空间向量及几何公式

空间向量与立体几何公式一、空间向量1、空间向量是一种简单的数学表达形式，表示一组相同类型数据成员之间的关系。

它可以描述空间中的每个点与另一个点之间的连接情况，而连接情况是由三个不同的坐标表示的。

换言之，空间向量就是描述空间中一个点到另一个点的方向及距离，作为一种数学实体而存在的。

2、空间向量可以用一个有向箭头来表示，并用数学记号标注出来。

通常来说，它的数学记号是表示坐标系中的另一个点在第一个点的坐标上的偏移量，如a→b表示b点在a点上的偏移量。

3、空间向量形式可以表示一条从原点到某个点的路径，通过它可以确定在x、y和z轴上的平移量，即偏移量，从而避免了我们有时在空间中运行物体时会误解运动方向的困难。

从更宏观的角度来说，空间向量可以用来表示以位置、速度和加速度等。

二、立体几何公式1、立体几何是几何学分支之一，它学习的内容是空间中的点、线、面和体的特性、关系及其变化规律，其中关于立体图形的内容被称为立体几何。

立体几何的定义是关于空间中的点、线、面和体的研究，以及它们之间的关系，其中主要考虑的就是位置、形状、大小以及一般的空间概念。

2、立体几何公式包括：立体几何定义、立体几何变换、立体几何性质、其他立体几何相关概念以及三角几何相关公式。

例如，立体几何定义涉及的公式有：空间中的点的位置关系（a-b=c），线的距离关系（L=1/2×Z1×Z2），面的面积关系（S=1/2×Z1×Z2×cosX），以及球体表面积（S=4×π×R2）等公式。

3、另外，立体几何公式还包括三角几何公式，它主要涉及到角度、正弦、余弦、正切、反正切等相关公式。

这些公式用来解决各种形状三角形以及其他更复杂的立体图形以及相关空间距离关系的问题。

高中数学公式大全立体几何与空间向量高中数学公式大全：立体几何与空间向量一、立体几何立体几何是数学中研究三维空间中的几何图形及其性质的分支，对于高中生来说，常见的立体几何包括了体积、表面积等方面的内容。

下面是一些常用的立体几何公式：1. 立方体体积公式立方体是一种边长相等的六个正方形围成的立体。

其体积公式为：V = 边长³。

2. 正方体体积公式正方体是一种六个面都是正方形的立体。

其体积公式为：V = 底面积 ×高。

3. 长方体体积公式长方体是一种六个面都是矩形的立体。

其体积公式为：V = 长 ×宽×高。

4. 圆柱体积公式圆柱体是一种底面为圆形的立体。

其体积公式为：V = π × 半径² ×高。

5. 圆锥体积公式圆锥体是一种底面为圆形，顶点和底面中心连线垂直于底面的立体。

其体积公式为：V = 1/3 × π × 半径² ×高。

6. 球体积公式球体是一种所有点到球心的距离都相等的立体。

其体积公式为：V= 4/3 × π × 半径³。

7. 棱柱表面积公式棱柱是一种顶面和底面是平行的多边形，侧面是平行四边形的立体。

其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。

8. 棱锥表面积公式棱锥是一种底面为多边形，侧面是由底面上的点和顶点连线形成的三角形的立体。

其表面积公式为：S = 底面积 + 侧面积。

二、空间向量空间向量是指具有大小和方向的箭头，可以表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。

在高中数学中，空间向量常用于解决线性相关、平面垂直、平面平行等问题。

下面是一些常用的空间向量公式：1. 两点之间的距离公式设空间中的两点为A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则两点之间的距离公式为：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)。

空间向量的计算公式总结空间向量是空间中的一类几何对象，具有大小和方向。

计算空间向量通常需要使用一些公式和性质。

下面是：1. 向量的模长计算：对于空间中的向量 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) ，其模长计算公式为：|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}2. 向量之间的加法和减法：设 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) ， \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) 为两个空间向量，则它们的加法和减法公式为：\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)\vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3)3. 向量的数量积（点积）：向量 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) 和 \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) 的数量积（点积）定义为： \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_34. 向量的向量积（叉积）：向量 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) 和 \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) 的向量积（叉积）定义为： \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)5. 向量的混合积：三个向量 \vec{a} 、 \vec{b} 和 \vec{c} 的混合积定义为：\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})6. 向量的投影：向量 \vec{a} 在向量 \vec{b} 上的投影长度为：|\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}7. 向量的夹角公式：两个向量 \vec{a} 和 \vec{b} 的夹角 \theta 的余弦值为：\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}8. 两条直线的平行判定：设 \vec{m} 和 \vec{n} 分别为两条直线的方向向量，则若 \vec{m} 与 \vec{n} 共线，则两条直线平行。

空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。

设向量为a=(a1,a2,a3)则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为a1、a2、a3即a=(a1,a2,a3)2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即a|=√(a1²+a2²+a3²)3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。

设向量a的模长为a|则其单位向量为a/|a|4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。

设向量a=(a1,a2,a3)则其方向角为α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。

设向量a=(a1,a2,a3)则其方向余弦为cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|一、知识要点1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。

向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

向量具有平移不变性。

2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。

运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。

3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。

共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。

4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。

若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。

6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

(2) 向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。

OB = OA+ AB = a+b .BA = OA-OB = a-b .OP = λa(λGR)运算律：⑴加法交换律：a + b =b + a ⑵加法结合律：(^ + fe) + c = + + c)⑶数乘分配律：+ b) = λa + λb运算法则：三角形法则、平行四边形法则.平行六面体法则 3. 共线向量。

(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，N 平行于方，记作N 〃b 。

(2 )共线向量定理：空间任意两个向量万、b (方≠6),ababAB = λAC OC = XOA+ yOB(^^x + y = l) a 土(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

(2) 共面向量定理：如果两个向量",5不共线，0与向量久5共面的条件是存在实数—♦兀」'使p = xa + yb 9(3) 四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AP = xAB + yAC共面向量©OP = XOA + yOB +zOC(其中兀 + y + z = 1)在一个唯一的有序实数组x,y,Z f使p = xa+ yb +zc 9—♦若三向量GbE不共面，我们把｛a.b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量, 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设o,4,5C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数X,y.Z f使OP = XOA + yOB + zOC O6.空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系0 —厂Z中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(兀”Z), 使OA = xi + yi+忑，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-XK中的坐标, 记作A(X,y,z), X叫横坐标，y叫纵坐标，Z叫竖坐标。

空间向量与立体几何1、空间直角坐标系与向量的坐标运算（1）空间向量直角坐标系（表1）名称内容空间直角坐标系以空间一点O 为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x 轴、y 轴、Z 轴，这时建立了一个空间直角坐标系xyzo -坐标原点点O坐标轴x 轴、y 轴、Z 轴（y 在x 逆时针090方向）坐标平面通过每两个坐标轴的平面（2）空间两点间的距离①设点()111,,z y x A ，()222,,z y x B ，则()()()221221221z z y y x x AB -+-+-=；特别地，点()z y x M ,,与坐标原点O 的距离为222z y x OM ++=.②设点()111,,z y x A ，()222,,z y x B ，()333,,z y x C ，则线段AB 的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x .则线段ABC ∆的重心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++++++3,3,3321321321z z z y y y x x x （3）空间向量有关概念（表2）2、空间向量的线性运算及运算律（1）空间向量的加法、减法与数乘运算()bOB a OA ==,如:b a OB AO AB +-=+=；BA OA OB a b =-=- ;()OA a R λλλ=∈（2）运算律①加法交换律:a b b a +=+②加法结合律:()()c b a c b a ++=++③数乘分配律:()b a b a λλλ+=+（3）空间向量的有关定理①共线向量定理:对空间任意两个向量()0,≠b b a ，a b∥的充要条件是存在实数λ，使得b a λ=；②共面向量定理:如果两个向量,a b不共线，那么向量c 与向量b a ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对()y x ,，使b y a x c +=推论:若OA ，OB 不共线，则P ，A ，B 三点共线OB y OA x OP +=，且1=+y x .③空间向量基本定理:如果三个向量c b a ,,不共面,那么对空间有序实数组{}z y x ,,，使得c z b y a x p ++=，其中{}c b a ,,叫做空间的一个基底.推论:若OM ，OA ，OB 不共线，则P ，M ，A ，B 四点共面OB z OA y OM x OP ++=，其中1=++z y x 3、空间向量的坐标设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则（1）()121212,,;a b x x y y z z +=+++（2）()121212,,;a b x x y y z z -=---（3）()()111,,;a x y z R λλλλλ=∈（4）121212a b x x y y z z ⋅=++.（5）设()()111222,,,,y ,A x y z B x z ==,则()121212,,BA OA OB x x y y z z =-=---.。

以下是部分空间向量与立体几何的公式：1. 向量的模：向量的长，可参考点点距离求模。

2. 向量的加法：三角形法则或平行四边形法则。

3. 向量的减法：三角形法则。

4. 向量的数乘：m*(x,y,z)=(mx,my,mz)。

5. 向量的积：向量m*向量n=m模*n模*cos<m,n>。

6. 向量的数乘：a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2) a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2) λa=(λx1，λy1，λz1) a·b=x1x2+y1y2+z1z2 a∥b：x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2 a⊥b：x1x2+y1y2+z1z2=0。

7. 法向量与方向向量解答如下关系：线线平行：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m=y*n；线面平行：法向量与方向向量垂直；面面平行：法向量平行；线线垂直：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m*n=0；线面垂直：法向量与方向向量平行；面面垂直：法向量垂直；线线夹角：方向向量乘积公式求角；线面夹角：方向向量与法向量乘积公式求角；面面夹角：法向量乘积求角。

8. 点点距离：向量模长公式；点面距离：设点为o，取平面内点p，向量op*法向量n；线线距离：直线a，b，E、F为线a，b上点；直线ab距离d为=向量EF*公垂线方向向量n/向量n模；直线方向向量求法：(1)直线l:ax+by+c=0，则直线l的方向向量为=(-b,a)或(b,-a)。

(2)若直线l的斜率为k，则l的一个方向向量为=(1,k)。

(3)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB所在直线的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1)。

9. 法向量求法：法向量(a,b,c)与面内向量乘积为零，带入求解方程。

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空间向量及几何公式空间向量是指有大小和方向的线段。

在空间中，向量可表示为有序三元组(a,b,c)，其中a、b、c分别表示该向量在坐标轴x、y、z上的分量。

空间向量具有以下几个重要的几何公式。

1.向量的模长：向量的模长是指向量的大小，用，a，表示，其计算公式为：a，=√(a^2+b^2+c^2)2.点积：向量a和向量b的点积，用a·b表示，其计算公式为：a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b33.向量的夹角：向量a和向量b的夹角θ，用θ表示，其计算公式为：cosθ = (a·b) / (，a， * ，b，)4. 向量的投影：向量a在向量b上的投影，用proj(b)a表示，其计算公式为：proj(b)a = (a·b) / ，b， * (b / ，b，)5.向量的叉积：向量a和向量b的叉积，用a×b表示，其计算公式为：a×b=(a2*b3-a3*b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2-a2*b1)6.向量的混合积：向量a、向量b和向量c的混合积，用[a,b,c]表示，其计算公式为：[a,b,c]=a·(b×c)7.平面方程：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中向量n=(A,B,C)为平面的法向量。

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=08.直线方程：直线的一般方程为(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其中向量l=(l,m,n)为直线的方向向量。

9.距离公式：点P到直线L的距离为：d=，(P-P0)×l，/，l除了上述常用的几何公式外，空间向量还可以用于解决平面与线段、平面与平面、线段与线段的位置关系、距离等问题。

空间向量的应用广泛，涵盖了许多几何和物理学领域。

1.2 向量代数与空间解析几何一、向量代数1、向量的有关概念：向量间的夹角、向量的方向角、方向余弦、向量在数轴上的投影向量的坐标 {},,x y z x y z a a a a a i a j a k==++在相应坐标轴上的投影模长：222zy x a a a a ++=→方向余弦：cos ||x a a α→==cos ||y a a a β→==cos ||z a a γ→== 单位向量 {}cos ,cos ,cos a αβγ=2、向量的运算：线性运算：加法 →→+b a 、 减法 →→-b a 、数乘 →a λ乘积运算：数量积、向量积----------向量的数量积→→⋅baa b →→⋅cos x x y y z z a b a b a b a b θ→→==++几何意义；0ba b a →→→→⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭——a →在b →上的投影性质：（1）2a a a →→→⋅=⇒222zy x a a a a ++=→（2）0a b a b →→→→⋅=⇔⊥⇔0=++z z y y x x b a b a b a二、空间解析几何（一） 空间直角坐标系（三个坐标轴的选取符合右手系）空间两点距离公式212212212)()()(z z y y x x PQ -+-+-=（二）空间平面、直线方程1、 空间平面方程a 、 点法式 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x Ab 、 一般式 0=+++D Cz By Axc 、 截距式1=++czb y a xd 、 点到平面的距离222000CB A DCz By Ax d +++++=2、 空间直线方程a 、 一般式 ⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x Ab 、 点向式（对称式）nz z m y y l x x 000-=-=-（分母为0，相应的分子也理解为0）c 、 参数式 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ktz z m ty y ltx x 0003、空间线、面间的关系a 、 两平面间的夹角：两平面的法向量→1n ，→2n 的夹角θ（通常取锐角）两平面位置关系：1π//2π⇔→1n //→2n ⇔212121C C B B A A ==1π⊥2π⇔→1n ⊥→2n ⇔0212121=++C C B B A A平面1π与2π斜交 ，b 、两直线间的夹角：两直线的方向向量的夹角θ（取锐角）两直线位置关系：1L //2L ⇔→1a //→2a ⇔212121n n m m l l ==1L ⊥2L ⇔→1a ⊥→2a ⇔0212121=++n n m m l lb 、 平面与直线间的夹角线面夹角：当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线之间的夹角ϕ（取锐角）称为直线与平面的夹角。

空间向量的运算的所有公式空间向量的运算是数学中最基本的概念之一，在几何、力学及物理学中都有广泛的应用。

它是一种以向量表示的三维空间上的运算，主要涉及等式、距离、夹角、平面法向量、平行四边形等几何性质，以及力学中构成矢量的力、力矩和牛顿定律等物理性质。

一、空间向量的定义空间向量（space vector）是一种描述空间中物体位置的方法，它由三个分量构成，也即x、y、z三个方向的分量组成。

空间向量的表示形式是：a = (a1,a2,a3) 其中a1、a2、a3分别代表x、y、z三个方向上的分量。

二、向量的加法向量的加法就是将两个向量相加，得到一个新的向量。

这个新向量的分量就是将两个向量的分量相加得到的。

即： a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)三、向量的减法向量的减法就是将两个向量相减，得到一个新的向量。

这个新向量的分量就是将两个向量的分量相减得到的。

即： a - b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)四、向量的乘法向量的乘法有两种，一种是数乘，一种是点乘。

（1）数乘：将一个向量乘以一个数，得到一个新的向量。

这个新向量的分量就是将原来向量的分量乘以该数得到的。

即： a * k = (a1 * k, a2 * k, a3 * k)（2）点乘：将两个向量进行点乘，得到一个标量。

点乘的定义是将两个向量的对应分量相乘，然后再将结果求和。

即： a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3五、向量的除法向量的除法是将一个向量除以一个数，得到一个新的向量。

这个新向量的分量就是将原来向量的分量除以该数得到的。

即： a / k = (a1/k, a2/k, a3/k)六、向量的模空间向量的模也称作向量的大小，它是指向量的长度，即向量从原点到终点的距离。

一个空间向量的模可以用向量的点乘表示，即：a·a = |a|^2七、向量的模的平方向量模的平方是指向量的模的平方。

空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。

下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。

一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。

2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。

3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。

4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。

若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。

6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。

二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。

设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。

2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。

3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。

当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。

空间向量及几何公式118.共面向量定理a bx, y ,axby ．向量 p与两个不共线的向量共面的存在实数对、使 puuuruuuruuur推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对x, y ,使 MPxMA yMB ，uuur uuuuruuuruuur或对空间任必定点 O ，有序实数对 x, y ，使 OPOM xMAyMB .uuuruuuruuuruuur119. 对 空 间任 一 点 O 和不共 线 的 三 点 A 、 B 、 C ，满 足 OP xOAyOB zOC（ xy z k ），则当 k 1 时，关于空间任一点O ，总有 P 、A 、B 、C 四点共面；当 k 1时，若 O 平面 ABC ，则 P 、 A 、 B 、 C 四点共面；若 O 平面 ABC ，则 P 、 A 、 B 、 C 四点不共面．uuur uuur uuuruuur uuur uuurA 、B 、C 、Duuur 四点共面AD 与 AB 、AC 共面ADxABy AC(1uuur uuur uuurODx y)OA xOByOC （ O 平面 ABC ） .120.空间向量基本定理假如三个向量 a 、b 、c 不共面，那么对空间任一直量p ，存在一个独一的有序实数组x ，y ， z ，使 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc ．推论 设 O 、 A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在独一的三个有序实uuur uuur uuur uuur数 x ， y ， z ，使 OP xOA yOB zOC .121.射影公式uuur.作 A 点在 l 上的射影 A ' ，作 B已知向量 AB =a 和轴 l ， e 是 l 上与 l 同方向的单位向量点在 l 上的射影uuur B ' ，则A 'B ' | AB | cos 〈 a ， e 〉=a · e122.向量的直角坐标运算设 a ＝ (a 1, a 2, a 3 ) ， b ＝ (b 1 ,b 2, b 3 ) 则 (1)a ＋ b ＝ (a 1 b 1, a 2 b 2 , a 3 b 3 ) ； (2)a － b ＝ (a 1 b 1, a 2 b 2 ,a 3 b 3 ) ； (3)λ a ＝ ( a 1 , a 2 , a 3) (λ∈ R)； (4)a · b ＝ a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 ；123.设 A (x 1, y 1, z 1 ) ， B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则uuuruuuruuurAB OB OA = (x 2 x 1 , y 2y 1 , z 2 z 1) .124．空间的线线平行或垂直rr设 a( x 1, y 1, z 1 ) ，b( x 2, y 2 , z 2 )，则r r rr r r x 1x 2a Pbab(b 0)y 1 y 2 ； r r r rz 1z 2a b a b 0x 1x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 0 .125.夹角公式设 a ＝ (a 1, a 2, a 3 ) ， b ＝ (b 1 ,b 2, b 3 ) ，则cos 〈 a ， b 〉 =a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3.a 12 a 22 a 32b 12 b 22 b 32推论 (a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 )2 (a 12 a 22 a 32 )(b 12 b 22 b 32 ) ，此即三维柯西不等式 .126. 四周体的对棱所成的角四周体 ABCD 中 ,AC 与 BD 所成的角为,则cos|( AB 2 CD 2) (BC 2DA 2)|2AC BD.127．异面直线所成角cos | cos r r |a,br r= |r a b r || x 1x 2 y 1 y 2 z 1z 2 || a | | b |x 12y 12 z 1 2 x 2 2 y 2 2 z 22r（ 0or（此中90o ）为异面直线 a,b 所成角， a,b 分别表示异面直线 a,b 的方向向量）128.直线 ABuuurur与平面所成角AB mur的法向量 ).arc sin uuurur ( m 为平面| AB || m |129.若ABC 所在平面若 与过若 AB 的平面 成的角,另两边 AC , BC 与平面成的角分别是1 、 2, A 、B 为ABC 的两个内角，则 sin 2 1sin 2 2(sin 2 A sin 2 B)sin 2.特别地 ,当ACB 90o 时,有sin 21sin 22sin 2 .130.若ABC 所在平面若与过若 AB 的平面成的角,另两边 AC , BC 与平面成的角分别是1 、2, A '、B '为ABO 的两个内角，则tan 2 1tan 2 2(sin 2 A ' sin 2 B ' ) tan 2.特别地 ,当AOB 90o 时,有sin 21sin 22sin 2 .131.二面角l r 的平面角 ur rurur rm n或m n， 的法向量） .arc cos urr arc cos urr（ m ， n 为平面| m || n || m ||n |132.三余弦定理设 AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥ AC ，垂足为 C ，又设 AO 与 AB 所成的角为 1 ， AB与 AC 所成的角为 2 ， AO 与 AC 所成的角为．则 coscos 1 cos 2 .133. 三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1, 2 ,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin 2 sin 2sin 2 1sin 22 2sin 1 sin 2 cos ;| 1 2 |180o( 12 ) (当且仅当90o 时等号建立 ).134.空间两点间的距离公式若 A( x 1, y 1 , z 1 ) ， B (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则uuur uuur uuur ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 )2d A, B =| AB | AB AB.135.点 Q 到直线 l 距离uuur uuurh1 (| a || b |)2 (a b)2(点 P 在直线 l 上，直线 l 的方向向量 a= PA ，向量 b= PQ ).| a |136.异面直线间的距离uuur uur r d| CD n |r( l 1 ,l 2 是两异面直线， 其公垂向量为 n ，C 、D 分别是 l 1 , l 2 上任一点， d 为| n |l 1, l 2 间的距离 ).137.点 B 到平面的距离uuur uurrd| AB n |的法向量， AB 是经过面的一条斜线， A） .r （ n 为平面| n |138.异面直线上两点距离公式dh 2 m 2 n 2 m2mncos .uuurh 2 m 2 n 2uuurd2mn cos EA ' , AF .dh 2 m 2 n 2 2mncos （EAA ' F ） .(两条异面直线 a 、b 所成的角为θ， 其公垂线段 AA '的长度为 h.在直线 a 、b 上分别取两点E 、F ， A ' E m , AF n , EF d ).139.三个向量和的平方公式r 2 r r r r r rrr rr 2r 2( a b c) 2a b c 2a b 2b c 2c ar r r r r r r 2 r 2 r 2 r r r rr ra b c 2 | a | | b |cos a, b2 | b | | c | cos b, c2 | c | | a | cos c, a140. 长度为 l 的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为l 1、 l 2、 l 3 ，夹角分别为1、 2、 3 ,则有l 2 l 12 l 22 l 32 cos 21cos 22cos 231sin 21sin 2 2sin 232 .（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理S ' S.cos(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ，它们所在平面所成锐二面角的为).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S 斜棱柱侧 和 V 斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积分别是 c 1 和 S 1 ,则① S 斜棱柱侧 c 1l . ② V 斜棱柱 S 1l .143．作截面的依照三个平面两两订交，有三条交线，则这三条交线交于一点或相互平行 .144．棱锥的平行截面的性质假如棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相像，截面面积与底面面积的比等于极点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等， 对应边对应成比率的多边形是相似多边形，相像多边形面积的比等于对应边的比的平方） ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于极点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理 (欧拉公式 )V F E 2 (简单多面体的极点数 V 、棱数 E 和面数 F).n 的多边形，则面数（ 1） E =各面多边形边数和的一半.特别地 ,若每个面的边数为 F 与棱数 E 的关系： E1nF ；2（ 2）若每个极点引出的棱数为m ，则极点数1V 与棱数 E 的关系：EmV .2146.球的半径是 R，则其体积V4R3,34 R2．其表面积 S147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四周体的组合体 :棱长为a的正四周体的内切球的半径为66a ,a.外接球的半径为4 12148．柱体、锥体的体积V柱体1Sh（ S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 3V锥体1Sh （S是锥体的底面积、h 是锥体的高）. 3。

空间向量及几何公式一、空间向量的基本概念空间向量是指具有方向和大小的矢量。

在三维空间中，我们通常使用坐标系来描述向量。

设P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)是空间中的两个点，向量PQ就是从点P指向点Q的矢量。

向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

空间向量常用的表示方式有坐标表示和分量表示。

坐标表示是指用坐标轴上的坐标来表示向量。

例如，向量PQ可以表示为向量(PQ)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。

分量表示是指将向量沿坐标轴投影的长度表示为向量的分量。

例如，向量PQ的x分量表示为Qx-Px，y分量表示为Qy-Py，z 分量表示为Qz-Pz。

二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘。

1.向量加法：设向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则向量A+B=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。

2.向量减法：设向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则向量A-B=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)。

3. 数乘：设向量A = (x, y, z)，实数k，则kA = (kx, ky, kz)。

4.点乘：设向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，则向量A·B=x1x2+y1y2+z1z2三、空间向量的几何公式空间向量的几何公式包括向量模长公式、共线公式、垂直公式、夹角公式和等距平移公式。

1.向量模长公式：设向量A=(x,y,z)，则向量A的模长为，A，=√(x^2+y^2+z^2)。

2.共线公式：设向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，若存在实数k，使得x1/k=x2,y1/k=y2,z1/k=z2，则向量A和向量B共线。

3.垂直公式：设向量A=(x1,y1,z1)和向量B=(x2,y2,z2)，若向量A·B=0，则向量A和向量B垂直。