第7章对数线性模型-原理及软件实现

对于分类数据的分析，最简单也是最广泛使用的是卡方检验，但卡方检验在处理分类数据时，有两个局限：1.卡方检验只能简单描述变量间的相关关系，而无法分析出具体的因果关系或变量间相互作用（效应）大小2.卡方检验通常用于2*2列联表，而对于高维列联表，则无法系统的评价变量间的关系，而对数线性模型则是分析高维列联表的常用方法。

基于以上问题，我们除了可以使用Logistic模型之外，还可以使用对数线性模型进行分析。

对数线性模型的结构类似于方差分析，思想也和方差分析一样，不同的是方差分析用于连续变量，而对数线性模型用于分类变量。

在方差分析中，观测值y 的变异由各因素的主效应、各因素之间的交互效应、随机误差三者之和组成。

而对于分类变量也可以采用这种方法进行分解，只不过此时的观测值y为频数而不是实际的观测值，最终观测值变异的组成也不是相加关系，而是乘积关系。

以两个分类变量α、β为例:M ij代表第i行第j列的频数αi代表变量α的主效应βj代表变量β的主效应(αβ)ij代表变量αβ的交互作用εij代表随机误差分类数据的频数分布一般分为多项式分布、二项式分布、泊松分布，取值在0—+∞之间，因此等式两边都取其对数ln，这样可以使期望频数取值在-∞—+∞，这就是所谓的对数线性模型。

模型的独立参数和自由度：独立参数个数=分类数-限制条件数数据提供的信息量=列联表中网格的数量模型自由度=信息量-独立参数个数对数线性模型的一个假设前提是：每个分类变量各水平的效应之和等于0========================================== ===对数线性模型的统计检验：对数线性模型的假设检验都是基于Pearson卡方检验和似然比卡方检验L2，当样本规模较大时，这两个统计值很接近，但似然比卡方更加稳健1.对模型的整体检验也就是拟合优度检验，两种卡方的零假设是：检验模型的频数估计与观测频数无差异，也就是拟合度良好2.分层效应检验类似于逐步回归的筛选自变量，分层效应检验就是逐步筛选交互作用，每剔除一种交互作用，就检验一次，主要是：某一阶及更高阶所有交互作用项的集体检验，检验是否显著表明这一阶及更高阶中是否至少有一项分类的效应是有意义的。

对数线性模型的应用的原理1. 介绍对数线性模型（Log-linear model）是一种统计模型，在许多领域中都有广泛的应用。

该模型主要用于建立关于两个或更多个变量之间关系的数学模型，并通过统计方法进行参数估计。

本文将介绍对数线性模型的原理及其在实际应用中的一些常见情况。

2. 对数线性模型的原理对数线性模型基于对数函数的性质以及一些基本假设，通过最大似然估计等方法对模型参数进行估计。

其数学形式可以表示为：log(y) = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₖxₖ其中，y是因变量，x₁、x₂、…、xₖ是自变量，β₀、β₁、β₂、…、βₖ是待估计的参数。

模型中的自变量可以是离散型或连续型，而因变量一般为计数或频率等。

通过对模型参数的估计，可以得到每个自变量与因变量之间的关系。

3. 对数线性模型的应用对数线性模型在各个领域中都有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用情况：3.1 人口统计学在人口统计学中，对数线性模型常用于研究人口特征与人口发展之间的关系。

例如，可以使用对数线性模型分析某地区的人口数量与年龄、教育程度、职业等因素之间的关系。

•基本模型：log(人口数量) = β₀ + β₁年龄+ β₂教育程度+ β₃*职业•参数估计：通过最大似然估计，估计模型中的参数β₀、β₁、β₂、β₃的值•结果解读：根据参数估计结果，推断不同因素对于人口数量的影响程度3.2 市场营销对数线性模型在市场营销中的应用十分广泛。

例如，可以使用对数线性模型分析某产品的销售量与价格、广告投入、竞争对手销售量等因素之间的关系。

•基本模型：log(销售量) = β₀ + β₁价格+ β₂广告投入+ β₃*竞争对手销售量•参数估计：通过最大似然估计，估计模型中的参数β₀、β₁、β₂、β₃的值•结果解读：根据参数估计结果，推断不同因素对于销售量的影响程度3.3 健康科学在健康科学领域，对数线性模型常用于研究疾病发生率与各种危险因素之间的关系。

在报告中使用对数线性模型进行变量转换使用对数线性模型进行变量转换是数据分析中常用的一种方法，可以将非线性关系转化为线性关系，使得数据模型更有效和可解释。

本文将探讨对数线性模型的定义、应用场景以及具体实施过程，以期帮助读者理解和运用该方法。

一、对数线性模型的基本概念对数线性模型是一种通过对自变量或因变量取对数的方法，将非线性关系转化为线性关系的统计模型。

在此模型中，自变量或因变量取对数后，可以利用线性回归等方法进行分析和参数估计，从而得到更准确的结果。

二、对数线性模型的应用场景1. 经济学领域：在经济学中，对数线性模型常用于对经济变量的弹性进行分析。

例如，当分析收入对于消费支出的影响时，对数线性模型可以帮助研究者捕捉到变量之间的非线性关系。

2. 生物学领域：在生物学研究中，对数线性模型常用于分析曲线拟合、生长模型等问题。

通过对自变量或因变量取对数，可以帮助研究者发现变量之间的关系，探究生物系统的特性和作用机制。

3. 环境科学领域：对数线性模型在环境科学研究中也有广泛应用。

例如，当分析空气污染物对健康的影响时，对数线性模型可以帮助研究者更准确地估计污染物浓度和健康风险之间的关系。

三、对数线性模型的基本原理对数线性模型的基本原理是利用对数函数的性质，将非线性关系转化为线性关系。

通过对自变量或因变量取对数，可以将指数增长的关系转化为线性增长的关系，从而使得数据更容易进行分析和解释。

四、对数线性模型的实施步骤1. 数据准备：首先需要收集所需数据，并确保数据的准确性和完整性。

如果数据存在缺失或异常值，需要进行数据清洗和处理。

2. 变量转换：根据具体问题的需求，选择需要进行对数转换的自变量或因变量。

一般情况下，选择具有指数增长趋势的变量进行对数转换。

3. 模型拟合：利用线性回归等方法，对进行对数转换后的数据进行模型拟合。

通过最小二乘法等技术，估计模型参数，并进行模型显著性检验。

4. 模型评估：对拟合后的对数线性模型进行评估，包括模型拟合优度、参数估计的显著性等方面。

对数线性模型第一节 General过程9.1.1 主要功能9.1.2 实例操作第二节 Hierarchical过程9.2.1 主要功能9.2.2 实例操作第三节 Logit过程9.3.1 主要功能9.3.2 实例操作对数线性模型是用于离散型数据或整理成列联表格式的计数资料的统计分析工具。

在对数线性模型中，所有用作的分类的因素均为独立变量，列联表各单元中的例数为应变量。

对于列联表资料，通常作χ 2 检验，但χ 2 检验无法系统地评价变量间的联系，也无法估计变量间相互作用的大小，而对数线性模型是处理这些问题的最佳方法。

第一节 General过程9.1.1 主要功能调用该过程可对一个或多个二维列联表资料进行非层次对数线性分析。

它只能拟合全饱和模型，即分类变量各自效应及其相互间效应均包含在对数线性模型中。

返回目录返回全书目录9.1.2 实例操作[例9-1]在住院病人中，研究其受教育程度与对保健服务满意程度的关系，资料整理成按一般情形作χ检验，结果显示不同受教育程度的住院病人其对保健服务满意程度无差别。

但从百分比分析中可见，随受教育程度的提高，满意程度有下降的趋势；且我们还想了解受教育程度与满意程度有无交互作用和交互作用的大小。

对此，必须采用对数线性模型加以分析。

9.1.2.1 数据准备激活数据管理窗口，定义变量名：实际观察频数的变量名为freq，受教育程度和满意程度作为行、列分类变量（即独立变量），变量名分别为educ、care。

输入原始数据，结果如图9.1所示。

如同第四章Crosstab过程中所述，为使列联表的频数有效，应选Data菜单的Weight Cases...项，弹出Weight Cases对话框（图9.2），激活Weight cases by项，从变量列表中选freq点击 钮使之进入Frequency Variable框，点击OK钮即可。

图9.1 原始数据的输入图9.2 频数的加权定义9.1.2.2 统计分析激活Statistics菜单选Loglinear中的General...项，弹出General Loglinear Analysis对话框（图9.3）。

对数线性模型对于分类数据的分析，最简单也是最广泛使用的是卡方检验，但卡方检验在处理分类数据时，有两个局限：1.卡方检验只能简单描述变量间的相关关系，而无法分析出具体的因果关系或变量间相互作用（效应）大小2.卡方检验通常用于2*2列联表，而对于高维列联表，则无法系统的评价变量间的关系，而对数线性模型则是分析高维列联表的常用方法。

基于以上问题，我们除了可以使用Logistic模型之外，还可以使用对数线性模型进行分析。

对数线性模型的结构类似于方差分析，思想也和方差分析一样，不同的是方差分析用于连续变量，而对数线性模型用于分类变量。

在方差分析中，观测值y 的变异由各因素的主效应、各因素之间的交互效应、随机误差三者之和组成。

而对于分类变量也可以采用这种方法进行分解，只不过此时的观测值y为频数而不是实际的观测值，最终观测值变异的组成也不是相加关系，而是乘积关系。

以两个分类变量α、β为例:M ij代表第i行第j列的频数αi代表变量α的主效应βj代表变量β的主效应(αβ)ij代表变量αβ的交互作用εij代表随机误差分类数据的频数分布一般分为多项式分布、二项式分布、泊松分布，取值在0—+∞之间，因此等式两边都取其对数ln，这样可以使期望频数取值在-∞—+∞，这就是所谓的对数线性模型。

模型的独立参数和自由度：独立参数个数=分类数-限制条件数数据提供的信息量=列联表中网格的数量模型自由度=信息量-独立参数个数对数线性模型的一个假设前提是：每个分类变量各水平的效应之和等于0====================================== ==== ===对数线性模型的统计检验：对数线性模型的假设检验都是基于Pearson卡方检验和似然比卡方检验L2，当样本规模较大时，这两个统计值很接近，但似然比卡方更加稳健1.对模型的整体检验也就是拟合优度检验，两种卡方的零假设是：检验模型的频数估计与观测频数无差异，也就是拟合度良好2.分层效应检验类似于逐步回归的筛选自变量，分层效应检验就是逐步筛选交互作用，每剔除一种交互作用，就检验一次，主要是：某一阶及更高阶所有交互作用项的集体检验，检验是否显著表明这一阶及更高阶中是否至少有一项分类的效应是有意义的。

对数线性模型
对数线性模型是一种极为重要的机器学习技术，近年来在互联网领域受到了广泛的应用。

这种模型是计算机学习中用来估计连续变量之间关系和预测未来结果的有效工具。

对数线性模型可用于在互联网中建立数据库结构，收集海量数据，并将这些数据转换为有用的信息。

通过对数线性模型的分析，可以识别出许多现实世界中的事件以及它们之间的联系，可以用来预测这些事件的发生结果。

例如，对数线性模型可以用于分析用户行为，可以预测某个给定的用户会做什么，有可能做什么，并可以根据用户的行为特点以及外部环境来建议一些精准的制定营销策略，从而为企业带来了更大的收益。

此外，通过对数线性模型的分析可以有效地识别新闻文本中的关键词和潜在的对向。

应用模型，可以在新闻文本中识别关键词，并计算出该话题的潜在对向，结合更广泛的背景，可以有效地增强互联网思维，为写作者提供写作参考。

总之，对数线性模型在互联网领域成为一种基础性而又十分重要的技术，它可以有效地应用于许多数据挖掘、用户分析及机器学习领域，促进企业数据分析及决策制定，从而提高企业市场竞争力。