高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

1 2009~2013年高考真题备选题库

第3章 三角函数、解三角形

第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

考点 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像

1．（2013山东，5分）函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为(

)

解析：本题考查函数的性质在分析判断函数图象中的综合运用，考查一般与特殊的数学思想方法，考查运算求解能力，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力．函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当00，而当x＝π时，y＝－π<0，据此排除选项A、B、C，正确选项为D.

答案：D

2．(2013福建，5分)将函数f(x)＝sin (2x＋θ)－π20)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P0，32，则φ的值可以是( )

A.5π3

B.5π6

C.π2 D.π6

解析：本题主要考查三角函数图像的变换及三角函数值求角等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．因为函数f(x)的图像过点P，所以θ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3；又函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sin－φ＋π3，所以sinπ3－2φ＝32，所以φ可以为5π6.

答案：B

3．（2013新课标全国Ⅱ，5分）函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ

解析：本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．将y＝cos(2x＋φ)的图像向右平移π2个单位 2 后得到y＝cos2x－π2＋φ的图像，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin2x＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ

第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[基础题组练]

1．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是( )

解析：选A.令x＝0，得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.令x＝π6，得y＝sin2×π6－π3＝0，排除C.

2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为π2，则fπ6的值是( )

A．－3 B.33

C．1 D．3

解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以fπ6＝tanπ3＝3.

3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝A2cos ωx的部分图象如图所示，则( )

A．A＝1 B．A＝3 C．ω＝π3 D．ω＝3π

解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝A2cos ωx，即A2＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝2πω＝1.5×4，可得ω＝π3.

4．(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )

A．向右平移5π12个单位长度

B．向左平移5π12个单位长度

C．向右平移5π6个单位长度

D．向左平移5π6个单位长度

解析：选B.因为y＝sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2x－π2，

y＝cos2x＋π3＝cos2x＋5π12－π2，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y＝cos2x＋π3的图象．故选B.

5．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|

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第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

一、基础知识

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)

(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

x －φω π2ω－φω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

(1)两种变换的区别

①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度． 2

(2)变换的注意点

无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．

考点一 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

[典例] (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0

A．f(x)＝2sin12x＋π4

B．f(x)＝2sin12x＋3π4

C．f(x)＝2sin14x＋3π4

D．f(x)＝2sin2x＋π4

(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点2，－12，则函数f(x)＝________________.

[解析] (1)由题图可知A＝2，T＝2×3π2－－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12.

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 第4讲 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

【2021年高考会这样考】

1．考察正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．

2．结合三角恒等变换考察y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用．

3．考察y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．

【复习指导】

本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点〞作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．

根底梳理

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日 3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

4．图象的对称性

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，详细如下：

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，假设最大值为M，最小值为m，那么A＝M－m2，k＝M＋m2，ω由周期T确定，即由2πω＝T求出，φ由特殊点确定．