3.3 幂函数 导学案(1)
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3.3 幂函数
1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,xyxyxyxyxy的图象;
2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；
3.能应用幂函数性质解决简单问题。
1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；
2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
一、幂函数的是概念：一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中 为自变量， 为常数。
二、幂函数的性质
xy 2xy 3xy 21xy 1xy
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
一、探索新知 探究一 幂函数概念
（一）实例观察，引入新课
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 ， P是W的函数 （y=x）
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 ， S是a的函数（y=x2）。
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 ， S是a的函数（y=x3）。
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S。 a是S的函数 。 （y=12x）
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 ，V是t的函数 。 （y=x-1）
问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?
（二）类比联想，探究新知
1.幂函数的定义：一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，ɑ 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = xa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．
【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.
思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？
思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
式子[来源:学科网][来源:学,科,网] 名称[来源:]
a x y
指数函数：xya
幂函数：ayx
思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？
看看自变量x是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。
练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？
（1）4yx；（2）22yx；（3）2yx；（4）2xy；（5）2yx；（6） 3+2yx。
探究二 幂函数性质
对于幂函数，我们只讨论21,1,3,2,1时的情况，
即：21132,,,,xyxyxyxyxy
1.思考：我们应如何研究幂函数呢？
2、在同一平面直角坐标系内作出幂函数
21132,,,,xyxyxyxyxy的图象：
3、性质：
xy 2xy 3xy 21xy
1xy
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
例1.已知幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，3），求这个函数的解析式。
例2.证明幂函数y=x在[0，+∞)上是增函数
三、达标检测
1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点4，12，则f(2)＝( )
A.14 B．4 C.22 D.2
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝x13 B．y＝x－12 C．y＝x53 D．y＝x23
3．设a∈－1，1，12，3，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是( )
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
4．函数y＝x13的图象是( )
5．比较下列各组数的大小：
(1)－8－78与－1978； (2)－23－23与－π6－23.
这节课你的收获是什么？
参考答案：
探究一 （一） 1.函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。
（二）思考2
式子[来源:学科网][来源:学,科,网] 名称[来源:]
a x y
指数函数：xya 底数 指数 幂值
幂函数：ayx 指数 底数 幂值
练习 （1）、（5）.
探究二 1.作具体幂函数的图象 → 观察图象特征 → 总结函数性质
2.
3、性质：
xy 2xy 3xy 21xy 1xy
定义域 R R R ),0[
}0|{xx
值域 R ),0[ R ),0[ }0|{yy
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 增函数 ),0[增
]0,(减 增函数 ),0[增 )0,(，),0(减
公共点 （1，1）
例1.解：设xxf)(。因为幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，3），
所以33，所以21，
所以21)(xxf。
例2.证明：1212,[0,),,xxxx任取且则
1212121212()()()()xxxxfxfxxxxx1212xxxx
1212120,0,0,xxxxxx因为所以12()()fxfx所以
()[0,).fxx即幂函数在上的增函数
达标检测
1.【解析】 设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，
∴y＝x－12，∴f(2)＝2－12＝22，
故选C.
【答案】 C
2.【解析】 A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．
【答案】 D
3.【解析】 当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当a＝12时，函数y＝x12的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.
【答案】 A
4.【解析】 显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”说明函数是奇函数．同时当0＜x＜1时，x13＞x，当x＞1时，x13＜x.
【答案】 B
5、【解】 (1)－8－78＝－1878，函数y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则1878>1978.
从而－8－78<－1978.
(2)－23－23＝23－23＝46－23，－π6－23＝π6－23.
因为函数y＝x－23在(0，＋∞)上为减函数，
又46>π6，所以－23－23<－π6－23
