中位线非常讲解
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中位线非常讲解
一. 三角形的中位线
1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图1.在ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是ABC的一条中位线.
图1
2.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表述为：如图1，在ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则
EF∥BC，并且
1
2
EF BC
.
3.注意：（1）三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段，一个三角形有三条中位线和三条中线.
（2）三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的基本图形.
4.应用.
例1.如图2所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N 分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.
求证：AP=AQ.
图2 图3 分析：欲证AP=AQ ，可考虑证明APQ AQP ∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F ，连结FM ，FN ，（如图3）则MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线.利用BD=CE 易证FM=FN ，从而12∠=∠，由平行线的性质可知1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠，于是APQ AQP ∠=∠成立，进而结论成立.
证明：取BC 的中点F ，连结FM ，FN ，（如图3）
由条件知：MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线
所以FM∥AC，FN ∥BD，11,22
FM CE FN BD == 所以1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠
又因为BD=CE ，所以 FM=FN
所以，12∠=∠，所以APQ AQP ∠=∠，所以 AP=AQ
评注：若已知条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.
二. 梯形的中位线
1.定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
如图4，在梯形ABCD 中，点E 、F 分别是腰AB 、DC 的中点，则线段EF 是梯形ABCD 的中位线 .
图4
2.定理：梯形的中位线平行于两底边，且等于两底和的一半.
用符号语言表述为：如图4，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是腰AB、DC的
中点，则EF∥AD∥BC，且
1
()
2
EF AD BC
=+.
3.注意：学习梯形的中位线定理需注意以下几点：
（1）一个三角形的中位线有3条，而应该梯形的中位线只有1条；
（2）梯形中位线的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行；②数量关系：
可以证明一线段是另一条线段的2倍或1
2
；
（3）梯形中位线定理的证明是转化为三角形中位线定理上来证明得，这里有一条常规辅助线，即是把梯形上底的一个顶点和腰的中点连结并延长与下底相交.
（4）由梯形的面积计算公式和梯形中位线定理易推出：梯形的面积=中位线⨯高.
4.应用：
例2.如图5所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DH BC
⊥.
求证：
1
()
2
BH BC AD
=+
（图5）（图6）
分析：观察结论式的右边，它是梯形上、下底和的一半，联想到梯形的中位线也等于上、下底和的一半，于是只要证明BH等于该梯形的中位线即可.为此，这里需构造该等腰梯形的中位线进行证明.
证明：取AB、CD的中点E、F，谅解EF，FH（如图6），
则EF∥BH，
1
()
2
EF BC AD
=+
在Rt DHC中，
1
2
HF CD CF
==（直角三角形斜边中线等于斜边的一
半）.
所以1C
∠=∠，又因为B C
∠=∠（等腰梯形同一底上的两角相等）所以1B
∠=∠，所以HF∥BE
所以，四边形EBHF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
所以 EF=BH，
所以
1
()
2
BH BC AD
=+.
评注：两个中位线定理的结论都揭示了中位线与第三条线段的位置关系（平行）和数量关系（一半），在具体运用时，我们应注意择其用之.。
