【师说】2017届高考数学(文)二轮复习 高考大题标准练(七) Word版含解析

高考大题标准练(六)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.2．设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2·cos x .对任意n ∈N *，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)解：(1)值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.并求BDBC1的值．解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625. 由题意知二面角A 1－BC 1－B 1为锐二面角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925. 5．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (2)证明：设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k >0)，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0. 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题意，设直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)， 故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |得23＋4k 2＝k 3k 2＋4， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)内单调递增．又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.6．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )。

高考小题标准练(二)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |0<x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x <4} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0<x <4} D ．{x |1≤x <4}解析：A ∩B ＝{x |x ≤1且0<x <4}＝{x |0<x ≤1}．故选B. 答案：B2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2解析：设数列的公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2.又因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2，故a 1＝a 2q ＝12＝22，故选B.答案：B3．设i 是虚数单位，则复数(2＋i)(1－i)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：(2＋i)(1－i)＝3－i ，其在复平面内对应的点(3，－1)位于第四象限．故选D. 答案：D4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200解析：若销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则y 关于x 的函数为递减函数，排除选项B ，D ；由价格的实际意义知，起初价格不能为负数，排除选项C ，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝cos x －sin x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m >0)平移后，图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则实数m 的值可以为( )A.π4B.34π C ．π D.π2解析：因为f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以y ＝－f ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4′＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4，故只需把f (x )的图象向右平移π2个单位长度即得函数y ＝－f ′(x )的图象，所以m ＝π2.故选D.答案：D6．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，则弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.故选B.答案：B7．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6解析：因为x ＋3y ＝5xy ，即1y ＋3x ＝5，所以15(3x ＋4y )×⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ＋135≥15×2×36＋135＝5.故选C.答案：C8．已知△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形解析：由题意OA →·(－OC →－OA →)＝(－OC →－OA →)·OC →，所以|OA →|＝|OC →|.又因为OB →＝－(OA →＋OC →)，所以OB 是AC 的中垂线，点B 在AC 的中垂线上，故AB ＝BC ，所以△ABC 是等腰三角形．故选D.答案：D 9.甲、乙两人玩游戏，规则如流程图所示，则甲胜的概率为( ) A.12 B.13 C.34 D.23解析：取出两球为同色球时，甲胜，则甲胜的概率P ＝3×24×3＝12.故选A.答案：A10．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋3y －3≥0，3x ＋y －9≤0，z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋3，则a 的取值范围是( )A ．[－3,1]B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]D ．[3，＋∞)解析：由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .作出可行域知，要使z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋3，即直线y ＝－ax ＋z 经过点(2,3)时取最大值，此时直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足－3≤－a ≤1，所以a ∈[－1,3]．故选B.答案：B二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．设函数f (x )＝2x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是奇函数，则实数a ＝__________.解析：由题意得g (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，由g (x )＝g (－x )，得a ＝1. 答案：112．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为__________．解析：因为AP →＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →，所以AP →＝AB →＋13BD →.因为BD →＝AD →－AB →，AD →＝23AC →，所以BD →＝23AC →－AB →，所以AP →＝AB →＋13⎝⎛⎭⎫23AC →－AB →＝23AB →＋29AC →，又因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29.故λμ＝3.答案：313．甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分情况如下面茎叶图所示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别是__________．解析：观察茎叶图易知甲的分数是6,8,9,15,17,19,23,24,26,32,41，共11个，中位数是最中间一个19；乙的分数是5,7,8,11,11,13,20,22,30,31,40，共11个，中位数是最中间一个13.答案：19,1314．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为__________．解析：根据几何体的三视图知，该几何体是四棱锥．其底面为梯形，面积为12(4＋2)×4＝12，四棱锥的高为5，故体积为13×12×5＝20.答案：2015．设函数f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则下列结论：①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0 ②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数 ④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 其中正确的是__________(写出所有正确结论的序号)．解析：f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2·sin(2x ＋φ)≤a 2＋b 2.因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，所以x ＝π6是函数的对称轴．又周期T ＝π，所以函数f (x )的对称轴为x ＝k π＋π6，x ＝k π＋2π3，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋5π12，0，⎝⎛⎭⎫k π＋11π12，0，因此f ⎝⎛⎭⎫11π2＝0，故①正确；因为7π10－π5＝π2＝T 2，所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误；因为f (0)≠0，y 轴不是对称轴，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )上可能递增也可能递减，故④错误；因为b <a 2＋b 2，所以点(a ，b )在直线y ＝±a 2＋b 2之间，过点(a ，b )的直线与f (x )的图象一定相交，故⑤错误．故填①③.答案：①③。

七、立体几何(A组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！姓名：________班级：________ 1．(2016·吉林东北师大附中联考)如图所示的几何体由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面P AD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P－ABF体积的4倍．(1)证明：直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，因为AD⊂平面ADE，所以AB⊥AD，又AD⊥AF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABFE，又AD⊂平面P AD，所以平面P AD⊥平面ABFE.(2)解：由题意得P到平面ABF的距离d＝1，所以V P－ABF＝13S△ABF d＝13×12×2×2×1＝23，所以V P－ABCD＝13S正方形ABCD h＝13×2×2h＝4V P－ABF＝83，所以h＝2.2．(2016·黑龙江哈尔滨六中模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，AC＝6，BD＝8，E 是棱PB上的动点，△AEC面积的最小值是3.(1)求证：AC⊥DE；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.(2)解：连接EF，∵AD＝CD且PD⊥平面ABCD，∴P A＝PC，又∵AB＝BC且PB为公共边，则△P AB≌△PCB，∴∠PBA＝∠PBC，又BA＝BC，BE＝BE，∴△EAB≌△ECB，∴EA＝EC，又由题意知F为AC中点，则EF⊥AC.∵AC ＝6，∴S △AEC ＝12AC ·EF ＝3EF ， 因为△AEC 面积的最小值是3，所以EF 的最小值为1， ∵当EF ⊥PB 时，EF 取最小值，∴BE ＝42－12＝15，由EF PD ＝BE BD ，得PD ＝815， 又S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×6×8＝24， 故V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PD ＝13×24×815＝641515.。

解析：∵口袋内有50个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出白球的概率为0.2，∴口袋内白球有10个，又∵有20个红球，∴黑球为20个．从中摸出一个球，是黑球的概率为P＝ ＝0.4.
答案：C
7．某学校对高一年级某班40名学生进行消防安全知识测试，学生的成绩均在40至100分之间，得到的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分的人数为()
共15组随机数，∴所求概率为0.75.
答案：D
10．先后抛掷一枚骰子两次，并记首次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，则双曲线 － ＝1的渐近线的倾斜角在区间 上的概率为()
A. B.
C. D.
解析：先后抛掷一枚骰子两次，共有不同的结果36种．双曲线 － ＝1的渐近线的倾斜角在区间 上，
∴1< ≤ ，即1< ≤3，
解析：设事件M为“△PBC的面积大于 ”，如图，D，E分别是三角形的边AB，AC的三等分点，事件M构成的区域是图中阴影部分，因为△ADE与△ABC相似，相似比为 ，所以 ＝ 2＝ ，由几何概型的概率计算公式得P(M)＝ ＝ .
答案：B
5．某人驾车出行速度(单位：km/h)的频率分布直方图如图所示，则该人驾车速度的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)为()
解析：f(x)＝cos2x＋sinxcosx＋1
A. B.
C. D.
解析：由茎叶图可知甲的五次平均成绩为 ＝104，从甲的五次考试成绩中任选两次的所有选法有(95,102)，(95,105)，(95,107)，(95,111)，(102,105)，(102,107)，(102,111)，(105,107)，(105,111)，(107,111)，共10种，设“两次平均成绩超过甲的五次总平均成绩”为事件A，A包含的基本事件为(102,107)，(102,111)，(105,107)，(105,111)，(107,111)，共5个．所以P(A)＝ .

课时巩固过关练(二) 向量运算与复数运算、算法、合情推理A 组一、选择题1．(2016·广东佛山期中)如图，在△ABC 中，已知BD →＝2DC →，则AD →等于()A ．－12AB →＋32AC → B.12AB →＋32AC →C.13AB →＋23AC →D.13AB →－23AC → 解析：根据平面向量的运算法则可知：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB→＋23AC →.故选C. 答案：C2．(2016·福建南安期中)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n 是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3 解析：解法一：过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，∴AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，∴AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1， ∵AM →＝mAB →，∴m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3.解法二：∵M ，D ，N 三点共线，∴AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，∴AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC →①.又BD →＝12DC →，∴AD →－AB →＝12AC →－12AD →，∴AD →＝13AC →＋23AB →②.由①②知λm＝23，(1－λ)n ＝13.∴2m ＋1n ＝3，故选D. 答案：D3．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2解析：因为|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |，所以A 选项正确；当a 与b 方向相反时，B 选项不成立，所以B 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以C 选项正确；(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2所以D 选项正确，故选B. 答案：B4．(2016·山东淄博期中)已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC →·DB →等于( ) A ．1 B ．－1 C. 6 D ．2 2解析：解法一：如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0,1)，∴AC →＝(2，1)，DB →＝(2，－1)，则AC →·DB →＝2－1＝1.解法二：记AB →＝a ，AD →＝b ，则a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，∴AC →·DB →＝(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝2－1＝1.故选A. 答案：A5．(2016·山东德州一中一模)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23 解析：当n ＝1时，左边＝1＋2＋22＋23. 答案：D 6．(2016·四川巴蜀中学月考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A ，小前提与结论应互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C ，大前提和小前提颠倒，错误；对于D ，大、小前提和结论颠倒，错误．故选B.答案：B 7．(2016·四川雅安中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的x ，t 均为2，则输出的S 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：若x ＝t ＝2，则第一次循环，1≤2成立，则M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2，第二次循环，2≤2成立，则M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3，此时3≤2不成立，输出S＝7，故选D.答案：D 8．(2016·江西赣州于都实验中学月考)阅读程序框图，若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ，i 分别是( )A ．a ＝12，i ＝3B ．a ＝12，i ＝4C ．a ＝8，i ＝3D ．a ＝8，i ＝4解析：由程序框图得：第一次运行i ＝1，a ＝4；第二次运行i ＝2，a ＝8；第三次运行i ＝3，a ＝12，满足a 被6整除，结束运行，输出a ＝12，i ＝3.故选A.答案：A9．(2016·安徽江南十校联考)复数i2－i在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵i2－i ＝i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝－1＋2i5，∴对应的点在第二象限，故选B.答案：B10．(2016·新疆克拉玛依十三中月考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：∵(z －3)(2－i)＝5，∴z －3＝52－i ＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i.故选D. 答案：D 二、填空题11．(2016·吉林辽源联考)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，且a ∥b ，则锐角θ等于__________．解析：∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，∴cos θ＝±22.又θ为锐角，∴θ＝45°.答案：45° 12．(2016·江西高安段考)已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，则b 在a 方向上的投影为__________．解析：根据a ＋b ＝(5，－10)，a －b ＝(3,6)，求得a ＝(4，－2)，b ＝(1，－8)，根据投影公式可得b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝4＋1625＝2 5.答案：2 5 13．(2016·河北南宫一中周测)某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A ，B ，C ，D ，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片：小赵说：只要不是B 就行； 小张说：B ，C ，D ，E 都行；小李说：我喜欢D ，但是只要不是C 就行； 小刘说：除了E 之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同看的影片为__________．解析：根据小赵，小李和小刘的说法可排除B ，C ，E ，剩余A 和D ，再根据小张的说法可知选D 影片．答案：D14．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则框图内m 的取值范围是__________．解析：第一次运行：S ＝2×1，k ＝2；第二次运行：S ＝2×1＋2×2，k ＝3；……；当输出结果是8时，此时S ＝2×1＋2×2＋…＋2×7＝56，故m ≤56，并且m >2×1＋2×2＋…＋2×6＝42.综上可知m 的取值范围是(42,56]．答案：(42,56]15．(2016·黑龙江大庆实验中学期末)化简2＋4i(1＋i )2的结果是__________．解析：原式＝2＋4i2i＝2－i.答案：2－iB 组一、选择题1．(2016·广东深圳调研)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充要条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥b 且方向相同C ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：非零向量a 、b 使a |a |＝b|b |成立⇔a ＝|a ||b |b ⇔a 与b 共线且方向相同，故选B.答案：B 2．(2016·江西南昌一联)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为△ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案：B3．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：如图，由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误．因为|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a ·b ＝2×2cos60°＝2，所以a ·b ＝－1，故B ，C 错误，设B ，C 中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，且AD →⊥BC →，而2AD →＝2a ＋(2a ＋b )＝4a ＋b ，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.答案：D4．(2016·河南南阳期中)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA →＋4OB →＋5OC→＝0，则OC →·AB →的值为( )A ．－15 B.15C ．－65 D.65解析：∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0， ∴3OA →＋4OB →＝－5OC →，∴9OA →2＋24OA →·OB →＋16OB →2＝25OC →2，∵A ，B ，C 在圆上，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1.代入原式得OA →·OB →＝0，∴OC →·AB →＝－15(3OA →＋4OB →)·(OB →－OA →)＝－15(3OA →·OB →＋4OB →2－3OA →2－4OA →·OB →)＝－15.答案：A 5．(2016·甘肃会宁四中期末)将正整数排列如下： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …则在表中数字2 016出现在( )A ．第44行第81列B ．第45行第81列C ．第44行第80列D ．第45行第80列解析：依题意可知第n 行有(2n －1)个数字，前n 行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(个)，∵442＝1 936,452＝2 025，且1 936<2 016,2 025>2 016，∴2 016在第45行，又2 025－2 016＝9，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2 016在第89－9＝80列．故选D.答案：D 6．(2016·广西钦州调研)如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π4<θ<3π4，θ≠0，θ≠π4，θ≠π2中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ值所在范围是()A.⎝⎛⎭⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎫0，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 解析：程序框图的功能是求a ，b ，c 的最大值．∵输出的结果是sin θ，∴sin θ最大，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ≥cos θ，sin θ≥tan θ，－π4<θ<3π4，θ≠0，θ≠π4，θ≠π2，解得π2<θ<34π，故选D.答案：D 7．(2016·广东佛山期中)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8观测数据a i40 41 43 43 44 46 47 488个数据的平均数)，则输出的S 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：∵a ＝18(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，S ＝18(42＋32＋12＋12＋02＋22＋32＋42)＝7，故选C.答案：C8．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )解析：由题图可知z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－1＋i ，则复数z ＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故A 正确．答案：A9．(2016·安徽三校联考)已知复数3＋ix －i(x ∈R )在复平面内对应的点位于以原点O 为圆心，以2为半径的圆周上，则x 的值为( )A ．2B ．1＋3iC ．±2D ．±12解析：3＋ix －i ＝(3＋i )(x ＋i )x 2＋1＝3x －1x 2＋1＋3＋xx 2＋1i ，所以该复数对应的点为⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 2＋1，3＋x x 2＋1，该点在x 2＋y 2＝2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x x 2＋12＝2，解得x ＝±2，故选C. 答案：C二、填空题10．(2016·福建厦门适应性考试)如图，在△ABC 中，AD →·BC →＝0，BC →＝3BD →，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是__________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.设AD →＝xAM →＋yAN →(x ＋y ＝1)，则AD→＝xλAB →＋yμAC →，则⎩⎨⎧xλ＝23，yμ＝13，故⎩⎨⎧λ＝23x ，μ＝13y，故λ＋2μ＝23⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝23⎝⎛⎭⎫1＋y x ＋x y ＋1 ≥23⎝⎛⎭⎫2＋2y x ×x y ＝83.当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．故答案为83. 答案：8311．(2016·河北衡水期中)已知点P 是边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，则AP →·(AB →＋AC →)＝__________.解析：由P 为边长为4的正三角形ABC 的边BC 上的中点，可得AP →＝12(AB →＋AC →)，AB →·AC→＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×4×12＝8，则AP →·(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AC →)2＝12(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝12×(16＋16＋16)＝24.答案：2412．(2016·辽宁抚顺月考)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，照此规律总结出第n 个不等式为__________．解析：由已知条件1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，可归纳猜想得出其第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.答案：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n13．(2013·福建高考)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式：1＋x ＋x 2＋…＋x n ＋…＝11－x. 两边同时积分得：120⎰1d x ＋120⎰x d x ＋120⎰x 2d x ＋…＋120⎰x nd x ＋…＝120⎰11－xd x ， 从而得到如下等式： 1×12＋12×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝__________.解析：由C 0n ＋C 1n x ＋…＋C 2n x 2＋C n n x n ＝(1＋x)n，两边同时积分得，C 0n120⎰1d x ＋C 1n120⎰x d x＋C 2n120⎰x2d x ＋…＋C n n120⎰x nd x ＝120⎰(1＋x)n d x ，12C 0n ＋12C 1n ⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1(1＋x )n ＋1⎪⎪⎪⎪120＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1 －1n ＋1＝1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－1. 答案：1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－114．(2016·广西柳州二中月考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是S<__________(填一个数字)．解析：由题意知判断框中的条件需在i ＝4，即S ＝9时执行此判断框后的“否”，而在i ＝3，即S ＝8时执行后面的“是”．答案：915．(2016·湖北枣阳一中月考)定义一种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝ad －bc ，则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1 2 3i 的共轭复数是__________．解析：复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1 2 3i ＝3i (1＋i )－(－1)×2＝－1＋3i ，其共轭复数为－1－3i .答案：－1－3i。

课时巩固过关练(七) 导数的综合应用一、选择题1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝2.当x <2时，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2<0； 当x >2时，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2>0. 即当x <2时，f (x )是单调递减的；当x >2时，f (x )是单调递增的．所以x ＝2是f (x )的极小值点，故选D.答案：D2．(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，函数的定义域为(－1,1)，函数f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，所以函数是奇函数．f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2，在(0,1)上f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，故选A.答案：A3．(2015·福建卷)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1解析：∵f ′(x )＝li m x →0f (x )－f (0)x －0，f ′(x )>k >1，∴f (x )－f (0)x >k >1，即f (x )＋1x >k >1， 当x ＝1k －1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋1>1k －1×k ＝k k －1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1一定错误．故选C. 答案：C4．(2016·吉林四模)设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对任意的x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝x 2，且x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>x .若f (2－a )－f (a )≥2－2a ，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：∵f (－x )＋f (x )＝x 2，∴f (x )－12x 2＋f (－x )－12x 2＝0， 令g (x )＝f (x )－12x 2，∵g (－x )＋g (x )＝f (－x )－12x 2＋f (x )－12x 2＝0， ∴函数g (x )为奇函数．∵x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>x .∴x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－x >0，故函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数，故函数g (x )在(－∞，0)上也是增函数，由f (0)＝0，可得g (x )在R 上是增函数．f (2－a )－f (a )≥2－2a ，等价于f (2－a )－(2－a )22≥f (a )－a 22， 即g (2－a )≥g (a )，∴2－a ≥a ，解得a ≤1，故选B.答案：B5．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32e ，1B.⎣⎡⎭⎫－32e ，34 C.⎣⎡⎭⎫32e ，34 D.⎣⎡⎭⎫32e ，1 解析：设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方．因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时， g ′(x )<0，当x >－12时， g ′(x )>0，所以当x ＝－12时， (g (x ))min ＝－2e －12， 当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e>0，直线y ＝ax －a 恒过(1,0)，斜率为a ，故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≤－a －a ，解得32e≤a <1，故选D.答案：D二、填空题6．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________.解析：(1)当a ＝1时，代入题中不等式显然不恒成立．(2)当a ≠1时，构造函数f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，由它们都过定点P (0，－1)，如图所示．设函数f (x )＝(a －1)x －1与x 轴的交点M 坐标为(x 0,0)，即0＝(a －1)·x 0－1，x 0＝1a －1， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0.易知a <1时不符合题意，∴a >1. ∵x >0时，f (x )·g (x )≥0，∴g (x )过点M ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0， 解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案：327．(2015·安徽卷)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________．(写出所有正确条件的序号)①a ＝－3，b ＝－3 ②a ＝－3，b ＝2③a ＝－3，b >2 ④a ＝0，b ＝2⑤a ＝1，b ＝2.解析：令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )单调递增，且至少存在一个数使f (x )<0，至少存在一个数使f (x )>0，所以f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有一个零点，即方程x 3＋ax ＋b ＝0仅有一根，故④⑤正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使方程仅有一根，则f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2<0或者f (x )极小值＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2>0，解得b <－2或b >2，故①③正确，所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.答案：①③④⑤8．(2016·河南南阳期中)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x ·g (x )(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62，则n 的最小值为__________．解析：∵f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，∴f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，∴⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )>0， 从而可得f (x )g (x )＝a x 单调递增，从而可得a >1， ∵f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝a ＋a －1＝52， ∴a ＝2.故f (1)g (1)＋f (2)g (2)＋…＋f (n )g (n )＝a ＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2>62. ∴2n ＋1>64，即n ＋1>6，n >5，n ∈N *.∴n min ＝6.答案：6三、解答题9．已知函数f (x )＝ln x ＋k e k (k 为常数，e ＝2.718 28……是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.解：(1)由f (x )＝ln x ＋k e x ，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.又e x >0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(3)因为g (x )＝xf ′(x )，所以g (x )＝1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 由(2)中h (x )＝1－x －x ln x ，求导得h ′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －lne －2)，所以当x ∈(0，e －2)时， h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．所以当x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤h (e －2)＝1＋e －2.又当x ∈(0，＋∞)时，0<1e x <1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h (x )<1＋e －2，即g (x )<1＋e －2. 综上所述，结论成立．10．已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 解：解法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f (x )无极大值．(2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x .由(1)，得g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)＝2－ln4>0，即g ′(x )>0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0，所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c， 由(2)知，当x >0时，x 2<e x .所以当x >x 0时，e x >x 2>1cx ，即x <c e x . 因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法二：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)令k ＝1c(k >0)，要使不等式x <c e x 成立，只要e x >kx 成立． 而要使e x >kx 成立，则只需x >ln(kx )，即x >ln x ＋ln k 成立．①若0<k ≤1，则ln k ≤0，易知当x >0时，x >ln x ≥ln x ＋ln k 成立．即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .②若k >1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x， 所以当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)内单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln2)，易知k >ln k ，k >ln2，所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1)，取x 0＝4c， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法三：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知e x >2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x >2x >x ，即x <c e x .②若0<c <1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1，令h ′(x )＝0，得x ＝ln 1c， 当x >ln 1c时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c ，h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c>0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )>h (x 0)>0，即x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .11．(2016·山东淄博期中)设函数f (x )＝12x 2－2ax ＋(2a －1)ln x ，其中a ∈R . (1)a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)讨论函数y ＝f (x )的单调性；(3)当a >12时，证明：对∀x ∈(0,2)，都有f (x )<0. 解：(1)a ＝1时，f (x )＝12x 2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝x －2＋1x， ∴f ′(1)＝0.又f (1)＝－32， ∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋32＝0. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －2a ＋2a －1x＝x 2－2ax ＋2a －1x＝(x －1)[x －(2a －1)]x， 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2a －1，①当2a －1≤0，即a ≤12时，若x ∈(0,1)，f ′(x )<0； 若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0.②当0<2a －1<1，即12<a <1时，若x ∈(0,2a －1)，f ′(x )>0； 若x ∈(2a －1,1)，f ′(x )<0；若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0.③当2a －1＝1，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2x≥0. ④当2a －1>1，即a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0；若x ∈(1,2a －1)，f ′(x )<0；若x ∈(2a －1，＋∞)，f ′(x )>0.综上所述：当a ≤12时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当12<a <1时，f (x )的单调递增区间为(0,2a －1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(2a －1,1)； 当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a >1时，f (x )的单调递增区间为(0,1)和(2a －1，＋∞)，单调递减区间为(1,2a －1)．(3)①当12<a <1时，由(2)知f (x )在(0,2a －1)上单调递增，在(2a －1,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴f (x )≤max{f (2a －1)，f (2)}．而f (2)＝2－4a ＋(2a －1)ln2＝(2a －1)(ln2－2)<0，f (2a －1)＝12(2a －1)2－2a (2a －1)＋(2a －1)ln(2a －1)＝ (2a －1)·⎣⎡⎦⎤－a －12＋ln (2a －1)，记g (a )＝－a －12＋ln(2a －1)， a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，g ′(a )＝－1＋22a －1＝－2⎝⎛⎭⎫a －322⎝⎛⎭⎫a －12， 又12<a <1，∴g ′(a )>0. ∴g (a )在a ∈⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增．∴当a ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，g (a )<g (1)＝－32<0， 即－a －12＋ln(2a －1)<0成立．又a >12， ∴2a －1>0.∴f (2a －1)<0.∴当12<a <1，x ∈(0,2)时，f (x )<0. ②当a ＝1时，f (x )在(0,2)上单调递增，∴f (x )<f (2)＝ln2－2<0.③当a >1时，由(2)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,2a －1)上单调递减，在(2a －1,2)上单调递增．故f (x )在(0,2)上只有一个极大值f (1)，∴当x ∈(0,2)时，f (x )≤max{f (1)，f (2)}．而f (1)＝12－2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －14<0，f (2)＝2－4a ＋(2a －1)ln2＝(2a －1)(ln2－2)<0，∴当a>1，x∈(0,2)时，f(x)<0.时，对∀x∈(0,2)，都有f(x)<0. 综合①②③知：当a>12。

二、函数与导数小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫sin 12<f ⎝⎛⎭⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎫sin π3>f (cos π3)C ．f (sin1)<f (cos1)D ．f ⎝⎛⎭⎫sin 32>f ⎝⎛⎭⎫cos 32 解析：由题意得f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，∵f (x )在[3,4]上是增函数，∴函数f (x )在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，∵0<cos1<sin1<1，∴选C.答案：C2．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象大致是( )解析：要使函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 有意义，需满足x －1x>0，解得－1<x <0或x >1，所以排除A ，D ，当x >2时，x －1x一定大于1，所以ln ⎝⎛⎭⎫x －1x >0，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3的最小正周期是( ) A ．6π B ．5π C ．4π D ．2π解析：∵函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，解得a ＝13，由f (x )＝f (－x )得，b ＝0，∴y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤(a ＋b )x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫13x －π3， ∴最小正周期T ＝2πω＝6π.答案：A4．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图1所示，得到函数h (x )的图象如图2所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．答案：C5．对于偶函数F (x )，当x ∈[0,2)时，F (x )＝e x ＋x ，当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则F (－1)＋F (e ＋1)＝( )A ．eB ．2eC ．e ＋ln(e ＋1)D ．e ＋2解析：∵F (x )为偶函数，∴F (－1)＝F (1)＝e ＋1，∵e ＋1>2且当x ∈[2，＋∞)时，F (x )的图象与函数y ＝e x ＋1的图象关于y ＝x 对称，∴e ＋1＝e x ＋1，∴x ＝1，∴F (e ＋1)＝1，∴F (－1)＋F (e ＋1)＝e ＋2.答案：D 6.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由图象得，f (3)＝1，k ＝f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：B7．设a ＝e 636，b ＝e 749，c ＝e 864，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：设f (x )＝e xx 2，则a ＝f (6)，b ＝f (7)，c ＝f (8)，因为f ′(x )＝(x －2)e x x 3，所以当x >2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )＝e xx2在(2，＋∞)上单调递增，所以c >b >a .答案：C8．已知函数f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图象大致是( )解析：∵f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，f ′(x )是奇函数，故选项B ，D 不正确，当x ＝π6时，f ′(x )＝π12－12<0，故选A.答案：A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)e ax (x >0)在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12ln2，＋∞B.⎣⎡⎭⎫0，12ln2 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2 解析：设y ＝2x 3＋3x 2＋1(－2≤x ≤0)， 则y ′＝6x (x ＋1)(－2≤x ≤0)， 所以－2≤x <－1时y ′>0， －1<x <0时y ′<0，所以y ＝2x 3＋3x 2＋1在[－2,0]上的最大值为2，所以函数y ＝e ax 在(0,2]上的最大值不超过2，当a >0时，y ＝e ax 以(0,2]上的最大值e 2a ≤2，所以0<a ≤12ln2，当a ＝0时，y ＝1≤2，当a <0时，y ＝e ax 在(0,2]上的最大值小于1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12ln2. 答案：D10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3－x )＝f (x )，⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不确定解析：通解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0，∴当x >32时，f ′(x )<0， 当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴f (x 1)＝f (3－x 1)， 又x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴x 2>3－x 1.若x 1>32，则f (x 1)>f (x 2)，若x 1<32，则x 2>3－x 1>32，又f (x 1)＝f (3－x 1)>f (x 2)，所以f (x 1)>f (x 2)．优解：∵⎝⎛⎭⎫x －32f ′(x )<0， ∴当x >32时，f ′(x )<0，当x <32时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，32上是增函数， ∵f (3－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝32对称，不妨取f (x )＝－x 2＋3x ，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(3－x 1－x 2)， ∵x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x .若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝__________.解析：由题意，h (x )＝mf (x )＋ng (x )＝m ·4x ＋m ＋n ·4－x ，h (－x )＝m ·4－x ＋m ＋n ·4x ，∵h (x )为偶函数，∴h (x )＝h (－x )，∴m ＝n ，∴h (x )＝m (4x ＋4－x )＋m ，∵4x ＋4－x ≥2，∴h (x )min ＝3m＝1，∴m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：2312．函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x(x ∈[－2,4])的所有零点之和为______．解析：函数y ＝2sin(πx )和函数y ＝1x －1的图象均关于点(1,0)对称，作出两个函数的图象如图所示，得函数f (x )＝2sin(πx )＋11－x在[－2,4]上共有四个不同的零点，由对称性得所有零点之和为4.答案：4 13.已知f ′(x )为定义在R 上的函数f (x )的导函数，而y ＝3f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的单调递增区间是__________．解析：由y ＝3f ′(x )≥1，得f ′(x )≥0，由y ＝3f ′(x )的图象得y ＝3f ′(x )≥1的解集为(－∞，3]，即f ′(x )≥0的解集为(－∞，3]，所以y ＝f (x )的单调递增区间是(－∞，3]．答案：(－∞，3]14．曲线f (x )＝x －3x上任一点P 处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为__________．解析：通解：设点P (m ，n )，∵f ′(x )＝1＋3x2，∴曲线f (x )＝x －3x在点P 处的切线方程为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋3m 2x －6m ， 切线与直线y ＝x 的交点为(2m,2m )，与直线x ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫0，－6m ， ∴切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12×6|m |×2|m |＝6.优解：取点P (3,2)，因为f ′(x )＝1＋3x2，所以曲线f (x )＝x －3x 在点P 处的切线方程为y ＝43x －2，切线与直线y ＝x 的交点为(6,6)，与直线x ＝0的交点为(0，－2)，所以切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝6.答案：615．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是__________．解析：因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3上有一个解或者两个不相同的解．当有一解时，f ′⎝⎛⎭⎫12f ′(3)≤0，解得52≤a ≤103，经检验a ＝103时不成立，所以52≤a <103. 当有两解时，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12<a 2<3f ′⎝⎛⎭⎫12>0f ′(3)>0f ′⎝⎛⎭⎫a 2<0，解得2<a <52.综上可得a ∈⎝⎛⎭⎫2，103. 答案：⎝⎛⎭⎫2，103。

A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：f(x)＝xex，f′(x)＝ex(x＋1)，ex>0恒成立．令f′(x)＝0，解得x＝－1.当x<－1时，f′(x)<0，函数单调递减；当x>－1时，f′(x)>0，函数单调递增，所以x＝－1为f(x)的极小值点，故选D.
答案：A
9．在四面体S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝BC＝2，则该四面体外接球的表面积是()
A．7π B．8π C. D.
解析：因为SA＝AB＝AC＝BC＝2，所以△ABC为等边三角形，由正弦定理得△ABC的外接圆的半径r＝ ＝ .又因为SA⊥平面ABC，SA＝2，所以四面体外接球的半径的平方R2＝ 2＋ 2＝ .其表面积是4πR2＝ .故选C.
13．设A，B为双曲线 － ＝λ(a>0，b>0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点．已知向量m＝(1,0)，| |＝6， ＝3，则双曲线的离心率e＝__________.
解析：由题意cos〈m， 〉＝ ＝ ＝ ，所以直线AB与x轴正方向夹角为60°.当λ>0时， ＝tan60°＝ ，即b＝ a，c＝2a，e＝2；当λ<0时， ＝tan60°＝ ，即a＝ b，c＝2b，e＝ ＝ .
答案：B
7．将函数f(x)＝cos2x的图象向右平移 个单位长度后得到函数g(x)，则g(x)具有性质()
A．最大值为1，图象关于直线x＝ 对称
B．在 上单调递增，为奇函数
C．在 上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点 对称
解析：由条件可得g(x)＝cos2 ＝cos

45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2的观测值
k＝ ＝ ≈4.762＞3.841.
所以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为 ，求该三棱锥的侧面积．
证明：(1)因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，
所以AC⊥BE，又因为BE∩BD＝B，
故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)解：设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得
AG＝GC＝ x，GB＝GD＝ .
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，
可得EG＝ x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，
可得BE＝ x.
由已知得，三棱锥E－ACD的体积
VE－ACD＝ × AC·GD·BE
＝ x3＝ .故x＝2.
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
解：(1)300× ＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得2×(0.150＋0.125＋0.075＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率的估计值为0.75.

高考大题标准练(一)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2015·重庆卷)已知函数f (x )＝12sin2x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求g (x )的值域．解：(1)f (x )＝12sin2x －3cos 2x ＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32. (2)由条件可知：g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 从而sin ⎝⎛⎭⎫x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，1， 那么sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32∈⎣⎢⎡ 1－32， ⎦⎥⎤2－32. 故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 2．(2016·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人(1)记A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55. (2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3. (3)调查的 1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .4．(2016·新课标全国卷Ⅲ如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)解：因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A . 如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 5．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.6．(2016·新课标全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝ln x －x ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ； (3)设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x >c x .(1)解：由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．(2)证明：由(1)知，f (x )在x ＝1处取得最大值， 最大值为f (1)＝0.所以当x ≠1时，ln x ＜x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，ln 1x ＜1x－1， 即1＜x －1ln x＜x . (3)证明：由题设c ＞1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x ， 则g ′(x )＝c －1－c x ln c .令g ′(x )＝0，解得x 0＝ln c －1ln c ln c. 当x ＜x 0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ＞x 0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．由(2)知1＜c －1ln c＜c ，故0＜x 0＜1. 又g (0)＝g (1)＝0，故当0＜x ＜1时，g (x )＞0. 所以当x ∈(0,1)时，1＋(c －1)x ＞c x .。

高考大题标准练(四)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2016·山东卷)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 2．(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎨⎧ a n ＝19(2n ＋79)b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1. 3．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为 4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的概率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E －ABC 的体积．证明：(1)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC .所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC . 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. 5．(2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. 解：(1)由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ⎝⎛⎭⎫3，12， 故34b 2＋14b2＝1，解得b 2＝1. 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1. (2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)．由Δ＞0，即2－m 2＞0，解得－2＜m ＜ 2.由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2， 所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x . 由方程组⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝⎛⎭⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎫2，－22. 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)] ＝54(2－m 2)， 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.6．(2016·山东卷)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R .(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x. 当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当a >0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0<a <12时，12a>1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．③当a ＝12时，12a＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意．④当a >12时，0<12a<1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为a >12.。

高考大题标准练(二)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．函数f (x )＝3sin ( 2x⎭⎫＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π.x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3. 2．(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63. (1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q＝63，知q ≠－1， 所以a 1·1－261－2＝63，得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1) ＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12， 即{b n }是首项为12，公差为1的等差数列． 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 3．(2015·北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3. (3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．4．(2016·四川卷如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解：取棱AD 的中点M (M连接CM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ，所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明：由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD .5．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165. 6．(2015·四川卷)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．(1)解：由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．(2)证明：由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x .令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)．由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故0＝u (1)<a 0＝u (x 0)<u (e)＝e －2<1.即a 0∈(0,1)．当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0.再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )<0，从而f (x )>f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0；又当x∈(0,1]时，f(x)＝(x－a0)2－2x ln x>0.故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0.综上所述，存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．。

高考大题标准练(七)满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：________1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 解：(1)利用正弦定理转化得：sin ∠Bsin ∠C ＝DC BD ＝12.(2)由诱导公式可得sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B .由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，∠B ＝30°. 2．(2015·浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2i ＝1n (y i －y )2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )i ＝1n (t i －t )2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨． 4．(2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．证明：(1)延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCK ， 因此，BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .所以BF ⊥平面ACFD . (2)解：因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角．在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217，所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217.5．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题意知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ， 则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D (1,0)重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 6．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)·ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；②当a >2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．。

高考小题标准练(三)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．1或－2解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－2.故选A. 答案：A2．在等差数列{a n }中，7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则使数列前n 项和S n 取得最小值的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：因为a 9>a 5，所以公差d >0.由7a 5＋5a 9＝0，得7(a 1＋4d )＋5(a 1＋8d )＝0，所以d ＝－317a 1.由a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0，解得n ≤6.又a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，解得n ≥6，故选B. 答案：B3．给出下列命题：①“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交” ②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α” ③“直线a ⊥b ”的充分不必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影” ④“直线a ∥平面β”的必要不充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①，因为“直线a ，b 不相交”不一定能推出“直线a ，b 为异面直线”，而由“直线a ，b 为异面直线”一定能推出“直线a ，b 不相交”，故应为必要不充分条件，故①不正确；对于②，由直线与平面垂直的定义知②正确；对于③，当直线a 在平面α内时，“直线a ⊥b ”的充要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”，而当直线a 不在平面α内时，“直线a ⊥b ”是“a 垂直于b 在α内的射影”的既不充分也不必要条件，故③不正确；对于④，由“直线a 平行于β内的一条直线”不一定能推出“直线a ∥平面β”，而由“直线a ∥平面β”一定能推出“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”，故为必要不充分条件，故④正确．综上正确的个数为2.故选B.答案：B4．已知向量m ＝(1,1)，n 与m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1，则向量n ＝( ) A ．(－1,0) B ．(0，－1)C ．(－1,0)或(0，－1)D ．(－1，－1)解析：设n ＝(a ，b )，则m ·n ＝a ＋b ＝－1 ①.又m ·n ＝|m ||n |cos 3π4＝－1，即2·a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎫－22＝－1，即a 2＋b 2＝1 ②，由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.故选C. 答案：C5．将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，所得图象的解析式是( ) A ．y ＝cos2x ＋sin2x B ．y ＝cos2x －sin2xC ．y ＝sin2x －cos2xD ．y ＝cos x sin x解析：y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 向左平移π4个单位长度可得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π4，整理可得y ＝cos2x －sin2x .故选B. 答案：B6．执行如图的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 解析：由程序框图可知，第一次运行后S ＝12，n ＝2；第二次运行后S ＝34，n ＝3；第三次运行后S ＝78，n ＝4.此时S ＝78>p ＝0.8，退出循环，输出n ＝4.故选A. 答案：A7．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，则事件x ＋y ＝6的概率为( )A.34B.516C.38D.316解析：基本事件总数为4×4＝16(个)，事件x ＋y ＝6所占基本事件数为3，故其概率为316.故选D. 答案：D8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18解析：由题设求得a 3＝35，a 4＝33，则d ＝－2，a 1＝39，则a n ＝41－2n .a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时，S n 最大，故选B.答案：B9．已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x (e 为自然对数的底)，则函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的大致图象是( )解析：f ′(x )＝cos x －2e x(e x ＋1)2.因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤12，1.又因为2e x (e x ＋1)2－12＝4e x －(e x ＋1)22(e x ＋1)2＝－(e x －1)22(e x ＋1)2≤0，所以2e x (e x ＋1)2≤12，所以f ′(x )＝cos x －2e x(e x ＋1)2≥0，即函数f (x )＝2e x＋1＋sin x 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递增．故选A. 答案：A 10．在平面直角坐标系中，A 为平面内一个动点，点B 的坐标为(2,0)．若OA →·BA →＝|OB →|(O为坐标原点)，则动点A 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：设点A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，BA →＝(x －2，y )，从而由OA →·BA →＝|OB →|得x (x －2)＋y 2＝2，即(x －1)2＋y 2＝3，轨迹为圆．故选D.答案：D二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．执行如图所示的程序框图，则输出的n ＝__________.解析：运行S n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n .由框图可知，当S ＝1516时，n ＝5；当S ＝3132时，n ＝6，所以输出的n ＝7. 答案：712．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d解析：由参考公式，得K 2＝50×(20×15－10×5)225×25×30×20＝253≈8.333.因为8.333>7.879，所以有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．答案：99.513．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则z ＝y ＋1x的最小值为__________． 解析：由z ＝y ＋1x得y ＝zx －1.作出可行域(如图)知，当直线y ＝zx －1过点(1,0)时，z 取得最小值1.答案：1 14．已知1m ＋2n ＝1(m >0，n >0)，当mn 取得最小值时，直线y ＝－2x ＋2与曲线x |x |m ＋y |y |n＝1的交点个数为__________．解析：1m ＋2n ≥22mn ，所以mn ≥8，当且仅当1m ＝2n 时，即m ＝2，n ＝4时等号成立，曲线为x |x |2＋y |y |4＝1.当x >0，y >0时，表示椭圆y 24＋x 22＝1的一部分；当x <0，y >0时，表示双曲线y 24－x 22＝1的一部分；当x >0，y <0时，表示双曲线x 22－y 24＝1的一部分；当x <0，y <0时，曲线不存在．画图知交点个数为2.答案：215．下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的序号)．①在△ABC 中，“sin A >sin B ”的充要条件是“A >B ” ②α，β，γ为空间三个平面，若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ ③命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋m >0” ④若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，f (1)＝－a 2，则函数f (x )在区间(0,2)上必有零点． 解析：命题②错误，比如正方体同一顶点处的3个面两两垂直，其余命题均正确． 答案：①③④。

高考小题标准练(九)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数2＋i－i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：2＋i －i ＝(2＋i )·i －i·i＝2i ＋i 2＝2i －1.故选C.答案：C2．给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0 ②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．②③解析：对于命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对于命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对于命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．故选B.答案：B3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1解析：由题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. 答案：D4．函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 解析：令3sin x －cos x ≥1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选B.答案：B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ：sin B ：sin C ＝( )A ．4：3：2B ．5：6：7C ．5：4：3D ．6：5：4解析：由3b ＝20a cos A 及余弦定理得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc ，化简得3b 2c ＝10a (b 2＋c 2－a 2)．又a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，所以设a ＝m ＋1，b ＝m ，c ＝m －1.所以3m 2·(m －1)＝10(m ＋1)[m 2＋(m －1)2－(m ＋1)2]，解得m ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＝－87舍去.故a ＝6，b ＝5，c ＝4，由正弦定理得sin A ：sin B ：sin C ＝6：5：4，故选D.答案：D6．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2 009次跳后它停在的点所对应的数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：按规则：从5开始经1次跳到达数2，经2次跳到达数1，经3次跳到达数3，经4次跳到达数5，…，故它是以4为周期．又2009＝4×502＋1，从而经过2009次跳后到达的数与第1次跳后到达的数是一样的，故对应的数为2.故选B.答案：B7．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋1 D ．(0，2＋1] 解析：当m <0时，集合A 是以(2,0)为圆心、以|m |为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间的部分，A ∩B ≠∅等价于点(2,0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离不大于半径|m |，因为2－2m －12＋m ＝(1－2)m ＋22>0，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m ＝0时，A ＝{(2,0)}，B ＝{(x ，y )|0≤x ＋y ≤1}，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m >0时，集合A是以(2,0)为圆心、以m2和|m |为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间的部分，必有⎩⎪⎨⎪⎧|2－2m －1|2≥m ，|2－2m |2≤m ，解得2－2≤m ≤2＋2.又因为m 2≤m 2，所以12≤m ≤2＋2.故选B.答案：B8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数．下面关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数 ②f (x )的图象关于直线x ＝1对称 ③f (x )在[0,1]上是增函数 ④f (x )在[1,2]上是减函数 ⑤f (2)＝f (0)．其中正确判断的个数是( )A ．5B ．3C ．2D ．1解析：f (x ＋1)＝－f (x )＝f (x －1)＝f (1－x )，所以f (x )是周期为2的函数且图象关于直线x ＝1对称；偶函数f (x )在[－1,0]上是增函数，所以在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．所以①②⑤正确，故选B.答案：B9．异面直线l 与m 所成角为π3，异面直线l 与n 所成角为π4，则异面直线m 与n 所成角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12 解析：平移直线l ，m 到同一平面，故当n 也在同一平面，且在l ，m 之间时，异面直线m 与n 所成的角最小，为π3－π4＝π12.再根据异面直线的性质知，异面直线m与n 所成的角的最大值为π2.所以异面直线m 与n 所成的角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.故选A.答案：A10．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．5B ．4 C.1155 D.115解析：点P 到抛物线准线的距离d 1等于点P 到焦点(1,0)的距离，所以d 1＋d 2的值等于焦点到点P 的距离加上从点P 到直线的距离，因此最小值是焦点到直线的距离，点P 是垂线段和抛物线的交点，即d 1＋d 2的最小值等于焦点到直线的距离115＝1155.故选C.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________．解析：由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b .由12BD ·DC 1＝6可得a 2＋b 24＝12.由BC 2＋CC 21＝BC 21，得a 2＋b 2＝24，可得a ＝22，b ＝4，所以V ＝34×(22)2×4＝8 3. 答案：8 312．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成51两段，则此双曲线的离心率为__________．解析：双曲线的焦点坐标为(c,0)，(－c,0)，则c ＋b ＝5(c －b )，所以b ＝23c .则e ＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝355. 答案：355。

高考小题标准练(一)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i1＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i 2，所以复数z 在复平面内所对应的点⎝⎛⎭⎫12，－32在第四象限，故选D.答案：D2．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y ＝6平行，则实数a ＝( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：由题意得y ′＝2ax ，y ′|x ＝1＝2a ＝2，所以a ＝1.故选A. 答案：A3．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π2(x ∈R )，给出如下结论： ①函数f (x )的最小正周期为2π3 ②函数f (x )是奇函数 ③函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称④函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上是减函数． 其中真命题序号的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：变形得f (x )＝－sin3x ，命题①②③容易验证均正确，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上先减后增．故选B.答案：B 4．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥β D ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β解析：对于A ，由a ⊥α，b ∥β，α⊥β，得a 与b 可能相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，由a ⊥α，α∥β得a ⊥β，又b ⊥β，所以a ∥b ，故B 错误；对于C ，由b ⊥β，α∥β得b ⊥α，又a ⊂α，所以b ⊥a ，故C 正确；对于D ，由a ⊂α，b ∥β，α⊥β得a 与b 可能相交、平行或异面，故D 错误，故选C.答案：C5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3 解析：解法1：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3表示的可行域，如下图阴影部分所示：平移直线2x －3y ＝0，易知当直线z ＝2x －3y 经过可行域内的点M (3,4)时，目标函数z ＝2x －3y 取得最小值，且z min ＝－6.故选B.解法2：如图，可行域的边界三角形的三个顶点依次为M (3,4)，N (3，－2)，P (0,1)，将三点的坐标分别代入目标函数z ＝2x －3y 中，求得的z 值依次为－6,12，－3，故比较可得，目标函数z ＝2x －3y 的最小值为－6.故选B.答案：B6．若向量b 与a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝25，则向量b ＝( ) A ．(－2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(－4,2)解析：设b ＝x (1，－2)＝(x ，－2x )(x <0)．因为|b |＝5|x |＝25，则|x |＝2.又x <0，所以x ＝－2，所以b ＝(－2,4)．故选A.答案：A7．下图是一个几何体的三视图．若它的表面积为7π，则图中实数a ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：该几何体下半部分是底面圆半径为1、高为a 的圆柱体，上半部分是底面圆半径为1、高为3、母线为2的圆锥体．表面积S ＝π×12＋2π×a ＋12×2π×2＝(3＋2a )π＝7π，所以a ＝2.故选D.答案：D8组数1 2 3 4 5 6 7 8 频数10 13 14 14 15 13 12 9 则第3A ．0.14,0.37 B.114，127C ．0.03,0.06 D.314，637解析：第3组的频率为14100＝0.14，前3组的累积频率为10＋13＋14100＝0.37.故选A.答案：A9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析：执行循环如下：k ＝0，S ＝1；k ＝1，S ＝2；k ＝2，S ＝8；k ＝3时满足输出条件，故输出的S 为8，故选C.答案：C10．已知f (x ，y )＝x 2＋y 2－6x ＋9是定义在D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2，0≤y ≤52，y <x ＋1上的函数，则函数的值域是( )A ．[0，2]B ．(2，13]C.⎝⎛⎦⎤102，3D.⎝⎛⎦⎤172，3 解析：把f (x ，y )＝x 2＋y 2－6y ＋9＝x 2＋(y －3)2，则函数的值域可转化为点P (x ，y )与Q (0,3)之间的距离，即求|PQ |的范围，其中P (x ，y )在区域D 内．|PQ |min 为过点Q 作x －y ＋1＝0的垂线段d＝2；|PQ |max ＝|QA |＝(0－2)2＋(3－0)2＝13， 所以|PQ |∈(2，13]．故选B答案：B二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a 2－b 2＝2c ，且a cos B ＝3b cos A ，则c ＝__________.解析：由a cos B ＝3b cos A 及余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝3b ·b 2＋c 2－a 22bc，又a 2－b 2＝2c ，所以c 2＋2c 2c ＝3(c 2－2c )2c ，即c 2－4c ＝0，解得c ＝4或c ＝0(舍去)．故c ＝4.答案：412．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为__________．解析：设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2.由于S 1,2S 2,3S 3成等差数列，得2·2S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，解得q ＝0或q ＝13.因为q ≠0，所以q ＝13.答案：1313.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是__________． 解析：解法1：如图1，过点C 分别作OB ，OA 的平行线CD ，CE ，交OA ，OB 的延长线于D ，E 两点，则OC →＝OD →＋OE →＝xOA →＋yOB →.而|OA →|＝|OB →|＝1，故x ＝|OD →|，y ＝|OE →|.设∠AOC ＝α(0°≤α≤120°)，在△DOC 中，1sin60°＝x sin (120°－α)＝y sin α，即x ＝23sin(120°－α)，y ＝23sin α，从而x ＋y ＝23[sin α＋sin(120°－α)]＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．因为0°≤α≤120°，所以30°≤α＋30°≤150°，故当α＝60°，(x ＋y )max ＝2.解法2：如图2，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴正半轴，建立直角坐标系，设∠AOC＝α(0°≤α≤120°)，则点C (cos α，sin α)，A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，则(cos α，sin α)＝x (1,0)＋y ⎝⎛⎭⎫－12，32.所以⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，即⎩⎨⎧x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，则x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)，下同解法1. 解法3：设∠AOC ＝α(0°≤α≤120°)，则⎩⎪⎨⎪⎧OC →·OA →＝xOA →·OA →＋yOB →·OA →，OC →·OB →＝xOA →·OB →＋yOB →·OB →， 即⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，cos (120°－α)＝－12x ＋y ，故x ＋y ＝2[cos α＋cos(120°－α)] ＝2sin(α＋30°)，下同解法1. 答案：214．已知一系列函数有如下性质：函数y ＝x ＋1x 在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋2x 在(0，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋3x在(0，3]上是减函数，在[3，＋∞)上是增函数；…利用上述信息解决问题：若函数y ＝x ＋3mx(x >0)的值域是[6，＋∞)，则实数m 的值是__________．解析：归纳得出y ＝x ＋nx在(0，n ]上是减函数，在[n ，＋∞)上是增函数，当x >0时，y 在x ＝n 时取最小值2n .因为函数y ＝x ＋3mx(x >0)的值域是[6，＋∞)，所以有23m ＝6，解得m ＝2.答案：215．已知函数f (x )的定义域为(4a －3,3－2a 2)，a ∈R ，且y ＝f (2x －3)是偶函数，又g (x )＝x 3＋ax 2＋x 2＋14，存在x 0∈⎝⎛⎭⎫k ，k ＋12，k ∈Z ，使得g (x 0)＝x 0，则满足条件的实数k 的个数为__________．解析：令2x 1－3＝4a －3,2x 2－3＝3－2a 2，从而可得x 1＝2a ，x 2＝3－a 2，又函数y ＝f (2x －3)是偶函数，所以3－a 2＋2a ＝0，解得a ＝3或a ＝－1；当a ＝3时，4a －3＝9,3－2a 2＝－15不成立；当a ＝－1时，符合．令h (x )＝g (x )－x ＝x 3－x 2－x 2＋14，h ′(x )＝3x 2－2x －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2－106⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2＋106，则h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－106和⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋106，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2－106，2＋106上单调递减，验证可知h (－1)＝－1－1＋12＋14<0，h ⎝⎛⎭⎫－12＝－18－14＋14＋14＝18>0，h (0)＝14>0，h ⎝⎛⎭⎫12＝18－14－14＋14＝－18<0，h (1)＝1－1－12＋14＝－14<0，h ⎝⎛⎭⎫32＝278－94－34＋14＝58>0，从而k 可取0，±1三个值． 答案：3。

高考小题标准练 ( 七 )时间： 40 分钟分值： 75 分姓名： ________ 班级： ________一、选择题 (本大题共10 小题，每小 5分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．设全集 U＝R，且 A＝ { x||x－ 1|>2} ， B＝{ x|x2－ 6x＋ 8<0} ，则 ( ?U A)∩ B＝ ()A ． [－ 1,4)B． (2,3)C．(2,3]D． (－ 1,4)分析： A＝ { x|x<－ 1或 x>3} ，B＝ { x|2<x<4} ．故 (?U A)∩ B＝ { x|－1≤ x≤ 3} ∩ { x|2<x<4} ＝{ x|2<x≤ 3} ．应选 C.答案： C2.某校为了认识学生课外阅读状况，随机抽查了50 名学生，获得他们某一天各自课外阅读的时间数据如右图所示，依据条形图可获得这50 名学生该天每人的均匀课外阅读时间为()A ． 0.6 h B． 0.9 hC．1.0 h D． 1.5 h1分析：均匀课外阅读时间为50(5× 2＋ 10× 1＋ 10× 1.5＋ 20× 0.5)＝ 0.9(h) ．应选 B.答案： Bai3．已知复数1＋i(a∈R)对应的点都在以圆心为原点、半径为2的圆内 (不包含界限 )，则 a 的取值范围是 ()A ． (－ 2,2)B ． (0,2)C．( － 7， 7)D． (－ 2,0)∪ (0,2)分析： z＝ai a a1＋ i＝2＋2i ，由于复数对应的点在以圆心为原点、半径为 2的圆内 (不包含边2|a|界) ，因此 |z|＝2 < 2，即－ 2<a<2，应选 A.答案： A4.函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)( A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象以下图，则f(0)＝()6A ． 1 B. 23D.2C. 227π π2π7π分析： 由图象可得 A ＝T2，由4，得 T ＝ π＝ ω，因此 ω＝ 2.将点12，－2 代 12－3＝2＝ 2sin 2× 7π7π3ππ入 f(x)＝ 2sin(2 x ＋φ)，得－12＋ φ ，即 6 ＋ φ＝ 2＋2k π(k ∈Z )，因此 φ＝ 3＋ππ 362k π(k ∈ Z )，则 f(x)＝ 2sin 2x ＋3 ，因此 f(0)＝ 2sin 3＝ 2× 2 ＝ 2 .应选 B.答案： B5．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别为等边三角形、 等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 ( )A ．4 3B ． 4C ．2 3D ． 2分析： 由三视图可知该几何体为四棱锥，由正视图知四棱锥的高为h ＝ 2 3sin60 °＝ 3，底面积为 S ＝ 1× 2 3× 2＝2 3，故体积 V ＝ 1Sh ＝ 1×3× 2 3＝2 3.应选 C.2 3 3答案： C6．如图，该程序运转后输出的结果 s 为 ( )A ． 1B ． 10C ．19D ．28分析： 履行循环以下：当a ＝ 1 时， s ＝1＋ 9＝ 10；当 a ＝ 2 时， s ＝ 10＋9＝ 19；当 a ＝ 3 时，知足输出条件，故输出S 为 19.应选 C.答案： C7．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm 2 的概率为 ()1 B.12 D. 4A. 6 3 C.3 5分析： 设线段 AC 的长为 x cm ，则线段 CB 的长为 (12－ x) cm ，那么矩形的面积为 x(12222－x) cm ，令 x(12－ x)>20，解得 2<x<10.又 0< x<12，因此该矩形面积大于 20 cm 的概率为 3，应选 C.答案： C8．对于棱长为 1 的正方体 ABCD － A 1B 1C 1 D 1，有以下几个表达：①任取四个极点，共面的状况有8 种 ②任取四个极点按序连接总合可组成 10 个正三棱锥 ③任取六个表面中的两个， 两面平行的状况有 5 种 ④如图把正方体睁开， 正方体原 下底面 A 1B 1C 1 D 1 与标号 4 对应⑤在原正方体中任取两个极点，这两点间的距离在区间10， 3 上的状况有 4 种． 2此中正确表达的个数是 ()A ． 5B ． 3C ．2D ． 1分析： 任取四个极点，共面的状况有12 种，故①错误；任取 1 个极点及其相邻的 3 个极点按序连接总合可组成以每个极点为极点的 8 个正三棱锥， 相对面异面的两对角线的四个极点可组成 2 个正四周体，故可组成10 个正三棱锥，故②正确；任取六个表面中的两个，3 种，故③错误；④显然正确；两极点间的距离在区间10两面平行的状况有 2， 3上，且这两极点的连线为正方体的体对角线，共有4 种状况，⑤正确．应选 B.答案： B2 29．已知椭圆 C ： x ＋ y＝ 1 上存在 n 个不一样的点 P 1，P 2， ， P n ，椭圆的右焦点为 F.8 6数列 {| P n F|} 是公差大于 1的等差数列，则 n 的最大值是 ()5A ．16B ．15C ． 14D ．13分析： 由于 a 2＝ 8，b 2＝ 6，因此 c ＝ 2，进而 2≤ |P n F|≤ 3 2，故 3 2≥ 2＋ 1(n － 1)，5 由此得 n ≤10 2＋ 1≈ 15.1，故 n 的最大值是 15.应选 B.答案： B|lgx|， 0< x ≤ 10，10．已知函数f(x)＝ 1若 a ， b ，c 互不相等，且 f(a)＝ f( b) ＝ f(c)，则－ x ＋ 6， x>10.2abc 的取值范围是 ()A ． (1,10)B ． (5,6)C ．(10,12)D ． (20,24)分析：不如假定 a<b<c ，作出函数图象可知0<a<1< b<10<c<12 ，则由 f(a)＝ f(b)，得－ lga＝ l g b ，即 ab ＝1，因此 abc ＝ c ∈ (10,12)，应选 C.答案： C二、填空题 (本大题共 5 小题，每小 5 分，共 25 分．请把正确答案填在题中横线上 )→ → → →11．已知 A(－ 1， cos θ)，B(sin θ，1)，若 |OA ＋ OB|＝ |OA － OB|(O 为坐标原点 )，则锐角 θ＝________.→→→→→ → 分析： 由于 |OA ＋ OB|＝ |OA －OB|，则平方化简可得 OA ·OB ＝ 0，即－ sin θ＋ cos θ＝ 0，则π 锐角 θ＝ 4.π答案： 4x 2＋ y 2－ 4x ＋ 3＝ 0 相切，切点在第四象限，则直12．已知直线 l 经过坐标原点，且与圆线 l 的方程为 __________．分析：圆的一般方程可化为 (x－ 2)2＋ y2＝ 1，设直线方程为y＝ kx.由圆心 (2,0)到直线的距|2k|3离为 1，可得2＝ 1，解得 k＝±3.又由于直线与圆相切，切点在第四象限，故k<0，则1＋ k3直线 l： y＝－3 x.答案： y＝－3 x 313．过点 P(0,1)与圆 x2＋ y2－ 2x－3＝ 0 订交的全部直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是 __________．分析：由圆方程得圆的圆心坐标为(1,0)，由题意知直线经过圆心，故弦最长的直线方程1－ 0为 y＝(x－ 1)，即 y＝－ x＋1. 0－ 1答案： x＋ y－ 1＝014．若函数f(x)＝ln( － x)－ ax 的递减区间是 (－ 1,0)，则实数 a 的值是 __________．111分析： f ′ (x)＝x－ a，又 f′ (x)<0的解集为 (－ 1,0)，由 f ′ (x)<0，即x－ a<0，得a<x<0，1因此a＝－ 1，故实数 a＝－ 1.答案：－12k＋ 12k－ 115．若 sin α＝1，则 cosπ＋α＋ cosπ322－α)(k∈Z)＝__________.ππ分析：原式＝ cos kπ＋2＋α＋ cos kπ－2－α.ππ2当 k 为偶数时，原式＝ cos 2＋α＋ cos 2＋α＝－ 2sinα＝－3；当 k为奇数时，原式＝π－cos 2＋απ22－cos 2＋α＝ 2sinα＝ .故原式＝± .332答案：±3。