苏教版高中数学必修2第一章立体几何初步1

1.2.3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理.知识点一直线与平面的位置关系思考如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？★★答案★★三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行. 梳理直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个1个0个符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点二直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？★★答案★★平行.思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？★★答案★★由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交. 梳理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行错误!⇒a∥α类型一直线与平面的位置关系例1下列说法中，正确的个数是________.①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.★★答案★★ 1解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，但AA′在过BB′的平面AB′内，故①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.反思与感悟(1)此类题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.(2)判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.跟踪训练1若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是________.(填序号)①α内的所有直线都与直线a异面；②α内不存在与a平行的直线；③α内的直线都与a相交；④直线a 与平面α有公共点. ★★答案★★ ④解析 直线a 不平行于平面α，则a 与平面α相交或a ⊂α，故④正确. 类型二 线面平行的判定定理及应用 命题角度1 以锥体为背景证明线面平行例2 如图，M ，N 分别是底面为矩形的四棱锥P —ABCD 的棱AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD .证明 如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE ， ∵N 是PC 的中点，∴EN ∥DC ， EN ＝12DC .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，NE ＝AM .∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . 又∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .反思与感悟 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找出一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.跟踪训练2 已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，如图所示，求证：PQ ∥平面ACD .证明 如图所示，取BC 的中点E ，连结AE ，DE .∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，∴A ，P ，E 三点共线且AE ∶PE ＝3∶1，D ，Q ，E 三点共线且DE ∶QE ＝3∶1，∴在△AED 中，PQ ∥AD . 又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD .命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例3 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，A 1C 1的中点，求证：EF ∥平面A 1CD .证明 ∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为A 1C 1的中点， ∴A 1F 綊12AC ，∵D 、E 分别是棱AB ，BC 的中点， ∴DE 綊12AC ，∴A 1F 綊DE ，则四边形A 1DEF 为平行四边形， ∴EF ∥A 1D .又EF ⊄平面A 1CD 且A 1D ⊂平面A 1CD ， ∴EF ∥平面A 1CD .反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法. 跟踪训练3 如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1.(1)求证：BC 1∥平面AB 1D 1；(2)若E ，F 分别是D 1C ，BD 的中点，求证：EF ∥平面ADD 1A 1.证明 (1)∵BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1∥AD 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1.(2)∵点F 为BD 的中点，∴F 为AC 的中点. 又∵点E 为D 1C 的中点， ∴EF ∥AD 1，∵EF ⊄平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1， ∴EF ∥平面ADD 1A 1.1.下列命题中正确命题的个数是________. ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ★★答案★★ 0解析 ①中，当l ∩α＝A 时，除A 点以外所有的点均不在α内；②中，当l ∥α时，α中有无数条直线与l 异面；③中，另一条直线可能在平面内.2.观察下列命题，在“________”处缺少一个条件，补上这个条件使其构成正确命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α. ★★答案★★ l ⊄α3.如图(1)，已知正方形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图(2)所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.★★答案★★ 平行解析 ∵BF ∥DE ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ， ∴BF ∥平面ADE .4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线A 1D 、B 1D 1的中点，则正方体6个面中与直线EF 平行的平面有________________. ★★答案★★ 平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA解析如图，连结A1C1，C1D，在△A1C1D中，EF为中位线，∴EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，C1D⊂平面C1CDD1，∴EF∥平面C1CDD1.同理可得EF∥平面A1B1BA.故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.5.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点.求证：B1O∥平面A1C1D.证明如图，连结B1D1，交A1C1于点O1，连结DO1.∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，∴四边形O1B1OD为平行四边形，∴B1O∥O1D.∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1.直线与平面的位置关系，其分类方式有两种：一类是按直线与平面是否有公共点，另一类是按直线是否在平面内.2.直线与平面平行的关键是在已知平面内找出一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.课时作业一、填空题1.下列命题正确的是________.(填序号)①若一条直线a与平面α平行，则直线a与平面α没有公共点；②若一条直线a与平面α有公共点，则直线a与平面α相交；③若一条直线a与平面α有两个公共点，则a⊂α.★★答案★★①③解析因为当a∥α时，a与α无公共点，所以①正确；因为当直线a与平面α有两个公共点时，a⊂α，所以②错误，③正确.2.若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是______.(填序号)①α内的所有直线都与直线l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内的直线与l相交；④直线l与平面α有公共点.★★答案★★④解析①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数多条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确.3.若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________.★★答案★★平行或相交解析当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交.所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交.4.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条.★★答案★★ 2解析由题意知，EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段.5.如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________.(填“平行”或“相交”)★★答案★★平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.6.如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________.★★答案★★平面A1C1与平面AD1平面AD1CD解析观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD.7.若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是________.★★答案★★平行把解析这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.8.过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.★★答案★★12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与平面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条.9.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________.★★答案★★平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.又∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.10.如图，四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形序号)★★答案★★①③解析①如图(1)，Q为所在棱的中点，连结MQ，NQ，PQ，则NQ∥AB，且NQ⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.②过N作AB的平行线交底面正方形于其中心O，NO⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行.③易知AB∥MP，MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.④如图(2)，过M作MC∥AB，∵MC⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行.二、解答题11.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是P A的中点.求证：PC∥平面BDQ.证明连结AC，交BD于O，连结OQ，因为底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点.又因为Q是P A的中点，所以OQ∥PC，又因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ.12.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，点G为BC 的中点.求证：OG∥平面EFCD.证明 ∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，∴点O 是BD 的中点.又点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD .又OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴OG ∥平面EFCD .13.如图，在直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.若P 为A 1B 1的中点，求证：DP ∥平面ACB 1，且DP ∥平面BCB 1.证明 由P 为A 1B 1的中点，得PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB . 又∵DC ∥AB ，DC ＝12AB ， ∴DC ∥PB 1，且DC ＝PB 1，∴四边形DCB 1P 为平行四边形.从而CB 1∥DP .又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1，∴DP ∥平面ACB 1.同理，DP ∥平面BCB 1.三、探究与拓展14.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)与直线AB 平行的平面是________；(2)与直线AA 1平行的平面是________；(3)与直线AB 1平行的平面是________.★★答案★★ (1)平面A 1B 1C 1D 1，平面CDD 1C 1(2)平面BCC 1B 1，平面CDD 1C 1(3)平面CDD 1C 1解析 如图，可知AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，AB ∥平面CDD 1C 1；AA 1∥平面BCC 1B 1； AA 1∥平面CDD 1C 1，AB1∥平面CDD1C1.15.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF.证明如下：连结CG交DE于点H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。

第2课时直线与平面平行的性质学习目标 1.理解直线与平面平行的性质定理.2.掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用定理证明一些简单的问题.知识点直线与平面平行的性质定理思考1如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？★★答案★★不一定，因为还可能是异面直线.思考2如图，直线a∥平面α，直线a⊂平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？★★答案★★无数个，a∥b.梳理表示定理图形文字符号直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行错误!⇒a∥b类型一线面平行的性质定理的应用命题角度1用线面平行的性质定理证明线线平行例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明连结MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.反思与感悟(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤①确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.②确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面.③确定交线.④由定理得出结论.(2)常用到中位线定理、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时，应根据题目的具体条件而定.跟踪训练1如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN ∥PQ .同理可得MQ ∥NP . 所以截面MNPQ 是平行四边形.命题角度2 用线面平行的性质求线段比例2 如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值.解 如图，连结BD 交AC 于点O 1，连结OM ， 因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ， 所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OCAC ，在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，所以OC O 1C ＝12.又AO 1＝CO 1， 所以PM P A ＝OC AC ＝14，故PM ∶MA ＝1∶3.反思与感悟 破解此类题的关键：一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需认真运算，才能得出正确的结果.跟踪训练2 如图所示，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，则A 1D ∶DC 1的值为______.★★答案★★ 1解析 连结BC 1，设B 1C ∩BC 1＝E ， 连结DE .由A1B∥平面B1CD可知，A1B∥DE.因为E为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，所以A1D∶DC1的值为1.类型二线线平行与线面平行的相互转化例3已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.已知如图，直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外.求证b∥α.证明过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c.因为a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以a∥c，因为a∥b，所以b∥c，又因为c⊂α，b⊄α，所以b∥α.反思与感悟直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理.跟踪训练3如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.证明因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.1.已知a，b表示直线，α表示平面.下列命题中，正确的个数是________.①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α.★★答案★★0解析①错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面；②错，a与b可能平行，也可能异面；③错，直线a也可能在平面α内.2.直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线________.(填序号)①只有一条，不在平面α内；②有无数条，不一定在α内；③只有一条，且在平面α内；④有无数条，一定在α内.★★答案★★③解析由线面平行的性质定理知，过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故填③.3.一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是________.★★答案★★梯形解析如图所示，AC∥平面EFGH，则EF∥HG.而对角线BD与平面EFGH不平行，所以EH与FG不平行.所以EFGH是梯形.4.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF ∥平面AB1C，则线段EF的长度为________.★★答案★★ 2解析∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC，∴EF∥AC.∵E是AD的中点，∴EF＝12AC＝12×22＝ 2.5.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F 分别是P A，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面P AC的位置关系，并加以证明.解直线l∥平面P AC.证明如下：因为E，F分别是P A，PC的中点，所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面P AC，EF⊂平面P AC，所以l∥平面P AC.1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.课时作业一、填空题1.过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为________.①都平行；②都相交但不一定交于同一点；③都相交且一定交于同一点；④都平行或都交于同一点.★★答案★★④解析分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点.2.如图，已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是__________.★★答案★★平行解析∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂α，α∩γ＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c.3.已知异面直线a，b外的一点M，那么过点M可以作________个平面与直线a，b都平行. ★★答案★★0或1解析过点M分别作直线a，b的平行线，若其中一条平行线与已知直线a或b相交，则满足题意的平面不存在.否则过点M的两条相交直线确定的平面与a，b都平行.4.如图，a∥α，A是α另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，则BD与EG的位置关系是________.★★答案★★BD∥EG解析因为a∥α，平面α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG.5.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为____________.★★答案★★3＋2 3解析∵CD∥AB，CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，∴CD∥平面SAB.又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ，∴CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴AB ∥EF .∵SE ＝EA ，∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝1，又DE ＝CF ＝3，∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.6.如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是______.★★答案★★ 平行四边形解析 ∵AB ∥α，平面ABC ∩α＝EG ，∴EG ∥AB .同理FH ∥AB ，∴EG ∥FH .又CD ∥α，平面BCD ∩α＝GH ，∴GH ∥CD .同理EF ∥CD ，∴GH ∥EF ， ∴四边形EFHG 是平行四边形.7.如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.★★答案★★ m ∶n 解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，HG ∥AC ， ∴EF ＝HG ＝BEAB m .同理，EH ＝FG ＝AEAB n ，∴BE AB m ＝AE AB n ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .8.已知正方体AC 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是平面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为________.★★答案★★22解析 如图，连结AD 1，AB 1，∵PQ ∥平面AA 1B 1B ，平面AB 1D 1∩平面AA 1B 1B ＝AB 1， PQ ⊂平面AB 1D 1，∴PQ ∥AB 1， ∴PQ ＝12AB 1＝1212＋12＝22.9.如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，过C 1，E ，F 的截面的周长为________.★★答案★★ 45＋6 2解析 由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.10.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝13，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.★★答案★★223解析 易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223.二、解答题11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.证明∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.12.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论.(1)证明∵BC∥AD，AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.又平面P AD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，∴BC∥l.(2)解MN∥平面P AD.证明如下：如图所示，取PD的中点E.连结EN、AE.∵N为PC的中点，∴EN 綊12AB . ∴EN 綊AM ，∴四边形ENMA 为平行四边形，∴AE ∥MN .又∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .13.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，点M 在侧棱PC 上，且PM ＝tPC ，若P A ∥平面MQB ，试确定实数t 的值.解 如图，连结BD ，AC ，AC 交BQ 于点N ，交BD 于点O ，连结MN ，则O 为BD 的中点.∵BQ 为△ABD 中AD 边的中线， ∴N 为正三角形ABD 的中心.设菱形ABCD 的边长为a ，则AN ＝33a ，AC ＝3a . ∵P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，∴P A ∥MN ，∴PM ∶PC ＝AN ∶AC ，即PM ＝13PC ，则t ＝13. 三、探究与拓展14.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形.E ，F 分别是侧棱AA 1，CC 1上的动点，AE ＋CF ＝8.P 在棱AA 1上，且AP ＝2，若EF ∥平面PBD ，则CF ＝________.★★答案★★ 2解析连结AC交BD于点O，连结PO，过点C作CQ∥OP交AA1于点Q.∵EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，∴EF∥PO.又∵CQ∥OP，∴EF∥QC，QE＝CF，∵四边形ABCD是正方形，CQ∥OP，∴PQ＝AP＝2.∵AE＋CF＝AP＋PQ＋QE＋CF＝2＋2＋CF＋CF＝8，∴CF＝2.15.如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明.解点D为AA′的中点.证明如下：取BC的中点F，连结AF，EF，如图.设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F，A共面于平面A′EF A.因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EF A，且平面DBC′∩平面A′EF A＝DO，所以A′E∥DO.在平行四边形A′EF A中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以点D为AA′的中点.。

3．对“一斜”、“二测”的理解，应把握以下两点： (1)互相垂直的 Ox、Oy 轴画成 O′x′、O′y′轴， 使∠x′O′y＝45°或 135°. (2)平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度取一半， 记为“横不变，纵折半”．
1．以下关于斜二测直观图画法的说法正确的是 ________．
图 1－1－30
【解】 画法如下： (1)在直观图中延长 D′A′，交 x′轴于 E′.
(2)画互相垂直的轴 Ox，Oy，取 OE＝O′E′，过 E 作 EF∥Oy，在 EF 上截取 AE＝2A′E′，AD＝2A′D′，再过 D 作 DC∥x 轴，过 A 作 AB∥x 轴，并且截取 DC＝D′C′， AB＝A′B′.
4．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸为上、下底面边 长分别为 1 cm、2 cm，高为 2 cm)
【解】 ①画轴．如图所示，画 x 轴、y 轴和 z 轴，三轴 相交于点 O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画下底面．以 O 为正三角形 ABC 的中心，在 y 轴上取
线段 EC，使 EC＝
(4)已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图 中 保持原长度不变 ；平行于 y 轴的线段，长度为 原来的一半 .
画水平放置的平面图形的直观图
直观图．
画出如图 1－1－27 所示水平放置的等腰梯形的【 Nhomakorabea路探究】
图 1－1－27
【自主解答】
画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系 x′O′y′，使 ∠x′O′y′＝45°.
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直 观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰 当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称 性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直 线上．

1.2.1平面的基本性质学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.知识点一平面的概念思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？★★答案★★没有.水平放置的正方形的直观图梳理(1)平面的概念广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.(2)平面的画法一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.知识点二点、线、面之间的位置关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？★★答案★★点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示.梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC上M∈平面AC点A1不在平面AC内A1∉平面AC直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？★★答案★★前者不在，后者在.思考2观察下图，你能得出什么结论？★★答案★★不共线的三点可以确定一个平面.思考3观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？★★答案★★不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理公理文字语言图形语言符号语言作用(推论)公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内⎭⎪⎬⎪⎫A∈αB∈α⇒AB⊂α(1)判定直线在平面内；(2)证明点在平面内公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线⎭⎪⎬⎪⎫P∈αP∈β⇒α∩β＝l且P∈l(1)判断两个平面是否相交；(2)判定点是否在直线上；(3)证明点共线问题公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α(1)确定一个平面的依据.(2)证明平面重合；(3)证明点、线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面A∉l⇒A和l确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒a，b确定一个平面α类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.类型二点线共面例2如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理3的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.类型三点共线、线共点问题命题角度1点共线问题例3如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图，连结A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC ∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P 、Q 、R 三点共线. 方法二 ∵AP ∩AR ＝A ，∴直线AP 与直线AR 确定平面APR .又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，∴平面APR ∩平面α＝PR .∵B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC ⊂平面APR .∵Q ∈BC ，∴Q ∈平面APR .又Q ∈α，∴Q ∈PR ， ∴P 、Q 、R 三点共线. 命题角度2 线共点问题例4 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点.求证：CE 、D 1F ，DA 三线交于一点.证明 如图，连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B 綊D 1C ， ∴EF 綊12D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面， ∴D 1F 与CE 相交，设交点为P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ， CE ⊂平面ABCD ，∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点. 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理2，可得P ∈DA ， 即CE 、D 1F 、DA 相交于一点.反思与感悟 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练4已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.证明如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交.设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.★★答案★★A∈l，l⊄α解析∵点A在直线l上，∴A∈l，∵l在平面α外，∴l⊄α.2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.★★答案★★无数解析由公理2可得.3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)★★答案★★①③④⑤4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.★★答案★★1或3解析若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定1个平面；若三条直线两两相交，且共点，则可以确定1个或3个平面.5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d 共面.证明因为A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点确定一个平面，设为α.因为A∈a，B∈a，所以a⊂α，因为A∈b，C∈b，所以b⊂α，因为B∈c，C∈c，所以c⊂α，所以a，b，c都在α内.因为D∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.又因为D∈d，E∈d，所以d⊂α，所以a，b，c，d共面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.课时作业一、填空题1.下列推理正确的是________.(填序号)①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若A∈α，A∈l，则l⊂α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合.★★答案★★①②④解析由公理1可知①正确；由公理2可知②正确；若A∈α，A∈l，则l⊂α或l与α相交，即l⊂α不一定成立，③错误；由公理3可知④正确.2.下列说法中，正确的是________.(填序号)①一条直线和一个点确定一个平面；②三角形一定是平面图形；③空间中两两相交的三条直线确定一个平面；④梯形一定是平面图形.★★答案★★②④解析因为一条直线和该直线上的一个点可确定无数个平面，所以①不正确；因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以②正确；因为长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确定三个平面，所以③不正确；因为梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以④正确.3.如图所示，用符号语言可表示为________.(填序号)①α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A；②α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A；③α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n；④α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n.★★答案★★①解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选①.4.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.★★答案★★PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.∵R∈l，∴R∈β.∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.5.空间任意4点最多可以确定的平面个数为________.★★答案★★ 4解析可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.6.过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是________.★★答案★★ 6解析如四棱柱中四条侧棱两两平行，过其中两条可确定4个侧面和2个对顶面，共确定6个平面.7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.★★答案★★P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.8.下列命题中正确的是________.(填序号)①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平面α和平面β可以只有一个交点.★★答案★★①解析借助三棱柱，可知②错误；借助正四面体，可知③错误；由公理2，可知④错误；由推论1，可知①正确.9.在底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________.★★答案★★ 5解析如图，底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中的每一个面都是平行四边形，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条.10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________.★★答案★★ 34a 解析 延长DM 交D 1A 1的延长线于G 点，连结GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a . 11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体经过P ，Q ，R 的截面图形是________.★★答案★★ 正六边形解析 如图，连结B 1D 1，作RG ∥B 1D 1交C 1D 1于G ，连结QP 并延长与CB 的延长线交于M ，连结MR 交BB 1于E ，连结PE ，PE 为截面与正方体的交线.同理，延长PQ 交CD 的延长线于N ，连结NG 交DD 1于F ，连结QF .∴截面PQFGRE 为正六边形.二、解答题12.已知：A ∈l ，B ∈l ，C ∈l ，D ∉l ，如图所示.求证：直线AD ，BD ，CD 共面.证明 因为D ∉l ，所以l 与D 可以确定一个平面α，因为A ∈l ，所以A ∈α.又D ∈α，所以AD ⊂α.同理，BD ⊂α，CD ⊂α，所以AD ，BD ，CD 在同一平面α内，即直线AD ，BD ，CD 共面.13.如图，直角梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB >CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线.解 由题意得点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上.由于AB >CD ，则分别延长AC 和BD 交于点E ，如图所示，∵E ∈AC ，AC ⊂平面SAC ，∴E ∈平面SAC .同理可证E ∈平面SBD .∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上，则连结SE ，直线SE 就是平面SBD 和平面SAC 的交线.三、探究与拓展14.空间中有A ，B ，C ，D ，E 五个点，已知A ，B ，C ，D 在同一个平面内，B ，C ，D ，E 在同一个平面内，那么这五个点________.(填序号)①共面；②不一定共面； ③不共面；④以上都不对.★★答案★★ ②解析 当B ，C ，D 三点共线时，B ，C ，D 三点不能确定平面.A ，B ，C ，D 所在的平面和B ，C ，D ，E 所在的平面可能不同，所以A ，B ，C ，D ，E 五点不一定共面.15.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，G ，H 分别是CD 和AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD ＝2.求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点. 证明 如图，连结EF ，GH .因为AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CG GD＝2，所以EF ∥AC ，HG ∥AC ，且EF ≠GH ，所以EH ，FG 共面，且EH ，FG 不平行.不妨设EH ∩FG ＝O ，因为O ∈EH ，EH ⊂平面ABD ，所以O ∈平面ABD .因为O ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，所以O ∈平面BCD .又因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以O ∈BD ，所以EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点O .。