2019河南数学中考真题答案

1 2019年河南省普通高中招生考试

1.B 【解析】 根据负数的绝对值等于它的相反数,可知|-12|=12.

2.C 【解析】 0.000 004 6=4.6×10-6,故选C.

3.B 【素养落地】 本题考查平行线的性质,体现了逻辑推理的核心素养.

【解析】 如图,∵AB∥CD,∴∠1=∠B=75°,又∵∠1=∠D+∠E,∴∠D=∠1-∠E=75°-27°=48°,故选B.

4.D 【素养落地】 本题考查了整式的运算、二次根式的运算,体现了数学运算的核心素养.

【解析】 2a+3a=(2+3)a=5a,故A项错误;(-3a)2=(-3)2a2=9a2,故B项错误;(x-y)2=x2-2xy+y2,故C项错误;3√2-√2=2√2,故D项正确.

5.C 【素养落地】 本题考查几何体的三视图,体现了直观想象的核心素养.

【解析】 根据俯视图的定义,可知平移前后几何体的俯视图相同,均如图所示,故选C.

6.A 【解析】 把该方程变形为一般形式,为x2-2x-4=0,由一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-4)=20>0,可知该方程有两个不相等的实数根.故选A.

7.C 【素养落地】 本题考查扇形统计图的识图能力及平均数的求解方法,体现了数据分析的核心素养.

【解析】 5×10%+3×15%+2×55%+1×20%=2.25(元),故这天销售的矿泉水的平均单价为2.25元.

8.B 【素养落地】 本题考查二次函数的图象与性质,体现了逻辑推理的核心素养.

【解析】 根据该抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,可知这条抛物线的对称轴是直线x=-2+42=1,∴-𝑏-2=1,解得b=2,∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+4,把x=4或x=-2代入,得y=-4,即n=-4.

9.A 【素养落地】 本题考查尺规作图、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等,体现了逻辑推理的核心素养.

【解析】 由作图可知,点E在线段AC的垂直平分线上,又点O是AC的中点,∴直线BE是线段AC的垂直平分线,∴AB=BC=3.过点B作BM⊥AD于点M,则四边形BMDC为矩形,∴BM=CD,DM=BC=3,∴AM=1.根据勾股定理,可得BM=√𝐴𝐵2-𝐴𝑀2=√32-12=2√2,即CD=2√2.故选A.

10.D 【素养落地】 本题考查旋转的性质,体现了直观想象、逻辑推理的核心素养.

【解析】 根据题意,易知在旋转过程中,组合图形每4次一循环,而70÷4=17……2,∴第70次旋转结束时,组合图形的位置如图所示,延长DA交x轴于点E,易知AE⊥x轴,则OE=3,AE=4,∴AD=AB=2OE=6,∴DE=AD+AE=10,故点D的坐标为(3,-10),故选D.

11.32 【解析】 原式=2-12=32.

12.x≤-2 【素养落地】 本题考查不等式组的解法,体现了数学运算的核心素养.

【解析】 解不等式𝑥2≤-1,得x≤-2,解不等式-x+7>4,得x<3,故不等式组的解集为x≤-2.

技法1 求不等式解集公共部分的两种方法

不等式组的解集是不等式组中所有不等式解集的公共部分,找公共部分常用的方法有两种.

1.数轴法

把不等式组中所有不等式的解集在同一条数轴上表示出来,利用数形结合思想,直观地得到公共部分.两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种类型(设a

类型 不等式组 数轴表示 解集

同大型 {x>a,x>b x>b

同小型 {x

大型 {x>a,x

大大小

小型 {xb 无解

2.口诀法

应用口诀“大大取较大,小小取较小;大小小大中间找,大大小小解不了”来确定.

13.49 【素养落地】 本题考查用列举法求事件的概率,体现了数据分析的核心素养.

【解析】 根据题意列表如下:

红1 红2 白

黄 (红1,黄) (红2,黄) (白,黄)

红3 (红1,红3) (红2,红3) (白,红3)

红4 (红1,红4) (红2,红4) (白,红4)

由表格可知,共有9种等可能的结果,其中摸出的2个球颜色相同的结果有4种,故所求概率为49.

技法2 列举法求概率的解题通法

列举(列表或画树状图)法求概率的一般步骤如下.

①判断是使用列表法还是画树状图法:列表法一般适用于两步求概率问题,画树状图法适用于两步及两步以上求概率问题;

②不重不漏地列举出所有可能出现的结果,并判断每种结果出现的可能性是否相等;

③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m;

④用公式P(A)=𝑚𝑛求事件A发生的概率.

14.π+√3 【素养落地】 本题考查不规则图形面积的计算,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.

【解析】 ∵OA=OB,∠AOB=120°,∴∠OAB=∠OBA=30°.∵OC⊥OA,∴∠BOC=120°-90°=30°=∠OBA,∴OD=BD.如图,过点O作OE⊥AB于点E,在Rt△AOE中,OE=OA·sin∠OAE=2√3×sin 30°=√3.在Rt△AOD中,OD=OA·tan∠OAD=2√3×tan 30°=2,∴BD=2,∴S阴影=S△AOD+S扇形OBC-S△OBD=12×2√3×2+30π×(2√3)2360-12×2×√3=π+√3.

15.53或√53 【素养落地】 本题考查折叠的性质及分类讨论思想,体现了逻辑推理、直观想象的核心素养.

【解析】 分两种情况讨论:①当点B'落在边AD上时,如图(1),则四边形ABEB'是正方形,∴BE=AB=1,即35a=1,∴a=53;②当点B'落在边CD上时,如图(2),易证△ECB'∽△B'DA,∴𝐸𝐶𝐵'𝐷=𝐸𝐵'𝐵'𝐴,即25𝑎𝐵'𝐷=35𝑎1,∴B'D=23,∴a=AD=√𝐵'𝐴2-𝐵'𝐷2=√12-(23)2=√53.综上可知,a的值为53或√53.

图(1) 图(2)

技法3 解决折叠问题的方法

1.掌握折叠的性质:

①位于折痕两侧的图形(折叠后重合的图形)关于折痕所在直线对称;

②位于折痕两侧的图形(折叠后重合的图形)全等,对应边、角、线段、周长、面积等均相等;

③对应点的连线被折痕所在直线垂直平分;

2.找出隐含的折叠前后的位置关系(平行或垂直)和数量关系(相等);

3.一般运用全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想,设出恰当的未知数,解方程来求线段长.

16.【素养落地】 本题考查了分式的化简求值,体现了数学运算的核心素养. 【参考答案及评分标准】 原式=𝑥+1-𝑥+2𝑥-2·(𝑥-2)2𝑥(𝑥-2)

=3𝑥-2·𝑥-2𝑥 (4分)

=3𝑥. (6分)

当x=√3时,原式=3√3=√3. (8分)

17.【素养落地】 本题以圆为背景,考查了圆的相关性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质等,体现了逻辑推理的核心素养.

【参考答案及评分标准】 (1)证明:∵BA=BC,∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠C=45°.

∵AB为半圆O的直径,

∴∠ADF=∠BDG=90°,

∴∠DBA=∠DAB=45°,

∴AD=BD. (3分)

∵∠DAF和∠DBG都是𝐷𝐸⏜所对的圆周角,

∴∠DAF=∠DBG,

∴△ADF≌△BDG. (5分)

(2)①4-2√2 (7分)

②30° (9分)

解法提示:①∵AB为半圆O的直径, ∴∠AEB=90°,∴AE⊥BG.

∴∠AEG=90°.

∵点E是𝐵𝐷⏜的中点,

∴∠GAE=∠BAE,

又AE=AE, ∴△AEB≌△AEG,

∴AG=AB=4.

在Rt△ABD中,AD=AB·cos∠DAB=4×√22=2√2,

∴DG=AG-AD=4-2√2.

由(1)知△ADF≌△BDG,

∴DF=DG=4-2√2.

②连接OE,

∵四边形OBEH是菱形,

∴OB=BE,

又OB=OE, ∴△OBE是等边三角形,

∴∠EOB=60°,

∴∠EAB=30°.

18.【素养落地】 本题以实际生活中的材料为背景,考查了频数分布直方图、平均数、中位数、用样本估计总体等知识,体现了数据分析的核心素养.

【参考答案及评分标准】 (1)23 (2分)

解法提示:由七年级成绩频数分布直方图可知,80分以上(含80分)的有15+8=23(人).

(2)77.5 (4分)

解法提示:77+782=77.5.

(3)七年级学生甲在本年级的排名更靠前. (5分)

理由:七年级学生甲的成绩大于七年级抽测成绩的中位数,而八年级学生乙的成绩小于八年级抽测成绩的中位数. (6分)

(4)400×8+15+550=224(人).

答:估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为224人. (9分)

19.【素养落地】 本题以实际生活为背景,考查解直角三角形的实际应用,体现了逻辑推理、数学抽象、数学建模的核心素养.

【参考答案及评分标准】 在Rt△ACE中,∵∠A=34°,CE=55,

∴AC=𝐶𝐸tan34°≈550.67≈82.1,

∴BC=AC-AB=82.1-21=61.1. (4分)

在Rt△BCD中,∵∠CBD=60°,

∴CD=BC·tan 60°≈61.1×1.73≈105.7, (7分)

∴DE=CD-CE=105.7-55≈51.

故炎帝塑像DE的高度约为51 m. (9分)

技法4 解直角三角形的实际应用题目的解题通法

(1)应用“解直角三角形”的模型解决问题,关键是把已知角或特殊角放在直角三角形中,当两个直角三角形有公共边时,公共边是联系两个直角三角形的纽带,通常要求出这条公共边的长度,进而解决问题.

(2)当图形中没有直角三角形时,则需要根据实际情况构造直角三角形.

(3)运用“解直角三角形”的模型解决实际问题的步骤:①审题,根据题干,弄明白图形中哪些是已知量,哪些是未知量;②将已知条件转化到示意图中,把实际问题转化为解直角三角形的问题;③选择适当的关系式解直角三角形.

20.【素养落地】 本题材料来源于生活,通过构建一次函数、方程组、不等式模型解决实际问题,体现了数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养.

【参考答案及评分标准】 (1)设A奖品的单价为x元,B奖品的单价为y元, (1分)