时，求直线AQ 的解析式．【答案】（1）344t t -，（2）在MPA ∆中，4MA t =-，MA 边上的高为34t∴()13424MPA S S t t ∆==-⋅，即()2330482S t t t =-+<<（3）322，（4）由⑶知，当S 有最大值时，2t =，此时N 在BC 的中点处，如图1．设()0Q y ，，则222224AQ OA OQ y =+=+ ()2222223QN CN CQ y =+=+-，2222232AN AB BN =+=+．∵QAN ∆为等腰三角形，①若AQ AN =，则2222432y +=+，此时方程无解．②若AQ QN =，即222242(3)y y +=+-，解得12y =-．③若QN AN =，即22222(3)32y +-=+，解得1206y y ==，．∴1102Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，2(00)Q ，，3(06)Q ，． 当Q 为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，设直线AQ 的解析式为12y kx =-，将()40A ，代入，得1402k -=，解得18k =．∴直线AQ 的解析式为1182y x =-．当Q 为()00，时，()40A ，，()00Q ，均在x 轴上， ∴直线AQ 的解析式为0y =（或直线为x 轴）．当Q 为()06，时，Q N A ，，在同一直线上，ANQ ∆不存在，舍去．故直线AQ 的解析式为1182y x =-，或0y =．例题5. ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2cm AC =．长为1cm 的线段MN 在ABC ∆的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为ts ．（1）若AMP ∆的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似？【解析】⑴当点P 在AC 上时，∵AM t =，∴tg60PM AM =⋅︒．∴()21012y t t =≤≤．当点P 在BC上时，)tan 304PM BM t =⋅︒-．)()214132y t t t =-=≤≤． ⑵∵2AC =，∴4AB =．∴413BN AB AM MN t t =--=--=-．∴)tan303QN BN t =⋅︒=-． t N M QPBA C由条件知，若四边形MNQP 为矩形，需PM QN =)3t =-， ∴34t =． ∴当34t s =时，四边形MNQP 为矩形．⑶由⑵知，当34t s =时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ AB ∥，∴PQC ABC ∆∆∽．除此之外，当30CPQ B ∠=∠=︒时，QPC ABC ∆∆∽，此时tan 30CQ CP =︒=∵1cos60AM AP =︒=，∴22AP AM t ==．∴22CP t=-． ∵cos30BN BQ =︒=∴)3BQ t ==-．又∵BC =∴)3CQ t =--=∵322t =-12t =．∴当12t s =或3s 时，以CP Q ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似． 【答案】（1）)()214132y t t t =-≤≤ （2）当34t s =时，四边形MNQP 为矩形（3）当12t s =或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似例题6. 如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．⑴ 若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；⑵ 若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；⑶ 若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围； ⑷ 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】⑴ 34PM =， P N NMQDC BAQPMDCBA⑵ 2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2⑶ ∵PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，∴PM AM BN AB =即PM a t t a -=，∵()t a t PM a-=， ∵(1)3t a QM a-=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t t a a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+， ∵3t ≤，∴636aa+≤，则6a ≤，∴36a <≤，⑷ ∵36a <≤时，梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM = ∴()3t a t t a -=-，把66a t a=+代入，解之得23a =±，所以23a =． 所以，存在a ，当23a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．例题7. 如图，在矩形ABCD 中，20cm BC =，P ，Q ，M ，N 分别从A 、B 、C 、D 出发沿AD BC CB DA ，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若()cm 0BQ x x =≠，2cm AP x =，3cm CM x =，2cm DN x =．⑴ 当x 为何值时，以PQ MN ，为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形⑵ 当x 为何值时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形；⑶ 以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．【解析】⑴ 当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形．当点P 与点N 重合时，由2220x x +=，得12211211x x =-=--，（舍去） ∵()3421120BQ CM x x +=+=-<，∴此时点Q 与点M 不重合，∴211x =-符合题意．当点Q 与点M 重合时，由320x x +=，得5x =，此时22520DN x ==>不符合题意， 故点Q 与点M 不能重合，∴211x =-． ⑵ 由⑴知，点Q 只能在点M 的左侧，当点P 在点N 的左侧时，由()()2203202x x x x -+=-+得1202x x ==，，舍去1x ，ABDCPQMN当2x =时，四边形PQMN 是平行四边形； 当点P 在点N 的右侧时，由()()2203220x x x x -+=+-得12104x x =-=，，舍去1x ， 当4x =时，四边形NQMP 是平行四边形．∴当2x =或者4x =时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 ⑶ 过点Q M ，分别作AD 的垂线，垂足分别为点E F ，．由于2x x >，∴点E 一定在点P 的左侧，若以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点F 一定在点N 的右侧，且PE NF =，即223x x x x -=-， ∴1204x x ==，，可知当0x =时不成立．由于当4x =时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形， ∴以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形不能是等腰梯形．【答案】见解析例题8. 正方形ABCD 的边长为2，E 是射线CD 上的动点（不与点D 重合），直线AE 交直线BC 于点G ，BAE ∠的平分线交射线BC 于点O ．⑴ 如图，当23CE =时，求线段BG 的长；⑵ 当点O 在线段BC 上时，设CEx ED=，BO y =，求y 关于x 的函数解析式；⑶ 当2CE ED =时，求线段BO 的长．【解析】⑴ 在边长为2的正方形ABCD 中，23CE =，得43DE =，又∵AD BC ∥，即AD CG ∥，∴12CG CE AD DE ==，得1CG =∵2BC =，∴3BG =．⑵ 当点O 在线段BC 上时，过点O 作OF AG ⊥，垂足为点F∵AO 为BAE ∠的角平分线，90ABO ∠=︒，∴OF BO y ==在正方形ABCD 中，AD BC ∥，∴CG CEx AD ED==∵2AD =，∴2CG x =又∵CE x ED =，2CE ED +=，得21x CE x=+． 在Rt ABG ∆中，2AB =，22BG x =+，90B ∠=︒，∴AG = ∵2AF AB ==∴2FG AG AF =-=，∵OF AB FG BG =，即AB y FG BG=⋅，得y ()0x ≥．⑶ 当2CE ED =时GOED CB A①当点O 在线段BC 上时，即2x =，由⑵得21023OB y -==②当点O 在线段BC 延长线上时4CE =，2ED DC ==，在Rt ADE ∆中，22AE =，设AO 交线段DC 于点H ，∵AO 是BAE ∠的平分线，即BAH HAE ∠=∠ 又∵AB CD ∥，∴BAH AHE ∠=∠．∴HAE AHE ∠=∠∴22EH AE ==．∴422CH =- ∵AB CD ∥ ∴CH CO AB BO=，即42222BO BO --=，得222BO =+． 【答案】见解析例题9. 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，7AB =，1CD =，5AD BC ==．点M N ，分别在边AD BC，上运动，并保持MN AB ∥，ME AB ⊥，NF AB ⊥，垂足分别为E F ，．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值． （3）试判断四边形MEFN 能否为正方形.若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．【解析】（1）分别过D C ，两点作DG AB ⊥于点G ，CH AB ⊥于点H ．∵AB CD ∥，∴DG CH DG CH =，∥． ∴ 四边形DGHC 为矩形，1GH CD ==． ∵90DG CH AD BC AGD BHC ==∠=∠=o ，，， ∴()Rt AGD Rt BHC HL ∆∆≌．∴71322AB GH AG BH --====． ∵ 在Rt AGD ∆中，35AG AD ==，，∴4DG =．∴()174162ABCD S +⨯==梯形．（2）∵MN AB ∥，ME AB ⊥，NF AB ⊥，∴ME NF =，ME NF ∥． ∴四边形MEFN 为矩形． ∵AB CD ∥，AD BC =， ∴A B ∠=∠．∵ME NF =，90MEA NFB ∠=∠=o ， ∴()MEA NFB AAS ∆∆≌．NMFE D C B ADNM∴AE BF =．设AE x =，则72EF x =-．易证MEA DGA ∆∆∽． ∴AE ME AG DG =，则43ME x =． ∴()248749723346MEFN S ME EF x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=--+ ⎪⎝⎭矩形．当74x =时，743ME =<，∴四边形MEFN 面积的最大值为496．（3）四边形MEFN 可以为正方形．由（2）可知，设AE x =，则72EF x =-，43ME x =．若四边形MEFN 为正方形，则ME EF =． 即4723x x =-，解得2110x =． ∴211472724105EF x =-=-⨯=<．∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为214196525MEFN S ⎛⎫== ⎪⎝⎭正方形．【答案】见解析例题10. 如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=o ，AB AC =，BC =另有一等腰梯形DEFG （GF DE ∥）的底边DE 与BC 重合，两腰分别落在AB AC ，上，且G F ，分别是AB AC ，的中点．⑴ 求等腰梯形DEFG 的面积；⑵ 操作：固定ABC ∆，将等腰梯形DEFG 以每秒1个单位的速度沿BC 方向向右运动，直到点D 与点C 重合时停止．设运动时间为x 秒，运动后的等腰梯形为DEF G ''（如图）． 探究1：在运动过程中，四边形BDG G '能否是菱形？若能，请求出此时x 的值；若不能，请说明理由． 探究2：设在运动过程中ABC ∆与等腰梯形DEFG 重叠部分的面积为y ，求y 与的函数关系式．FGC(E)(D)B AMC(E)FG(D)B AG'F'CEDFGB A【解析】⑴ 如图6，过点G 作GM BC ⊥于M ．∵90AB AC BAC BC =∠=︒=，，G 为AB 中点∴GM =又∵G F ，分别为AB AC ，的中点∴12GF BC ==∴(162DEFG S ==梯形∴等腰梯形DEFG 的面积为6.⑵ 四边形DBG G ′能为菱形.如图7，由BG DG '∥，GG BC '∥∴四边形BDG G '是平行四边形当122BD BG AB ===时，四边形BDG G '为菱形，此时可求得2x =∴2x =秒时，四边形BDG G '为菱形. ⑶ 分两种情况： ①当0x <≤时，∵GM =∴BDG G S '=n 平行四形 ∴重叠部分的面积为6y =∴当0x <≤时，y 与x的函数关系式为6y =- ②当x ≤设FC 与DG '交于点P ，则45PDC PCD ∠=∠=︒ ∴90CPD PC PD ∠=︒=，作PQ DC ⊥于Q，则()12PQ DQ QC x ===∴重叠部分的面积为：()()()2111224y x x x =⨯=【答案】见解析例题11. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F .⑴ 求证：DE BF EF -=．⑵ 当点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．⑶ 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）． MG'F'CED F GB AG'F'C ED FGQBA11【解析】⑴ ∵四边形ABCD 是正方形，BF AG ⊥，DE AG ⊥∴DA AB =，90BAF DAE DAE ADE ∠+∠=∠+∠=︒∴BAF ADE ∠=∠，∴ABF DAE ∆∆≌，∴BF AE =，AF DE = ∴DE BF AF AE EF -=-= ⑵ 2EF FG =，理由如下：∵AB BC ⊥，BF AG ⊥，2AB BG = ∴AFB BFG ABG ∆∆∆∽∽ ∴2AB AF BF BF BF FG=== ∴2AF BF =，2BF FG =由⑴知，AE BF =，∴2EF BF FG == ⑶ 如图DE BF EF +=【答案】见解析例题12. 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=︒，且1AB =，2BC =，tan 2ADC ∠=．⑴ 求证：DC BC =；⑵ E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且EDC FBC ∠=∠，DE BF =， 当:1:2BE CE =，135BEC ∠=︒时，求sin BFE ∠的值．【解析】⑴ 过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M ，则ABCM 为矩形.∴21AM BC MC AB ====，.∵tan 2ADC ∠=，∴1DM =， ∴DC BC =.⑵ ∵DE BF EDC FBC DC BC =∠=∠=，，，∴DEC BFC ∆∆≌，∴CE CF ECD BCF =∠=∠，， ∴90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∴ECF ∆是等腰直角三角形．设BE k =，则2CE CF k ==，∴EF =． ∵135BEC ∠=︒，45CEF ∠=︒，∴90BEF ∠=︒，图2图1ABCDG G F EDCB A ACDE FFEDCBAM ABCDEF12∴3BF k ，∴1sin 33k BFE k ∠==． 【答案】见解析例题13. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，点E F G ，，分别在AB BC CD ，，上， 且AE GF GC ==.（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；（2）当2FGC EFB ∠=∠时，求证：四边形AEFG 是矩形.【解析】（1）∵在梯形ABCD 中，AB DC =，∴B C ∠=∠． ∵GF GC =， ∴C GFC ∠=∠． ∴B GFC ∠=∠，∴AB GF ∥，即AE GF ∥． ∵AE GF =，∴四边形AEFG 是平行四边形． （2）过点G 作GH FC ⊥，垂足为H ． ∵GF GC =，∴12FGH FGC ∠=∠．∵2FGC EFB ∠=∠， ∴FGH EFB ∠=∠． ∵90FGH GFH ∠+∠=︒， ∴90EFB GFH ∠+∠=︒． ∴90EFG ∠=︒．∵四边形AEFG 是平行四边形， ∴四边形AEFG 是矩形．【答案】见解析G CFE D BA G CHF E D BA。
中考总复习--几何专题复习一、平面几何1.1 直线和角度- 直线的性质：直线上任意两点可以确定一条直线，直线没有起点和终点。
- 角度的概念：角度是由两条射线共同确定的，可以用度数或弧度来表示。
- 角度的种类：锐角、直角、钝角、平角。
1.2 三角形- 三角形的性质：三角形是由三条线段组成，其中两条线段之和大于第三条线段，任意两边之差小于第三边。
- 三角形的分类：根据边长可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形；根据角度可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
1.3 四边形- 四边形的性质：四边形是由四条线段组成，相邻两边一共有四个内角，内角和为360度。
- 四边形的分类：根据边长和角度可以分为矩形、正方形、菱形、平行四边形等。
二、空间几何2.1 空间图形的投影- 投影的概念：空间中的一个物体，它在一个平面上的正交投影就是该物体在该平面上的影子。
- 正交投影的性质：正交投影保持了空间图形的相对位置、相对长度和相对角度。
2.2 空间图形的计算- 空间图形的体积：不同空间图形的体积计算方法不同，常见的包括立方体、圆柱体、球体等。
三、应用题3.1 实际问题的建模- 实际问题的几何建模：通过将实际问题抽象成几何图形，可以更好地解决实际问题。
- 实际问题的几何解决：运用几何知识和计算方法，可以解决各种实际问题，如容积问题、比例问题等。
3.2 综合应用题- 综合应用题的解决：综合应用题常常需要综合多个几何知识点和计算方法，通过分析、建模和计算，得出最终的解答。
以上就是中考总复习中几何专题的复习内容。
希望能帮助你更好地复习几何知识，提高解题能力。
加油！。
专题14几何综合六种模型通用的解题思路：题型一：两垂一圆构造直角三角形模型平面内有两点A，B，再找一点C，使得ABC为直角三角形分类讨论:若∠A=90°,则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外);若∠B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外);若∠C=90°,则点C在以AB为直径的圆上(除点A,B外).以上简称“两垂一圆”.“两垂一圆”上的点能构成直角三角形,但要除去A,B两点.题型二：两圆一中垂构造等腰三角形模型分类讨论:若AB=AC,则点C在以点A为圆心,线段AB的长为半径的圆上;若BA=BC,则点C在以点B为圆心,线段AB的长为半径的圆上;若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形,但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN 以及线段AB中点E(共除去5个点)需要注意细节题型三：胡不归模型【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V +的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值.2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH k AC =，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
专题复习 几何探究问题一、结论探究【例1】（2009随州）如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=900，点D 是BC 中点，作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE 、BG （1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针旋转一定角度后（旋转角大于00，小于或等于3600），如图②，通过观察和测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值。
变式练习：已知正方形ABCD中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）D 图1D 图2图3D二、条件探究【例2】（2010中山）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=900，∠E=∠ABC=300，AB=DE=4 （1）求证：△EGB是等腰三角形（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F旋转最小度时，四边形ACDE成为以ED 为底的梯形（如图（2）），求此梯形的高。
【例3】（2010眉山）如图，Rt△AB 'C '是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC '交斜边于点E，CC '的延长线交BB '于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC=α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．E图1ABCD图2三、类比探究【例4】（2010河南） （1）操作发现：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求AB AD的值； （3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求ABAD的值．【例5】（2010连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．AB【例6】（2010无锡）（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点,P 是BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN =90°，求证：AM =MN ．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB 上截取AE =MC ，连ME ．正方形ABCD 中，∠B =∠BCD =90°，AB =BC ．∴∠NMC =180°—∠AMN —∠AMB =180°—∠B —∠AMB =∠MAB =∠MAE ．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图2）,N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN =60°时，结论AM =MN 是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD …X ”，请你作出猜想：当∠AMN = °时，结论AM =MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）【例7】请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C =150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．M N P D CEB A图1 M NP C BA 图2 图3能力检测1．（2010义乌）如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结 QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = °，猜想∠QFC = °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．2．（2010遵义）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ．（1）求证：CF ＝CH ；（2）如图（2），△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE =45时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．3、如图（1）已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连接EB ，过点A 作A M ⊥BE 于M ，AM 交BD 于点F （1）求证：OE=OF（2）如图（2）若点E 在AC 的延长线上，A M ⊥BE 于M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
