福建省高一数学竞赛试题参考答案

2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ） A ．[)(]3114--⋃，， B ．[](]3114--⋃，， C ．[)[]3114--⋃，， D ．[][]3114--⋃，， 【答案】 D【解答】 依题意，{}[]212034A x x x =--≤=-，，10(11)1x B x x +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，。

由x A ∈，知34x -≤≤；x B ∉，知1x ≤-或1x ≥。

所以，31x -≤≤-或14x ≤≤，即[][]3114C =--⋃，，。

2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）AB ．2 CD【答案】 D【解答】由12l l ⊥知，(2)(2)(2)30m m m m +⋅-++⋅=，结合0m >，得230m m -+=，12m =。

∴ 1l 方程为531022x y ++=，即5320x y ++=；2l 方程为：354022x y -+-=，即3580x y -+=。

由53203580x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩。

因此，(11)P -，，线段OP3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。

则二面角A PC B --的余弦值为（ ）A．3 B．3 C．3D ．13【答案】 B【解答】如图，取AC 中点O ，PC 中点D ，连结OP ，OB ，OD ，DB 。

不妨设2AB =，则由条件知，2PA PC ==，AC = ∴ PA PC ⊥，12OP AC OC ===。

2024 年全国高中数学联赛福建赛区预赛 暨 2024 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间: 2024 年 6 月 22 日上午 9:00-11:30, 满分 160 分)一、填空题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 满分 60 分. 请直接将答案写在题中的横线上) 1. 在 △ABC 中,已知 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,若动点 P 满足 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 【答案】 5【解答】取 AB 中点 O ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14[(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2]=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14×42=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4由 AB =4,BC =2,AC =2√3 ,知 AB 2=CA 2+CB 2 ,于是 CA ⊥CB . 所以 CO =12AB =2 .又 |CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ,所以 |PO ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最大值为 CO +1=3 . 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 32−4=5 . 2. 已知 z 1,z 2,z 3 为方程 z 3=−i 的三个不同的复数根,则 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1= . 【答案】 0【解答】设 z =x +yi (x,y ∈R ) 为方程 z 3=−i 的复数根, 则 z 3=(x +yi )3=x 3+3x 2(yi )+3x (yi )2+(yi )3=−i . 即 x 3+3x 2yi −3xy 2−y 3i =−i,x 3−3xy 2+(3x 2y −y 3)i =−i . 由 x,y ∈R ,得 {x 3−3xy 2=03x 2y −y 3=−1,解得 {x 1=0y 1=1 , {x 2=√32y 2=−12,{x 3=−√32y 3=−12.于是 z 1=i, z 2=√32−12i, z 3=−√32−12i . 所以 z 2+z 3=(√32−12i)+(−√32−12i)=−i ,z 2z 3=(√32−12i)(−√32−12i)=(−12i)2−(√32)2=−14−34=−1.因此 z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1=z 1(z 2+z 3)+z 2z 3=i ×(−i )−1=0 .3. 设a=66⋯6⏟10个6,b=33⋯3⏟6个3,则a,b的最大公约数为 .【答案】 33【解答】用(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.则(a,b)=(66⋯6⏟10个6,33⋯3⏟6个3)=(33⋯3⏟10个3,33⋯3⏟6个3)=3(11⋯1⏟10个1,11⋯1⏟6个1) .设m=11⋯1⏟10个1, n=11⋯1⏟6个1,则由m=11⋯1⏟10个1=104×11⋯1⏟6个1+1111 ,可知(m,n)=(1111,11⋯1⏟6个1) .同理可得, (m,n)=(1111,11⋯1⏟6↑1)=(11,1111)=(11,11)=11 .所以(a,b)=3(m,n)=33 .4. 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率为 .【答案】64385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.12名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有: C122C102C82C62C42C22A66=11×9×7×5×3×1种.下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式: 由于每组2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个年级中每个年级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有C42×C42×A44=36×24种方式.再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有2×1种.所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为36×24×211×9×7×5×3×1=64385.5. 如图,在棱长为 6 的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC 1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 3√1717,则平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得截面多边形的周长为 . 【答案】 6√13+3√2【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD 1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间直角坐标系.(第 5 题答题图)则 E (6,3,0),F (3,6,0) . 设 G (0,6,t ) ,则 EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,0) , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3,t ) . 设 m ⃗⃗ =(x,y,z ) 为平面 EFG 的一个法向量,则{m ⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x +3y +0=0m ⃗⃗ ⋅EG⃗⃗⃗⃗⃗ =−6x +3y +tz =0 ,于是 m ⃗⃗ =(t,t,3) 为平面 EFG 的一个法向量.又 n ⃗ =(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为 3√1717, 所以 |cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=√2t 2+9⋅1=3√1717. 结合 t >0 ,解得 t =2 . 所以 G (0,6,2),CG =2 .延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM =3 . 由 CG DD 1=26=39=MCMD 知, M,G,D 1 三点共线.于是 GD 1 是截面多边形的一条边.延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D 1N 交 AA 1 于点 P ,则 D 1P 也是截面多边形的一条边. 另由AN =3=12A 1D 1 可知, AP =12A 1P ,所以 AP =2,A 1P =4 .连接 PE ,则五边形 EFGD 1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 所得的截面多边形. 易知 EF =√32+32=3√2,FG =√32+22=√13,GD 1=√42+62=2√13 ,D 1P =√62+42=2√13, PE =√22+32=√13.所以截面五边形的周长为 6√13+3√2 .注: 作 CH ⊥EF 与 H ,则 GH ⊥EF,∠GHC 为二面角 G −EF −D 的平面角,于是 tan∠GHC =CGCH =3√22=2√23,因此 CG =2 。

年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：月日上午：一：)、选择题(每小题分，共分).集合A = {x |x-1|<3 ,x^N }的子集有（）•个【答案】【解答】由x—1 <3，知—2<xc4，结合x^N , 得A = {0,1,2,3}•••A的子集有24=16个。

•若直线12与直线l i : y =2x -1关于直线y二x对称，则J与两坐标轴围成的三角形的面积为( )2 1 13 2 4【答案】【解答】在直线11 : y =2x-1取点A(0,-1)，则A0 ,1关于直线y二x的对称点A(-1,0)在直线12上。

又直线11与直线y = x的交点P(1,1)在直线121 1J过AG ,和P(1,两点，其方程为y”1 1• I2与坐标轴交于(-1,0)和(0 ,-)两点，J与坐标轴围成的三角形的面积为—。

2 4•给出下列四个判断：()若a , b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a , b都相交()对平面,-和直线1，若二」】，I」，则I// 。

()对平面:,和直线I，若I _ ：■ , 1 ，则：1。

()对直线11 , 12和平面［，若11 //〉，12 // 11，且12过平面〉内一点P，则12 ―其中正确的判断有(）•个•个•个•个【答案】【解答】()、()正确；()、()不止确。

对于()，设a // a，过a和b的平面为〉，则当点P在平面〉内，且不在直线b上时,找不到直线同时与a , b都相交•如图，已知正方体 ABCD , E 为CD 中点，则二面角E —AB , —B 的正切值为()• 2.2【答案】【解答】如图，作EF _ AB 于F ，作F0 _ AB ,于0 ,连结0E 由 ABCD -A 1B 1C 1D 1 为正方体，知 EF _ 面 ABB ,A ,， EF _ AB ,。

又 AB , _ OF 。

因此，AB , _ 面 OEF ，0E _ AB ,。

莆田一中2021-2022学年度下学期期初学科素养能力竞赛考试高一数学必修第一册一，单选题（本大题共8小题,每题5分,共40.0分）1. 已知集合{}1,0,1M =-,{}2N y y x ==,则M N = （ ）A. {}0 B. {}1,1- C. {}0,1 D. {}1,0,1-2. 已知点()sin ,tan P αα在第二象限,则角α地终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 方程3log 4x x =-一个实根所在地区间是A. ()2,3 B. ()3,4 C. ()5,6 D. ()6,74. 已知命题:,21x p x x ∃∈≤+N ,则命题p 地否定为（ ）A.,21x x x ∃∈>+N B.,21x x x ∃∈≥+N C. ,21x x x ∀∈≤+N D. ,21x x x ∀∈>+N 5 已知0.32=a ,0.43b =,0.2log 0.3c =,则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. b a c>>6. 函数21xy x =-地图象大约是（ ）A. B. C.D.7. 某地新能源汽车工厂2023年生产新能源汽车地年产量为260万辆,依据前期市场调研,为满足市场需求,以后每一年地产量都比上一年产量提高25%,那么该工厂到哪一年地产量才能首次超过800万辆（参考数据：lg1.250.097,lg1.30.11,lg 40.60≈≈≈）（ ）A. 2023年B. 2023年C. 2023年D. 2023年的.8. 设函数f(x)是定义在R 上地偶函数,且f(x ＋2)＝f(2－x),当x∈[－2,0]时,f(x)＝1x-,则在区间(－2,6)上有关x 地方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0地解地个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二，多选题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分）9. 若0a b <<则下面结论中错误地有（ ）A.11a b< B. 01a b << C. 2ab b > D.b a a b>10. 下面有关函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭表达正确地是（ ）A. 周期为π B. 增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 图像有关点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 D. 图象有关直线23x π=对称11. +地值可能为（ ）A. 3B. 3- C. 1 D. 1-12. 已知函数3log (1),1()1,13xx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩,下面结论正确是（ ）A. 若()1f a =,则4a =B. 202120202020f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若()3f a ≥,则1a ≤-或28a ≥D. 若方程()f x k =有两个不同地实数根,则13k >三，填空题（本大题共4小题,共20.0分）13. 52cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭等于____________.14. 已知0x >,0y >,24xy x y =++,则x y +地最小值为______．15. 已知()f x 是定义在R 上地偶函数,且在区间(],0-∞上单调递增,若实数a 满足()(212a f f ->,的则a 地取值范围是______．16. 已知函数()4cos f x x =()[0,]x π∈图像与函数()15tan g x x =地图像交于A ,B 两点,则OAB （O 为坐标原点）地面积为_______．四，解答题（本大题共6小题,共70+6分）17. 化简与求值：（1）已知(),0x π∈-,1sin cos 5x x +=,求sin cos x x -地值。

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A 中所有元素的和为（ ） A ．1- B ．0 C ．2 D ．3 【答案】 B 【解答】由203x x +≤-，得23x -≤<。

又x Z ∈。

因此{}21012A =--，，，，。

所以，集合A 中所有元素的和为0。

2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A ．43B ．23C ．16D ．19【答案】 C【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD -外接球的半径R =。

由243R ππ=，得R =。

∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。

3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）A ．(43)(0)--⋃+∞，， B ．(02)(4)⋃+∞，， C ．(4)(30)-∞-⋃-，， D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23xy x =+ ∵ 20x y +<， ∴ 2203x x x +<+，即(4)03x x x +<+，解得4x <-或30x -<<。

∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。

BC（第2题图）4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥； （3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； （4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。

2023年泉州市普通高中数学学科竞赛参 考 答 案一、填空题：本题共15小题，每小题6分，共90分。

1．设集合3{|}10x A x x ，2320{|}B x x x ，则A B =__________． 【答案】 2 【解析】由013x x 得13x ＜，则1{}3|A x x ＜，又2{}1,B ，因此 2A B ． 2．已知23x ，39log 2y ，则1y x__________． 【答案】2【解析】223log 3x x ，所以33319log 2log log 922y x ． 3．已知数列{}n a 满足11a ，*11()(1)n n n n a a a a n n n N ，则n a __________．【答案】21nn 【解析】由11(1)n n n n a a a a n n，得111111(1)1n n a a n n n n ，故111111n n a n a n，即{11}n a n 为常数列，得1111121n a n a ，所以21n na n． 4．若3sin()35x ，且5(,)66x ，则sin(2)3x__________．【答案】2425【解析】因为5(,)66x，所以,322x ，又3sin 35x ，所以4cos 35x，所以23424sin(2sin(22sin()2()33335525x x x x ．5．记,,max{,},,a ab a b b a b≥则函数2()max{|1|,|5|}f x x x 的最小值为__________． 【答案】1【解析】令212()1,()5f x x f x x ，则两个函数图象交于点,,,A B C D ，根据()f x 的定义可知()f x 的图象是图中实线的部分，易知点B的纵坐标是函数的最小值，由方程215x x ，解得3,2D B x x ，所以()(2)1B f x f ．6．设,a b 为实数，且0ab ，虚数z 为方程20ax bx a 的一个根，则|1i |z 的最大值为__________．1【解析】因为z 和z 为实系数二次方程02 a bx ax 的两个共轭虚根，由韦达定理知1az z a，即12z ，所以1 z ，z 对应的点Z 是复平面中以 0,0O 为圆心，半径1r 的圆上的点，1iz 可以看成点Z 与定点)1,1(A 的距离，当且仅当z 时，1i z 取最大值1AO r ．7．已知函数(1)y f x 的图象关于直线1x 对称，当0x 时，1()e x f x ，设10a，b ，22tan201tan 20c，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为__________．（请用“<”连接） 【答案】()()()f b f a f c【解析】函数(1)y f x 的图象关于直线1x 对称，所以()y f x 的图象关于y 轴对称，当0x 时，1()e x f x ，所以()y f x 在 ,0 上单调递减，在 0, 上单调递增，()()()1010f a f f，()(sin 10f b f f f ，22tan 20()((tan )101tan 20f c f f ，易知 0sintan 101010，所以()()()f b f a f c ． 8．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点O 满足sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC，若2a ，6BC OA，则sin A 的最大值为__________．【答案】31【解析】易知O 是ABC △的外心．因为2211()622BC OA AO AB AC AO AB AO AC c b ，所以1222 b c ，又2a ，得2123a ，所以2223c b a ．由余弦定理，得2222222233342cos 2623b c a b c a b c A bc bc bc ，当且仅当bc 时取等号，所以sin A 的最大值为13．9．过点1(0,2F 的直线l 与抛物线22x y 交于,A B 两点，则4AF BF 的最小值为__________．【答案】92【解析】易知112AF BF ，故4111194(4)()(14222BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ， 当且仅当322AF BF时取等号．10．在直角ABC △中，2AB BC ，D 是ABC △内的动点，则2AD BD 的最小值为__________．【答案】【解析】如图，将ACD △绕着点C 按顺时针旋转90 ，再以C 点为位似中心放大到2倍，得到A CD △．2AD BD A D BD DD ，根据“两点之间线段最短”可知，当,,,B D D A四点共线时，2AD BD 取得最小值BA ．易知90ACA ，CA ，过A 作A H BC 交BC 延长线于H ，则ABC CHA △∽△，因为ABC △是等腰直角三角形，AB BC ，所以45BAC BCA ，所以45HA C A CH ，所以4CH A H ，所以''BA ．11．现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如右图），其杯口内径为4 cm ，深8cm ，现将一半径为r cm 的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则r 的取值范围为__________．【答案】10,2【解析】杯口内径为短轴，杯深为长半轴，故可设半椭圆轴截面方程为221(0)644y x y ，设小球球心(0,)D t ， 8,t ，(,)P x y 为半椭圆轴截面上任一点，则 22222152416PD x y t y ty t，其中 8,0y ，当函数2215()2416f y y ty t 的对称轴1685y t，即1582t 时，函数()f y 在 2,0 递增，当8y 时，2PD 取最小，这时小球可以接触杯底，半径1(8)0,2r t．12．已知函数()f x (e )e x x a ，当(0,)x 时，()ef x x ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】 ,1 【解析】e ee x x ax 两边同时取自然对数，得e ln eln e x x ax (e )1ln xx a x ，所以e ln 1x x x a x ，令ln e ln 1e (ln 1)()x x x x x x g x x x ，()e 1x h x x ，则()e 10(0)x h x x ，所以()h x 在(0,) 单调递增，所以 00h x h ，故ln e ln 1x x x x ，所以 ln eln 1ln 1ln 1e ln 11x xx x x x x x x g x x x x，故1a ．13．有2024个半径均为1的球密布在正四面体ABCD 内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为__________．【答案】3214．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22323a b c ，则ABC △面积的最大值为__________． 【答案】2316【解析】过点C 作CD AB 于D ．当点D 落在线段AB 上时，设CD h ，BD m ，AD n ，根据题设条件有：22222222223223423h m h n m n h m n m n222224344816h m n m n h m n h m n S ，因此2316S,当且仅当8m ，4h 时取等号． 当点D 落在AB 或BA 的延长线上时，设CD h ，BD m ，AD n ，根据题设条件有：22222222223223423h m h n m n h m n m n222224344816h m n m n h m n h m n S ，因此2316S,易知等号取不到． 故答案为：2316． 15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数[]()y x x R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.设2024120242024(1)2023k kk k S，则S 除以2023的余数是__________． 【答案】1013【解析】当2k t 时，222202420242202412023212202412122023202320232023t t t t t t t t， 当21k t 时，212120242024(21)202412023(21)220232023t t t t t21211202421202422122023202320232023t t t t t t， 因此2212024101210121112024202420242024220242024(21)2023(1)20232023k t t k k t t k t t S221101210122111202412112024222(2024)12023202320232023t t t t t t t t t 1101211013(mod 2023) ．二、解答题(本大题共5小题，共110分。