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王正行 量子力学原理笔记

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中科院量子力学超详细笔记

中科院量子力学超详细笔记
hν
+ (hν )2 + (
′)2 − 2h2νν ′ = m2c4 hν ′)2 − 2h2νν ′ cosθ
+ m02c4 = m2c4
− 2mm0c − m02c4
4
后者减前者，得
( ) 2h2νν ′(1− cosθ ) = 2mm0c4 − 2m02c4 = 2m0c2 mc2 − m0c2
的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。
《光电效应问题》 自 1887 年 Hertz 起，到 1916 年 Millikan 为止，光电效应的实验 规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经典物理学所理解的实验事实 有： 反向遏止电压(和逸出电子的最大动能成正比)和入射光强无关； 反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系； 电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。 它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电子
射在金属表面的波场是一种微粒集合。沿着这一思路前进，人们甚至
可以引入光子的“有效”质量 m∗ ，即
m∗ = ε = hν c2 c2
于是，若在重力场中，一个光子垂直向上飞行了 H 距离，其频率要由
原来的ν 0 减小为ν :
hν 0
=
hν
+
hν c2
gH
，从而 ν
<
ν0
这说明垂直向上飞行的光子，其频率会产生红移1。这一现象在 1960
样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这个弛豫时间很短，
它不大于10−9 秒。为了解决这些矛盾，1905 年，Einstein 在 Planck 的 能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出了光量子概念，并指出
光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电子的逸出。他的光电效应

量子力学内容总结

量子力学内容总结
并说明波长最短的是哪一条谱线．
解：(1) hν = hc / λ = 2.86eV
(2) 由于此谱线是巴耳末线系，其 k =2
由 E1 = -13.6 eV
E2 =E1 / 22 =−3.4 En = E1 / n2 = EK +hν
n=
E1 = 5
E2 + hν
(3) 可发射四个线系，共有10条谱线．见图 波长最短的是由n =5跃迁到n =1的谱线．
示．描写粒子状态的波函数为 ψ = cx(l − x)，其中c为待定常
0
1 3
l
x l
量．求在0~ l / 3 区间发现该粒
子的概率 ． l
解：由波函数的性质得 ∫ ψ 2 d x =1
l
0
∫ 即 c 2 x 2(l − x)2 d x = 1
0
由此解得 c = 30 /l /l 2
c2 = 30 /l 5
E = hν
粒子性
p= h λ
描述光的 波动性
四 氢原子光谱公式
波数
σ
= 1 = R( 1 − 1 )
λ
n n 2
2
f
i
nf = 1,2,3,4,L, ni = nf +1, nf + 2,nf + 3,L
里德伯常量 R = 1.09737×107 m−1
五 玻尔的氢原子能级公式
E1
=
−
me
8ε
2 0
(普朗克常量 h =6.63× 10－34 J·s)
39. 氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到能量为－3.4
e V的状态时 ，所发射的光子能量是__2_.5_5__e V，这是电

量子力学总结

量子力学总结

2个费米子
A k1k2
q1,q2
12k1
q1k2
q2k1
q2k2
q1
Quantum Mechanics
1 k1 q1 k1 q2 2k2 q1 k2 q2
2个玻色子
s k1k2
q1,q2
cn 2an
A (rv)(rv)drv n cn2
n
对于归一的波函数此项为一。
Quantum Mechanics
矩阵表示
A
a1
c1
b1
d1
A ac11
b1 d1
*
a1 c1
db1112an12
A
n
Quantum Mechanics
解存在的条件
久期方程
a1 an
b 0
c d1 an
给出 a n ，一般是多值。 对应不同本征值 a n 代入本征方程中，在考虑归一化条件，
A B A B 1 [A ,B ] 1[A ,B ]
2
2
Quantum Mechanics
2、量子力学基本原理： （1）状态→数学上用波函数描述，波函数是
(r,t)的函数，
是希尔伯特空间中的矢量。
波函数满足标准化条件：单值、连续、有限（或平方可积）。
波函数|ψ(x,t)|2才有物理意义，解释为概率密度。 在t时刻，在x--x+dx区域发现粒子的概率：dp=|ψ(x,t)|2 dx
a* c* a b b* d* c d
Quantum Mechanics
② AB C C B A
③ 本征值为一些实数， ④ 计算的常用基本公式
也是体系中测量这些力学量得 到的测量值
[xi, pˆj ]iij (i, j 1,2,3)

量子力学笔记

量子力学笔记

量子力学笔记量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支之一，它描述了微观世界的规律和现象。

本文将介绍量子力学的基本概念、原理和应用。

一、波粒二象性在量子力学中，微观粒子既表现出粒子的特点，也表现出波动的特点，这被称为波粒二象性。

根据量子力学原理，微观粒子的性质可以用波函数来描述。

波函数是描述微观粒子状态和运动规律的数学函数。

二、不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要原理之一，由海森堡提出。

该原理指出，当我们测量微观粒子的某个性质时，例如位置和动量，我们不能同时精确地知道它们的数值。

精确地测量其中一个性质会导致对另一个性质的测量结果存在不确定性。

三、量子态和量子叠加在量子力学中，微观粒子的状态用量子态表示。

一个量子态可以是一个波函数或由多个波函数组成的线性叠加态。

量子叠加使得微观粒子可以同时处于多个状态，直到被观测或测量之前。

四、观测和测量量子力学认为，当我们观测或测量微观粒子时，它的量子态会坍缩到一个确定的态。

这个过程被称为波函数坍缩。

观测结果是由量子态坍缩到一个确定态而得到的。

五、量子纠缠和量子隐形传态量子纠缠是量子力学中一个特殊而奇妙的现象。

当两个或多个微观粒子发生相互作用后，它们的量子态相互依赖，无论它们之间的距离有多远，任一粒子的态发生变化，其他纠缠粒子的态也会相应变化。

这种相互依赖的关系被称为量子纠缠。

六、量子计算和量子通信量子力学的发展也催生了量子计算和量子通信的研究领域。

量子计算利用量子叠加和纠缠的特性，可以在某些问题上具有更高的计算效率。

量子通信利用量子纠缠实现量子隐形传态和量子加密，具有更高的安全性和可靠性。

总结：量子力学是一门复杂而精密的学科，它的发展和应用正不断推动着科学和技术的进步。

通过对量子力学的研究，我们可以更深入地理解微观世界的奥秘，并且在诸多领域取得令人瞩目的成果。

量子力学的理论框架为现代科学研究提供了重要的基础，也为人类认识世界的边界提供了新的视角。

量子力学笔记

量子力学笔记

量子力学一、量子力学的实验基础1.卢瑟福实验：a 粒子的质量远大于电子，两者的质心几乎就在a 粒子上。

虽然二体系统有内部的相互作用，但它们的质心是自由运动的，故电子对a 粒子的作用不影响a 粒子的运动。

a 粒子散射时，原子的正电荷部分受到反冲力，导致薄片晶格的振动。

2.原子光谱是原子内部电子运动情态的反映。

光谱项T。

氢原子光谱的频谱是离散的，且不是连续谱亦非由基频和倍频构成的频谱，这个性质直接来源于原子中电子运动具有能级的特性以及光具有粒子性。

3.光电效应实验中无法用经典物理学解释的现象：（1）反向遏止电压和入射光强无关；（2）反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；（3）电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。

4.爱因斯坦方程：φω−=ℏT ，表示金属电子吸收一份光能量而获得T 的动能逸出金属，φ为脱出功，与材料有关。

5.光子：（1）博特实验（W.Bothe experiment）表明每份光能量是集中的；（2）贾诺希实验（L.Janossy experiment）表明每份光子落在何处是偶然事件，也就是说电磁波是光子的概率幅波。

（量子力学有整体性，光子的运动受到整个环境的影响。

）6.爱因斯坦关系：ωℏℏ==E k p ,。

P 和E 描写光子，k 和ω描写单色波。

【注意：说光有波粒二象性是沿用经典物理的语言。

光有波动性，是指光的运动没有轨道；光具有粒子性，是指光与电子相互作用时像粒子那样，而不像经典的波场那般。

】7.康普顿（pton）效应应用了“静电子模型”（靶原子的外层电子）。

康普顿波长：�ℏA mc0242621.02==Λπ。

计算过程中考虑了能量守恒（相对论力学）和动量守恒（矢量力学），2sin 22θλΛ=∆。

（1）对于原子内层的“束缚电子”，由于它们与原子核束缚的紧，应作为一个整体看待，“静电子模型”不成立。

光子撞不动整个原子，只是自己改变方向。

因此实验中出现了0=∆λ的成分。

（2）对于可见光，能量和动量小，靶原子的外层电子应作束缚电子看待，“静电子模型”不成立。

量子力学知识点总结

量子力学知识点总结

v

2mx

1.05 1034 2 9.1 1031 1010

0.6106 m/s
按经典力学计算
v2 m
r

k
e2 r2
v
ke2 mr
9109 (1.6 1019 )2 9.11031 0.5 1010
2.2106m/s
速度与其不确定度 同数量级。可见，对原 子内的电子，谈论其速 度没有意义，描述其运 动必须抛弃轨道概念， 代之以电子云图象。
Uc[V]
(2)普朗克常量。
0.5
解：以频率为横轴,以截止电
压Uc为纵轴，画出曲线如图所
示( 注意: Uc 0 )。
0.0
4.0
5.0
6.0
1014Hz
图 Uc和 的关系曲线
(1) 曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率， 由图上读出的红限频率
0 4.27 1014[Hz]
1.0
1、光子的能量：
h
2、光子的动量：
p h
3、爱因斯坦光电效应方程

1 2
mV
2 m

h
A
4、光电效应的红限频率
三、光的波粒二象性
0

A h
5、康普顿效应
光既具有波动性，也具有粒子性。
光的粒子性：
h 光的波动性：
用光子的质量、 能量和动量描述，
p h

用光波的波长 和频率描述，
解 单色光照射钠金属，发生光电
效应，利用数据，可求出逸出功
A

h

1 2
mv
2 mLeabharlann hc
1 2

量子力学知识点总结

量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。

这是量子力学的基本原理之一。

波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。

5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。

6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。

7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。

8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。

即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。

9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。

10.i ；ˆxi L ；0。

11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。

12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。

自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。

14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。

16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。

《量子力学》考试知识点(精心整理)

《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。

2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。

第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应用：定态薛定谔方程第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。

（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。

高等量子力学笔记


三、 讨论. .................................................................................................................................................... 4
1. 产生、消灭算符的对易关系 ............................................................................................................. 5
2. 产生算符和消灭算符之间的对易关系。.......................................................................................... 5
7. 激发态 ............................................................................................................................................... 13
一、 N 个全同费米子（Slater 行列式）.................................................................................................... 3
二、 波色子体系 ......................................................................................................................................... 4

[理学]量子力学第1讲

Quantum Mechanics
主要参考书
量子力学，科学出版社 曾谨言
量子力学原理，北京大学出版社 王正行
量子力学原理，科学出版社 P.A.M. 狄拉克
高等量子力学， Quantum Theory
P. Roman Quantum Mechanics – Symmetries
矢量空间的元素称为矢量。
如果a是实数，则空间称为实数域上的矢量空间。
如果a是复数，则空间称为复数域上的矢量空间。
二、内积空间
内积：在矢量空间L 中按顺序任意取两个矢量和
，总有一个数c与之对应，记为：
(, ) c
称c为这两个矢量的内积或数积。 内积运算要满足：
(1) (,) (,)*
(2) (, ) (,) (, )
左矢空间和右矢空间合在一起，与原来由矢量
构成的希尔伯特空间L 等价。
基矢的正交归一关系： ei | e j i j
| | ei ei |
i
| | ei ei |
| ei ei | 1
i
i
| | ei ei |
i
七、函数空间
对区间[a,b]上的所有连续的、平方可积的
证：
[
Aˆ (
n1)
,
Bˆ ]
Aˆ ,
[
Aˆ (
n)
,
Bˆ
]
设 Fˆ () e Aˆ Bˆe Aˆ
dFˆ () d
e
Aˆ
(
Aˆ Bˆ
Bˆ Aˆ )e
Aˆ
e Aˆ [Aˆ, Bˆ]e Aˆ
d2Fˆ () d2
d
d
e
Aˆ [
Aˆ,
Bˆ ]e
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( ) −2 (a1b1 + a2b2 +L + anbn ) x + b12 + b22 +L + bn2
Q
f
(x)
≥
0∴∆
≤
0(Q ax2
+
bx
+
c
≥
0
⇒
x2
+
b a
x
+
c a
≥
0
⇒
(x
+
b )2 2a
−
b2 4a2
+
c a
≥
0
⇒ b2 − 4ac ≤ 4a2 (x + b )2即b2 − 4ac ≤ 0) 2a
( )( ) φ ϕ + ϕ φ = ψ − i∆Aˆ ∆Bˆ + i∆Bˆ ∆Aˆ ψ = ψ − i Aˆ − Aˆ Bˆ − Bˆ ( )( ) +i Bˆ − Bˆ Aˆ − Aˆ ψ = ψ − iAˆ Bˆ + iBˆ Aˆ ψ = −i ψ Aˆ − Bˆ ψ = −i Aˆ − Bˆ
代回(2)式，有
å å ln y = y m ln lm = y md nm =y n
m
m
å å y = ln y n = ln ln y
n
n
由于 y 是任意态矢量，所以上式表示
å ln ln = 1
(3)
n
{ } { } 这就是本征态矢量组 ln 的完备性公式，它在由 ln 张成的线性空间成立。其中的
两次进行。
[ ] 将 qr , ps = ihδrs 代入(7)式，就得到下述 Heisenberg 测不准关系
线性变换
∆q∆p ≥ h 2
a → a' = Uˆ a , a → a' = a Uˆ
c = Aˆ b 用Uˆ作用→ c' = UˆAˆ b = UˆAˆ UˆUˆ b = Aˆ ' b'
第一章 基本原理 波函数 观测量的本征态、算符、本征值方程、测不准定理 线性变换 幺正变换 统计系综
第一章 基本原理
波函数 态矢量 ψ 在某个方向 q 的投影 q ψ ，称为态在该方向的波函数，记为ψ (q) ，
ψ (q) = q ψ
例如：ψ (rr) = rr ψ ,ψ ( pr) = pr ψ 。
φ = i∆Aˆ ψ , ϕ = ∆Bˆ ψ
由于观测量的算符是厄米的， Aˆ † = Aˆ , Bˆ † = Bˆ ，有
( ) ( ) φ φ = ψ i∆Aˆ i∆Aˆ ψ = ψ ∆Aˆ 2 ψ = ∆Aˆ 2 ( ) ( ) ϕ ϕ = ψ ∆Bˆ∆Bˆ ψ = ψ ∆Bˆ 2 ψ = ∆Bˆ 2
ln
÷ ø
y
=
n
ln ln ln
y
=j
åln
ln
ö÷ ø
=
n
y
ln
ln
ln
=
c
用(5)式定义的算符 Lˆ 作用于它的本征态 ln ，代入(1)式，可以得到
å Lˆ ln
æ =ç
èn
ln
ln
ö
ln
÷ ø
ln
= ln ln
这就是从算符 Lˆ 求它的本征态和本征值的本征值方程。
能够表示一个物理观测量的算符，在数学上必须满足的条件是：线性，厄米性，在态矢 量空间内作用，本征态组有完备性。
测不准定理 对于任意两个物理观测量 A 与 B ，在任一态 ψ 上测量它们，所得结果的均方
差满足不等式
( ) ( ) ∆Aˆ 2
∆Bˆ 2
≥1 4
i Aˆ , Bˆ 2
(7)
证明 对于任意一个归一化态矢量 ψ ，令
幺正变换
Aˆ ' = UˆAˆ Uˆ
求 Aˆ ' = UˆAˆ Uˆ 的共轭，并要求它不变，有
( ) ( ) Aˆ ' = UˆAˆ Uˆ −1 = Uˆ −1 Aˆ Uˆ Uˆ −1Aˆ 'Uˆ =Uˆ −1UˆAˆ Uˆ −1Uˆ =Aˆ →Uˆ −1Uˆ −1Aˆ 'UˆUˆ = UˆUˆ −1 Aˆ ' UˆUˆ = Aˆ ' ( ) ( ) ( ) 两边同除 UˆUˆ −1 得： Aˆ ' UˆUˆ = Aˆ ' UˆUˆ ，此式成立的条件是UˆUˆ = c, c 是一实常数。
⋅ϕϕ
≥
1 4
φ
ϕ
+ ϕφ
2
( ) ( ) ( ) Cauchy − Schwarz不等式 : a12 + a22 +L + an2 b12 + b22 +L + bn2 ≥ a1b1 + a2b2 +L + anbn 2
( ) f (x) = (a1x − b1)2 + (a2 x − b2 )2 +L + (an x − bn )2 = a12 + a22 + L + an2 x2
å Lˆ º ln ln ln
(5)
n
算符 Lˆ 可以从左边作用于右矢量 y ，得到一个新的右矢量 j ，或从右边作用于左矢量
1
第一章 基本原理 波函数 观测量的本征态、算符、本征值方程、测不准定理 线性变换 幺正变换 统计系综
y ，得到一个新的左矢量 c ，
å å Lˆ y
æ =ç
èn
ö
ln
ln
( )( ) ∴ −2 (a1b1 + a2b2 +L + anbn )2 − 4 a12 + a22 +L + an2 b12 + b22 +L + bn2 ≤ 0 ⇒ ( )( ) ( ) a1b1 + a2b2 +L + anbn 2 ≤ a12 + a22 +L + an2 b12 + b22 + L + bn2
ln ln 是把态矢量 y 投影到 ln 方向的投影算符。(3)式的几何含义是，任一态矢量在空间
所有方向的分量的和应等于它自己。 观测量的算符和本征值方程
在态 y 上测量 L 多次所得平均值 L 的计算公式为
å å L = ln ln y 2 = y ln ln ln y = y Lˆ y
n
n
其中 y 是归一化态矢量， Lˆ 是下述线性算符
另一方面，令 χ = γ φ + ϕ ,γ 为任意实数，则
χ χ =γ2 φ φ +γ ( φ ϕ + ϕ φ )+ ϕ ϕ
χ χ ≥ 0 的条件为
2
第一章 基本原理 波函数 观测量的本征态、算符、本征值方程、测不准定理 线性变换 幺正变换 统计系综
φϕ
+ ϕφ
≥ 0 Cauchy−Schwarz不等式→ φ φ
观测量的本征态 正交归一性
ln lm = d nm
(1)
完备性
{ } 任意可观测量 L 的物理态 y ，根据态的叠加原理，可以写成本征态组 ln 的展开式
å y = y n ln
(2)
n
{ } 称为本征态组 ln 的完备性。其中的展开系数y n 相当于态矢量 y 在坐标轴 ln 上的坐标。
计算 y 与 ln 的内积
于是
( φ ϕ + ϕ φ )2 ≤ ( φ φ + ϕ ϕ )( ϕ ϕ + φ φ ) = 4 φ φ ⋅ ϕ ϕ
φ φ , ϕ ϕ , φ ϕ + ϕ φ 代入即得结果。
有时说在任一态上“同时测量” A 与 B ，这并不一定是在一次测量操作中既测量 A 也 测量 B 。当 A 与 B 相容时，测量可以在一次操作中完成，而当它们不相容时，测量只能分