第6章 组合变形和强度.

第6章 组合变形强度计算

6.1 组合变形与弹性叠加原理

6.1.1 组合变形的概念

在工程实际中，有许多杆件在外力作用下会产生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。如图6-1（a）所示小型压力机的框架。为分析框架立柱的变形，将外力向立柱的轴线简化（图6-1b），便可看出，立柱承受了由F引起的拉伸和由FaM引起的弯曲。

图6-1

6.1.2 弹性叠加原理

弹性叠加原理也称为线性叠加原理。该原理对于求解弹性力学问题极为有用，它使我们可以把一个复杂问题化为两个或多个简单问题来处理。在分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。例如，在行面对例子中，把外力转化为对应着轴向拉伸的F和对应着弯曲的M。这样，可分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。现在再作一些更广泛的阐述。

设构件某点的位移与载荷的关系是线性的，例如，在简支梁的跨度中点作用集中力F时，右端支座截面的转角为

EIFl162

这里转角与载荷F的关系是线性的。EIl162是一个系数，只要明确F垂直于轴线且作用于跨度中点，则这一系数与F的大小无关。类似的线性关系还可举出很多，可综合为，构件A点因载荷1F

引起的位移1与1F的关系是线性的，即

111FC (a)

这里1C是一个系数，在1F的作用点和方向给定后，1C与1F的大小无关，亦即1C不是1F的函数。同理，A点因另一载荷引起的位移为

222FC （b）

系数2C也不是2F的函数。若在构件上先作用1F，然后再作用2F。因为在未受力时开始作用1F，这与（a）式所表示的情况相同，所以A点的位移为11FC。在作用时2F，因构件上已存在1F，它与（b）式所代表的情况不同，所以暂时用一个带撇的系数'2C代替2C，得A点的位移为22'FC。这样，当先作用1F后作用2F时，A点的位移为

第十二章

组合变形的强度计算

思 考 题

1 何谓组合变形？如何计算组合变形杆件横截面上任一点的应力？

2 何谓平面弯曲？何谓斜弯曲？二者有何区别？

3 何谓单向偏心拉伸（压缩）？何谓双向偏心拉伸（压缩）？

4 将斜弯曲、拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）分解为基本变形时，如何确定各基本变形下正应力的正负？

5 对斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆进行强度计算时，为何只考虑正应力而不考虑剪应力？

6 什么叫截面核心？为什么工程中将偏心压力控制在受压杆件的截面核心范围内？

习 题

1 矩形截面悬臂梁受力如图所示，Ｆ通过截面形心且与ｙ轴成角，已知Ｆ＝1.2ｋN，ｌ＝２ｍ，5.1,12bh，材料的容许正应力［σ］＝10MPa，试确定ｂ和ｈ的尺寸。

2 承受均布荷载作用的矩形截面简支梁如图所示，ｑ与ｙ轴成角且通过形心，已知ｌ＝4ｍ，ｂ＝10ｃｍ，ｈ＝15ｃｍ，材料的容许应力［σ］＝10MPa，试求梁能承受的最大分布荷载maxq。

题 1 图 题 2 图

3 如图所示斜梁横截面为正方形，a＝10ｃｍ，Ｆ＝３ｋＮ作用在梁纵向对称平面内且为铅垂方向，试求斜梁最大拉压应力大小及其位置。

4 矩形截面杆受力如图所示，Ｆ 1和Ｆ2的作用线均与杆的轴线重合，Ｆ3作用在杆的对称平面内，已知Ｆ1＝5ｋN，Ｆ2＝10ｋN，Ｆ3.＝1.2ｋN， ＝2ｍ，ｂ＝12cm，ｈ=18cm，试求杆中的最大压应力。

题 3 图 题 4 图

5 图为起重用悬臂式吊车，梁ＡＣ由№18工字钢制成，材料的许用正应力[σ]

=100MPa。当吊起物重（包括小车重）Ｑ＝25ｋＮ，并作用与梁的中点Ｄ时，试校核梁ＡＣ的强度。

6 柱截面为正方形，边长为ａ，顶端受轴向压力Ｆ作用，在右侧中部挖一个槽（如图），槽深4a。求开槽前后柱内的最大压应力值。

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265 第十章 应力状态、强度理论与组合变形

在前面各章中，已经讨论了杆件的拉伸与压缩、圆轴的扭转和梁的弯曲三类基本变形。研究问题的基本方法都是以力的平衡方程、变形的几何协调方程及力与变形间的物理方程为主线，得到构件的内力，进而讨论截面的应力，并由此写出强度条件来控制设计的。承受拉伸与压缩的杆件，横截面上是由轴力引起的正应力；承受扭转的圆轴，横截面上是由扭矩引起的剪应力（最大值在外圆周处）；承受弯曲的梁，横截面上有由弯矩引起的正应力（最大值在离中性轴最远处）及由剪力引起的剪应力（最大值在中性轴上）。所建立的强度条件，都是由单一的最大应力（最大正应力或最大剪应力）小于等于相应的许用应力描述的。当某危险点处于既有正应力又有剪应力的复杂状态时，如何判断其强度是否足够？这是本章要讨论的问题。

§10.1 应力状态

10.1.1 平面应力状态的一般分析

若构件只在xy平面内承受载荷，在z方向无载荷作用，则构件中沿坐标平面任取的六面体微元在垂直于z轴的前后二个面上无内力、应力作用。其余四个面上作用的应力都在xy平面内，此即平面应力状态。图10.1示出了平面应力状态的最一般情况。

在垂直于x轴的左右二平面上作用有正应力x和剪应力xy，在垂直于y轴的上下二平面上作用有正应力y 和剪应力yx。且由剪应力互等定理可知必有xy=yx=。现在讨论图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上正法向n与x轴的夹角为。 o x

图10.1 平面应力状态分析 x y

x y

y yx

yx xy xy

x xy

y yx 

   n

x

b a y —————————————————— 工程力学 ————————————————

266 单位厚度的微元oab如图，截面oa上作用的应力为x和xy，沿x、y方向的内力分别为xabcos和xyabcos；截面ob上作用的应力为y 和yx，沿x、y方向的内力分别为yxabsin和yabsin；设斜截面ab上的应力为n 和n，则斜截面上沿法向、切向的内力则为nab和nab。将上述各力投影到x、y轴上，有平衡方程：Fx=nabcosn absinx abcosyx absin

第六章 组合变形

一．内容  组合变形的概念和危险点的应力状态。

 用叠加法计算拉伸(压缩)与弯曲组合、偏心拉压、斜弯曲的应力，用平

面应力分析理论计算弯扭组合的应力。  实验内容：弯扭组合梁电测实验，复杂应力状态下应力测试技术。 二．学习目标 学完本章后，学生能够：  掌握组合变形的一般求解方法。

 熟练掌握拉伸(压缩)与弯曲、斜弯曲、偏心拉压、扭转与弯曲组合变形

的概念和强度计算。  了解截面核心概念和计算。

 学会弯扭组合梁的电测实验操作步骤。

三．重点和难点 重点：

采用叠加原理和平面应力分析理论计算拉（压）弯组合、斜弯曲、弯扭组合

的最大应力，并进行强度校核。

难点：

杆件组合变形下危险截面和危险点的确定；拉伸（压缩）和弯曲、和扭转组

合时的强度校核。 四．学习建议 1.无论何种形式的组合变形，首先将几组载荷分解成若干基本载荷，分别计

算各基本载荷引起杆件横截面上的应力，然后进行叠加，当应力平行时，则求其

代数和，否则（如正应力和切应力）将根据平面应力分析计算截面最大应力。

分析和求解组合变形习题的关键是分与合。分，就是将同时作用的几组载荷

分解成若干基本载荷，并分别计算杆件的应力。合，则是将各基本变形引起的应

力叠加起来，但不是简单的代数相加，而应是同一截面正应力或切应力矢量和，

当应力平行时，则应是求其代数和，故应注意应力的方向。这种分析方法适用于各种基本变形的组合变形，在学习时应注意分析方法和步骤，具体问题具体分析，

不必强记一些计算公式。在使用时要注意条件，如扭弯组合变形的强度条件适用

于圆截面轴，虽然对非圆截面轴公式不再适用，但分析方法仍然与圆截面轴相同。 2.处理组合变形问题的方法，学习时应着意领会方法的实质，而不要只是记

住有关的公式，因为组合变形问题是多种多样的，但处理原则是一致的。如圆截

面杆除承受弯扭组合变形外，同时还承受轴向拉（压）变形，按照以上处理原则，

可以写出其强度条件为