数学：2.1.1《曲线与方程的概念》同步练习(2)(新人教B版选修2-1)
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第二章圆锥曲线与方程单元测试A组题（共100分）一．选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上，那么（）（A）曲线C上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0 （B）凡坐标不适合F(x,y)=0的点都不在C上（C）在曲线C上的点的坐标不一定都适合F(x,y）=0 （D）不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x,y）=0，有些不合适F(x,y）=0 2．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是（）（A）x–y= 0 （B）x + y=0 （C）|x|=|y|（D）y=|x|3．已知椭圆方程为x28+ y2m2= 1 ，焦点在x轴上，则其焦距等于（）（A）28–m2（B）222–|m|（C）2m2–8 （D）2|m|–22
4．已知椭圆192522yx上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则
|ON|等于（）（A）2 （B）4 （C）8 （D）23
5．已知F是椭圆12222byax(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为原点), 则该椭圆的离心率是( )
（A）22（B）42
（C）21(D) 23
二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。6．椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k7．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程是. 8．已知点（0, 1)在椭圆x25+ y2m= 1 内，则m的取值范围是. 9．椭圆x23m + 1+ y22m= 1的准线平行于x轴, 则m的取值范围是. 三．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。oxyBPAF
10．直线x–y–m= 0与椭圆x29+ y2 = 1有且仅有一个公共点，求m的值.
11．已知椭圆的两条对称轴是坐标轴，O是坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长为6, 且cos∠OFA= 23, 求椭圆的方程.
12．若一个动点P(x, y)到两个定点A(–1, 0)、B(1, 0)的距离之和为定值m（m＞0）,分别根据m的值，求点P的轨迹方程. (1)m＝4；(2)m＝2；(3)m＝1.
B组题（共100分）四．选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。13．命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λg(x,y)=0(λ为常数）过点P(x0,y0)，则命题A是命题B的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件14．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹方程是（）（A）3x–4y=0, 且x＞0 （B）4x–3y=0, 且0≤y≤4 （C）4y–3x=0,且0≤x≤3 （D）3y–4x=0,且y＞0 15．椭圆x2m+ y24= 1 的焦距为2,则m的值等于（）（A）5或3 （B）8 （C）5 （D）16 16．已知F1、F2为椭圆x2a2+ y2b2= 1(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB, 若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e= 32, 则椭圆的方程为（）（A）x24+ y23= 1 （B）x216+ y23= 1 （C）x216+ y212= 1 （D）x216+ y24= 1
17．若椭圆x216+ y2m= 1的离心率为13, 则m的值等于（）（A）18或1249（B）18或1289（C）16或1249（D）16或1289五．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。18．方程x224–k+ y216 + k= 1 表示椭圆，则k的取值范围是.
19．椭圆x225＋y29＝1上有一点P到一条准线的距离是52，F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2
的面积等于. 20．已知P是椭圆x225+ y29= 1 上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8, 则点P的横坐标是。21．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点为A，上顶点为B，左焦点F1到直线AB的距离为77|OB|，则椭圆的离心率等于. 六．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22．已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(–5, 0)、(5, 0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为–12，求顶点C的轨迹方程.
23．在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆22219xya与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。
24. 已知椭圆1162522yx,P为该椭圆上一点. (1)若P到左焦点的距离为3,求到右准线的距离；(2)如果F1为左焦点,F2为右焦点,并且121PFPF,求12tanFPF的值.
C组题（共50分）七．选择或填空题：本大题共2题，每题5分。
25．若实数x，y满足xyx224，则x2 + y2有（）
（A）最小值31，无最大值（B）最小值31，最大值16 （C）最小值0，无最大值（D）最小值0，最大值16 26．已知θ∈(0, π2), 方程x2sinθ+ y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆，则θ的取值范围是. 八．解答题：本大题共2小题，每题20分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
27．已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）的离心率36e，过点A
（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23
（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于CD两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由
28．已知直线l: 6x－5y－28=0交椭圆22221(0)xyabab于M , N两点,B（0,b）是椭圆的一个顶点,且b为整数,而MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2. (1)求此椭圆的方程; (2)设此椭圆的左焦点为F1,问在椭圆上是否存在一点P,使得01260PFF?并证明你的结论.
参考答案A组一、1. C 2. C 3. A 4. B 5. A 二、6．1
7．答：x216+ y225= 1 . 由144acacb解得a＝5，又椭圆焦点在y轴上，∴椭圆方程为
x216+ y225= 1 . 8．答：[1, 5)(5,+∞). 9．答：m＞1. ∵椭圆的准线平行于x轴，∴椭圆的焦点在y轴上，∴2310mm, 解得m＞1. 三、10. 解：将直线方程代入椭圆方程，消去x得到10y2+2my+m2－9=0, 令△＝0，解得m＝±10. 11．解：依题意cos∠OFA= 23＝ca，又2a＝6 , ∴a＝3，c=2，b2＝5.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为x29+ y25= 1 ；当焦点在y轴上时，椭圆方程为x25+ y29= 1 . 12．解：设P(x,y), 依题意|PA |+|PB |=m, 即2222(1)(1)xyxym. (1)当m＝4时，由2222(1)(1)4xyxy化简得点P的轨迹方程是：22143xy.
(2)当m＝2时，由2222(1)(1)2xyxy化简得点P的轨迹方程是：y=0，（－1≤x≤1) (3)m＝1时，2222(1)(1)1xyxy无解，∴点P的轨迹不存在. B 组13. A 14.B 15.A 16.D 17.B
18．答：(–16, 4)(4, 24). 由2401602416kkkkk∈(–16, 4)(4, 24).
19．答：37. ∵e＝45，|PF1|＝52e＝2，|PF2|＝8，|F1F2|＝8，∴PF1边上的高h=28137, ∴△PF1F2面积等于12|PF1|·h＝37. 20．答：x=±535. 设P(x,y)，由12·8·|y|=8,得|y|＝4，∴x＝±535.
21．答：e＝12. ∵F1(－c, 0)到直线AB：bx－ay＋ab＝0的距离为2277abbcbab，e＝ca，
∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝12. 22．分析因为直线AC、BC的斜率存在，所以可分别用点C、A的坐标和点C、B的坐标，表示直线AC、BC的斜率，再根据条件：斜率之积为–12，即可得到动点C的轨迹方程. 解设C(x, y), 则,55ACBCyykkxx（x≠±5）由11,2552ACBCyykkxx得所以动点C的轨迹方程为x225+ y2252= 1 (x≠±5）
23．解：（1）圆C：22(2)(2)8xy；
（2）由条件可知a=5，椭圆221259xy，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y－1=1(1)3x,即340xy，设Q（x,y），则334022yxxy，
解得45125xy
所以存在，Q的坐标为412(,)55。24.解:(1)由方程知,a=5,b=4,则c=3,e =53.
P到左焦点的距离为3,则P到左准线的距离为511ePFd, 又两准线间距离为35022ca,∴P到右准线的距离为3355350.
(2)由椭圆定义得10221aPFPF…①; 又121PFPF…②, 由①,②联立可解得29,21121PFPF;在21PFF
中,6221cFF,
∴99292cos21221222121PFPFFFPFPFPFF,
∵21PFF为锐角,121635sin99FPF, ∴121635tan29FPF. C组25．选D.
26. 答：θ∈(π4, π2). 椭圆方程化为22111sinxy
con,∵椭圆焦点在y轴上，∴
110sincon∴cossin, 又θ∈(0, π2),∴θ∈(π4, π2). 27．解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意2336
22baabac，解得13ba，
∴椭圆方程为1322yx
（2）假若存在这样的k值，由033222yxkxy，得)31(2k09122kxx
∴0)31(36)12(22kk①
设1(xC，)1y2(xD，)2y，则221221
3193112
kxxkkxx，②
而4)(2)2)(2(212122121xxkxxkkxkxyy
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则1112211xyxy，即
0)1)(1(2121xxyy
∴21212(1)(21)()50kxxkxx③将②式代入③整理解得67k经验证，67k，使①成立综上可知，存在67k，使得以CD为直径的圆过点E
28．解(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则2222222222212212,bayaxbbayaxb,
两式相减得2121221212()6()5bxxyyayyxx……①,
由12120,033xxyybc,得x1+x2=3c, y1+y2=－b,代入①得2b2－5bc+2c2=02b=c或b=2c……②; ∵M、N在直线L上,得6(x1+x2)-5(y1+y2)=56 18c+5b=56 …… ③; 由②③解得(b为整数): b = 4 , c = 2 , a2 = 20 , 因此椭圆方程为:1162022yx.
