2019-2020学年八年级数学下册 2.3运用公式法(一)导学案北师大版.doc

项城市第一初级中学项城市第一初级中学 公式法因式分解班级 学号 姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆公式法因式分解18学习目标1、会用公式法进行因式分解。

2、了解因式分解的步骤。

学习重点会用公式法进行因式分解。

学习难点熟练应用公式法进行因式分解。

一、提出问题，创设情境 探讨新知：()()a b a b +-=2()a b += 把这两个公式反过来，就得到：（1） （2）把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

例1、因式分解：2425x -222425(2)5(25)(25)x x x x -=-=+- 自主练习，小组交流：22169a b -==4481x y - 二、深入研究，合作创新例2、因式分解：2269x ax a ++2222269()23(3)(3)x ax a x x a a x a ++=+⨯⨯+=+ 自主练习，小组交流：222139m mn n ++==2244x y xy --+ 三、小组合作，应用新知 因式分解：1、2220.25a b c -2、29()6()1a b b a -+-+项城市第一初级中学项城市第一初级中学 公式法因式分解3、42222244a x a x y x y -+4、22()12()36x y x y z z +-++5、22(2)(2)x y x y +--课堂检测 1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）2 ( ) （2）x 2–y 2= (x –y )2 ( ) （3）x 2–2xy –y 2= (x –y )2 ( ) （4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 ( )2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式： （1）x 2–x +41（2）9a 2b 2–3ab +1（3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x3、把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4（3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y )24．,2,212=-=-ab b a 已知求42332444b a b a b a -+-的值。

运用公式法（1）主备教师参与教师审核人课时1课时授课时间教学目标1、知识与技能：会用公式法把多项式分解因数（运用公式不超过两次）。

2、过程与方法：经历通过整式乘法的平方差公式逆向得出用公式法分解因式的方法。

3、情感、态度与价值观：发展学生你先思维能力和推理能力。

重点准确把握平方差公式的特征。

难点通过公式的类比，熟练运用公式分解因式。

方法准备导学过程一、激情导入（）：二、出示学习目标并阐释，明确重难点（）：三、挑战新知识（一）【知识链接】（）本环节教师个人教学设计：（二）【基础知识】（）平方差公式本环节教师个人教学设计：（三）【重难点学习】（ ）问题一：对于乘法公式：平方差公式 ()()a b a b +-=a 2 - b 2观察：等号左边是整式的 形式；等号右边是 ；能否反过来写，如果能写在横线上问题二：观察你所写的式子符合因式分解的定义吗？把一个 分解成几个因式的 形式，叫因式分解。

问题三：下列两个多项式（1）、m 2－16（2）、22494a b -有哪些共同特征？ （1）、项数：（2）、各项的形式：2、语言叙述分解因式的平方差公式，并用字母形式记录下来：问题四：下列多项式（1）-y 2+x 2（2）-x 2-y 2（3）2(a+b)2-4a 2b 2（5）2x 2-y 2（6）(3a)2-4(2b)2（7）9（a-b ）2+16(a+b)2（（8）m 2－16在有理数范围内符合公式a 2-b 2的有我们发现公式中的a 和b 分别可以表示什么？数（例如 ）；单项式（例如 ）；多项式（例如 ）问题五：你能将以上符合公式a 2-b 2的多项式写成几个整式的积的形式吗？请试一试本环节教师个人教学设计：（四）【拓展提升】（ ）1、分解因式：(1)7x 2-21x (2)3x 3-27x（3）(2x+y)2-(x+2y)2(4)p 4-1本环节教师个人教学设计：（五）【当堂检测】（ ）板 书 设 计 课 后 反 思审 查意 见签字： 年 月 日。

2019-2020学年八年级数学下册 4.3 公式法导学案1（新版）北师大版【学习目标】课标要求：（1）使学生了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用平方差公式进行因式分解；（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．目标达成：（1）发展学生的观察能力和逆向思维能力；（2）培养学生对平方差公式的运用能力．情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．三、教学过程分析第一环节【课前展示】活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ．平方差的公式的内容是什么？第二环节【创境激趣】活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．第三环节 【自主探究，合作交流，展示汇报】。

活动内容：把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b 注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．第四环节 【强化训练】活动内容：将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x活动内容：1、判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( )（2）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( )（3）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( )（4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( )2、把下列各式因式分解：（1）4–m 2 （2）9m 2–4n 2（3）a 2b 2－m 2 （4）(m －a )2－(n ＋b )2（5）–16x 4＋81y 4 （6）3x 3y –12xy3、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．第五环节【总结归纳】活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？注意事项：学生认识到了以下事实：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；课后练习：课本第56页习题2．4第1、2、3题【板书设计】创境激趣把下列各式因式分解：【教学反思】逆向思维是一种启发智力的方式，它有悖于人们通常的习惯，而正是这一特点，使得许多靠正向思维不能或是难于解决的问题迎刃而解．一些正向思维虽能解决的问题，在它的参与下，过程可以大大简化，效率可以成倍提高．正思与反思就象分析的一对翅膀，不可或缺．传统的课堂教学结果表明：许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神．因此，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．。

目录第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1 不等关系2 不等式的基本性质3 不等式的解集4 一元一次不等式5 一元一次不等式与一次函数6 一元一次不等式组第二章分解因式1 分解因式2 提公因式法3 运用公式法第三章分式1 分式2 分式的乘除法3 分式的加减法4 分式方程第四章相似图形1 线段的比2 黄金分割3 形状相同的图形4 相似多边形5 相似三角形6 探索三角形相似的条件7 测量旗杆的高度8 相似多边形的性质9 图形的放大与缩小第五章数据的收集与处理1 每周干家务活的时间2 数据的收集3 频数与频率4 数据的波动第六章证明（一）1 你能肯定吗2 定义与命题3 为什么他们平行4 如果两条直线平行5 三角形内角和定理的证明6 关注三角形的外角第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。

能够根据具体的事例列出不等关系式。

二、教学过程：如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。

（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？（4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。

在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）²。

（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是（L/4）²≤25，即L²/16≤25。

（2）要使原的面积大于100㎝²，就是π（L/2π）²＞100即L²/4π＞100。

（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为8²/4π≈5.1，4＜5.1此时圆的面积大。

当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为12²/4π≈11.5，9＜11.5，此时还是圆的面积大。

2.3运用公式法教学目的和要求: 经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力；运用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数） 教学重点和难点：重点：发展学生的逆向思维和推理能力难点：能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.快速反应：1.分解因式：①x 2-y 2= ; x 2-4= ;②a 2b 2-2ab+1= ;412+-a a = ; 2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A ．16a 2-25b 3 B ．-16a 2-25b 2 C ．16a 2+25b 2 D ．-(16a 2-25b 2)3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( )A ．x 2+y 2+2xyB ．-x 2+y 2+2xyC ．-x 2-y 2-2xyD ．-x 2-y 2+2xy4. 把下列各式分解因式：(1)9a2m2-16b2n2; (2)22144425b a -; (3)9(a+b )2-12(a+b )+4 (4)2241ay axy ax +- 自主学习：1. (1)观察多项式x 2-25.9x-y 2,它们有什么共同特证？(2)将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。

答案：(1)多项式的各项都能写成平方的形式。

如x 2-25中：x 2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x-y 2也是如此。

(2)逆用乘法公式(a+b )(a-b )=a 2-b 2,可知x 2-25= x 2-52=(x+5)(x-5),9x 2-y 2=(3x )2-y 2=(3x+y )(3x-y ).2. 把乘法方式(a+b )2=a 2+2ab+b 2, (a-b )2=a 2-2ab+b 2,反过来，就得到 a 2+2ab+b 2=(a+b )2， a 2-2ab+b 2=(a-b )2 上面这个变化过程是分解因式吗？说明你的理由。

八年级数学《 2.3运用公式法（二）》导学案
北师大版
2、3运用公式法
（二）
【温故】
做一做：填空：
根据左面式子填空：（1）（a+b）（a-b） = ；（1）a2–b2= ；（2）（a+b）2= ；（2）a2+2ab+b2= ；（3）（a–b）2= ；（3）a2–2ab+b2= ；结论：形如a2+2ab+b2 与a2–
2ab+b2的式子称为
【互助】
辨一辨：观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解、（1）x2–4y2 （2）x2+4xy–4y2 （3）4m2–6mn+9n2 （4）m2+6mn+9n2结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方式可以进行因式分解：a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2 试一试：把下列各式因式分解：
（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2（3）m2–（4）想一想：将下列各式因式分解：（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–
4y2+4xy
【达标】
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）2 ( )
（2）x2–y2= (x–y)2 ( )
（3）x2–2xy–y2= (x–y)2 ( )
（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2 ( )
2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
（1）x2–x+ （2）9a2b2–3ab+1 （3）（4）
3、把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4 （3）–2xy–x2–y2 （4）4–12（x–y）+9（x–y)2
【评价】
规范：
成绩：。

《公式法（一）》教学设计执教者：【学习目标】：1、我要准确理解和掌握公式的结构特征，将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式。

2、总结因式分解的步骤方法及所蕴含的数学思想方法。

3、我要做到独立思考，积极参与小组合作探究，争做优秀学生，优秀小组。

【学习重点】：会运用平方差公式进行因式分解。

【学习难点】：准确理解和掌握公式的结构特征，将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式。

【教学方法】：自主学习与小组合作交流相结合。

【教学准备】：导学案、学生对前面所学知识点进行复习。

【学习过程】：一、自主学习：请同学们阅读教材99页内容，独立完成下列各题。

注意事项：时间5分钟（1）不懂的地方要用红笔标记；（2）小组自评，有疑惑提出问题，组间讲解或问老师。

1、填空：（1）（x+3）（x –3） = （2）（4x+y ）（4x –y ）=（3）（1+2x ）（1–2x ）= （4）（3m +2n ）（3m –2n ）= 整式乘法中的平方差公式：（a +b ）（a －b ）=2、把（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2反过来就是a 2－b 2= 根据上面式子填空：（1）9m 2–4n 2= （2）16x 2–y 2=（3）x 2–9= （4）1–4x 2=因式分解中的平方差公式：a 2–b 2=【设计意图】: 整式乘法中平方差公式是学习这节课的理论基础，只有熟练掌握，才能更好的进行本节课的学习，初步让学生感受整式乘法和因式分解的互逆性。

二、知识应用：把下列各式因式分解：（1） x 2－16 （2）25–16x 2（3）9a 2–241b （4）a 2b 2－m 2 【设计意图】: 对刚刚自学的知识的一个检测过程，采用学生板演的方式，纠错，改错。

三、小组合作探究：探究一：应用平方差公式进行因式分解的多项式特征是什么？探究二：将下列各式因式分解：（1）2x3–8x （2） 3x3y–12xy（3）9（x–y）2–（x+y）2（4）x4-1你发现了什么？【设计意图】：通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；并在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力。

4.3运用公式法（1）教学设计一、备课标1.内容标准：能用能用提供因式法、公式法（直接利用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。

2.数学思想方法（核心概念）：本节课通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，在此过程中，通过观察、类比等方法，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解，渗透数学的“互逆”、降幂的思想，感受数学知识的完整性．十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的符号意识、应用意识、运算能力、推理能力。

二、备重点、难点1、教材分析：本节课是八下第四章《因式分解》的第三节课《公式法》的第1课时，属于“数与代数”领域中的“数与式”。

在前一课时，学生加深了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法因式分解，本节课通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，并会用平方差公式进行因式分解,同时让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

所以本课时的重点用平方差公式分解因式，难点是综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。

2、重点、难点分析本节课是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆向变形得到进行因式分解的方法，让学生进一步感受整式乘法与因式分解是互为逆变形的关系。

用平方差公式因式分解的关键在于学生能否正确地把多项式看成两个数或式的平方差。

因此确定：重点：1、掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式。

2、发展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解，渗透数学的“互逆”、降幂的思想，感受数学知识的完整性．难点：正确地把多项式看成两个数或式的平方差。

三、备学情（一）学习条件和起点能力分析：1、学习条件分析（1）必要条件：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式. （2）支持性条件：整式乘法与因式分解的互逆关系，类比提供因式法进行因式分解。

2019-2020学年八年级数学下册 第二章 2.3运用公式法学案（1）北师大版【学习目标】能运用平方差公式进行分解因式，充分了解平方差公式的特征。

【学习重点】掌握运用平方差公式分解因式【学前准备】1.写出分解因式的定义：2.什么叫提取公因式法3.提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？4.运用提公因式法分解因式：（1） ab a 842+ （2） 23212x x +-（3） ()()y x b y x a +++343 （4） ()()x y n y x m 222---（5） )(3)(22x y y x -+- （6） 32)(2)(5m n n m ---【师生探究合作交流】1.在多项式的乘法运算中()()__________=-+b a b a ，左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过就是： ____=()()b a b a -+，左边是一个多项式，右边是整式的乘积．大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？_____________2.公式()()b a b a b a -+=-22的特点是： ①等号的左边是一个多项式，②这个多项式的每一项都能写成平方的形式，如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.特别提醒：公式中的字母a 和b 既可以代表一个单项式，也可以表示一个多项式。

3．例题例1、分解因式：（1） 9-4x 2解：9-4x 2 =( 3 2)-( 2)=(3+ )(3- ) (2) 2291x a - 解：2291x a -=( 2)-( x 312)=( +x 31)( -x 31) (3) 12+-x解：12+-x =1-2x =( 2)-( 2) =( )( )(4)b m b a 22-解：例2、分解因式：(1) ()()229b a b a --+ (2) a a 823- 解： 解：(3) ()()22c b a b a +--+ (4) ()222y x x -- 解： 解：【议一议】判断下列分解因式是否正确，若错误请改正．（1）222222)(c b ab a c b a -++=-+（2）)1)(1(1)(122224-+=-=-a a a a你用了______分钟（真棒！）【小试牛刀】1.课本第1题写在书上2.把下列各式分解因式：① 222m b a - ② 241x +-③ ()()221--+x y x ④ 14-a⑤ ()()22c b a c b +--+ ⑥ 4416a x +-★3.如图，在一块边长为acm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为bcm 的正方形，求剩余部分的面积。

数学初二下北师大版2.3运用公式法（1）学案课型：新授 主编：张玮 审核：周明艳 学生姓名：_________[目标导航]1.学习目标〔1〕经历通过整式乘法的平方差公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，进展逆向思维能力和推理能力。

〔2〕会用公式法分解因式。

〔3〕在逆用乘法公式的过程中，了解换元的思想方法2.学习重点：会逆用平方差公式对多项式进行因式分解。

3.学习难点：熟练逆用平方差公式对多项式进行因式分解。

[课前导学]1.课前预习：阅读课本P54—P55并完成课前检测。

2.课前检测(1) 分解因式： ① m ma ma 442-- ②23)1(2)1(4---p p q(2) ①〔x+3〕〔x –3〕 = ；②〔4x+y 〕〔4x –y 〕= ；③〔1+2x 〕〔1–2x 〕= ；④〔3m +2n 〕〔3m –2n 〕= 、(3) 默写平方差公式：_____________ ______________________________________ ；3.课前学记〔课前学习疑难点、教学要求建议〕[课堂研讨](1)新课引入：①依照“课前检测填空”上面式子填空：9m 2–4n 2=；16x 2–y 2=；x 2–9=；1–4x 2=、②想一想观看上述式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？____________________________________________________________________________； ③结论：a 2–b 2=_________________；(2)新课讲解①例1把以下各式分解因式：12-x 21625x -22419b a - ②例2把以下各式分解因式：22)()(9n m n m --+x x 823-：本卷须知_______________________________________________________________；2.学习过关〔1〕判断正误：①x 2+y 2=〔x+y 〕(x –y )()②–x 2+y 2=–〔x +y 〕(x –y )()③x 2–y 2=〔x+y 〕(x –y )()④–x 2–y 2=–〔x+y 〕(x –y )()〔2〕把以下各式因式分解：①9m 2–4n 2②a 2b 2－m 2③(m －a )2－(n ＋b )2④–16x 4＋81y 4⑤3x 3y –12xy ⑥22)(c b a x -+-〔3〕如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的正方形、用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6，b =0.8时的面积、〔4〕把以下式子分解因式：①222224)(y x y x -+②2242249)(3b a b b a a -++③4)1(222-+a a 、[课外拓展]1.课后记〔收获、体会、困惑〕2.分层作业〔班级：_____________，学生姓名：____________〕A 必做题〔限时10分钟，实际完成时间：_______分钟〕〔1〕把以下各式分解因式①812-a ②236x -③2161b -④229n m -⑤2212125.0p q -⑥224169y x -⑦22229q b p a -⑧222449y x a - 〔2〕把以下各式分解因式 ①22)(n n m -+②22)(16)(49b a b a +--③22)2()2(y x y x +-+ ④22222)(y x y x -+⑤4233ay ax -⑥14-pB 选做题〔1〕如图，大小两圆的圆心相同，它们的半径分别是Rcm 和rcm ，求他们所围成的环形的面积，假如R=8.45，r=3.45呢？〔14.3=π〕、〔2〕用简便方法计算①1982-2022②6752×31-5752×31③(50111)2-(491110)2 C 思考题〔1〕当x=a+b,y=a-b 时，求代数式(x 2+y 2)2-(x 2-y 2)2的值、〔2〕两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。