2018年中考数学知识分类汇编《方程》

2018年中考数学知识点整理2018年中考数学知识点为大家提供了二元二次方程组知识点、代数定律知识点、圆的重点知识点、三角形知识点等数学知识点，详情如下：二元二次方程组知识点二元二次方程含有两个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程，称为二元二次方程关于x，y的二元二次方程的一般形式是ax2+bxy+cy2+dy+ey+f=0其中ax2，bxy，cy2叫做方程的二次项，d，e叫做一次项，f叫做常数项二元二次方程组.........详情代数定律知识点【质数与合数】一个大于1的整数，如果除了它本身和1以外不能被其它正整数所整除，那么这个数称为质数。

一个大于1的数，如果除了它本身和1以外还能被其它正整数所整除，那么这个数知名人士为合数，1既不是质数又不是合数。

【相反数】只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。

零的相反数是零。

【绝对值】一个正数的绝对值是它本身，一个负数绝对值是它的相反数，零的绝对值为零。

从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。

【倒数】1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。

零没有倒数。

【完全平方数】如果一个有理数a的平方等于有理数b，那么这个有理数b叫做完全平方数。

【方根】如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，这个数叫做a的n次方根........详情圆的重点知识点一集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆;2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线;3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线.........详情三角形知识点三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种.它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在.另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的.三角形中有三条边,三个角,三个顶点.三角形中的主要线段三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线.这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握.并且对这三条线段必须明确三点：(1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线.(2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部.而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边.(3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点.在以后我们可以给出具体证明.今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心........详情~请大家时时关注中考专栏，我们不定时更新最新信息~。

2018全国中考数学分类汇编--3方程与不等式应用题D【解析】分析：直接利用两周内共销售30台，销售收入5300元，分别得出等式进而得出答案．详解：设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为：．故选C．点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题的关键．10．（2018·山东淄博）（4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，依题意得：﹣=30，即．故选：C．【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．10．（2018·四川眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是A．8% B．9% C．10% D．11%答案：C8.（2018·四川绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A.9人B.10人C.11人D.12人【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为：C.【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.6．（2018·四川宜宾）（3分）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A．2% B．4.4% C．20% D．44%【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.（2018·浙江杭州）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得-2分，不答的题得0分。

2018年全国各地中考数学真题汇编（四川专版）数与式、方程不等式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2018•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人解：设参加酒会的人数为x人，根据题意得：x（x﹣1）=55，整理，得：x2﹣x﹣110=0，解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为11人．故选：C．2．（2018•乐山）方程组==x+y﹣4的解是（）A．B．C．D．解：由题可得，，消去x，可得2（4﹣y）=3y，解得y=2，把y=2代入2x=3y，可得x=3，∴方程组的解为．故选：D．3．（2018•乐山）估计+1的值，应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间解：∵≈2.236，∴+1≈3.236，故选：C．4．（2018•南充）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．解：移项，得：x﹣2x≥﹣1﹣1，合并同类项，得：﹣x≥﹣2，系数化为1，得：x≤2，将不等式的解集表示在数轴上如下：，故选：B．5．（2018•绵阳）将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 1923 25 27 29…按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）A．639 B．637 C．635 D．633解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第m数为为第+m奇数，即：1+2[+m﹣1]=n2﹣n+2m﹣1n=25，m=20，这个数为639，故选：A．6．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（）A．B．﹣C．﹣D．解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，∴α+β=﹣，αβ=﹣3，∴+====﹣．故选：C．7．（2018•乐山）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（）A．1 B．﹣C．±1 D．±解：∵a+b=2，ab=，∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2=，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=1，∴a﹣b=±1，故选：C．8．（2018•眉山）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（）A．≤a＜1 B．≤a≤1 C．＜a≤1 D．a＜1解：由x＞2a﹣3，由2x＞3（x﹣2）+5，解得：2a﹣3＜x≤1，由关于x的不等式组仅有三个整数：解得﹣2≤2a﹣3＜﹣1，解得≤a＜1，故选：A．9．（2018•南充）已知=3，则代数式的值是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵=3，∴=3，∴x ﹣y=﹣3xy ，则原式====， 故选：D ．10．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ） A ．8% B ．9%C ．10%D ．11%解：设平均每次下调的百分率为x ，由题意，得 6000（1﹣x ）2=4860，解得：x 1=0.1，x 2=1.9（舍去）． 答：平均每次下调的百分率为10%． 故选：C ．二．填空题（共10小题）11．（2018•自贡）分解因式：ax 2+2axy +ay 2= a （x +y ）2 ． 解：原式=a （x 2+2xy +y 2）…（提取公因式） =a （x +y ）2．…（完全平方公式）12．（2018•成都）已知a ＞0，S 1=，S 2=﹣S 1﹣1，S 3=，S 4=﹣S 3﹣1，S 5=，…（即当n 为大于1的奇数时，S n=；当n为大于1的偶数时，S n=﹣S n﹣1﹣1），按此规律，S2018=﹣．解：S1=，S2=﹣S1﹣1=﹣﹣1=﹣，S3==﹣，S4=﹣S3﹣1=﹣1=﹣，S5==﹣（a+1），S6=﹣S5﹣1=（a+1）﹣1=a，S7==，…，∴S n的值每6个一循环．∵2018=336×6+2，∴S2018=S2=﹣．故答案为：﹣．13．（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为10、20个．解：设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得，解得，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．14．（2018•绵阳）已知a＞b＞0，且++=0，则=．解：由题意得：2b（b﹣a）+a（b﹣a）+3ab=0，整理得：2（）2+﹣1=0，解得=，∵a＞b＞0，∴=，故答案为．15．（2018•南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为．解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，∴4n2﹣4mn+2n=0，∴4n﹣4m+2=0，∴m﹣n=．故答案是：．16．（2018•达州）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为1或．解：去分母得：x﹣3a=2a（x﹣3），整理得：（1﹣2a）x=﹣3a，当1﹣2a=0时，方程无解，故a=；当1﹣2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．故答案为：1或．17．（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有6055个○．解：观察图形可知：第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…，第n个图形共有：1+3n，∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，故答案为：6055．18．（2018•眉山）已知关于x的分式方程﹣2=有一个正数解，则k的取值范围为k＜6且k≠3．解；﹣2=，方程两边都乘以（x﹣3），得x=2（x﹣3）+k，解得x=6﹣k≠3，关于x的方程程﹣2=有一个正数解，∴x=6﹣k＞0，k＜6，且k≠3，∴k的取值范围是k＜6且k≠3．故答案为：k＜6且k≠3．19．（2018•达州）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为3．解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．∴1+﹣=0．∴﹣﹣1=0，又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．∴m+=2．∴=m+1+=2+1=3，故答案为：3．20．（2018•遂宁）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程﹣=．解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：﹣=．故答案为：﹣=．三．解答题（共16小题）．（2018•攀枝花）解方程：﹣=1．解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，移项得：﹣x=17，系数化为1得：x=﹣17．22．（2018•遂宁）计算：（）﹣1+（﹣1）0+2sin45°+|﹣2|．解：原式=3+1+2×+2﹣=4++2﹣=6．23．（2018•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．解：解不等式①，得：x≤2；解不等式②，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x≤2．将其表示在数轴上，如图所示．24．（2018•遂宁）先化简，再求值•+．（其中x=1，y=2）解：当x=1，y=2时，原式=•+=+==﹣325．（2018•攀枝花）攀枝花市出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过2千米都需付5元车费），超过2千米以后，每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元．求该同学的家到学校的距离在什么范围？解：设该同学的家到学校的距离是x千米，依题意：24.8﹣1.8＜5+1.8（x﹣2）≤24.8，解得：12＜x≤13．故该同学的家到学校的距离在大于12小于等于13的范围．26．（2018•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a≤1．27．（2018•宜宾）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x万部，根据题意得：﹣=5，解得：x=20，经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，∴（1+50%）x=30．答：每月实际生产智能手机30万部．28．（2018•泸州）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，根据题意可得：﹣=24，解得：x=20，经检验得：x=20是原方程的根，则2.5x=50，答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；（2）设购买甲图书本数为x，则购买乙图书的本数为：2x+8，故50x+20（2x+8）≤1060，解得：x≤10，故2x+8≤28，答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．29．（2018•绵阳）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨．（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：，解得：，答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨；（2）设货运公司拟安排大货车m辆，则安排小货车（10﹣m）辆，根据题意可得：4m+1.5（10﹣m）≥33，解得：m≥7.2，令m=8，大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小则安排方案有：大货车8辆，小货车1辆，30．（2018•内江）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B 型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是00元．（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A 型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．①该商场有哪几种进货方式？②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据题意得：，解得：，答：A、B两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，根据题意得：，解得：≤a≤30，∵a为解集内的正整数，∴a=27，28，29，30，∴有4种购机方案：方案一：A种型号的手机购进27部，则B种型号的手机购进13部；方案二：A种型号的手机购进28部，则B种型号的手机购进12部；方案三：A种型号的手机购进29部，则B种型号的手机购进11部；方案四：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．根据题意，得w=500a+600（40﹣a）=﹣100a+24000，∵﹣10＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a=27时，能获得最大利润．此时w=﹣100×27+24000=300（元）．因此，购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时，获利最大．答：购进A种型号的手机27部，购进B种型号的手机13部时获利最大．31．（2018•乐山）已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y=mx2+（1﹣5m）x﹣5=0与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．（1）证明：由题意可得：△=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）=1+25m2﹣10m+20m=25m2+10m+1=（5m+1）2≥0，故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=5，由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，解得：m=1或m=﹣；（3）解：由（2）得，当m＞0时，m=1，此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，由题已知，P，Q关于x=2对称，∴=2，即2a=4﹣n，∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16．32．（2018•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=333．（2018•广安）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）求今年A型车每辆车的售价．（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据题意得：=，解得：x=1600，经检验，x=1600是原分式方程的解，∴今年A型车每辆车售价为1600元．（2）设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车（45﹣a）辆，根据题意得：y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（45﹣a）=﹣100a+27000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴45﹣a≤2a，解得：a≥15．∵﹣100＜0，∴y随a的增大而减小，∴当a=15时，y取最大值，最大值=﹣100×15+27000=25500，此时45﹣a=30．答：购进15辆A型车、30辆B型车时销售利润最大，最大利润是25500元．34．（2018•资阳）为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分．（1）若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？（2）经预算，绿化区的改建费用平均每亩35000元，休闲区的改建费用平均每亩25000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？解：（1）设改建后的绿化区面积为x亩．由题意：x+20%•x=162，解得x=135，162﹣135=27，答：改建后的绿化区面积为135亩和休闲区面积有27亩．（2）设绿化区的面积为m亩．由题意：35000m+25000（162﹣m）≤5500000，解得m≤145，答：绿化区的面积最多可以达到145亩．35．（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=log a N．比如指数式24=16可以转化为4=log6，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）=log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N ＞0）；理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）又∵m+n=log a M+log a N∴log a（M•N）=log a M+log a N解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式3=log464；（2）证明log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34=1．解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，故答案为：3=log464；（2）设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n ，∴==a m ﹣n ，由对数的定义得m ﹣n=log a ，又∵m ﹣n=log a M ﹣log a N ，∴log a =log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；（3）log 32+log 36﹣log 34，=log 3（2×6÷4），=log 33，=1，故答案为：1．36．（2018•南充）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A 型丝绸的件数与用8000元采购B 型丝绸的件数相等，一件A 型丝绸进价比一件B 型丝绸进价多100元． （1）求一件A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进A 型、B 型丝绸共50件，其中A 型的件数不大于B 型的件数，且不少于16件，设购进A 型丝绸m 件．①求m 的取值范围．②已知A 型的售价是800元/件，销售成本为2n 元/件；B 型的售价为600元/件，销售成本为n 元/件．如果50≤n ≤150，求销售这批丝绸的最大利润w （元）与n （元）的函数关系式（每件销售利润=售价﹣进价﹣销售成本）．解：（1）设B 型丝绸的进价为x 元，则A 型丝绸的进价为（x +100）元根据题意得：解得400=x经检验，400=x 为原方程的解 500100=+x答：一件A 型、B 型丝绸的进价分别为500元，400元．（2）①根据题意得：∴m 的取值范围为：16≤m ≤25②设销售这批丝绸的利润为y根据题意得：y=（800﹣500﹣2n ）m +（600﹣400﹣n ）•（50﹣m ）=（100﹣n）m+10000﹣50n∵50≤n≤150∴（Ⅰ）当50≤n＜100时，100﹣n＞0m=25时，销售这批丝绸的最大利润w=25（100﹣n）+10000﹣50n=﹣75n+12500（Ⅱ）当n=100时，100﹣n=0，销售这批丝绸的最大利润w=5000（Ⅲ）当100＜n≤150时，100﹣n＜0当m=16时，销售这批丝绸的最大利润w=﹣66n+11600。

一元二次方程一、选择题1. （2018四川泸州，9题，3分）已知关于x 的一元一次方程2210x x k -+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2k ≤B. 0k ≤C.2k <D.0k < 【答案】C【解析】由题可知，△＞0，即 (-2)2-4(k-1)＞0，解得k ＜2 【知识点】一元二次方程跟的判别式，解不等式2. （2018安徽省，7，4分）若关于x 的一元二次方程x (x +1)+ax =0有两个相等的实数根,则实数a 的值为（ ） A. 1- B.1 C.22-或 D. 3-或1 【答案】A【解析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式△=0即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：原方程可变形为x 2+（a+1）x=0． ∵该方程有两个相等的实数根，∴△=（a+1）2﹣4×1×0=0， 解得：a=﹣1． 故选：A ．【知识点】利用根的判别式确定二次方程解的情况3. （2018甘肃白银，7，3） 关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A.4k ≤- B.4<k - C. 4k ≤ D.4<k【答案】C【解析】:∵方程有两个实数根，∴2244410=b ac k ∆-=-⨯⨯≥，解得：4k ≤。

故选C【知识点】一元二次方程根的判别式。

一元二次方程有两个不相等的实数根，则240b ac ->，一元二次方程有两个相等的实数根，则240=b ac -，一元二次方程没实数根，则240<b ac -。

这里题干中说有两个实数根，则根的判别式应是大于或等于0.这是不少同学易错之处。

4. （2018湖南岳阳，11，4分）关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ＜1.【解析】解：∵一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根， ∴△=22-4k ＞0，解得k ＜1. 故答案为k ＜1..【知识点】一元二次方程根的判别式的应用5. （2018山东潍坊，11，3分）已知关于x 的一元二次方程2(2)04mmx m x -++=有两个不相等的实数根x 1，x 2．若12114,m x x += 则m 的值是（ ） A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在【答案】A【思路分析】根据方程有两个不相等的实数根可知△＞0，从而求出m 的取值范围，结合一元二次方程根与系数的关系代入12114,m x x +=求出m 的值，再根据取值范围进行取舍即可. 【解题过程】解：由题意得:2[(2)]44404mm m m ∆=-+-⋅⋅=+>, 解得：m ＞－1.121212211414m x x m m x x x x +++===.解得：m 1=2，m 2=－1(舍去) 所以m 的值为2，故选择A.【知识点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系6.（2018江苏泰州，5，3分）已知1x 、2x 是关于x 的方程220x ax --=的两根，下列结论一定正确的是( ) A.12x x ≠B.120x x +>C.120x x ⋅>D.10x <，20x <【答案】A 【解析】∵△=280a+>，∴无论a 为何值，方程总有两个不相等的实数根，根据“根与系数的关系”得122x x =-，∴12x x 、异号，故选A.【知识点】根的判别式，根与系数的关系7. （2018江苏省盐城市，8，3分）已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一根为1，则k 的值为（ ）．A ．－2B ．2C ．－4D ．4 【答案】B【解析】把x ＝1代入一元二次方程，得12＋k －3＝0，解得k ＝2．故选B ． 【知识点】一元二次方程的根8. （2018山东临沂，4，3分）一元二次方程2304y y --=配方后可化为( ) A ．2112y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B ．2112y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．21324y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．21324y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】由y 2－y －43=0得y 2－y =43，配方得y 2－y ＋41=43＋41，∴(y －21)2=1，故选B. 【知识点】一元二次方程的解法 配方法9.（2018四川省宜宾市，4，3分）一元二次方程x 2–2x=0的两根分别为x 1和x 2 , 则为x 1 x 2为（ ） A.-2 B.1 C.2 D.0 【答案】D【解析】根据根于系数的关系可知x 1+x 2=ca=0，故选择D. 【知识点】一元二次方程根于系数的关系1. (2018山东菏泽，5，3分)关于x 的一元二次方程2(1)210k x x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≥ B ．0k ≤ C ．0k <且1k ≠- D ．0k ≤且1k ≠- 【答案】D【解析】△=b 2－4ac=(－2)2－4(k+1)≥0，解得k≤0，又∵k+1≠0，即k≠－1，∴k≤0且k≠－1．故选D ． 【知识点】一元二次方程根的判别式2. （2018贵州遵义，9题，3分）已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+bx-3=0的两根，且满足x 1+x 2-3x 1x 2=5，那么b 的值为A.4B.-4C.3D.-3 【答案】A【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知，x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3，又因为x 1+x 2-3x 1x 2=5，代入可得-b-3×(-3)=5，解得b=4，故选A【知识点】一元二次方程根与系数的关系3. （2018江苏淮安，7，3） 若关于x 的一元二次方程x 2-2x-k+1=0有两个相等的实数根，则k 的值是 A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】分析： 本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式为零，进而可得k 的值.解：由一元二次方程x 2-2x-k+1=0有两个相等的实数根 所以根的判别式44(1)0k ∆=--+=，解得：k=0故选：B ．【知识点】一元二次方程；一元二次方程根的判别式4. （2018福建A 卷，10，4）已知关于x 的一元二次方程21210a x bx a 有两个相等的实数根，下列判断正确的是 ( ) A ．1一定不是关于x 的方程20xbx a 的根 B.0一定不是关于x 的方程20xbx a 的根C.1和-1都是关于x 的方程20x bx a 的根D. 1和-1不都是关于x 的方程20x bx a 的根【答案】D【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于a 、b 的等式，再逐一判断20x bx a 根的情况即可. 解：由关于x 的方程21210a x bxa 有两个相等的实数根，所以△=0，所以224410ba ，110b a b a ，解得10a b 或10a b ，∴1是关于x 的方程20x bx a 的根，或-1是关于x 的方程20x bx a 的根；另一方面若1和-1都是关于x 的方程20xbx a 的根，则必有11a b a b，解得1a b ，此时有10a ，这与已知21210a x bx a 是关于x 的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是关于x 的方程20x bx a 的根，故选D.【知识点】一元二次方程；根的判别式5. （2018福建B 卷，10，4）已知关于x 的一元二次方程21210a x bx a 有两个相等的实数根，下列判断正确的是 ( ) A ．1一定不是关于x 的方程20xbx a 的根 B.0一定不是关于x 的方程20xbx a 的根 C.1和-1都是关于x 的方程20xbx a 的根D. 1和-1不都是关于x 的方程20x bx a 的根【答案】D【解析】根据一元二次方程有两个相等的，方程根的判别式等于零，从而建立关于a 、b 的等式，再逐一判断20x bx a 根的情况即可. 解：由关于x 的方程21210a x bxa 有两个相等的实数根，所以△=0，所以224410ba ，110b a b a ，解得10a b 或10a b ，∴1是关于x 的方程20x bx a 的根，或-1是关于x 的方程20x bx a 的根；另一方面若1和-1都是关于x 的方程20x bx a 的根，则必有11a b a b，解得1a b ，此时有10a ，这与已知21210a x bx a 是关于x 的一元二次方程相矛盾，所以1和-1不都是关于x 的方程20x bx a 的根，故选D.【知识点】一元二次方程；根的判别式6.（2018河南，7，3分）下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是 （A ）2690x x ++= （B ）2x x = （C ）232x x += （D ）2(1)10x -+= 【答案】B【解析】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式Δ=b 2-4ac;当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根. 选项A ：Δ=b 2-4ac=62-4×1×9=0；选项B ：先将原方程转化为一般式：x 2-x =0，则Δ=b 2-4ac=（-1）2-4×1×0=1>0；选项C ：将原方程转化为一般式：x 2-2x +3=0，则Δ=b 2-4ac=（-2）2-4×1×3= -8 < 0；选项D ：将原方程转化为一般式：x 2-2x +2=0，则Δ=b 2-4ac=（-2）2-4×1×2= -4 < 0.故选项B 正确. 【知识点】一元二次方程根的判别式7. （2018四川凉山州，7，4分）若n （n ≠ 0）是关于x 的方程220x mx n ++=的一个根，则m ＋n 的值是（ ）A.1B.2C.-1D.-2【答案】D【解析】∵n （n ≠ 0）是关于x 的方程220x mx n ++=的一个根，∴220n mn n ++=，∴20n m n ++=()， ∵n ≠ 0，∴20m n ++=，∴2m n +=-.故选择D. 【知识点】方程的根，因式分解. 8. 9. 10.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.37. 38. 39. 二、填空题1.（2018四川泸州，题，3分） 已知1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两实数根，则12112121x x +++的值是 .【答案】6【解析】由韦达定理可得x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，6122)1(42221)(242)(2)12)(12(12122121212121=+⨯+-⨯+⨯=+++++=+++++=x x x x x x x x x x 原式【知识点】韦达定理，分式加减2.（2018山东滨州，17，5分）若关于x ，y 的二元二次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a ，b 的二元一次方程组3()()5,2()()6a b m a b a b n a b +--=⎧⎨++-=⎩的解是___________．【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】根据题意，对比两个方程组得出方程组12a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【知识点】整体思想，二元一次方程组加减消元法3. （2018四川内江，15，5）关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0有实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ≥－4【解析】解：∵关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0有实数根，∴△＝b 2－4ac ＝42－4×1×(－k )≥0，解得k ≥－4．【知识点】一元二次方程根的判别式4. （2018四川内江，22，6）已知关于x 的方程2ax ＋bx ＋1＝0的两根为1x ＝1，2x ＝2，则方程()21a x +＋b (x＋1)＋1＝0的两根之和为 ． 【答案】1【思路分析】将方程()21a x +＋b （x ＋1）＋1＝0中的（x ＋1）换元成y ，原方程化为ay 2＋by ＋1＝0，再由方程2ax ＋bx ＋1＝0的两根为1x ＝1，2x ＝2，可知ay 2＋by ＋1＝0的两根也分别为1和2，将y 换回(x ＋1)就可以求出原方程的两个根，从而得出两根之和．【解题过程】解：令（x ＋1）＝y ，则原方程变形为ay 2＋by ＋1＝0，∵方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为1x ＝1，2x ＝2，∴1y ＝1，2y ＝2，即x ＋1＝1，x ＋1＝2，∴1x ＝0，2x ＝1，∴1x ＋2x ＝1． 【知识点】一元二次方程根与系数关系5. （2018四川绵阳，17，3分） 已知a ＞b ＞0，且0312=-++a b b a ，则ab = 【答案】231+- 【解析】解：由题意得：2b (b-a )+a (b-a )+3ab =0， 整理得：2(a b )2+ab 2-1=0，解答ab =231±-，∵a ＞b ＞0，∴ab =231+-故答案为231+- 【知识点】分式的加减法，解一元二次方程6.（2018山东聊城，13，3分）已知关于x 的方程2(1)230k x kx k --+-=有两个相等的实根，则k 的值是 . 【答案】34【解析】∵关于x 的方程2(1)230k x kx k --+-=有两个相等的实根，∴2(2)4(1)(3)=010k k k k ⎧----⎨-≠⎩，解得34k =. 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程根与系数的关系、一元一次方程的解法7. （2018四川省南充市，第14题，3分）若2(0)n n ≠是关于x 的方程2220x mx n -+=的根，则m n -的值为 ． 【答案】12【解析】解：∵若()02≠n n 是关于x 的方程0222=+-n mx x 的根，∴()022222=+⨯-n n m n ，原方程整理得：02442=+-n mn n ，∴()01222=+-m n n ，∵n ≠0，∴0122=+-m n 即122-=-m n ，∴21=-n m .故答案为：12. 【知识点】一元二次方程的概念；因式分解8. （2018湖南长沙，17题，3分）已知关于x 的方程x 2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为______。

有关分式方程的应用题1．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？2．（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？3.（2019•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？4.（2018年东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．4.（2018年泰安）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．）（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？5（2019•菏泽）列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．6.（2018•菏泽）列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？7（2019济南）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．（1）求A和B两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？8济南2021.24．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？9（2021•青岛）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？10．（2019年青岛市）（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？11.（2017年青岛市）（本小题满分10分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨，下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元日总收入（元）（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变。

2018年广西地区中考数学考题分类汇编【函数与方程类】一．选择题（共8小题）1．（2018•广西）将抛物线y=x2﹣6x+向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5 C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+3解：y=x2﹣6x+=（x2﹣12x）+= [（x﹣6）2﹣36]+=（x﹣6）2+3，故y=（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+3．故选：D．2．（2018•桂林）已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3=0有两个相等的实根，则k的值为（）A．B．C．2或3 D．解：∵a=2，b=﹣k，c=3，∴△=b2﹣4ac=k2﹣4×2×3=k2﹣24，∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，∴k2﹣24=0，解得k=±2，故选：A．3．（2018•贵港）如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，∴点A（﹣2，0）、B（8，0），∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，∴⊙D的面积为25π，故②错误；在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，∴点C（0，﹣4），当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，解得：x1=0、x2=6，所以点E（6，﹣4），则CE=6，∵AD=3﹣（﹣2）=5，∴AD≠CE，∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，∴点M（3，﹣），设直线CM解析式为y=kx+b，将点C（0，﹣4）、M（3，﹣）代入，得：，解得：，所以直线CM解析式为y=﹣x﹣4；设直线CD解析式为y=mx+n，将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：，解得：，所以直线CD解析式为y=x﹣4，由﹣×=﹣1知CM⊥CD于点C，∴直线CM与⊙D相切，故④正确；故选：B．4．（2018•玉林）如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（）A．B．2C．4 D．3解：点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，设C（a，），则B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（负值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，故选：B．5．（2018•桂林）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．在△PAB与△NCA中，，∴△PAB∽△NCA，∴=，设PA=x，则NA=PN﹣PA=3﹣x，设PB=y，∴=，∴y=3x﹣x2=﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，≤x≤3，∴x=时，y有最大值，此时b=1﹣=﹣，x=3时，y有最小值0，此时b=1，∴b的取值范围是﹣≤b≤1．故选：B．6．（2018•玉林）如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+ x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12，∵设x1，x2，x3均为正数，∴点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限，根据对称性可知：x1+x2=8，∵2＜x3≤4，∴10＜x1+x2+x3≤12即10＜t≤12，7．（2018•贺州）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2解：∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．故选：C．8．（2018•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1+2=1，二．填空题（共6小题）9．（2018•广西）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y=（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S=7，k1+3k2=0，则k1等于9 ．△BEF解：设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（﹣a，0）由图象可知，点C（a，），E（﹣a，﹣），D（﹣a，），F（﹣，）矩形ABCD面积为：2a•=2k1∴S△DEF=S△BCF=S△ABE=∵S△BEF=7∴2k1+﹣+k1=7 ①∵k1+3k2=0∴k2=﹣k1代入①式得解得k1=9故答案为：910．（2018•柳州）篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分．若设艾美所在的球队胜x场，负y场，则可列出方程组为．解：设艾美所在的球队胜x场，负y场，∵共踢了8场，∴x+y=8；∵每队胜一场得2分，负一场得1分．∴2x+y=14，故列的方程组为，故答案为．11．（2018•桂林）如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数y=（k＞0）在第一象限的图象交于点E，∠AOD=30°，点E的纵坐标为1，△ODE的面积是，则k的值是3．解：如图，作EM⊥x轴于点M，则EM=1．∵△ODE的面积是，∴OD•EM=，∴OD=．在直角△OAD中，∵∠A=90°，∠AOD=30°，∴∠ADO=60°，∴∠EDM=∠ADO=60°．在直角△EMD中，∵∠DME=90°，∠EDM=60°，∴DM===，∴OM=OD+DM=3，∴E（3，1）．∵反比例函数y=（k＞0）的图象过点E，∴k=3×1=3．故答案为3．12．（2018•梧州）已知直线y=ax（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象一个交点坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是（﹣2，﹣4）．解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（2，4）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣2，﹣4）．故答案为：（﹣2，﹣4）．13．（2018•贵港）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（2n﹣1，0 ）．解：∵直线l为y=x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，∴当x=1时，y=，即B1（1，），∴tan∠A1OB1=，∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，∴OB1=2OA1=2，∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，∴A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，∴点A n的坐标为（2n﹣1，0），故答案为：2n﹣1，0．14．（2018•贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为25 元．解：设利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．三．解答题（共16小题）15．（2018•柳州）如图，一次函数y=mx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（3，1），B（﹣，n）两点．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求n的值及该一次函数的解析式．解：（1）∵反比例函数y=的图象经过A（3，1），∴k=3×1=3，∴反比例函数的解析式为y=；（2）把B（﹣，n）代入反比例函数解析式，可得﹣n=3，解得n=﹣6，∴B（﹣，﹣6），把A（3，1），B（﹣，﹣6）代入一次函数y=mx+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y=2x﹣5．16．（2018•桂林）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意得： +=1，解得：x=60，经检验，x=60是原分式方程的解．答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天．（2）根据题意得：1÷（+）=24（天）．答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天．17．（2018•广西）如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．解：（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3，当x=3时，y=﹣×9+×3+4=5，∴D点坐标为（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC===5，设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴当=时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，即=，解得m=，此时M点坐标为（0，）；当=时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，即=，解得m=，此时M点坐标为（0，）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）连接DN，AD，如图，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），∴DN+AN的最小值==，∴AM+AN的最小值为．18．（2018•柳州）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（，0），B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，且OB=3OA=OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m，当FH=HP时，求m的值；（3）当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．解：（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣），把C（0，﹣3）代入得到a=，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC==，∴∠OAC=60°，∵AD平分∠OAC，∴∠OAD=30°，∴OD=OA•tan30°=1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为y=x﹣1，由题意P（m，m2+m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0），∵FH=PH，∴1﹣m=m﹣1﹣（m2+m﹣3）解得m=﹣或（舍弃），∴当FH=HP时，m的值为﹣．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（﹣，0），H（﹣，﹣2），∵AH⊥AE，∴∠EAO=60°，∴EO=OA=3，∴E（0，3），∵C（0，﹣3），∴HC==2，AH=2FH=4，∴QH=CH=1，在HA上取一点K，使得HK=，此时K（﹣，﹣），∵HQ2=1，HK•HA=1，∴HQ2=HK•HA，可得△QHK∽△AHQ，∴==，∴KQ=AQ，∴AQ+QE=KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值==．19．（2018•广西）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？（2）现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式（不要求写出m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，W的变化情况．解：（1）设甲仓库存放原料x吨，乙仓库存放原料y吨，由题意，得，解得，甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料0吨；（2）由题意，从甲仓库运m吨原料到工厂，则从乙仓库云原料（300﹣m）吨到工厂，总运费W=（120﹣a）m+100（300﹣m）=（20﹣a）m+30000；（3）①当10≤a＜20时，20﹣a＞0，由一次函数的性质，得W随m的增大而增大，②当a=20是，20﹣a=0，W随m的增大没变化；③当20≤a≤30时，则20﹣a＜0，W随m的增大而减小．20．（2018•桂林）如图，已知抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；（2）点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE=11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A，B的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线y的函数表达式y=﹣2x2﹣4x+6，当x=0时，y=6，即C（0，6）；（2）由MA=MB=MC，得M点在AB的垂直平分线上，M在AC的垂直平分线上，设M（﹣1，x），MA=MC，得（﹣1+2）2+x2=（x﹣6）2+（﹣1﹣0）2，解得x=∴若MA=MB=MC，点M的坐标为（﹣1，）；（3）①过点A作DA⊥AC交y轴于点F，交CB的延长线于点D，如图1，∵∠ACO+∠CAO=90°，∠DAO+∠CAO=90°，∠ACO+∠AFO=90°∴∠DAO=∠ACO，∠CAO=AFO∴△AOF∽△COA∴=∴AO2=OC×OF∵OA=3，OC=6∴OF==∴∵A（﹣6，0），F（0，﹣）∴直线AF的解析式为：，∵B（1，0），（0，6），∴直线BC的解析式为：y=﹣6x+6∴，解得∴∴∴tan∠ACB=∵4tan∠ABE=11tan∠ACB∴tan∠ABE=2过点A作AM⊥x轴，连接BM交抛物线于点E ∵AB=4，tan∠ABE=2∴AM=8∴M（﹣3，8），∵B（1，0），（﹣3，8）∴直线BM的解析式为：y=﹣2x+2，联立BM与抛物线，得∴，解得x=﹣2或x=1（舍去）∴y=6∴E（﹣2，6）②当点E在x轴下方时，如图2，过点E作EG⊥AB，连接BE，设点E（m，﹣2m2﹣4m+6）∴tan∠ABE==2∴m=﹣4或m=1（舍去）可得E（﹣4，﹣10），综上所述：E点坐标为（﹣2，6），（﹣4，﹣10）．．（2018•梧州）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．（1）求A、B两种型号电动自行车的进货单价；（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A 型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？解：（1）设A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元（x+500）元．由题意：=，解得x=2500，经检验：x=2500是分式方程的解．答：A、B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元3000元．（2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30），（3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000，∵﹣200＜0，20≤m≤30，∴m=20时，y有最大值，最大值为11000元．22．（2018•贵港）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．解：（1）当x=6时，n=﹣×6+4=1，∴点B的坐标为（6，1）．∵反比例函数y=过点B（6，1），∴k=6×1=6．（2）∵k=6＞0，∴当x＞0时，y随x值增大而减小，∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．23．（2018•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣与x轴交于A（1，0）、B（6，0）两点，D是y轴上一点，连接DA，延长DA交抛物线于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）若E点在第一象限，过点E作EF⊥x轴于点F，△ADO与△AEF的面积比为=，求出点E的坐标；（3）若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M、N两点，是否存在点D，使DA2= DM•DN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣；（2）∵EF⊥x轴于点F，∴∠AFE=90°．∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE，∴△AOD∽△AFE．∵==，∵AO=1，∴AF=3，OF=3+1=4，当x=4时，y=﹣×42+×4﹣=，∴E点坐标是（4，），（3）存在点D，使DA2=DM•DN，理由如下：设D点坐标为（0，n），AD2=1+n2，当y=n时，﹣x2+x﹣=n化简，得﹣3x2+x﹣18﹣4n=0，设方程的两根为x1，x2，x1•x2=DM=x1，DN=x2，DA2=DM•DN，即1+n2=，化简，得3n2﹣4n﹣15=0，解得n1=，n2=3，∴D点坐标为（0，﹣）或（0，3）．24．（2018•贵港）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意得：，解得：．答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．（2）∵要使每位学生都有座位，∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5﹣1=4辆．220×6=1320（元），300×4=1200（元），∵1320＞1200，∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．25．（2018•玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，解得k＞﹣3；（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．26．（2018•贵港）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析式为y=kx+b，将B，C的坐标代入函数解析式，得，解得，BC的解析式为y=x﹣3，设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，当n=时，PM最大=；②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=n2=0（不符合题意，舍），n3=2n2﹣2n﹣3=﹣3，P（2，﹣3）．当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣7（不符合题意，舍），n3=2，n2﹣2n﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，P（2，﹣3）；综上所述：P（2，﹣3）．27．（2018•玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．（1）求二月份每辆车售价是多少元？（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？解：（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据题意得：=，解得：x=900，经检验，x=900是原分式方程的解．答：二月份每辆车售价是900元．（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，解得：y=600．答：每辆山地自行车的进价是600元．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D 两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把C点坐标代入函数解析式，得a（0+3）（0﹣1）=3，解得a=﹣1，抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，∴=，∴EF===×（﹣t2﹣2t+3）=2（1﹣t）；又∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴=，∴EG===2（t+3），∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．29．（2018•贺州）某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？解：（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，根据题意得：，解得：．答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1500元/辆．（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，根据题意得：260（130﹣m）+1500m≤58600，解得：m≤20．答：至多能购进B型车20辆．30．（2018•玉林）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y =c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．解：（1）当y=c时，有c=﹣x2+bx+c，解得：x1=0，x2=b，∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c）．∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b．∵△PCB≌△BOA，∴BC=OA，CP=OB，∴b=3，c=4，∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．（2）当y=0时，有﹣x2+3x+4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴点F的坐标为（4，0）．过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示．∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，∴S=OA•ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5．∵﹣＜0，0≤m≤4，∴当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5．（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA．设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=，∴n2=（n﹣3）2+16，解得：n=，∴点D的坐标为（，0）．设直线PD的解析式为y=kx+a（k≠0），将P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，，解得：，∴直线PD的解析式为y=﹣x+．联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，．∴点M的坐标为（，）．综上所述：满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．。

2018年中考数学知识点总结:一元二次方程
1、一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

3、一元二次方程的解法
①、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b ②、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

③、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：④、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

知识点07 一次方程（组）及其应用一、选择题1. （2018山东省淄博市，4，4分） 若单项式a m -1b 2与12a 2b n 的和仍是单项式，则n m的值是 （A ）3 （B ） 6 （C ）8 （D ）9 【答案】C【解析】由题意可知两个单项式是同类项，其相同字母的指数相同，所以可以利用指数相同列出关于m 和n 的方程，求出m 、n ，进而求出结果. 【知识点】同类项；一元一次方程；幂的运算2. （2018天津市，8，3）方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．64x y =⎧⎨=⎩ B ．56x y =⎧⎨=⎩ C. 36x y =⎧⎨=⎩ D ．28x y =⎧⎨=⎩【答案】A【解析】分析：本题考查了二元一次的解法，根据系数的特点用加减消元法解方程组即可． 解：②﹣①得到x=6，把x=6代入①得到y=4，∴⎩⎨⎧==46y x ，故选A ．【知识点】二元一次方程组；加减消元法；二元一次方程组的解3. （2018浙江杭州，6，3分）某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道得+5，每答错一题得-2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则（ ）A. 20x y -=B. 20x y +=C. 5260x y -=D. 5260x y += 【答案】C【解析】答对得分：5x 分，答错得分-2y 分，不答得分0分，共得分60分，则5260x y -= 【知识点】二元一次方程组的应用4. （2018浙江温州，8，4）. 学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满.设49座客车x 辆，37座客车y 辆，根据题意可列出方程组（ ）A.104937466+=⎧⎨+=⎩x y x y B.103749466+=⎧⎨+=⎩x y x yC.466493710+=⎧⎨+=⎩x y x yD.466374910+=⎧⎨+=⎩x y x y【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，得x+y=10,49x+37y=466故选A 【知识点】二元一次方程组的应用1. （2018四川遂宁，3，4分） 二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+422y x y x 的解是（ ）A ．⎩⎨⎧==20y xB ．⎩⎨⎧==02y xC ．⎩⎨⎧-==13y xD ．⎩⎨⎧==11y x【答案】B.【解析】解：⎩⎨⎧=-=+②42①2y x y x①+②，得x =2，把x =2代入①，得y =0，所以方程组的解为⎩⎨⎧==02y x .故选B.【知识点】加减消元法解二元一次方程组2. （2018广东广州，8，3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得：（ ）A ．()()11910813x yy x x y =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩B ．10891311y x x yx y+=+⎧⎨+=⎩C ．()()91181013x y x y y x =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩D ．()()91110813x y y x x y =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩【答案】D【解析】题中有两个相等关系：9枚黄金的重量＝11枚白银的重量，8枚黄金的重量＋1枚白银的重量＋13两＝10枚白银的重量＋1枚黄金的重量．依题意，可得()()91110813x y y x x y =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩，故答案为D ．【知识点】二次一次方程组的应用3. （2018河北省，7，3） 有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等．现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）【答案】A【解析】设立方体的质量为x，圆柱体的质量为y，球体的质量为z．假设四个选项都是正确的，则有A中2x＝3y,B中x＋2z＝2y＋2z，C中x＋z＝2y＋z,D中2x＝4y．观察对比可知A选项和另外三个选项是矛盾的，故选A．【知识点】等式的性质4.（2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，8，5）某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．3201036x yx y-=⎧⎨+=⎩B．3201036x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3201036y xx y-=⎧⎨+=⎩D．3 102036x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】B．【解析】根据“文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元”，得x＋y＝3；根据“20本练习本和10支水笔，共花了36元”，可得20x＋10y＝36，因此选B．【知识点】二元一次方程组的应用5. （2018福建A卷，8，4）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是 ( )A．5152x yx yì=+ïí=-ïîB.5152x yx yì=-ïí=+ïîC.525x yx yì=+ïí=-ïîD.525x yx yì=-ïí=+ïî【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”，可得x=y+5；再根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，可列得方程152x y=-.所以符合题意的方程组是515 2x yx yì=+ïí=-ïî.【知识点】二元一次方程组的实际应用6.（2018福建B卷，8，4）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是 ( )A．5152x yx yì=+ïí=-ïîB.5152x yx yì=-ïí=+ïîC.525x yx yì=+ïí=-ïîD.525x yx yì=-ïí=+ïî【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”，可得x=y+5；再根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，可列得方程152x y=-.所以符合题意的方程组是515 2x yx yì=+ïí=-ïî.【知识点】二元一次方程组的实际应用7. （2018广东省深圳市，9，3分）某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有x 个，小房间有y 个.下列方程正确的是( )A ．7086480x y x y +=+=⎧⎨⎩B ．7068480x y x y +=+=⎧⎨⎩C ． 4806870x y x y +=+=⎧⎨⎩D ．4808670x y x y +=+=⎧⎨⎩【答案】A ．【思路分析】根据题意找出等量关系：大房间＋小房间＝70间，大房间住的人数＋小房间住的人数＝480人，房间总人数＝房间数×每间住的人数．【解析】解：由“旅店一共70个房间”可得x ＋y ＝70，由“大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满”可,8x ＋6y ＝480，故选A ． 【知识点】二元一次方程组的应用8. （2018湖北荆州，T6，F3）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载:“今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五,直金八两问牛，羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛,2只羊，值金10两;2头牛,5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两?”若设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两，则可列方程组为（ ）A ．5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．5210258x y x y -=⎧⎨-=⎩ C.5210258x y x y +=⎧⎨-=⎩ D ．5282510x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】设每牛值金x 两，每只羊值金y 两，由题意，得⎩⎨⎧=+=+8521025y x y x ．故选择A ．【知识点】二元一次方程组的实际应用---销售、利润问题9.（2018河南，6，3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱；若每人出7钱,还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人,羊价为y 钱,根据题意,可列方程组为（A ）545,73y x y x =+⎧⎨=+⎩（B ）545,73y x y x =-⎧⎨=+⎩ （C ）545,73y x y x =+⎧⎨=-⎩ （D ）545,73y x y x =-⎧⎨=-⎩【答案】A【解析】本题已经设出未知数x 表示合伙人的人数，y 表示羊价的钱数；由“若每人出5钱,还差45钱”可以表示出羊价为y =5x +45；由“若每人出7钱,还差3钱”可以表示出羊价为y =7x +3；故选项A 正确.【知识点】二元一次方程组的应用10. （2018·北京，3，2）方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为 （ ）A ．12x y =-⎧⎨=⎩ B ．12x y =⎧⎨=-⎩ C ．21x y =-⎧⎨=⎩ D ．21x y =⎧⎨=-⎩【答案】D ．【解析】方程②－①×3，得－5y ＝5， y ＝－1，并代入①，得x ＋1＝3，x ＝2．故原方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩，因此选D ． 【知识点】二元一次方程的解法11. （2018山东省泰安市，6，3）夏季来临，某超市试销A 、B 两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A 型风扇每台200元，B 型风扇每台150元，问A 、B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A 型风扇销售了x 台，B 型风扇销售了y 台，则根据题意列出方程组为（ ）A ．530020015030x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．530015020030x y x y +=⎧⎨+=⎩C．302001505300x yx y+=⎧⎨+=⎩D．301502005300x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．由等量关系列出二元一次方程组．本题的相等关系一：、两种型号的风扇，两周内共销售30台；相等关系二：销售的A、B 两种型号D的30台共收入5300元，由此可列出方程组．解：设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，由题意，得302001505300x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选择C．【知识点】二元一次方程组的实际应用——销售、利润问题.二、填空题1. （2018江苏无锡，14，3分）方程组225x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是 .【答案】31 xy=⎧⎨=⎩【解析】225x yx y-=⎧⎨+=⎩①②，②-①得3y=3，∴y=1.把y=1代入①，得x-1=2，解得x=3.∴原方程组的解是31 xy=⎧⎨=⎩.【知识点】二元一次方程组的解法2. （2018年山东省枣庄市，13，4分）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==b y ax ，则=-b a .【答案】74【解析】方法一：解方程组得19858x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即195,88a b ==，74a b -=，故填74。

一、方程和方程的解的概念 1．等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2．方程含有未知数的等式叫做方程． 3．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 二、一元一次方程及其解法 1．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．学+科网注意：x 前面的系数不为0． 2．一元一次方程的解使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．三、二元一次方程（组）及解的概念 1．二元一次方程含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 5．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．学*科网 四、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题； （2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程； （4）解方程（组）； （5）检验结果；（6）作答(不要忽略未知数的单位名称）． 2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润=售价－成本价；利润率＝利润成本×100％；售价＝标价×折扣；销售额＝售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利率×期数)；贷款利息＝贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程＝速度×时间．（5）相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程＝追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 五、一元二次方程的概念 1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一般形式20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程，②必须只含有一个未知数，③所含未知数的最高次数是2． 六、一元二次方程的解法 1．直接开平方法适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程． 2．配方法（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3．公式法（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=； （2）确定,,a b c 的值； （3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可．4．因式分解法基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=． 七、一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根． 3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．八、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容． 1．增长率等量关系（1）增长率＝增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=． 2．利润等量关系（1）利润＝售价－成本． （2）利润率＝利润成本×100％． 3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．图1图2 图3九、分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数；②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答．考向一 一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是0ax b +=（,a b 是常数且0a ≠）．典例1 下列方程中，是一元一次方程的是A ．243x x -=B ．0x =C ．21x y +=D ．11x x-=【答案】B1．若方程270a x --=是一元一次方程，则a 等于 A ．3-B ．3C ．3±D ．02．已知下列方程：①32x x-=；②0.411x =；③512x x =-；④243y y -=；⑤0t =；⑥21x y +=．其中一元一次方程的个数是 A ．2B ．3C ．4D ．5考向二 解一元一次方程解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1．典例2 方程122x -=的解是 A ．14x =-B ．4x =-C ．14x =D ．4x =【答案】A【解析】将方程122x -=系数化1可得14x =-．故选A ． 【名师点睛】此方程比较简单，这是一个系数不为1的方程，将系数化为1，就可得到该方程的解．解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是使方程接近x a =（a 为常数）的形式．3．方程240x a +-=的解是2x =-，则a = A ．－8B ．0C ．2D ．84．如果230a +=，那么a 的值是 A ．32B ．32-C ．23D ．23-考向三 一元一次方程的应用列方程解实际应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； （2）设：恰当设出关键未知数； （3）列：找出适当等量关系，列方程； （4）解：解方程；（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义； （6）答：规范作答，注意单位名称．典例3 整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时．现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？【答案】先安排整理的人员有10人．【名师点睛】解决本题的关键是得到工作量1的等量关系；易错点是得到相应的人数及对应的工作时间．5．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店 A ．不赔不赚B ．赚了10元C ．赔了10元D ．赚了50元6．公园门票价格规定如下表：某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人． 经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： （1）两班各有多少学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？考向四 二元一次方程（组）的定义（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程． （2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．典例4 下列方程中，是二元一次方程的是 A ．345x y z +=B ．20xy +=C ．231y x+=D ．142y x -=【答案】D典例5 下列方程中，是二元一次方程组的是A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩C ．245x x y ⎧=⎨+=⎩D ．75x y xy +=⎧⎨=⎩【答案】A【解析】根据定义可以判断：A 、4237x y x y +=⎧⎨+=⎩，满足要求；B 、23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩中含有a ，b ，c ，是三元方程；C 、245x x y ⎧=⎨+=⎩中含有2x ，是二次方程；D 、275x y x y +=⎧⎨-=⎩中含xy ，是二次方程．故选A ．【名师点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程．7．下列方程组中是二元一次方程组的是A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩CD8．若33125m n x y --=﹣是二元一次方程，则m =_______________，n =_______________．考向五 解二元一次方程组二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法．典例6 方程组3142x y y x +==⎧⎨⎩的解是_______________．【答案】24x y =⎧⎨=⎩【解析】3142x y y x +==⎧⎨⎩①②，把②代入①得614x x +=，解得2x =， 把2x =代入②得4y =，故方程组3142x y y x +==⎧⎨⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩．故填24x y =⎧⎨=⎩．典例7 方程组23738x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是_______________．【答案】51x y =⎧⎨=-⎩【解析】23738x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，用①＋②得315x =，即5x =，把5x =代入②得538y -=，解得1y =-，所以方程组23738x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=-⎩，故填51x y =⎧⎨=-⎩．9．二元一次方程组21328x+yx y=⎧⎨-=⎩的解为_______________．10．已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组51ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a b-=_______________．考向六二元一次方程组的应用由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤：①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．典例8 母亲节那天，很多同学给自己的妈妈准备了鲜花和礼盒，由图中信息可知一束鲜花的价格是_______________元．学科+网【答案】15【解析】设一束鲜花x元，一个礼盒y元，由题意可得2552390x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得1520xy=⎧⎨=⎩，所以一束鲜花15元．故填15．11．如图，三个全等的小矩形沿“横-竖-横”排列在一个边长分别为5.7、4.5的大矩形中，则图中一个小矩形的周长等于_______________．12．如图所示，天平中各个正方体的质量相同、各个球的质量相同，若使两架天平都平衡，则下面天平右端托盘上正方体的个数为_______________．考向七 解一元二次方程一元二次方程的常见解法及适用情形：典例9 若2x =-是关于x a 的值为_______________． 【答案】1或4-【解析】因为2x =-是关于x2340a a +-=，整理得1)40()(a a +-=， 解得14a =-，21a =．故a 的值是1或4-．13．一元二次方程23830x x +-=的解是_______________． 14．方程()11x x x +=+的解是_______________．考向八 一元二次方程的判别式对于方程2(0)0ax bx c a ++=≠，24b ac ∆=-，①若∆>0，方程有两个不相等的实数根；②若∆=0，方程有两个相等的实数根；③若∆<0，方程没有实数根．典例10 有两个一元二次方程：①20ax bx c ++=，②20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下四个结论中，错误的是A ．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根B ．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是1x =C ．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根 D ．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异 【答案】B15A ．只有一个根B ．有两个不等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无实数根16．若方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________．考向九 根与系数关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．典例11 如果1x ，2x 是一元二次方程2650x x --=的两个实根，那么2212x x +=_______________． 【答案】46【解析】由根与系数关系，可得126x x +=，125x x =-，则222121212()2365246x x x x x x +=+-=+⨯=．17．设α，β是方程2210x x --=的两根，则代数式αβαβ++的值是A ．1B ．1-C ．3D ．3-18．如果2是方程230x x k -+=的一个根，则此方程的另一根为A ．2B ．1C ．1-D ．2-考向十 一元二次方程在实际问题中的应用列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．典例12 某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是_______________． 【答案】25％【解析】设药品平均每次降价的百分率是a ，则由题意可得243(616)a -=，25％．19．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有 A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人20．在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有x 人，则可列方程_______________．考向十一 解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．典例13 A ．357()2x x -+=- B ．67()52x x x -+= C ．67()52x x x -+=-D ．6572x x x -+=-【答案】C【解析】方程两边同乘以2x 得，67()52x x x -+=-．故选C ．【名师点睛】本题主要考查分式方程的解法，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 典例14 方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =， 检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解．故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．21．若关于x 的方程21111a x x -=++有增根，则a 的值为A ．－12B ．12C ．2D ．2-22．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a 的值为A ．1B ．3C ．1-D ．3-23．解下列方程：（1）1233x x x =+--； （2）2316111x x x +=+--． 考向十二 分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．典例15 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+B ．2010154x x -=+C ．201015x x+=D ．201015x x-= 【答案】A典例16 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400解得 2.5x =元．故选B ．24．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x 千米/时，则可列出的方程为A ．906022x x =+- B ．906022x x =-+ C ．90602x x+=D ．60902x x+= 25．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程300030001510x x-=-．根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成26．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A ，B 两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B 商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A 商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为 A ．117元 B ．118元C ．119元D ．120元1．已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是 A ．352a b -=B ．3126a b +=+C ．325ac bc =+D ．2533a b =+2．若关于x A ．6x =B ．5x =C ．4x =D ．3x =3．已知方程521m n -=，当m 与n 相等时，m 与n 的值分别是A ．22m n =⎧⎨=⎩B ．33m n =-⎧⎨=-⎩C ．11m n =-⎧⎨=-⎩D4．若关于x 的一元二次方程22(2)520m x x m m -++-=的常数项为0，则m 的值为 A ．1B ．2C ．0或2D ．05．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为 A ．120元B ．100元C ．80元D ．60元6．若分式方程3211x mx x =+++无解，则m = A ．1-B ．3-C ．0D ．2-7．如果x my n =⎧⎨=⎩是方程20x y +=的一个解（0m ≠），那么A ．0m ≠，0n =B ．m ，n 异号C ．m ，n 同号D ．m ，n 可能同号，也可能异号8．方程230x x -=的解是 A ．3x =B ．10x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．11x =，23x =9．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为 A ．2212100x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．226100x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．2224100x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．2212200x y x y +=⎧⎨-=⎩10．设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则12x x +=A ．5B ．5-C ．3D ．3-11．小林在某商店两次购买商品A ，B ，购买商品A ，B 的数量和费用如下表：则商品A ，B 的标价分别是 A ．60元，90元 B ．90元，60元 C ．90元，120元D ．120元，90元12．2017年某市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2019年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为 A ．10%B ．8%C ．1.21%D ．12.1%13．若关于x 的方程233x mx x -=--有正数解，则 A ．0m >且3m ≠ B ．6m <且3m ≠ C ．0m <D ．6m >14．一元二次方程2210x x --=的根的情况为A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根15．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为A ．10801080615x x =+- B ．10801080615x x =-- C ．10801080615x x=-+D ．10801080615x x=++ 16．若关于x 的一元二次方程20x bx c -+=的两个实数根分别为2和4-，则b c +=A ．10-B ．10C ．6-D ．1-17．要使45x x --的值和424xx--的值互为倒数，则x 的值为 A ．0 B ．1- C ．12D ．118．已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m +--=有实数根，则m 的取值范围是A ．1m >B ．1m <C ．1m ≥D ．1m ≤19．若关于x 的方程3111k x x=---有增根，则k 的值为 A ．3B ．1C ．0D ．1-20．炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x 台，根据题意，列出方程_______________． 21．已知关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个相等的实数根，则m 的值是_______________． 22．若方程13323m n x y --+=是关于x ，y 的二元一次方程，则m =____________，n =____________． 23．解方程33122x x x-+=--的结果是_______________． 24．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A 港和B 港相距_______________千米．25．已知234||x y -+与25)2(x y -+互为相反数，则2017()y x -=_______________．26．为了拓展销路，商店对某种照相机的售价做了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，问该照相机的原售价是_______________元． 27．若关于x 的分式方程322x ax -=-的解为正数，那么字母a 的取值范围是_______________． 28．已知关于x 的一元二次方程2210ax x +-=无实数根，则a 的取值范围是_______________． 29．如果关x 的方程51763x -=与81142||22x x m -=++的解相同，那么m 的值是_______________． 30．有三个家庭团队结伴到一景区游玩，一号家庭团队有3个成年人和4个小孩参加，共交费150元，二号家庭团队有2个成年人和1个小孩参加，共交费75元，按照这样的收费标准，三号家庭团队有3个成年人和3个小孩参加，所需的费用为_______________元． 31．当x =_______________时，23x -与543x +的值互为倒数． 32．若二元一次方程组232x y m x y m+=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m 的值为_______________．33．在某年全国足球甲级A 组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，设该队共胜了x 场，则（1）该队平了_______________场（用含x 的式子表示）；（2）按比赛规则，该队胜场共得_______________分（用含x 的式子表示）； （3）按比赛规则，该队平场共得_______________分．34．已知直角三角形两边的长是方程218650x x -+=的两个根，则第三边的长为_______________．35．若关于x a 的取值范围是_______________． 36．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？37．解下列方程：（1）10(1)2x -=； （2）7151322324x x x -++-=-； （3）2(2)3(41)9(1)y y y +--=-； （4）0.89 1.33511.20.20.3x x x --+-=．38．已知关于x的方程28120++-=有两个不相等的实数根．x x a（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．39．某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？（2）请你帮学校设计出所有的租车方案；（3）若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的方案，并求出最省租金．40．解下列方程：（1）2235()x -=； （2）22330x x --=； （3）2()330x x --+=．41（1 （2）2111x x =---．42．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？1．（2017•南充）如果30a+=，那么a的值是A．3B．3-C．13D．13-2．（2017•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是A．2-B．2C．3D．3-3．（2017•衢州）二元一次方程组632x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解是A ．51x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．51x y =-⎧⎨=-⎩D ．42x y =-⎧⎨=-⎩4．（2017•绵阳）关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，则m n 的值为 A ．8-B ．8C ．16D ．16-5．（2017•河南）解分式方程13211x x-=--，去分母得 A ．12(1)3x --=-B ．12(1)3x --=C ．1223x --=-D ．1223x -+=6．（2017•天津）方程组⎩⎨⎧=+=1532y x xy 的解是A ．⎩⎨⎧==32y xB ．⎩⎨⎧==34y xC ．⎩⎨⎧==84y xD ．⎩⎨⎧==63y x7．（2017•广东）如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为 A ．1B ．2C ．1-D ．2-8．（2017•十堰）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每小时做x 个零件，下面所列方程正确的是A ．90606x x =- B ．90606x x =+ C ．90606x x=-D ．90606x x=+ 9．（2017•无锡）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是 A ．20%B ．25%C ．50%D ．62.5%10．（2017•河南）一元二次方程22520x x --=的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根11．（2017•滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是 A ．(22162)7x x =-B ．(16222)7x x =-C ．2162227()x x ⨯=-D ．2221627()x x ⨯=-12．（2017•嘉兴）用配方法解方程2210x x +-=时，配方结果正确的是A ．2(2)2x +=B ．2(1)2x +=C ．2(2)3x +=D ．2(1)3x +=13．（2017•广州）关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是A ．16q <B ．16q >C ．4q ≤D ．4q ≥14．（2017•苏州）关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为A ．1B ．1-C ．2D ．2-15．（2017•黔东南州）分式方程133(11)x x x =-++的根为A ．1-或3B ．1-C ．3D ．1或3-16．（2017•黔东南州）已知一元二次方程2210x x --=的两根分别为1x ，2x ，则1211x x +的值为A ．2B ．1-C ．12-D ．2-17．（2017•西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小时，根据题意可列出方程为A ．1.2 1.216x += B ．1.2 1.2162x += C ．1.2 1.2132x +=D ．1.2 1.213x+= 18．（2017•东营）若244||x x -+x y +的值为A ．3B ．4C ．6D ．919．（2017•成都）已知3x =是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为 A ．1-B ．0C ．1D ．2。