2013年辽宁省高考文科数学试卷含答案

- 1 - 绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（供文科考生使用）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合1,2,3,4,|2,ABxxAB则

（A）0 （B）0,1 （C）0,2 （D）0,1,2

（2）复数的11Zi模为

（A）12 （B）22 （C）2 （D）2

（3）已知点1,3,4,1,ABAB则与向量同方向的单位向量为

（A）3455，- （B）4355，-

（C）3455， （D）4355，

（4）下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题：

1:npa数列是递增数列； 2:npna数列是递增数列；

3:napn数列是递增数列； 4:3npand数列是递增数列；

其中的真命题为

（A）12,pp （B）34,pp （C）23,pp （D）14,pp

- 2 - （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，

数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,820,100.

若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

（A）45 （B）50

（C）55 （D）60

（6）在ABC，内角,,ABC所对的边长分别为,,.abc1sincossincos,2aBCcBAb

,abB且则

A．6 B．3 C．23 D．56

（7）已知函数21ln1931,.lg2lg2fxxxff则

A．1 B．0 C．1 D．2

（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,nS则输出的

A．49 B．67 C．89 D．1011

（9）已知点30,0,0,,,.ABC,OAbBaa若为直角三角形则必有

A．3ba B．31baa

C．3310babaa D．3310babaa

- 3 - （10）已知三棱柱1116.34ABCABCOABAC的个顶点都在球的球面上若，，

,ABAC112AAO，则球的半径为

A．3172 B．210 C．132 D．310

（11）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为F,FC与过原点的直线相交于

,AB两点，4,.10,8,cosABF,5AFBFABBFC连接若则的离心率为

（A）35 （B）57 （C）45 （D）67

（12）已知函数222222,228.fxxaxagxxaxa设12max,,min,,max,HxfxgxHxfxgxpq表示,pq中的较大值，min,pq表示,pq中的较小值，记1Hx得最小值为,A2Hx得最小值为B,则

AB

（A）2216aa （B）2216aa

（C）16 （D）16

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .

- 4 - （14）已知等比数列13nnnaSanaa是递增数列,是的前项和.若，是方程

26540xxS的两个根，则 .

（15）已知F为双曲线22:1,916xyCPQCPQ的左焦点，为上的点，若的长等于

虚轴长的2倍，5,0APQPQF点在线段上，则的周长为 .

（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx

（I）若.abx求的值；

（II）设函数,.fxabfx求的最大值

18．（本小题满分12分）

如图，.ABOPAOCO是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点

（I）求证：BCPAC平面；

（II）设//.QPAGAOCQGPBC为的中点，为的重心，求证：平面

- 5 -

19．（本小题满分12分）

现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：

（I）所取的2道题都是甲类题的概率；

（II）所取的2道题不是同一类题的概率.

20．（本小题满分12分）

如图，抛物线2212002:4,:20.,CxyCxpypMxyC点在抛物线上，

1MC过作0,,.12ABMOABOx的切线，切点为为原点时，重合于当时，1-.2MA切线的斜率为

（I）P求的值；

（II）2MCABN当在上运动时，求线段中点的轨迹方程

,,.ABOO重合于时中点为

21．（本小题满分12分）

（I）证明：当20,1sin;2xxxx时，

（II）若不等式3222cosx40,12xaxxxxa对恒成立，求实数的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，.ABOCDOEADCDD为直径，直线与相切于垂直于于，BC垂直于

,.CDCEFFAEBE于，垂直于，连接证明：

（I）;FEBCEB

（II）2.EFADBC

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 - 6 - 在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos22.4.

（I）12CC求与交点的极坐标；

（II）112.PCQCCPQ设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为

33,,.12xtatRabbyt为参数求的值

22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数,1.fxxaa其中

（I）=244;afxx当时，求不等式的解集

（II）222|12,xfxafxxx已知关于的不等式的解集为

.a求的值

2013高考数学辽宁卷（文科）解析

大连市红旗高级中学 王金泽

一．选择题

1. [答案]B

[解析] 由已知{|22}Bxx，所以{0,1}AB，选B。

2. [答案]B

[解析]由已知111,(1)(1)22iZiii所以2||2Z

3 [答案]A

[解析](3,4)AB，所以||5AB，这样同方向的单位向量是134(,)555AB

4 [答案]D

[解析]设1(1)naanddnm，所以1P正确；如果312nan则 - 7 - 2312nnann并非递增所以2P错；如果若1nan，则满足已知，但11nann，是递减数列，所以3P错；34nanddnm，所以是递增数列，4P正确

5 [答案]B

[解析]第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m，则150.3m，50m。

6 [答案]A

[解析]边换角后约去sinB，得1sin()2AC，所以1sin2B，但B非最大角，所以6B。

7 [答案]D

[解析]2()ln(193)1fxxx所以()()2fxfx，因为lg2，1lg2为相反数，所以所求值为2.

8 [答案]A

[解析]211ssi的意义在于是对211i求和。因为21111()2111iii，同时注意2ii，所以所求和为1111111[()()()]2133579=49

9 [答案]C

[解析]若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以30ba；若B为直角，则利用1OBABKK得310baa，所以选C

10 [答案]C

[解析]由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=52，由垂径定理，OM=6，所以半径R=22513()622

11 [答案]B

[解析]由余弦定理，AF=6，所以26814a，又210c，所以105147e

12 [答案]C

[解析]()fx顶点坐标为(2,44)aa，()gx顶点坐标(2,412)aa，并且()fx与()gx的顶点都在对方的图象上，图象如图， A、B分别为两个二次函数顶