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北师大版数学八年级下册 4.3.2公式法课件

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北师大版数学八下4.3《公式法》ppt课件1

北师大版数学八下4.3《公式法》ppt课件1

(1) 9 4x2 (2x 3)(2x 3)
(2)x2 y2 1 z2 (xy 1 z)(xy 1 z)
4
2
2
(3)0.25q2 121p2 (0.5q 11p)(0.5q 11p)
(4) p4 1 ( p2 1)( p2 1) ( p2 1)( p 1)( p 1)
分解因式需“彻底”！
你知道992-1能否被100整除吗？
再攀高峰
如图，在边长为6.8cm 正方形钢板上，挖去4个边 长为1.6cm的小正方形，求 剩余部分的面积。
能力提升
例2.分解因式：
(1) 4 (2m n)2 25
解：原式 ( 2)2 (2m n)2 5
2 5
(2m
n)
2 5
(2m
n)
( 2 2m n)( 2 2m n)
5
5
把括号看作一个整体
(2)9(m n)2 (m n)2
解：原式 3(m n)2 (m n)2 3(m n) (m n)3(m n) (m n)
第四章 因式分解
3 公式法（一）
九江市同文中学 钟敏
复习回顾
填空： （1）（x+5）（x-5） = x 2–25 ； （2）（3x+y）（3x-y）= 9x2 –y 2 ； （3）（3m+2n）（3m–2n）= 9m2 –4n2．
它们的结果有什么共同特征？
(a b)(a b) a2 b2
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
x(2x 3y)(2x 3y)
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。
结论： 分解因式的一般步骤：一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。

4.3.2 完全平方公式 北师大版八年级数学下册授课课件

4.3.2 完全平方公式 北师大版八年级数学下册授课课件

知2－练
2 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的 是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
4 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( C )
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2 ＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应 用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想 不到的解题效果．
1 把下列各式因式分解： (1)x2－12xy＋36y2； (2)16a4＋24a2b2＋9b4； (3)－2xy－x2－y2； (4)4－12(x－y)＋9(x－y)2.
( A) A．64 C．32
B．48 D．16
知1－练
4 已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值
为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
知1－练
5 给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个 完全平方式，则加上的单项式是 __4_x_4(_答__案__不__唯__一__)__(写出一个即可)．
错解解析： 错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间 项的符号是负的情况，产生漏解．
正确解法： 因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22， x2＋(m－3)x＋4是完全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或m＝－1.

八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件

八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件
解：(1)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)． (2)原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1) ＝(x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法， 让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特 点，恰当的分组是分组分解法的关键 .

北师大版八年级数学下册《公式法(第1课时)》精品课件

北师大版八年级数学下册《公式法(第1课时)》精品课件
把乘法公式反过来用,可以把符 合公式特点的多项式因式分解, 这种方法叫公式法。
新知讲解 平方差公式的特点： a2−b2= (a+b)(a−b) ①左边 两个数的平方差；只有两项
②右边 两数的和与差相积 思考：什么形式的多项式可以用平方差公式分解因式？ （1）两项 （2）平方 （3）异号
新知讲解
你对平方差公式认识有多深？
新知讲解
1：选择题
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4m²+n² B. 4m- (-n)² C. -4 m²-n³ D. - m²+ n²
2) -4a² +1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
新知讲解
2：把多项式9(a+b)2-4(a-b)2因式分解. 解：9(a+b)2-4(a-b)2
=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)] [3(a+b)-2(a-b)] =(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b) =(5a+b)(a+5b)
公式法（一）
北师大版八年级下册
新知导入
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样 式子的变形，叫做因式分解(或分解因式)。 问题2：我们已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法 问题3：把下列各式因式分解 (1)am-an (2)7x3-21x2 (3)a(x-y)+b(x-y)

4-3 公式法课件2022-2023学年北师大版数学八年级下册

4-3 公式法课件2022-2023学年北师大版数学八年级下册
4
2
2
2
2
跟踪练习1
把下列各式因式分解.
1 2 2 − 2
解： 原式 =(ab)2-m2
=(ab+m)(ab-m)
(2)-16x2+81y2
原式 =81y2-16x2
=(9y)2-(4x)2
=(9y+4x)(9y-4x)
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.
1 9 m n m n
2.会用平方差公式进行因式分解
3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再
考虑用平方差公式分解
教学重难点
1.重点：会用平方差公式进行因式分解
2.难点：发展学生的逆向思维，渗透数学的
“互逆”、换元整体的思想
学习目标
1.经历通过整式乘法公式的逆向变形得出公式
法因式分解的过程，发展逆向思维和推理能力.
2.会用平方差公式进行因式分解.
平方差公式
公式法
完全平方公式
问题引入
模块一
1.计算下列各式
观察这些式子，等式两边
分别有什么共同特征？
9x 2 y 2
9m2 4n2
2
2
a

b
a

b
=
a

b

两数或式的和与差的乘积
结果都是二项式，其中每一项都
是某数或式的平方，且两项符号
相反（一正一负）
模块二
例题讲解
例1.把下列各式因式分解.
1 2
2 9a b
4
1 25 16x
2
解：1 25 16x =52 - (4x)2 =(5 + 4x) (5 - 4x)

《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)

《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)

B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考


（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4

的值为


解析：由 +
得
+






= − − ，
− + + = ，


即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解

432公式法第2课时-广东省河源市正德中学北师大版八年级数学下册课件(共18张PPT)


2.多项式x2－mxy＋9y2能用完全平方公式分解,则m的
值 是( )
A.3 B. 6
C.±3
D.±6
3.已知代数式－a2＋2a－——无论a取任何值,它的值
一定是( )
A.正数 B.非正数 C.负数 D.非负数
4．把下列式子因式分解： (1)x2＋14x＋49;
(2)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9；
（3）2019×20132-2013×4028×2019+2019×20142
3.已知ab＝2,a－b＝3,求a3b－2a2b2＋ab3的值.
【课堂小结】 本节课我们主要学习了哪些知识?
课堂检测
1.计算1252－50×125＋252的结果为( )
A.100 B.150 C.10 000 D.22 500
因式分解：
(1)3x3－ 6x2y＋3xy2； (2)4x2y－4xy2－x3.
归纳：分解因式要注意以下问题：首先提 取公因式,然后考虑运用分式法,看能否用 平方差公式或完全平方公式分解因式.分 解因式要使每一个因式都不能再分解为止.
交流研讨、展示表现
1.小明同学利用完全平方公式对下列式子进行
因式分解，你认为正确的是(
第4章因式分解
§4.3公式法（第2课时）
学习目标
河源市正德中学
1.理解完全平方公式,弄清完全平方 公式的形式和特点. 2.掌握运用完全平方公式分解因式 的方法,能正确运用完全平方公式 把多项式分解因式.
(一)、温故知新 计算：(a＋b)2＝ (a－b)2＝ (x－3)2＝ (y＋1)2＝
； ； ； .
（5）9－6(m－n)＋( )2 （6） a2－b2＋2ab
归纳：能运用完全平方公式分解因式 的条件： ①多项式是三项式； ②两项可化为两个数(或整式)的平方； ③另一项为这两个数(或整式)积的2 倍.

北师大版八年级数学下册4.运用平方差公式因式分解精品课件


2 平方差公式与提公因式法综合运用
例3 计算下列各题：
(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
解：1012－992
解：53.52×4-46.52×4
＝(101＋99)(101－99) ＝400
＝4×(53.52－46.52) ＝4×(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n) ＝4(2m＋n)(m＋2n)．
若用平方差公式分解后的结果中有 公因式，一定要再用提公因式法继 续分解.
பைடு நூலகம்
课程讲授
2 平方差公式与提公因式法综合运用
(2)2x3-8x.
(2)原式＝2x(x2－4) ＝2x(x2－22) ＝2x(x＋2)(x－2)
示数、单项式、还是多项式， 只要被分解的多项式能转化成 平方差的情势，就能用平方差
公式因式分解.
课程讲授
2 平方差公式与提公因式法综合运用
例1 把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2;
(2)2x3-8x.
解：(1)原式＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝[3(m＋n)+(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]
课堂小结
运用平方差公 式因式分解
根据
两个数的平方差，等于这两个数的和 与这两个数的差的乘积。
a2-b2=(a+b)(a-b)
与提公因式 法综合运用
①提取公因式；
②运用平方差公式；
③检查多项式的因式分解是否完全，有没
有分解到不能再分解为止.
＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1).

北师大版八年级数学下册课件：4.3 公式法(2)

4.3 因式分解—— 公式法1 平方差公式
学习目标：
1、掌握平方差公式的特点 2、会熟练运用平方差公式分解因式
一、问题情景导入 分解因式
x2 25
你会做吗？
二、探究新知 1、（a+b)(a-b)=__a_2_-b_2____.
这个公式叫_平__方__差__公__式___。 从左边到右边的这个过程叫_整__式__乘__法____。
你会做了吗？
× X2+y2 × -x2-y2
-x2+y2 =y2-x2=(y+x)(y-x)
X2-y2 =(x+y)(x-y)
仔细填一填
19 y2 3y2
2 36
25
x2

6 x 2 5
3 9 t 2
4

3 t 2
2
例1 把下列多项式因式分解．
125 -16 x2
29a2 1 b2
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1
D. -(2a+1) (2a-1)
2.用合适的方法计算:
149.6 2 50.42
4
请同学们归纳运用平方差公式分解因式的关键 步骤：
1）变形： 2 2 即两个数的平方差
2）套公式： a²- b²= (a+b)(a-b)
注意:变形时平方的底数为乘积时注意要加“（）”
把下列多项式因式分解
19y 2 4x2 21 25 x2

数学八年级下北师大版4.3公式法(2)课件(12张)

第四章 因式分解
4.3 公式法 (2)
回顾思考
1、分解因式学了哪些方法？ 提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 运用公式法： a2-b2=(a+b)(a-b) 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
温故知新
例题演示
例1、把下列各式分解因式： (1) x2＋14x＋49 解：原式 x2 2 x 7 72
( x 7)2
(2) (m n)2 6(m n) 9
解：原式 (m n)2 2 (m n) 3 32 (m n 3)2
例题演示
例2、把下列各式分解因式：
(1) 3ax2＋6axy＋3ay2 解：原式 3a( x2 2xy y2 )
3a(x y)2
(2) -x2-4y2＋4xy2 -2 x 2 y (2 y)2 ]
(x 2 y)2
随堂练习
把下列各式分解因式：
(1)25x2＋10x＋1 (2)49a2＋b2＋14ab (3) -a2-10a -25
课堂小结
做一做
填空： （1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1 ) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=(2x+y ) 2
整式乘法
a 2 2ab b2 a b2 a2 2ab b2 a b2
因式分解 完全平方公式
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=3a(x²+2xy+y²) =3a(x+y) ² （2）－x²－4y²+4xy =-(x²+4y²-4xy) =-(x²-4xy+4y²) =-[(x²-2•x•2y+(2y) ²] =-(x-2y) ²
6
合作探究
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因 式分解，直至不能再分解为止.
（1）这种方法的关键是 凑成完全平方式 ；
（2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解.
9
合作探究
问题：阅读材料 我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）² 的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了， 我们可以采用如下 的办法： x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a² =（x+a）²-（2a）² =(x+3a)(x-a) （2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解. 解：（2）a²-8a+15= a²-8a+16-16+15
=（a-4）²-1 =（a-3）（a-5）
10
举一反三
1. 若x ²+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值． 解：∵x ²+2（a+4）x+25是完全平方式， ∴2（a+4）=±2×5， 解得a=1或a=-9． 故a的值是1或-9．
11
举一反三
2. 已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m=（x+3）（x+n） 则x ²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n ∴n＋3=-4，m=3n． 解得：n=﹣7，m=﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.
首项系数是负数时，应先提出“－”号或整个负数. 因式分解的一般步骤： （1）“提”，先看多项式各项，有就提出来； （2）“套”，尝试用乘法公式来分解； （3）“查”，因式分解必须进行到不能再分解为止.
7
合作探究
问题2：已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a ²+b ²+c ²=ab+ac+bc，是说明 ∆ABC是等边三角形.
（1）x ²＋14x＋49；
（2）（m＋n）²－6（m+n）＋9
解：(1) x ²＋14x＋49
=x ²+2×7x+7 ²
=(x+7) ²
(2)（m＋n）²－6（m+n）＋9
=[(m+n)-3] ²
=(m+n-3) ²
5
合作探究
探究点二 问题1： 因式分解下列各式 （1）3ax²+6axy+3ay²； （2）－x²－4y²+4xy. 解：（1）3ax²+6axy+3ay²
a²+2ab+b²=(a+b)²， a²-2ab+b²=(a-b)²； 形如 （a²±2ab+b²） 的式子称为完全平方式. 根据因式分解与整式乘法的关系，把乘法的公式反过来，我们就可以用乘法公 式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做 公式法 .
4
合作探究
问题2：把下列完全平方式因式分解：
A．x－1
B．x＋1
C．x²－1
D．(x－1) ²
4．对(x－1) ²－2(x－1)＋1因式分解的结果是( A )
A．(x－1)(x－2)
B．x²
C．(x＋1) ²
D．(x－2) ²
14
随堂检测
5. 把下列各式因式分解 (1)16x ²－(x ²＋4) ²； 解：原式＝(4x＋x ²＋4)(4x－x ²－4) ＝－(x＋2) ²(x－2) ². (2)(x ²－2xy＋y ²)＋(－2x＋2y)＋1. 解：原式＝(x－y) ²－2(x－y)＋1 ＝(x－y－1) ².
15
课堂小结
1.要想运用完全平方公式分解因式，必须紧扣完全平方公式的特点. （1）左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方. 这两个项的符 号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可. （2）右边是两个数(或两个式子)的和(或者差)的平方.当中间的乘积项与首末两项符号相同 时，是和的平方；反之，则是差的平方. 2. 因式分解的一般步骤： （1）“提”，先看多项式各项，有就提出来； （2）“套”，尝试用乘法公式来分解； （3）“查”，因式分解必须进行到不能再分解为止.
12
随堂检测
1b＋b²
B．a²＋2a＋2
C．a²－2b＋b²
D．a²＋2a＋1².
2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x²＋x＋1
B．x²＋2x－1
C．x²－1
D．x²－6x＋9
13
随堂检测
3．多项式mx²－m和多项式x²－2x＋1的公因式是( D )
D．x²+2a-1
a²±2ab＋b²
a
16x²＋24x+9
4x
1 －x＋x²
½
4
a²＋4－4a
a
4a²＋25b²－20ab
2a
b
（a±b）²
3
（4x+3）²
x
（½－x）²
2
（a－2）²
5b
（2a－5b）²
3
合作探究
探究点一： 问题1：事实上，把乘法公式的(完全平方公式)： (a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)
4.3.2 公式法
八年级下册
1
学习目标 1 掌握完完全平方式、全完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式. 2 逆用乘法公式的过程中发展逆向思维的意识和能力.
2
前置学习
1. 下列各式是完全平方式的是（ A ）
A．x²-x+
1 4
B．1 + x²
C．x+xy+1
2. 对照完全平方公式a²±2ab＋b²=（a±b）²填表：
解：∵a²+b²+c²=ab+bc+ac, ∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=0 等式两边同乘以2，得 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0 （a²-2ab＋b²）＋（b²-2bc＋c²）＋（c²-2ac＋a²）=0 ∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0， a=b=c 即∆ABC为等边三角形
8
合作探究
探究点三 问题：阅读材料 我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）² 的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了， 我们可以采用如下 的办法： x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a² =（x+a）²-（2a）² =(x+3a)(x-a) 像这样把二次三项式因式分解的数学方法叫配方法。