中考专题- 胡不归专题(解析版)

专题03

胡不归专题

在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：

（1）胡不归问题；

（2）阿氏圆．

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1

V1V2V1驿道砂石地ABCV2V1MNCBA

【问题分析】

121121=VACBCBCACVVVV，记12VkV，即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，即CHkAC，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

CH=kACsinα=CHAC=kHDαABCNMMNCBAαDH

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则55CDBD的最小值是_______．

【分析】本题关键在于处理“55BD”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，5sin5ABE，故作DH⊥AB交AB于H点，则55DHBD．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时45CDDHCHBE．

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

变式练习>>>

1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则32PBPD的最小值等于________．

【分析】考虑如何构造“32PD”，已知∠A=60°，且sin60°=32，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得32PHPD，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长． ABCDEHEDCBAABCDEHαsinα=55HEDCBAEDCBABCDPMHPDCBAABCDPHM

例题2. 如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵的度数为120°，∵∵C＝60°，

∵AC是直径，∵∵ABC＝90°，∵∵A＝30°，

作BK∵CA，DE∵BK于E，OM∵BK于M，连接OB．

∵BK∵AC，∵∵DBE＝∵BAC＝30°，

在Rt∵DBE中，DE＝BD，∵OD+BD＝OD+DE，

根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，

∵∵BAO＝∵ABO＝30°，∵∵OBM＝60°，

在Rt∵OBM中，

∵OB＝2，∵OBM＝60°，∵OM＝OB•sin60°＝，∵DB+OD的最小值为，

故选：B．

变式练习>>>

2．如图，∵ABC中，∵BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝ ﹣ ．

【解答】解：如图将∵ABP绕点A顺时针旋转60°得到∵AMG．连接PG，CM．

∵AB＝AC，AH∵BC，∵∵BAP＝∵CAP，

∵PA＝PA，∵∵BAP∵∵CAP（SAS），∵PC＝PB，

∵MG＝PB，AG＝AP，∵GAP＝60°，

∵∵GAP是等边三角形，∵PA＝PG，

∵PA+PB+PC＝CP+PG+GM，

∵当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，

∵AP+BP+CP的最小值为2，∵CM＝2，

∵∵BAM＝60°，∵BAC＝30°，∵∵MAC＝90°，∵AM＝AC＝2，

作BN∵AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，

∵BC＝＝＝﹣．

故答案为﹣．

例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为

（0，） ．

【解答】解：如图作GM∵AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，

电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），

在Rt∵AMG中，GM＝AG，

∵电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），

当C、G、M共线时，且CM∵AB时，GM+CG最短，

此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝

所以点G的坐标为（0，﹣）．

故答案为：（0，﹣）．

变式练习>>>

3．如图，∵ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）

A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）

解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，

总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，

因为AB＝AC＝3，过点B作BH∵AC交AC于点H，交OA于D，

易证∵ADH∵∵ACO，所以＝＝3，所以＝DH，

因为∵ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，

就要B、D、H三点共线就行了．因为∵AOC∵∵BOD，所以＝，即＝，

所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．

例题4. 直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t

（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；

（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；

（3）若CD＝CB．∵求点B的坐标；∵在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是 （3，） ．

【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，

令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．

抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），

∵点D在点C的下方，∵CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．

（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，

则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：

t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．

（3）∵依照题意画出图形，如图1所示．

过点C作CE∵x轴，过点B作BE∵y轴交CE于点E．

∵直线BC的解析式为y＝x，∵BE＝CE，

由勾股定理得：BC＝＝CE．

∵CD＝CB，

∵有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．

当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，

∵m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．

∵作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM∵BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．

∵直线BC的解析式为y＝x，FM∵BC，

∵tan∵FCM＝＝，∵sin∵FCM＝．

∵B、B′关于对称轴对称，∵BF＝B′F，

∵BF+CF＝B′F+FM．

当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．

∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，

∵B′点的坐标为（0，8）．

又∵B′M∵BC，∵tan∵NB′F＝，

∵NF＝B′N•tan∵NB′F＝，

∵点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．

变式练习>>>

4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．

（1）填空：点A的坐标为 （﹣2，0） ，点B的坐标为 （0，2） ；

（2）直线l1的表达式为 y＝2x﹣2 ；

（3）在直线l1上是否存在点E，使S∵AOE＝2S∵ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．

【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，

故答案为（﹣2，0）、（0，2）；

（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，

故：答案为：y＝2x﹣2；

（3）∵S∵AOE＝2S∵ABO，∵yE＝2OB＝4，

将yE＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，则点E的坐标为（3，4）；

（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，

直线l2：y＝x+2，则∵ABO＝45°＝∵HBD，PH＝PD，

点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，

当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），

故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．