人教版高中数学选修2-1练习：第二章2.1曲线与方程

[课时作业 ]

[A

组

基础稳固 ]

1．方程 xy2－x2y＝2x 所表示的曲线

A．对于 x 轴对称

C．对于原点对称

(

)

B．对于

D．对于

y 轴对称

x－y＝0 对称

2 2 分析：同时以－ x 替 x，以－ y

替 y，方程不变，所以方程 xy －x y＝2x 所表示的曲线对于原点对称．

2．方程 x＋|y－1|＝0 表示的曲线是 ( )

分析：方程 x＋|y－ 1|＝0 可化为 |y－1|＝－ x≥0，

∴ x≤0，应选 B.

答案： B

3．已知动点 P 在曲线 2x2－y＝0 上挪动，则点 A(0，－1)与点 P 连线中点的轨迹

方程是( )

A． y＝2x2

C． 2y＝8x2 －1

B．y＝8x2

D．2y＝ 8x2＋ 1

分析：设 AP 中点为 (x，y)，则 P(2x,2y＋ 1)在 2x2－ y＝ 0 上，即 2(2x)2－ (2y＋ 1)

＝ 0，

2

∴ 2y＝8x －1.

4．设点 A 为圆 (x－1)2＋y2＝1 上的动点， PA 是圆的切线，且 |PA|＝1，则 P 点的

轨迹方程为 ( )

A． y2 ＝2x

B．(x－1)2＋y2＝ 4

C． y2＝－ 2x

D．(x－1)2＋y2＝ 2

分析：如图，设 P(x，y)，圆心为 M(1,0)．连结 MA，则 MA⊥

PA，且 |MA|＝1，

又∵ |PA|＝1，

∴ |PM|＝ |MA|2＋ |PA|2 ＝ 2.

即|PM|2＝2，

∴ (x－1)2＋ y2＝2.

答案： D

5．已知方程

y＝ a|x|和

y＝x＋ a(a＞0)所确立的两条曲线有两个交点，则

a 的取值

范围是 (

)

A． a＞1 B．0＜a＜1

C． 0＜a＜1 或 a＞1 D．a∈?

分析：当 0＜a≤1 时，两曲线只有一个交点 (如图 (1))；当 a＞1 时，两曲线有两个交点 (如图 (2))．

答案： A

6．方程 x2＋ 2y2－ 4x＋8y＋ 12＝0 表示的图形为 ________．

分析：对方程左侧配方得 (x－2)2＋2(y＋2)2＝ 0.

∵ (x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0，

x－ 2＝0， x ＝ ，

2 ∴ y＋ 2＝ 0， 解得 y＝－ 2.

进而方程表示的图形是一个点 (2，－ 2)．

答案：一个点 (2，－ 2)

7．设圆 C 与圆 x2＋ (y－3)2＝ 1 外切，与直线 y＝ 0 相切，则圆心 C 的轨迹方程为

________．

分析：设圆心 C(x， y)，

由题意得

x－

2＋

y－

2＝y＋1(y>0)，

化简得 x2＝8y－8.

答案： x2＝ 8y－8

8．已知 l 1 是过原点 O 且与向量 a＝ (2，－ λ)垂直的直线， l 2 是过定点 A(0,2)且与

λ

向量 b＝ －1，2 平行的直线，则 l1 与 l 2 的交点 P 的轨迹方程是 ________，轨迹

是 ________．

分析： ∵ kl1 2 2

＝ ，∴ l1： y＝ x；

λ λ

kl2 λ λ

＝－ ，l 2：y＝－ x＋2，

2 2

∴ l1⊥ l2，故友点在以原点 (0,0)，A(0,2)为直径的圆上但与原点不重合，∴交点的轨迹方程为 x2＋ (y－1)2＝1(y≠0)．

答案： x2＋ (y－1)2＝ 1(y≠0) 以 (0,1)为圆心， 1 为半径的圆 (不包含原点 )

9．已知定长为 6 的线段，其端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上挪动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点的轨迹方程．

分析：作出图象如下图，依据直角三角形的性质可知

1

|OM|＝2|AB|＝3.

所以 M 的轨迹为以原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆，故 M 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9.

10．在平面直角坐标系中，已知动点 P(x，y)，PM⊥y 轴，垂足为 M，点 N 与点

→ →

P 对于 x 轴对称，且 OP·MN＝4，求动点 P 的轨迹方程．

分析：由已知得 M(0，y)， N(x，－ y)，

→

∴ MN＝(x，－ 2y)，

→ → 2 2 ∴ OP· ＝(x，y) ·(x，－ 2y)＝x － 2y ， MN

依题意知， x2 －2y2 ＝4，

所以动点 P 的轨迹方程为 x2－ 2y2＝4.

[B 组 能力提高 ]

1．已知 A(－ 1,0)，B(2,4)，△ ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是 ( )

A． 4x－3y－ 16＝0 或 4x－3y＋16＝ 0

B．4x－3y－ 16＝0 或 4x－3y＋24＝0

C． 4x－3y＋ 16＝0 或 4x－3y＋24＝0

D． 4x－3y＋ 16＝0 或 4x－3y－24＝ 0

分析：由两点式，得直线 AB 的方程是

y－0＝x＋1，即 4x－3y＋4＝0，

4－0 2＋1

线段 AB 的长度 |AB|＝ ＋ 2＋ 42＝5.

设 C 的坐标为 (x， y)，则 1 |4x－3y＋4|

2 × ×

5 ＝ 10，

5

即 4x－3y－16＝ 0 或 4x－3y＋24＝0.

答案： B

2

A．充足不用要条件 B．必需不充足条件

C．充足必需条件 D．既不充足也不用要条件

分析：点 M 在曲线 y2＝4x 上，其坐标不必定知足方程 y＝－ 2 x，但当点 M 的

坐标知足方程 y＝－ 2 x时，则点 M 必定在曲线 y2＝4x 上，如点 M(4，－ 4)．

答案： B

→ →

3．已知两点 M(－2,0)，N(2,0)，点 P 知足 PM·PN＝12，则点 P 的轨迹方程为

________．

→ →

分析：设 P(x，y)，则 PM＝(－ 2－ x，－ y)，PN＝(2－x，－ y)．

→ → 2 ＝12， 于是 PM· ＝(－2－x)(2－x)＋ y

PN

化简得 x2＋y2＝16，此即为所求点 P 的轨迹方程．

答案： x2＋ y2 ＝16

4 ．直线

l ： ＝ － ≠ 与圆

O：x 2＋y2＝ 16 订交于 A，B 两点， O 为圆心，

y k(x 5)(k 0)

当 k 变化时，则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为 ________．

分析：设 M(x， y)，易知直线恒过定点 P(5,0)，再由 OM⊥MP，得 |OP|2＝ |OM|2

＋ |MP|2，

所以 x2＋ y2＋(x－5)2＋y2＝25，

5 2 2 25

整理得 x－ 2 ＋ y ＝ 4 .

由于点 M 应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分．

x－ 5 2 2 ＝ 25 16 2 ＋y 4，

解方程组

得两曲线交点的横坐标为 x＝ 5 ，故所求轨迹方程 x2＋ y2 ＝16

为 5 2 2 25 ≤＜ 16

x－2 ＋y ＝

4 5 .

0 x

5 2 2 25

0≤x＜ 16

答案： x－ 2 ＋ y ＝ 4 5

5．已知等腰三角形的极点是 A(4,2)，底边一个极点是 B(3,5)，求另一个极点 C

的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？

分析：设另一极点 C 的坐标为 (x，y)，依题意，得 |AC|＝|AB|，

由两点间距离公式，得

x－ 2＋ y－ 2＝ － 2＋ － 2.

化简，得 (x－4)2＋ (y－2)2 ＝10.

由于 A，B，C 为三角形的三个极点，

所以 A，B，C 三点不共线，

即点 B，C 不可以重合，且 B， C 不可以为⊙ A 的向来径的两个端点．①由于 B， C 不重合，所以点 C 的坐标不可以为 (3,5)，②又由于点 B 不可以为⊙ A 的向来径的两个端点，

x＋3

由 2 ＝4，得 x＝5.

点 C 的坐标不可以为 (5，－1)．如图，故点 C 的轨迹方程为

(x－ 4)2＋(y－ 2)2＝ 10

x＝3 x＝ 5 除外 . 和

y＝－ 1

y＝5

点 C 的轨迹是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，除掉点 (3,5)，(5，－ 1)．

6．已知直线 y＝ mx＋3m 和曲线 y＝ 4－ x2有两个不一样的交点，务实数 m 的取值

范围．