2020北京中考数学几何逻辑推理样题库

2020北京中考数学几何解答样题库01如图1，等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <,连接AD ，以点A 为中心将射线AD 顺时针旋转60︒，与ABC 的外角平分线BM 交于点E . (1)依题意补全图1; (2)求证:AD AE =;(3)若点B 关于直线AD 的对称点为F ，连接CF . ①求证://AE CF ;②若BE CF AB +=成立，直接写出BAD ∠的度数为°02△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α（0°<α <90°）得到线段AD ．作射线BD ，点C 关于射线BD 的对称点为点E ．连接AE ，CE ． （1）依题意补全图形；（2）若α=20°，直接写出∠AEC 的度数；（3）写出一个α的值，使AE =2时，线段CE 的长为31-，并证明．3△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°<α <90°）得到线段AD．作射线BD，点C关于射线BD的对称点为点E．连接AE，CE．（1）依题意补全图形；（2）若α=20°，直接写出∠AEC的度数；，并证明．（3）写出一个α的值，使AE=2时，线段CE的长为314点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰ADC Rt Δ，连接BD ，在ABD Δ外侧,以BD 为斜边作等腰Rt BED △，连接EC . （1）如图1，当30DBA =︒∠时：① 求证：AC BD =；② 判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明；A图1（2） 如图2，当°45<∠<°0DBA 时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变？ 对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1： 尝试将点D 为旋转中心. 过点D 作线段BD 的垂线，交BE 延长线于点G ，连接CG ；通过证明三角形ADB Δ≌CDG Δ全等解决以上问题；想法2： 尝试将点D 为旋转中心. 过点D 作线段AB 的垂线，垂足为点G ，连接EG .通过证明ADB Δ∽GDE Δ解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆. 过点D 作AB 垂线段DF ，连接EF ，通过证明D 、F 、B 、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.请你参考上面的想法，证明EC =EB （一种方法即可）图2EA C05如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．06如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠F AB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．07如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长．E DCBA08如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 边的中点，连接CD ，过点A 作AG ∥DC ，过点C作CG ∥DA ，AG 与CG 相交于点G . （1）求证: 四边形ADCG 是菱形;（2）若AB =10，3tan =4CAG ∠，求BC 的长.09如图，菱形ABCD 中， 分别延长DC ，BC 至点E ，F ，使CE =CD ，CF =CB ，联结DB ，BE ，EF ，FD .（1）求证：四边形DBEF 是矩形；（2）若AB ＝5，53=∠cos ABD ，求DF 的长．10已知：如图，在四边形ABCD 中，90BAC ACD ∠=∠=︒，12AB CD =，点E 是CD 的中点．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）若4AC =，AD =ABCE 的面积．DA CB G。

本试卷为2020年北京市中考数学试题，涵盖了广泛的数学知识点，旨在全面考察学生的数学能力和思维逻辑。试卷从基础题到应用题，难度逐渐提升，要求学生具备扎实的数学基础和灵活的解题技巧。试题内容包括代数、几何、概率等多个领域，注重对学生综合能力的考察。同时，本试卷还配备了详细的答案解析，方便学生在完成试题后进行自我检查和知识巩固。通过本试卷的练习，学生可以更好地了解中考数学试题的出题规律和难度水平，为即将到来的中考做好充分的4年中考的学生，还需结合最新的教学大纲和考试要求进行复习。

所以共4种情：其中满足题意的有两种，
所以两次记录的数字之和为3的概率是
故选C．
【考点】画树状图求解概率
8.【答案】B
【解析】设水面高度为 ，注水时间为 分钟，根据题意写出 与 的函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：设水面高度为 注水时间为 分钟，
则由题意得： ，
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，
3.【答案】A
【解析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为 ，
C选项为 ，
D选项为 ．
故选：A．
【考点】三角形的外角性质，对顶角性质
4.【答案】D
【解析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
2020年北京市高级中等学校招生考试
数学答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】长方体的三视图都是长方形，故选D.
【考点】几何体的三视图
2.【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．当原数绝对值大于1时， 是正数；当原数绝对值小于1时， 是负数．
解： ，故选：C．
【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
14.【答案】 （或 ）
【解析】证明 ，已经具备 ，根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．
解： ，
要使 ，
则可以添加： ，
此时利用边角边判定： ，
或可以添加： ，
此时利用边边边判定： ，
故答案为： （或 ）.
【考点】三角形全等的判定
15.【答案】
【解析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．

2020年北京市中考数学试卷及答案研究是一件有趣的事情。

以下是2020年北京市中考数学试卷的题目：一、单项选择题：请认真审题，仔细思考，然后选择唯一正确答案。

（本题共16分，每小题2分）1.（2分）如图所示，这是某个几何体的三视图，该几何体是（）A。

圆柱体B。

圆锥体C。

三棱柱体D。

长方体2.（2分）2020年6月23日，北斗三号的最后一颗全球组网卫星从XXX发射升空，6月30日成功进入距离地球公里的地球同步轨道。

将用科学记数法表示应为（）A。

0.36×105B。

3.6×105C。

3.6×104D。

36×1033.（2分）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A。

∠1＝∠2B。

∠2＝∠3C。

∠1＞∠4+∠5D。

∠2＜∠54.（2分）以下哪种图形既是中心对称图形又是轴对称图形？（）A。

B。

C。

D。

5.（2分）正五边形的外角和为（）A。

180°B。

360°C。

540°D。

720°6.（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A。

2B。

﹣1C。

﹣2D。

﹣37.（2分）在一个不透明的袋子里有两个小球，上面分别写着数字“1”和“2”，除了数字之外，两个小球没有其他区别。

从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A。

4/1B。

3/1C。

2/1D。

3/28.（2分）有一个装满水的，如图所示，内的水面高度是10cm。

现在开始向内注水并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加。

那么注满水之前，内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A。

正比例函数关系B。

一次函数关系C。

二次函数关系D。

反比例函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.（2分）若代数式1/(x-7)有意义，则实数x的取值范围是______。

2024北京中考数学二轮复习专题二逻辑推理类问题1.(2023清华附中模拟)图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i出现在书B j中时，a ij＝1，否则a ij＝0(i，j为正整数)．例如：当关键词A1出现在书B4中时，a14＝1，否则a14＝0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是()A.当a21＋a51＋a61＝3时，选择B1这本书B.只有当a2j＋a5j＋a6j＝0时，才不能选择B j这本书C.当a2j，a5j，a6j全是1时，选择B j这本书D.当a22＋a52＋a62<3时，不选择B2这本书2.(2023平谷区二模)母亲节来临之际，小凡同学打算用自己平时节省出来的50元钱给母亲买束鲜花，已知花店里鲜花价格如表：百合薰衣草玫瑰蔷薇向日葵康乃馨12元/支2元/支5元/支4元/支15元/支3元/支母亲节期间包装免费小凡想用妈妈喜欢的百合、玫瑰、康乃馨这三种花组成一个花束，若三种花都要购买且50元全部花净，请给出一种你喜欢的组成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支数分别为__________．3.(2023海淀区一模)图①是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点．甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：游戏规则a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．图①图②第3题图如图②，甲先画出线段AB ，乙随后画出线段B C.若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是________．(填“甲”，“乙”或“不确定”)．4.下图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票，若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序________________．5.(2023石景山区一模)某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行．每个步骤所花费时间如下表所示：现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作，现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要________分钟．6.(2023顺义区一模)标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不桌别时间(分钟)步骤回收餐具与剩菜、清洁桌面清洁椅面与地面摆放新餐具大桌532小桌321能重复选择．如果按“甲，乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，此时四人所选的座位号数字之和为124.如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为________．第6题图7.(2023房山区一模)甲、乙、丙、丁、戊，己六人，将在“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者，三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，仅有一位演讲者处在甲和乙之间，丁在第一位或在第三位发言．如果戊是第四位演讲者，那么第三位演讲者是________．8.(2023朝阳区二模)甲、乙、丙三人进行乒乓球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判4局，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了________局比赛，其中第7局比赛的裁判是________．9.为进一步加快我市文明城市的建设，某园林局种植A 种树苗a 棵，种下后成活了(12a ＋5)棵，种植B 种树苗b 棵，种下后成活了(b －2)棵，共种植了40棵，且两种树苗成活棵数相同，则种植A 种树苗________棵．隔天，该园林局又种植A 种树苗m 棵，B 种树苗n 棵，若m ＝2n ，在第一天的基础上进行统计，则这两天种植A 种树苗成活棵数________种植B 种树苗成活棵数．(填“>”“<”或“＝”)10.(2023门头沟区二模)某单位设有6个部门，共153人，如下表：部门部门1部门2部门3部门4部门5部门6人数251623324314参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共十道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表：分数1009080706050及以下比例521110综上所述，未能及时参与答题的部门可能是________．11.北京市某蛋糕店推出一批新款蛋糕，有草莓味、芒果味、榴莲味三种．最初生产的草莓味、芒果味、榴莲味的数量比是3∶5∶2.随着新品的推广，该厂家立刻又生产了一批这三种口味的蛋糕，其中榴莲味蛋糕增加的数量占总增加数量的13，此时草莓味的总数量将达到三种新品蛋糕两次制作总数量的14，草莓味蛋糕两次制作的总量与芒果味蛋糕两次制作的总量之比为5∶9，则芒果味蛋糕第一次与第二次制作的数量之比是________．12.(2023北京)某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为(4a ＋1)小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为(2b ＋3)小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A ，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为________．13.(2023丰台区二模)某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%.回答下列问题：(1)按照这种化验方法是否能减少化验次数______(填“是”或“否”)；(2)按照这种化验方法至多需要________次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．14.(2023顺义区二模)某快餐店的价目表如下：菜品价格汉堡(个)21元薯条(份)9元汽水(杯)12元1个汉堡＋1份薯条(A 套餐)28元1个汉堡＋1杯汽水(B 套餐)30元1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水(C 套餐)38元小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要________元．15.(2023门头沟区一模)以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要________分钟．16.(2023海淀区二模)小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离(单位：km).若选择“高强度”要求前一天必须“休息”(第一天可选择“高强度”)．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为________km.日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息17.(2023通州区一模)某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为52，现在甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔订单的生产时间(单位：小时)依次为a，b，c，其中a>b>c，则使三笔订单“相对等待时间”之和．．最小的生产顺序是__________．18.(2023东城区一模)小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等．小青的家到地铁站(或公交车站)有一段距离，地铁站(或公交车站)到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算．出行方式的相应信息如下表(√表示某种出行方式选择的交通工具)：乘出租车乘坐公交车乘坐地铁骑共享单车共需步行(公里)总用时(分钟)费用(元)方式1√ 2.0474方式2√563方式3√ 1.6783方式4√ 1.8803方式5√√ 1.5606方式6√√ 1.6566方式7√√ 1.7556方式8√√ 1.5576方式9√0.23241根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元．其中推断合理的是__________(填序号)．19.(2023昌平区二模)盒子里有甲、乙、丙三种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子．例如一颗甲粒子和一颗乙粒子发生碰撞则变成一颗丙粒子．现有甲粒子6颗，乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：①最后一颗粒子可能是甲粒子；②最后一颗粒子一定不是乙粒子；③最后一颗粒子可能是丙粒子．其中正确结论的序号是：__________．20.(2019北京)小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i＋1)天背诵第二遍，第(i＋3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：(1)填入x3补全上表：(2)若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为________；(3)7天后，小云背诵的诗词最多为________首．参考答案1.B【解析】根据题意a ij的值要么为1，要么为0，A.a21＋a51＋a61＝3，说明a21＝1，a51＝1，a61＝1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B1中，而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，故A表述正确；B.当a22＋a52＋a62<3时，则a22、a52、a62中必有值为0的，即关键词“A2，A5，A6”不同时具有，从而不选择B2这本书，故B表述错误；C.当a2j，a5j，a6j全是1时，则a2j＝1，a5j＝1，a6j＝1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B j中，则选择B j这本书，故C表述正确；D.根据前述分析可知，只有当a22＋a52＋a62＝3时，才能选择B2这本书，而a22＋a52＋a62的值可能为0、1、2，故D表述正确．2.1，4，6(答案不唯一)【解析】∵12×1＋5×4＋3×6＝50，∴可买百合1支、玫瑰4支、康乃馨6支．3.乙【解析】甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC.第三步应由甲走，甲只有向下走到D或E，①若甲走到D，如解图①，第四步乙只有沿斜下方走到E，第五步甲无论走哪里都不符合规则，最终的获胜者是乙；②若甲走到E，如解图②，第四步乙可以走到D或M，第五步甲无论走哪里都不符合规则，最终的获胜者是乙．图①图②第3题解图4.丙、甲、丁、乙(答案不唯一)【解析】如购票顺序为：丙(3－1－2－4)－甲(5－7)－丁(6－8－10－12－14)－乙(9－11－13)；同理还有其他购票顺序：丙(3－1－2－4)－乙(5－7－9)－丁(6－8－10－12－14)－甲(11－13)；丙(3－1－2－4)－丁(5－7－9－11－13)－甲(6－8)－乙(10－12－14)；丙(3－1－2－4)－丁(5－7－9－11－13)－乙(6－8－10)－甲(12－14)．5.12【解析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如解图：第5题解图将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟．6.114【解析】由每人只能选择同一横行或同一竖列的座位的原则，可得丁选择了：19，6，1，2，11，和为39；丙选择了：5，4，3，12，和为24；乙选择了：7，8，9，和为24，甲选择了：13，14，和为27；故四人所选的座位号数字之和为：39＋24＋24＋27＝114.7.甲或乙【解析】由题意得，当丁在第一位发言，则丙的可能位置为第二或第三位，假设丙在第三位，由于第四位演讲者是戊，所以不管怎么排都不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，故丙在第二位演讲，当丁在第三位演讲时，也不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，故丁排在第一位，然后由三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，且仅有一位演讲者处在甲和乙之间，所以排在第三位演讲者是甲或乙．8.19，乙【解析】∵甲共当裁判4局，∴乙、丙之间打了4局．又∵乙、丙分别打了9局、14局比赛，∴乙与甲打了9－4＝5(局)，丙与甲打了14－4＝10(局)，∴甲、乙、丙三人共打了4＋5＋10＝19(局)，又∵丙与甲打了10局，∴乙当裁判10局，而从1到19共9个偶数，10个奇数，∴乙当裁判的局为奇数局，∴第7局比赛的裁判是乙．9.22；＝【解析】设种植A 种树苗x 棵，则种植B 种树苗(40－x )棵，依题意得12x ＋5＝(40－x )－2，整理得32＝33，∴x ＝22，.∵在第一天的基础上进行统计，∴此时种植A种树苗12(22＋m )＋5＝(16＋12m )棵；种植B 种树苗18＋n －2＝(16＋n )棵，∵m ＝2n ，∴n ＝12m ，∴16＋12m ＝16＋n ，∴在第一天的基础上进行统计，A ，B 两种树苗成活棵树相等．10.部门3或部门5【解析】根据完成情况的表格可知，分数为100的占50%，分数为90的占20%，分数为80的占10%，分数为70的占10%，分数为60的占10%，因为人数是正整数，可知参加的人数应该是10的倍数，只有153－23＝130(人)或153－43＝110(人)两种情况符合题意．11.5∶13【解析】设第一次生产总量为x ，第二次生产总量为y ，由题意得，榴莲味蛋糕增加的数量为13y ，草莓味的总数量为14(x ＋y )，第一次草莓味的生产量为33＋5＋2x ＝310x ，∴草莓味的增加量为14(x ＋y )－310x ＝14y －120x .第一次生产芒果味数量为53＋5＋2x ＝12x ，芒果味增加量＝第二次生产总量－榴莲味增加量－草莓味增加量＝y －13y －(14y －120x )＝512y ＋120x ，∴芒果味总量为12x ＋512y ＋120x ＝512y ＋1120x .∵草莓味总量芒果味总量＝14（x ＋y ）512＋1120x ＝59，整理得y ＝3x ，∴芒果味蛋糕第一次与第二次制作的数量之比是12x ∶(512y ＋120x )＝12x ∶1310x ＝5∶13.12.23，12【解析】设分配到A 生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为(5－x )吨，由题意可得，4x ＋1＝2(5－x )＋3，解得x ＝2，5－x ＝3，∴分配到A 生产线的吨数为2吨，分配到B 生产线的吨数为3吨，∴分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为23；第二天开工前，该企业给A 生产线分配了(2＋m )吨原材料，给B 生产线分配了(3＋n )吨原材料，由题意可得，4(2＋m )＋1＝2(3＋n )＋3，化简得，4m ＝2n ，∴m n ＝12.13.(1)是；(2)2025【解析】(1)第一轮化验10000名÷5＝2000次<10000次，故按照这种化验方法是能减少化验次数；(2)按照这种方法需要两轮化验，第一轮化验2000次，携带该病毒的人数＝10000×0.05%＝5人，最多有5组需要进行第二轮化验，一一化验需要进行5×5＝25次化验，一共进行2000＋25＝2025次化验，按照这种化验方法至多需要2025次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．14.300【解析】由题意可知，A 、B 、C 套餐的优惠力度分别为2元、3元、4元，如果三样商品数量比较接近的话，选择C 套餐会更划算，但是汉堡的数量接近于薯条和汽水之和，所以应该选择套餐搭配的方式，尽量保证每个商品都能在套餐里购买，所以，选择5份B 套餐、4份A 套餐和1份C 套餐，会更优惠，需要花费30×5＋28×4＋38×1＝300元．15.33【解析】根据题意，可以这样安排：先准备米饭(3分钟)，然后使用电饭煲加工米饭(30分钟)，在加工米饭的同时，准备汤菜(5分钟)，然后使用煲汤锅加工汤(15分钟)，接下来摘菜(5＋5＝10分钟)，炒菜(6＋8＝14分钟)，即炒菜和汤共需29分钟，∴妈妈做好这顿饭，最少需要30＋3＝33(分钟)．16.36【解析】如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6＋6＝12(km)，如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km ，∵12<15，∴第二天休息，第三天选择高强度，如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5＋4＝9(km)，如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km，∵9>8，∴第四天和第五天选择低强度，为保持最远距离，则第一天为高强度，∴最远距离为12＋0＋15＋5＋4＝36(km)．17.c、b、a【解析】按“相对等待时间”为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比，要想“相对等待时间”之和最小，则生产线需要将生产时间最长的产品排在最后生产，生产时间最短的产品排在最前生产，这样订单的等待时间最短，由题意可知，甲、乙、丙三笔订单的生产时间从短到长依次为：丙、乙、甲，∴优先生产丙产品，其次生产乙产品，最后生产甲产品，此时三笔订单“相对等待时间”之和最小．18.①②③【解析】①要使出行费用尽可能少，由表格数据可知，出行方式2、3、4的费用均为3元，比其他6种出行方式费用都少，故此说法正确；②出行方式1，出行时间47分钟，花费4元，对比较其他出行方式，出行时间较短，花费也较少，故此说法正确；③由题意可知方式5、6、7、8均为公交车和地铁混合出行方式，故平均出行时间为(60＋56＋55＋57)÷4＝57，故此说法正确；④题目未给出骑共享单车的时间，无法计算，故此说法错误．19.①②③【解析】∵相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗乙粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子，甲粒子与乙粒子碰撞产生丙粒子，甲粒子与丙粒子碰撞产生乙粒子，乙粒子与丙粒子碰撞产生甲粒子，6颗甲粒子两两碰撞产生3颗乙粒子，5颗丙粒子中4颗丙粒子两两碰撞产生2颗乙粒子，一共有9颗乙粒子，8个乙粒子两两碰撞产生4个乙粒子加剩下一个共5个乙粒子，5个乙粒子中4个再两两碰撞产生2个，与剩下1个一共有3个乙粒子，其中两个相碰撞产生1个乙粒子与剩下的一个共有2个乙粒子，其中分两种情况，当剩下两个乙粒子碰撞中一个与丙相碰撞产生一个甲，与乙先碰撞，最后产生丙粒子；当剩下两颗乙粒子相碰撞产生一颗乙粒子与丙粒子相碰撞最后产生甲粒子，①最后一颗粒子可能是甲粒子正确；②最后一颗粒子一定不是乙粒子正确；③最后一颗粒子可能是丙粒子正确．正确的序号是①②③.20.解：(1)如表格所示；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x 1x 1x 1第2组x 2x 2x 2第3组x 3x 3x 3第4组x 4x 4x4【解法提示】第3组，第3天背诵第一遍，第3＋1＝4天背诵第二遍，第3＋3＝6天背诵第三遍．(2)4，5，6；【解法提示】观察表格，≤x 1＋x 3＋x 4≤14≤x 2＋x 4≤14≤x 4≤14，≤4＋4＋x 4≤14≤3＋x 4≤14≤x 4≤14，解得4≤x 4≤6.∵x 4为正整数，∴x 4＝4或5或6；(3)23.【解法提示】1＋x 2≤142＋x 3≤141＋x 3＋x 4≤142＋x 4≤14，则3(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)≤70，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4≤703，要小云背诵的诗词最多，则取x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝23，当x 1＝5、x 2＝9、x 3＝5、x 4＝4时符合题意，则最多背诵23首．。

1.右图是某几何体的三视图,该几何体是（A）圆柱（B）圆锥（C）三棱柱（D）长方体答案：D2.2020年6月23日,北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空,6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道,将36000用科学记数法表示应为（A）0.36×105（B）3.6×105（C）3.6×104（D）36×103答案：C3.如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是（A）∠1=∠2（B）∠2=∠3（C）∠1>∠4+∠5（D）∠2<∠5答案：A4.下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）答案：D5.正五边形的外角和为（A）180° （B）360° （C）540° （D）720°答案：B6.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数b满足-a<b<a,则b的值可以是（A）2 （B）-1 （C）-2 （D）-3答案：B7.不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”,“2”,除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是（A）（B）（C）（D）答案：C8.有一个装有水的容器,如图所示,容器内的水面高度是10cm,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（A）正比例函数关系（B）一次函数关系（C）二次函数关系（D）反比例函数关系答案：B9.若代数式有意义,则实数x的取值范围是__________答案：x≠710.已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是__________ 答案：111.写出一个比大且比小的整数________答案：2或312.方程组的解为________答案：13.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1+y2的值为__________答案：根据一次函数y=x与反比例函数交点关于原点对称,所以y1+y2-014.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD,这个条件可以是________(写出一个即可)答案：答案不唯一:因为D为BC中点,所以BD=CD,AB=AC,AD =AD.所以△ADB≌△ACD(SSS)15.如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABC ______S△ABD(填“>”,“=”或“<”)答案：=, 由网格可求S△ABC =4,S△ABD=4。

2020年北京中考数学试题共有26道选择题，难度适中，涵盖了各个知识点和能力要求。

我将通过详细讲解这些题目，来帮您全面了解中考数学考试的题型和解题技巧。

第一题是关于集合的概念，要求学生对给定的集合进行交集和并集的运算。

这道题目考察了学生对集合概念的理解，以及应用交集和并集进行运算的能力。

对于这类题目，学生需要熟练掌握集合的基本运算规则，以及如何根据题目要求进行操作。

随后的题目涉及到线性方程组的求解，要求学生根据给定的方程组，求出未知数的值。

这类题目需要学生对方程组的解法有一定的理解和掌握，能够运用代入、消元等方法进行计算。

这类题目也考察了学生的逻辑思维和数学推理能力。

在几何题目中，学生需要根据图形的特点，计算出角度、长度或面积等。

这种题型考察了学生对几何知识的理解和运用能力，需要学生具备较强的几何推理能力和计算技巧。

数列、概率、统计等知识点也都在试题中有所涉及，要求学生能够灵活运用所学知识进行分析和计算。

在解题过程中，学生需要注意题目中的关键信息，善于归纳总结，运用适当的方法进行求解。

综合来看，2020年北京中考数学试题在题型和难度上都较为全面，考察了学生对各个知识点的掌握情况，并且注重了对学生逻辑思维和数学推理能力的考查。

对于学生来说，平时要多加练习，掌握好基础知识，并注重提高思维能力和解题技巧。

希望以上解析对您有所帮助。

根据您的要求我对2020北京中考26题讲解数学做了全面的梳理和分析，希望可以帮到您。

在继续分析2020年北京中考数学试题时，我们可以进一步深入讨论每个知识点和题型的解题技巧。

集合的概念是数学中的基础知识之一，学生需要了解集合的表示方法、集合间的运算规则以及应用集合进行问题求解的方法。

对于集合的交集和并集运算，学生需要注意集合元素的重复情况，以及如何根据题目要求进行合理的运算操作。

在线性方程组的求解中，学生需要掌握代入、消元、加减消去等方法，能够灵活运用这些方法求解方程组，并注意解的唯一性或多解性。

想法 2：过点 B 作 BG∥AF，交直线 FC 于点 G，构造□ABGF，然后可证△AFE≌△BG
C……
请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．
A
E
BD
C
8
【2020 密云二模】
2020年北京中考 二模27几何综合
27．已知：MN 是经过点 A 的一条直线，点 C 是直线 MN 左侧的一个动点，且满足 60°<∠ CAN<120°，连接 AC，将线段 AC 绕点 C 顺时针旋转 60°，得到线段 CD，在直线 MN 上取一点 B，使∠DBN=60°．
2020年北京中考 二模27几何综合
D
A
C
B
图2
7
【2020 顺义二模】
2020年北京中考 二模27几何综合
27．已知：在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，点 D 为线段 BC 上一动点（点 D 不与点
B、C 重合），点 B 关于直线 AD 的对称点为 E，作射线 DE，过点 C 作 BC 的垂线，交射线 DE
A
B
C
5
【2020 门头沟二模】
2020年北京中考 二模27几何综合
27．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 上的两个动点（不与点 A，B，C 重合）， 且 AE=CF，延长 BC 到 G，使 CG= CF，连接 EG， DF. （1）依题意将图形补全；
（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点 E，F 运动过程中【2020 丰台二模】
2020年北京中考 二模27几何综合
27.如图， 在Rt !':-,.ABC中， LABC = 90 ° , 将CA绕点C顺时针旋转45 ° ' 得到CP , 点A关于直线CP的对称点为D ,连接AD交直线CP 于点E ,连接CD. (1)根据题意补全图形； (2)判断1':-,.ACD的 形状， 并证明； (3)连接BE ， 用等式表示线段 AB,BC,BE之间的数量关系， 并证明． 温馨提示：在解决笫（3)问的过程中， 如果你遇到困难， 可以参考下面几 种解法的主要思路． 解法1的主要思路： 延长BC至点F,使CF=AB, 连接EF, 可证!':-,.ABE 竺 1':-,.CFE, 再证1':-,.BEF 是等腰直角三角形． 解法2的主要思路： 过点 A 作 AM ..lBE 于 点 M， 可 证 !':-,.ABM是 等 腰 直 角 三 角 形， 再 证 l:-,.ABC�!':-,.AME. 解法3的主要思路： 过点A作AM..lBE于点M过 ， 点C作CN..lBE于点N,设BN=a, EN=b, 用含a或b的式子表示AB, BC.

结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 y ，当 −2 ≤ x < 0 时， y 随 x 的增大而
（2）当 x ≥ 0 时，
对于函数 y ，当 x ≥ 0 时， y 与 x 的几组对应值如下表：
x
0
1
1
3
2
5
3
···
2
2
2
y
0
1
1
7
95
7
1
···
16
6
16
48
2
结合上表，进一步探究发现，当 x ≥ 0 时，y 随 x 的增大而增大，在平面直角坐标系 xOy 中，
∴ ∠ABP =
.
∵ AB = AC ，
∴点 B 在⊙ A 上.
又∵点 C, P 都在⊙ A 上， ∴ ∠BPC =1 ∠BAC （
2 ∴ ∠ABP= 1 ∠BAC .
2
）（填推理依据）.
4/9
21. 如图，菱形 ABCD 对角线 AC，BD 相交于点 O ， E 是 AD 的中点，点 F,G 在 AB 上， EF ⊥ AB，OG∥EF .
.
x − y =1
12.
方
程组
3x
+
y
的解 =7
为
.
13. 在直角坐标系 xOy 中，直线 y = x 与双曲线 y = m 交于 A ， B 两点.若点 A ， B 的纵 x
坐标分别为 y1 ， y2 ，则 y1 + y2 的值为
.
2/9
14. 如图，在 △ABC 中， AB = AC ，点 D 在 BC 上(不与点 B，C 重合)，只需添加一个条
（3）记该小区 5 月 1 日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为 s12 ，5 月 11 日至 20 日的厨余 垃圾分出量的方差为 s22 ，5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为 s32 ．直接写出 s12 ， s22 ， s32 的大小关系．

2020北京中考数学二模分类汇编——几何综合1．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为°．2．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．3．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D 与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．4．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．5．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b 的式子表示AB，BC．……．6．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE＝∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．7．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．8．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM ≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连接AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）9．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．10．（2020•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．11．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C 作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．12．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）2020北京中考数学二模分类汇编——几何综合参考答案与试题解析1．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为20°．【分析】（1）由旋转即可补全图形；（2）先判断出∠BAE＝∠CAD，再判断出∠ABE＝60°＝∠C，进而判断出△ABE≌△ACD，即可得出结论；（3）①先判断出AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，进而表示出∠FAD＝α，∠CAF＝60°﹣2α，进而得出∠ACF＝60°+α再判断出∠CAE＝120°﹣α，即可得出结论；②先判断出∠CBG＝30°﹣α，进而判断出∠CDF＝60°﹣2α，再判断出DF＝CF，进而得出∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，再判断出∠DCF＝α，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；（2）由旋转知，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵BE是△ABC的外角的平分线，∴∠ABM＝（180°﹣60°）＝60°＝∠C，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AD＝AE；（3）①如图2，连接AF，∵点F是点B关于AD的对称点，∴∠BAD＝∠FAD，AF＝AB，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，则∠FAD＝α，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD＝60°﹣2α，∴∠ACF＝（180°﹣∠CAF）＝60°+α，由（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°﹣α，∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°﹣α+60°＝120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE＝60°+α+120°﹣α＝180°，∴AE∥CF；②如图2，连接BF，设∠BAD＝α，∵点F是点B关于AD的对称点，∴AD⊥BF，垂足记作点G，则∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣α，∵∠ABC＝60°，∴∠CBG＝30°﹣α，连接DF，则BD＝DF，∴∠CDF＝2∠CBG＝60°﹣2α，由（2）知，△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BE+CF＝AB，∴CD+CF＝BC＝BD+CD，∴BD＝CF，∴DF＝CF，∴∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，由①知，∠ACF＝60°+α，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，∴60°﹣2α＝α，∴α＝20°，即∠BAD＝20°，故答案为：20．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，判断出∠CDF＝60°﹣2α是解本题的关键．2．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AGH＝∠GHC．证得∠EAB＝∠AGH．则结论得证；（2）①依题意补全图形即可；②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．证得NA＝NE．得出∠ANE＝∠ANQ＝90°．则可得出AE＝NE＝CN．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠AGH＝∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA＝NE．∴NC＝NE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．在等腰Rt△ANE中，∴AE＝NE＝CN．【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．3．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D 与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．【分析】（1）先判断出∠BDE＝90°，再根据勾股定理得出BD2+DE2＝BE2，即BD2+AD2＝BE2，再判断出△ABE≌△ACD（SAS），得出BE＝CD，即可得出结论；（2）同（1）方法得出DE2+BD2＝BE2，进而得出2AD2+BD2＝BE2，同（1）的方法判断出BE＝CD，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出DE2+BD2＝BE2，再判断出DF＝2AD•sin，即可得出结论．【解答】解：（1）AD2+BD2＝CD2，理由：如图1，过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE，连接BE，则AD＝DE＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠BDE＝∠DBA+∠ADE＝90°，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD2+DE2＝BE2，∴BD2+AD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴AD2+BD2＝CD2；（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE，DE，∴∠ADE＝45°，∵∠BDA＝45°，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵DE2＝2AD2，∴2AD2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴2AD2+BD2＝CD2；（3）如图3，将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE，BE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝90°﹣α，∵∠ADB＝α，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴DE2+BD2＝CD2，过点A作AF⊥DE于F，则DE＝2DF，∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝α，在Rt△ADF中，sin∠DAF＝，∴DF＝AD•sin∠DAF＝AD•sin，∴DE＝2DF＝2AD•sin，即：（2AD•sin）2+BD2＝CD2．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．4．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．证明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，由OM＝OH＝PG＝1，推出OP＝HG，推出GH＝GN，推出∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：如图1中，∵∠MPN＝∠AOB＝40°，∠APM＝∠APN+∠MPN＝∠AOB+∠OMP，∴∠APN＝∠OMP．（3）解：结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．理由：在射线PA设取一点G，使得PG＝OM，连接NG．∵PN＝PM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPN（SAS），∴OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，∵OM＝OH＝PG＝1，∴OP＝HG，∴GH＝GN，∴∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠OHN＝180°﹣70°＝110°．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b 的式子表示AB，BC．……．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义判断即可．（3）结论：BC+BA＝BE．延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．证明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D关于CP对称，∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．（3）结论：BC+BA＝BE．理由：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠BAE+∠BCE＝180°，∵∠BCE+∠ECF＝180°，∴∠BAE＝∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE＝DE，∴CE＝AE＝ED，∵AB＝CF，∴△EAB≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝BE，∵BF＝BC+CF＝BC+BA，∴BC+BA＝BE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE＝∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②连接AF，如图1，根据已知条件得到∠3＝∠1+∠2．根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．根据全等三角形的性质得到结论；（2）连接FA，FE，如图2，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2＝45°，求得∠FCE ＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接AF，如图1，∵，∴∠3＝∠1+∠2．∵点F与点D关于直线AE对称，∴AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．∴∠4＝∠FAE﹣∠2＝（∠1+∠2）﹣∠2＝∠1．又∵AC＝AB，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD；（2）线段DE，CE，CF之间的数量关系是DE2＝CE2+CF2．证明：连接FA，FE，如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，由（1）②，可得FE＝DE，∠3＝∠2＝45°，∴∠FCE＝90°，在Rt△FCE中，由勾股定理，得FE2＝CE2+CF2，∴DE2＝CE2+CF2．【点评】本题考查了几何变换的综合题，全等三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．7．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．【分析】（1）①先利用直角三角形斜边的中线得出AC＝2DF，再用含30°的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出结论；②先求出∠BDC＝15°，进而得出∠CDE＝60°，即可判断出△CDE是等边三角形，即可得出结论；（2）先判断出BD＝GD，进而判断出△ADB≌△CDG（SAS），得出∠DCG＝∠DAB，判断出△BCG是直角三角形，再判断出EG＝EB，即可得出结论．【解答】解：（1）①如图1，过点D作DF⊥AC于F，则∠DFC＝90°，∵△ADC是AC为斜边作等腰Rt△ADC，∴AC＝2DF，在Rt△DFB中，∠DBA＝30°，∴BD＝2DF，∴AC＝BD；②∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵∠DBA＝30°，∴∠CDB＝∠ACD﹣∠DBA＝15°，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝45°，∴∠CDE＝∠CDB+∠BDE＝60°，在Rt△ADC中，AC＝DC，在Rt△BDE中，BD＝BE＝DE，由①知，AC＝BD，∴BE＝CD＝ED，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE，∴EC＝EB；（2）如图2，过点D作DG⊥BD交BE的延长线于G，连接CG，∴∠BDG＝90°＝∠ADC，∴∠ADB＝∠CDG，∵△BED是以BD为斜边作等腰Rt△BED，∴∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴∠DGE＝90°﹣∠DBE＝45°＝∠DBE，∴BD＝GD，∵AD＝CD，∴△ADB≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAB，∵∠ACD＝45°，∴∠BCG＝∠ACG＝90°，在Rt△BDG中，DB＝DG，∠BED＝90°，∴EG＝EB，∴BE＝CE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，判断出∠BCG＝90°是解本题的关键．8．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是60°；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM ≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连接AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）【分析】（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC＝45°，∠AMB＝75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．【解答】解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB＝75°时，AM＝DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．【分析】（1）①根据题意作出图形即可求解；②根据等量关系可证∠CDB＝∠MAC；（2）如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，根据SAS可证△ACH≌△DCB，再根据全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：（1）①如图1所示：②证明：∵∠C＝60°，∠DBN＝60°，∴∠C＝∠DBN，∵∠DBN+∠ABD＝180°，∴∠C+∠ABD＝180°，在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC＝180°，∵∠BAC+∠MAC＝180°，∴∠CDB＝∠MAC；（2）BC＝3时，对于任意一点C，总有AB+BD＝3．证明：如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，∵∠MAC＝∠CDB，AC＝CD，∴△ACH≌△DCB（SAS），∴∠ACH＝∠DCB，CH＝CB，∵∠DCB+∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠HCB＝∠ACH+∠ACB＝60°，∴△HCB是等边三角形，∴BC＝BH＝BA+BD＝3．【点评】考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，得到△HCB是等边三角形．10．（2020•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．【分析】（1）当α＝90°时，①依题意即可补全图形；②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD＝2PB；（2）当α的值为60或120度时，根据等腰三角形的性质即可证明PD＝PB成立．【解答】解：（1）当α＝90°时，①如图即为补全的图形；②证明：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，根据题意可知：AC＝AD，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠CAD＝90°，∴∠DAB＝120°，∴∠ABD＝∠D＝∠BAC＝30°，∴AP＝BP，在Rt△APD中，∠ADB＝30°，∴PD＝2AP，∴PD＝2PB；（2）当α＝60（或120°）时，PD＝PB成立，情况1，如图所示：当α＝60°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠CAD＝60°，∴AD＝DF，∵AD＝AC＝AB，∴2BE＝DF，∴BE＝DF，∴PD＝PB．情况2，如图所示：当α＝120°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠FAD＝60°，∴AD＝DF，∵AD＝AC＝AB，∴2BE＝DF，∴BE＝DF，∴PD＝PB．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．11．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C 作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是AE⊥DF；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝45°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．【分析】（1）根据题意正确画图；（2）证明△ABD≌△AED（SSS），可得∠AED＝∠B＝90°，从而得结论；（3）想法1：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，先证明四边形ABCG是正方形，得AG ＝AB，∠BAG＝90°，再证明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），得∠GAF＝∠EAF，根据∠BAG ＝90°及角的和可得结论；想法2：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，证明四边形ABGF是平行四边形，得AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，再证明Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），同理根据∠BCG ＝90°及等量代换，角的和可得结论．【解答】解：（1）补全图形如图1：（2）AE与DF的位置关系是：AE⊥DF，理由是：∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，BD＝DE，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SSS），∴∠AED＝∠B＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE⊥DF；（3）猜想∠DAF＝45°；想法1：证明如下：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，∵AB＝BC，∴四边形ABCG是正方形，∴AG＝AB，∠BAG＝90°，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠EAD，∴AG＝AE，∵AF＝AF，∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），∴∠GAF＝∠EAF，∵∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF＝90°，∴∠EAD+∠EAF＝45°．即∠DAF＝45°．想法2：证明如下：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC＝∠BCF＝90°，∴AB∥FG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠EAD，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），∴∠EAF＝∠CBG，∵∠BCG＝90°，∴∠BGC+∠CBG＝90°，∴∠BAF+∠EAF＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF＝90°，∵∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD+∠EAF＝45°，即∠DAF＝45°．故答案为：45．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，正方形和平行四边形的判定和性质，对称的性质，角的平分线，画图的能力，垂直的判定等知识，正确作辅助线，构建三角形全等是关键．12．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）如图，连接DE，DG，根据正方形的性质得到AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，根据全等三角形的性质得到DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，求得DF＝DG，由等腰三角形的性质得到∠CDF＝∠CDG，推出△EDG是等腰直角三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示；（2）如图，连接DE，DG，∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∵∠DCF＝90°，∴DC⊥FG，∵CF＝CG，∴DF＝DG，∴∠CDF＝∠CDG，∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝90°，∴△EDG是等腰直角三角形，∴EG＝DG＝DF．【点评】本题考查了等腰直角三角形，作图﹣基本作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

2020年17．（5分）（2020•北京）计算：（）﹣1|﹣2|﹣6sin45°．18．（5分）（2020•北京）解不等式组：19．（5分）（2020•北京）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．20．（5分）（2020•北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠ABP∠BAC．21．（6分）（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．22．（5分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C，BD＝8，求EF的长．24．（6分）（2020•北京）小云在学习过程中遇到一个函数y|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0123…y01…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．25．（5分）（2020•北京）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数）；（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．26．（6分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．27．（7分）（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．28．（7分）（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．2021年17．（5分）（2021•北京）计算：2sin60°|﹣5|﹣（π）0．18．（5分）（2021•北京）解不等式组：．19．（5分）（2021•北京）已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．20．（5分）（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA 的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．21．（6分）（2021•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．22．（6分）（2021•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cos B，求BF和AD的长．23．（5分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y x的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．24．（6分）（2021•北京）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．25．（5分）（2021•北京）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.010.010.110.911.411.511.611.8c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．26．（6分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．27．（7分）（2021•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．28．（7分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．2022年17．（5分）（2022•北京）计算：（π﹣1）0+4sin45°|﹣3|．18．（5分）（2022•北京）解不等式组：．19．（5分）（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．20．（5分）（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．方法一证明：如图，过点A作DE∥BC．方法二证明：如图，过点C作CD∥AB．21．（6分）（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．22．（5分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y 轴交于点A．（1）求该函数的解析式及点A的坐标；（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（6分）（2022•北京）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是（填“甲”“乙”或“丙”）．24．（6分）（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．25．（5分）（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x /m02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系y ＝﹣0.04（x ﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为d 2，则d 1d 2（填“＞”“＝”或“＜”）．26．（6分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ），（3，n ）在抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x ＝t ．（1）当c ＝2，m ＝n 时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点（x 0，m ）（x 0≠1）在抛物线上．若m ＜n ＜c ，求t 的取值范围及x 0的取值范围．27．（7分）（2022•北京）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为△ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得CE ＝DC ．（1）如图1，延长BC 到点F ，使得CF ＝BC ，连接AF ，EF ．若AF⊥EF ，求证：BD ⊥AF ；（2）连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2．若AB 2＝AE 2+BD 2，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．28．（7分）（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （a ，b ），N ．对于点P 给出如下定义：将点P 向右（a ≥0）或向左（a ＜0）平移|a |个单位长度，再向上（b ≥0）或向下（b ＜0）平移|b |个单位长度，得到点P ′，点P ′关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．（1）如图，点M （1，1），点N 在线段OM 的延长线上．若点P （﹣2，0），点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．。

2020北京中考数学考试题27题答案与
解析
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
2020北京中考--27
在△ABC中,∠C=90°,ACBC,D是AB的中点,E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC与点F,连接EF。

(1)如图,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式
子表示)
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明
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【解析】(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点
∴DE为△ABC的中位线 .DEII BC
∵,∠C=90°，
∴∠DEC=90° ,
∵DF⊥DE
∴,∠EDF=90°
∴四边形DECF为矩形
∴DE=CF=0.5BC
∴BF=CF
∴,DF=CE=0.5AC
∴EF =a +b
(2)过点B作AC的平行线交ED延长线于点G,连接FG ∵BGIIAC
∴∠EAD=∠GBD,∠DEA=∠DGB
∵D是AB的中点
∴AD=BD
∴△ EAD ≌△GBD
∴ED=GB，AE=BG
∵DF⊥DE
∴DF是线段EG的垂直平分线
∴EF=FG
∵∠C=90°,BG∥AC
∴∠GBF=90° 在RT△ BGF中,FG =BG +BF
∴EF =AE +BF
其实此题中点E和点F的位置关系有多种情况，但是基本数量关系是不变的，如下面几幅图所示，仅供大家参考。

不足之处欢迎大家批评指正，共同探讨。

图2图1ED C AEDDC2020年北京市各城区中考二模数学——几何综合题24题汇总1、（2020年门头沟二模）24. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．2、（2020年丰台二模）24.如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），延长FC 交AB 于点D ，如果6AD =-α的度数．3、（2020年平谷二模）24.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．4、(2020年顺义二模) 24．在△ABC 中， A B = AC ，∠A =30︒，将线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60︒得到线段 B D ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上． （1）如图 1，直接写出 ∠ABD 和∠CFE 的度数； （2）在图1中证明： A E =CF ； （3）如图2，连接 C E ，判断△CEF 的形状并加以证明．图2图1BCBDαECBA图3αFECBAFCBA图24-1图24-2图24-3EQPDCB A5、（2020年石景山二模）24．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量 关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关 系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值 （用含α、m 的式子表示）． 解：6、（2020年海淀二模）24．在ABC △中，90ABC ∠=o ，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ， b 为常数，且 a b <. 将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE .（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.图1 备用图7、（2020年西城二模）24．在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB >AC ， AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若∠ABE =60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC AB +=，求∠BAC 的度数．8、（2020年通州二模）23．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF ＝12∠BAF ，AF ＝23AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．9、（2020年东城二模） 24．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与AB CAB BD DB图2点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．（1）当∠BQD =30°时，求AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP 为x ，BD 为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD 的值．10、（2020年朝阳二模）24. 已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD =45°，求证BD =CE ．11、（2020年密云二模）24．已知等腰Rt ABC ∆和等腰Rt AED ∆中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC（1）发现：如(图1)，当点E 在AB 上且点C 和点D 重合时，若点M 、N 分别是DB 、EC 的中点，则MN 与EC 的位置关系是 ，MN 与EC 的数量关系是（2）探究：若把（1）小题中的△AED 绕点A 旋转一定角度，如(图2)所示，连接BD 和EC,并连接DB 、EC 的中点M 、N,则MN 与EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由;请以逆时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，12、（2020年延庆二模）13、(2020年房山二模) 24. 边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1)，现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N . （1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3，设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.14、（2020年昌平二模）24．【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，AE ，BF 相交于点M ，连接DE ，DF . 则DE ，DF 的数量关系为 . 【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF . 求证：DE =DF ；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.P EC 图2 C B 图1ADBE CM F AD BE CM F MABCDFE图3图2图115、（2020年怀柔二模）24．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 边上一点，F 是BC 边延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是AC 边的中点，猜想BE 与EF 的数量关系为 .（2）如图2，若E 是线段AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．16、（2020年大兴二模）25. 已知：E 是线段AC 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点D ，使得∠EDB =∠EAB ，联结AD .（1）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB =60°时，如图1，求证：ED =AD +BD ；（2）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB = α（0º﹤α﹤90º）时，如图2，请你直接写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）若直线EF 与线段AB 不相交，当∠EAB =90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系，并证明你的结论.17、（2020年燕山二模）24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2AB EFA B E F AB C F F GE DC AB B ACDE GF。

中考数学专项训练逻辑推理题（含答案）逻辑推理问题是一类非常规的数学问题，涉及数学专门知识少，考查的是思维能力和数学素养。

逻辑推理问题不仅是当今公务员招考的专利,这类问题在历年中考试卷中屡见不鲜，参加中考的考生不可忽视。

一、选择题：1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）A. 6分B. 7分C. 8分D. 9分2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜（ ）A. 0局B. 1局C. 2局D. 3局3、已知四边形ABCD 从下列条件中①AB ∥CD ②BC ∥AD ③AB ＝CD ④BC ＝AD ⑤∠A ＝∠C ⑥∠B ＝∠D ，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有（ ）A. 4种B. 9种C. 13种D. 15种4、正整数n 小于100，并且满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有（ ）个A. 2B. 3C. 12D. 165、周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是（ ）A. 15B. 14C. 13D. 126、一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最小要抽（ ）张才能保证有4张牌是同一花色的。

A. 12B. 13C. 14D. 157、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（ ）个展室。

条件探究几何综合参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD＝OP＝1∴OD＝∵OH＝+1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP2．如图，已知∠AOB＝60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB 于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DPA＝∠OPE，DP+PE＝6．（1）当DP＝PE时，求DE的长；（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得的值不变？并证明你的判断．【解答】解：（1）如图1，连接DE，作PF⊥DE交DE于F．∵PE⊥BO，∠AOB＝60°，∴∠OPE＝30°，∴∠DPA＝∠OPE＝30°，∴∠EPD＝120°，∵DP＝PE，DP+PE＝6，∴∠PDE＝30°，PD＝PE＝3，∴DF＝PD•cos30°＝，∴DE＝2DF＝3；（2）当M点在射线OA上且满足om＝2时，的值不变，始终为1．理由如下：如图2，当点P与点M不重合时，延长EP到K使得PK＝PD．∵∠DPA＝∠OPE，∠OPE＝∠KPA，∴∠KPA＝∠DPA，∴∠KPM＝∠DPM，∵PK＝PD，PM是公共边，∴△KPM≌△DPM（SAS），∴MK＝MD，作ML⊥OE于L，MN⊥EK于N．∵MO＝2，∠MOL＝60°，∴ML＝MO•sin60°＝3，∵PE⊥BO，ML⊥OE，MN⊥EK，∴四边形MNEL为矩形．∴EN＝ML＝3．∵EK＝PE+PK＝PE+PD＝6，∴EN＝NK．∵MN⊥EK，∴MK＝ME．∴ME＝MK＝MD，即＝1．当点P与点M重合时，由上过程可知结论成立．3．已知：在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为BD⊥CE（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，BC⊥CE（点D不与点C，B重合）？试画出相应图形，写出你的探究结果（不用证明）．【解答】解：（1）（i）垂直（或BD⊥CE）；（ii）（i）中的结论是否仍然成立，理由如下：连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝90°，即BD⊥CE；（2）如右图所示，当△ABC满足∠ACB＝45°时，BC⊥CE．4．已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP．（1）若α＝60°，k＝1，①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；②直接写出PA、PQ的数量关系；（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD，∵∠ACM＝60°，∴△ADC为等边三角形．∴∠DAC＝60°．∵C为AB的中点，Q为BC的中点，∴AC＝BC＝2BQ．∵BQ＝CP，∴AC＝BC＝CD＝2CP．∴AP平分∠DAC．∴∠PAC＝∠PAD＝30°．②如下图，将△APD绕点A顺时针旋转60°得△AD'C，连接CD'，∴∠ACD'＝∠ADP＝60°，AP＝AD'，∠PAD'＝60°，CD'＝PD，∴△APD'是等边三角形，∴PD'＝AP，∵k＝1，∴BQ＝CP，∵CD＝AC＝BC，∴PD＝CQ＝CD'，∵∠PCQ＝180°﹣∠ACP＝120°，∠PCD'＝∠ACP+∠ACD'＝120°，∴∠PCD'＝∠PCQ，∴△PCD'≌△PCQ（SAS），∴PD'＝PQ，∴PA＝PQ；（2）存在，使得②中的结论成立．证明：过点P作PC的垂线交AC于点D．∵∠ACM＝45°，∴∠PDC＝∠PCD＝45°．∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°．∵，，∴CD＝BQ．∵AC＝BC，∴AD＝CQ．∴△PAD≌△PQC（SAS）．∴PA＝PQ．5．已知∠MON＝α，P为射线OM上的点，OP＝1．（1）如图1，α＝60°，A，B均为射线ON上的点，OA＝1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α＝45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．【解答】解：（1）①如图所示：②结论：AC∥OM．．理由：连接AP∵OA＝OP＝1，∠POA＝60°，∴△OAP是等边三角形．∴OP＝PA，∠OPA＝∠OAP＝60°，∵△PBC是等边三角形，∴PB＝PC，∠BPC＝60°，∴∠OPA+∠APB＝∠BPC+∠APB，即∠OPB＝∠APC，∴△OBP≌△ACP（SAS）．∴∠PAC＝∠O＝60°，∴∠OPA＝∠PAC，∴AC∥OM．（2）作PH⊥OQ于H，取PQ的中点K，连接HK，RK．∵∠PHQ＝∠PRQ＝90°，PK＝KQ，∴HK＝PK＝KQ＝RK，∴P，R，Q，H四点共圆，∴∠RHQ＝∠RPQ＝45°，∴∠RHQ＝∠POQ＝45°，∴RH∥OP，＝S△POH＝××＝．∴S△POR6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）补全图形如图1．（2）△CDE为等边三角形，证明如下：延长BC与DE交于F，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，①∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，∴AD＝AB＝AC，∠BAD＝60°，∴∠ACD＝∠ADC，②∵四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝360°．∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC＝300°，③∴由①②③，得∠ACB+∠ACD＝150°，即∠BCD＝150°，∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝30°，∵点E与点D关于直线BC对称，∴∠ECF＝∠DCF＝30°，DC＝CE，∴∠DCE＝60°．∴△DCE是等边三角形；（3）存在，作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，证明：延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，由（2）可知，∠PCD＝180°﹣∠DCE＝120°，∠PCQ＝∠DCE＝60°，∠PCG＝∠FCE ＝30°，∴∠CPG＝90°﹣∠PCG＝60°，∴∠PQC＝∠CPQ＝∠PCQ＝60°，∴△PCQ为等边三角形，∴PC＝CQ，∠APC＝120°﹣∠PCD，①∵AG⊥BC，AC＝BC，∴AG垂直平分BC，∴PB＝PC＝QB＝QC，∴四边形PBQC是菱形，∴PB＝QC，∠PBQ＝∠PCQ＝60°，②∵QB＝QC，∴∠QBC＝∠QCB，∴∠ABQ＝∠ACQ，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD＝60°＝∠PCQ，∴∠ABQ﹣∠ABD＝∠ACQ﹣∠PCQ，∴∠DBQ＝∠ACP，③∴由①②③得△ACP≌△DBQ（AAS），∴AP＝DQ．∵CQ＝PB，∴AP＝DQ＝DC+CQ＝DC+PB．即PA﹣PB＝CD成立．7．△ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n °（0＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC＝AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM．写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MP＝AP，并说明理由．【解答】解：（1）如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，又∵PC＝AC，∴∠PAC＝∠APC，∵∠ACB＝∠PAC+∠APC＝60°，∴∠PAC＝∠APC＝30°，∴∠BAP＝90°，当BQ∥AP时，∠PBQ＝∠APC＝30°，连接CQ，由旋转的性质得：PC＝PQ，∴PQ＝PC＝AC＝BC，∴∠CBQ＝∠CQB＝30°，∴∠BCQ＝120°，∴∠ACB+∠BCQ＝180°，∴A、C、Q三点共线，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，即n＝60；（2）n＝120．理由如下：延长PM至N，使得MN＝PM，连接BN，AN，QN，如图2所示：∵M为线段BQ的中点，∴四边形BNQP是平行四边形．∴BN∥PQ，BN＝PQ．∴∠NBP+∠CPQ＝180°，∴∠NBP＝180°﹣∠CPQ＝60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．∴∠ABN＝∠ACP＝120°．∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，∴PQ＝PC．∴BN＝PC．在△ABN和△ACP中，，∴△ABN≌△ACP（SAS）．∴∠BAN＝∠CAP，AN＝AP．∴∠NAP＝∠BAC＝60°．∴△ANP是等边三角形．∴PN＝AP．又MP＝PN，∴MP＝AP．8．如图1，点B，C分别是∠MAN的边AM、AN上的点，满足AB＝BC，点P为射线AB 上的动点，点D为点B关于直线AC的对称点，连接PD交AC于E点，交BC于点F．（1）在图1中补全图形；（2）求证：∠ABE＝∠EFC；（3）当点P运动到满足PD⊥BE的位置时，在射线AC上取点Q，使得AE＝EQ，此时是否是一个定值，若是请求出该定值，若不是，请说明理由．【解答】（1）解：图形如图1所示：（2）证明：∵B，D关于AC对称，∴AB＝AD，BE＝DE，∵AE＝AE，∴△AEB≌△AED（SSS），∴∠ABE＝∠D，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠EFC，∴∠ABE＝∠EFC．（3）结论：＝，是一个定值．理由：如图2中，作QK∥AD交PD于K，连接BK．∵AD∥QK，∴∠EAD＝∠EQK，∵AE＝EQ，∠AED＝∠QEK，∴△AED≌△QEK（ASA），∴AD＝KQ，∵AB＝BC＝AD，AD∥BC，∴BC＝KQ，BC∥KQ，∴四边形BCQK是平行四边形，∴CQ＝BK，CQ∥BK，∵PD⊥BE，∴∠DEB＝90°，∴∠AEB＝∠AED＝45°，∴∠EBK＝∠AEB＝45°，∵∠BEK＝90°，∴△BEK是等腰直角三角形，∴BK＝BE＝DE，∴CQ＝DE，∴＝＝．9．已知∠MON＝120°，点A，B分别在ON，OM边上，且OA＝OB，点C在线段OB上（不与点O，B重合），连接CA．将射线CA绕点C逆时针旋转120°得到射线CA′，将射线BO绕点B逆时针旋转150°与射线CA′交于点D．（1）根据题意补全图1；（2）求证：①∠OAC＝∠DCB；②CD＝CA（提示：可以在OA上截取OE＝OC，连接CE）；（3）点H在线段AO的延长线上，当线段OH，OC，OA满足什么等量关系时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH，写出你的猜想并证明．【解答】（1）解：根据题意补全图形，如图1所示：（2）证明：①由旋转得：∠ACD＝120°，∴∠DCB+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∵∠MON＝120°，∴∠OAC+∠ACO＝180°﹣120°＝60°，∴∠OAC＝∠DCB；②在OA上截取OE＝OC，连接CE，如图2所示：则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣∠MON）＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠AEC＝180°﹣∠OEC＝180°﹣30°＝150°，由旋转得：∠CBD＝150°，∴∠AEC＝∠CBD，∵OA＝OB，OE＝OC，∴AE＝BC，在△AEC和△CBD中，，∴△AEC≌△CBD（ASA），∴CD＝CA；（3）解：猜想OH﹣OC＝OA时，对于任意的点C都有∠DCH＝2∠DAH；理由如下：在OH上截取OF＝OC，连接CF、CH，如图3所示：则FH＝OA，∠COF＝180°﹣∠MON＝180°﹣120°＝60°，∴△OFC是等边三角形，∴CF＝OC，∠CFH＝∠COA＝120°，在△CFH和△COA中，，∴△CFH≌△COA（SAS），∴∠H＝∠OAC，∴∠BCH＝∠COF+∠H＝60°+∠H＝60°+∠OAC，∴∠DCH＝60°+∠H+∠DCB＝60°+2∠OAC，∵CA＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠DCH＝2（∠CAD+∠OAC）＝2∠DAH．10．如图，∠MAN＝90°，B，C分别为射线AM，AN上的两个动点，将线段AC绕点A逆时针旋转30°到AD，连接BD交AC于点E．（1）当∠ACB＝30°时，依题意补全图形，并直接写出的值；（2）写出一个∠ACB的度数，使得，并证明．【解答】解：（1）补全图形如下：由旋转的性质可得AC＝AD，∠DAC＝30°，如图1，过点D作DF⊥AC于点F，∴DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴，设DF＝x，则DA＝2x，则AC＝2x，∴，∴＝∴．（2）解：∠ACB＝45°．证明：∵∠ACB＝45°，∴AB＝AC．∵AC＝AD，∴AB＝AD．如图2，过点D作DF⊥AC于点F，∴∠DFE＝90°∵∠CAD＝30°，∴．∵∠BAE＝90°，∴∠DFE＝∠BAE＝90°．∵∠FED＝∠AEB．∴△FED∽△AEB．∴．第21页（共21页）。

中考真题之找规律之2一、填空题（共99小题）1. 观察下列等式：=√2−1，第1个等式：a1=1+√2=√3−√2，第2个等式：a2=√2+√3=2−√3，第3个等式：a3=√3+2=√5−2．按上述规律，回答以下问题：第4个等式：a4=2+5（1）请写出第n个等式：a n=；（2）a1+a2+a3+⋯+a n = ．2. 根据下列图形的排列规律，第2008个图形是福娃（填写福娃名称即可）．3. 如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为．4. 下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为，第2017个图形的周长为．5. 观察下列各式的规律：(a−b)(a+b)=a2−b2(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4…可得到(a−b)(a2016+a2015b+⋯+ab2015+b2016)=．6. 观察下列各式：(x−1)(x+1)=x2−1；(x−1)(x2+x+1)=x3−1；(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1．根据前面各式的规律可得到(x−1)(x n+x n−1+x n−2+⋯+x+1)=．7. 如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是．8. 下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式．9. 观察下列各式：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15，⋯请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来．10. 观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，⋯⋯，请利用你所发现的规律，计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+192+1102，其结果为．11. 如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．12. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为x n，则x n+ x n+1=．13. 某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，⋯，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数是粒．14. 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21⋯⋯叫三角形数，它有一定的规律．若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，⋯⋯，第n个三角形数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，⋯⋯，由此推算a399+a400=．15. 下面每个图是由若干个圆点组成的形如四边形的图案，当每条边（包括顶点）上有n(n≥2)个圆点时，图案的圆点数为S n，按此规律推算S n关于n的关系式为：．16. 己知两个任意正数a和b，有下列命题：①若a+b=2，则√ab≤1；②若 a +b =12，则 √ab ≤14；③若 a +b =√2 ，则 √ab ≤√22．根据以上三个命题所提供的规律，试猜想出 a +b 与 √ab 应满足的最佳关系式： ． 17. 如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 （用含有 n 的代数式表示）．18. 如图，用小棒摆下面的图形，图形需要 3 根小棒，第二个图形需要 7 根小棒 ⋯⋯ 照这样的规律继续摆下去，第 n 个图形需要 根小棒．（用含 n 的代数式表示）19. 将自然数按以下规律排列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行1451617⋯第二行23615⋯第三行98714⋯第四行10111213⋯第五行⋯⋯⋯表中数 2 在第二行，第一列，与有序数对 (2,1) 对应；数 5 与 (1,3) 对应；数 14 与 (3,4) 对应；根据这一规律，数 2014 对应的有序数对为 ．20. 如图，按此规律，第 6 行最后一个数字是 ，第 行最后一个数是 2014．12343456745678910⋯21. 某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽．发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为 a ）第x 年12345⋯发芽率a a 2a 3a 5a ⋯新芽率0a a 2a 3a ⋯总芽率a2a3a5a8a⋯照这样下去，第 8 年老芽数与总芽数的比值为 （精确到 0.001）．22. 正整数按图的规律排列．请写出第 20 行，第 21 列的数字 ．23. 将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第行第列．24. 观察下列各式：152=1×(1+1)×100+52=225252=2×(2+1)×100+52=625352=3×(3+1)×100+52=1225⋯⋯依此规律，第n个等式（n为正整数）为．25. 正整数按图中的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．26. 古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，⋯，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为．27. 观察数表根据表中数的排列规律，则字母 A 所表示的数是 ．28. 某学校在筹备建校 80 周年校庆时，计划用彩色电灯装饰教学大楼，假若将彩色灯泡按照 2 个红色、 3 个黄色、 1 个绿色的顺序串起来的话，那么，按此规律判断，第 100 个灯泡的颜色应是 色．29. 王婧同学用火柴棒摆成如下的三个"中"字形图案，依此规律，第 n 个"中"字形图案需 根火柴棒．30. 观察下列分母有理化的计算：√2+√1=√2−√1，√3+√2=√3−√2，√4+√3=√4−√3，√5+√4=√5−√4，⋯ 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算： (2+13+24+3+⋅⋅⋅2002+2001)(√2002+1)= ．(√2+√1√3+√2√4+√3+⋅⋅⋅√2003+√2002)(√2003+1)= ．31. 将全体正整数排成一个三角形数阵：根据上述排列规律，数阵中第 10 行从左到右的第 5 个数是 ．32. 猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235 ⋯⋯，小亮猜想出第六个数字是 6467, 根据此规律，第 n 个数是 ．33. 用计数器探索：按一定规律排列的一组数：110，111，112，…，119，120，如果从中选出若干个数，使它们的和大于 0.5，那么至少要选 个数．34. 瑞士中学教师巴尔米成功地从光谱数据 95,1612,2521,3632 … 中得到巴尔米公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数 ．35. 观察下列等式：39×41=402−12 ， 48×52=502−22 ， 56×64=602−42 ， 65×75=702−52 ， 83×97=902−72，…请你把发现的规律用字母表示出来： m ⋅n = ．36. 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 95，1612，2521，3632… … 中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第七个数据是 ．37. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有 ( ) 个小圆．（用含 n 的代数式表示）38. 古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，⋯ 叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为 a 1，第二个三角数记为 a 2⋯，第 n 个三角数记为 a n ，计算 a 1+a 2，a 2+a 3，a 3+a 4，⋯ 由此推算 a 399+a 400= ．39. 小明在做数学题时，发现下面有趣的结果： 3−2=1 8+7−6−5=415+14+13−12−11−10=924+23+22+21−20−19−18−17=16 ⋯根据以上规律可知第 100 行左起第一个数是 ．40. 如图，图①，图②，图③，⋯ 是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第 n 个“山”字中的棋子个数是 ．41. 如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第 1 个图案中有 6 根小棒，第 2 个图案中有 11 根小棒，…，则第 n 个图案中有 根小棒．42. 已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，⋯，若 10+ba =102×ba 符合前面式子的规律，则 a +b = ．43. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有个点，第n个图形中有个点．44. 下边是一个有规律排列的数表，请用含n的代数式（n为正整数）表示数表中第n行第n列的数：．45. 观察下列各式：√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15，……请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是．46. 如图，都是由边长为1的正方体叠成的图形．例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位，依此规律，则第（5）个图形的表面积个平方单位．47. 一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，⋯，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是个单位．48. 用大小相同的实心圆摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆成的第n个图案中，共有实心圆的个数为．49. 已知C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，⋯观察以上计算过程，寻找规律计算C85=．50. 已知一列数：1，−2，3，−4，5，−6，7，⋯将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于．51. 如图是三种化合物的结构式及分子式．请按其规律，写出后面第2013种化合物的分子式．52. 将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n,m)表示第n排，从左到右第m个数，如(4,2)表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．53. 如图：图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6⋯，依此规律，P0P2018=个单位长度．54. 如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=13，tan∠BA3C=17，计算tan∠BA4C=，⋯⋯按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．55. 有这样一组数据a1，a2，a3，⋯，a n，满足以下规律：a1=12，a2=11−a1，a3=11−a2，⋯，a n=11−a n−1，（n≥2且n为正整数），则a2013的值为（结果用数字表示）．56. 如图，是由等圆组成的一组图，第①个图由1个圆组成，第②个图由5个圆组成，第③个图由12个圆组成⋯按此规律排列下去，则第⑥个图由个圆组成．57. 平移小菱形⋄可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由⋄平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是．58. 用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图1 几何体表面为6，图 2 几何体表面积为18，则第67个图所示几何体的表面积为．59. 请观察下列等式的规律：1 1×3=12(1−13)，1 3×5=12(13−15)，1 5×7=12(15−17)，1 7×9=12(17−19)，⋯则11×3+13×5+15×7+⋯+199×101=．60. 如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n为正整数）．61. 观察下列各式：11×2=1−12=12；11×2+12×3=1−12+12−13=23；11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+1 3−14=34；⋯⋯，请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）．（写出最简计算结果即可）62. 观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题．问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有条横截线．63. 如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，⋯，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为（用含n的式子表示）．64. 已知11×3=12×(1−13)，13×5=12×(13−15)，15×7=12×(15−17)，⋯，依据上述规律计算11×3+1 3×5+15×7+⋯+111×13的结果为（写成一个分数的形式）．65. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；12=5+7；6=3+3；14=3+11=7+7；8=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+5；18=5+13=7+11；⋯通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）．66. 如图一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有颗．67. 如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸⋯⋯A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么由一张A4的纸可以裁张A8的纸．68. 在平面直角坐标系中，点A(√3,1)在射线OM上，点B(√3,3)在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，⋯⋅，依此规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为．69. 如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，⋯，按此规律，第n行有个点．70. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴和y轴上，OA=1，OB=√3，连接AB，过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A1，B1，连接A1B1，再过A1B1中点C2作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A2，B2，照此规律依次作下去，则点C n的坐标为．71. 将连续正整数按如下规律排列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413第5行17181920⋯⋯⋯⋯⋯⋯若正整数565位于第a行，第b列，则a+b=．72. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，⋯，则第n（n为正整数）个图案由个▲组成．73. 下图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个基础图形组成，第 2 个图案由 7 个基础图形组成，⋯⋯，第 n （n 是正整数）个图案中由 个基础图形组成．74. 如图是用棋子摆成的“上”字，如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： （1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子；（2）第 n 个“上”字需用 枚棋子．75. 如图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个基础图形组成，第 2 个图案由 7 个基础图形组成，……，第 n （n 是正整数）个图案中由 个基础图形组成．76. 把奇数列成下表：137132131⋯⋯59152333⋯⋯11172535⋯⋯192737⋯⋯2939⋯⋯⋯⋯⋯⋯根据表中数的排列规律，则上起第 8 行，左起第 6 列的数是 ．77. 如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含 n 的等式表示第 n 个正方形点阵中的规律 ．78. 如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯都是等腰直角三角形，其直角x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯的顶点P1(3,3)，P2，P3，⋯均在直线y=−13面积分别为S1，S2，S3，⋯，依据图形所反映的规律，S2018=．79. 在直角坐标系中，已知点A(3,2)，作点A关于y轴的对称点为A1，作点A1关于原点的对称点为A2，作点A2关于x轴的对称点为A3，作点A3关于y轴的对称点为A4，⋯按此规律，则点A8的坐标为．80. 如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有个正方形．81. 1766年德国人提丢斯发现，太阳系中的行星到太阳的距离遵循下表所示的规律：颗次123456−行星名称水星金星地球火星谷神星木星−距离/天文单位0.40.71 1.6 2.8 5.2−根据表格，第7颗行星到太阳的距离是天文单位．82. 探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；⋯那么，37的个位数字是，320的个位数字是．83. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：①第4个图案中有白色地面砖块；②第n个图案中有白色地面砖块．84. 下面是用棋子摆成的“上”字型图案：按照以上规律继续摆下去，通过观察，可以发现：（1）第五个“上”字需用枚棋子；（2）第n个“上”字需用枚棋子．85. 如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，⋯，按此规律，那么第（n）个图有个相同的小正方形．86. 如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60∘．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60∘．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE=60∘，⋯，按此规律所作的第n个菱形的边长是．87. 用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）．88. 用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是．89. 观察下列各等式：11×2=11−12,12×3=12−13,13×4=13−14,⋯根据你发现的规律，计算：21×2+22×3+23×4+⋯+2n×(n+1)=．（n为正整数）90. 用计算器探索：按一定规律排列的一组数：1，√2，−√3，2，√5，−√6，√7，⋯，如果从1开始依次连续选取若干个数，使它们的和大于5，那么至少要选个数．91. 考查下列式子，归纳规律并填空：1=(−1)2×1；1−3=(−1)3×2；1−3+5=(−1)4×3；⋯⋯⋯；1−3+5−7+⋯+(−1)n+1(2n−1) = （n≥1且为整数）．92. 用同样大小的黑色棋子按图6所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子枚（用含n的代数式表示）．93. 观察下列等式：53+23 53+33=5+25+3,73+53 73+23=7+57+2,93+53 93+43=9+59+4,⋯请你用两个字母表示这个规律：．94. 将边长分别为1，2，3，4，⋯，19，20的正方形置于直角坐标系的第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为．95. 观察下列算式并填空：32−12=8×1，52−32=8×2．①72−52=8×；②92−2=8×4；③2−92=8×5；④132−2=8×6，…通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：（用文字语言表述）．96. 请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：．97. 用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片张（2）第n个图案中有白色纸片张98. 小明设计了一个电子游戏：一电子跳蚤从横坐标为t（t>0）的P1点开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y=ax2（a>0）上向右跳动，得到点P2、P3，这时△P1P2P3的面积为．99. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，⋯，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列．如：P1(0,0)，P2(0,1)，P3(1,1)，P4(1,−1)，P5(−1,−1)，P6(−1,2)⋯根据这个规律，点P2016的坐标为．答案第一部分 1.√n+√n+1=√n +1−√n ，√n +1−1【解析】（1）因为第 1 个等式：a 1=1+2=√2−1，第 2 个等式：a 2=√2+√3=√3−√2，第 3 个等式：a 3=√3+2=2−√3， 第 4 个等式：a 4=2+√5=√5−2，所以第 n 个等式：a n =√n+√n+1=√n +1−√n ．（2）a 1+a 2+a 3+⋯+a n=(√2−1)+(√3−√2)+(2−√3)+(√5−2)+⋯+(√n +1−√n)=√n +1−1.2. 欢欢【解析】提示：5 个为一周期． 3. n 2+2【解析】第 1 个图形中点的个数为 3； 第 2 个图形中点的个数为 3+3； 第 3 个图形中点的个数为 3+3+5； 第 4 个图形中点的个数为 3+3+5+7； ⋯第 n 个图形中点的个数为 3+3+5+7+⋯+(2n −1)=n 2+2． 4. 8，6053 5. a 2017−b 2017 6. x n+1−1 7.【解析】由图形看出来去掉开头的两个三角形，剩下的由三个正方形，一个三角形，两个圆 6 个图形为一组，不断循环出现，(2014−2)÷6=335⋯2． 所以第 2014 个图形是与循环的第二个图形相同的是正方形． 8. C 4H 109. √n +1n+2=(n +1)√1n+2 10. 9910【解析】由题意可得：√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+192+1102=1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+19×10=9+(1−12+12−13+13−14+⋯+19−110)=9+910=9910.11. (n2+4n)【解析】第1个小屋子需要1+4=5枚棋子，第2个小屋子需要1+2+9=3+9=12枚棋子，第3个小屋子需要1+2+2+16=5+16=21枚棋子，以此类推，第n个小屋子需要2n−1+(n+1)2=n2+4n枚棋子，12. (n+1)2【解析】x1=1，x2=3=1+2，x3=6=1+2+3，x4=10=1+2+3+4，⋅⋅⋅，∴x n=1+2+3+⋅⋅⋅+n=n(n+1)2．∴x n+1+x n=(n+1)(n+2)2+n(n+1)2=(n+1)2．13. 2n+114. 160000【解析】∵a1+a2=1+3=4，a2+a3=3+6=9，a3+a4=6+10=16，a4+a5=10+15= 25，a5+a6=15+21=36，⋯，∴a n+a n+1=(n+1)2．当n=399时，a399+a400=(399+1)2=160000．15. 4n−416. a+b≥2√ab（或a+b2≥√ab）17. 4n−2（或2+4(n−1)）【解析】第一个图案中有正六边形2个，正三角形2个；第二个图案中有正六边形4个，正三角形6个；第三个图案中有正六边形6个，正三角形10个；第四个图案中有正六边形8个，正三角形14个；⋯即后面的一个图案比前面一个图案多4个三角形，所以第n个图案中阴影小三角形的个数用含有n的代数式表示是2+4(n−1)或4n−2．18. 4n−1【解析】第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要3+4=7根小棒，第3个图形需要3+4+4=11根小棒，以此类推，第n个图形需要3+4(n−1)=4n−1根小棒，19. (45,12)【解析】由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数的平方，第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；∵45×45=2025，2014在第45行，向右依次递减，∴2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为(45,12)．20. 16，672【解析】每一行的最后一个数字为1，4，7，10，⋯，则第n行的最后一个数字为1+3(n−1)=3n−2，∴第6行最后一个数字是3×6−2=16；令3n−2=2014，解得n=672．因此，第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．21. 0.618【解析】第8年，老发芽率为21a，新发芽率为13a，总发芽率为34a，求得老发芽数与总发芽数的≈0.618．比值为21a34a22. 420【解析】第20行第21列的数字为：212−21=21×(21−1)=420．23. 18，4524. (10n+5)2=n(n+1)×100+52【解析】先观察等式左侧：152，252，352，⋯可以发现：152=(10+5)2，252=(2×10+5)2，352=(3×10+5)2，已发现第n个为(10n+5)2；再观察等式右侧，可发现第n个式子为n×(n+1)×100+52所以第n个等式（n为正整数）为(10n+5)2=n(n+1)×100+52．25. 420【解析】观察发现第一行第二列的数字为2=1×2；第二行第三列的数字为6=2×3；第三行第四列的数字为12=3×4；第四行第五列的数字为20=4×5；⋯由此可得第n行第n+1列的数字应为n(n+1)．26. 199【解析】2n−1(n≥3)．27. −1028. 黄29. 6n+3或9+6(n−1)【解析】先观察图中的“竖线”，第一个有3根火柴，第二个有5根，第三个有7根，因此，第 n 个竖线有 2n +1(n 为正整数) 根火柴， 再观察“长方形”，第一个有 6 根火柴，第二个有 10 根，第三个有 14 根， 因此，第 n 个长方形有 4n +2(n 为正整数) 根火柴，综上，可知第 n 个"中"字形图案需要 2n +1+4n +2=6n +3 根火柴． 30. 2001，2002【解析】∵√2+√1√3+√2+√4+√3√2002+√2001=√2−√1+√3−√2+⋅⋅⋅+√2002−√2001=√2002−1.∴ 原式 =(√2002−1)(√2002+1)=2001， 第二个式子同理． 31. 50【解析】第 n 行有 n 个数，那么第 n 行最后一个数为 1+2+3+⋯+n =n 2+n 2．所以第 10 行从左向右的第 5 个数是 50． 32.2n 2n +3【解析】通过前几个分数我们发现：5−2=3，7−4=3，11−8=3，19−16=3，⋯， 分母与分子的差是一个定值 3， 再看分子：2，4，8，16，32， 2=21； 4=22； 8=23； 16=24； 32=25， 以此类推，第 n 个数的分子为 2n ，分母为 2n +3， 所以第 n 个数是 2n 2n +3．33. 7【解析】提示：110+111+112+113+114+115>110+110+2(112+115)=0.2+0.3=0.5.110+111+112+113+114+115+116>3×112+4×116=0.25+0.25=0.5.34. 8177 35. (m+n 2)2−(m−n 2)236. 8177【解析】提示：第 n 个数据是 (n+2)2(n+2)2−4． 37. n 2+n +4【解析】每个图由外围的 4 个小圆和中间的“矩形”组成，矩形的面积等于长成宽．由此可知 第 1 个图中小圆的个数 =1×2+4， 第 2 个图中小圆的个数 =2×3+4， 第 3 个图中小圆的个数 =3×4+4， ⋯⋯第 n 个图中小圆的个数 =n (n +1)+4=n 2+n +4． 38. 1.6×105 或 160000 【解析】∵a 1+a 2=4=22； a 2+a 3=3+6=9=32； a 3+a 4=6+10=16=42； ⋯∴a n +a n+1=(n +1)2；∴a 399+a 400=4002=1.6×105． 39. 10200【解析】∵3=22−1， 8=32−1， 15=42−1， 24=52−1， ⋯∴ 第 100 行左起第一个数是 1012−1=10200． 40. 5n +2【解析】第 n 个图中，(n +2)+(n +1)×2+(n −1)×2=5n +2． 41. 5n +1【解析】∵ 第 1 个图案中有 6 根小棒， 第 2 个图案中有 6+5=11 根小棒， 第 3 个图案中有 6+2×5=16 根小棒， …∴ 第 n 个图案中有 6+(n −1)×5=5n +1 根小棒． 42. 109【解析】观察式子，发现 n +n n 2−1=n 2⋅nn 2−1．所以 a =102−1=99，b =10．43. 31，n 2−n +1【解析】第 n 个图形点的个数是 n 2−(n −1)． 44. n 2−n +1【解析】对于1，3，7，13，⋯，可以写成1，1+2×1，1+2×1+2×2，1+2×1+2×2+ 2×3，⋯则有1+2×1+2×2+2×3+⋯+2×(n−1)=n2−n+1．45. √n+1n+2=(n+1)√1n+246. 90【解析】观察图形，可以通过观察图形的主视图，然后求出主视图的面积乘6即为所求的表面积；第（1）个图形，主视图是1个正方形，面积为1，则这个图形的表面积为1×6=6个平方单位，第（2）个图形，主视图是3=1+2个正方形，面积为3，则这个图形的表面积为3×6=18个平方单位，第（3）个图形，主视图是6=1+2+3个正方形，面积为6，则这个图形的表面积为6×6=36个平方单位，则第（5）个图形，主视图是15=1+2+3+4+5个正方形，这个图形的表面积为15×6=90个平方单位．47. 50【解析】通过画图得，当跳到偶数次时，落在O点左侧，距离为次数2个单位；当跳到奇数次时，落在O点右侧，距离为(次数+1)2个单位．48. 6n−1【解析】当n=1时，实心圆的个数为5；当n=2时，实心圆的个数为11；当n=3时，实心圆的个数为17；⋯第n个图案中，共有实心圆的个数为6n−1．49. 56【解析】∵C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，∴C85=8×7×6×5×41×2×3×4×5=56．50. −50【解析】观察发现该列数奇数为正，偶数位负，且第n行的第一个数的绝对值为n(n−1)2+1．可得第10行的第1个数的绝对值为46，所以第10行的第5个数的绝对值为50，为偶数，所以50的符号为负，即−50．51. C2013H402852. (6,5)【解析】提示：第 n 排有 n 个数字，当 n 为奇数时，数字从左向右排列，当 n 为偶数时，数字从右向左排列． 53. 673【解析】由图可得，P 0P 1=1，P 0P 2=1，P 0P 3=1； P 0P 4=2，P 0P 5=2，P 0P 6=2； P 0P 7=3，P 0P 8=3，P 0P 9=3； ∵2018=3×672+2， ∴ 点 P 2018 在正南方向上， ∴P 0P 2018=672+1=673． 54. 113，1n 2−n+1 55. −1【解析】a 1=12，a 2=2，a 3=−1，a 4=12，a 5=2，a 6=−1，⋯ 发现这组数据是每三个数为一个循环组依次循环，所以 a 2013=a 3=−1． 56. 51【解析】第 1 个图由 1 个圆组成， 第 2 个图由 3+2 个圆组成， 第 3 个图由 5+4+3 个圆组成， 第 4 个图由 7+6+5+4 个圆组成， ⋯第 n 个图由 (2n −1)+(2n −2)+⋯+n =(3n−1)×n2个圆组成．当 n =6 时，图由 51 个圆组成． 57. 800 个【解析】第一个图形有 2×12=2 个小菱形， 第二个图形有 2×22=8 个小菱形， 第三个图形有 2×32=18 个小菱形， ⋯第 n 个图形有 2×n 2 个小菱形， 第 20 个图形有 2×202=800 个小菱形． 58. 13668【解析】本题考查规律的探究．由题意得第 1 个图中的几何体表面积为 6=3×1×2， 第 2 个图中的几何体表面积为 18=3×2×3， 第 3 个图中的几何体表面积为 36=3×3×4，⋯⋯， 以此类推，第 n 个图中的几何体表面积为 3n (n +1)， 所以第 67 个图中的几何体表面积为 3×67×68=13668． 59. 50101【解析】观察所给的等式的规律可得：1n (n+2)=12(1n −1n+2)．∴11×3+13×5+15×7+⋯+199×101=12(11−13+13−15+⋯+199−1101)=12(1−1101)=12×100101=50101.60. 12n 或(12)n【解析】P1M1=12BC=12，P2M2=12P1M1=(12)2，P3M3=12P2M2=(12)3，⋯，P n M n=12P n−1M n−1=(12)n．61. nn+162. 12，18，16【解析】由表中所给图形可知，加一条横线时增加6个三角形，所以三角形个数变化规律是6(n+1)(n为从0开始的整数)，当n=1时，6n+6=12；当n=2时，6n+6=18；当6n+6=102时，n=16．63. 3n+1【解析】第1个图案的基础图形的个数为4；第2个图案的基础图形的个数为4+3；第3个图案的基础图形的个数为4+2×3；第4个图案的基础图形的个数为4+3×3；⋯第n个图案的基础图形的个数为4+(n−1)×3=3n+1．64. 613【解析】11×3+13×5+15×7+⋯+111×13=12×(1−13)+12×(13−15)+12×(15−17)+⋯+12×(111−113)=12×(1−13+13−15+15−17+⋯+111−113)=12×(1−113)=613.65. 任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和66. 27【解析】黑白珠子排列的规律：1白1黑，1白2黑，1白3黑，1白4黑⋯1白n黑⋯67. 16【解析】由题意得，一张A4的纸可以裁2张A5的纸，一张A5的纸可以裁2张A6的纸，一张A6的纸可以裁2张A7的纸，一张A7的纸可以裁2张A8的纸，∴一张A4的纸可以裁24=16张A8的纸．68. 3201969. 3×2n−1−1【解析】第一行有3×21−1−1个点；第二行有3×22−1−1个点；第三行有3×23−1−1个点；⋯第n行有3×2n−1−1个点．70. (12n ,√3 2n)【解析】∵C1为AB中点，∴C1(12,√32)．∵C1B1⊥OB，OA⊥OB，∴OA∥B1C1．∴△BOA∽△BB1C1．∴B1为OB中点，同理：A1为OA中点，又C2为A1B1中点，∴C2(122,√322)．⋯C n=(12n ,√32n)．71. 147【解析】由表中规律可知每8个数为一个周期，565÷8=70⋯5，∴若正整数565位于第142行，第5列，则a+b=147．72. 3n+1【解析】观察发现：第一个图形有3×2−3+1=4个三角形；第二个图形有3×3−3+1=7个三角形；第三个图形有3×4−3+1=10个三角形；⋯第n个图形有3(n+1)−3+1=3n+1个三角形；73. 3n+1【解析】由图可知：第一个图案由1+3个基础图案组成；第二个图案由1+3×2个基础图案组成；第三个图案由1+3×3个基础图案组成；以此类推，第n个图案由1+3n个基础图案组成．74. 18，22，4n+2【解析】观察图案可知：第一个上字，共有6=2×3枚棋子；第二个上字，共有10=2×5枚棋子；第三个上字，共有14=2×7枚棋子；以此类推，第n个上字，共有2×(2n+1)=4n+2个．当n=4时，有2×(2×4+1)=18个．当n=5时，有2×(2×5+1)=22个．75. 3n+1【解析】由图可知：第一个图案由1+3个基础图案组成；第二个图案由1+3×2个基础图案组成；第三个图案由1+3×3个基础图案组成；以此类推，第n个图案由1+3n个基础图案组成．76. 171【解析】第6列数字从31开始，依次加14，16，18⋯，则第8行，左起第6列的数为：31+14+16+18+20+22+24+26=171．77. n(n−1)2+n(n+1)2=n2【解析】结合图形与等式，首先观察第n个等式左边的规律：第一部分是1+2+⋯+n−1=n(n−1)2；第二部分是1+2+⋯+n=n(n+1)2．等式的邮编是n2．所以第n个正方形点阵中的规律是n(n−1)2+n(n+1)2=n2．78. 94201779. (3,−2)【解析】作点A关于y轴的对称点为A1，则A1(−3,2)；作点A1关于原点的对称点为A2，A2(3,−2)；作点A2关于x轴的对称点为A3，A3(3,2)；按此规律，8÷3=2⋯2，则点A8的坐标是(3,−2)．80. 9181. 10【解析】0.4；0.4+0.3；0.4+0.6；0.4+1.2；0.4+2.4；0.4+4.8；0.4+9.6．82. 7，1【解析】个位数字是四个数为一个循环组依次循环． 83. 18，4n +2 84. （1）22（2）4n +2 【解析】观察图案可知：第一个上字，共有 6=2×3 枚棋子； 第二个上字，共有 10=2×5 枚棋子； 第三个上字，共有 14=2×7 枚棋子； 以此类推，第 n 个上字，共有 2×(2n +1) 个． 当 n =5 时，有 2×(2×5+1)=22 个． 85. n (n +1)【解析】第（1）个图有 2 个相同的小正方形，2=1×2； 第（2）个图有 6 个相同的小正方形，6=2×3； 第（3）个图有 12 个相同的小正方形，12=3×4； 第（4）个图有 20 个相同的小正方形，20=4×5； ⋯；按此规律，第（n ）个图有 n (n +1) 个相同的小正方形． 86. (√3)n−1【解析】连接 DB ，交 AC 于点 M ，∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AD =AB ，AC ⊥DB ． ∵∠DAB =60∘， ∴△ADB 是等边三角形， ∴DB =AD =1， ∴BM =12，∴AM =√32， ∴AC =√3．同理可得 AE =√3AC =(√3)2，AG =√3AE =3√3=(√3)3． 按此规律所作的第 n 个菱形的边长为 (√3)n−1．87. 2n +2【解析】第一个图案有：4个正三角形；第二个图案有：6个正三角形；第三个图案有：8个正三角形；以此类推，第n个图案有：2n+2个正三角形．88. 3n+4【解析】第1个图案有5+2=7个三角形；第2个图案有5+5=10个三角形；第3个图案有5+8=13个三角形；第4个图案有5+11=16个三角形；以此类推，第n个图案有5+3(n−1)+2=3n+4个三角形．89. 2nn+1【解析】由所给的等式可知，1n(n+1)=1n−1n+1．原式=2(11−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1.90. 7【解析】∵1+√2−√3+2+√5−√6<5，1+√2−√3+2+√5−√6+√7>5，∴至少选7个数．91. (−1)n+1n【解析】由1=(−1)2×11−3=(−1)2×1+(−1)3×3=(−1)3×21−3+5=(−1)2×1+(−1)3×3+(−1)4×5=(−1)4×3⋯⋯⋯不难发现，1−3+5−7+⋯+(−1)n+1(2n−1)=(−1)n+1×n92. 3n+1【解析】第1个图案有4枚棋子；第2个图案有4+3=7枚棋子；第3个图案有4+3×2=10枚棋子；以此类推，第n个图案有4+3(n−1)=3n+1枚棋子．93. a3+b3a3+(a−b)3=a+ba+(a−b)【解析】通过观察每个算式的左边的分子上是两个正整数的立方和，分母上两个正整数一个相等，另一个是分子上的两个正整数的差．94. 210【解析】观察图象可得阴影部分的面积为。

16．从-1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数对M K={a k，b k}（其中k=1，2…s，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数对），若满足：对于任意的M i={a i，b i}和M j={a j，b j}（i≠j，1≤i≤s，1≤j≤s）都有a i+b i≠a j+b j，则s的最大值是．【2020海淀一模】A B C D E五个队．这五个队要进行单循25．某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有,,,,环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分，积分均为正整数．这五个队完成所有比赛后得到如下的积分表．根据上表回答下列问题：（1）第一组一共进行了场比赛，A队的获胜场数x为；y=时，上表中m处应填，n处应填；（2）当B队的总积分6（3）写出C队总积分p的所有可能值为：．8．图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i 出现在书B j 中时，元素ij a =1，否则ij a =0（i ,j 为正整数）．例如：当关键词A 1出现在书B 4中时，a 14=1，否则a 14=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时．．有关键词“A 2，A 5，A 6”的书，则下列相关表述错误的是（A ）当a 21+a 51+a 61=3时，选择B 1这本书（B ）当a 22+a 52+a 62<3时，不选择B 2这本书（C ）当a 2j ，a 5j ，a 6j 全是1时，选择B j 这本书（D ）只有当a 2j +a 5j +a 6j =0时，才不能选择B j 这本书【2020丰台一模】16．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；……，经整理形成统计表如下：（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为 元；（2）如果快递员一天累计送x 小时甲类件，y 小时乙类件，且x +y =8，x ,y 均为正整数，那么他一天的最大收入为 元．【2020通州一模】15．一笔总额为1078元的奖金，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍，若把这笔奖金发给6个人，评一、二、三等奖的人数分别为a ，b ，c ，且0a b c <≤≤，那么三等奖的奖金金额是 元．23．疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划.首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有1x ，2x ，3x ，4x ，5x 便于记录.具体游戏规则如下：甲同学：同时翻开1x ，2x ，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，3x ，4x ，5x 按原顺序记录在表格中；乙同学：同时翻开1x ，2x ，3x ，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，4x ，5x 按原顺序记录在表格中；……以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中.下表记录的是这四名同学五天的训练计划：根据记录结果解决问题：（1）补全上表中丙同学的训练计划；（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个.①如果236x =，340x =，那么1x 所有可能取值为__________________________；②这四名同学星期_________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为_________个.x 5x 4x 3x 2x121．小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭，如图为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为10份盖饭，x 杯饮料，y 份凉拌菜．（1）他们点了 份A 套餐， 份B 套餐， 份C 套餐（均用含x 或y 的代数式表示）；（2）若x =6，且A 、B 、C 套餐均至少点了1份，则最多有 种点餐方案．【2020燕山一模】21．抗击新冠肺炎期间，某小区为方便管理，为居民设计了一个身份识别图案系统：在4×4的正方形网格中，白色正方形表示数字1，黑色正方形表示数字0，将第i 行第j 列表示的数记为i j a ，（其中i ，j 都是不大于4的正整数），例如，图1中，1,2a ＝0．对第i 行使用公式32,2,0,1342222i i i i i A a a a a ⨯+⨯+⨯+=⨯,1进行计算，所得结果1A ，2A ，3A ，4A 分别表示居民楼号，单元号，楼层和房间号．例如，图1中，3A ＝33,12a ⨯＋23,22a ⨯＋13,32a ⨯＋03,42a ⨯＝1×8＋0×4＋0×2＋1×1＝9，4A ＝0×8＋0×4＋1×2＋1×1＝3，说明该居民住在9层，3号房间，即903号．（1）图1中，13a ,＝； （2）图1代表的居民居住在 号楼 单元；（3）请仿照图1，在图2中画出8号楼4单元602号居民的身份识别图案．A 套餐：一份盖饭加一杯饮料B 套餐：一份盖饭加一份凉拌菜C 套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜图1图2。