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椭圆及其性质

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编辑Apollonius 所著的八册《圆锥曲线论》(Conics)集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。

今日大家熟知的ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）这些名词，都是Apollonius所发明的。

当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。

此事一直到十六、十七世纪之交，开普勒（Kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。

开普勒三定律乃是近代科学开天辟地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。

由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

2定义编辑第一定义平面内与两定点、的距离的和等于常数（）的动点P的轨迹叫做椭圆。

椭圆定义说明即：其中两定点、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

为椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为可变为第二定义平面内到定点（c,0）的距离和定直线：（不在上）的距离之比为常数（即离心率，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

其中定点为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是（焦点在x轴上），或（焦点在y轴上））。

其他定义根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为，可以得出：在坐标轴内，动点（）到两定点（）（）的斜率乘积等于常数m（-1<m<0）注意：考虑到斜率为零时不满足乘积为常数，所以无法取到，即该定义仅为去掉两个点的椭圆。

[2]椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。

3方程编辑高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。

F点在X轴椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在X轴时，标准方程为：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)2）焦点在Y轴时，标准方程为：y²/a²+x²/b²=1 (a>b>0)椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a，F1,F2之间的距离为2c。

而公式中的b²=a²-c²。

b 是为了书写方便设定的参数。

[3]又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1(m>0，n>0，m≠n）。

即F点在Y轴标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。

椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsin θ标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a²+yy0/b²=1。

椭圆切线的斜率是：-b²x0/a ²y0，这个可以通过很复杂的代数计算得到。

一般方程圆：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+1=0（A>0，B>0，且A≠B）。

参数方程x=acosθ，y=bsinθ。

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解x=a×cosβ，y=b×sinβa为长轴长的一半极坐标（一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上）r=a（1-e²）/（1-ecosθ）（e为椭圆的离心率=c/a）4几何性质编辑基本性质1、范围：焦点在轴上，；焦点在轴上，2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）4、离心率：e=c/a 或e=√1-b^2/a²5、离心率范围0<e<16、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆7、焦点(当中心为原点时)（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）8、x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)与x²/（ma)²+y²/(mb)²=1 (a>b>0,m为实数)为离心率相同的椭圆9、P为椭圆上的一点，PF1（或PF2)<a+c切线法线定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。

若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。

定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。

若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。

上述两定理的证明可以查看参考资料。

[4]5光学性质编辑椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

6相关公式编辑面积公式（其中分别是椭圆的长半轴、短半轴的长），或（其中分别是椭圆的长轴，短轴的长）。

周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

周长为：或者。

椭圆周长（L）的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。

离心率椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0<X<1）e=c/a(0<e<1），因为2a>2c。

离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。

椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=+a^2/c) 的距离为b^2/c 离心率与的关系：焦半径焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点）椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a+ex焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey(F2,F1分别为上下焦点）椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，即|AB|=2*b^2/a斜率公式过椭圆上x²/a²+y²/b²=1上一点（x，y）的切线斜率为-b²X/a²y三角面积若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上，且第三个顶点在椭圆上那么若∠F1PF2=θ，则S=b²tan（θ/2）。

曲率公式K=ab/[(b²-a²）（cosθ）2+a²]3/2准线方程（焦点在x轴上）（焦点在y轴上）准圆方程准圆为从准圆上任一点向椭圆引两条切线，这两条切线垂直。

通径l=2b^2/a圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦椭圆中的通径是通过焦点最短的弦7几何关系编辑点与椭圆点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1点在圆内：x02/a2+y02/b2<1点在圆上：x02/a2+y02/b2=1点在圆外：x02/a2+y02/b2>1跟圆与直线的位置关系一样的相交相离相切直线与椭圆y=kx+m ①x2/a2+y2/b2=1 ②由①②可推出x2a2+（kx+m)2/b2=1相切△=0相离△<0无交点相交△>0 可利用弦长公式：设A(x1,y1）B(x2,y2）求中点坐标根据韦达定理x1+x2=-b/a,x1x2=c/a带入直线方程可求出(y1+y2)/2=可求出中点坐标。

|AB|=d = √（1+k2）[(x1+x2）2-4x1*x2] = √（1+1/k2）[(y1+y2）2-4y1y2]8应用编辑例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆例：已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为√6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为√3.1．求椭圆C的方程.2．直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值. 3．在⑵的基础上求△AOB的面积.一分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等（椭圆的定义），可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，二要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦长公式有√（1+k^2））[x2-x1]（中括号表示绝对值）弦长=3√2/2，对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率=，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2,-2.结合图形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p （1.5,-0.5），三直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得√2/2，面积1/2*√2/2*3√2/2=3/4,9手工画法编辑手绘法一画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。

⑵：连接AC。

⑶：以O为圆心，OA 为半径作圆弧交OC延长线于E点。

⑷：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。

⑸：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。

⑹：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴原心，分别以GC、G‘D为半径作圆。

用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点，此步骤需要多次定位，直到都正好能于顶点吻合后固定住这2个点，用笔带住线，直接画出椭圆：）使用细铜丝最好，因为线的弹性较大画出来不一定准确！手绘法二椭圆的焦距│FF'│（Z）定义，为已知椭圆所构成的长轴X(ab）与短轴Y(cd）则以长轴一端A为圆心短轴Y为半径画弧，从长轴另一段点B引出与弧相切的线段则为该椭圆焦距，求证公式为2√{(Z/2）^2+(Y/2）^2}+Z=X+Z（平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a（2a>|FF'|）的动点P的轨迹叫做椭圆），可演变为z=√x^2-y^2(x>y>0）。

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数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)_知识点总结

数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)_知识点总结

数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）_知识点总结
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。

椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。

2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。

3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。

4、焦距：。

5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。

利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。

椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。

(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质

椭圆的定义与性质椭圆是数学中的一个重要几何概念，它在几何学、物理学、天文学等领域中都有广泛的应用。

本文将从椭圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、椭圆的定义椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点的距离之和等于常数的情况。

这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。

椭圆的定义可以用数学表达式表示为：对于平面上的点P(x, y)，到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 =2a。

其中，a为椭圆的半长轴。

二、椭圆的性质1. 焦点与半长轴的关系：椭圆的两个焦点到椭圆中心的距离之和等于2a，即F1C + F2C = 2a。

这表明椭圆的中心C位于焦点连线的中垂线上。

2. 离心率与形状的关系：离心率e是椭圆的一个重要参数，它决定了椭圆的形状。

当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状趋近于圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线；当e>1时，椭圆的形状趋近于双曲线。

3. 半短轴与半长轴的关系：椭圆的半长轴为a，半短轴为b，它们之间的关系可以用离心率e来表示，即e = √(1 - b²/a²)。

通过这个公式，我们可以计算出椭圆的半短轴。

4. 焦点与直径的关系：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。

这个性质在椭圆的应用中非常重要，例如在天文学中，可以用椭圆的性质来描述行星的轨道。

三、椭圆的应用1. 天文学中的椭圆轨道：行星绕太阳运动的轨道可以近似看作椭圆，根据椭圆的性质，可以计算出行星的轨道参数，如离心率、半长轴等。

2. 椭圆的光学性质：椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦到一个点上，用于望远镜、显微镜等光学仪器中。

3. 椭圆的工程应用：在建筑、桥梁等工程设计中，椭圆形状的结构可以提供更好的力学性能和美观效果。

总结：椭圆作为一种重要的数学概念，在几何学和应用数学中都有广泛的应用。

通过对椭圆的定义与性质的探讨，我们可以更好地理解椭圆的形状特征以及其在各个领域中的应用。

椭圆知识点与性质大全

椭圆知识点与性质大全

椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内,到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆,其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点,定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距.此定义为椭圆的第一定义. ２、椭圆的简单性质３、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径,且[],PF a c a c ∈-+,特别地,若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+,20||PF a ex =-，其中ce a=. 4、通径过椭圆()222210x y a b a b +=>>焦点F 作垂直于长轴的直线,交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径,且22b AB a=.P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形，其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为:24ABF C a ∆=,面积为212y y c S ABF -=∆.７、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上；若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内．8、直线与椭圆的位置关系直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>；l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=;l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<．9、焦点三角形外角平分线的性质(＊）点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点， M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交椭圆()222210x y a b a b +=>>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E 为CD 的中点，则2122b k k a=-.11、中点弦的斜率()()000,0M x y y ≠为椭圆()222210x y a b a b +=>>内的一点，直线l 过M 与椭圆交于,A B 两点,且AM BM =，则直线l 的斜率2020ABb x k a y =-.12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值若A 、B 为椭圆C :()222210x y a b a b+=>>上的两个动点,O 为坐标原点,且OA OB ⊥.则2211||||OA OB +=定值2211ab+．【典型例题】例1、直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点,则m 的取值范围是____＿__＿__． 【变式1】已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围＿_________. 【变式2】椭圆12222=-++m x m y 的两个焦点坐标分别为___＿＿_____.【变式1】已知圆()11:221=++y x O ,圆()91:222=+-y x O ,动圆M 分别与圆1O 相外切，与圆2O 相内切.求动圆圆心M 所在的曲线的方程.【变式２】已知ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -,ABC ∆的周长为1８，则顶点C 的轨迹方程为__________.【变式３】已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆的圆心P 的轨迹方程.例3、若P 是椭圆13422=+y x 上的点，1F 和2F 是焦点，则 （1)21PF PF ⋅的取值范围为____＿＿___＿. (2）12PF PF ⋅的取值范围为__________.(3）2212PF PF +的取值范围为__＿__＿＿_＿_.【变式１】点(,)P x y 是椭圆22194x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是1PF 的中点,且12PF =,O 为坐标原点,则OM =_______.【变式２】点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且20F M MP ⋅=,则动点M 的轨迹方程为__＿__＿__．例４、已知椭圆2212516x y +=内有一点()2,1A ,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求PA PF +的最大值与最小值____＿_____．【变式】若椭圆171622=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,过点1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,则B AF 2∆的周长为＿＿____＿__＿．例5、12,F F 是椭圆221x y +=的焦点，点P 为其上动点,且1260F PF ∠=︒,则12F PF ∆的面积是＿_____＿_＿＿.【变式】焦点在轴x 上的椭圆方程为2221(0)x y a a +=>,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点B ，使得122F BF π∠=，那么实数a 的取值范围是____＿___．例6、已知椭圆2212x y +=， （1)求过点1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，且被P 平分的弦所在的直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;（3)过(21)A ，引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.（4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.例7、已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．例8、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．例9、已知定点()2,0A -，动点B 是圆64)2(:22=+-y x F （F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交BF于P .(１）求动点P 的轨迹方程； （２)直线13+=x y 交P 点的轨迹于,M N 两点，若P 点的轨迹上存在点C ，使,OC m ON OM ⋅=+求实数m的值；例10、已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ),过点(),0A a -,()0,B b 的直线倾斜角为6π,原点到该直线的距离为23．(１）求椭圆的方程;（2)斜率大于零的直线过()1,0D -与椭圆交于E ,F 两点,若DF ED 2=,求直线EF 的方程;（3)是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ,Q 两点,以PQ 为直径的圆过点(1,0)D -?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．例１1、若AB是经过椭圆2212516x y+=中心的一条弦点,12,F F分别为椭圆的左、右焦点，求1F AB∆的面积的最大值.【变式1】已知直线l与椭圆2213xy+=交于A B、两点，坐标原点O到直线l的距离为2,求AOB∆的面积的最大值.【变式3】已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标; （２）若30<<a 且||PA 的最小值为１,求实数a 的值.【变式4】如图，椭圆的中心在原点,()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点,直线(0)y kx k =>交线段AB 于点D ，交椭圆于,E F 两点.(1)若6ED DF =,求直线的斜率k ；D(2)求四边形AFBE 的面积S 的最大值．【变式５】椭圆()222104x y b b +=>的一个焦点是()1,0F - (1）求椭圆的方程;(2）已知点P 是椭圆上的任意一点,定点M 为x 轴正半轴上的一点,若PM 的最小值为85，求定点M 的坐标； (3)若过原点O 作互相垂直两条直线，交椭圆分别于,A C 与,B D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.【变式6】在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点()),的距离之和为４，设点P的轨迹为曲线C，直E-，且与曲线C交于,A B两点．线l过点(1,0)（１)求曲线C的方程;(2)以AB为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过,求此时直线l的方程，若不能，说明理由.∆的面积是否存在最大值?若存在，求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，请说明理由．（3）AOB例12、已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为４. (1）求椭圆C 的方程；(２)已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问,是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈,MA MB ⋅为定值,若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【变式1】过椭圆22182x y +=长轴上某一点(),0S s (不含端点）作直线l （不与x 轴重合)交椭圆于,M N 两点,若点(),0T t 满足：8OS OT ⋅=，求证:MTS NTS ∠=∠.【变式２】已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上，长轴长为４，且点⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （１)求椭圆C 的方程；(２)设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量()2,1d =的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22PA PB +为定值．【变式3】如图，A 为椭圆()2222+10x y a b a b =>>上的一个动点，弦,AB AC．当AC x ⊥轴时，恰好123AF AF =(1）求ca的值 （２）若111AF F B λ=,222AF F C λ=，试判断12λλ+是否为定值?若是，求出定值;若不是,说明理由.【变式4】线段,A B 分别在x 轴,y 轴上滑动，且3AB =,M 为线段AB 上的一点,且1AM =，M 随,A B 的滑动而运动（１）求动点M 的轨迹方程E ;(2）过N 的直线交曲线E 于,C D 两点，交y 轴于P ,1PC CN λ=,2PD DN λ=，试判断12λλ+是否为定值?若是，求出定值；若不是,说明理由.2F 1F【变式5】如图,已知椭圆C ：22221x y a b+=，其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ,过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y轴分别交于,D E 两点,且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列.(１）求椭圆C 的方程；（2）记△1GF D 的面积为1S ，△OED （O 为原点)的面积为2S .试问:是否存在直线AB ，使得12S S =?说明理由.xyO A B1F D GE2F【变式6】已知椭圆C 的方程为22212x y a +=(0)a >,其焦点在x 轴上，点Q 为椭圆上一点. (1)求该椭圆的标准方程;（2)设动点P 00(,)x y 满足2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON的斜率之积为12-,求证:22002x y +为定值； （3)在(2)的条件下探究:是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.例１3、椭圆的一个顶点(0,1)A -，焦点在x 轴上,右焦点到直线0x y -+的距离为3.(1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同两点,M N ，当AM AN =时，求实数m 的取值范围.【变式1】已知A 、B 、C 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三点，其中()A ,BC 过椭圆的中心,且0AC BC ⋅=，2BC AC =.(1)求椭圆的方程;(２）过点()0,M t 的直线l （斜率存在时)与椭圆交于两点,P Q ,设D 为椭圆与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =.求实数t 的取值范围.。

第一课时 椭圆及其性质

第一课时 椭圆及其性质

典例1 (1)已知△ABC的顶点B,C在椭圆 x2 +y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,
3
且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 ( C ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.2
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(2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和
由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x. 在△BF1F2中,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|·cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x· cos∠BF2F1①,
在△AF1F2中,|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1, 即4x2=4x2+22+8x·cos∠BF2F1②, 由①②得x= 3 ,所以2a=4x=2 3 ,a= 3 ,所以b2=a2-c2=2.
+
y2 b2
=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点
的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则
(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦半径公式,e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;
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(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos θ;
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=4a2-4c2=4b2,
∴S
PF1F2
=
1 2
r1r2=b2=9,
∴b=3.
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