中考数学压轴题解题策略(3)直角三角形的存在性问题解题策略(最新整理)

xyABC O1、 知识内容：在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。

另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、 解题思路：（1） 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2） 计算出相应的边长等信息；（3） 根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．【例1】 如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直 角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．直角三角形的存在性问题一：以函数为背景的直角三角形问题【例2】 在平面直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A （1-，0）和点B （0，3），顶点为P ． （1）求二次函数解析式及点P 的坐标；（2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标．ABCDOPxy ABCDE1、 解题思路：（1） 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2） 运用相似/全等、勾股定理等方法，计算出相应的边长．【例3】 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA = 4，OC = 2．点P 从点O 出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接DP 、DA ． （1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标；（2）在点P 从O 向A 运动的过程中，DPA ∆能否成为直角三角形？若能，求t 的值．若 不能，请说明理由．【例4】 如图，在ABC ∆中，CA = CB ，AB = 8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，联结CE 、DE ． （1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当ACF ∆为直角三角形时，求AD 的长； （3）联结AE ，当ADE ∆是直角三角形时，求AD 的长．二：以几何为背景的直角三角形问题AB CDEFGP【例5】 如图，已知ABC ∆为等边三角形，AB = 6，点P 是AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在ABC ∆内作正方形DEFG ，其中D 、E 在BC 上，F 在AC 上．（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 与x 的函数关系式及定义域； （2）当BP = 2时，求CF 的长；（3）GDP ∆是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由．ABCDEP Q 【例6】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4 cm ，BC = 5 cm ，点D 在BC 上，并且CD =3 cm ．现有两个动点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25 cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动．过点P 作PE // BC 交AD 于点E ，联结EQ ．设动点运动时间为x （s ）． （1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度； （2）当x 为何值时，EDQ ∆为直角三角形．。

中考专题（二） 直角三角形的存在性问题探究一、专题攻略1、解直角三角形存在性问题，一般分三步，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．2、一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．3、有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．4、解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．5、如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．6、在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．7、怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．二、例题解析例1：（可以按照直角的顶点分类）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝45．D 、E 为线段BC 上的两个动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值．例2： （可以按照斜边分类）如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．4=MN 1=MA 1>MB例3：（以线段AB 为分类标准）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．练习1、如图，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．练习2、如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点 E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．练习3、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．练习4：如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点. （1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.练习5：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考专题讲解：直角三角形的存在性问题 一、学习目标1.经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧2.体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性二、课前准备1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为2.如图，A(0，4),C （4,0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为三、探究理解如图，A(0，1)，C(4，3)是直线121+=x y 上的两点，点P 是x 轴上的一个动点，问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标.问题：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 针对直角顶点进行分类（2）一般会有几种情况？ 3种（3）分类时候需要做什么？ 画图（4）解题有那些方法？（5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点总结：直角三角形的存在性问题的解题策略：四、反馈练习1.如图，点O （0,0），A(1，2),若存在格点P ，使△APO 为直角三角形， 则点P 的个数有 个2.在△ABC 中，∠C=900，AC=8 cm,BC=6 cm ，动点P 、Q 分别同时从点A 、B 出发，其中点P 在线段AB 上向点B 移动，速度是2 cm/s,点Q 在线段BC上向点C 运动，速度为1cm/s ，设运动时间为t s,当t= 时，△BPQ 是直角三角形.3.如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4,MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB=x.若△ABC 为直角三角形，(1)求x 的值.（2）x 的取值是多少.五、链接中考如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0,8），点C 的坐标为（6,0）.抛物线834942++-=x x y 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ，Q 是AC 上一点，且AQ=5.请问在抛物线对称轴l 上是否存在点F ，使得△FDQ 为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由六、课堂小结直角三角形的存在性问题解题策略分类画图（1）角：构造相似三角形解题 （2） 边：勾股定理（3）函数：k 1·k 2=-1六、课后练习在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1,0），如图所示，B 点在抛物线221212-+=x x y 图像上，过点B 作BD ⊥X 轴，垂足为D ，且B 点的横坐标为-3.(1)求证：△BDC ≌△COA(2)求BC 所在直线的函数关系式（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例1、 如图1-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝45．D 、E 为线段BC 上的两个动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值．图1-1【解析】△BDF 中，∠B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况．如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了． 如图1-2，作AH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 是BC 的中点．在Rt △ABH 中，AB ＝10，cos ∠B ＝45，所以BH ＝8．所以BC ＝16． 由EF //AC ，得BF BE BA BC =，即31016BF x +=．所以BF ＝5(3)8x +．图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3，当∠BDF ＝90°时，由4cos 5BD B BF ∠==，得45BD BF =． 解方程45(3)58x x =⨯+，得x ＝3．②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ． 例2、 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成 △ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ． 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x （如图2-2）． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x （如图2-3）． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．图2-2 图2-3例3、 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x+=．解得x =P (2,2)．图3-2 图3-3 方法二：由勾股定理，得P A 2＋PB 2＝AB 2．解方程2222222(2)()(2)()4x x x x+++++=，得x = 方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．解方程22()(2)(2)x x x=+-，得x =图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点（如图3-5）．例4、 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A 、B 两点分别画AB 的垂线，各有1个点Q ．和例题3不同，以AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A (1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B (3,0)．设OQ 的长为m ．分三种情况讨论直角三角形ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BO QH OQ HA =．所以341m m -=． 解得m ＝1或m ＝3．所以Q (0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QH AG HA GB =．所以4214m -=． 解得72m =．此时7(0,)2Q -． ③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AG BM GB MQ =．所以243m =． 解得32m =．此时3(0,)2Q ．图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A (1,－4)、B (3,0)，设Q (0, n )，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例5、 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l 的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6． 如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=． 设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．图5-2例6、 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D 了．（1）如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么A H ＝BH ＝4．在Rt △ACH 中，AH ＝4，4cos 5A ∠=，所以AC ＝5，CH ＝3． （2）①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是AB 的中点，AF ＝4，CF ＝3． 在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，4cos 5E ∠=，所以52DE =．此时52AD DE ==． ②如图6-4，当∠ACF ＝90°时，∠ACD ＝45°，那么△ACD 的条件符合“角边角”． 作DG ⊥AC ，垂足为G ．设DG ＝CG ＝3m ，那么AD ＝5m ，AG ＝4m ．由CA ＝5，得7m ＝5．解得57m =．此时2557AD m ==．图6-2 图6-3 图6-4 （3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5 图6-6。

压轴题一：两招破解因动点产生的的直角三角形难题一、问题导读因动点产生的直角三角形问题是中考试卷的考查热点，解决这类问题时，我们常常需要分情况讨论，即究竟哪个角是直角。

具体解题策略分类说明如下。

二、典例精析类型1.两动点或三动点形成的直角三角形重要策略：分角讨论法：讨论直角三角形的时候，如果能设出或明确出三角形三个顶点坐标，可利用两点间距离公式分别求出三角形三边长，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

涉及到的知识点有：全等；相似倒角；函数交点；两一次函数斜率之积为-1等知识求解；例1.（2018秋梁子湖区期末）如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣1/2x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①把二次函数表达式化为顶点式表达式，即可求解；②不存在．理由如下：设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣1/2m2+m+4），PD＝﹣1/2m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣1/2m2+2m，当四边形MNPD为平行四边形，则：1/2m2+2m＝3/2，解得：m＝1，则：点P（3，1），由N（1，3），则由两点间距离公式可得：PN＝2√2≠MN，即可求解；（2）分∠BDP＝90°或∠PBD＝90°两种情况，求解即可．【解答】（1）①y＝﹣1/2x2+x+4＝﹣1/2（x﹣1）2+9/2，∴顶点M的坐标为（1，9/2），当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，∴点N的坐标为（1，3）；②不存在．理由如下：MN＝9/2﹣3＝3/2，设点P 的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣1/2m2+m+4），PD＝﹣1/2m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣1/2m2+2m，∵PD∥MN．∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣1/2m2+2m＝3/2，解得：m＝1或3（m＝1舍去），∴点P（3，1），由N（1，3），∴则由两点间距离公式可得PN＝2√2≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形，即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），∴抛物线的表达式为：y＝﹣1/2x2+x+4；②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形，则PD＝2xP＝4，∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：16a+4b+c=0, c=4, 4a+2b+c=6，解得：a=-1,b=3,c=4，故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．。

中考数学几何压轴题解题技巧
中考数学几何压轴题通常比较难,需要有一定的数学基础和思维能力。

以下是一些中考数学几何压轴题解题技巧:
1. 熟悉几何图形的特性:在解决几何压轴题时,要对一些特殊的形状和性质进行记忆和识别,例如平行线的性质、垂直线的性质、三角形的判定和性质等。

2. 理解空间观念:几何压轴题通常涉及到空间问题,因此要具备良好的空间观念,例如理解向量的概念、理解点、线、面之间的关系等。

3. 运用基本定理:解决几何压轴题时,需要运用一些基本定理,
例如相似三角形定理、勾股定理、三角函数等。

4. 化简和化归:在解决几何压轴题时,常常需要进行化简和化归,将复杂的问题转化为更简单的形式,从而更容易解决问题。

5. 寻找关键信息:几何压轴题通常需要寻找一些关键信息,例如对称性、三角形的重心、垂心、内心、外心等。

6. 画图辅助思考:在解决几何压轴题时,画图可以更加直观地理
解问题,帮助你找到解决问题的方法。

7. 多练习:最后,多练习是必要的。

通过大量的练习,你可以加深对几何图形的理解和记忆,提高解决问题的能力。

总之,几何压轴题需要理解和掌握几何图形的特性、运用基本定理、化简和化归、寻找关键信息、画图辅助思考以及多练习等方法,才能有效地解决问题。

中考专题讲解：直角三角形的存在性问题解题策略有关直角三角形的存在性问题，一般都是放在平面直角坐标系中和抛物线结合起来考察，这种题的解法套路一般都是固定的，在学习的过程中只需要牢固掌握直角三角形存在的基本模型：两线一圆，多加练习，这类问题就可以轻松掌握。

一、模型讲解“两线一圆”模型：在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题时，通常是以直角顶点作为分类标准，如下图，分别以点A、点B、点M为直角定点来构造直角三角形，然后根据相关条件来进行求解即可。

已知:定点A(2，1)、B(6，4)和动点M(m，0)，存在直角三角形。

具体有以下三种情况：（1）过点A作直线AM垂直AB，交x轴于点M；（2）过点B作直线BM垂直AB，交x轴于点M；（3）根据直径所对的圆周角为90度，以AB为直径作圆，交x轴的点即为满足条件的点M（一般情况下有两个交点，特殊情况下只有一个交点），然后根据相关条件来进行求解即可。

作出图形后，具体求解方法有三种：方法一：“K型”图（有的叫“一线三等角”），三角形相似易得△ACM∽△BEA，求得CM，从而求出点M的坐标。

易得△AEB ∽△BFM求得BF，从而得M的坐标方法二：勾股定理∵BH²=BG²-GH² ∵AC²+CM²=AM²BH²=BM²-HM² MD²+BD²=BM²∴BG²-GH² =BM²-HM² AM²+BM²=AB²∴AC²+CM²+MD²+BD²=AB²方法三：解析法（来源于高中的解析几何，虽然有点超纲，但是很多老师都教学生这种方法）K AB ·K AM =-1，直线BM 与x 轴的交点即为M 。

K AB ·K BM =-1，直线A 与x 轴的交点即为M 。

中考数学压轴题解题策略 3直角三角形的存在性问题解题策略挑战压轴题·中考数学 的作者 海 马学斌专题攻略解直角 角形的存在性问题 一般 走 第一 寻找 类标准 第二 列方程 第 解方程并验根一般情况 按照直角顶点或者斜边 类 然后按照 角比或勾股定理列方程有时根据直角 角形斜边 的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角 角形的问题 常常和相似 角形、 角比的问题联系在一起如果直角边 坐标轴 平行 那 过 个顶点作 坐标轴平行的直线 可以构造两个新的相似直角 角形 样列比例方程比较简便在平面直角坐标系中 两点间的距离公式常常用到怎样画直角 角形的示意图呢？如果已知直角边 那 过直角边的两个端点画垂线 第 个顶点在垂线 如果已知斜边 那 以斜边 直径画圆 直角顶点在圆 含直径的两个端点例题解析例❶ 如图1-1 在△ABC中 AB＝AC＝10 cos∠B＝45D、E 线段BC 的两个动点 且DE＝3 E在D右边 运动初始时D和B 合 当E和C 合时运动停止 过E 作EF//AC交AB于F 连结DF 设BD＝x 如果△BDF 直角 角形 求x的值图1-1解析 △BDF中 ∠B是确定的锐角 那 按照直角顶点 类 直角 角形BDF存在两种情况 如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来 两种情况列方程就可以了 如图1-2 作AH⊥BC 垂足 H 那 H是BC的中点在Rt△ABH中 AB＝10 cos∠B＝45所以BH＝8 所以BC＝16由EF//AC 得BF BEBA BC= 即31016BF x+= 所以BF＝5(3)8x+图1-2 图1-3 图1-4如图1-3 当∠BDF ＝90°时 由4cos 5BD B BF ∠== 得45BD BF = 解方程45(3)58x x =×+ 得x ＝3 如图1-4 当∠BFD ＝90°时 由4cos 5BF B BD ∠== 得45BF BD = 解方程5154885x x += 得757x = 们看到 在画示意图时 无 到△ABC 的 限制 只需要 其确定的∠B 例❷ 如图2-1 已知A 、B 是线段MN 的两点 以A 中心 时针旋转点M 以B 中心逆时针旋转点N 使M 、N 两点 合 一点C 构 △ABC 设AB ＝x 若△ABC 直角 角形 求x 的值图2-1解析 △ABC 的 边长都可以表示出来 AC ＝1 AB ＝x BC ＝3 x如果用斜边进行 类 条边都可能 斜边 种情况若AC 斜边 则22)3(1x x −+= 即0432=+−x x 方程无实根若AB 斜边 则1)3(22+−=x x 解得35=x 如图2-2 若BC 斜边 则221)3(x x +=− 解得34=x 如图2-3 因 当35=x 或34=x 时 △ABC 是直角 角形图2-2 图2-3例❸ 如图3-1 已知在平面直角坐标系中 点A 的坐标 -2, 0 点B 是点A 关于原点的对称点 P 是函数)0(2>=x xy 图象 的一点 且△ABP 是直角 角形 求点P 的坐标图3-1解析 A 、B 两点是确定的 以线段AB 类标准 种情况4=MN 1=MA 1>MB如果线段AB 直角边 那 过点A 画AB 的垂线 第一象限内的一支 曲线没有交点 过点B 画AB 的垂线 有1个交点以AB 直径画圆 圆 曲线有没有交点呢？先假如有交点 再列方程 方程有解那 就有交点 如果是一元二次方程 那 可能是一个交点 也可能是两个交点由题意 得点B 的坐标 2 0 且∠BAP 可能 直角如图3-2 当∠ABP ＝90°时 点P 的坐标 2 1方法一 如图3-3 当∠APB ＝90°时 OP 是Rt △APB 的斜边 的中线 OP ＝2设P 2(,x x 由OP 2＝4 得2244x x += 解得x = 时P (2,2)图3-2 图3-3方法二 由勾股定理 得PA 2 PB 2＝AB 2解方程2222222(2)()(2)()4x x x x +++++= 得x =方法 如图3-4 由△AHP ∽△PHB 得PH 2＝AH ·BH解方程22((2)(2)x x x =+− 得x =图3-4 图3-5种解法的方程貌似差异很大 转化 整式方程之后都是(x 2 2)2＝0 个四次方程的解是x 1＝x 2＝2 x 3＝x 4＝ 它的几何意 就是以AB 直径的圆 曲线相 于P 、P ′两点 如图3-5例❹ 如图4-1 已知直线y ＝kx 6 过点A (1, 4) x 轴相交于点B 若点Q 是y 轴 一点 且△ABQ 直角 角形 求点Q 的坐标图4-1解析 和例题3一样 过A 、B 两点 别画AB 的垂线 各有1个点Q 和例题3 同 以AB 直径画圆 圆 y 轴有没有交点 一目了然 而圆 曲线有没有交点 是徒手画 曲线无法肯定的将A (1, 4)代入y ＝kx 6 可得k ＝2 所以y ＝2x 6 B (3,0)设OQ 的长 m 种情况讨论直角 角形ABQ如图4-2 当∠AQB ＝90°时 △BOQ ∽△QHABO QH OQ HA = 所以341m m −= 解得m ＝1或m ＝3 所以Q (0, 1)或(0, 3)如图4-3 当∠BAQ ＝90°时 △QHA ∽△AGBQH AG HA GB = 所以4214m −= 解得72m = 时7(0,2Q − 如图4-4 当∠ABQ ＝90°时 △AGB ∽△BMQ AG BM GB MQ= 所以243m = 解得32m = 时3(0,)2Q图4-2 图4-3 图4-4种情况的直角 角形ABQ 直角边都 坐标轴平行 们以直角顶点 公共顶点 构造两个相似的直角 角形 样列比例方程比较简便已知A (1, 4)、B (3,0) 设Q (0, n ) 那 根据两点间的距离公式可以表示出AB 2 AQ 2和BQ 2 再按照斜边 类标准列方程 就 用画图进行 盲解 了例❺ 如图5-1 抛物线233384y x x =−−+ x 轴交于A 、B 两点 点A 在点B 的 侧 若直线l 过点E (4, 0) M 直线l 的动点 当以A 、B 、M 顶点所作的直角 角形有且只 有个时 求直线l 的解析式图5-1解析 有且只有 个直角 角形ABM 是什 意思呢？过A 、B 两点 别画AB 的垂线 直线l 各有一个交点 那 第 个直角顶点M 在哪 ？以AB 直径的⊙G 直线l 相 于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =−−+=−+− 得A ( 4, 0)、B (2, 0) 直径AB ＝6 如图5-2 连结GM 那 GM ⊥l在Rt △EGM 中 GM ＝3 GE ＝5 所以EM ＝4 因 3tan 4GEM ∠=设直线l y 轴交于点C 那 OC ＝3 所以直线l 直线EC 334y x =−+ 根据对称性 直线l 可以是334y x =−图5-2例❻ 如图6-1 在△ABC 中 CA ＝CB AB ＝8 4cos 5A ∠=点D 是AB 边 的一个动点 点E 点A 关于直线CD 对称 连结CE 、DE1 求底边AB 的高2 设CE AB 交于点F 当△ACF 直角 角形时 求AD 的长3 连结AE 当△ADE 是直角 角形时 求AD 的长图6-1解析 道题目画示意图有技 的 如果将点D 看作 动点 那 CE 就是从动线段 过来画图 点E 在以CA 半径的⊙C 如果把点E 看作 动点 再画∠ACE 的平 线就产生点D 了1 如图6-2 设AB 边 的高 CH 那 AH ＝BH ＝4在Rt △ACH 中 AH ＝4 4cos 5A ∠= 所以AC ＝5 CH ＝3 2 如图6-3 当∠AFC ＝90°时 F 是AB 的中点 AF ＝4 CF ＝3 在Rt △DEF 中 EF ＝CE CF ＝2 4cos 5E ∠= 所以52DE = 时52AD DE ==如图6-4 当∠ACF＝90°时 ∠ACD＝45° 那 △ACD的条件符合 角边角 作DG⊥AC 垂足 G 设DG＝CG＝3m 那 AD＝5m AG＝4m由CA＝5 得7m＝5 解得57m= 时2557AD m==图6-2 图6-3 图6-43 因 DA＝DE 所以只存在∠ADE＝90°的情况如图6-5 当E在AB 方时 根据对称性 知∠CDA＝∠CDE＝135° 时△CDH 是等腰直角 角形 DH＝CH＝3 所以AD＝AH DH＝1如图6-6 当E在AB 方时 根据对称性 知∠CDA＝∠CDE＝45° 时△CDH 是等腰直角 角形 DH＝CH＝3 所以AD＝AH DH＝7图6-5 图6-6。

授课题目专题三直角三角形的存在性问题解题策略授课日期2015年3月14日教师柳娜授课学时 1 时 00 分学生课型复习课学科组长柳娜师生活动一、要点归纳直角三角形的存在性问题是苏州中考数学的热点问题．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．二、课前热身已知直角三角形的两条边长为6和8，那么第三边的长为多少？怎样画出这个直角三角形？三、例题讲解1.如图1，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；图12.如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数图像上的一点，且△ABP 是直角三角形．求点P 的坐标；3.如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒， 在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图14.如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(0，b )(b ＞0)．P是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P ′（点P ′不在y 轴上），联结PP ′、P ′A 、P ′C ．设点P 的横坐标为a ．问是否同时存在a 、b ，使△P ′CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a 、b 的值；若不存在，请说明理由．图15.已知点P 是函数x y 21=（x ＞0）图像上一点，P A ⊥x 轴于点A ，交函数xy 1=（x ＞0）图像于点M ，PB ⊥y 轴于点B ，交函数xy 1=（x ＞0）图像于点N （点M 、N 不重合）．（1）当点P 的横坐标为2时，求△PMN 的面积； （2）证明：MN ‖AB （如图1）；（3）试问：△OMN 能否为直角三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由.图1 备用图6.已知： 在直角坐标系xOy 中，将直线y ＝kx 沿y 轴向下平移3个单位长度后恰好经过点B (－3，0)及y 轴上的点C ．若抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），且经过点C ．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD ＝∠ACB ，求点P 的坐标．专项训练1.如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB=时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图12.设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．图13.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图14.如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图15.如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图16.已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图1，求证：222BN AM MN +=；思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请你完成证明过程．（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1 图2学科组长审核签字：。