2021高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.1不等关系与不等式教学案理新人教A版

§7.1 不等关系与不等式最新考纲考情考向分析1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合．属低档题.1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c⇔ 可乘性错误!⇒ac >bc 注意c 的符号错误!⇒ac <bc 同向可加性 错误!⇒a ＋c >b ＋d ⇒ 同向同正可乘性 错误!⇒ac >bd⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1) a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)a ，b 同为正数概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示 不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b，即若a 与b 同号，则分子相同时，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示 可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若a b>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( √ ) 题组二 教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋d D ．a ＋d >b ＋c答案 C解析 由同向不等式具有可加性可知C 正确． 题组三 易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c －b d >0B.a c －b d <0C.a d >b cD.a d <b c答案 D解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ，又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad. 5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b＝b 2－a 2b －aab＝b －a2b ＋aab，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b与a b b a的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，又a >b >0，故ab>1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，即a a b ba b b a >1，又a b b a >0，∴a a b b >a b b a，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为a a b b >a b b a. 思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．跟踪训练1 (1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 77a a7a a 7＝77－a a a －7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a ，则当a >7时，0<7a<1,7－a <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7； 当0<a <7时，7a>1,7－a >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7. 综上，77a a>7a a 7.不等式的基本性质例2 (1)(2019·武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c <d ，则a c >b dC ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dD ．若ab >0，a >b ，则1a <1b答案 D解析 对于A 选项，当c ＝0时，不成立，故A 选项错误；当a ＝1，b ＝0，c ＝－2，d ＝－1时，a c <b d，故B 选项错误；当a ＝1，b ＝0，c ＝1，d ＝0时，a －c ＝b －d ，故C 选项错误，故D 选项正确．(2)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 由题意可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误． 思维升华 判断不等式的常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2 (1)(2019·天津市河北区模拟)若a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ；②若a >b ，c >d ，则b －c >a －d ；③若a >b ，c >d ，则ac >bd ；④a >b ，c >0，则ac >bc .其中正确命题的序号是( )A ．①②④B．①④C．①③④D．②③ 答案 B解析 ①∵a >b ，c >d ，由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d ，故①正确；②由①正确，可知②不正确；③取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故③不正确；④∵a >b ，c >0，∴ac >bc .故④正确．综上可知，只有①④正确．故选B. (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号) 答案 ①④解析 因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.不等式性质的综合应用命题点1 判断不等式是否成立例3 设a ，b ，c ，d ，x 为实数，且b >a >0，c >d ，下列不等式正确的是( ) A ．d －a <c －b B.b a ≥b ＋xa ＋xC ．b c>a dD.a b ≤a ＋|x |b ＋|x |答案 D解析 取a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝2，d －a ＝0，c －b ＝－1，此时d －a >c －b ，A 错误；取a＝2，b ＝3，x ＝－1，则b a ＝32，b ＋x a ＋x ＝2，此时b a <b ＋x a ＋x ，B 错误；取b ＝3，a ＝12，c ＝1，d ＝－3，a d＝8，则b c<a d，C 错误；对于D, a b －a ＋|x |b ＋|x |＝a －b |x |b b ＋|x |≤0，D 正确．故选D.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18.若将本例条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)(2019·衡水第十三中学质检)设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中不一定成立的是( ) A ．1122<a b B.1a －c >1b－cC.a ＋2b ＋2>abD ．ac 2<bc 2答案 D解析 因为y ＝12x 在(0，＋∞)上是增函数，所以1122<a b ； 因为y ＝1x －c 在(0，＋∞)上是减函数，所以1a －c >1b－c ；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2b －a b ＋2b >0，所以a ＋2b ＋2>ab； 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以D 不成立．故选D.(2)(2019·潮州模拟)已知－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，则8x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的取值范围是( )A ．[2,28]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，28C ．[2,27] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，27 答案 C解析 8x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝23x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝23x －y ，令3x －y ＝s (x ＋y )＋t (x －y )＝(s ＋t )x ＋(s －t )y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝3，s －t ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝2，即3x －y ＝(x ＋y )＋2(x －y )， 又－1≤x ＋y ≤1，①1≤x －y ≤3，∴2≤2(x －y )≤6.② ∴①＋②得1≤3x －y ≤7.则8x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝23x －y ∈[2,27]．故选C.1．对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b答案 C解析 对于选项A ，当c <0时，不正确； 对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确； 对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．2．设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1bB ．ac 2<bc 2C.b a >a bD ．a 2>ab >b 2答案 D解析 对于A ，令a ＝－2，b ＝－1，1a ＝－12，1b ＝－1，故A 错误；对于B ，当c ＝0时，则ac2＝bc 2＝0，故B 错误；对于C ，令b ＝－1，a ＝－2，则b a <a b，故C 错误；对于D ，∵a <b <0，∴a 2>ab 且ab >b 2，故D 正确，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，因为a >b >0，所以a －1a >b －1b ，即a ＋1b >b ＋1a ，A 项成立；但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，g (a )>g (b )未必成立，即C 不一定成立，故选A.4．(2019·河北省衡水中学模拟)已知c 3a <c 3b<0，则下列选项中错误的是( )A ．|b |>|a |B ．ac >bc C.a －bc >0 D ．ln a b>0答案 D解析 c 3a <c 3b<0，当c <0时，1a >1b>0，即b >a >0，∴|b |>|a |, ac >bc ,a －bc>0成立，即A ，B ，C 成立； 此时0<a b <1，∴ln a b<0，D 错误．同理，当c >0时，A ，B ，C 也正确．故选D. 5．若1a <1b<0，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．1>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >⎝ ⎛⎭⎪⎫12aC.b a ＋a b<2 D ．a e b>b e a答案 D解析 由题意知，b <a <0，则a 2<b 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >1，b a ＋a b >2，∵b <a <0，∴e a>e b>0，－b >－a >0 ∴－b e a>－a e b，∴a e b>b e a，故选D.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π答案 C解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2.又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2.故－3π2<2α－β<π2.7．若a <b <0，则下列不等式关系中，成立的是________．(填序号) ①1a >1b ；②1a >1a －b ；③2233>a b ；④1a 2>1b 2. 答案 ①②③解析 对于①，∵a <b <0，∴1a >1b，故①正确；对于②，∵a <b <0，∴a <a －b <0，两边同时除以a (a －b )可得1a >1a －b，故②正确；根据幂函数的单调性可知③正确；对于④，∵a <b <0，∴a 2>b 2>0，∴1a 2<1b2，故④错误．8．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴a ＋ba －b 2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 9．(2019·广西壮族自治区玉林高中模拟)近来鸡蛋价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠)______．(在横线上填甲或乙即可)答案 乙解析 由题意得甲购买产品的平均单价为3a ＋3b 6＝a ＋b 2，乙购买产品的平均单价为2010a ＋10b＝2ab a ＋b，由条件得a ≠b . ∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a －b 22a ＋b>0， ∴a ＋b 2>2ab a ＋b， 即乙的购买方式更优惠．10．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c ；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．(填序号)答案 ①解析 由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d ； (2)已知c >a >b >0，求证：ac －a >b c －b. 证明 (1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥ab ，∴cd ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.∵a >b >0，∴1a <1b ， 又∵c >0，∴c a <c b ，∴c －a a <c －b b， 又c －a >0，c －b >0，∴ac －a >b c －b .12．已知1<a <4,2<b <8，试求a －b 与a b 的取值范围．解 因为1<a <4,2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为18<1b <12，所以18<ab <42＝2，即18<ab <2.故a －b 的取值范围为(－7,2)，a b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，2.13．已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为c >d ，所以c －d >0.又a >b ，所以两边同时乘(c －d )，得a (c －d )>b (c －d )，即ac ＋bd >bc ＋ad .若ac ＋bd >bc ＋ad ，则a (c －d )>b (c －d )，也可能a <b 且c <d ，所以“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的充分不必要条件．14．(2019·抚州临川第一中学模拟)设m ＝log 0.30.6，n ＝12log 20.6，则() A ．m －n >mn >m ＋n B ．m －n >m ＋n >mnC ．mn >m －n >m ＋nD ．m ＋n >m －n >mn答案 B解析 因为m ＝log 0.30.6>log 0.31＝0，n ＝12log 20.6<12log 21＝0，所以mn <0，m －n >0，因为－1n ＝－2log 0.62＝log 0.60.25>0，1m＝log 0.60.3>0， 而log 0.60.25>log 0.60.3，所以－1n >1m>0，即可得m ＋n >0， 因为(m －n )－(m ＋n )＝－2n >0，所以m －n >m ＋n ，所以m －n >m ＋n >mn .故选B.15．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．a ln b >b ln aB ．a ln b <b ln aC ．a e b <b e aD ．a e b ＝b e a 答案 B解析 观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln x x，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0,1)上单调递增．所以ln b b <ln a a，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝x －1e x x 2<0，所以函数f (x )＝e x x在(0,1)上单调递减，又因为0<b <a <1，所以f (a )<f (b )，即e a a <e b b，所以a e b >b e a ，故选B. 16．(2019·长沙市长郡中学调研)长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“队伍构成满足以下条件：(1)有中学高级教师；(2)中学教师不多于小学教师；(3)小学高级教师少于中学中级教师；(4)小学中级教师少于小学高级教师；(5)支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；(6)无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是________．答案 小学中级解析 设职称为小学中级、小学高级、中学中级、中学高级的人数分别为a ，b ，c ，d ， 则a ＋b ＋c ＋d ＝13，d ≥1，c ＋d ≤a ＋b ，b <c ，a <b ，∴13－(a ＋b )≤a ＋b ，∴a ＋b ≥7，c ＋d ≤6，若a ＋b ＝7，则c ＋d ＝6，∵a <b <c ，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5，d ＝1，若a＋b≥8，则c＋d≤5，∵d≥1，∴c≤4，∵b<c∴b≤3，a≥5>b，与已知a<b矛盾；队长为小学中级时，去掉队长则a＝2，b＝4，c＝5，d＝1，满足d＝1≥1，c＋d＝6≤a＋b＝6，b＝4<c＝5，a＝2<b＝4；队长为小学高级时，去掉队长则a＝3，b＝3，c＝5，d＝1，不满足a<b；队长为中学中级时，去掉队长则a＝3，b＝4，c＝4，d＝1，不满足b<c；队长为中学高级时，去掉队长则a＝3，b＝4，c＝5，d＝0，不满足d≥1；综上可得队长为小学中级．。