高中数学例谈导数法求解中点弦问题学法指导

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−． 由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−， 故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=， 整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ， 两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=， 即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=． 故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−， 即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−， 又2211222,2y x y x ==， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−， 因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。

高中数学：用导数法求解中点弦问题利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题，是高中数学繁难问题的一种通用解题方法。

1. 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义，把二次曲线方程看作：是x的函数，利用复合函数求导法则，可轻松求出切线的斜率。

如对圆，两边对x求导，则有，所以在切点（m，n）处的切线斜率－。

从而求出切线方程是。

类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。

2. 利用求导法求解中点弦问题如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切（如图1）。

此时缩小的曲线方程如，两边对x求导，可发现并不改变原方程求导的结果。

因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是在中点处的值。

图1应用1. 求中点弦方程例1. 已知双曲线方程，求以A（2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点B（1，1），能否作直线，使与所给双曲线交于P、Q两点，且点B是弦PQ的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解：对两边求导，得（1）以A（2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为（2）以B（1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为即。

但与双曲线方程联立消去y得，无实根。

因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在。

说明：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。

2. 证明与中点弦有关的不等式例2. 已知椭圆，A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，求证：。

证明：设AB的中点是P（m，n），则中点P在椭圆内，所以①对椭圆两边求导有，得故中点弦AB的斜率，所以线段AB的垂直平分线斜率满足：，得。

代入①式得。

3. 求与中点弦有关的轨迹问题例3. 已知定点A（0，2），椭圆，过A任意引直线与椭圆交于两点P、Q，求线段PQ中点的轨迹方程。

解：设线段PQ的中点为M（x，y）。

(完整)1. 中点弦问题(点差法)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)1. 中点弦问题(点差法)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)1. 中点弦问题(点差法)的全部内容。

圆锥曲线常规题型方法归纳与总结①中点弦问题;②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题；④圆锥曲线的相关最值（范围）问题；⑤求曲线的方程问题；⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题--—-—-点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ,将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：(1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02020=+k by a x . (2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0）则有 02020=-k by a x （3)y 2=2px(p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M （x 0，y 0),则有2y 0k=2p ，即y 0k=p.一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦,使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

导数中的零点问题解决方法解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。

一、能直接分离参数的零点题目此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。

例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。

解析：22()ln ()22g x x f x e a x ex x x =-⇒=-+，令2ln ()2x h x x ex x=-+，'21ln ()22x h x x e x-=-+，令'()0h x =，则x e = 当0x e <<时，'()0h x >，()h x 单调递增；当x e >时，'()0h x <，()h x 单调递 减，2max 1()()h x h e e e ==+ —注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。

所以21a e e=+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可） 二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。

导数在函数单调性与极值求解中的应用导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。

所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。

解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。

本文仅以历年高考试为例谈谈导数在函数单调性与极值求解中的应用问题问题，供鉴赏。

一、导数在单调性中的应用：函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。

利用在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件是()0f x '≥（或()0f x '≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0）。

方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。

1. 利用导数求单调区间：例1.函数y =x ln x 在区间(0，1)上是 A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0，e1)上是减函数，在(e1,1)上是增函数D.在(0，e1)上是增函数，在(e1,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性. 解：y ′=ln x +1,当y ′>0时，解得x >e 1.又x ∈(0,1),∴e1<x <1时，函数y =x ln x 为单调增函数.同理，由y ′<0且x ∈(0,1)得0<x <e1,此时函数y =x ln x 为单调减函数.故应选C.答案：C例2.函数y =sin 2x 的单调递减区间是__________. 分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解：y ′=2sin x cos x =sin2x . 令y ′<0,即sin2x <0， ∴2k π－π<2x <2k π,k ∈Z . ∴k π－2π<x <k π,k ∈Z .∴函数y =sin 2x 的单调递减区间是(k π－2π,k π),k ∈Z .2. 利用导数和单调性的关系，选择导函数与原函数的图像问题：例3.设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如下图所示,则y =f (x )的图象最有可能是（AC BD分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(－∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f (x )在x =0处取得极大值,在x =2处取得极小值.答案:C例4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中 ()y f x =的图象大致是( ）解析：由()y xf x '=图象可知：)(/x f y =在]1,1[-上小于等于零，故原函数在]1,1[-上为减函数，故选C ．评注：函数()y xf x '=图象提供了很多信息，但要抓住关键特点，如导数为零的点、导数为正值或负值的区间等．3. 利用导数和单调性的关系判断方程解的个数： 例5、方程3269100x x x -+-=的实根的个数是 （ ）A 、3B 、2C 、1D 、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。

效果分析我经常在思考：长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。

事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

1. 教材由山峰、山谷的实例，引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，非常直观，贴近生活。

2. 我在这里借助一个函数图像，把生活和数学联系起来，培养学生应用数形结合方法的习惯。

本节课在教师的积极引导下，学生能主动回答问题，提出问题，学生与学生之间，教师与学生之间有效的互动使课堂气氛和谐活跃，学生参与面广，能照顾到各个层次的学生。

课标分析本节课的重点是利用导数知识求导数的极值。

教材给出极大值、极小值、极值、极值点的定义后，借助函数图象介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义区间；其次，为了清楚起见，可用导数为0的点，将函数的定义区间分成若干小区间，并列表格，判断导数在各小区间的符号；求函数的最值，需要先确定函数的极大值和极小值，因此函数的极值的求法是关键。

学情分析学生前面学习了《利用导数研究函数单调性》，为学习本节奠定了基础，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难，本节课能进一步提高学生利用导数研究函数的能力。

在教学中要特别重视学法的指导。

随着《基础教育课程改革纲要（试行）》的颁布实施，课程改革形成由点到面，逐步铺开的良好态势。

倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。

数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。

我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。

在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了①创设情境——引入概念；观察归纳——形成概念②讨论研究——深化概念③寻找充要条件④即时训练—巩固新知⑤深入探讨——提高认识⑥任务后延——自主探究六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

最新最全的高考数学压轴题之点差法（中点弦）问题圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

一、自主证明1、定理在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.同理可证，在椭圆12222=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.2、定理在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅.同理可证，在双曲线12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.3、定理在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.题型归纳：一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

高中数学圆锥曲线中，如何解决中点弦的问题？
答：
一·中点弦问题
1.中点弦问题是圆锥曲线中一类典型的问题，是高考命题的热点。

2.中点弦问题即可以考查小题，也可以作为大题出现，常常涉及求直线方程、求直线斜率、求曲线方程、求曲线离心率等知识点。

3.下面以椭圆为例，处理中点弦问题常常有以下三种方法：韦达定理、点差法和椭圆的垂径定理。

二·典例剖析
三·失误提醒
1.值得说明的是，以上各种方法皆体现了“设而不求”的数学思想。

另外，法3其实是法2的结论的变形。

2.在选择、填空题中，三种方法皆可，不过采用椭圆的垂径定理更为快捷。

但是在解答题中，最好使用韦达定理或者点差法，避免因过程不严密而失分。

以上。

巧解“中点弦”问题山西阳城一中 茹阳龙解析几何中直线与圆锥曲线的相交弦问题，是近年高考中的常见题型，这类问题中，以弦的中点问题更是五花八门。

学生苦于找不到“通法”，烦于冗杂计算，现在综合解决这类问题的一种途径—端点法+点差法。

如果直线与圆锥曲线0y)f(x ,=的相交弦PQ 的中点为M y)(x,,利用“端点法”不妨设b)y a,P(x ++，Q b)y a,(x --,当弦PQ 的斜率K 存在时，K=a b ，进而知ka)y a,P(x ++，Q ka)y a,(x --。

这样就将弦中点坐标转移到了弦的两个端点上，然后将P 、Q 的坐标代入F ),(y x =0中，利用“点差法”作差化简，利用P 、Q 坐标的对称性，简化计算。

典型例题1已知椭圆)0(12222 b a by a x =+，A ，B 是椭圆上的点，线段AB 的垂直平分线ι与X 轴交于点P(X 0,0),证明：ab a x a b a 22022--- 。

回归目标：利用椭圆范围│x │＜a,│y │＜b证明：设AB 中点为P 1（11,y x ），由题设知，直线AB 的斜率存在，设为K ，则可设),(),,(1111kt y t x B kt y t x A --++。

因为ι,AB ⊥且过点P 1,P,所以 ,011011---=-=y x x k k 即 011x ky x =+ ①又点A 、B 在椭圆上，所以,)()(22212212b a kt y a t x b =+++ ②,)()(22212212b a kt y a t x b =-+- ③② - ③，得⋅-=1221x ab ky 代入①，得122212210x ab a x a b x x -=-=即 ⋅-=22021ba x a x 又点P 1在椭圆内部，所以a x a 1-，从而得ab a x a b a 22022--- 。

典型例题2给定双曲线1222=-y x .（1）过点A （2，1）的直线ι与反给双曲线交于两点P 1和P 2，求线段P 1P 2中点P 的轨迹方程；（2）过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给曲线交于Q 1和Q 2两点，且点B 是线段Q 1、Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用． 【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2006年辽宁卷）与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为A.ln(1y =B.ln(1y =C. ln(1y =-D. ln(1y =-[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥⇒-=，0,1x x e ≥∴≥，即：1ln(1x e x ==，所以1()ln(1f x -=. 故选A.例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时()()()//2211,0.11111.x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例3.（2004年重庆卷）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是_____________.思路启迪：求导来求得切线斜率.解答过程：y ′=x 2，当x =2时，y ′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y －4=4（x －2），即y =4x －4. 答案：4x －y －4=0.例4.（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 -4x +2y +25=0相切的直线的方程为 ( )A.y =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x C.y =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =31x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2x y -++=∴-圆心为213830., 3.3k k k k =+-=∴==- 1,3.3y x y x ∴==-或故选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222⎛⎫- ⎪⎝⎭由 ()()//22////113231(,)(,)22225(2)1,22(2)210,2.113,.313,.3x xx x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -⎛⎫⎡⎤-++= ⎪⎣⎦⎝⎭∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=故选A.例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，0122121=+++a x x若△=0)1(244=+⨯-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.∴当时21-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14y x =- .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例7．（2006年天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.例8. 设y f x =()为三次函数，且图象关于原点对称，当x =12时，f x ()的极小值为-1，求出函数f x ()的解析式.思路启迪：先设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，再利用图象关于原点对称确定系数. 解答过程：设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，因为其图象关于原点对称，即f x ()-=-f x ()，得ax bx cx d ax bx cx d b d f x ax cx3232300+++=-+-∴===+，，，即() 由f x ax c '()=+32，依题意，f a c '()12340=+=，f a c()121821=+=-， 解之，得a c ==-43，.故所求函数的解析式为f x x x ()=-433.例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。

2014年二轮复习椭圆之中点弦问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455椭圆之中点弦问题高考大纲自检自查必考点圆锥曲线总结：直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。

这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。

其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

中点弦常考题型（1）1||||PQ ABPB PA PQ AB k k =⇔⊥⇔=-设1122(,),(,)A x y B x y ，注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的，其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+，不要设为y kx b =+，因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222()1x kx m a b ++=，即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.自检自查必考点P QBAOyx21222212Q kmx x b x k a b+==-+ 22222222222222222111Q Q k m k m m k m m b b a b a y kx m m k k k a b a b a b -++=+=-+==+++ （由Q x 求Q y 分子是可消去的）故中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 定点P 设为(,)s t则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km km k x ss b b a b s k a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b km k k s b a b-+=---+ 2222222211()()km k km k kt s a a b b a b -+=++ 22222111()()()k km kt s a b a b -=++（2）以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y yx y ++== 易知P 点坐标212222221P Q km b x x x x k a b ==+=-+1212122()P Q y y y y kx m kx m k x x ==+=+++=++ 222222222222222211k m m k m m b a b a k k a b a b -++==++注意：1.不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ，因为点P 不在直线上. 2.由P x 求P y 分子是可消去的.故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上. 则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b-+++= 两边同时乘以22221()k a b +得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+ 注意：分母不要通分和化简，均采用整体法进行处理. （3）弦AB 的垂直平分线交,x y 轴分别为点,N M中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m km a b y x k k k a b a b-=-+++ 令0x =，得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b -+ 令0y =，得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+【例1】 已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.【例2】 证明在椭圆222210x y a ba b +=（＞＞）中，若直线l 与椭圆相交于M N 、两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.例题精讲【例3】 在直角坐标平面内，已知点(2,0),(2,0)A B -， P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为34-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点1(,0)2作直线l 与轨迹C 交于E F 、两点，线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.【例4】 设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上一动点()00,P x y 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.【例5】 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A B O 、，为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.。

圆锥曲线中的中点弦问题是指与圆锥曲线的弦和弦的中点有关的问题，主要有两种命题形式：一是求中点弦所在直线的方程；二是求中点弦中点的轨迹方程.圆锥曲线中的中点弦问题主要考查中点坐标公式、直线的斜率公式、直线的方程以及韦达定理.虽然圆锥曲线问题的综合性较强，运算量较大，但是同学们只要熟练掌握一些相应的技巧和解题思路，也能顺利破解难题.一、求中点弦所在直线的方程对求中点弦所在直线的方程问题，我们一般能根据已知条件求出圆锥曲线的方程、弦中点的坐标.求中点弦所在直线的方程的关键是求直线的斜率，求出了直线的斜率，便可利用直线的点斜式方程求得中点弦所在直线的方程.常用的方法有以下三种：1.利用韦达定理.首先设出中点弦所在直线的方程，然后将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去x 或y ，得到一元二次方程，利用韦达定理建立方程的根与系数之间的关系，结合弦中点的坐标，根据斜率公式求得直线的斜率和方程.2.点差法.先设出直线与圆锥曲线的交点坐标，然后分别将两点的坐标代入圆锥曲线的方程，并将两式相减，求出中点弦所在直线的斜率，结合直线的点斜式方程求得中点弦所在直线的方程.3.参数方程法.先引入相关参数，设出直线的参数方程，将其代入圆锥曲线方程，再结合弦中点的坐标建立关系式，最后消去参数便可得出所求直线的方程.例1.已知A ，B 两点是圆x 24+y 24=1与一条直线的两交点，且点M ()1,1是弦AB 的中点，求直线AB 的方程.解法一：利用韦达定理解：设直线AB 的方程为y -1=k ()x -1，由ìíîïïy -1=k ()x -1,x 24+y 24=1,可得()2k 2+1x 2-4()k 2-k x +2()k -12-4=0,设A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2，则x 1+x 2=2()k 2-k 2k 2+1,又点M ()1,1是直线AB 的中点坐标，所以x 1+x 22=2()k 2-k 2k 2+1=1，解得k =-12,所以直线AB 的方程为y -1=-12()x -1，即x +2y -3=0.我们将直线与圆的方程联立，通过消元得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理建立方程的根与系数的关系式，求得斜率，便能快速得到直线的方程.解法二：点差法解：设A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2，∵直线AB 的中点M ()1,1，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，又∵A 、B 两点是圆上的点，∴ìíîx 21+2y 21=4,x 22+2y 22=4,将两式相减可得()x 21-x 22+2()y 21-y 22=0，∴y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x22()y 1+y 2=-12，即k AB =-12,∴直线AB 的方程为y -1=-12()x -1，即x +2y -3=0.设出弦的两个端点的坐标后，将其代入圆的方程，将两式相减，所得的式中就会含有三个未知量x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1-y2x 1-x 2，这样就直接建立了中点和直线的斜率之间的联系，利用中点公式即可求得到直线的斜率．解法三：参数方程法解：设{x =1+t cos α,y =1+t sin α,（t 为参数）将其代入圆的方程x 24+y 24=1中,可得()1+sin 2αt 2+2()cos α+2sin αt -1=0.∴t 1+t 2=-2()cos α+2sin α1+sin 2α,∵AB 的中点为M ()1，1，∴t 1+t 22=-cos α+2sin α1+sin 2α=0,化简可得cos α+2sin α=0,即sin αcos α=-12,将其代入()1+sin 2αt 2+2()cos α+2sin αt -1=0中并消去参数t ，可得直线AB 的方程为x +2y -3=0.参数方程法较为直接，将直线的参数方程代入圆求解两类中点弦问题的思路涂建芳43锥曲线方程中，通过恒等变换消去参数即可得到直线的方程.二、求中点弦中点的轨迹方程对求中点弦中点的轨迹方程问题，我们一般能根据已知条件求出圆锥曲线方程、直线的方程或斜率.要求中点弦中点的轨迹方程，需求出弦中点的坐标或者相关的表达式.常用的方法有两种：1.点差法.首先设出直线与曲线的交点的坐标，将其代入曲线的方程中并作差，再结合弦所在直线的方程或者斜率，求出中点坐标或者表达式，化简便可求出中点弦中点的轨迹方程.2.变换中心法.设出中点弦的中点，根据点的对称性（弦的两个端点关于中点对称）建立关于弦中点与斜率的关系式，化简求出中点弦中点的轨迹方程.例2.已知点P ()-6，0是双曲线x 236-y 29=1上的一点，过点P 的直线与椭圆相交于Q 点，求PQ 的中点的轨迹方程.解法一：点差法解：设点M ()x ,y 为弦PQ 的中点，且P ()x 1,y 1、Q ()x 2,y 2，∴ìíîx 21-4y 21=36,x 22-4y 22=36,将两式作差可得()x 21-x 22-4()y 21-y 22=0，∴2x ()x 1-x 2-4∙2y ()y 1-y 2=0,又∵x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，∴y 1-y 2x 1-x 2=x4y,又∵k PQ=y -0x -()-6,∴x 4y =y x +6,∴PQ 的中点轨迹方程为x 2+6x -4y 2=0()x ≠-6.运用点差法解题的基本思路是，将点代入圆锥曲线方程中，将两式作差，建立x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1-y 2x 1-x 2三者之间的联系，代入两个已知式子的值，便可求出第三个式子的值.解法二：变换中心法解：设弦中点M ()x ,y ，Q ()x 1,y 1，∵x =x 1-62,y =y 12,∴x 1=2x +6,y 1=2y ,又Q 是双曲线上一点，∴x 2136-y 219=1,即4()x +3236-4y 29=1,∴PQ 中点M 的轨迹方程为()x +329-4y 29=1()x ≠-6,即x 2+6x -4y 2=0()x ≠-6.运用变换中心法解题的关键是利用点的对称性来建立关系式.解答圆锥曲线的中点弦问题的关键在于从“中点”入手，根据题目条件设出点的坐标、直线或曲线的方程，利用韦达定理、参数方程、点的对称性来解题.其中，运用点差法是解答中点弦问题的常规思路，也是最为简单且高效的方法.(作者单位:安徽省广德市实验中学)。

高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法）高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。

因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。

好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。

第一·认识导数概念和几何意义1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。

（2）理解导数的几何意义。

2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。

（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。

3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。

（2）了解微积分基本定理的含义。

总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！231(),,,,,y C C y x y x y x y y x======为常数()f ax b +第二·导数运用和解题方法一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。

2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。

解题技巧：1．导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。

高考数学复习考点题型专题讲解 题型:圆锥曲线中的中点弦【高考题型一】：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题。

『解题策略』：注：方程：221mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆；②当0,>n m 且n m =时，表示圆；③当n m ,异号时，表示双曲线。

点差法：答题规范模板：步骤1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：221mx ny +=交于两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ；步骤2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+⎧⎨=+⎩;22112222 1 (1)1 (2)mx ny mx ny ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩；步骤3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y mk k k x n =-=中中。

(作为公式记住，在小题中直接用。

)【题型1】：求值，利用结论求k 或斜率乘积定值。

1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为()0,3F ，过点F 的直线交椭圆于B A ,两点，若AB 的中点坐标为()11-，，则E 的方程为 ( ) A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x【解析】：由结论可得：222111ab -=⨯-，得222b a =，3=c ，选D 。

2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB 的中点为()12,15N --，则E 的方程为 ( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -=D.22154x y -=【解析】：由结论可得：()()221231501215ab =----⨯--，得2245b a =，3=c ，选B 。

妙解“中点弦”问题解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型、很重要的问题.解决这类问题的方法比较多,但多数方法的计算量都比较大.本文试图通过一些例题,给出一种巧妙的解法.如右图所示,点M 是线段AB 的中点,我们可以把有关点的坐标设为),(00n y m x A ++,),,(00y x M ),(00n y m x B --,这时有下面两个非常简单有趣的结论： ⑴)0(≠=m mn k AB ； ⑵222n m AB +=.解题时若能充分利用这两个结论,则可以轻松、快速、准确地解决“中点弦”的有关问题.例 1 椭圆141622=+y x 的弦AB 被点)1,2(M 平分,求弦AB 所在的直线方程.解:依题意,可设)1,2(n m A ++,)1,2(n m B --,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++.14)1(16)2(,14)1(16)2(2222n m n m两式相减,得21021044168-==⇒=+⇒=+m n k n m n m AB ,B A M故所求直线的方程为,1)2(21+--=x y 即.042=-+y x例2 椭圆方程为,4222=+y x 求以)1,1(为中点的弦AB 的弦长.解:由题意可设)1,1(n m A ++,)1,1(n m B --则有:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+++4)1(2)1(4)1(2)1(2222n m n m 以上两式相减得: 084=+n m21-==∴m n k AB 即n m 2-=将其代入4)1(2)1(22=+++n m 中可求得32,6122==m n , 所以弦AB 的长为31032612222=+=+=n m AB . 例3 过定点)0,1(A 的动直线l 交抛物线)0(22>=p px y 于M ,N 两点,求弦MN 的中点P 的轨迹方程.解:根据题意设),,(),,(),,(n y m x N n y m x M y x P --++则有⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+)(2)()(2)(22m x p n y m x p n y 两式相减得: y p m n k pm ny B==⇒=A 44 又,1-==x y k k AB MN故有y p x y =-1,即),1(2-=x p y 这就是点P 的轨迹方程.例4 如图所示,直线l 与抛物线x y =2交于B A ,两点,且2=AB 设线段AB 的中点为M ,当直线l 运动时,求点M 的轨迹方程.解：设),,(),,(n y m x A y x M ++),(n y m x B --，则有22)()(⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+m x n y m x n y两式相减得：mx n mx n 242=⇒= ① 两式相加得：2222222m x y m x y +=⇒+= ② 由①、②得).(4,22222x y x n x y m -=-= 而1222222=+⇒=+=n m n m AB , 所以有,1)(4222=-+-x y x x y即所求的轨迹方程为.1)41)((22=+-x x y。

高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）设而不求与点差法：⎧x 12y 12⎪2+2=1x 2y 2⎪a b 1a >b >0）第一步：若A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是椭圆2+2=（上不重合的两点，则⎨，22a b ⎪x 2+y 2=1⎪⎩a 2b 2第二步：两式相减得（x 1+x 2）(x 1-x 2）(y 1+y 2)(y 1-y 2)+=0，22a b 第三步：y 1-y 2x +x y +y2（x 0,y 0）是直线AB 的斜率k ，是线段AB 的中点，化简可得（12,1）x 1-x 222y 0y 1+y 2y 1-y 2b 2b 2⋅=-2⇒⋅k =-2，此种方法为点差法。

x 1+x 2x 1-x 2a x 0a x 2y 21a >b >0）若AB 是椭圆2+2=（上不垂直于x 轴的两点，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心，则直线a b b 2AB 与OP 的斜率之积为定值-2a 典型例题：x 2y 2例1.已知双曲线2-2=1(a >0,b >0),F (5,0)为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于A ,B 两a b 点，且AB 的中点M (-2例2.已知抛物线y =4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是（）4580,-)，则该双曲线的方程为 .77A .y =x -1B .y =2x -1C .y =-x +2D .y =-2x +3x 2⎛11⎫+y 2=1，例3.已知椭圆（1）求过点P ，⎪且被P 平分的弦所在直线的方程；2⎝22⎭（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（3）过A (2，（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足kOP⋅kOQ=-求线段PQ 中点M 的轨迹方程．例4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m >0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,1，2l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点 ⎛m ⎫,m ⎪,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的⎝3⎭斜率,若不能,说明理由.巩固提升：x 2y 21.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆G :2+2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭a b ，-1),则E 的方程为 ( )圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=14536362727181892.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,F (3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为N (-12,-15),则E 的方程为 ( )x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1364563544.已知抛物线y =2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )A.x =1B.x =-1C.x =2D.x =-25.设F 为抛物线C :y =4x 的焦点,过点P (-1,0)的直线l 交抛物线C 于A ,B 22两点,点Q 为线段AB 的中点,若FQ =2,则直线l 的斜率等于．6.已知倾斜角为45︒的直线l 过点A (1,-2)和点B ,B 在第一象限,|AB |=32.（1）求点B 的坐标;x 2F 两点,且线段EF 的中点坐标为(4,1),求a 的值.（2）若直线l 与双曲线C :2-y 2=1(a >0)相交于E 、ax2y2+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)．7．已知斜率为k的直线l与椭圆C：43(1)证明：k<-1；2(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP+FA+FB=0．证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．高中数学解析几何中点弦问题探究（设而不求与点差法）参考答案典型例题：x 2y 2例1.【答案】：9-16=1.⎧x 12y 12-=1⎪⎪a 2b 2【解析】解法一：中点弦问题一般采用点差法.c =5，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴⎨两式作差得22⎪x 2-y 2=1⎪⎩a 2b 2y 1+y 2-0(x -x 1)(x -x 2)(y -y 1)(y -y 2)y 1-y 2y 1+y 2b y 1-y 2b 22=,⇒⋅=⇒⋅=a 2b 2x 1-x 2x 1+x 2a 2x 1-x 2x 1+x 2-0a 228080--0-2a 1616b 277即k AB ⋅kOM =2, k AB =k FM ==1,k OM ==,⇒k AB ⋅k OM ==245459b 9a --5-772x 2y 2=1∴a =3,b =4，所以双曲线方程为-916.解法二： kAB=kFM80⎧y =x -5-0⎪消去y ，可得=7=1,设直线AB :y =x -5，⎨x 2y 245⎪2-2=1--5b ⎩a 7-⎧10a 2x 1+x 2=-2⎪10b 2⎪b-a 22222222(b -a )x +10a x -25a -a b =0⇒∆>0,⎨,y 1+y 2=x 1+x 2-10=-22222b -a -25a -a b ⎪x x =12⎪b 2-a 2⎩⎧5a 245-2=-222⎪25a 5b a 459⎪b -a 7所以M (,)⇒⇒==⇒a =3,b =4，⎨222222b -a b -a b 8016⎪-5b =-80⎪7⎩b 2-a 2x 2y 2-=1所以双曲线方程为916例2【答案】B⎧y 12=4x 1,【解析】由题意得：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，都在抛物线上⎨2y =4x 2⎩2y1-y 12=4(x1-x2)⇒2y 1-y 24=2，直线还经过P (1,1)，=x 1-x 2y 1+y2所以直线方程为y =2x -1例3.【解析】：设弦两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点R (x ，y )，则⎧x 12+2y 12=2，⎪22⎪x 2+2y 2=2，⎨⎪x 1+x 2=2x ，⎪y +y =2y ，⎩12①②③④①－②得(x 1+x2)(x1-x 2)+2(y 1+y2)(y1-y 2)=0．由题意知x 1≠x 2，则上式两端同除以x 1-x2，有(x1+x2)2(y1+y2)y 1+y 2=0，x 1-x2将③④代入得x +2y （1）将x =y 1-y2=0．⑤x 1-x2y -y 2111=-，故所求直线方程为：2x +4y -3=0．⑥，y =代入⑤，得1x 1-x 222222将⑥代入椭圆方程x +2y =2得6y 2-6y -所求．（2）将11=0，∆=36-4⨯6⨯>0符合题意，2x +4y -3=0为44y 1-y2=2代入⑤得所求轨迹方程为：x +4y =0．（椭圆内部分）x 1-x2（3）将y 1-y 2y -122=代入⑤得所求轨迹方程为：x +2y -2x -2y =0．（椭圆内部分）x 1-x 2x -22x 12+x 22+y 12+y 2=2，⑦，将③④平方并整理得（4）由①＋②得：2()22x 12+x 2=4x 2-2x 1x 2，⑧，y 12+y 2=4y 2-2y 1y 2，⑨4x 2-2x 1x2+4y 2-2y 1y 2=2，⑩将⑧⑨代入⑦得：4()y 21⎛1⎫222=1．再将y 1y 2=-x 1x 2代入⑩式得：2x -x 1x 2+4y -2 -x 1x 2⎪=2，即x +12⎝2⎭2此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4.【解析】:（1）点差法：step1：设直线与曲线：设直线l :y =kx +t 与曲线C :9x 2+y 2=m 2(m >0)交于两点A 、B ，AB 中点为P (x 中,y 中)，则有A ,B 既在直线上又在曲线上，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)；222⎧y 1=kx 1+t ⎧⎪9x 1+y 1=m ⋅⋅⋅(1)Step2：代入点坐标：即⎨；⎨222y =kx +t ⎪⎩22⎩9x 2+y 2=m ⋅⋅⋅(2)；Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：kOM⋅k l=-9；⎛-3mk +k 2m 9m -3km ⎫y M m ⎫⎛（2）设l 的斜率为k ，由联立得M .k =-9①，y M -m =k x M -⎪②， 3(k 2+9),k 2+9⎪⎪，x M3⎝⎭⎝⎭⎛-6mk +2k 2m 18m -6km ⎫得P 3(k 2+9),k 2+9⎪⎪，代入椭圆中得：⎝⎭k 4-8k 3+18k 2-72k +81=0，k 2+9k 2-8k +9=0，k =4±7，即存在。