2017-2018学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数学案 北师大版必修1

3.5 对数函数

第1课时 对数函数的概念 对数函数y＝log2x的图像和性质

[核心必知]

1．对数函数的概念

(1)对数函数的定义：

一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数．

(2)两种特殊的对数函数：

我们称以10为底的对数函数y＝lg_x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝ln_x为自然对数函数．

2．反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．

3．函数y＝log2x的图像和性质

图像

性质 (1)定义域：(0，＋∞)

(2)值域：R

(3)过点(1,0)，即x＝1，y＝0

(4)当x>1时，y>0；当0

(5)单调性：在(0，＋∞)上是增函数

[问题思考]

1．函数y＝log3x(x>0)，y＝log12x(x>0)，y＝2log2x，y＝log12x2都是对数函数吗？为什么？

提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函数才是对数函数．因此y＝log3x(x＞0)，y＝log12x(x＞0)是对数函数，而y＝2log2x，y＝log12x2等都不是对数函数．

2．函数y＝logax2与y＝2logax(a＞0且a≠1)是同一个函数吗？为什么？

提示：不是，因为定义域不同．

2 3．对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x有何关系？

提示：(1)对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x互为反函数，其图像关于直线y＝x对称；

(2)对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x的定义域与值域互换，即y＝log2x的定义域(0，＋∞)是y＝2x的值域，而y＝log2x的值域R恰好是y＝2x的定义域．

(3)对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x的单调性一致，即都是增函数．

讲一讲

1．求下列函数的定义域．

(1)y＝－log2(1－x)；(2)y＝lg(x－1)＋log(x＋1)(16－4x)．

[尝试解答] (1)要使函数有意义，

需有 1－x>0，－log2(1－x)≥0，即 x<1，log2(1－x)≤0，

解得0≤x<1，所以函数的定义域为[0,1)．

(2)要使函数有意义，需有 x－1>0，16－4x>0，x＋1>0，x＋1≠1， 即 x>1，x<2，x>－1，x≠0.∴1

求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log2x<1，有人常由此得到x<2，而忘记x>0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．

练一练

1．求下列函数的定义域．

3 (1)y＝1－log2x；

(2)y＝lg(x＋1)＋1log2(－x)＋1.

解：(1)要使函数有意义，需有 x>0，1－log2x≥0，

即0

∴所求函数的定义域为(0,2]．

(2)要使函数有意义，需有： x＋1＞0，－x＞0，log2(－x)＋1≠0.

即－1＜x＜0且x≠－12.

∴所求函数的定义域为－1，－12∪－12，0.

讲一讲

2．写出下列函数的反函数．

(1)y＝log0.13x；(2)y＝3.05x.

[尝试解答] (1)y＝log0.13x的反函数是y＝0.13x.

(2)y＝3.05x的反函数是y＝log3.05x.

函数y＝logax的反函数是y＝ax(a＞0，a≠1)；函数y＝ax的反函数是y＝logax(a＞0，a≠1)．

练一练

2．写出下列函数的反函数．

(1)y＝lg x；(2)y＝ln x；(3)y＝13x.

解：(1)y＝lg x的反函数为y＝10x.

(2)y＝ln x的反函数为y＝ex.

(3)y＝13x的反函数为y＝log13x.

讲一讲

3．根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题．

(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围；

(2)y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．

[尝试解答] 函数y＝log2x的图像如图．

(1)因为y＝log2x是增函数，

若f(a)＞f(2)，

即log2a＞log22，

则a＞2.

所以a的取值范围为(2，＋∞)．

(2)∵2≤x≤14，

4 ∴3≤2x－1≤27，

∴log23≤log2(2x－1)≤log227.

∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.

(1)研究函数y＝log2x的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．

(2)函数y＝log2x的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．

练一练

3．(1)比较log245与log234的大小；

(2)若log2(2－x)＞0，求x的取值范围．

解：(1)函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，

又∵45＞34，∴log245＞log234.

(2)log2(2－x)＞0即log2(2－x)＞log21，

∵函数y＝log2x为增函数，∴2－x＞1，即x＜1.

∴x的取值范围为(－∞，1)．

当m为何值时，关于x的方程|log2(x－1)|＝m无解？有一解？有两解？

[巧思] 将关于x的方程解的问题转化为函数y＝|log2x－1|的图像与直线y＝m的交点个数问题，利用数形结合法求解．

[妙解] 在同一坐标系，分别作出函数y＝|log2(x－1)|和y＝m的图像，如图所示．

由图像得：当m<0时，方程无解，当m＝0时，方程有一解，当m>0时，方程有两解．

1．下列函数是对数函数的是( )

5 A．y＝loga(2x) B．y＝lg(10x)

C．y＝loga(x2＋x) D．y＝ln x

解析：选D 形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数为对数函数，所以只有y＝ln x符合此形式．

2．函数y＝log2x(1≤x≤8)的值域是( )

A．R B．[0，＋∞)

C．(－∞，3] D．[0,3]

解析：选D ∵y＝log2x在[1,8]上为增函数，

∴log21≤y≤log28，即y∈[0,3]．

3．图中所示图像对应的函数可能是( )

A．y＝2x

B．y＝2x的反函数

C．y＝2－x

D．y＝2－x的反函数

解析：选D 由y＝12x的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y＝的图像．

4．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数图像过点(2，－1)，则a的值是________．

解析：依题意，f(x)的图像过点

(－1,2)，∴a－1＝2，即a＝12.

答案：12

5．函数y＝log2(3x－1＋1)的定义域为________，值域为________． 解析：由已知得x－1≥0，得x≥1，故定义域为[1，＋∞)．

又x－1≥0得3x－1≥30＝1，∴3x－1＋1≥2.

∴y＝log2(3x－1＋1)≥log22＝1.∴值域为[1，＋∞)．

答案：[1，＋∞) [1，＋∞)

6．已知对数函数f(x)＝log2(x＋3)－1.

(1)求此对数函数的定义域；

(2)若f(a)＞f(1)，求a的取值范围．

解：(1)由题意知x＋3＞0，即x＞－3，

∴函数的定义域为(－3，＋∞)．

(2)f(a)＝log2(a＋3)－1，f(1)＝log2(1＋3)－1＝1，

∵f(x)为增函数，

∴ a＋3＞0log2(a＋3)－1＞1，即 a＋3＞0a＋3＞4

∴a＞1.即a的取值范围是(1，＋∞)．

一、选择题

1．(重庆高考)函数y＝lg(x＋1)x－1的定义域是( )

A．(－1，＋∞)

B．[－1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞)

D．[－1,1)∪(1，＋∞)

解析：选C 由题意得 x＋1＞0，x－1≠0，

∴ x＞－1，x≠1，故选C.

6 2．函数y＝log2|x|的图像大致是(

)

解析：选A y＝log2|x|＝ log2x (x>0)，log2(－x) (x<0)，分别作图知A正确．

3．已知函数y＝log2x，其反函数y＝g(x)，则g(x－1)的图像是(

)

解析：选C 由已知g(x)＝2x，∴g(x－1)＝2x－1，故选C.

4．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)等于( )

A．－log2x B．log2(－x)

C．logx2 D．－log2(－x)

解析：选D ∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝log2(－x)．

又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝－log2(－x)．

二、填空题

5．集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝yy＝12x，x＞1，则(∁RA)∩B＝________.

解析：∵x＞1，∴log2x＞log21＝0，∴A＝{y|y＞0}．而当x＞1时，0＜12x＜121，∴B＝y0＜y＜12.

∴(∁RA)∩B＝{y|y≤0}∩y0＜y＜12＝∅.

答案：∅ 6．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(a，a)，则f(x)＝________.

解析：∵y＝f(x)的图像过点(a，a)，

∴其反函数y＝ax的图像过点(a，a)，

∴aa＝a＝，∴a＝12，

∴f(x)＝.

答案：

7．若log2a＜log2b＜0，则a，b,1的大小关系是________．

解析：log2a＜log2b＜0⇔log2a＜log2b＜log21，

∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，∴a＜b＜1.

答案：a＜b＜1

8．函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a>0)上的最大值与最小值之差为________．

解析：∵f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，

∴f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log22a－log2a＝log22＝1.

答案：1

三、解答题

9．求下列函数的定义域．

(1)y＝lg(x＋1)＋2x2－x；

(2)y＝log(x－2)(5－x)．

解：(1)要使函数有意义，需 x＋1>0，2－x>0，即 x>－1，x<2，

∴函数的定义域为(－1,2)．

(2)要使函数有意义．需