2017-2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数学案 北师大版必修1

一次函数、二次函数、指数函数、对数函数

一、一次函数

函数(0)yaxba叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。故若函数f(x)=ax+b在[,]xpq时恒为正（负），则在p、q处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b在[,]xpq上与x轴有交点，则在p、q出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。

二、二次函数

1、 一元二次函数的定义:形如2(0)yaxbxca的函数叫做一元二次函数。

2、二次函数的三种表示形式：

（1） 一般式：2(0)yaxbxca

（2） 顶点式: 2()yaxkh

（3） 零点式: 12()()yaxxxxh

3、 一元二次函数2()(0)fxaxbxca的性质

（1） 定义域为R，当a>0时，值域为 244(,)acba； 当a<0是，值域为 244(,)acba

（2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2ba，顶点为：2424(,)bacbaa；

（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；

（4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数

（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。

4、 一元二次函数2()(0)fxaxbxca在闭区间[p,q]（p0为例）

（1）若2baq, 则该函数的最大值为 最小值为

（2）若22pqbaq， 则该函数的最大值为 最小值为

第四章 指数函数、对数函数与幂函数

4.1 指数与指数函数

4.1.1 实数指数幂及其运算

素养目标·定方向

课程标准

学法解读

1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．

2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．

3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．

4．掌握实数指数幂的运算法则．

1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．

2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．

3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．

4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．

必备知识·探新知

知识点

n次方根

(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xn＝a__，则x称为a的n次方根．

(2)表示：

n为奇数 n为偶数

a∈R a＞0 a＝0 a＜0

x＝__na__ x＝__±na__ 0 不存在

思考：对于式子na中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？

提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．

知识点

根式 (1)当na有意义时，na称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．

(2)性质：

①(na)n＝__a__；②nan＝ __a__，n为奇数，__|a|__，n为偶数.

思考：(na)n与nan中的字母a的取值范围是否一样？

提示：取值范围不同．式子(na)n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子nan中，a∈R．

分数指数幂的意义

知识点

正分数

指数幂 n为正整数，na有意义，且a≠0时，规定a1n ＝__na__

正分数mn，amn ＝__(na)m__＝nam

负分数

指数幂 s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝__1as__

对数函数知识点总结

对数函数是高中数学中的重要概念之一，也是数学建模和科学研究中经常用到的工具。它在各个领域都有广泛的应用，如金融领域中的复利计算、物理学中的指数和对数关系、计算机科学中的算法复杂性分析等。本文将对对数函数的定义、性质以及一些应用进行总结。

1. 对数函数的定义

对数函数是指数函数的逆运算。设a为正实数，且a≠1，那么对数函数定义为y=loga(x)，其中x>0。对数函数的底数a决定了对数函数的性质。

2. 对数函数与指数函数的关系

对数函数和指数函数是密切相关的，它们之间存在着一种互逆的关系。对于任意正实数a和b以及任意正整数n，有以下等式成立：

loga(a)=1，loga(1)=0，loga(ab)=loga(a)+loga(b)，loga(1/b)=-loga(b)，loga(an)=nloga(a)。

3. 对数函数的性质

对数函数具有一些特性。首先，对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集。其次，对数函数在不同的底数下具有不同的性质，例如对于底数为2的对数函数，表示以2为底的对数。对数函数的值随着自变量的增大而增大，但增长速度逐渐减慢。

4. 对数函数的图像及其性质 对数函数的图像与指数函数的图像呈现出一种对称性。当底数a>1时，对数函数y=loga(x)的图像呈现出右上方向的增长趋势，且在x轴上的切点为(1, 0)；当0

5. 对数函数的应用

对数函数在现实生活中有广泛的应用。例如，在金融领域中，对数函数常用于计算复利，即指定利率和时间时计算本金的增长情况。在物理学中，对数函数与指数函数的关系有助于解决指数与对数的相互转换问题，使得许多指数关系可以转化为对数关系进行研究和分析。此外，对数函数还在计算机科学中有重要作用，它与算法的复杂性分析密切相关，用于评估算法的效率和运行时间。

综上所述，对数函数是数学中的重要概念之一，具有丰富的性质和广泛的应用。通过对对数函数的学习和理解，可以帮助我们更好地解决实际问题，并促进数学思维的培养。因此，掌握对数函数的基本知识是非常重要的。希望本文对大家对对数函数的理解和运用有所帮助。

高中数学竞赛系列讲座：指数函数与对数函数

指数、对数以及指数函数与对数函数,是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中,都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质,熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系,对学习好高中函数知识,意义重大。

一、 指数概念与对数概念：

指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方,这里的n为正整数。从初中开始,首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来,推广为有理指数；最后,在实数范围内建立起指数概念。

欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b

其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

ab=N与b=logaN是一对等价的式子,这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时,是指数运算,当给出N求b时,是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。

二、指数运算与对数运算的性质

1．指数运算性质主要有3条：

ax·ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·bx（a>0,a≠1,b>0,b≠1）

2．对数运算法则（性质）也有3条：

（1）loga(MN)=logaM+logaN

（2）logaM/N=logaM-logaN

（3）logaMn=nlogaM(n∈R)

(a>0,a≠1,M>0,N>0)

3．指数运算与对数运算的关系：

X=alogax；mlogan=nlogam

4．负数和零没有对数；1的对数是零,即

loga1=0；底的对数是1,即logaa=1

5．对数换底公式及其推论：

换底公式：logaN=logbN/logba

推论1：logamNn=(n/m)logaN